Eksempler på geometrisk progresjon. Vær alltid i humør

Geometrisk progresjon er sammen med aritmetikk en viktig tallserie som studeres i skolealgebrakurset i 9. klasse. I denne artikkelen vil vi vurdere nevneren til en geometrisk progresjon, og hvordan verdien påvirker dens egenskaper.

Definisjon av geometrisk progresjon

Til å begynne med gir vi definisjonen av denne tallserien. En geometrisk progresjon er en serie med rasjonelle tall som dannes ved suksessivt å multiplisere det første elementet med et konstant tall kalt nevneren.

For eksempel er tallene i rekkene 3, 6, 12, 24, ... en geometrisk progresjon, for hvis vi ganger 3 (det første elementet) med 2, får vi 6. Hvis vi ganger 6 med 2, får vi 12, og så videre.

Medlemmene av sekvensen som vurderes er vanligvis betegnet med symbolet ai, hvor i er et heltall som indikerer nummeret til elementet i serien.

Ovennevnte definisjon av en progresjon kan skrives på matematikkspråket som følger: an = bn-1 * a1, hvor b er nevneren. Det er lett å sjekke denne formelen: hvis n = 1, så er b1-1 = 1, og vi får a1 = a1. Hvis n = 2, så er an = b * a1, og vi kommer igjen til definisjonen av tallserien som vurderes. Tilsvarende resonnement kan fortsettes for store verdier n.

Nevneren for en geometrisk progresjon

Tallet b bestemmer helt hvilket tegn hele tallserien skal ha. Nevneren b kan være positiv, negativ eller større enn eller mindre enn én. Alle de ovennevnte alternativene fører til forskjellige sekvenser:

• b > 1. Det er en økende rekke av rasjonelle tall. For eksempel, 1, 2, 4, 8, ... Hvis elementet a1 er negativt, vil hele sekvensen kun øke modulo, men reduseres under hensyntagen til tallenes fortegn.
• b = 1. Ofte kalles ikke et slikt tilfelle en progresjon, siden det er en vanlig serie med identiske rasjonelle tall. For eksempel -4, -4, -4.

Formel for sum

Før du går videre til vurderingen av spesifikke problemer ved å bruke nevneren for typen progresjon som vurderes, bør det gis en viktig formel for summen av de første n elementene. Formelen er: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Du kan få dette uttrykket selv hvis du vurderer en rekursiv sekvens av medlemmer av progresjonen. Merk også at i formelen ovenfor er det nok å bare kjenne det første elementet og nevneren for å finne summen av et vilkårlig antall ledd.

Uendelig avtagende sekvens

Ovenfor var en forklaring på hva det er. Når vi nå kjenner formelen for Sn, la oss bruke den på denne tallserien. Siden ethvert tall hvis modul ikke overstiger 1 har en tendens til null når det heves til store potenser, det vil si b∞ => 0 hvis -1

Siden forskjellen (1 - b) alltid vil være positiv, uavhengig av verdien av nevneren, er tegnet på summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon S∞ unikt bestemt av tegnet til dets første element a1.

Nå skal vi vurdere flere problemer, der vi vil vise hvordan du kan bruke den ervervede kunnskapen til spesifikke tall.

Oppgave nummer 1. Beregning av ukjente elementer av progresjonen og summen

Gitt en geometrisk progresjon, er nevneren for progresjonen 2, og dens første element er 3. Hva blir dens 7. og 10. ledd, og hva er summen av de syv initiale elementene?

Tilstanden til problemet er ganske enkel og innebærer direkte bruk av formlene ovenfor. Så, for å beregne elementet med nummer n, bruker vi uttrykket an = bn-1 * a1. For det 7. elementet har vi: a7 = b6 * a1, og erstatter de kjente dataene, får vi: a7 = 26 * 3 = 192. Vi gjør det samme for det 10. medlemmet: a10 = 29 * 3 = 1536.

Vi bruker den velkjente formelen for summen og bestemmer denne verdien for de første 7 elementene i serien. Vi har: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Oppgave nummer 2. Bestemme summen av vilkårlige elementer i progresjonen

La -2 være nevneren for den eksponentielle progresjonen bn-1 * 4, der n er et heltall. Det er nødvendig å bestemme summen fra det 5. til det 10. elementet i denne serien, inklusive.

Problemet som stilles kan ikke løses direkte ved hjelp av kjente formler. Det kan løses på 2 forskjellige måter. For fullstendighetens skyld presenterer vi begge deler.

Metode 1. Ideen er enkel: du må beregne de to tilsvarende summene av de første leddene, og deretter trekke den andre fra den ene. Regn ut den minste summen: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nå regner vi en stor mengde: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Merk at i det siste uttrykket ble bare 4 ledd summert, siden den 5. allerede er inkludert i summen som må beregnes i henhold til problemets tilstand. Til slutt tar vi forskjellen: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metode 2. Før du bytter ut tall og teller, kan du få en formel for summen mellom leddene m og n i den aktuelle rekken. Vi handler på nøyaktig samme måte som i metode 1, bare vi jobber først med den symbolske representasjonen av summen. Vi har: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Du kan erstatte kjente tall i det resulterende uttrykket og beregne det endelige resultatet: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Oppgave nummer 3. Hva er nevneren?

La a1 = 2, finn nevneren for den geometriske progresjonen, forutsatt at dens uendelige sum er 3, og det er kjent at dette er en avtagende tallrekke.

I henhold til tilstanden til problemet er det ikke vanskelig å gjette hvilken formel som skal brukes for å løse det. Selvfølgelig for summen av en uendelig avtagende progresjon. Vi har: S∞ = a1 / (1 - b). Fra hvor vi uttrykker nevneren: b = 1 - a1 / S∞. Det gjenstår å erstatte de kjente verdiene og få det nødvendige tallet: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 eller -0,333 (3). Vi kan sjekke dette resultatet kvalitativt hvis vi husker at for denne typen sekvenser må ikke modulen b gå utover 1. Som du kan se, |-1 / 3|

Oppgave nummer 4. Gjenopprette en serie med tall

La 2 elementer i en tallserie gis, for eksempel er den 5. lik 30 og den 10. er lik 60. Det er nødvendig å gjenopprette hele serien fra disse dataene, vel vitende om at den tilfredsstiller egenskapene til en geometrisk progresjon.

For å løse problemet må du først skrive ned det tilsvarende uttrykket for hvert kjent medlem. Vi har: a5 = b4 * a1 og a10 = b9 * a1. Nå deler vi det andre uttrykket med det første, vi får: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Herfra bestemmer vi nevneren ved å ta femtegradsroten av forholdet mellom medlemmene kjent fra tilstanden til problemet, b = 1,148698. Vi erstatter det resulterende tallet i et av uttrykkene for et kjent element, vi får: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Dermed har vi funnet hva nevneren til progresjonen bn er, og den geometriske progresjonen bn-1 * 17,2304966 = an, hvor b = 1,148698.

Hvor brukes geometriske progresjoner?

Hvis det ikke var noen anvendelse av denne numeriske serien i praksis, ville dens studie bli redusert til en rent teoretisk interesse. Men det finnes en slik søknad.

De 3 mest kjente eksemplene er listet opp nedenfor:

• Zenos paradoks, der den smidige Akilles ikke kan hamle opp med den langsomme skilpadden, løses ved å bruke konseptet med en uendelig minkende tallrekke.
• Hvis hvetekorn plasseres på hver celle på sjakkbrettet slik at 1 korn plasseres på 1. celle, 2 - på 2. celle, 3 - på 3. og så videre, vil det være nødvendig med 18446744073709551615 korn for å fylle alle cellene i styret!
• I spillet "Tower of Hanoi", for å omorganisere disker fra en stang til en annen, er det nødvendig å utføre 2n - 1 operasjoner, det vil si at antallet vokser eksponentielt fra antall disker n som brukes.

Geometrisk progresjon ikke mindre viktig i matematikk enn i aritmetikk. En geometrisk progresjon er en slik sekvens av tall b1, b2,..., b[n] hvor hvert neste medlem er oppnådd ved å multiplisere det forrige med et konstant tall. Dette tallet, som også karakteriserer veksthastigheten eller reduksjonen av progresjonen, kalles nevner for en geometrisk progresjon og betegne

Til fullført oppgave geometrisk progresjon, i tillegg til nevneren, er det nødvendig å kjenne eller bestemme dens første ledd. For en positiv verdi av nevneren er progresjonen en monoton sekvens, og hvis denne tallrekkefølgen er monotont avtagende og monotont økende når. Tilfellet når nevneren er lik én vurderes ikke i praksis, siden vi har en sekvens med identiske tall, og summeringen deres ikke er av praktisk interesse

Generell term for en geometrisk progresjon beregnes etter formelen

Summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon bestemt av formelen

La oss vurdere løsninger på klassiske geometriske progresjonsproblemer. La oss starte med det enkleste å forstå.

Eksempel 1. Det første leddet i en geometrisk progresjon er 27, og dens nevner er 1/3. Finn de seks første leddene i en geometrisk progresjon.

Løsning: Vi skriver tilstanden til problemet i skjemaet

For beregninger bruker vi formelen for det n'te leddet i en geometrisk progresjon

Basert på den finner vi ukjente medlemmer av progresjonen

Som du kan se, er det ikke vanskelig å beregne betingelsene for en geometrisk progresjon. Selve progresjonen vil se slik ut

Eksempel 2. De tre første medlemmene av en geometrisk progresjon er gitt: 6; -12; 24. Finn nevneren og det syvende leddet.

Løsning: Vi beregner nevneren for den geometriske progresjonen basert på dens definisjon

Vi fikk en vekslende geometrisk progresjon hvis nevner er -2. Det syvende leddet beregnes av formelen

På denne oppgaven er løst.

Eksempel 3. En geometrisk progresjon er gitt av to av dens medlemmer . Finn det tiende leddet i progresjonen.

Løsning:

La oss skrive de gitte verdiene gjennom formlene

I følge reglene ville det være nødvendig å finne nevneren, og deretter se etter ønsket verdi, men for tiende ledd har vi

Den samme formelen kan oppnås på grunnlag av enkle manipulasjoner med inndataene. Vi deler den sjette termen i serien med en annen, som et resultat får vi

Hvis den resulterende verdien multipliseres med det sjette leddet, får vi det tiende

Således, for slike problemer, ved hjelp av enkle transformasjoner til rask måte du kan finne den rette løsningen.

Eksempel 4. Geometrisk progresjon er gitt ved tilbakevendende formler

Finn nevneren for den geometriske progresjonen og summen av de seks første leddene.

Løsning:

Vi skriver de gitte dataene i form av et ligningssystem

Uttrykk nevneren ved å dele den andre ligningen med den første

Finn det første leddet i progresjonen fra den første ligningen

Beregn følgende fem ledd for å finne summen av den geometriske progresjonen

Hvis hvert naturlig tall n samsvarer med et reelt tall en n , så sier de at gitt nummerrekkefølge :

en 1 , en 2 , en 3 , . . . , en n , . . . .

Så en numerisk sekvens er en funksjon av et naturlig argument.

Antall en 1 kalt det første medlemmet av sekvensen , Antall en 2 — det andre medlemmet av sekvensen , Antall en 3 — tredje og så videre. Antall en n kalt nte medlem sekvenser , og det naturlige tallet n — nummeret hans .

Fra to nabomedlemmer en n Og en n +1 medlemssekvenser en n +1 kalt senere (mot en n ), A en n — tidligere (mot en n +1 ).

For å spesifisere en sekvens, må du spesifisere en metode som lar deg finne et sekvensmedlem med et hvilket som helst tall.

Ofte er rekkefølgen gitt med nth term formler , det vil si en formel som lar deg bestemme et sekvensmedlem ved nummeret.

For eksempel,

sekvensen av positive oddetall kan gis av formelen

en n= 2n- 1,

og sekvensen av alternerende 1 Og -1 - formel

b n = (-1)n +1 . ◄

Rekkefølgen kan bestemmes tilbakevendende formel, det vil si en formel som uttrykker et hvilket som helst medlem av sekvensen, starter med noen, gjennom de forrige (ett eller flere) medlemmene.

For eksempel,

Hvis en 1 = 1 , A en n +1 = en n + 5

en 1 = 1,

en 2 = en 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

en 3 = en 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

en 4 = en 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

en 5 = en 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Hvis en 1= 1, en 2 = 1, en n +2 = en n + en n +1 , deretter settes de første syv medlemmene av den numeriske sekvensen som følger:

en 1 = 1,

en 2 = 1,

en 3 = en 1 + en 2 = 1 + 1 = 2,

en 4 = en 2 + en 3 = 1 + 2 = 3,

en 5 = en 3 + en 4 = 2 + 3 = 5,

en 6 = en 4 + en 5 = 3 + 5 = 8,

en 7 = en 5 + en 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenser kan være endelig Og endeløs .

Sekvensen kalles ultimat hvis den har et begrenset antall medlemmer. Sekvensen kalles endeløs hvis den har uendelig mange medlemmer.

For eksempel,

rekkefølge av tosifrede naturlige tall:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

endelig.

Primtallssekvens:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endeløs. ◄

Sekvensen kalles økende , hvis hvert av medlemmene, fra det andre, er større enn det forrige.

Sekvensen kalles avtar , hvis hvert av medlemmene, fra det andre, er mindre enn det forrige.

For eksempel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . er en stigende sekvens;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . er en synkende sekvens. ◄

En sekvens hvis elementer ikke reduseres med økende antall, eller omvendt ikke øker, kalles monoton sekvens .

Monotoniske sekvenser er spesielt økende sekvenser og avtagende sekvenser.

Aritmetisk progresjon

Aritmetisk progresjon en sekvens kalles, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik den forrige, som det samme tallet er lagt til.

en 1 , en 2 , en 3 , . . . , en n, . . .

er en aritmetisk progresjon hvis for et hvilket som helst naturlig tall n betingelsen er oppfylt:

en n +1 = en n + d,

Hvor d - et nummer.

Dermed forskjellen mellom de neste og de forrige medlemmene av en gitt aritmetisk progresjon alltid konstant:

en 2 - en 1 = en 3 - en 2 = . . . = en n +1 - en n = d.

Antall d kalt forskjellen på en aritmetisk progresjon.

For å angi en aritmetisk progresjon, er det nok å spesifisere det første leddet og forskjellen.

For eksempel,

Hvis en 1 = 3, d = 4 , så finnes de fem første leddene i sekvensen som følger:

en 1 =3,

en 2 = en 1 + d = 3 + 4 = 7,

en 3 = en 2 + d= 7 + 4 = 11,

en 4 = en 3 + d= 11 + 4 = 15,

en 5 = en 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

For en aritmetisk progresjon med første ledd en 1 og forskjell d henne n

en n = en 1 + (n- 1)d.

For eksempel,

finn det trettiende leddet i en aritmetisk progresjon

1, 4, 7, 10, . . .

en 1 =1, d = 3,

en 30 = en 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

en n-1 = en 1 + (n- 2)d,

en n= en 1 + (n- 1)d,

en n +1 = en 1 + nd,

da åpenbart

hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra den andre, er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de forrige og påfølgende medlemmene.

tallene a, b og c er påfølgende medlemmer av en eller annen aritmetisk progresjon hvis og bare hvis en av dem er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to andre.

For eksempel,

en n = 2n- 7 , er en aritmetisk progresjon.

La oss bruke utsagnet ovenfor. Vi har:

en n = 2n- 7,

en n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

en n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Derfor,

◄

Noter det n -th medlem av en aritmetisk progresjon kan finnes ikke bare gjennom en 1 , men også alle tidligere en k

en n = en k + (n- k)d.

For eksempel,

Til en 5 kan skrives

en 5 = en 1 + 4d,

en 5 = en 2 + 3d,

en 5 = en 3 + 2d,

en 5 = en 4 + d. ◄

en n = en n-k + kd,

en n = a n+k - kd,

da åpenbart

ethvert medlem av en aritmetisk progresjon, fra den andre, er lik halvparten av summen av medlemmene av denne aritmetiske progresjonen med lik avstand fra den.

I tillegg, for enhver aritmetisk progresjon, er likheten sann:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

For eksempel,

i aritmetisk progresjon

1) en 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (en 9 + en 11 )/2;

2) 28 = en 10 = en 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) en 10= 28 = (19 + 37)/2 = (en 7 + en 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, fordi

en 2 + en 12= 4 + 34 = 38,

en 5 + en 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ en n,

først n medlemmer av en aritmetisk progresjon er lik produktet av halvparten av summen av ekstremleddene med antall ledd:

Spesielt av dette følger det at dersom det er nødvendig å summere vilkårene

en k, en k +1 , . . . , en n,

da beholder den forrige formelen sin struktur:

For eksempel,

i aritmetisk progresjon 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Hvis en aritmetisk progresjon er gitt, så mengdene en 1 , en n, d, n OgS n koblet sammen med to formler:

Derfor, hvis verdiene til tre av disse mengdene er gitt, bestemmes de tilsvarende verdiene til de to andre mengdene fra disse formlene kombinert til et system med to ligninger med to ukjente.

En aritmetisk progresjon er en monoton sekvens. Hvori:

• Hvis d > 0 , da øker det;
• Hvis d < 0 , da er det avtagende;
• Hvis d = 0 , da vil sekvensen være stasjonær.

Geometrisk progresjon

geometrisk progresjon en sekvens kalles, hvor hvert ledd, fra den andre, er lik den forrige, multiplisert med det samme tallet.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

er en geometrisk progresjon hvis for et hvilket som helst naturlig tall n betingelsen er oppfylt:

b n +1 = b n · q,

Hvor q ≠ 0 - et nummer.

Dermed er forholdet mellom neste ledd i denne geometriske progresjonen og den forrige et konstant tall:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Antall q kalt nevner for en geometrisk progresjon.

For å angi en geometrisk progresjon er det nok å spesifisere dens første ledd og nevner.

For eksempel,

Hvis b 1 = 1, q = -3 , så finnes de fem første leddene i sekvensen som følger:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 og nevner q henne n -te ledd kan finnes ved formelen:

b n = b 1 · q n -1 .

For eksempel,

finn det syvende leddet i en geometrisk progresjon 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

da åpenbart

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

hvert medlem av den geometriske progresjonen, fra den andre, er lik det geometriske gjennomsnittet (proporsjonal) av de forrige og etterfølgende elementene.

Siden det motsatte også er sant, gjelder følgende påstand:

tallene a, b og c er påfølgende medlemmer av en eller annen geometrisk progresjon hvis og bare hvis kvadratet til en av dem er lik produktet av de to andre, det vil si at ett av tallene er det geometriske gjennomsnittet av de to andre.

For eksempel,

la oss bevise at sekvensen gitt av formelen b n= -3 2 n , er en geometrisk progresjon. La oss bruke utsagnet ovenfor. Vi har:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Derfor,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

som beviser den nødvendige påstanden. ◄

Noter det n leddet i en geometrisk progresjon kan ikke bare finnes gjennom b 1 , men også en hvilken som helst tidligere periode b k , som det er tilstrekkelig å bruke formelen for

b n = b k · q n - k.

For eksempel,

Til b 5 kan skrives

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

da åpenbart

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadratet til ethvert medlem av en geometrisk progresjon, fra den andre, er lik produktet av medlemmene av denne progresjonen like langt fra den.

I tillegg, for enhver geometrisk progresjon, er likheten sann:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

For eksempel,

eksponensielt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , fordi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

først n medlemmer av en geometrisk progresjon med en nevner q ≠ 0 beregnet med formelen:

Og når q = 1 - i henhold til formelen

S n= n.b. 1

Merk at hvis vi trenger å summere vilkårene

b k, b k +1 , . . . , b n,

så brukes formelen:

For eksempel,

eksponensielt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Hvis en geometrisk progresjon er gitt, så mengdene b 1 , b n, q, n Og S n koblet sammen med to formler:

Derfor, hvis verdiene til tre av disse mengdene er gitt, blir de tilsvarende verdiene til de to andre mengdene bestemt fra disse formlene kombinert til et system med to ligninger med to ukjente.

For en geometrisk progresjon med første ledd b 1 og nevner q følgende finner sted monotoniske egenskaper :

• progresjonen øker hvis en av følgende betingelser er oppfylt:

b 1 > 0 Og q> 1;

b 1 < 0 Og 0 < q< 1;

• En progresjon avtar hvis en av følgende betingelser er oppfylt:

b 1 > 0 Og 0 < q< 1;

b 1 < 0 Og q> 1.

Hvis q< 0 , da er den geometriske progresjonen tegnvekslende: dens oddetallsledd har samme fortegn som dens første ledd, og partallsleddene har motsatt fortegn. Det er klart at en vekslende geometrisk progresjon ikke er monoton.

Produktet av den første n termer for en geometrisk progresjon kan beregnes ved formelen:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

For eksempel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Uendelig avtagende geometrisk progresjon

Uendelig avtagende geometrisk progresjon kalles en uendelig geometrisk progresjon hvis nevnermodul er mindre enn 1 , det er

|q| < 1 .

Merk at en uendelig avtagende geometrisk progresjon kanskje ikke er en avtagende sekvens. Dette passer til saken

1 < q< 0 .

Med en slik nevner er sekvensen fortegnsvekslende. For eksempel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon navngi tallet som summen av den første n vilkår for progresjonen med en ubegrenset økning i antallet n . Dette tallet er alltid endelig og uttrykkes med formelen

For eksempel,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Sammenheng mellom aritmetiske og geometriske progresjoner

Aritmetikk og geometrisk progresjon er nært beslektet. La oss vurdere bare to eksempler.

en 1 , en 2 , en 3 , . . . d , Det

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

For eksempel,

1, 3, 5, . . . — aritmetisk progresjon med forskjell 2 Og

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . er en geometrisk progresjon med en nevner 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . er en geometrisk progresjon med en nevner q , Det

logg a b 1, logg a b 2, logg a b 3, . . . — aritmetisk progresjon med forskjell logg aq .

For eksempel,

2, 12, 72, . . . er en geometrisk progresjon med en nevner 6 Og

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetisk progresjon med forskjell lg 6 . ◄

La oss vurdere en serie.

7 28 112 448 1792...

Det er helt klart at verdien av noen av elementene er nøyaktig fire ganger større enn den forrige. Så denne serien er en progresjon.

En geometrisk progresjon er en uendelig rekkefølge av tall hovedfunksjon som er at det neste tallet er hentet fra det forrige ved å multiplisere med et bestemt tall. Dette uttrykkes med følgende formel.

a z +1 =a z q, hvor z er tallet på det valgte elementet.

Følgelig er z ∈ N.

Perioden når en geometrisk progresjon studeres på skolen er klasse 9. Eksempler vil hjelpe deg å forstå konseptet:

0.25 0.125 0.0625...

Basert på denne formelen kan nevneren for progresjonen bli funnet som følger:

Verken q eller b z kan være null. Hvert av elementene i progresjonen skal heller ikke være lik null.

Følgelig, for å finne ut det neste tallet i serien, må du multiplisere det siste med q.

For å spesifisere denne progresjonen, må du spesifisere dets første element og nevner. Etter det er det mulig å finne noen av de påfølgende vilkårene og summen deres.

Varianter

Avhengig av q og a 1 er denne progresjonen delt inn i flere typer:

• Hvis både a 1 og q er større enn én, så er en slik sekvens en geometrisk progresjon som øker med hvert neste element. Et eksempel på slikt er presentert nedenfor.

Eksempel: a 1 =3, q=2 - begge parameterne er større enn én.

Deretter kan den numeriske sekvensen skrives slik:

3 6 12 24 48 ...

• Hvis |q| mindre enn én, det vil si at multiplikasjon med det tilsvarer divisjon, så er en progresjon med lignende forhold en avtagende geometrisk progresjon. Et eksempel på slikt er presentert nedenfor.

Eksempel: a 1 =6, q=1/3 - a 1 er større enn én, q er mindre.

Deretter kan den numeriske sekvensen skrives som følger:

6 2 2/3 ... - ethvert element er 3 ganger større enn elementet etter det.

• Tegn-variabel. Hvis q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Eksempel: a 1 = -3 , q = -2 - begge parameterne er mindre enn null.

Deretter kan sekvensen skrives slik:

3, 6, -12, 24,...

Formler

For praktisk bruk av geometriske progresjoner er det mange formler:

• Formel for z-te medlem. Lar deg beregne elementet under et spesifikt tall uten å beregne de forrige tallene.

Eksempel:q = 3, en 1 = 4. Det kreves å beregne det fjerde elementet i progresjonen.

Løsning:en 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Summen av de første elementene hvis antall er z. Lar deg beregne summen av alle elementene i en sekvens opp tila zinklusive.

Siden (1-q) er i nevneren, så (1 - q)≠ 0, derfor er q ikke lik 1.

Merk: hvis q=1, vil progresjonen være en serie av et uendelig repeterende tall.

Summen av en geometrisk progresjon, eksempler:en 1 = 2, q= -2. Regn ut S 5 .

Løsning:S 5 = 22 - beregning etter formel.

• Beløp hvis |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Eksempel:en 1 = 2 , q= 0,5. Finn beløpet.

Løsning:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Noen egenskaper:

• karakteristisk egenskap. Hvis følgende tilstand utført for evtz, da er den gitte tallserien en geometrisk progresjon:

a z 2 = a z -1 · enz+1

• Dessuten finner man kvadratet til et hvilket som helst tall i en geometrisk progresjon ved å legge til kvadratene til to andre tall i en gitt serie, hvis de er like langt fra dette elementet.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Hvorter avstanden mellom disse tallene.

• Elementeravvike i qen gang.
• Logaritmene til progresjonselementene danner også en progresjon, men allerede aritmetikk, det vil si at hver av dem er større enn den forrige med et visst antall.

Eksempler på noen klassiske problemer

For bedre å forstå hva en geometrisk progresjon er, kan eksempler med en løsning for karakter 9 hjelpe.

• Betingelser:en 1 = 3, en 3 = 48. Finnq.

Løsning: hvert påfølgende element er større enn det forrige iq en gang.Det er nødvendig å uttrykke noen elementer gjennom andre ved å bruke en nevner.

Derfor,en 3 = q 2 · en 1

Ved erstatningq= 4

• Betingelser:en 2 = 6, en 3 = 12. Regn ut S 6 .

Løsning:For å gjøre dette er det nok å finne q, det første elementet og erstatte det med formelen.

en 3 = q· en 2 , derfor,q= 2

a 2 = q en 1,Derfor a 1 = 3

S 6 = 189

• · en 1 = 10, q= -2. Finn det fjerde elementet i progresjonen.

Løsning: for å gjøre dette er det nok å uttrykke det fjerde elementet gjennom det første og gjennom nevneren.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Applikasjonseksempel:

• Bankens klient foretok et innskudd på 10 000 rubler, under vilkårene som klienten hvert år vil legge til 6% av det til hovedbeløpet. Hvor mye penger er det på kontoen etter 4 år?

Løsning: Det opprinnelige beløpet er 10 tusen rubler. Så et år etter investeringen vil kontoen ha et beløp som tilsvarer 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Følgelig vil beløpet på kontoen etter et år bli uttrykt som følger:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Det vil si at hvert år øker beløpet med 1,06 ganger. Dette betyr at for å finne beløpet på kontoen etter 4 år, er det nok å finne det fjerde elementet i progresjonen, som er gitt av det første elementet lik 10 tusen, og nevneren lik 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Eksempler på oppgaver for å beregne summen:

I ulike oppgaver brukes en geometrisk progresjon. Et eksempel for å finne summen kan gis som følger:

en 1 = 4, q= 2, beregnS5.

Løsning: alle dataene som er nødvendige for beregningen er kjent, du trenger bare å erstatte dem med formelen.

S 5 = 124

• en 2 = 6, en 3 = 18. Regn ut summen av de seks første elementene.

Løsning:

Geom. progresjon, hvert neste element er q ganger større enn det forrige, det vil si at for å beregne summen, må du kjenne elementeten 1 og nevnerq.

en 2 · q = en 3

q = 3

På samme måte må vi finneen 1 , viteen 2 Ogq.

en 1 · q = en 2

a 1 =2

S 6 = 728.

En geometrisk progresjon er en numerisk sekvens, hvor det første leddet er ikke-null, og hvert neste ledd er lik det forrige leddet multiplisert med det samme tallet som ikke er null.

Konseptet med geometrisk progresjon

Den geometriske progresjonen er betegnet med b1,b2,b3, …, bn, … .

Forholdet mellom et ledd i den geometriske feilen og dets forrige ledd er lik det samme tallet, det vil si b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Dette følger direkte av definisjonen av en aritmetisk progresjon. Dette tallet kalles nevneren for en geometrisk progresjon. Vanligvis er nevneren for en geometrisk progresjon betegnet med bokstaven q.

Summen av en uendelig geometrisk progresjon for |q|<1

En måte å sette en geometrisk progresjon på er å sette dens første ledd b1 og nevneren for den geometriske feilen q. For eksempel, b1=4, q=-2. Disse to betingelsene gir en geometrisk progresjon på 4, -8, 16, -32, ….

Hvis q>0 (q er ikke lik 1), er progresjonen en monoton sekvens. For eksempel er sekvensen, 2, 4,8,16,32, ... en monotont økende sekvens (b1=2, q=2).

Hvis nevneren q=1 i den geometriske feilen, vil alle medlemmer av den geometriske progresjonen være lik hverandre. I slike tilfeller sies progresjonen å være en konstant sekvens.

For at den numeriske sekvensen (bn) skal være en geometrisk progresjon, er det nødvendig at hver av dens medlemmer, fra den andre, er det geometriske gjennomsnittet av naboelementene. Det vil si at det er nødvendig å oppfylle følgende ligning
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), for enhver n>0, der n tilhører settet med naturlige tall N.

La oss nå sette (Xn) - en geometrisk progresjon. Nevneren for den geometriske progresjonen q, med |q|∞).
Hvis vi nå betegner med S summen av en uendelig geometrisk progresjon, vil følgende formel gjelde:
S=xl/(1-q).

Tenk på et enkelt eksempel:

Finn summen av en uendelig geometrisk progresjon 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

For å finne S bruker vi formelen for summen av en uendelig aritmetisk progresjon. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.