hjem › Drivstoffsystem › Lag en aritmetisk progresjon av forskjellen. Aritmetisk progresjon - tallrekkefølge

Lag en aritmetisk progresjon av forskjellen. Aritmetisk progresjon - tallrekkefølge

Online kalkulator.
Aritmetisk progresjonsløsning.
Gitt: a n, d, n
Finn: en 1

Dette matematikkprogrammet finner $a_1$ av en aritmetisk progresjon basert på brukerspesifiserte tall $a_n, d $ og $n $.
Tallene $a_n$ og $d $ kan angis ikke bare som heltall, men også som brøker. Dessuten kan et brøktall angis i form av en desimalbrøk (\ (2,5 \)) og i formen vanlig brøk($-5\frac(2)(7) $).

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også prosessen med å finne en løsning.

Denne nettbaserte kalkulatoren kan være nyttig for elever på videregående skole allmennpedagogiske skoler som forberedelse til kontrollarbeid og eksamener, når du tester kunnskap før eksamen, foreldre til å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så fort som mulig? hjemmelekser matte eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med en detaljert løsning.

Dermed kan du gjennomføre din egen trening og/eller opplæring av deres yngre brødre eller søstre, samtidig som utdanningsnivået innen oppgavefelt som skal løses økes.

Dersom du ikke er kjent med reglene for inntasting av tall, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Regler for inntasting av tall

Tallene $a_n$ og $d $ kan angis ikke bare som heltall, men også som brøker.
Tallet $n$ kan bare være et positivt heltall.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
Heltalls- og brøkdelene i desimalbrøker kan skilles med enten en prikk eller et komma.
Du kan for eksempel angi desimaler som 2,5 eller 2,5

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ.

Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: /
Inndata:
Resultat: $-\frac(2)(3) $

Heltallsdelen er atskilt fra brøken med et og-tegnet: &
Inndata:
Resultat: $-1\frac(2)(3) $

Skriv inn tallene a n , d, n Finn en 1

Det ble funnet at noen skript som trengs for å løse denne oppgaven ikke ble lastet inn, og det kan hende at programmet ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

Du har deaktivert JavaScript i nettleseren din.
JavaScript må være aktivert for at løsningen skal vises.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som ønsker å løse problemet, forespørselen din står i kø.
Etter noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om det i tilbakemeldingsskjemaet .
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Numerisk rekkefølge

Nummerering brukes ofte i hverdagen. ulike gjenstander for å angi rekkefølgen deres. For eksempel er husene i hver gate nummerert. I biblioteket nummereres leserabonnementene og ordnes deretter i rekkefølgen til de tildelte numrene i spesielle arkivskap.

I en sparebank kan du enkelt finne denne kontoen etter nummeret på innskyters personlige konto og se hva slags innskudd den har. La det være et innskudd på a1 rubler på konto nr. 1, et innskudd på a2 rubler på konto nr. 2 osv. Det viser seg numerisk rekkefølge
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
der N er antallet av alle kontoer. Her er hvert naturlig tall n fra 1 til N tildelt et tall a n .

Matematikk studerer også uendelige tallsekvenser:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Tallet a 1 kalles det første medlemmet av sekvensen, nummer a 2 - det andre medlemmet av sekvensen, nummer a 3 - det tredje medlemmet av sekvensen etc.
Tallet a n kalles n'te (n'te) medlem av sekvensen, og det naturlige tallet n er dets Antall.

For eksempel, i sekvensen av kvadrater av naturlige tall 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2 , ... og 1 = 1 er det første medlemmet av sekvensen; og n = n 2 er nte medlem sekvenser; a n+1 = (n + 1) 2 er det (n + 1) (en pluss det første) medlemmet av sekvensen. Ofte kan en sekvens spesifiseres med formelen til dens n-te medlem. For eksempel gir formelen $a_n=\frac(1)(n), \; n \i \mathbb(N) $ sekvensen $1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots $

Aritmetisk progresjon

Lengden på et år er omtrent 365 dager. Mer eksakt verdi tilsvarer $365\frac(1)(4) $ dager, så hvert fjerde år akkumuleres en feil på én dag.

For å gjøre rede for denne feilen legges en dag til hvert fjerde år, og det langstrakte året kalles et skuddår.

For eksempel, i det tredje årtusenet er skuddår 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

I denne sekvensen er hvert medlem, fra det andre, lik det forrige, lagt til med samme nummer 4. Slike sekvenser kalles aritmetiske progresjoner.

Definisjon.
Den numeriske sekvensen a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... kalles aritmetisk progresjon, hvis for all naturlig n likheten
$a_(n+1) = a_n+d, $
hvor d er et tall.

Det følger av denne formelen at a n+1 - a n = d. Tallet d kalles differansen aritmetisk progresjon.

Per definisjon av en aritmetisk progresjon har vi:
$a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, $
hvor
$a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) $, hvor $n>1 $

Dermed er hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra den andre, lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to medlemmene ved siden av den. Dette forklarer navnet "aritmetisk" progresjon.

Legg merke til at hvis a 1 og d er gitt, kan de resterende leddene i den aritmetiske progresjonen beregnes ved å bruke den rekursive formelen a n+1 = a n + d. På denne måten er det ikke vanskelig å beregne de første leddene av progresjonen, men for eksempel for en 100 vil det allerede være nødvendig med mange beregninger. Vanligvis brukes den n-te termformelen for dette. I henhold til definisjonen av en aritmetisk progresjon
$a_2=a_1+d, $
$a_3=a_2+d=a_1+2d, $
$a_4=a_3+d=a_1+3d$
etc.
I det hele tatt,
$a_n=a_1+(n-1)d, $
fordi nte medlem aritmetisk progresjon oppnås fra første ledd ved å legge til (n-1) ganger tallet d.
Denne formelen kalles formel for det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon.

Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon

La oss finne summen av alle naturlige tall fra 1 til 100.
Vi skriver denne summen på to måter:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Vi legger til disse likestillingene termin for termin:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Det er 100 termer i denne summen.
Derfor er 2S = 101 * 100, hvorav S = 101 * 50 = 5050.

Tenk nå på en vilkårlig aritmetisk progresjon
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
La S n være summen av de første n leddene i denne progresjonen:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Deretter summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon er
$S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) $

Siden $a_n=a_1+(n-1)d $, og erstatter en n i denne formelen, får vi en annen formel for å finne summene av de første n leddene i en aritmetisk progresjon:
$S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) $

Bøker (lærebøker) Sammendrag av Unified State Examination og OGE-tester online Spill, puslespill Konstruksjon av grafer av funksjoner Staveordbok for det russiske språket Ordbok for ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over videregående skoler i Russland Katalog over russiske universiteter Liste over oppgaver

Eller aritmetikk - dette er en type ordnet numerisk sekvens, hvis egenskaper studeres i et skolealgebrakurs. Denne artikkelen diskuterer i detalj spørsmålet om hvordan man finner summen av en aritmetisk progresjon.

Hva er denne progresjonen?

Før du går videre til vurderingen av spørsmålet (hvordan finne summen av en aritmetisk progresjon), er det verdt å forstå hva som vil bli diskutert.

Enhver sekvens av reelle tall som oppnås ved å legge til (subtrahere) en verdi fra hvert forrige tall kalles en algebraisk (aritmetisk) progresjon. Denne definisjonen, oversatt til matematikkspråket, har formen:

Her er i ordenstallet til elementet i serien a i . Dermed kan du enkelt gjenopprette hele serien hvis du bare kjenner ett startnummer. Parameteren d i formelen kalles progresjonsforskjellen.

Det kan enkelt vises at følgende likhet gjelder for serien med tall som vurderes:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Det vil si, for å finne verdien av det n-te elementet i rekkefølge, legg til differansen d til det første elementet a 1 n-1 ganger.

Hva er summen av en aritmetisk progresjon: formel

Før du gir formelen for den angitte mengden, er det verdt å vurdere en enkel spesielt tilfelle. Gitt en progresjon av naturlige tall fra 1 til 10, må du finne summen deres. Siden det er få ledd i progresjonen (10), er det mulig å løse oppgaven front-on, det vil si summere alle elementene i rekkefølge.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Det er verdt å vurdere en interessant ting: siden hvert ledd er forskjellig fra det neste med samme verdi d \u003d 1, vil den parvise summeringen av den første med den tiende, den andre med den niende, og så videre gi det samme resultatet . Egentlig:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Som du kan se, er det bare 5 av disse summene, det vil si nøyaktig to ganger mindre enn antall elementer i serien. Deretter multipliserer du antall summer (5) med resultatet av hver sum (11), vil du komme til resultatet oppnådd i det første eksemplet.

Hvis vi generaliserer disse argumentene, kan vi skrive følgende uttrykk:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Dette uttrykket viser at det slett ikke er nødvendig å summere alle elementene på rad, det er nok å vite verdien av den første a 1 og den siste a n , og også totalt antall vilkår n.

Det antas at Gauss først tenkte på denne likheten da han lette etter en løsning på problemet satt av skolelæreren: å summere de første 100 heltallene.

Sum av elementer fra m til n: formel

Formelen gitt i forrige avsnitt svarer på spørsmålet om hvordan man finner summen av en aritmetisk progresjon (av de første elementene), men ofte i oppgaver er det nødvendig å summere en serie tall i midten av progresjonen. Hvordan gjøre det?

Den enkleste måten å svare på dette spørsmålet på er ved å vurdere følgende eksempel: la det være nødvendig å finne summen av ledd fra mnd til nth. For å løse oppgaven bør et gitt segment fra m til n av progresjonen representeres som en ny tallserie. I slike representasjon m-th ledd a m vil være det første, og n vil være nummerert n-(m-1). I dette tilfellet, ved å bruke standardformelen for summen, vil følgende uttrykk oppnås:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Eksempel på bruk av formler

Når du vet hvordan du finner summen av en aritmetisk progresjon, er det verdt å vurdere et enkelt eksempel på bruk av formlene ovenfor.

Nedenfor er en numerisk sekvens, du bør finne summen av medlemmene, fra den 5. og slutter med den 12.:

De oppgitte tallene indikerer at differansen d er lik 3. Ved å bruke uttrykket for det n'te elementet kan du finne verdiene til de 5. og 12. medlemmene av progresjonen. Det viser seg:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Når du kjenner verdiene til tallene på slutten av den algebraiske progresjonen som vurderes, og også vet hvilke tall i serien de opptar, kan du bruke formelen for summen oppnådd i forrige avsnitt. Få:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Det er verdt å merke seg at denne verdien kan oppnås annerledes: først, finn summen av de første 12 elementene ved å bruke standardformelen, beregn deretter summen av de første 4 elementene med samme formel, og trekk deretter den andre fra den første summen .

Hva Hovedpoenget formler?

Denne formelen lar deg finne noen VED HANS NUMMER" n" .

Selvfølgelig må du kunne første termin en 1 og progresjonsforskjell d, vel, uten disse parameterne kan du ikke skrive ned en spesifikk progresjon.

Det er ikke nok å huske (eller jukse) denne formelen. Det er nødvendig å assimilere essensen og bruke formelen i forskjellige problemer. Ja, og ikke glem til rett tid, ja ...) Hvordan ikke glem- Jeg vet ikke. Og her hvordan huske Om nødvendig gir jeg deg et hint. For de som mestrer leksjonen til slutten.)

Så la oss ta for oss formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon.

Hva er en formel generelt - vi forestiller oss.) Hva er en aritmetisk progresjon, et medlemsnummer, en progresjonsforskjell - er tydelig angitt i forrige leksjon. Ta en titt hvis du ikke har lest den. Alt er enkelt der. Det gjenstår å finne ut hva nte medlem.

progresjon i generelt syn kan skrives som en rekke tall:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....

en 1- betegner det første leddet i en aritmetisk progresjon, en 3- tredje medlem en 4- fjerde, og så videre. Hvis vi er interessert i den femte perioden, la oss si at vi jobber med en 5, hvis ett hundre og tjuende - fra en 120.

Hvordan definere generelt noen medlem av en aritmetisk progresjon, s noen Antall? Veldig enkelt! Som dette:

en n

Det er det det er n-te medlem av en aritmetisk progresjon. Under bokstaven n skjules alle medlemstallene på en gang: 1, 2, 3, 4 og så videre.

Og hva gir en slik plate oss? Bare tenk, i stedet for et tall, skrev de ned en bokstav ...

Denne notasjonen gir oss et kraftig verktøy for å arbeide med aritmetiske progresjoner. Bruke notasjonen en n, kan vi raskt finne noen medlem noen aritmetisk progresjon. Og en haug med oppgaver å løse i progresjon. Du vil se videre.

I formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon:

a n = a 1 + (n-1)d

en 1- det første medlemmet av den aritmetiske progresjonen;

n- medlemsnummer.

Formelen kobler sammen nøkkelparametrene for enhver progresjon: a n ; a 1; d Og n. Rundt disse parameterne kretser alle gåtene i progresjon.

Den n-te leddformelen kan også brukes til å skrive en bestemt progresjon. For eksempel, i oppgaven kan det sies at progresjonen er gitt av tilstanden:

a n = 5 + (n-1) 2.

Et slikt problem kan til og med forvirre ... Det er ingen serie, ingen forskjell ... Men ved å sammenligne tilstanden med formelen er det lett å finne ut at i denne progresjonen a 1 \u003d 5, og d \u003d 2.

Og det kan være enda sintere!) Hvis vi tar samme betingelse: a n = 5 + (n-1) 2, ja, åpne parentesene og gi lignende? Vi får en ny formel:

an = 3 + 2n.

Dette Bare ikke generelt, men for en spesifikk progresjon. Det er her fallgruven ligger. Noen tror at første termin er en treer. Selv om det første medlemmet i virkeligheten er en femmer ... Litt lavere vil vi jobbe med en slik modifisert formel.

I oppgaver for progresjon er det en annen notasjon - en n+1. Dette er, du gjettet riktig, "n pluss det første" leddet i progresjonen. Dens betydning er enkel og ufarlig.) Dette er et medlem av progresjonen, hvor tallet er større enn tallet n ganger en. For eksempel hvis i et problem vi tar for en n femte periode altså en n+1 blir det sjette medlemmet. Etc.

Oftest betegnelsen en n+1 forekommer i rekursive formler. Ikke vær redd for dette forferdelige ordet!) Dette er bare en måte å uttrykke et ledd i en aritmetisk progresjon på gjennom den forrige. Anta at vi får en aritmetisk progresjon i denne formen, ved å bruke den tilbakevendende formelen:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Den fjerde - gjennom den tredje, den femte - gjennom den fjerde, og så videre. Og hvordan telle umiddelbart, si det tjuende begrepet, en 20? Men ingen måte!) Mens den 19. termen ikke er kjent, kan den 20. ikke telles. Dette er den grunnleggende forskjellen mellom den rekursive formelen og formelen til det n-te leddet. Rekursiv virker bare gjennom tidligere begrep, og formelen til n'te ledd - gjennom først og tillater med en gang finn et medlem etter nummeret. Ikke teller hele tallserien i rekkefølge.

I en aritmetisk progresjon kan en rekursiv formel lett gjøres om til en vanlig. Tell et par påfølgende ledd, beregn differansen d, finn om nødvendig første ledd en 1, skriv formelen i vanlig form, og jobb med den. I GIA finnes ofte slike oppgaver.

Anvendelse av formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon.

La oss først se på den direkte anvendelsen av formelen. På slutten av forrige leksjon var det et problem:

Gitt en aritmetisk progresjon (a n). Finn en 121 hvis a 1 =3 og d=1/6.

Dette problemet kan løses uten formler, bare basert på betydningen av den aritmetiske progresjonen. Legg til, ja legg til ... En time eller to.)

Og i henhold til formelen vil løsningen ta mindre enn et minutt. Du kan time det.) Vi bestemmer.

Betingelsene gir alle data for bruk av formelen: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Det gjenstår å se hva n. Ikke noe problem! Vi må finne en 121. Her skriver vi:

Vær så snill, følg med! I stedet for en indeks n et spesifikt tall dukket opp: 121. Noe som er ganske logisk.) Vi er interessert i medlemmet av den aritmetiske progresjonen nummer hundre og tjueen. Dette blir vår n. Det er denne meningen n= 121 vil vi erstatte videre inn i formelen, i parentes. Bytt ut alle tallene i formelen og beregn:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Det er alt som skal til. Like raskt kunne man finne det fem hundre og tiende medlemmet, og det tusen og tredje, hvilket som helst. Vi setter i stedet nønsket nummer i indeksen til bokstaven " en" og i parentes, og vi vurderer.

La meg minne deg på essensen: denne formelen lar deg finne noen ledd for en aritmetisk progresjon VED HANS NUMMER" n" .

La oss løse problemet smartere. La oss si at vi har følgende problem:

Finn det første leddet i den aritmetiske progresjonen (a n) hvis a 17 =-2; d=-0,5.

Hvis du har noen problemer, vil jeg foreslå det første trinnet. Skriv ned formelen for det n. leddet i en aritmetisk progresjon! Ja Ja. Skriv for hånd, rett i notatboken din:

a n = a 1 + (n-1)d

Og nå, når vi ser på bokstavene i formelen, forstår vi hvilke data vi har og hva som mangler? Tilgjengelig d=-0,5, det er et syttende medlem ... Alt? Hvis du tror det er alt, så kan du ikke løse problemet, ja ...

Vi har også et nummer n! I tilstanden a 17 =-2 skjult to alternativer. Dette er både verdien av det syttende medlemmet (-2) og dets nummer (17). De. n=17. Denne "lille tingen" glir ofte forbi hodet, og uten den, (uten "den lille", ikke hodet!) kan ikke problemet løses. Selv om ... og uten hode også.)

Nå kan vi bare dumt erstatte dataene våre med formelen:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Å ja, en 17 vi vet det er -2. Ok, la oss legge det inn:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Det er i hovedsak alt. Det gjenstår å uttrykke det første leddet i den aritmetiske progresjonen fra formelen, og beregne. Du får svaret: a 1 = 6.

En slik teknikk - å skrive en formel og ganske enkelt erstatte kjente data - hjelper mye i enkle oppgaver. Vel, du må selvfølgelig kunne uttrykke en variabel fra en formel, men hva skal du gjøre!? Uten denne ferdigheten kan ikke matematikk studeres i det hele tatt ...

Et annet populært problem:

Finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen (a n) hvis a 1 =2; a 15 = 12.

Hva gjør vi? Du vil bli overrasket, vi skriver formelen!)

a n = a 1 + (n-1)d

Tenk på hva vi vet: a1=2; a15=12; og (spesielt høydepunkt!) n=15. Erstatt gjerne i formelen:

12=2 + (15-1)d

La oss regne.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Dette er det riktige svaret.

Så, oppgaver en n, en 1 Og d besluttet. Det gjenstår å lære hvordan du finner nummeret:

Tallet 99 er medlem av en aritmetisk progresjon (a n), hvor a 1 =12; d=3. Finn nummeret til dette medlemmet.

Vi erstatter de kjente mengdene i formelen til det n-te leddet:

a n = 12 + (n-1) 3

Ved første øyekast er det to ukjente mengder her: a n og n. Men en n er noen medlem av progresjonen med nummeret n... Og dette medlemmet av progresjonen kjenner vi! Det er 99. Vi vet ikke nummeret hans. n, så dette nummeret må også finnes. Bytt ut progresjonsleddet 99 med formelen:

99 = 12 + (n-1) 3

Vi uttrykker fra formelen n, vi tror. Vi får svaret: n=30.

Og nå et problem om samme emne, men mer kreativt):

Bestem om tallet 117 vil være et medlem av en aritmetisk progresjon (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

La oss skrive formelen på nytt. Hva, det er ingen alternativer? Hm... Hvorfor trenger vi øyne?) Ser vi det første medlemmet av progresjonen? Vi ser. Dette er -3,6. Du kan trygt skrive: a 1 \u003d -3.6. Forskjell d kan bestemmes ut fra serien? Det er enkelt hvis du vet hva forskjellen på en aritmetisk progresjon er:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Ja, vi gjorde det enkleste. Det gjenstår å forholde seg til et ukjent nummer n og et uforståelig tall 117. I forrige oppgave var det i hvert fall kjent at det var terminen for progresjonen som ble gitt. Men her vet vi ikke engang at ... Hvordan være!? Vel, hvordan være, hvordan være... Slå på Kreative ferdigheter!)

Vi anta at 117 tross alt er et medlem av vår progresjon. Med ukjent nummer n. Og, akkurat som i forrige oppgave, la oss prøve å finne dette nummeret. De. vi skriver formelen (ja-ja!)) og erstatter tallene våre:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Igjen uttrykker vi fra formelenn, vi teller og får:

Oops! Tallet viste seg brøkdel! Hundre og en og en halv. Og brøktall i progresjoner Kan ikke være. Hvilken konklusjon trekker vi? Ja! Nummer 117 er ikke medlem av vår progresjon. Det er et sted mellom 101. og 102. medlemmer. Dersom tallet viste seg å være naturlig, dvs. positivt heltall, så vil tallet være et medlem av progresjonen med det funnet tallet. Og i vårt tilfelle vil svaret på problemet være: Nei.

Oppgave basert på en ekte versjon av GIA:

Aritmetisk progresjon gitt av betingelsen:

a n \u003d -4 + 6,8n

Finn første og tiende ledd i progresjonen.

Her er progresjonen satt på en uvanlig måte. En slags formel ... Det skjer.) Men denne formelen (som jeg skrev ovenfor) - også formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon! Hun tillater også finn et medlem av progresjonen etter nummeret.

Vi ser etter det første medlemmet. Den som tenker. at første ledd er minus fire, tar fatalt feil!) Fordi formelen i oppgaven er modifisert. Det første leddet i en aritmetisk progresjon i den skjult. Ingenting, vi finner det nå.)

Akkurat som i de tidligere oppgavene vikarerer vi n=1 inn i denne formelen:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Her! Første ledd er 2,8, ikke -4!

Tilsvarende ser vi etter den tiende termen:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Det er alt som skal til.

Og nå, for de som har lest opp til disse linjene, den lovede bonusen.)

Anta at du i en vanskelig kampsituasjon med GIA eller Unified State Exam glemte den nyttige formelen til det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon. Noe kommer til hjernen, men på en eller annen måte usikkert ... Om n der, eller n+1, eller n-1... Hvordan være!?

Rolig! Denne formelen er lett å utlede. Ikke veldig streng, men definitivt nok for selvtillit og riktig avgjørelse!) For konklusjonen er det nok å huske den elementære betydningen av den aritmetiske progresjonen og ha et par minutter med tid. Du trenger bare å tegne et bilde. For klarhet.

Vi tegner en numerisk akse og markerer den første på den. andre, tredje osv. medlemmer. Og merk forskjellen d mellom medlemmene. Som dette:

Vi ser på bildet og tenker: hva er det andre leddet lik? Sekund en d:

en 2 =a 1 + 1 d

Hva er det tredje begrepet? Tredje termin er lik første termin pluss to d.

en 3 =a 1 + 2 d

Forstår du det? Jeg setter ikke noen ord med fet skrift for ingenting. Ok, ett skritt til.)

Hva er fjerde termin? Fjerde termin er lik første termin pluss tre d.

en 4 =a 1 + 3 d

Det er på tide å innse at antall hull, dvs. d, Alltid ett mindre enn antallet til medlemmet du leter etter n. Det vil si opp til antallet n, antall hull vil n-1. Så formelen vil være (ingen alternativer!):

a n = a 1 + (n-1)d

Generelt er visuelle bilder svært nyttige for å løse mange problemer i matematikk. Ikke overse bildene. Men hvis det er vanskelig å tegne et bilde, så ... bare en formel!) I tillegg lar formelen til det n-te leddet deg koble hele det kraftige arsenalet av matematikk til løsningen - likninger, ulikheter, systemer, etc. Du kan ikke sette et bilde inn i en ligning...

Oppgaver for selvstendig beslutning.

For oppvarming:

1. I aritmetisk progresjon (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Finn en 3.

Hint: ifølge bildet er problemet løst på 20 sekunder ... Ifølge formelen viser det seg vanskeligere. Men for å mestre formelen er den mer nyttig.) I seksjon 555 løses dette problemet både av bildet og av formelen. Føl forskjellen!)

Og dette er ikke lenger en oppvarming.)

2. I aritmetisk progresjon (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Finn en 3 .

Hva, motvilje mot å tegne et bilde?) Likevel! Det er bedre i formelen, ja ...

3. Aritmetisk progresjon er gitt av tilstanden:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finn det hundre og tjuefemte leddet i denne progresjonen.

I denne oppgaven gis progresjonen på en tilbakevendende måte. Men å telle opp til den hundre og tjuefemte termin... Ikke alle kan gjøre en slik bragd.) Men formelen til n-te ledd er innenfor makten til alle!

4. Gitt en aritmetisk progresjon (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Finn tallet på det minste positive leddet i progresjonen.

5. I henhold til betingelsen i oppgave 4, finn summen av de minste positive og største negative medlemmene av progresjonen.

6. Produktet av femte og tolvte ledd av en økende aritmetisk progresjon er -2,5, og summen av tredje og ellevte ledd er null. Finn en 14.

Ikke den enkleste oppgaven, ja ...) Her vil ikke metoden "på fingrene" fungere. Du må skrive formler og løse ligninger.

Svar (i uorden):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Skjedd? Det er fint!)

Ikke alt ordner seg? Skjer. Forresten, i siste oppdrag det er ett subtilt poeng. Oppmerksomhet når du leser problemet vil være nødvendig. Og logikk.

Løsningen på alle disse problemene er diskutert i detalj i seksjon 555. Og fantasielementet for det fjerde, og det subtile øyeblikket for det sjette, og generelle tilnærminger for å løse eventuelle problemer for formelen til det n-te leddet - alt er malt. Jeg anbefaler.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.

Ja, ja: aritmetisk progresjon er ikke et leketøy for deg :)

Vel, venner, hvis du leser denne teksten, så forteller de interne cap-bevisene meg at du fortsatt ikke vet hva en aritmetisk progresjon er, men du vil virkelig (nei, slik: SÅÅÅÅ!) vite det. Derfor vil jeg ikke plage deg med lange introduksjoner og vil umiddelbart gå i gang.

For å starte, et par eksempler. Vurder flere sett med tall:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Hva har alle disse settene til felles? Ved første øyekast ingenting. Men faktisk er det noe. Nemlig: hvert neste element skiller seg fra det forrige med samme tall.

Døm selv. Det første settet er bare påfølgende tall, hvert av dem flere enn det forrige. I det andre tilfellet er forskjellen mellom tilstøtende tall allerede lik fem, men denne forskjellen er fortsatt konstant. I det tredje tilfellet er det røtter generelt. Imidlertid, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mens $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dvs. i så fall øker hvert neste element ganske enkelt med $\sqrt(2)$ (og ikke vær redd for at dette tallet er irrasjonelt).

Altså: alle slike sekvenser kalles bare aritmetiske progresjoner. La oss gi en streng definisjon:

Definisjon. En tallsekvens der hver neste skiller seg fra den forrige med nøyaktig samme mengde kalles en aritmetisk progresjon. Selve beløpet som tallene avviker med kalles progresjonsforskjellen og er oftest betegnet med bokstaven $d$.

Notasjon: $\left(((a)_(n)) \right)$ er selve progresjonen, $d$ er forskjellen.

Og bare et par viktige bemerkninger. For det første vurderes kun progresjon ryddig rekkefølge av tall: de er tillatt å lese strengt i den rekkefølgen de er skrevet i - og ingenting annet. Du kan ikke omorganisere eller bytte tall.

For det andre kan sekvensen i seg selv være enten endelig eller uendelig. For eksempel er mengden (1; 2; 3) åpenbart en endelig aritmetisk progresjon. Men hvis du skriver noe i ånden (1; 2; 3; 4; ...) - er dette allerede uendelig progresjon. Ellipsen etter de fire antyder så å si at ganske mange tall går lenger. Uendelig mange, for eksempel. :)

Jeg vil også merke meg at progresjonene øker og avtar. Vi har allerede sett økende - samme sett (1; 2; 3; 4; ...). Her er eksempler på avtagende progresjoner:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: siste eksempel kan virke altfor komplisert. Men resten tror jeg du skjønner. Derfor introduserer vi nye definisjoner:

Definisjon. En aritmetisk progresjon kalles:

øker hvis hvert neste element er større enn det forrige;

avtagende, hvis tvert imot hvert påfølgende element er mindre enn det forrige.

I tillegg er det såkalte "stasjonære" sekvenser - de består av samme repeterende nummer. For eksempel (3; 3; 3; ...).

Bare ett spørsmål gjenstår: hvordan skille en økende progresjon fra en avtagende? Heldigvis avhenger alt her kun av tegnet til tallet $d$, dvs. progresjonsforskjeller:

Hvis $d \gt 0$, øker progresjonen;
Hvis $d \lt 0$, så er progresjonen åpenbart synkende;
Til slutt er det tilfellet $d=0$ - i dette tilfellet reduseres hele progresjonen til en stasjonær sekvens av identiske tall: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

La oss prøve å beregne forskjellen $d$ for de tre avtagende progresjonene ovenfor. For å gjøre dette er det nok å ta to tilstøtende elementer (for eksempel den første og andre) og trekke fra tallet til høyre, tallet til venstre. Det vil se slik ut:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Som du kan se, viste forskjellen seg i alle tre tilfellene å være negativ. Og nå som vi mer eller mindre har funnet ut av definisjonene, er det på tide å finne ut hvordan progresjoner beskrives og hvilke egenskaper de har.

Medlemmer av progresjonen og den tilbakevendende formelen

Siden elementene i sekvensene våre ikke kan byttes ut, kan de nummereres:

\[\venstre(((a)_(n)) \høyre)=\venstre$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \Ikke sant$\]

Individuelle elementer i dette settet kalles medlemmer av progresjonen. De er indikert på denne måten ved hjelp av et tall: det første medlemmet, det andre medlemmet, og så videre.

I tillegg, som vi allerede vet, er nabomedlemmer av progresjonen relatert med formelen:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Høyrepil ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kort sagt, for å finne $n$th ledd i progresjonen, må du kjenne $n-1$th ledd og forskjellen $d$. En slik formel kalles tilbakevendende, fordi med dens hjelp kan du finne et hvilket som helst tall, bare kjenne den forrige (og faktisk alle de forrige). Dette er veldig upraktisk, så det er en mer vanskelig formel som reduserer enhver beregning til det første leddet og forskjellen:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \høyre)d\]

Du har sikkert vært borti denne formelen før. De liker å gi det i alle slags oppslagsverk og reshebniks. Og i enhver fornuftig lærebok i matematikk er den en av de første.

Jeg foreslår imidlertid at du øver deg litt.

Oppgave nummer 1. Skriv ned de tre første leddene i den aritmetiske progresjonen $\left(((a)_(n)) \right)$ hvis $((a)_(1))=8,d=-5$.

Løsning. Så vi kjenner det første leddet $((a)_(1))=8$ og progresjonsforskjellen $d=-5$. La oss bruke formelen som nettopp ble gitt og erstatte $n=1$, $n=2$ og $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\venstre(1-1 \høyre)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\venstre(2-1 \høyre)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\venstre(3-1 \høyre)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Svar: (8; 3; -2)

Det er alt! Merk at progresjonen vår er synkende.

Selvfølgelig kunne ikke $n=1$ blitt erstattet - vi kjenner allerede den første termen. Ved å erstatte enheten sørget vi imidlertid for at formelen vår fungerer selv for første termin. I andre tilfeller gikk alt ned på banal aritmetikk.

Oppgave nummer 2. Skriv ut de tre første leddene i en aritmetisk progresjon hvis dens syvende ledd er −40 og dens syttende ledd er −50.

Løsning. Vi skriver tilstanden til problemet på vanlige vilkår:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Ikke sant.\]

Jeg setter systemets tegn fordi disse kravene må oppfylles samtidig. Og nå legger vi merke til at hvis vi trekker den første likningen fra den andre likningen (vi har rett til å gjøre dette, fordi vi har et system), får vi dette:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\venstre(((a)_(1))+6d \right)=-50-\venstre(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Akkurat sånn fant vi progresjonsforskjellen! Det gjenstår å erstatte det funnet tallet i noen av likningene i systemet. For eksempel, i den første:

\[\begin(matrise) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrise)\]

Nå, når du kjenner det første leddet og forskjellen, gjenstår det å finne det andre og tredje leddet:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Klar! Problem løst.

Svar: (-34; -35; -36)

Legg merke til en merkelig egenskap ved progresjonen som vi oppdaget: hvis vi tar $n$th og $m$th leddene og trekker dem fra hverandre, får vi forskjellen av progresjonen multiplisert med tallet $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \venstre(n-m \høyre)\]

Enkelt, men veldig nyttig eiendom, som du definitivt trenger å vite - med dens hjelp kan du betydelig fremskynde løsningen av mange problemer i progresjon. Her er et godt eksempel på dette:

Oppgave nummer 3. Det femte leddet i den aritmetiske progresjonen er 8,4, og dets tiende ledd er 14,4. Finn det femtende leddet i denne progresjonen.

Løsning. Siden $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, og vi må finne $((a)_(15))$, legger vi merke til følgende:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Men etter betingelse $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, så $5d=6$, hvorfra har vi:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Svar: 20.4

Det er alt! Vi trengte ikke å komponere noen ligningssystemer og beregne det første leddet og forskjellen - alt ble bestemt på bare et par linjer.

La oss nå vurdere en annen type problem - søket etter negative og positive medlemmer av progresjonen. Det er ingen hemmelighet at hvis progresjonen øker, mens den første termen er negativ, vil før eller siden positive termer vises i den. Og omvendt: vilkårene for en avtagende progresjon vil før eller siden bli negative.

Samtidig er det langt fra alltid mulig å finne dette øyeblikket "på pannen", og sortere sekvensielt gjennom elementene. Ofte er problemer utformet på en slik måte at uten å kunne formlene, ville beregninger ta flere ark - vi ville bare sovne til vi fant svaret. Derfor vil vi prøve å løse disse problemene på en raskere måte.

Oppgave nummer 4. Hvor mange negative ledd i en aritmetisk progresjon -38,5; -35,8; …?

Løsning. Så $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, hvorfra vi umiddelbart finner forskjellen:

Merk at forskjellen er positiv, så progresjonen øker. Det første leddet er negativt, så på et tidspunkt vil vi faktisk snuble over positive tall. Spørsmålet er bare når dette vil skje.

La oss prøve å finne ut: hvor lenge (dvs. opp til hvilket naturlig tall $n$) negativiteten til begrepene er bevart:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Høyrepil ((a)_(1))+\venstre(n-1 \høyre)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \venstre(n-1 \høyre) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Høyrepil ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Den siste linjen trenger avklaring. Så vi vet at $n \lt 15\frac(7)(27)$. På den annen side vil bare heltallsverdier av tallet passe oss (også: $n\in \mathbb(N)$), så det største tillatte tallet er nøyaktig $n=15$, og ikke i noe tilfelle 16.

Oppgave nummer 5. I aritmetisk progresjon $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Finn nummeret på det første positive leddet i denne progresjonen.

Dette ville være nøyaktig det samme problemet som det forrige, men vi vet ikke $((a)_(1))$. Men nabobegrepene er kjent: $((a)_(5))$ og $((a)_(6))$, så vi kan enkelt finne progresjonsforskjellen:

I tillegg, la oss prøve å uttrykke det femte leddet i form av det første og forskjellen ved å bruke standardformelen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nå fortsetter vi analogt med det forrige problemet. Vi finner ut på hvilket tidspunkt i sekvensen vår positive tall vil vises:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Høyrepil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Minimum heltallsløsning av denne ulikheten er tallet 56.

Vær oppmerksom på at i den siste oppgaven ble alt redusert til streng ulikhet, så alternativet $n=55$ vil ikke passe oss.

Nå som vi har lært å løse enkle problemer, la oss gå videre til mer komplekse. Men først, la oss lære en annen veldig nyttig egenskap ved aritmetiske progresjoner, som vil spare oss for mye tid og ulik celler i fremtiden. :)

Aritmetisk gjennomsnitt og like innrykk

Tenk på flere påfølgende ledd i den økende aritmetiske progresjonen $\left(((a)_(n)) \right)$. La oss prøve å merke dem på en talllinje:

Aritmetiske progresjonsmedlemmer på talllinjen

Jeg la spesielt merke til de vilkårlige medlemmene $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, og ikke noen $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ osv. Fordi regelen, som jeg nå skal fortelle deg, fungerer på samme måte for alle "segmenter".

Og regelen er veldig enkel. La oss huske den rekursive formelen og skrive den ned for alle merkede medlemmer:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Imidlertid kan disse likhetene omskrives annerledes:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Vel, hva så? Men det faktum at begrepene $((a)_(n-1))$ og $((a)_(n+1))$ ligger i samme avstand fra $((a)_(n)) $ . Og denne avstanden er lik $d$. Det samme kan sies om begrepene $((a)_(n-2))$ og $((a)_(n+2))$ - de er også fjernet fra $((a)_(n) )$ med samme avstand lik $2d$. Du kan fortsette i det uendelige, men bildet illustrerer meningen godt

Medlemmene av progresjonen ligger i samme avstand fra sentrum

Hva betyr dette for oss? Dette betyr at du kan finne $((a)_(n))$ hvis nabotallene er kjent:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vi har utledet et fantastisk utsagn: hvert medlem av en aritmetisk progresjon er lik det aritmetiske gjennomsnittet til nabomedlemmene! Dessuten kan vi avvike fra $((a)_(n))$ til venstre og høyre, ikke med ett trinn, men med $k$ trinn - og fortsatt vil formelen være riktig:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]

De. vi kan enkelt finne noen $((a)_(150))$ hvis vi kjenner $((a)_(100))$ og $((a)_(200))$, fordi $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Ved første øyekast kan det virke som at dette faktum ikke gir oss noe nyttig. Men i praksis er mange oppgaver spesielt "skjerpet" for bruk av det aritmetiske gjennomsnittet. Ta en titt:

Oppgave nummer 6. Finn alle verdiene av $x$ slik at tallene $-6((x)^(2))$, $x+1$ og $14+4((x)^(2))$ er påfølgende medlemmer av en aritmetisk progresjon (i spesifisert rekkefølge).

Løsning. Siden disse tallene er medlemmer av en progresjon, er den aritmetiske gjennomsnittsbetingelsen oppfylt for dem: det sentrale elementet $x+1$ kan uttrykkes i form av naboelementer:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Det ble klassisk kvadratisk ligning. Dens røtter: $x=2$ og $x=-3$ er svarene.

Svar: -3; 2.

Oppgave nummer 7. Finn verdiene til $$ slik at tallene $-1;4-3;(()^(2))+1$ danner en aritmetisk progresjon (i den rekkefølgen).

Løsning. Igjen uttrykker vi mellomleddet i form av det aritmetiske gjennomsnittet av naboledd:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \venstre| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

En annen andregradsligning. Og igjen to røtter: $x=6$ og $x=1$.

Svar: 1; 6.

Hvis du i ferd med å løse et problem får noen brutale tall, eller du ikke er helt sikker på riktigheten av svarene som er funnet, så er det et fantastisk triks som lar deg sjekke: løste vi problemet riktig?

La oss si at vi i oppgave 6 fikk svar -3 og 2. Hvordan kan vi sjekke at disse svarene er riktige? La oss bare koble dem til den opprinnelige tilstanden og se hva som skjer. La meg minne deg på at vi har tre tall ($-6(()^(2))$, $+1$ og $14+4(()^(2))$), som skal danne en aritmetisk progresjon. Erstatt $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Høyrepil \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Vi fikk tallene -54; −2; 50 som avviker med 52 er utvilsomt en aritmetisk progresjon. Det samme skjer for $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Høyrepil \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Igjen en progresjon, men med en forskjell på 27. Dermed er problemet løst riktig. De som ønsker det kan sjekke den andre oppgaven på egen hånd, men jeg vil si med en gang: alt er riktig også der.

Generelt, mens vi løste de siste oppgavene, snublet vi over en annen interessant fakta, som også må huskes:

Hvis tre tall er slik at det andre er gjennomsnittet av det første og siste, danner disse tallene en aritmetisk progresjon.

I fremtiden vil forståelsen av denne uttalelsen tillate oss å bokstavelig talt "konstruere" de nødvendige progresjonene basert på tilstanden til problemet. Men før vi engasjerer oss i en slik "konstruksjon", bør vi ta hensyn til enda et faktum, som følger direkte av det som allerede er vurdert.

Gruppering og sum av elementer

La oss gå tilbake til talllinjen igjen. Vi noterer der flere medlemmer av progresjonen, mellom hvilke kanskje. verdt mange andre medlemmer:

6 elementer markert på talllinjen

La oss prøve å uttrykke "venstre hale" i form av $((a)_(n))$ og $d$, og "høyre hale" i form av $((a)_(k))$ og $ d$. Det er veldig enkelt:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Merk nå at følgende summer er like:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Enkelt sagt, hvis vi som en start betrakter to elementer av progresjonen, som totalt er lik et eller annet tall $S$, og så begynner vi å gå fra disse elementene i motsatte retninger (mot hverandre eller omvendt for å bevege oss bort), deretter summene av elementene som vi kommer til å snuble over vil også være like$S$. Dette kan best representeres grafisk:

Samme innrykk gir like summer

Forståelse denne faktaen vil tillate oss å løse problemer grunnleggende mer høy level kompleksitet enn de som er omtalt ovenfor. For eksempel disse:

Oppgave nummer 8. Bestem forskjellen på en aritmetisk progresjon der første ledd er 66, og produktet av andre og tolvte ledd er minst mulig.

Løsning. La oss skrive ned alt vi vet:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Så vi vet ikke forskjellen på progresjonen $d$. Faktisk vil hele løsningen bygges rundt forskjellen, siden produktet $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ kan skrives om som følger:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \venstre(d+66 \høyre)\cdot \venstre(d+6 \høyre). \end(align)\]

For de i tanken: Jeg har tatt fellesfaktor 11 ut av den andre braketten. Dermed er det ønskede produktet en kvadratisk funksjon med hensyn til variabelen $d$. Tenk derfor på funksjonen $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafen vil være en parabel med grener opp, fordi hvis vi åpner parentesene får vi:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Som du kan se, er koeffisienten på høyeste ledd 11 - dette er positivt tall, så vi har egentlig å gjøre med en parabel med grener opp:

graf av en kvadratisk funksjon - parabel
Vær oppmerksom på: denne parabelen tar minimumsverdien i toppunktet med abscissen $((d)_(0))$. Selvfølgelig kan vi beregne denne abscissen i henhold til standardskjemaet (det er en formel $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), men det ville være mye mer rimelig å legg merke til at ønsket toppunkt ligger på aksesymmetrien til parablen, så punktet $((d)_(0))$ er like langt fra røttene til ligningen $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Derfor hadde jeg ikke hastverk med å åpne brakettene: i den opprinnelige formen var røttene veldig, veldig enkle å finne. Derfor er abscissen lik det aritmetiske gjennomsnittet av tallene −66 og −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Hva gir oss det oppdagede tallet? Med det tar det nødvendige produktet minste verdi(Vi har forresten ikke beregnet $((y)_(\min ))$ - vi er ikke pålagt å gjøre dette). Samtidig er dette tallet forskjellen på den innledende progresjonen, dvs. vi fant svaret :)

Svar: -36

Oppgave nummer 9. Sett inn tre tall mellom tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac(1)(6)$ slik at de sammen med de gitte tallene danner en aritmetisk progresjon.

Løsning. Faktisk må vi lage en sekvens med fem tall, med den første og siste nummer allerede kjent. Angi de manglende tallene med variablene $x$, $y$ og $z$:

\[\venstre(((a)_(n)) \right)=\venstre\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Merk at tallet $y$ er "midten" av sekvensen vår - det er like langt fra tallene $x$ og $z$, og fra tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac (1)(6)$. Og hvis vi er med fra tallene $x$ og $z$ dette øyeblikket vi kan ikke få $y$, da er situasjonen annerledes med endene av progresjonen. Husk det aritmetiske gjennomsnittet:

Når vi nå kjenner $y$, vil vi finne de gjenværende tallene. Merk at $x$ ligger mellom $-\frac(1)(2)$ og $y=-\frac(1)(3)$ nettopp funnet. Derfor

Ved å argumentere på samme måte finner vi det gjenværende tallet:

Klar! Vi fant alle tre tallene. La oss skrive dem ned i svaret i den rekkefølgen de skal settes inn mellom de opprinnelige tallene.

Svar: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Oppgave nummer 10. Mellom tallene 2 og 42 setter du inn flere tall som sammen med de gitte tallene danner en aritmetisk progresjon, hvis det er kjent at summen av det første, andre og siste av de innsatte tallene er 56.

Løsning. En enda vanskeligere oppgave, som imidlertid løses på samme måte som de foregående – gjennom det aritmetiske gjennomsnittet. Problemet er at vi ikke vet nøyaktig hvor mange tall vi skal sette inn. Derfor antar vi for nøyaktighetens skyld at etter innsetting vil det være nøyaktig $n$ tall, og det første av dem er 2, og det siste er 42. I dette tilfellet kan den ønskede aritmetiske progresjonen representeres som:

\[\venstre(((a)_(n)) \høyre)=\venstre$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Vær imidlertid oppmerksom på at tallene $((a)_(2))$ og $((a)_(n-1))$ er hentet fra tallene 2 og 42 som står i kantene med ett skritt mot hverandre , dvs. til midten av sekvensen. Og dette betyr det

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Men så kan uttrykket ovenfor omskrives slik:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \venstre(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Når vi kjenner $((a)_(3))$ og $((a)_(1))$, kan vi enkelt finne progresjonsforskjellen:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\venstre(3-1 \høyre)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Høyrepil d=5. \\ \end(align)\]

Det gjenstår bare å finne de gjenværende medlemmene:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Dermed vil vi allerede på 9. trinn komme til venstre ende av sekvensen - tallet 42. Totalt måtte bare 7 tall settes inn: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Svar: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstoppgaver med progresjoner

Avslutningsvis vil jeg ta for meg et par relativt enkle problemer. Vel, som enkle: For de fleste elever som studerer matematikk på skolen og ikke har lest det som er skrevet ovenfor, kan disse oppgavene virke som en gest. Likevel er det nettopp slike oppgaver som kommer over i OGE og BRUK i matematikk, så jeg anbefaler at du setter deg inn i dem.

Oppgave nummer 11. Teamet produserte 62 deler i januar, og i hver påfølgende måned produserte de 14 flere deler enn i den forrige. Hvor mange deler produserte brigaden i november?

Løsning. Det er klart at antall deler, malt etter måned, vil være en økende aritmetisk progresjon. Og:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\venstre(n-1 \høyre)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November er den 11. måneden i året, så vi må finne $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Derfor skal 202 deler produseres i november.

Oppgave nummer 12. Bokbinderverkstedet bandt inn 216 bøker i januar, og hver måned bandt det inn 4 flere bøker enn forrige måned. Hvor mange bøker bandt verkstedet i desember?

Løsning. Alt det samme:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\venstre(n-1 \høyre)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember er den siste, 12. måneden i året, så vi ser etter $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Dette er svaret – 260 bøker bindes inn i desember.

Vel, hvis du har lest så langt, skynder jeg meg å gratulere deg: du har fullført "Young fighter-kurset" i aritmetiske progresjoner. Du kan trygt gå til neste leksjon, hvor vi skal studere progresjonssumformelen, samt viktige og svært nyttige konsekvenser av den.

Hvis hvert naturlig tall n samsvarer med et reelt tall en n , så sier de at gitt nummerrekkefølge :

en 1 , en 2 , en 3 , . . . , en n , . . . .

Så en numerisk sekvens er en funksjon av et naturlig argument.

Antall en 1 kalt det første medlemmet av sekvensen , Antall en 2 — det andre medlemmet av sekvensen , Antall en 3 — tredje og så videre. Antall en n kalt nte medlem av sekvensen , og det naturlige tallet n — nummeret hans .

Fra to nabomedlemmer en n Og en n +1 medlemssekvenser en n +1 kalt senere (mot en n ), A en n — tidligere (mot en n +1 ).

For å spesifisere en sekvens, må du spesifisere en metode som lar deg finne et sekvensmedlem med et hvilket som helst tall.

Ofte er rekkefølgen gitt med nth term formler , det vil si en formel som lar deg bestemme et sekvensmedlem ved nummeret.

For eksempel,

sekvensen av positive oddetall kan gis av formelen

en n= 2n- 1,

og sekvensen av alternerende 1 Og -1 - formel

b n = (-1)n +1 . ◄

Rekkefølgen kan bestemmes tilbakevendende formel, det vil si en formel som uttrykker et hvilket som helst medlem av sekvensen, starter med noen, gjennom de forrige (ett eller flere) medlemmene.

For eksempel,

Hvis en 1 = 1 , A en n +1 = en n + 5

en 1 = 1,

en 2 = en 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

en 3 = en 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

en 4 = en 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

en 5 = en 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Hvis en 1= 1, en 2 = 1, en n +2 = en n + en n +1 , deretter settes de første syv medlemmene av den numeriske sekvensen som følger:

en 1 = 1,

en 2 = 1,

en 3 = en 1 + en 2 = 1 + 1 = 2,

en 4 = en 2 + en 3 = 1 + 2 = 3,

en 5 = en 3 + en 4 = 2 + 3 = 5,

en 6 = en 4 + en 5 = 3 + 5 = 8,

en 7 = en 5 + en 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenser kan være endelig Og endeløs .

Sekvensen kalles ultimat hvis den har et begrenset antall medlemmer. Sekvensen kalles endeløs hvis den har uendelig mange medlemmer.

For eksempel,

rekkefølge av tosifrede naturlige tall:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

endelig.

Primtallssekvens:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endeløs. ◄

Sekvensen kalles økende , hvis hvert av medlemmene, fra det andre, er større enn det forrige.

Sekvensen kalles avtar , hvis hvert av medlemmene, fra det andre, er mindre enn det forrige.

For eksempel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . er en stigende sekvens;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . er en synkende sekvens. ◄

En sekvens hvis elementer ikke reduseres med økende antall, eller omvendt ikke øker, kalles monoton sekvens .

Monotoniske sekvenser er spesielt økende sekvenser og avtagende sekvenser.

Aritmetisk progresjon

Aritmetisk progresjon en sekvens kalles, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik den forrige, som det samme tallet er lagt til.

en 1 , en 2 , en 3 , . . . , en n, . . .

er en aritmetisk progresjon hvis for et hvilket som helst naturlig tall n betingelsen er oppfylt:

en n +1 = en n + d,

Hvor d - et nummer.

Dermed er forskjellen mellom de neste og de forrige medlemmene av en gitt aritmetisk progresjon alltid konstant:

en 2 - en 1 = en 3 - en 2 = . . . = en n +1 - en n = d.

Antall d kalt forskjellen på en aritmetisk progresjon.

For å angi en aritmetisk progresjon, er det nok å spesifisere det første leddet og forskjellen.

For eksempel,

Hvis en 1 = 3, d = 4 , så finnes de fem første leddene i sekvensen som følger:

en 1 =3,

en 2 = en 1 + d = 3 + 4 = 7,

en 3 = en 2 + d= 7 + 4 = 11,

en 4 = en 3 + d= 11 + 4 = 15,

en 5 = en 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

For en aritmetisk progresjon med første ledd en 1 og forskjell d henne n

en n = en 1 + (n- 1)d.

For eksempel,

finn det trettiende leddet i en aritmetisk progresjon

1, 4, 7, 10, . . .

en 1 =1, d = 3,

en 30 = en 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

en n-1 = en 1 + (n- 2)d,

en n= en 1 + (n- 1)d,

en n +1 = en 1 + nd,

da åpenbart

en n=	a n-1 + a n+1
	2

hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra den andre, er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de forrige og påfølgende medlemmene.

tallene a, b og c er påfølgende medlemmer av en aritmetisk progresjon hvis og bare hvis en av dem er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to andre.

For eksempel,

en n = 2n- 7 , er en aritmetisk progresjon.

La oss bruke utsagnet ovenfor. Vi har:

en n = 2n- 7,

en n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

en n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Derfor,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = en n,
2		2

◄

Noter det n -th medlem av en aritmetisk progresjon kan finnes ikke bare gjennom en 1 , men også alle tidligere en k

en n = en k + (n- k)d.

For eksempel,

Til en 5 kan skrives

en 5 = en 1 + 4d,

en 5 = en 2 + 3d,

en 5 = en 3 + 2d,

en 5 = en 4 + d. ◄

en n = en n-k + kd,

en n = a n+k - kd,

da åpenbart

en n=	en n-k + a n+k
	2

ethvert medlem av en aritmetisk progresjon, fra den andre, er lik halvparten av summen av medlemmene av denne aritmetiske progresjonen med lik avstand fra den.

I tillegg, for enhver aritmetisk progresjon, er likheten sann:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

For eksempel,

i aritmetisk progresjon

1) en 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (en 9 + en 11 )/2;

2) 28 = en 10 = en 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) en 10= 28 = (19 + 37)/2 = (en 7 + en 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, fordi

en 2 + en 12= 4 + 34 = 38,

en 5 + en 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ en n,

først n medlemmer av en aritmetisk progresjon er lik produktet av halvparten av summen av ekstremleddene med antall ledd:

Spesielt av dette følger det at dersom det er nødvendig å summere vilkårene

en k, en k +1 , . . . , en n,

da beholder den forrige formelen sin struktur:

For eksempel,

i aritmetisk progresjon 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Hvis en aritmetisk progresjon er gitt, så mengdene en 1 , en n, d, n OgS n koblet sammen med to formler:

Derfor, hvis verdiene til tre av disse mengdene er gitt, bestemmes de tilsvarende verdiene til de to andre mengdene fra disse formlene kombinert til et system med to ligninger med to ukjente.

En aritmetisk progresjon er en monoton sekvens. Hvori:

Hvis d > 0 , da øker det;
Hvis d < 0 , da er det avtagende;
Hvis d = 0 , da vil sekvensen være stasjonær.

Geometrisk progresjon

geometrisk progresjon en sekvens kalles, hvor hvert ledd, fra den andre, er lik den forrige, multiplisert med det samme tallet.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

er en geometrisk progresjon hvis for et hvilket som helst naturlig tall n betingelsen er oppfylt:

b n +1 = b n · q,

Hvor q ≠ 0 - et nummer.

Dermed er forholdet mellom neste ledd i denne geometriske progresjonen og den forrige et konstant tall:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Antall q kalt nevner for en geometrisk progresjon.

For å angi en geometrisk progresjon er det nok å spesifisere dens første ledd og nevner.

For eksempel,

Hvis b 1 = 1, q = -3 , så finnes de fem første leddene i sekvensen som følger:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 og nevner q henne n -te ledd kan finnes ved formelen:

b n = b 1 · q n -1 .

For eksempel,

finn det syvende leddet i en geometrisk progresjon 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

da åpenbart

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

hvert medlem av den geometriske progresjonen, fra den andre, er lik det geometriske gjennomsnittet (proporsjonal) av de forrige og påfølgende elementene.

Siden det motsatte også er sant, gjelder følgende påstand:

tallene a, b og c er påfølgende medlemmer av en eller annen geometrisk progresjon hvis og bare hvis kvadratet til en av dem er lik produktet av de to andre, det vil si at ett av tallene er det geometriske gjennomsnittet av de to andre.

For eksempel,

la oss bevise at sekvensen gitt av formelen b n= -3 2 n , er en geometrisk progresjon. La oss bruke utsagnet ovenfor. Vi har:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Derfor,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

som beviser den nødvendige påstanden. ◄

Noter det n leddet i en geometrisk progresjon kan ikke bare finnes gjennom b 1 , men også en hvilken som helst tidligere periode b k , som det er tilstrekkelig å bruke formelen for

b n = b k · q n - k.

For eksempel,

Til b 5 kan skrives

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

da åpenbart

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadratet til ethvert medlem av en geometrisk progresjon, fra den andre, er lik produktet av medlemmene av denne progresjonen like langt fra den.

I tillegg, for enhver geometrisk progresjon, er likheten sann:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

For eksempel,

eksponensielt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , fordi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

først n medlemmer av en geometrisk progresjon med en nevner q ≠ 0 beregnet med formelen:

Og når q = 1 - i henhold til formelen

S n= n.b. 1

Merk at hvis vi trenger å summere vilkårene

b k, b k +1 , . . . , b n,

så brukes formelen:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

For eksempel,

eksponensielt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Hvis gitt geometrisk progresjon, deretter mengdene b 1 , b n, q, n Og S n koblet sammen med to formler:

Derfor, hvis verdiene til tre av disse mengdene er gitt, blir de tilsvarende verdiene til de to andre mengdene bestemt fra disse formlene kombinert til et system med to ligninger med to ukjente.

For en geometrisk progresjon med første ledd b 1 og nevner q følgende finner sted monotoniske egenskaper :

progresjonen øker hvis en av følgende betingelser er oppfylt:

b 1 > 0 Og q> 1;

b 1 < 0 Og 0 < q< 1;

En progresjon avtar hvis en av følgende betingelser er oppfylt:

b 1 > 0 Og 0 < q< 1;

b 1 < 0 Og q> 1.

Hvis q< 0 , da er den geometriske progresjonen fortegnsvekslende: dens oddetallsledd har samme fortegn som dens første ledd, og partallsleddene har motsatt fortegn. Det er klart at en vekslende geometrisk progresjon ikke er monoton.

Produktet av den første n termer for en geometrisk progresjon kan beregnes ved formelen:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

For eksempel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Uendelig avtagende geometrisk progresjon

Uendelig avtagende geometrisk progresjon kalles en uendelig geometrisk progresjon hvis nevnermodul er mindre enn 1 , det er

|q| < 1 .

Merk at en uendelig avtagende geometrisk progresjon kanskje ikke er en avtagende sekvens. Dette passer til saken

1 < q< 0 .

Med en slik nevner er sekvensen fortegnsvekslende. For eksempel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon navngi tallet som summen av den første n vilkår for progresjonen med en ubegrenset økning i antallet n . Dette tallet er alltid endelig og uttrykkes med formelen