Bagaimana untuk menulis penyelesaian kepada sistem persamaan. Sistem persamaan linear

Arahan

Kaedah penambahan.
Anda perlu menulis dua dengan ketat di bawah satu sama lain:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dalam persamaan yang dipilih secara sewenang-wenangnya (daripada sistem), masukkan nombor 11 dan bukannya "permainan" yang telah dijumpai dan hitung yang kedua tidak diketahui:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Jawapan sistem persamaan ini: x=116, y=11.

Cara grafik.
Ia terdiri daripada penemuan praktikal koordinat titik di mana garis ditulis secara matematik dalam sistem persamaan. Anda harus melukis graf kedua-dua garisan secara berasingan dalam sistem koordinat yang sama. Paparan umum: - y \u003d kx + b. Untuk membina garis lurus, cukup untuk mencari koordinat dua titik, dan x dipilih sewenang-wenangnya.
Biarkan sistem diberikan: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Garis lurus dibina mengikut yang pertama, untuk kemudahan ia perlu ditulis: y \u003d 2x-4. Dapatkan nilai (lebih mudah) untuk x, menggantikannya ke dalam persamaan, menyelesaikannya, cari y. Dua mata diperolehi, di mana garis lurus dibina. (lihat gambar.)
x 0 1

y -4 -2
Garis lurus dibina mengikut persamaan kedua: y \u003d -3x + 1.
Juga membina garisan. (lihat gambar.)

1-5
Cari koordinat titik persilangan dua garis yang dibina pada graf (jika garis tidak bersilang, maka sistem persamaan tidak mempunyai - jadi).

Video-video yang berkaitan

Nasihat yang berguna

Jika sistem persamaan yang sama diselesaikan dengan tiga cara yang berbeza, jawapannya akan sama (jika penyelesaiannya betul).

Sumber:

• Algebra Darjah 8
• selesaikan persamaan dengan dua yang tidak diketahui dalam talian
• Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua

Sistem persamaan ialah koleksi rekod matematik, setiap satunya mengandungi bilangan pembolehubah tertentu. Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikannya.

Anda perlu

• -Pembaris dan pensel;
• -kalkulator.

Arahan

Pertimbangkan urutan penyelesaian sistem, yang terdiri daripada persamaan linear yang mempunyai bentuk: a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2. Di mana x dan y adalah pembolehubah tidak diketahui dan b,c ialah ahli bebas. Apabila menggunakan kaedah ini, setiap sistem adalah koordinat titik-titik yang sepadan dengan setiap persamaan. Pertama, dalam setiap kes, nyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain. Kemudian tetapkan pembolehubah x kepada sebarang bilangan nilai. Dua dah cukup. Palamkan ke dalam persamaan dan cari y. Bina sistem koordinat, tandakan titik yang diperoleh di atasnya dan lukis garis lurus melaluinya. Pengiraan yang sama mesti dilakukan untuk bahagian lain sistem.

Sistem ini mempunyai penyelesaian yang unik jika garisan yang dibina bersilang dan satu titik biasa. Adalah tidak konsisten jika mereka selari antara satu sama lain. Dan ia mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga apabila garisan bergabung antara satu sama lain.

Kaedah ini dianggap sangat jelas. Kelemahan utama adalah bahawa tidak diketahui yang dikira mempunyai nilai anggaran. Keputusan yang lebih tepat diberikan oleh kaedah algebra yang dipanggil.

Sebarang penyelesaian kepada sistem persamaan patut diperiksa. Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang diperoleh dan bukannya pembolehubah. Anda juga boleh mencari penyelesaiannya dalam beberapa cara. Jika penyelesaian sistem adalah betul, maka semua orang harus menjadi sama.

Selalunya terdapat persamaan di mana salah satu istilah tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan, anda perlu mengingati dan melakukan set tindakan tertentu dengan nombor ini.

Anda perlu

• - kertas;
• - Pen atau pensel.

Arahan

Bayangkan anda mempunyai 8 arnab di hadapan anda, dan anda hanya mempunyai 5 lobak merah. Fikirkan anda perlu membeli lebih banyak lobak merah supaya setiap arnab mendapat lobak merah.

Mari kita wakili masalah ini dalam bentuk persamaan: 5 + x = 8. Mari kita gantikan nombor 3 dengan x. Sesungguhnya, 5 + 3 = 8.

Apabila anda menggantikan nombor untuk x, anda melakukan operasi yang sama seperti menolak 5 daripada 8. Oleh itu, untuk mencari tidak diketahui istilah, tolak istilah yang diketahui daripada jumlah.

Katakan anda mempunyai 20 ekor arnab dan hanya 5 lobak merah. Jom mengarang. Persamaan ialah persamaan yang hanya berlaku untuk nilai tertentu huruf yang disertakan di dalamnya. Huruf yang nilainya ingin anda cari dipanggil. Tulis persamaan dengan satu yang tidak diketahui, panggilnya x. Apabila menyelesaikan masalah kami tentang arnab, persamaan berikut diperolehi: 5 + x = 20.

Mari cari beza antara 20 dan 5. Apabila menolak, nombor yang ditolaknya dikurangkan. Nombor yang ditolak dipanggil , dan hasil akhir dipanggil perbezaan. Jadi, x = 20 - 5; x = 15. Anda perlu membeli 15 lobak merah untuk arnab.

Buat semak: 5 + 15 = 20. Persamaan itu betul. Sudah tentu, apabila kita bercakap tentang yang mudah seperti itu, tidak perlu melakukan pemeriksaan. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada persamaan dengan tiga digit, empat digit, dan seterusnya, adalah penting untuk menyemak untuk benar-benar pasti hasil kerja anda.

Video-video yang berkaitan

Nasihat yang berguna

Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan.

Untuk mencari subtrahend yang tidak diketahui, adalah perlu untuk menolak perbezaan daripada minuend.

Petua 4: Bagaimana untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui

Sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui mungkin tidak mempunyai penyelesaian, walaupun bilangan persamaan mencukupi. Anda boleh cuba menyelesaikannya menggunakan kaedah penggantian atau menggunakan kaedah Cramer. Kaedah Cramer, sebagai tambahan kepada menyelesaikan sistem, membolehkan seseorang menilai sama ada sistem itu boleh diselesaikan sebelum mencari nilai yang tidak diketahui.

Arahan

Kaedah penggantian terdiri daripada satu yang tidak diketahui secara berurutan melalui dua yang lain dan menggantikan hasil yang diperoleh ke dalam persamaan sistem. Biarkan sistem tiga persamaan diberikan dalam Pandangan umum:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Ungkapkan x daripada persamaan pertama: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - dan gantikan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, kemudian nyatakan y daripada persamaan kedua dan gantikan kepada persamaan ketiga. Anda akan mendapat ungkapan linear untuk z melalui pekali persamaan sistem. Sekarang pergi "kembali": palamkan z ke dalam persamaan kedua dan cari y, kemudian palamkan z dan y ke dalam persamaan pertama dan cari x. Proses ini biasanya ditunjukkan dalam rajah sehingga z ditemui. Selanjutnya, rekod dalam bentuk umum akan menjadi terlalu rumit, dalam amalan, menggantikan , anda boleh mencari ketiga-tiga yang tidak diketahui dengan mudah.

Kaedah Cramer terdiri daripada menyusun matriks sistem dan mengira penentu matriks ini, serta tiga lagi matriks tambahan. Matriks sistem terdiri daripada pekali pada sebutan persamaan yang tidak diketahui. Lajur yang mengandungi nombor di sebelah kanan persamaan, lajur sebelah kanan. Ia tidak digunakan dalam sistem, tetapi digunakan semasa menyelesaikan sistem.

Video-video yang berkaitan

Nota

Semua persamaan dalam sistem mesti membekalkan maklumat tambahan bebas daripada persamaan lain. Jika tidak, sistem akan menjadi kurang jelas dan tidak akan dapat mencari penyelesaian yang jelas.

Nasihat yang berguna

Selepas menyelesaikan sistem persamaan, gantikan nilai yang ditemui ke dalam sistem asal dan pastikan ia memenuhi semua persamaan.

Dengan sendirinya persamaan dengan tiga tidak diketahui mempunyai banyak penyelesaian, jadi selalunya ia ditambah dengan dua lagi persamaan atau syarat. Bergantung pada data awal, perjalanan keputusan akan bergantung pada sebahagian besarnya.

Anda perlu

• - sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui.

Arahan

Jika dua daripada tiga sistem hanya mempunyai dua daripada tiga yang tidak diketahui, cuba nyatakan beberapa pembolehubah dari segi yang lain dan pasangkannya ke dalam persamaan dengan tiga tidak diketahui. Matlamat anda dengan ini adalah untuk mengubahnya menjadi normal persamaan dengan yang tidak diketahui. Jika ini , penyelesaian selanjutnya agak mudah - gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan lain dan cari semua yang tidak diketahui lain.

Sesetengah sistem persamaan boleh ditolak daripada satu persamaan dengan persamaan yang lain. Lihat sama ada mungkin untuk mendarab satu daripada dengan atau pembolehubah supaya dua yang tidak diketahui dikurangkan sekaligus. Sekiranya ada peluang sedemikian, gunakannya, kemungkinan besar, keputusan seterusnya tidak akan sukar. Jangan lupa bahawa apabila mendarab dengan nombor, anda mesti mendarab kedua-dua belah kiri dan sebelah kanan. Begitu juga, apabila menolak persamaan, ingat bahawa bahagian kanan juga mesti ditolak.

Jika cara sebelumnya tidak membantu, gunakan kaedah umum untuk menyelesaikan sebarang persamaan dengan tiga tidak diketahui. Untuk melakukan ini, tulis semula persamaan dalam bentuk a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Sekarang buat satu matriks pekali pada x (A), matriks yang tidak diketahui (X) dan matriks yang bebas (B). Beri perhatian, mendarabkan matriks pekali dengan matriks yang tidak diketahui, anda akan mendapat matriks, matriks ahli bebas, iaitu, A * X \u003d B.

Cari matriks A kepada kuasa (-1) selepas mencari , ambil perhatian bahawa ia tidak sepatutnya sama dengan sifar. Selepas itu, darabkan matriks yang terhasil dengan matriks B, hasilnya anda akan mendapat matriks X yang dikehendaki, menunjukkan semua nilai.

Anda juga boleh mencari penyelesaian kepada sistem tiga persamaan menggunakan kaedah Cramer. Untuk melakukan ini, cari penentu tertib ketiga ∆ sepadan dengan matriks sistem. Kemudian secara berturut-turut cari tiga lagi penentu ∆1, ∆2 dan ∆3, menggantikan nilai sebutan bebas dan bukannya nilai lajur yang sepadan. Sekarang cari x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sumber:

• penyelesaian persamaan dengan tiga tidak diketahui

Bermula untuk menyelesaikan sistem persamaan, fikirkan apakah persamaan ini. Kaedah penyelesaian persamaan linear dikaji dengan baik. Persamaan tak linear selalunya tidak dapat diselesaikan. Terdapat hanya satu kes khas, setiap satunya boleh dikatakan individu. Oleh itu, kajian kaedah penyelesaian harus dimulakan dengan persamaan linear. Persamaan sedemikian boleh diselesaikan walaupun secara algoritma semata-mata.

penyebut bagi yang tidak diketahui yang ditemui adalah betul-betul sama. Ya, dan pengangka kelihatan beberapa corak pembinaannya. Jika dimensi sistem persamaan lebih besar daripada dua, maka kaedah penyingkiran akan membawa kepada pengiraan yang sangat rumit. Untuk mengelakkannya, penyelesaian algoritma semata-mata telah dibangunkan. Yang paling mudah ialah algoritma Cramer (formula Cramer). Untuk anda patut tahu sistem umum persamaan daripada n persamaan.

Sistem n persamaan algebra linear dengan n tidak diketahui mempunyai bentuk (lihat Rajah 1a). Di dalamnya, aij ialah pekali sistem,
хj – tidak diketahui, bi – ahli bebas (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Sistem sedemikian boleh ditulis padat dalam bentuk matriks AX=B. Di sini A ialah matriks pekali sistem, X ialah matriks lajur yang tidak diketahui, B ialah matriks lajur bagi sebutan bebas (lihat Rajah 1b). Mengikut kaedah Cramer, setiap xi =∆i/∆ tidak diketahui (i=1,2…,n). Penentu ∆ matriks pekali dipanggil penentu utama, dan ∆i dipanggil tambahan. Bagi setiap yang tidak diketahui, penentu tambahan ditemui dengan menggantikan lajur ke-i penentu utama dengan lajur sebutan bebas. Kaedah Cramer untuk kes sistem urutan kedua dan ketiga dibentangkan secara terperinci dalam Rajah. 2.

Sistem ialah gabungan dua atau lebih persamaan, setiap satunya mempunyai dua atau lebih yang tidak diketahui. Terdapat dua cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang digunakan dalam rangka kerja kurikulum sekolah. Salah satunya dipanggil kaedah, satu lagi kaedah penambahan.

Bentuk piawai sistem dua persamaan

Pada bentuk piawai persamaan pertama ialah a1*x+b1*y=c1, persamaan kedua ialah a2*x+b2*y=c2, dan seterusnya. Sebagai contoh, dalam kes dua bahagian sistem dalam kedua-dua diberi a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah beberapa pekali berangka yang dibentangkan dalam persamaan tertentu. Sebaliknya, x dan y adalah tidak diketahui yang nilainya perlu ditentukan. Nilai yang dikehendaki menukar kedua-dua persamaan secara serentak kepada kesamaan sebenar.

Penyelesaian sistem dengan kaedah penambahan

Untuk menyelesaikan sistem, iaitu, untuk mencari nilai x dan y yang akan mengubahnya menjadi kesamaan sebenar, anda perlu mengambil beberapa langkah mudah. Yang pertama adalah untuk mengubah mana-mana persamaan dengan cara yang pekali berangka untuk pembolehubah x atau y dalam kedua-dua persamaan bertepatan dengan nilai mutlak, tetapi berbeza dalam tanda.

Sebagai contoh, biarkan sistem yang terdiri daripada dua persamaan diberikan. Yang pertama mempunyai bentuk 2x+4y=8, yang kedua mempunyai bentuk 6x+2y=6. Salah satu pilihan untuk menyelesaikan tugas adalah untuk mendarabkan persamaan kedua dengan faktor -2, yang akan membawanya ke bentuk -12x-4y=-12. Pilihan pekali yang betul adalah salah satu tugas utama dalam proses menyelesaikan sistem dengan kaedah penambahan, kerana ia menentukan keseluruhan proses selanjutnya prosedur untuk mencari yang tidak diketahui.

Sekarang adalah perlu untuk menambah dua persamaan sistem. Jelas sekali, pemusnahan bersama pembolehubah dengan nilai yang sama tetapi bertentangan dalam pekali tanda akan membawanya ke bentuk -10x=-4. Selepas itu, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan mudah ini, dari mana ia dengan jelas mengikuti bahawa x=0.4.

Langkah terakhir dalam proses penyelesaian ialah penggantian nilai yang ditemui bagi salah satu pembolehubah dalam mana-mana kesamaan awal yang terdapat dalam sistem. Sebagai contoh, menggantikan x=0.4 ke dalam persamaan pertama, anda boleh mendapatkan ungkapan 2*0.4+4y=8, dari mana y=1.8. Oleh itu, x=0.4 dan y=1.8 ialah punca-punca sistem yang ditunjukkan dalam contoh.

Untuk memastikan bahawa akar ditemui dengan betul, adalah berguna untuk menyemak dengan menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan kedua sistem. Sebagai contoh, dalam kes ini kesamaan bentuk 0.4*6+1.8*2=6 diperolehi, yang betul.

Video-video yang berkaitan

Dengan atur cara matematik ini, anda boleh menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua pembolehubah menggunakan kaedah penggantian dan kaedah penambahan.

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga menyediakan penyelesaian terperinci dengan penjelasan langkah penyelesaian dalam dua cara: kaedah penggantian dan kaedah penambahan.

Program ini boleh berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah pendidikan am sebagai persediaan untuk kerja kawalan dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum peperiksaan, ibu bapa untuk mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baru? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Oleh itu, anda boleh melaksanakan anda latihan sendiri dan/atau melatih adik-adik lelaki atau perempuan mereka, manakala tahap pendidikan dalam bidang tugas yang perlu diselesaikan ditingkatkan.

Peraturan untuk Memasukkan Persamaan

Mana-mana huruf Latin boleh bertindak sebagai pembolehubah.
Contohnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dsb.

Apabila memasukkan persamaan anda boleh menggunakan kurungan. Dalam kes ini, persamaan pertama kali dipermudahkan. Persamaan selepas penyederhanaan mestilah linear, i.e. dalam bentuk ax+by+c=0 dengan ketepatan susunan unsur.
Contohnya: 6x+1 = 5(x+y)+2

Dalam persamaan, anda boleh menggunakan bukan sahaja integer, tetapi juga nombor pecahan dalam bentuk pecahan perpuluhan dan biasa.

Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Bahagian integer dan pecahan dalam pecahan perpuluhan boleh dipisahkan sama ada dengan titik atau koma.
Contohnya: 2.1n + 3.5m = 55

Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer bagi pecahan.
Penyebut tidak boleh negatif.
Apabila memasukkan pecahan berangka, pengangka dipisahkan daripada penyebut dengan tanda bahagi: /
Bahagian integer dipisahkan daripada pecahan oleh ampersand: &

Contoh.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Menyelesaikan sistem persamaan

Didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

Anda telah melumpuhkan JavaScript dalam penyemak imbas anda.
JavaScript mesti didayakan untuk penyelesaian muncul.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan anda beratur.
Selepas beberapa saat, penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, kemudian anda boleh menulis mengenainya dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Menyelesaikan sistem persamaan linear. Kaedah penggantian

Urutan tindakan apabila menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah penggantian:
1) nyatakan satu pembolehubah daripada beberapa persamaan sistem dalam sebutan yang lain;
2) gantikan ungkapan yang terhasil dalam persamaan lain sistem dan bukannya pembolehubah ini;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Mari kita ungkapkan daripada persamaan pertama y melalui x: y = 7-3x. Menggantikan ungkapan 7-3x dan bukannya y ke dalam persamaan kedua, kita mendapat sistem:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa sistem pertama dan kedua mempunyai penyelesaian yang sama. Dalam sistem kedua, persamaan kedua mengandungi hanya satu pembolehubah. Mari kita selesaikan persamaan ini:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Menggantikan nombor 1 dan bukannya x ke dalam persamaan y=7-3x, kita dapati nilai y yang sepadan:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pasangan (1;4) - penyelesaian sistem

Sistem persamaan dalam dua pembolehubah yang mempunyai penyelesaian yang sama dipanggil bersamaan. Sistem yang tidak mempunyai penyelesaian juga dianggap setara.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menambah

Pertimbangkan cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear - kaedah penambahan. Apabila menyelesaikan sistem dengan cara ini, serta apabila menyelesaikan dengan kaedah penggantian, kita beralih dari sistem yang diberikan kepada sistem lain yang setara dengannya, di mana salah satu persamaan mengandungi hanya satu pembolehubah.

Urutan tindakan apabila menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah penambahan:
1) darabkan persamaan istilah sistem dengan sebutan, memilih faktor supaya pekali untuk salah satu pembolehubah menjadi nombor bertentangan;
2) tambah sebutan demi sebutan bahagian kiri dan kanan persamaan sistem;
3) selesaikan persamaan yang terhasil dengan satu pembolehubah;
4) cari nilai yang sepadan bagi pembolehubah kedua.

Contoh. Mari kita selesaikan sistem persamaan:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Dalam persamaan sistem ini, pekali y ialah nombor berlawanan. Menambah sebutan dengan sebutan bahagian kiri dan kanan persamaan, kita memperoleh persamaan dengan satu pembolehubah 3x=33. Mari kita gantikan salah satu persamaan sistem, contohnya yang pertama, dengan persamaan 3x=33. Jom dapatkan sistem
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Daripada persamaan 3x=33 kita dapati bahawa x=11. Menggantikan nilai x ini ke dalam persamaan \(x-3y=38 \) kita mendapat persamaan dengan pembolehubah y: \(11-3y=38 \). Mari selesaikan persamaan ini:
\(-3y=27 \Anak panah kanan y=-9 \)

Oleh itu, kami menemui penyelesaian kepada sistem persamaan dengan menambah: \(x=11; y=-9 \) atau \((11; -9) \)

Mengambil kesempatan daripada fakta bahawa pekali y dalam persamaan sistem adalah nombor berlawanan, kami mengurangkan penyelesaiannya kepada penyelesaian sistem yang setara (dengan menjumlahkan kedua-dua bahagian setiap persamaan simetri asal), di mana satu daripada persamaan mengandungi hanya satu pembolehubah.

Buku (buku teks) Abstrak Peperiksaan Negeri Bersatu dan ujian OGE dalam talian Permainan, teka-teki Pembinaan graf fungsi Kamus Ejaan Bahasa Rusia Kamus slanga belia Direktori sekolah Rusia Katalog sekolah menengah di Rusia Katalog universiti Rusia Senarai tugas
Kami akan menganalisis dua jenis sistem penyelesaian persamaan:

1. Penyelesaian sistem dengan kaedah penggantian.
2. Penyelesaian sistem dengan penambahan (penolakan) sebutan demi sebutan bagi persamaan sistem.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan kaedah penggantian anda perlu mengikuti algoritma mudah:
1. Kami menyatakan. Daripada sebarang persamaan, kami menyatakan satu pembolehubah.
2. Pengganti. Kami menggantikan dalam persamaan lain dan bukannya pembolehubah yang dinyatakan, nilai yang terhasil.
3. Kami menyelesaikan persamaan yang terhasil dengan satu pembolehubah. Kami mencari penyelesaian kepada sistem.

Untuk menyelesaikan sistem dengan penambahan sebutan demi sebutan (tolak) perlu:
1. Pilih pembolehubah yang mana kita akan membuat pekali yang sama.
2. Kami menambah atau menolak persamaan, hasilnya kami mendapat persamaan dengan satu pembolehubah.
3. Kami menyelesaikan persamaan linear yang terhasil. Kami mencari penyelesaian kepada sistem.

Penyelesaian sistem ialah titik persilangan graf fungsi.

Mari kita pertimbangkan secara terperinci penyelesaian sistem menggunakan contoh.

Contoh #1:

Mari selesaikan dengan kaedah penggantian

Menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah penggantian

2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)

1. Ekspres
Dapat dilihat bahawa dalam persamaan kedua terdapat pembolehubah x dengan pekali 1, maka ternyata ia adalah paling mudah untuk menyatakan pembolehubah x daripada persamaan kedua.
x=3+10y

2. Selepas menyatakan, kita gantikan 3 + 10y dalam persamaan pertama dan bukannya pembolehubah x.
2(3+10y)+5y=1

3. Kami menyelesaikan persamaan yang terhasil dengan satu pembolehubah.
2(3+10y)+5y=1 (kurungan terbuka)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

Penyelesaian sistem persamaan ialah titik persilangan graf, oleh itu kita perlu mencari x dan y, kerana titik persilangan terdiri daripada x dan y. Mari cari x, dalam perenggan pertama di mana kita menyatakan kita menggantikan y di sana.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Ia adalah kebiasaan untuk menulis mata di tempat pertama, kita menulis pembolehubah x, dan di tempat kedua pembolehubah y.
Jawapan: (1; -0.2)

Contoh #2:

Mari kita selesaikan dengan penambahan sebutan demi sebutan (tolak).

Menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah tambah

3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)

1. Pilih pembolehubah, katakan kita pilih x. Dalam persamaan pertama, pembolehubah x mempunyai pekali 3, dalam kedua - 2. Kita perlu membuat pekali sama, untuk ini kita mempunyai hak untuk mendarab persamaan atau membahagi dengan sebarang nombor. Kami mendarabkan persamaan pertama dengan 2, dan yang kedua dengan 3 dan mendapat jumlah pekali 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Daripada persamaan pertama, tolak kedua untuk menyingkirkan pembolehubah x. Selesaikan persamaan linear.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Cari x. Kami menggantikan y yang ditemui dalam mana-mana persamaan, katakan dalam persamaan pertama.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Titik persilangan ialah x=4.6; y=6.4
Jawapan: (4.6; 6.4)

Adakah anda ingin membuat persediaan untuk peperiksaan secara percuma? Tutor dalam talian secara percuma. Jangan main-main.

Mari kita ingat dahulu definisi penyelesaian kepada sistem persamaan dalam dua pembolehubah.

Definisi 1

Sepasang nombor dipanggil penyelesaian kepada sistem persamaan dengan dua pembolehubah jika, apabila ia digantikan ke dalam persamaan, kesamaan yang betul diperolehi.

Dalam perkara berikut, kita akan mempertimbangkan sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah.

wujud empat cara asas untuk menyelesaikan sistem persamaan: kaedah penggantian, kaedah penambahan, kaedah grafik, kaedah pengurusan pembolehubah baharu. Mari kita lihat kaedah ini contoh konkrit. Untuk menerangkan prinsip menggunakan tiga kaedah pertama, kami akan mempertimbangkan sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui:

Kaedah penggantian

Kaedah penggantian adalah seperti berikut: mana-mana persamaan ini diambil dan $y$ dinyatakan dalam sebutan $x$, kemudian $y$ digantikan ke dalam persamaan sistem, dari mana pembolehubah $x.$ ditemui. Selepas itu, kita boleh mengira pembolehubah $y.$ dengan mudah

Contoh 1

Mari kita nyatakan daripada persamaan kedua $y$ dalam sebutan $x$:

Gantikan dalam persamaan pertama, cari $x$:

\ \ \

Cari $y$:

Jawapan: $(-2,\ 3)$

Kaedah penambahan.

Pertimbangkan kaedah ini dengan contoh:

Contoh 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Darabkan persamaan kedua dengan 3, kita dapat:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Sekarang mari kita tambah kedua-dua persamaan bersama-sama:

\ \ \

Cari $y$ daripada persamaan kedua:

\[-6-y=-9\] \

Jawapan: $(-2,\ 3)$

Catatan 1

Perhatikan bahawa dalam kaedah ini adalah perlu untuk mendarab satu atau kedua-dua persamaan dengan nombor sedemikian yang apabila menambah salah satu pembolehubah "hilang".

Cara grafik

Kaedah grafik adalah seperti berikut: kedua-dua persamaan sistem dipaparkan pada satah koordinat dan titik persilangannya ditemui.

Contoh 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Mari kita nyatakan $y$ daripada kedua-dua persamaan dalam sebutan $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Mari kita lukis kedua-dua graf pada satah yang sama:

Gambar 1.

Jawapan: $(-2,\ 3)$

Bagaimana untuk memperkenalkan pembolehubah baharu

Kami akan mempertimbangkan kaedah ini dalam contoh berikut:

Contoh 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Penyelesaian.

Sistem ini setara dengan sistem

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ betul.\]

Biarkan $2^x=u\ (u>0)$ dan $3^y=v\ (v>0)$, kita dapat:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Kami menyelesaikan sistem yang terhasil dengan kaedah penambahan. Mari tambah persamaan:

\ \

Kemudian dari persamaan kedua, kita dapat itu

Berbalik kepada penggantian, kita dapat sistem baru persamaan eksponen:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Kita mendapatkan:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Isi pelajaran

Persamaan Linear dengan Dua Pembolehubah

Pelajar itu mempunyai 200 rubel untuk makan tengah hari di sekolah. Kek berharga 25 rubel, dan secawan kopi berharga 10 rubel. Berapa banyak kek dan cawan kopi yang boleh anda beli untuk 200 rubel?

Nyatakan bilangan kek melalui x, dan bilangan cawan kopi melalui y. Kemudian kos kek akan dilambangkan dengan ungkapan 25 x, dan kos secawan kopi dalam 10 y .

25x- harga x kuih muih
10y- harga y cawan kopi

Jumlah keseluruhan hendaklah 200 rubel. Kemudian kita mendapat persamaan dengan dua pembolehubah x Dan y

25x+ 10y= 200

Berapakah bilangan punca persamaan ini?

Semuanya bergantung kepada selera pelajar. Jika dia membeli 6 kek dan 5 cawan kopi, maka punca persamaan itu ialah nombor 6 dan 5.

Pasangan nilai 6 dan 5 dikatakan sebagai punca Persamaan 25 x+ 10y= 200 . Ditulis sebagai (6; 5) , dengan nombor pertama ialah nilai pembolehubah x, dan yang kedua - nilai pembolehubah y .

6 dan 5 bukan satu-satunya punca yang membalikkan Persamaan 25 x+ 10y= 200 kepada identiti. Jika dikehendaki, untuk 200 rubel yang sama, seorang pelajar boleh membeli 4 kek dan 10 cawan kopi:

Dalam kes ini, punca-punca persamaan 25 x+ 10y= 200 ialah pasangan nilai (4; 10) .

Lebih-lebih lagi, pelajar tidak boleh membeli kopi sama sekali, tetapi membeli kek untuk semua 200 rubel. Kemudian punca-punca persamaan 25 x+ 10y= 200 akan menjadi nilai 8 dan 0

Atau sebaliknya, jangan beli kek, tetapi beli kopi untuk semua 200 rubel. Kemudian punca-punca persamaan 25 x+ 10y= 200 akan menjadi nilai 0 dan 20

Mari cuba senaraikan semua kemungkinan punca persamaan 25 x+ 10y= 200 . Marilah kita bersetuju bahawa nilai x Dan y tergolong dalam set integer. Dan biarkan nilai ini lebih besar daripada atau sama dengan sifar:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Jadi ia akan memudahkan pelajar itu sendiri. Kek lebih mudah untuk dibeli secara keseluruhan daripada, sebagai contoh, beberapa kek keseluruhan dan separuh kek. Kopi juga lebih mudah untuk diambil dalam cawan keseluruhan daripada, sebagai contoh, beberapa cawan keseluruhan dan setengah cawan.

Perhatikan bahawa untuk ganjil x adalah mustahil untuk mencapai kesaksamaan di bawah mana-mana y. Kemudian nilai x akan ada nombor berikut 0, 2, 4, 6, 8. Dan mengetahui x boleh ditentukan dengan mudah y

Oleh itu, kami mendapat pasangan nilai berikut (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Pasangan ini adalah penyelesaian atau punca Persamaan 25 x+ 10y= 200. Mereka menjadikan persamaan ini sebagai identiti.

Taip persamaan ax + by = c dipanggil persamaan linear dengan dua pembolehubah. Penyelesaian atau punca persamaan ini ialah sepasang nilai ( x; y), yang mengubahnya menjadi identiti.

Perhatikan juga bahawa jika persamaan linear dengan dua pembolehubah ditulis sebagai ax + b y = c , kemudian mereka mengatakan bahawa ia telah tertulis dalam berkanun bentuk (biasa).

Beberapa persamaan linear dalam dua pembolehubah boleh dikurangkan kepada bentuk kanonik.

Sebagai contoh, persamaan 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) boleh diingatkan ax + by = c. Mari kita buka kurungan dalam kedua-dua bahagian persamaan ini, kita dapat 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Istilah yang mengandungi tidak diketahui dikumpulkan di sebelah kiri persamaan, dan istilah bebas daripada tidak diketahui dikumpulkan di sebelah kanan. Kemudian kita dapat 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Kami membawa istilah yang sama dalam kedua-dua bahagian, kami mendapat persamaan 16 x+ 8y= 32. Persamaan ini diturunkan kepada bentuk ax + by = c dan bersifat kanonik.

Persamaan 25 dipertimbangkan sebelum ini x+ 10y= 200 juga merupakan persamaan linear dua pembolehubah dalam bentuk kanonik. Dalam persamaan ini, parameter a , b Dan c adalah sama dengan nilai 25, 10 dan 200, masing-masing.

Sebenarnya persamaan ax + by = c mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Menyelesaikan Persamaan 25x+ 10y= 200, kami mencari puncanya hanya pada set integer. Akibatnya, kami memperoleh beberapa pasangan nilai yang menjadikan persamaan ini sebagai identiti. Tetapi pada set nombor rasional persamaan 25 x+ 10y= 200 akan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Untuk mendapatkan pasangan nilai baharu, anda perlu mengambil nilai arbitrari untuk x, kemudian nyatakan y. Sebagai contoh, mari kita ambil pembolehubah x nilai 7. Kemudian kita mendapat persamaan dengan satu pembolehubah 25×7 + 10y= 200 di mana untuk menyatakan y

biarlah x= 15 . Kemudian persamaan 25x+ 10y= 200 menjadi 25 × 15 + 10y= 200. Dari sini kita dapati itu y = −17,5

biarlah x= −3 . Kemudian persamaan 25x+ 10y= 200 menjadi 25 × (−3) + 10y= 200. Dari sini kita dapati itu y = −27,5

Sistem dua persamaan linear dengan dua pembolehubah

Untuk persamaan ax + by = c anda boleh mengambil beberapa kali nilai sewenang-wenangnya untuk x dan cari nilai untuk y. Diambil secara berasingan, persamaan sedemikian akan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Tetapi ia juga berlaku bahawa pembolehubah x Dan y dihubungkan bukan oleh satu, tetapi oleh dua persamaan. Dalam kes ini, mereka membentuk apa yang dipanggil sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah. Sistem persamaan sedemikian boleh mempunyai sepasang nilai (atau dengan kata lain: "satu penyelesaian").

Ia juga mungkin berlaku bahawa sistem tidak mempunyai penyelesaian sama sekali. Sistem persamaan linear boleh mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga dalam kes yang jarang berlaku dan luar biasa.

Dua persamaan linear membentuk sistem apabila nilai x Dan y dimasukkan dalam setiap persamaan ini.

Mari kita kembali kepada persamaan pertama 25 x+ 10y= 200 . Salah satu pasangan nilai untuk persamaan ini ialah pasangan (6; 5). Ini adalah kes apabila 200 rubel boleh membeli 6 kek dan 5 cawan kopi.

Mari kita susun masalah supaya pasangan (6; 5) menjadi satu-satunya penyelesaian untuk Persamaan 25 x+ 10y= 200 . Untuk melakukan ini, kami mengarang persamaan lain yang akan menghubungkan perkara yang sama x kek dan y cawan kopi.

Mari letakkan teks tugasan seperti berikut:

“Seorang budak sekolah membeli beberapa kek dan beberapa cawan kopi dengan harga 200 rubel. Kek berharga 25 rubel, dan secawan kopi berharga 10 rubel. Berapakah bilangan kek dan cawan kopi yang dibeli oleh pelajar itu jika diketahui bilangan kek adalah lebih satu daripada bilangan cawan kopi?

Kami sudah mempunyai persamaan pertama. Ini adalah Persamaan 25 x+ 10y= 200 . Sekarang mari kita tulis persamaan untuk keadaan "bilangan kek adalah satu unit lebih daripada bilangan cawan kopi" .

Bilangan kek ialah x, dan bilangan cawan kopi ialah y. Anda boleh menulis frasa ini menggunakan persamaan x − y= 1. Persamaan ini bermakna perbezaan antara kek dan kopi ialah 1.

x=y+ 1 . Persamaan ini bermakna bilangan kek adalah lebih satu daripada bilangan cawan kopi. Oleh itu, untuk mendapatkan kesaksamaan, satu ditambah kepada bilangan cawan kopi. Ini boleh difahami dengan mudah jika kita menggunakan model berat yang kita pertimbangkan semasa mengkaji masalah paling mudah:

Mendapat dua persamaan: 25 x+ 10y= 200 dan x=y+ 1. Oleh kerana nilai x Dan y, iaitu 6 dan 5 dimasukkan dalam setiap persamaan ini, kemudian bersama-sama membentuk satu sistem. Mari kita catatkan sistem ini. Jika persamaan membentuk sistem, maka ia dibingkai oleh tanda sistem. Tanda sistem ialah pendakap kerinting:

Jom selesaikan sistem ini. Ini akan membolehkan kita melihat bagaimana kita mencapai nilai 6 dan 5. Terdapat banyak kaedah untuk menyelesaikan sistem sedemikian. Pertimbangkan yang paling popular di antara mereka.

Kaedah Penggantian

Nama kaedah ini bercakap untuk dirinya sendiri. Intipatinya adalah untuk menggantikan satu persamaan ke persamaan yang lain, setelah sebelumnya menyatakan salah satu pembolehubah.

Dalam sistem kami, tiada apa yang perlu dinyatakan. Dalam persamaan kedua x = y+ 1 pembolehubah x sudah diluahkan. Pembolehubah ini sama dengan ungkapan y+ 1 . Kemudian anda boleh menggantikan ungkapan ini dalam persamaan pertama dan bukannya pembolehubah x

Selepas menggantikan ungkapan y+ 1 ke dalam persamaan pertama sebaliknya x, kita mendapat persamaan 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ini adalah persamaan linear dengan satu pembolehubah. Persamaan ini agak mudah untuk diselesaikan:

Kami mendapati nilai pembolehubah y. Sekarang kita menggantikan nilai ini ke dalam salah satu persamaan dan mencari nilainya x. Untuk ini, adalah mudah untuk menggunakan persamaan kedua x = y+ 1 . Mari letakkan nilainya y

Jadi pasangan (6; 5) ialah penyelesaian kepada sistem persamaan, seperti yang kita maksudkan. Kami menyemak dan memastikan pasangan (6; 5) memenuhi sistem:

Contoh 2

Gantikan persamaan pertama x= 2 + y ke dalam persamaan kedua 3 x - 2y= 9 . Dalam persamaan pertama, pembolehubah x adalah sama dengan ungkapan 2 + y. Kami menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan kedua dan bukannya x

Sekarang mari kita cari nilainya x. Untuk melakukan ini, gantikan nilai y ke dalam persamaan pertama x= 2 + y

Jadi penyelesaian sistem ialah nilai pasangan (5; 3)

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah penggantian:

Di sini, tidak seperti contoh sebelumnya, salah satu pembolehubah tidak dinyatakan secara eksplisit.

Untuk menggantikan satu persamaan ke persamaan yang lain, anda perlu .

Adalah wajar untuk menyatakan pembolehubah yang mempunyai pekali satu. Unit pekali mempunyai pembolehubah x, yang terkandung dalam persamaan pertama x+ 2y= 11 . Mari kita nyatakan pembolehubah ini.

Selepas ungkapan berubah-ubah x, sistem kami akan kelihatan seperti ini:

Sekarang kita gantikan persamaan pertama ke dalam kedua dan cari nilainya y

Pengganti y x

Jadi penyelesaian sistem adalah sepasang nilai (3; 4)

Sudah tentu, anda juga boleh menyatakan pembolehubah y. Akar tidak akan berubah. Tetapi jika anda meluahkan y, hasilnya bukanlah persamaan yang sangat mudah, penyelesaiannya akan mengambil lebih banyak masa. Ia akan kelihatan seperti ini:

Kita lihat dalam contoh ini untuk menyatakan x lebih mudah daripada meluahkan y .

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah penggantian:

Ungkapkan dalam persamaan pertama x. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

y

Pengganti y ke dalam persamaan pertama dan cari x. Anda boleh menggunakan persamaan asal 7 x+ 9y= 8 , atau gunakan persamaan di mana pembolehubah dinyatakan x. Kami akan menggunakan persamaan ini, kerana ia mudah:

Jadi penyelesaian sistem ialah pasangan nilai (5; -3)

Kaedah penambahan

Kaedah penambahan ialah menambah sebutan demi sebutan persamaan yang disertakan dalam sistem. Penambahan ini menghasilkan persamaan satu pembolehubah baharu. Dan agak mudah untuk menyelesaikan persamaan ini.

Mari kita selesaikan sistem persamaan berikut:

Tambah bahagian kiri persamaan pertama ke bahagian kiri persamaan kedua. Dan sebelah kanan persamaan pertama dengan sebelah kanan persamaan kedua. Kami mendapat persamaan berikut:

Berikut adalah istilah yang serupa:

Hasilnya, kami memperoleh persamaan termudah 3 x= 27 yang puncanya ialah 9. Mengetahui nilai x anda boleh mencari nilainya y. Gantikan nilai x ke dalam persamaan kedua x − y= 3 . Kami mendapat 9 − y= 3 . Dari sini y= 6 .

Jadi penyelesaian sistem adalah sepasang nilai (9; 6)

Contoh 2

Tambah bahagian kiri persamaan pertama ke bahagian kiri persamaan kedua. Dan sebelah kanan persamaan pertama dengan sebelah kanan persamaan kedua. Dalam kesamaan yang terhasil, kami membentangkan seperti istilah:

Hasilnya, kami mendapat persamaan termudah 5 x= 20, puncanya ialah 4. Mengetahui nilai x anda boleh mencari nilainya y. Gantikan nilai x ke dalam persamaan pertama 2 x+y= 11 . Jom dapatkan 8+ y= 11 . Dari sini y= 3 .

Jadi penyelesaian sistem ialah pasangan nilai (4;3)

Proses penambahan tidak diterangkan secara terperinci. Ia perlu dilakukan dalam fikiran. Apabila menambah, kedua-dua persamaan mesti dikurangkan kepada bentuk kanonik. Iaitu, kepada fikiran ac+by=c .

Daripada contoh yang dipertimbangkan, dapat dilihat bahawa matlamat utama penambahan persamaan adalah untuk menyingkirkan salah satu pembolehubah. Tetapi tidak selalu mungkin untuk segera menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah penambahan. Selalunya, sistem dibawa ke bentuk awal di mana ia boleh menambah persamaan yang disertakan dalam sistem ini.

Sebagai contoh, sistem boleh diselesaikan secara langsung dengan kaedah penambahan. Apabila menambah kedua-dua persamaan, istilah y Dan −y lenyap kerana jumlah mereka adalah sifar. Akibatnya, persamaan termudah terbentuk 11 x= 22 , yang puncanya ialah 2. Maka akan dapat ditentukan y sama dengan 5.

Dan sistem persamaan kaedah penambahan tidak dapat diselesaikan dengan segera, kerana ini tidak akan membawa kepada kehilangan salah satu pembolehubah. Penambahan akan menghasilkan Persamaan 8 x+ y= 28 , yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Jika kedua-dua bahagian persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor yang sama yang tidak sama dengan sifar, maka persamaan yang setara dengan yang diberikan akan diperolehi. Peraturan ini juga sah untuk sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah. Salah satu persamaan (atau kedua-dua persamaan) boleh didarab dengan beberapa nombor. Hasilnya adalah sistem yang setara, yang akarnya akan bertepatan dengan yang sebelumnya.

Mari kita kembali kepada sistem pertama, yang menerangkan berapa banyak kek dan cawan kopi yang dibeli oleh pelajar itu. Penyelesaian sistem ini ialah sepasang nilai (6; 5).

Kami mendarab kedua-dua persamaan yang termasuk dalam sistem ini dengan beberapa nombor. Katakan kita darabkan persamaan pertama dengan 2 dan yang kedua dengan 3

Hasilnya adalah sistem
Penyelesaian kepada sistem ini masih merupakan pasangan nilai (6; 5)

Ini bermakna persamaan yang termasuk dalam sistem boleh dikurangkan kepada bentuk yang sesuai untuk menggunakan kaedah penambahan.

Kembali kepada sistem , yang tidak dapat kami selesaikan dengan kaedah penambahan.

Darabkan persamaan pertama dengan 6 dan yang kedua dengan −2

Kemudian kami mendapat sistem berikut:

Kami menambah persamaan yang disertakan dalam sistem ini. Penambahan komponen 12 x dan -12 x akan menghasilkan 0, penambahan 18 y dan 4 y akan memberi 22 y, dan menambah 108 dan −20 memberikan 88. Kemudian anda mendapat persamaan 22 y= 88 , oleh itu y = 4 .

Jika pada mulanya sukar untuk menambah persamaan dalam fikiran anda, maka anda boleh menulis bagaimana bahagian kiri persamaan pertama ditambah ke bahagian kiri persamaan kedua, dan bahagian kanan persamaan pertama ke bahagian kanan persamaan kedua:

Mengetahui bahawa nilai pembolehubah y ialah 4, anda boleh mencari nilainya x. Pengganti y ke dalam salah satu persamaan, contohnya ke dalam persamaan pertama 2 x+ 3y= 18 . Kemudian kita mendapat persamaan dengan satu pembolehubah 2 x+ 12 = 18 . Kami memindahkan 12 ke sebelah kanan, menukar tanda, kami mendapat 2 x= 6 , oleh itu x = 3 .

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Darabkan persamaan kedua dengan −1. Kemudian sistem akan mengambil bentuk berikut:

Mari tambah kedua-dua persamaan. Penambahan komponen x Dan −x akan menghasilkan 0, penambahan 5 y dan 3 y akan memberi 8 y, dan menambah 7 dan 1 memberikan 8. Hasilnya ialah persamaan 8 y= 8 , yang puncanya ialah 1. Mengetahui bahawa nilai y ialah 1, anda boleh mencari nilainya x .

Pengganti y ke dalam persamaan pertama, kita dapat x+ 5 = 7 , oleh itu x= 2

Contoh 5. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Adalah wajar bahawa istilah yang mengandungi pembolehubah yang sama terletak satu di bawah yang lain. Oleh itu, dalam persamaan kedua, sebutan 5 y dan −2 x tukar tempat. Akibatnya, sistem akan mengambil bentuk:

Darabkan persamaan kedua dengan 3. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari tambah kedua-dua persamaan. Hasil daripada penambahan, kita mendapat persamaan 8 y= 16 , yang puncanya ialah 2.

Pengganti y ke dalam persamaan pertama, kita mendapat 6 x− 14 = 40 . Kami memindahkan istilah −14 ke sebelah kanan, menukar tanda, kami mendapat 6 x= 54 . Dari sini x= 9.

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Mari kita hapuskan pecahan. Darabkan persamaan pertama dengan 36 dan kedua dengan 12

Dalam sistem yang terhasil persamaan pertama boleh didarab dengan −5 dan yang kedua dengan 8

Mari tambahkan persamaan dalam sistem yang terhasil. Kemudian kita mendapat persamaan termudah −13 y= −156 . Dari sini y= 12 . Pengganti y ke dalam persamaan pertama dan cari x

Contoh 7. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Kami membawa kedua-dua persamaan kepada bentuk normal. Di sini adalah mudah untuk menggunakan peraturan perkadaran dalam kedua-dua persamaan. Jika dalam persamaan pertama bahagian kanan diwakili sebagai , dan bahagian kanan persamaan kedua sebagai , maka sistem akan mengambil bentuk:

Kami mempunyai perkadaran. Kami mendarabkan istilah ekstrem dan pertengahannya. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Kami mendarabkan persamaan pertama dengan −3, dan membuka kurungan dalam yang kedua:

Sekarang mari tambah kedua-dua persamaan. Hasil daripada menambah persamaan ini, kita mendapat kesamaan, di kedua-dua bahagian yang akan ada sifar:

Ternyata sistem itu mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga.

Tetapi kita tidak boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya dari langit untuk x Dan y. Kami boleh menentukan salah satu nilai, dan satu lagi akan ditentukan bergantung pada nilai yang kami tentukan. Sebagai contoh, biarkan x= 2 . Gantikan nilai ini ke dalam sistem:

Hasil daripada menyelesaikan salah satu persamaan, nilai untuk y, yang akan memenuhi kedua-dua persamaan:

Pasangan nilai (2; −2) yang terhasil akan memenuhi sistem:

Mari cari pasangan nilai yang lain. biarlah x= 4. Gantikan nilai ini ke dalam sistem:

Ia boleh ditentukan oleh mata itu y sama dengan sifar. Kemudian kami mendapat sepasang nilai (4; 0), yang memenuhi sistem kami:

Contoh 8. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah tambah:

Darabkan persamaan pertama dengan 6 dan yang kedua dengan 12

Mari kita tulis semula apa yang tinggal:

Darabkan persamaan pertama dengan −1. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari tambah kedua-dua persamaan. Hasil daripada penambahan, persamaan 6 terbentuk b= 48 , yang puncanya ialah 8. Gantikan b ke dalam persamaan pertama dan cari a

Sistem persamaan linear dengan tiga pembolehubah

Persamaan linear dengan tiga pembolehubah termasuk tiga pembolehubah dengan pekali, serta pintasan. Dalam bentuk kanonik, ia boleh ditulis seperti berikut:

ax + by + cz = d

Persamaan ini mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Memberi dua pembolehubah pelbagai maksud, anda boleh mencari nilai ketiga. Penyelesaian dalam kes ini ialah tiga kali ganda nilai ( x; y; z) yang menukarkan persamaan menjadi identiti.

Jika pembolehubah x, y, z disambungkan oleh tiga persamaan, maka sistem tiga persamaan linear dengan tiga pembolehubah dibentuk. Untuk menyelesaikan sistem sedemikian, anda boleh menggunakan kaedah yang sama yang digunakan untuk persamaan linear dengan dua pembolehubah: kaedah penggantian dan kaedah penambahan.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan kaedah penggantian:

Kami menyatakan dalam persamaan ketiga x. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Sekarang mari kita lakukan penggantian. Pembolehubah x adalah sama dengan ungkapan 3 − 2y − 2z . Gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan pertama dan kedua:

Mari kita buka kurungan dalam kedua-dua persamaan dan berikan istilah seperti:

Kami telah sampai pada sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah. Dalam kes ini, adalah mudah untuk menggunakan kaedah penambahan. Akibatnya, pembolehubah y akan hilang dan kita boleh mencari nilai pembolehubah z

Sekarang mari kita cari nilainya y. Untuk ini, adalah mudah untuk menggunakan persamaan − y+ z= 4. Gantikan nilai z

Sekarang mari kita cari nilainya x. Untuk ini, adalah mudah untuk menggunakan persamaan x= 3 − 2y − 2z . Gantikan nilai ke dalamnya y Dan z

Oleh itu, tiga kali ganda nilai (3; -2; 2) ialah penyelesaian kepada sistem kami. Dengan menyemak, kami memastikan bahawa nilai ini memenuhi sistem:

Contoh 2. Selesaikan sistem dengan kaedah tambah

Mari tambahkan persamaan pertama dengan kedua didarab dengan −2.

Jika persamaan kedua didarabkan dengan −2, maka ia akan menjadi bentuk −6x+ 6y- 4z = −4 . Sekarang tambahkannya pada persamaan pertama:

Kami melihat bahawa sebagai hasil daripada transformasi asas, nilai pembolehubah ditentukan x. Ia sama dengan satu.

Kembali kepada sistem utama. Mari tambahkan persamaan kedua dengan yang ketiga didarab dengan −1. Jika persamaan ketiga didarab dengan −1, maka ia akan menjadi bentuk −4x + 5y − 2z = −1 . Sekarang tambahkannya ke persamaan kedua:

Mendapat persamaan x - 2y= −1 . Gantikan nilai ke dalamnya x yang kami temui sebelum ini. Kemudian kita boleh menentukan nilainya y

Sekarang kita tahu nilainya x Dan y. Ini membolehkan anda menentukan nilai z. Kami menggunakan salah satu persamaan yang disertakan dalam sistem:

Oleh itu, tiga kali ganda nilai (1; 1; 1) ialah penyelesaian kepada sistem kami. Dengan menyemak, kami memastikan bahawa nilai ini memenuhi sistem:

Tugas untuk menyusun sistem persamaan linear

Tugas menyusun sistem persamaan diselesaikan dengan memperkenalkan beberapa pembolehubah. Seterusnya, persamaan disusun berdasarkan keadaan masalah. Daripada persamaan yang disusun, mereka membentuk sistem dan menyelesaikannya. Setelah menyelesaikan sistem, adalah perlu untuk memeriksa sama ada penyelesaiannya memenuhi syarat masalah.

Tugasan 1. Sebuah kereta Volga meninggalkan bandar untuk ladang kolektif. Dia kembali semula melalui jalan lain, yang 5 km lebih pendek daripada yang pertama. Secara keseluruhan, kereta itu memandu sejauh 35 km kedua-dua hala. Berapa kilometer panjang setiap jalan?

Penyelesaian

biarlah x- panjang jalan pertama, y- panjang kedua. Jika kereta itu memandu sejauh 35 km kedua-dua arah, maka persamaan pertama boleh ditulis sebagai x+ y= 35. Persamaan ini menerangkan jumlah panjang kedua-dua jalan.

Dikatakan bahawa kereta itu kembali semula di sepanjang jalan, yang lebih pendek daripada yang pertama sebanyak 5 km. Kemudian persamaan kedua boleh ditulis sebagai x− y= 5. Persamaan ini menunjukkan bahawa beza antara panjang jalan raya ialah 5 km.

Atau persamaan kedua boleh ditulis sebagai x= y+ 5 . Kami akan menggunakan persamaan ini.

Sejak pembolehubah x Dan y dalam kedua-dua persamaan menunjukkan nombor yang sama, maka kita boleh membentuk sistem daripadanya:

Mari kita selesaikan sistem ini menggunakan salah satu kaedah yang telah dikaji sebelum ini. Dalam kes ini, adalah mudah untuk menggunakan kaedah penggantian, kerana dalam persamaan kedua pembolehubah x sudah diluahkan.

Gantikan persamaan kedua ke dalam yang pertama dan cari y

Gantikan nilai yang ditemui y ke dalam persamaan kedua x= y+ 5 dan cari x

Panjang jalan pertama dilambangkan dengan pembolehubah x. Sekarang kita telah menemui maknanya. Pembolehubah x ialah 20. Jadi panjang jalan pertama ialah 20 km.

Dan panjang jalan kedua ditunjukkan oleh y. Nilai pembolehubah ini ialah 15. Jadi panjang jalan kedua ialah 15 km.

Jom buat pemeriksaan. Pertama, mari kita pastikan bahawa sistem diselesaikan dengan betul:

Sekarang mari kita semak sama ada penyelesaian (20; 15) memenuhi syarat masalah.

Dikatakan bahawa secara keseluruhan kereta itu memandu sejauh 35 km kedua-dua hala. Kami menambah panjang kedua-dua jalan dan memastikan bahawa penyelesaian (20; 15) memuaskan syarat ini: 20 km + 15 km = 35 km

Syarat seterusnya: kereta itu kembali semula di sepanjang jalan lain, yang 5 km lebih pendek daripada yang pertama . Kami melihat bahawa penyelesaian (20; 15) juga memenuhi syarat ini, kerana 15 km adalah lebih pendek daripada 20 km dengan 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Apabila menyusun sistem, adalah penting bahawa pembolehubah menunjukkan nombor yang sama dalam semua persamaan yang termasuk dalam sistem ini.

Jadi sistem kami mengandungi dua persamaan. Persamaan ini pula mengandungi pembolehubah x Dan y, yang menunjukkan nombor yang sama dalam kedua-dua persamaan, iaitu panjang jalan yang sama dengan 20 km dan 15 km.

Tugasan 2. Tempat tidur kayu oak dan pain telah dimuatkan ke atas pelantar, sejumlah 300 tempat tidur. Adalah diketahui bahawa semua tidur kayu oak mempunyai berat 1 tan kurang daripada semua tidur pain. Tentukan berapa banyak tempat tidur kayu oak dan pain secara berasingan, jika setiap tidur kayu oak mempunyai berat 46 kg, dan setiap tidur kayu pain 28 kg.

Penyelesaian

biarlah x oak dan y tempat tidur pain dimuatkan ke atas pelantar. Jika terdapat 300 orang tidur secara keseluruhan, maka persamaan pertama boleh ditulis sebagai x+y = 300 .

Semua tidur kayu oak mempunyai berat 46 x kg, dan pain seberat 28 y kg. Oleh kerana alat tidur kayu oak mempunyai berat 1 tan kurang daripada tidur kayu pain, persamaan kedua boleh ditulis sebagai 28y- 46x= 1000 . Persamaan ini menunjukkan bahawa perbezaan jisim antara tidur oak dan pain ialah 1000 kg.

Tan telah ditukar kepada kilogram kerana jisim tidur kayu oak dan pain diukur dalam kilogram.

Akibatnya, kita memperoleh dua persamaan yang membentuk sistem

Jom selesaikan sistem ini. Ungkapkan dalam persamaan pertama x. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Gantikan persamaan pertama ke dalam kedua dan cari y

Pengganti y ke dalam persamaan x= 300 − y dan ketahui apa x

Ini bermakna bahawa 100 oak dan 200 pain sleepers telah dimuatkan ke platform.

Mari kita semak sama ada penyelesaian (100; 200) memenuhi syarat masalah. Pertama, mari kita pastikan bahawa sistem diselesaikan dengan betul:

Dikatakan bahawa terdapat 300 orang tidur secara keseluruhan. Kami menjumlahkan bilangan tidur kayu oak dan pain dan memastikan bahawa penyelesaian (100; 200) memenuhi syarat ini: 100 + 200 = 300.

Syarat seterusnya: semua tidur kayu oak mempunyai berat 1 tan kurang daripada semua pain . Kami melihat bahawa penyelesaian (100; 200) juga memenuhi syarat ini, kerana 46 × 100 kg tidur oak lebih ringan daripada 28 × 200 kg tidur pain: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Tugasan 3. Kami mengambil tiga keping aloi tembaga dan nikel dalam nisbah 2: 1, 3: 1 dan 5: 1 mengikut berat. Daripada jumlah ini, sekeping seberat 12 kg telah dicantumkan dengan nisbah kandungan kuprum dan nikel 4: 1. Cari jisim setiap kepingan asal jika jisim yang pertama daripadanya ialah dua kali ganda jisim kedua.