Formelen for forskjellen til en aritmetisk progresjon. Summen av de første n-leddene i en aritmetisk progresjon

Aritmetisk progresjon navngi en tallsekvens (medlemmer av en progresjon)

Der hvert påfølgende ledd skiller seg fra det forrige ved et stålbegrep, som også kalles trinn eller progresjonsforskjell.

Ved å angi trinnet i progresjonen og dets første ledd, kan du finne alle elementene ved å bruke formelen

Egenskaper for en aritmetisk progresjon

1) Hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra det andre tallet, er det aritmetiske gjennomsnittet av forrige og neste medlem av progresjonen

Det motsatte er også sant. Hvis det aritmetiske gjennomsnittet av tilstøtende oddelige (partall) medlemmer av progresjonen er lik elementet som står mellom dem, er denne tallrekkefølgen en aritmetisk progresjon. Med denne påstanden er det veldig enkelt å kontrollere hvilken som helst sekvens.

Også ved egenskapen til aritmetisk progresjon, kan formelen ovenfor generaliseres til følgende

Dette er lett å verifisere hvis vi skriver vilkårene til høyre for likhetstegnet

Det brukes ofte i praksis for å forenkle beregninger i oppgaver.

2) Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon beregnes ved hjelp av formelen

Husk godt formelen for summen av en aritmetisk progresjon, den er uunnværlig i beregninger og er ganske vanlig i enkle livssituasjoner.

3) Hvis du ikke trenger å finne hele summen, men en del av sekvensen som starter fra dens k-te medlem, vil følgende sumformel komme godt med i deg

4) Det er av praktisk interesse å finne summen av n medlemmer av en aritmetisk progresjon med utgangspunkt i det k-te tallet. For å gjøre dette, bruk formelen

På dette teoretisk materiale avsluttes og vi går videre til å løse vanlige praktiske problemer.

Eksempel 1. Finn det førtiende leddet i den aritmetiske progresjonen 4;7;...

Løsning:

I følge tilstanden har vi

Definer progresjonstrinnet

I følge den velkjente formelen finner vi det førtiende leddet i progresjonen

Eksempel 2. Aritmetisk progresjon er gitt av dets tredje og syvende medlem. Finn det første leddet i progresjonen og summen av ti.

Løsning:

Vi skriver de gitte elementene i progresjonen i henhold til formlene

Vi trekker den første likningen fra den andre likningen, som et resultat finner vi progresjonstrinnet

Den funnet verdien erstattes i en av ligningene for å finne det første leddet i den aritmetiske progresjonen

Regn ut summen av de ti første leddene i progresjonen

Uten å bruke komplekse beregninger fant vi alle nødvendige verdier.

Eksempel 3. En aritmetisk progresjon er gitt av nevneren og en av dens medlemmer. Finn det første leddet i progresjonen, summen av dets 50 ledd fra 50, og summen av de første 100.

Løsning:

La oss skrive formelen for det hundrede elementet i progresjonen

og finn den første

Basert på den første finner vi 50. ledd i progresjonen

Finne summen av delen av progresjonen

og summen av de første 100

Summen av progresjonen er 250.

Eksempel 4

Finn antall medlemmer av en aritmetisk progresjon hvis:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Løsning:

Vi skriver likningene i form av det første leddet og trinnet i progresjonen og definerer dem

Vi erstatter de oppnådde verdiene i sumformelen for å bestemme antall medlemmer i summen

Å gjøre forenklinger

og løse andregradsligningen

Av de to verdiene som er funnet, er bare tallet 8 egnet for tilstanden til problemet. Dermed er summen av de første åtte leddene i progresjonen 111.

Eksempel 5

løse ligningen

1+3+5+...+x=307.

Løsning: Denne ligningen er summen av en aritmetisk progresjon. Vi skriver ut det første leddet og finner forskjellen på progresjonen

Summen av en aritmetisk progresjon.

Summen av en aritmetisk progresjon er en enkel ting. Både i betydning og i formel. Men det er alle slags oppgaver om dette emnet. Fra elementært til ganske solid.

La oss først ta for oss betydningen og formelen til summen. Og så bestemmer vi oss. For din egen fornøyelse.) Betydningen av summen er så enkel som å senke. For å finne summen av en aritmetisk progresjon, trenger du bare å legge til alle medlemmene nøye. Hvis disse begrepene er få, kan du legge til uten formler. Men hvis det er mye, eller mye ... tillegg er irriterende.) I dette tilfellet sparer formelen.

Sumformelen er enkel:

La oss finne ut hva slags bokstaver som er inkludert i formelen. Dette vil oppklare mye.

S n er summen av en aritmetisk progresjon. Tilleggsresultat alle medlemmer, med først Av siste. Det er viktig. Legg sammen nøyaktig Alle medlemmer på rad, uten hull og hopp. Og, akkurat, fra først. I problemer som å finne summen av tredje og åttende ledd, eller summen av ledd fem til tjuende, vil direkte anvendelse av formelen være skuffende.)

en 1 - først medlem av progresjonen. Alt er klart her, det er enkelt først radnummer.

en n- siste medlem av progresjonen. siste nummer rad. Ikke et veldig kjent navn, men når det brukes på mengden, er det veldig egnet. Da vil du se selv.

n er nummeret til det siste medlemmet. Det er viktig å forstå at i formelen dette tallet sammenfaller med antall tilføyde termer.

La oss definere konseptet siste medlem en n. Utfyllende spørsmål: hva slags medlem vil siste, hvis gitt endeløs aritmetisk progresjon?

For et sikkert svar, må du forstå den grunnleggende betydningen av en aritmetisk progresjon og ... lese oppgaven nøye!)

I oppgaven med å finne summen av en aritmetisk progresjon, vises alltid siste ledd (direkte eller indirekte), som bør begrenses. Ellers et begrenset, spesifikt beløp eksisterer bare ikke. For løsningen spiller det ingen rolle hva slags progresjon som gis: endelig eller uendelig. Det spiller ingen rolle hvordan det er gitt: ved en rekke tall, eller ved formelen til det n-te medlemmet.

Det viktigste er å forstå at formelen fungerer fra første ledd i progresjonen til leddet med tallet n. Faktisk ser det fulle navnet på formelen slik ut: summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon. Antallet av disse aller første medlemmene, dvs. n, bestemmes utelukkende av oppgaven. I oppgaven er all denne verdifulle informasjonen ofte kryptert, ja ... Men ingenting, i eksemplene nedenfor vil vi avsløre disse hemmelighetene.)

Eksempler på oppgaver for summen av en aritmetisk progresjon.

Først av alt, nyttig informasjon:

Hovedvanskeligheten i oppgaver for summen av en aritmetisk progresjon er riktig bestemmelse av elementene i formelen.

Forfatterne av oppgavene krypterer nettopp disse elementene med grenseløs fantasi.) Hovedsaken her er å ikke være redd. For å forstå essensen av elementene, er det nok bare å dechiffrere dem. La oss ta en titt på noen få eksempler i detalj. La oss starte med en oppgave basert på en ekte GIA.

1. Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsen: a n = 2n-3,5. Finn summen av de 10 første leddene.

Godt jobbet. Lett.) Hva trenger vi å vite for å bestemme mengden i henhold til formelen? Første medlem en 1, siste termin en n, ja nummeret på siste termin n.

Hvor får man tak i siste medlemsnummer n? Ja, på samme sted, i tilstanden! Det står finn summen første 10 medlemmer. Vel, hvilket nummer blir det siste, tiende medlem?) Du vil ikke tro det, nummeret hans er tiende!) Derfor, i stedet for en n vi vil erstatte inn i formelen en 10, men istedet n- ti. Igjen er tallet på det siste medlemmet det samme som antallet medlemmer.

Det gjenstår å fastslå en 1 Og en 10. Dette beregnes enkelt med formelen til det n-te leddet, som er gitt i problemstillingen. Vet du ikke hvordan du gjør det? Besøk forrige leksjon, uten dette - ingenting.

en 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

en 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Vi fant ut betydningen av alle elementene i formelen for summen av en aritmetisk progresjon. Det gjenstår å erstatte dem, og telle:

Det er alt som skal til. Svar: 75.

En annen oppgave basert på GIA. Litt mer komplisert:

2. Gitt en aritmetisk progresjon (a n), hvor forskjellen er 3,7; a 1 \u003d 2.3. Finn summen av de første 15 leddene.

Vi skriver umiddelbart sumformelen:

Denne formelen lar oss finne verdien til ethvert medlem etter nummeret. Vi ser etter en enkel erstatning:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Det gjenstår å erstatte alle elementene i formelen for summen av en aritmetisk progresjon og beregne svaret:

Svar: 423.

Forresten, hvis i sumformelen i stedet for en n bare erstatte formelen til det n-te leddet, får vi:

Vi gir lignende, vi får en ny formel for summen av medlemmer av en aritmetisk progresjon:

Som du kan se, er det ikke nødvendig nte medlem en n. I noen oppgaver hjelper denne formelen mye, ja ... Du kan huske denne formelen. Og du kan ganske enkelt trekke den tilbake til rett tid, som her. Tross alt må formelen for summen og formelen for n-te ledd huskes på alle måter.)

Nå oppgaven i form av en kort kryptering):

3. Finn summen av alle positive tosifrede tall som er multipler av tre.

Hvordan! Ingen første medlem, ingen siste, ingen progresjon i det hele tatt... Hvordan leve!?

Du må tenke med hodet og trekke ut fra betingelsen alle elementene i summen av en aritmetisk progresjon. Hva er tosifrede tall - vi vet. De består av to tall.) Hvilket tosifret tall vil først? 10, antagelig.) siste ting tosifret tall? 99, selvfølgelig! De tresifrede vil følge ham ...

Multipler av tre... Hm... Dette er tall som er jevnt delbare med tre, her! Ti er ikke delelig med tre, 11 er ikke delelig... 12... er delelig! Så noe er i ferd med å dukke opp. Du kan allerede skrive en serie i henhold til tilstanden til problemet:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Vil denne serien være en aritmetisk progresjon? Sikkert! Hvert begrep skiller seg strengt fra den forrige med tre. Hvis 2, eller 4, legges til begrepet, for eksempel resultatet, dvs. et nytt tall vil ikke lenger deles på 3. Du kan umiddelbart bestemme forskjellen mellom den aritmetiske progresjonen til haugen: d = 3. Nyttig!)

Så vi kan trygt skrive ned noen progresjonsparametere:

Hva blir nummeret n siste medlem? Alle som tror at 99 tar fatalt feil ... Tall – de går alltid på rekke og rad, og våre medlemmer hopper over topp tre. De stemmer ikke.

Det er to løsninger her. En måte er for de super hardtarbeidende. Du kan male progresjonen, hele tallserien, og telle antall ledd med fingeren.) Den andre måten er for de gjennomtenkte. Du må huske formelen for det n'te leddet. Hvis formelen brukes på problemet vårt, får vi at 99 er det trettiende medlemmet av progresjonen. De. n = 30.

Vi ser på formelen for summen av en aritmetisk progresjon:

Vi ser og gleder oss.) Vi trakk ut alt nødvendig for å beregne beløpet fra tilstanden til problemet:

en 1= 12.

en 30= 99.

S n = S 30.

Det som gjenstår er elementær aritmetikk. Bytt ut tallene i formelen og beregn:

Svar: 1665

En annen type populære gåter:

4. En aritmetisk progresjon er gitt:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Finn summen av ledd fra den tjuende til trettifjerde.

Vi ser på sumformelen og ... vi er opprørte.) Formelen, la meg minne deg, beregner summen fra den første medlem. Og i oppgaven må du beregne summen siden det tjuende... Formelen vil ikke fungere.

Du kan selvfølgelig male hele progresjonen på rad, og sette medlemmene fra 20 til 34. Men ... på en eller annen måte blir det dumt og lenge, ikke sant?)

Det finnes en mer elegant løsning. La oss dele serien vår i to deler. Den første delen vil fra første periode til nittende. Andre del - tjue til trettifire. Det er klart at hvis vi beregner summen av vilkårene i den første delen S 1-19, la oss legge det til summen av medlemmene i den andre delen S 20-34, får vi summen av progresjonen fra første ledd til trettifjerde S 1-34. Som dette:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Dette viser at for å finne summen S 20-34 kan gjøres ved enkel subtraksjon

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Begge summene på høyre side vurderes fra den første medlem, dvs. standardsumformelen er ganske anvendelig for dem. Er vi i gang?

Vi trekker ut progresjonsparametrene fra oppgavetilstanden:

d = 1,5.

en 1= -21,5.

For å beregne summene av de første 19 og de første 34 leddene, trenger vi de 19. og 34. leddene. Vi teller dem i henhold til formelen til det n-te leddet, som i oppgave 2:

en 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

en 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Det er ingenting igjen. Trekk summen av 19 ledd fra summen av 34 ledd:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Svar: 262,5

En viktig merknad! Det er en veldig nyttig funksjon for å løse dette problemet. I stedet for direkte beregning det du trenger (S 20-34), vi telte det som, ser det ut til, ikke er nødvendig - S 1-19. Og så bestemte de seg S 20-34, forkaster det unødvendige fra hele resultatet. En slik "finte med ørene" redder ofte i onde gåter.)

I denne leksjonen undersøkte vi problemer som det er nok å forstå betydningen av summen av en aritmetisk progresjon for. Vel, du må kunne et par formler.)

praktiske råd:

Når du løser ethvert problem for summen av en aritmetisk progresjon, anbefaler jeg umiddelbart å skrive ut de to hovedformlene fra dette emnet.

Formel for n-te ledd:

Disse formlene vil umiddelbart fortelle deg hva du skal se etter, i hvilken retning du skal tenke for å løse problemet. Hjelper.

Og nå oppgavene for uavhengig løsning.

5. Finn summen av alle tosifrede tall som ikke er delbare med tre.

Kult?) Hintet er skjult i notatet til oppgave 4. Vel, oppgave 3 vil hjelpe.

6. Aritmetisk progresjon er gitt av betingelsen: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Finn summen av de første 24 leddene.

Uvanlig?) Dette er en tilbakevendende formel. Du kan lese om det i forrige leksjon. Ikke ignorer lenken, slike gåter finnes ofte i GIA.

7. Vasya sparte opp penger til ferien. Så mye som 4550 rubler! Og jeg bestemte meg for å gi den mest elskede personen (meg selv) noen dager med lykke). Lev vakkert uten å nekte deg selv noe. Bruk 500 rubler på den første dagen, og bruk 50 rubler mer på hver påfølgende dag enn på den forrige! Helt til pengene tar slutt. Hvor mange dager med lykke hadde Vasya?

Er det vanskelig?) En tilleggsformel fra oppgave 2 vil hjelpe.

Svar (i uorden): 7, 3240, 6.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.

Når du studerer algebra i allmennpedagogisk skole(Klasse 9) en av viktige emner er studiet av numeriske sekvenser, som inkluderer progresjoner - geometriske og aritmetiske. I denne artikkelen skal vi ta for oss en aritmetisk progresjon og eksempler med løsninger.

Hva er en aritmetisk progresjon?

For å forstå dette, er det nødvendig å gi en definisjon av progresjonen som vurderes, samt å gi de grunnleggende formlene som vil bli brukt videre for å løse problemer.

Aritmetisk eller er et slikt sett med ordnede rasjonelle tall, hvor hvert medlem skiller seg fra det forrige med en konstant verdi. Denne verdien kalles differansen. Det vil si at du kan gjenopprette hele den aritmetiske progresjonen når du kjenner til et hvilket som helst medlem av en ordnet serie med tall og forskjellen.

La oss ta et eksempel. Den neste tallsekvensen vil være en aritmetisk progresjon: 4, 8, 12, 16, ..., siden forskjellen i dette tilfellet er 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Men settet med tall 3, 5, 8, 12, 17 kan ikke lenger tilskrives den betraktede typen progresjon, siden forskjellen for den ikke er en konstant verdi (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Viktige formler

Vi gir nå de grunnleggende formlene som vil være nødvendig for å løse problemer ved hjelp av en aritmetisk progresjon. La a n betegne det n-te medlemmet av sekvensen, der n er et heltall. La oss betegne forskjellen latinsk bokstav d. Da er følgende uttrykk sanne:

1. For å bestemme verdien av det n-te leddet, er formelen egnet: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. For å bestemme summen av de første n leddene: S n = (a n + a 1)*n/2.

For å forstå noen eksempler på en aritmetisk progresjon med en løsning i klasse 9, er det nok å huske disse to formlene, siden eventuelle problemer av typen som vurderes er bygd på bruken. Ikke glem at progresjonsforskjellen bestemmes av formelen: d = a n - a n-1 .

Eksempel #1: Finne et ukjent medlem

Vi gir et enkelt eksempel på en aritmetisk progresjon og formlene som må brukes for å løse.

La sekvensen 10, 8, 6, 4, ... gis, det er nødvendig å finne fem ledd i den.

Det følger allerede av betingelsene for problemet at de første 4 leddene er kjent. Den femte kan defineres på to måter:

1. La oss beregne forskjellen først. Vi har: d = 8 - 10 = -2. På samme måte kan man ta hvilke som helst andre termer ved siden av hverandre. For eksempel, d = 4 - 6 = -2. Siden det er kjent at d \u003d a n - a n-1, så d \u003d a 5 - a 4, hvorfra vi får: a 5 \u003d a 4 + d. Vi erstatter de kjente verdiene: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Den andre metoden krever også kunnskap om forskjellen på den aktuelle progresjonen, så du må først bestemme den, som vist ovenfor (d = -2). Når vi vet at det første leddet a 1 = 10, bruker vi formelen for n-tallet i sekvensen. Vi har: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Ved å erstatte n = 5 i det siste uttrykket får vi: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Som du kan se, fører begge løsningene til samme resultat. Merk at i dette eksemplet er forskjellen d av progresjonen negativ. Slike sekvenser kalles avtagende fordi hvert påfølgende ledd er mindre enn det forrige.

Eksempel #2: progresjonsforskjell

La oss nå komplisere oppgaven litt, gi et eksempel på hvordan du finner forskjellen på en aritmetisk progresjon.

Det er kjent at i noen algebraisk progresjon er 1. ledd lik 6, og 7. ledd er lik 18. Det er nødvendig å finne forskjellen og gjenopprette denne sekvensen til 7. ledd.

La oss bruke formelen for å bestemme det ukjente leddet: a n = (n - 1) * d + a 1 . Vi erstatter de kjente dataene fra tilstanden i den, det vil si tallene a 1 og en 7, vi har: 18 \u003d 6 + 6 * d. Fra dette uttrykket kan du enkelt beregne differansen: d = (18 - 6) / 6 = 2. Dermed ble første del av oppgaven besvart.

For å gjenopprette sekvensen til det 7. medlemmet, bør du bruke definisjonen av en algebraisk progresjon, det vil si a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, og så videre. Som et resultat gjenoppretter vi hele sekvensen: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 og 7 = 18.

Eksempel #3: gjør en progresjon

La oss komplisere tilstanden til problemet enda mer. Nå må du svare på spørsmålet om hvordan du finner en aritmetisk progresjon. Vi kan gi følgende eksempel: det gis to tall, for eksempel 4 og 5. Det er nødvendig å lage en algebraisk progresjon slik at ytterligere tre ledd passer mellom disse.

Før du begynner å løse dette problemet, er det nødvendig å forstå hvilken plass de gitte tallene vil oppta i fremtidig progresjon. Siden det vil være tre vilkår til mellom dem, så en 1 \u003d -4 og en 5 \u003d 5. Etter å ha etablert dette, går vi videre til en oppgave som ligner den forrige. Igjen, for det n-te leddet bruker vi formelen, vi får: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Fra: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Her er forskjellen ikke en heltallsverdi, men det er et rasjonelt tall, så formlene for den algebraiske progresjonen forblir de samme.

La oss nå legge den funnet forskjellen til en 1 og gjenopprette de manglende medlemmene i progresjonen. Vi får: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u 5,0 som falt sammen med tilstanden til problemet.

Eksempel #4: Det første medlemmet av progresjonen

Vi fortsetter å gi eksempler på en aritmetisk progresjon med en løsning. I alle tidligere problemer var det første tallet i den algebraiske progresjonen kjent. Tenk nå på et problem av en annen type: la to tall gis, der en 15 = 50 og en 43 = 37. Det er nødvendig å finne ut fra hvilket tall denne sekvensen begynner.

Formlene som har blitt brukt så langt forutsetter kunnskap om a 1 og d. Ingenting er kjent om disse tallene i tilstanden til problemet. La oss likevel skrive ut uttrykkene for hvert begrep som vi har informasjon om: a 15 = a 1 + 14 * d og a 43 = a 1 + 42 * d. Vi har to likninger der det er 2 ukjente størrelser (a 1 og d). Dette betyr at problemet reduseres til å løse et system med lineære ligninger.

Det spesifiserte systemet er enklest å løse hvis du uttrykker en 1 i hver ligning, og deretter sammenligner de resulterende uttrykkene. Første ligning: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; andre ligning: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ved å likestille disse uttrykkene får vi: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, hvorav forskjellen d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (bare 3 desimaler er gitt).

Når du kjenner d, kan du bruke hvilket som helst av de 2 uttrykkene ovenfor for en 1 . For eksempel, først: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Hvis det er tvil om resultatet, kan du sjekke det, for eksempel bestemme det 43. medlemmet av progresjonen, som er spesifisert i tilstanden. Vi får: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. En liten feil skyldes at det ble brukt avrunding til tusendeler i beregningene.

Eksempel #5: Sum

La oss nå se på noen eksempler med løsninger for summen av en aritmetisk progresjon.

La en numerisk progresjon av følgende form gis: 1, 2, 3, 4, ...,. Hvordan beregne summen av 100 av disse tallene?

Takket være utviklingen av datateknologi kan dette problemet løses, det vil si sekvensielt legge sammen alle tallene, som datamaskinen vil gjøre så snart en person trykker på Enter-tasten. Problemet kan imidlertid løses mentalt hvis du legger merke til at den presenterte tallserien er en algebraisk progresjon, og dens forskjell er 1. Ved å bruke formelen for summen får vi: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Det er nysgjerrig å merke seg at dette problemet kalles "Gaussian", siden på begynnelsen av 1700-tallet var den berømte tyskeren, fortsatt i en alder av bare 10 år gammel, i stand til å løse det i tankene hans på noen få sekunder. Gutten kjente ikke formelen for summen av en algebraisk progresjon, men han la merke til at hvis du legger til tallpar plassert i kantene av sekvensen, får du alltid det samme resultatet, det vil si 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., og siden disse summene vil være nøyaktig 50 (100 / 2), er det nok å multiplisere 50 med 101 for å få riktig svar.

Eksempel #6: summen av ledd fra n til m

Et annet typisk eksempel på summen av en aritmetisk progresjon er følgende: gitt en serie med tall: 3, 7, 11, 15, ..., må du finne summen av leddene fra 8 til 14.

Problemet løses på to måter. Den første av dem innebærer å finne ukjente termer fra 8 til 14, og deretter summere dem sekvensielt. Siden det er få begreper, er ikke denne metoden arbeidskrevende nok. Ikke desto mindre foreslås det å løse dette problemet ved den andre metoden, som er mer universell.

Tanken er å få en formel for summen av en algebraisk progresjon mellom leddene m og n, der n > m er heltall. For begge tilfeller skriver vi to uttrykk for summen:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Siden n > m er det åpenbart at 2-summen inkluderer den første. Den siste konklusjonen betyr at hvis vi tar differansen mellom disse summene, og legger til begrepet a m (i tilfellet vi tar differansen trekkes den fra summen S n), så får vi det nødvendige svaret på oppgaven. Vi har: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Det er nødvendig å erstatte formler for en n og en m i dette uttrykket. Da får vi: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Den resulterende formelen er noe tungvint, men summen S mn avhenger bare av n, m, a 1 og d. I vårt tilfelle er a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ved å erstatte disse tallene får vi: S mn = 301.

Som det fremgår av løsningene ovenfor, er alle problemer basert på kunnskapen om uttrykket for det n-te leddet og formelen for summen av settet med første ledd. Før du begynner å løse noen av disse problemene, anbefales det at du leser nøye gjennom betingelsen, forstår tydelig hva du vil finne, og først deretter fortsetter med løsningen.

Et annet tips er å strebe etter enkelhet, det vil si at hvis du kan svare på spørsmålet uten å bruke komplekse matematiske beregninger, må du gjøre nettopp det, siden sannsynligheten for å gjøre en feil i dette tilfellet er mindre. For eksempel, i eksemplet med en aritmetisk progresjon med løsning nr. 6, kan man stoppe ved formelen S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, og delt felles oppgave i separate deloppgaver (i denne saken finn først begrepene a n og a m).

Hvis det er tvil om det oppnådde resultatet, anbefales det å sjekke det, slik det ble gjort i noen av eksemplene gitt. Hvordan finne en aritmetisk progresjon, fant ut. Når du først finner ut av det, er det ikke så vanskelig.

IV Yakovlev | Materialer om matematikk | MathUs.ru

Aritmetisk progresjon

En aritmetisk progresjon er en spesiell type sekvens. Derfor, før vi definerer den aritmetiske (og deretter geometriske) progresjonen, må vi kort diskutere viktig konsept nummerrekkefølge.

Etterfølge

Se for deg en enhet på skjermen hvor noen tall vises etter hverandre. La oss si 2; 7; 1. 3; 1; 6; 0; 3; : : : Et slikt sett med tall er bare et eksempel på en sekvens.

Definisjon. En numerisk sekvens er et sett med tall der hvert nummer kan tildeles et unikt nummer (det vil si satt i samsvar med et enkelt naturlig tall)1. Nummeret med nummer n kalles opp nte medlem sekvenser.

Så i eksemplet ovenfor har det første tallet tallet 2, som er det første medlemmet av sekvensen, som kan betegnes med a1 ; tallet fem har tallet 6 som er det femte medlemmet av sekvensen, som kan betegnes a5 . Generelt er det n-te medlemmet av en sekvens betegnet med en (eller bn , cn , etc.).

En veldig praktisk situasjon er når det n-te medlemmet av sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel angir formelen an = 2n 3 sekvensen: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formelen an = (1)n definerer sekvensen: 1; 1; 1; 1; : : :

Ikke hvert sett med tall er en sekvens. Så et segment er ikke en sekvens; den inneholder ¾for mange¿ tall til å omnummereres. Mengden R av alle reelle tall er heller ikke en sekvens. Disse fakta bevises i løpet av matematisk analyse.

Aritmetisk progresjon: grunnleggende definisjoner

Nå er vi klare til å definere en aritmetisk progresjon.

Definisjon. En aritmetisk progresjon er en sekvens der hvert ledd (startende fra det andre) er lik summen av forrige ledd og et eller annet fast tall (kalt differansen av den aritmetiske progresjonen).

For eksempel sekvens 2; 5; 8; elleve; : : : er en aritmetisk progresjon med første ledd 2 og forskjell 3. Sekvens 7; 2; 3; 8; : : : er en aritmetisk progresjon med første ledd 7 og forskjell 5. Sekvens 3; 3; 3; : : : er en aritmetisk progresjon med null forskjell.

Ekvivalent definisjon: En sekvens an kalles en aritmetisk progresjon hvis forskjellen an+1 an er en konstant verdi (ikke avhengig av n).

En aritmetisk progresjon sies å være økende hvis forskjellen er positiv, og avtagende hvis forskjellen er negativ.

1 Og her er en mer kortfattet definisjon: en sekvens er en funksjon definert på settet av naturlige tall. For eksempel er sekvensen av reelle tall funksjonen f: N! R.

Som standard anses sekvenser som uendelige, det vil si at de inneholder et uendelig antall tall. Men ingen gidder å vurdere endelige sekvenser også; faktisk kan ethvert begrenset sett med tall kalles en endelig rekkefølge. For eksempel, den siste sekvensen 1; 2; 3; 4; 5 består av fem tall.

Formel for det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon

Det er lett å forstå at en aritmetisk progresjon er fullstendig bestemt av to tall: det første leddet og forskjellen. Derfor oppstår spørsmålet: hvordan, ved å vite det første leddet og forskjellen, finne et vilkårlig ledd for en aritmetisk progresjon?

Det er ikke vanskelig å få den ønskede formelen for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon. La en

aritmetisk progresjon med forskjell d. Vi har:
an+1 = an + d (n = 1; 2; :: ::):
Spesielt skriver vi:
a2 = al + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
og nå blir det klart at formelen for an er:
an = a1 + (n 1)d:

Oppgave 1. I aritmetisk progresjon 2; 5; 8; elleve; : : : finn formelen til det n-te leddet og regn ut det hundrede leddet.

Løsning. I henhold til formel (1) har vi:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Egenskap og tegn på aritmetisk progresjon

egenskapen til en aritmetisk progresjon. I aritmetisk progresjon en for evt

Med andre ord, hvert medlem av den aritmetiske progresjonen (startende fra den andre) er det aritmetiske gjennomsnittet av nabomedlemmene.

	Bevis. Vi har:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

som var det som var nødvendig.

Mer generelt tilfredsstiller den aritmetiske progresjonen likheten

a n = a n k+ a n+k

for enhver n > 2 og enhver naturlig k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Det viser seg at formel (2) ikke bare er en nødvendig, men også en tilstrekkelig betingelse for at en sekvens skal være en aritmetisk progresjon.

Tegn på en aritmetisk progresjon. Hvis likhet (2) gjelder for alle n > 2, så er sekvensen an en aritmetisk progresjon.

Bevis. La oss omskrive formelen (2) som følger:

a na n 1= a n+1a n:

Dette viser at forskjellen an+1 an ikke er avhengig av n, og dette betyr bare at sekvensen an er en aritmetisk progresjon.

Egenskapen og tegnet til en aritmetisk progresjon kan formuleres som ett utsagn; for enkelhets skyld vil vi gjøre dette for tre tall (dette er situasjonen som ofte oppstår i problemer).

Karakterisering av en aritmetisk progresjon. Tre tall a, b, c danner en aritmetisk progresjon hvis og bare hvis 2b = a + c.

Oppgave 2. (Moscow State University, Fakultet for økonomi, 2007) Tre tall 8x, 3 x2 og 4 i den angitte rekkefølgen danner en avtagende aritmetisk progresjon. Finn x og skriv forskjellen på denne progresjonen.

Løsning. Ved egenskapen til en aritmetisk progresjon har vi:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

Hvis x = 1, oppnås en synkende progresjon på 8, 2, 4 med en forskjell på 6. Hvis x = 5, oppnås en økende progresjon på 40, 22, 4; denne saken fungerer ikke.

Svar: x = 1, forskjellen er 6.

Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon

Legenden sier at læreren en gang ba barna finne summen av tall fra 1 til 100 og satte seg ned for å lese avisen stille. Men i løpet av få minutter sa en gutt at han hadde løst problemet. Det var 9 år gamle Carl Friedrich Gauss, senere en av historiens største matematikere.

Lille Gauss sin idé var denne. La

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

La oss skrive denne summen i omvendt rekkefølge:

S = 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

og legg til disse to formlene:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Hvert ledd i parentes er lik 101, og det er totalt 100 slike ledd. Derfor

2S = 101 100 = 10100;

Vi bruker denne ideen til å utlede sumformelen

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

En nyttig modifikasjon av formel (3) oppnås ved å sette inn formelen for det n-te leddet an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

Oppgave 3. Finn summen av alle positive tresifrede tall som er delelig med 13.

Løsning. Tresifrede tall som er multipler av 13 danner en aritmetisk progresjon med det første leddet 104 og forskjellen 13; Den n'te termen i denne progresjonen er:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

La oss finne ut hvor mange medlemmer vår progresjon inneholder. For å gjøre dette løser vi ulikheten:

en 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Så det er 69 medlemmer i vår progresjon. I henhold til formelen (4) finner vi den nødvendige mengden:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2