hjem › elektrisk utstyr › Eksempler på geometrisk progresjon. Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon og Zenos paradoks

Eksempler på geometrisk progresjon. Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon og Zenos paradoks

Leksjon og presentasjon om temaet: "Tallsekvenser. Geometrisk progresjon"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, tilbakemeldinger, forslag! Alt materiale kontrolleres av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i nettbutikken "Integral" for klasse 9
Krafter og røtter funksjoner og grafer

Gutter, i dag skal vi bli kjent med en annen type progresjon.
Temaet for dagens leksjon er geometrisk progresjon.

Geometrisk progresjon

Definisjon. En numerisk sekvens der hvert ledd, fra det andre, er lik produktet av det forrige og et eller annet fast tall, kalles en geometrisk progresjon.
La oss definere sekvensen vår rekursivt: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
hvor b og q er visse gitte tall. Tallet q kalles nevneren for progresjonen.

Eksempel. 1,2,4,8,16... Geometrisk progresjon, der det første elementet er lik én, og $q=2$.

Eksempel. 8,8,8,8... En geometrisk progresjon hvis første ledd er åtte,
og $q=1$.

Eksempel. 3,-3,3,-3,3... En geometrisk progresjon hvis første ledd er tre,
og $q=-1$.

Den geometriske progresjonen har egenskapene til monotonisitet.
Hvis $b_(1)>0$, $q>1$,
da øker sekvensen.
Hvis $b_(1)>0$, $0 Sekvensen er vanligvis betegnet som: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Akkurat som i en aritmetisk progresjon, hvis i geometrisk progresjon antall elementer er endelig, da kalles progresjonen en endelig geometrisk progresjon.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Legg merke til at hvis sekvensen er en geometrisk progresjon, så er sekvensen av kvadratiske ledd også en geometrisk progresjon. Den andre sekvensen har det første leddet $b_(1)^2$ og nevneren $q^2$.

Formel for det n-te medlemmet av en geometrisk progresjon

En geometrisk progresjon kan også spesifiseres i en analytisk form. La oss se hvordan du gjør det:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Vi kan enkelt se mønsteret: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formelen vår kalles "formel for det n-te medlemmet av en geometrisk progresjon".

La oss gå tilbake til eksemplene våre.

Eksempel. 1,2,4,8,16... En geometrisk progresjon hvis første ledd er lik én,
og $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Eksempel. 16,8,4,2,1,1/2... En geometrisk progresjon hvis første ledd er seksten og $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Eksempel. 8,8,8,8... En geometrisk progresjon der første ledd er åtte og $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Eksempel. 3,-3,3,-3,3... En geometrisk progresjon hvis første ledd er tre og $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Eksempel. Gitt en geometrisk progresjon $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Det er kjent at $b_(1)=6, q=3$. Finn $b_(5)$.
b) Det er kjent at $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Finn n.
c) Det er kjent at $q=-2, b_(6)=96$. Finn $b_(1)$.
d) Det er kjent at $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Finn q.

Løsning.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ siden $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Eksempel. Forskjellen mellom den syvende og femte delen av den geometriske progresjonen er 192, summen av den femte og sjette delen av progresjonen er 192. Finn det tiende medlemmet av denne progresjonen.

Løsning.
Vi vet at: $b_(7)-b_(5)=192$ og $b_(5)+b_(6)=192$.
Vi vet også: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Deretter:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Vi har et ligningssystem:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Ved å likestille, får ligningene våre:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Vi har to løsninger q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Bytt suksessivt inn i den andre ligningen:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ ingen løsninger.
Vi fikk det: $b_(1)=4, q=2$.
La oss finne det tiende leddet: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Summen av en endelig geometrisk progresjon

Anta at vi har en endelig geometrisk progresjon. La oss, så vel som for en aritmetisk progresjon, beregne summen av medlemmene.

La en endelig geometrisk progresjon gis: $b_(1),b_(2),...,b_(n-1),b_(n)$.
La oss introdusere notasjonen for summen av medlemmene: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
I tilfellet $q=1$. Alle medlemmer av den geometriske progresjonen er lik det første medlemmet, da er det åpenbart at $S_(n)=n*b_(1)$.
Tenk nå på saken $q≠1$.
Multipliser beløpet ovenfor med q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Merk:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Vi har fått formelen for summen av en endelig geometrisk progresjon.

Eksempel.
Finn summen av de første syv leddene i en geometrisk progresjon hvis første ledd er 4 og nevneren er 3.

Løsning.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Eksempel.
Finn det femte medlemmet av den geometriske progresjonen, som er kjent: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Løsning.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Karakteristisk egenskap for en geometrisk progresjon

Gutter, gitt en geometrisk progresjon. La oss vurdere de tre påfølgende medlemmene: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Vi vet det:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Deretter:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Hvis progresjonen er endelig, gjelder denne likheten for alle ledd unntatt den første og siste.
Hvis det ikke er kjent på forhånd hva slags sekvens sekvensen har, men det er kjent at: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Da kan vi trygt si at dette er en geometrisk progresjon.

En tallsekvens er en geometrisk progresjon bare når kvadratet av hver av dens ledd er lik produktet av de to naboleddene av progresjonen. Ikke glem at for en begrenset progresjon er denne betingelsen ikke oppfylt for første og siste periode.

La oss se på denne identiteten: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ kalles det geometriske gjennomsnittet av a og b.

Modulen til ethvert medlem av en geometrisk progresjon er lik det geometriske gjennomsnittet av de to elementene ved siden av den.

Eksempel.
Finn x slik at $x+2; 2x+2; 3x+3$ var tre påfølgende medlemmer av en geometrisk progresjon.

Løsning.
La oss bruke den karakteristiske egenskapen:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ og $x_(2)=-1$.
Erstatt sekvensielt i det originale uttrykket, våre løsninger:
Med $x=2$ fikk vi sekvensen: 4;6;9 er en geometrisk progresjon med $q=1,5$.
Med $x=-1$ fikk vi sekvensen: 1;0;0.
Svar: $x=2.$

Oppgaver for selvstendig løsning

1. Finn det åttende første medlemmet av den geometriske progresjonen 16; -8; 4; -2 ....
2. Finn det tiende medlemmet av den geometriske progresjonen 11,22,44….
3. Det er kjent at $b_(1)=5, q=3$. Finn $b_(7)$.
4. Det er kjent at $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Finn n.
5. Finn summen av de første 11 medlemmene av den geometriske progresjonen 3;12;48….
6. Finn x slik at $3x+4; 2x+4; x+5$ er tre påfølgende medlemmer av en geometrisk progresjon.

Hensikten med leksjonen: å introdusere elevene til en ny type sekvens - en uendelig avtagende geometrisk progresjon.
Oppgaver:
formulering av den første ideen om grensen nummerrekkefølge;
bli kjent med en annen måte å konvertere uendelige periodiske brøker til vanlige ved å bruke formelen for summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon;
utviklingen av de intellektuelle egenskapene til personligheten til skolebarn, for eksempel logisk tenkning, evnen til evaluerende handlinger, generalisering;
utdanning av aktivitet, gjensidig bistand, kollektivisme, interesse for faget.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

Relatert leksjon "Uendelig avtagende geometrisk progresjon" (algebra, grad 10)

Hensikten med leksjonen: introdusere elevene for en ny type sekvens - en uendelig avtagende geometrisk progresjon.

Oppgaver:

formulering av den første ideen om grensen for den numeriske sekvensen; bli kjent med en annen måte å konvertere uendelige periodiske brøker til vanlige ved å bruke formelen for summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon;

utviklingen av de intellektuelle egenskapene til personligheten til skolebarn, for eksempel logisk tenkning, evnen til evaluerende handlinger, generalisering;

utdanning av aktivitet, gjensidig bistand, kollektivisme, interesse for faget.

Utstyr: dataklasse, projektor, lerret.

Leksjonstype: Leksjon - mestring av et nytt emne.

I løpet av timene

I. Org. øyeblikk. Melding om emnet og formålet med leksjonen.

II. Oppdatering av elevenes kunnskap.

I 9. klasse studerte du aritmetikk og geometriske progresjoner.

Spørsmål

1. Definisjon av en aritmetisk progresjon.

(En aritmetisk progresjon er en sekvens der hvert medlem,

Fra det andre er det lik forrige ledd, lagt til med samme nummer).

2. Formel n -te medlem av en aritmetisk progresjon

3. Formelen for summen av den første n medlemmer av en aritmetisk progresjon.

( eller )

4. Definisjon av en geometrisk progresjon.

(En geometrisk progresjon er en sekvens av tall som ikke er null,

Hvert ledd, fra det andre, er lik forrige ledd, multiplisert med

samme nummer).

5. Formel n ledd i en geometrisk progresjon

6. Formelen for summen av den første n medlemmer av en geometrisk progresjon.

7. Hvilke formler kjenner du fortsatt?

(, Hvor ; ;

; , )

Oppgaver

1. Aritmetisk progresjon er gitt av formelen a n = 7 - 4n. Finn en 10. (-33)

2. Aritmetisk progresjon a 3 = 7 og a 5 = 1 . Finn en 4. (4)

3. Aritmetisk progresjon a 3 = 7 og a 5 = 1 . Finn en 17. (-35)

4. Aritmetisk progresjon a 3 = 7 og a 5 = 1 . Finn S 17 . (-187)

5. For en geometrisk progresjonfinn det femte leddet.

6. For en geometrisk progresjon finn det n'te leddet.

7. Eksponentielt b 3 = 8 og b 5 = 2 . Finn b 4. (4)

8. Eksponentielt b 3 = 8 og b 5 = 2 . Finn b 1 og q .

9. Eksponentielt b 3 = 8 og b 5 = 2 . Finn S 5 . (62)

III. Utforsker et nytt emne(demonstrasjonspresentasjon).

Tenk på en firkant med en side lik 1. La oss tegne en annen firkant, hvis side er halve den første firkanten, så en annen, hvis side er halvparten av den andre, så den neste, og så videre. Hver gang er siden av den nye firkanten halvparten av den forrige.

Som et resultat fikk vi en sekvens av sider av firkanterdanner en geometrisk progresjon med en nevner.

Og det som er veldig viktig, jo mer vi bygger slike firkanter, desto mindre blir siden av plassen. For eksempel ,

De. når tallet n øker, nærmer vilkårene for progresjonen seg null.

Ved hjelp av denne figuren kan en sekvens til vurderes.

For eksempel rekkefølgen av arealer av kvadrater:

Og igjen, hvis n øker i det uendelige, så nærmer området seg null vilkårlig nær.

La oss ta et eksempel til. En likesidet trekant med en side på 1 cm. La oss bygge den neste trekanten med toppunkter i midtpunktene til sidene til den 1. trekanten, i henhold til trekantens midtlinjeteoremet - siden av den andre er lik halvparten av siden til den første, siden til den tredje er halve siden av den andre osv. Igjen får vi en sekvens av lengder på sidene til trekantene.

kl.

Hvis vi tar for oss en geometrisk progresjon med en negativ nevner.

Så, igjen, med økende tall n vilkårene for progresjonen nærmer seg null.

La oss ta hensyn til nevnerne til disse sekvensene. Overalt var nevnerne mindre enn 1 modulo.

Vi kan konkludere: en geometrisk progresjon vil avta uendelig hvis modulen til dens nevner er mindre enn 1.

Frontarbeid.

Definisjon:

En geometrisk progresjon sies å være uendelig avtagende hvis modulen til dens nevner er mindre enn én..

Ved hjelp av definisjonen er det mulig å løse spørsmålet om en geometrisk progresjon er uendelig avtagende eller ikke.

Oppgave

Er sekvensen en uendelig avtagende geometrisk progresjon hvis den er gitt av formelen:

Løsning:

La oss finne q .

; ; ; .

denne geometriske progresjonen er uendelig avtagende.

b) denne sekvensen er ikke en uendelig avtagende geometrisk progresjon.

Tenk på en firkant med en side lik 1. Del den i to, en av halvdelene i to igjen, og så videre. arealene til alle de resulterende rektanglene danner en uendelig avtagende geometrisk progresjon:

Summen av arealene til alle rektanglene oppnådd på denne måten vil være lik arealet av det første kvadratet og lik 1.

Men på venstre side av denne likheten er summen av et uendelig antall ledd.

Tenk på summen av de første n leddene.

I henhold til formelen for summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon er den lik.

Hvis n øker i det uendelige, da

eller . Derfor, dvs. .

Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjondet er en rekkefølgegrense S1, S2, S3, …, Sn, ….

For eksempel for en progresjon,

vi har

Fordi

Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjonkan finnes ved hjelp av formelen.

III. Refleksjon og konsolidering(gjennomføring av oppgaver).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Oppsummering.

Hvilken sekvens møtte du i dag?

Definer en uendelig avtagende geometrisk progresjon.

Hvordan bevise at en geometrisk progresjon er uendelig avtagende?

Gi formelen for summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon.

V. Lekser.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Forhåndsvisning:

For å bruke forhåndsvisningen av presentasjoner, opprett en Google-konto (konto) og logg på: https://accounts.google.com

Bildetekster:

Alle skal kunne tenke konsekvent, dømme konkludert og tilbakevise feil konklusjoner: en fysiker og en poet, en traktorfører og en kjemiker. E.Kolman I matematikk skal man ikke huske formler, men tenkeprosesser. VP Ermakov Det er lettere å finne kvadratet av en sirkel enn å overliste en matematiker. Augustus de Morgan Hvilken vitenskap kan være mer edel, mer beundringsverdig, mer nyttig for menneskeheten enn matematikk? Franklin

Uendelig avtagende geometrisk progresjon Grad 10

JEG. Aritmetiske og geometriske progresjoner. Spørsmål 1. Definisjon av en aritmetisk progresjon. En aritmetisk progresjon er en sekvens der hvert ledd, fra den andre, er lik det forrige leddet lagt til det samme tallet. 2. Formel for det n'te medlem av en aritmetisk progresjon. 3. Formelen for summen av de første n medlemmene av en aritmetisk progresjon. 4. Definisjon av en geometrisk progresjon. En geometrisk progresjon er en sekvens av tall som ikke er null, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik det forrige medlemmet multiplisert med det samme tallet 5. Formelen til det n-te medlemmet av en geometrisk progresjon. 6. Formelen for summen av de første n medlemmene av en geometrisk progresjon.

II. Aritmetisk progresjon. Oppgaver En aritmetisk progresjon er gitt ved formelen a n = 7 – 4 n Finn en 10 . (-33) 2. I aritmetisk progresjon a 3 = 7 og a 5 = 1 . Finn en 4. (4) 3. I aritmetisk progresjon a 3 = 7 og a 5 = 1 . Finn en 17. (-35) 4. I aritmetisk progresjon a 3 = 7 og a 5 = 1 . Finn S 17 . (-187)

II. Geometrisk progresjon. Oppgaver 5. For en geometrisk progresjon, finn det femte leddet 6. For en geometrisk progresjon, finn det n-te leddet. 7. Eksponentielt b 3 = 8 og b 5 = 2. Finn b 4. (4) 8. I geometrisk progresjon b 3 = 8 og b 5 = 2 . Finn b 1 og q . 9. I geometrisk progresjon b 3 = 8 og b 5 = 2. Finn S 5 . (62)

definisjon: En geometrisk progresjon sies å være uendelig avtagende hvis modulen til dens nevner er mindre enn én.

Oppgave №1 Er sekvensen en uendelig avtagende geometrisk progresjon, hvis den er gitt av formelen: Løsning: a) denne geometriske progresjonen er uendelig avtagende. b) denne sekvensen er ikke en uendelig avtagende geometrisk progresjon.

Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon er grensen for sekvensen S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . For en progresjon har vi for eksempel Siden summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon kan finnes ved formelen

Fullføring av oppgaver Finn summen av en uendelig minkende geometrisk progresjon med det første leddet 3, det andre 0,3. 2. nr. 13; nr. 14; lærebok, s. 138 3. nr. 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. nr. 19; nr. 20.

Hvilken sekvens møtte du i dag? Definer en uendelig avtagende geometrisk progresjon. Hvordan bevise at en geometrisk progresjon er uendelig avtagende? Gi formelen for summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon. Spørsmål

Den kjente polske matematikeren Hugo Steinghaus hevder spøkefullt at det finnes en lov som er formulert slik: en matematiker vil gjøre det bedre. Nemlig, hvis du overlater to personer, hvorav den ene er matematiker, å utføre et arbeid som er ukjent for dem, vil resultatet alltid være følgende: matematikeren vil gjøre det bedre. Hugo Steinhaus 14.01.1887-25.02.1972

Instruksjon

10, 30, 90, 270...

Det kreves å finne nevneren for en geometrisk progresjon.
Løsning:

1 alternativ. La oss ta et vilkårlig medlem av progresjonen (for eksempel 90) og dele det på det forrige (30): 90/30=3.

Hvis summen av flere medlemmer av en geometrisk progresjon eller summen av alle medlemmer av en avtagende geometrisk progresjon er kjent, så bruk de riktige formlene for å finne nevneren for progresjonen:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), hvor Sn er summen av de første n leddene i den geometriske progresjonen og
S = b1/(1-q), hvor S er summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon (summen av alle leddene i progresjonen med en nevner mindre enn én).
Eksempel.

Det første leddet i en avtagende geometrisk progresjon er lik én, og summen av alle leddene er lik to.

Det er nødvendig å bestemme nevneren for denne progresjonen.
Løsning:

Bytt inn dataene fra oppgaven i formelen. Få:
2=1/(1-q), hvorav – q=1/2.

En progresjon er en sekvens av tall. I en geometrisk progresjon oppnås hvert påfølgende ledd ved å multiplisere den forrige med et visst tall q, kalt progresjonens nevner.

Instruksjon

Hvis to naboledd av de geometriske b(n+1) og b(n) er kjent, for å få nevneren, er det nødvendig å dele tallet med et stort tall med det som går foran: q=b(n) +1)/b(n). Dette følger av definisjonen av progresjonen og dens nevner. En viktig betingelse er at det første leddet og nevneren i progresjonen ikke er lik null, ellers regnes den som ubestemt.

Dermed etableres følgende relasjoner mellom medlemmene av progresjonen: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Med formelen b(n)=b1 q^(n-1) kan ethvert medlem av en geometrisk progresjon beregnes, der nevneren q og elementet b1 er kjent. Hver av progresjonsmodulene er også lik gjennomsnittet av nabomedlemmene: |b(n)|=√, derfor fikk progresjonen sin .

En analog av en geometrisk progresjon er den enkleste eksponentiell funksjon y=a^x, hvor x er i eksponenten, er a et tall. I dette tilfellet faller nevneren til progresjonen sammen med det første leddet og er lik tallet a. Verdien av funksjonen y kan forstås som nte medlem progresjoner, hvis argumentet x tas som et naturlig tall n (teller).

Eksisterer for summen av de første n medlemmene av en geometrisk progresjon: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Denne formelen er gyldig for q≠1. Hvis q=1, beregnes summen av de første n leddene med formelen S(n)=n b1. Progresjonen vil forresten kalles økende for q større enn én og positiv b1. Når nevneren for progresjonen, modulo ikke overstiger én, vil progresjonen kalles avtagende.

spesielt tilfelle geometrisk progresjon - en uendelig avtagende geometrisk progresjon (b.u.g.p.). Faktum er at medlemmene av en avtagende geometrisk progresjon vil avta om og om igjen, men vil aldri nå null. Til tross for dette er det mulig å finne summen av alle ledd i en slik progresjon. Det bestemmes av formelen S=b1/(1-q). Total n medlemmer er uendelige.

For å visualisere hvordan du kan legge til et uendelig antall tall og ikke få uendelig, bak en kake. Kutt av halvparten. Kutt så 1/2 av halvdelen, og så videre. Brikkene du får er ikke annet enn medlemmer av en uendelig avtagende geometrisk progresjon med en nevner på 1/2. Hvis du setter alle disse bitene sammen, får du den originale kaken.

Geometri problemer er spesiell variasjonøvelser som krever romlig tenkning. Hvis du ikke kan løse det geometriske oppgave prøv å følge reglene nedenfor.

Instruksjon

Les tilstanden til problemet veldig nøye, hvis du ikke husker eller ikke forstår noe, les det på nytt.

Prøv å finne ut hva slags geometriske problemer det er, for eksempel: beregningsmessig, når du trenger å finne ut en verdi, oppgaver for å kreve en logisk kjede av resonnement, oppgaver for å bygge ved hjelp av et kompass og linjal. Flere oppgaver blandet type. Når du har funnet ut hva slags problem det er, prøv å tenke logisk.

Bruk det nødvendige teoremet for dette problemet, hvis det er tvil eller det ikke er noen alternativer i det hele tatt, prøv å huske teorien du studerte om det relevante emnet.

Lag et utkast til problemet også. Prøv å søke kjente måter kontrollere riktigheten av løsningen din.

Fullfør løsningen av problemet pent i en notatbok, uten flekker og gjennomstrekninger, og viktigst av alt - Kanskje det vil ta tid og krefter å løse de første geometriske problemene. Men når du først har fått taket på denne prosessen, vil du begynne å klikke på oppgaver som nøtter og ha det gøy å gjøre det!

En geometrisk progresjon er en rekkefølge av tall b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) slik at b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Med andre ord, hvert medlem av progresjonen oppnås fra den forrige ved å multiplisere den med en ikke-null nevner av progresjonen q.

Instruksjon

Problemer på en progresjon løses oftest ved å kompilere og følge et system med hensyn til første ledd i progresjonen b1 og nevneren for progresjonen q. For å skrive ligninger er det nyttig å huske noen formler.

Hvordan uttrykke det n-te medlemmet av progresjonen gjennom det første medlemmet av progresjonen og nevneren for progresjonen: b(n)=b1*q^(n-1).

Vurder separat tilfellet |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

En geometrisk progresjon er en numerisk sekvens, hvor det første leddet er ikke-null, og hvert neste ledd er lik det forrige leddet multiplisert med det samme tallet som ikke er null.

Konseptet med geometrisk progresjon

Den geometriske progresjonen er betegnet med b1,b2,b3, …, bn, … .

Forholdet mellom et ledd i den geometriske feilen og dets forrige ledd er lik det samme tallet, det vil si b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Dette følger direkte av definisjonen av en aritmetisk progresjon. Dette tallet kalles nevneren for en geometrisk progresjon. Vanligvis er nevneren for en geometrisk progresjon betegnet med bokstaven q.

Summen av en uendelig geometrisk progresjon for |q|<1

En måte å sette en geometrisk progresjon på er å sette dens første ledd b1 og nevneren for den geometriske feilen q. For eksempel, b1=4, q=-2. Disse to betingelsene gir en geometrisk progresjon på 4, -8, 16, -32, ….

Hvis q>0 (q er ikke lik 1), er progresjonen en monoton sekvens. For eksempel er sekvensen, 2, 4,8,16,32, ... en monotont økende sekvens (b1=2, q=2).

Hvis nevneren q=1 i den geometriske feilen, vil alle medlemmer av den geometriske progresjonen være lik hverandre. I slike tilfeller sies progresjonen å være en konstant sekvens.

For at den numeriske sekvensen (bn) skal være en geometrisk progresjon, er det nødvendig at hver av dens medlemmer, fra den andre, er det geometriske gjennomsnittet av naboelementene. Det vil si at det er nødvendig å oppfylle følgende ligning
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), for enhver n>0, der n tilhører settet med naturlige tall N.

La oss nå sette (Xn) - en geometrisk progresjon. Nevneren for den geometriske progresjonen q, med |q|∞).
Hvis vi nå betegner med S summen av en uendelig geometrisk progresjon, vil følgende formel gjelde:
S=xl/(1-q).

Tenk på et enkelt eksempel:

Finn summen av en uendelig geometrisk progresjon 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

For å finne S bruker vi formelen for summen av en uendelig aritmetisk progresjon. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Hvis hvert naturlig tall n samsvarer med et reelt tall en n , så sier de at gitt nummerrekkefølge :

en 1 , en 2 , en 3 , . . . , en n , . . . .

Så en numerisk sekvens er en funksjon av et naturlig argument.

Antall en 1 kalt det første medlemmet av sekvensen , Antall en 2 — det andre medlemmet av sekvensen , Antall en 3 — tredje og så videre. Antall en n kalt nte medlem sekvenser , og det naturlige tallet n — nummeret hans .

Fra to nabomedlemmer en n Og en n +1 medlemssekvenser en n +1 kalt senere (mot en n ), A en n — tidligere (mot en n +1 ).

For å spesifisere en sekvens, må du spesifisere en metode som lar deg finne et sekvensmedlem med et hvilket som helst tall.

Ofte er rekkefølgen gitt med nth term formler , det vil si en formel som lar deg bestemme et sekvensmedlem ved nummeret.

For eksempel,

sekvensen av positive oddetall kan gis av formelen

en n= 2n- 1,

og sekvensen av alternerende 1 Og -1 - formel

b n = (-1)n +1 . ◄

Rekkefølgen kan bestemmes tilbakevendende formel, det vil si en formel som uttrykker et hvilket som helst medlem av sekvensen, starter med noen, gjennom de forrige (ett eller flere) medlemmene.

For eksempel,

Hvis en 1 = 1 , A en n +1 = en n + 5

en 1 = 1,

en 2 = en 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

en 3 = en 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

en 4 = en 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

en 5 = en 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Hvis en 1= 1, en 2 = 1, en n +2 = en n + en n +1 , deretter settes de første syv medlemmene av den numeriske sekvensen som følger:

en 1 = 1,

en 2 = 1,

en 3 = en 1 + en 2 = 1 + 1 = 2,

en 4 = en 2 + en 3 = 1 + 2 = 3,

en 5 = en 3 + en 4 = 2 + 3 = 5,

en 6 = en 4 + en 5 = 3 + 5 = 8,

en 7 = en 5 + en 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenser kan være endelig Og endeløs .

Sekvensen kalles ultimat hvis den har et begrenset antall medlemmer. Sekvensen kalles endeløs hvis den har uendelig mange medlemmer.

For eksempel,

rekkefølge av tosifrede naturlige tall:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

endelig.

Primtallssekvens:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endeløs. ◄

Sekvensen kalles økende , hvis hvert av medlemmene, fra det andre, er større enn det forrige.

Sekvensen kalles avtar , hvis hvert av medlemmene, fra det andre, er mindre enn det forrige.

For eksempel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . er en stigende sekvens;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . er en synkende sekvens. ◄

En sekvens hvis elementer ikke reduseres med økende antall, eller omvendt ikke øker, kalles monoton sekvens .

Monotoniske sekvenser er spesielt økende sekvenser og avtagende sekvenser.

Aritmetisk progresjon

Aritmetisk progresjon en sekvens kalles, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik den forrige, som det samme tallet er lagt til.

en 1 , en 2 , en 3 , . . . , en n, . . .

er en aritmetisk progresjon hvis for et hvilket som helst naturlig tall n betingelsen er oppfylt:

en n +1 = en n + d,

Hvor d - et nummer.

Dermed er forskjellen mellom de neste og de forrige medlemmene av en gitt aritmetisk progresjon alltid konstant:

en 2 - en 1 = en 3 - en 2 = . . . = en n +1 - en n = d.

Antall d kalt forskjellen på en aritmetisk progresjon.

For å angi en aritmetisk progresjon, er det nok å spesifisere det første leddet og forskjellen.

For eksempel,

Hvis en 1 = 3, d = 4 , så finnes de fem første leddene i sekvensen som følger:

en 1 =3,

en 2 = en 1 + d = 3 + 4 = 7,

en 3 = en 2 + d= 7 + 4 = 11,

en 4 = en 3 + d= 11 + 4 = 15,

en 5 = en 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

For en aritmetisk progresjon med første ledd en 1 og forskjell d henne n

en n = en 1 + (n- 1)d.

For eksempel,

finn det trettiende leddet i en aritmetisk progresjon

1, 4, 7, 10, . . .

en 1 =1, d = 3,

en 30 = en 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

en n-1 = en 1 + (n- 2)d,

en n= en 1 + (n- 1)d,

en n +1 = en 1 + nd,

da åpenbart

en n=	a n-1 + a n+1
	2

hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra den andre, er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de forrige og påfølgende medlemmene.

tallene a, b og c er påfølgende medlemmer av en eller annen aritmetisk progresjon hvis og bare hvis en av dem er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to andre.

For eksempel,

en n = 2n- 7 , er en aritmetisk progresjon.

La oss bruke utsagnet ovenfor. Vi har:

en n = 2n- 7,

en n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

en n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Derfor,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = en n,
2		2

◄

Noter det n -th medlem av en aritmetisk progresjon kan finnes ikke bare gjennom en 1 , men også alle tidligere en k

en n = en k + (n- k)d.

For eksempel,

Til en 5 kan skrives

en 5 = en 1 + 4d,

en 5 = en 2 + 3d,

en 5 = en 3 + 2d,

en 5 = en 4 + d. ◄

en n = en n-k + kd,

en n = a n+k - kd,

da åpenbart

en n=	en n-k + a n+k
	2

ethvert medlem av en aritmetisk progresjon, fra den andre, er lik halvparten av summen av medlemmene av denne aritmetiske progresjonen med lik avstand fra den.

I tillegg, for enhver aritmetisk progresjon, er likheten sann:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

For eksempel,

i aritmetisk progresjon

1) en 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (en 9 + en 11 )/2;

2) 28 = en 10 = en 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) en 10= 28 = (19 + 37)/2 = (en 7 + en 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, fordi

en 2 + en 12= 4 + 34 = 38,

en 5 + en 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ en n,

først n medlemmer av en aritmetisk progresjon er lik produktet av halvparten av summen av ekstremleddene med antall ledd:

Spesielt av dette følger det at dersom det er nødvendig å summere vilkårene

en k, en k +1 , . . . , en n,

da beholder den forrige formelen sin struktur:

For eksempel,

i aritmetisk progresjon 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Hvis gitt aritmetisk progresjon, deretter mengdene en 1 , en n, d, n OgS n koblet sammen med to formler:

Derfor, hvis verdiene til tre av disse mengdene er gitt, bestemmes de tilsvarende verdiene til de to andre mengdene fra disse formlene kombinert til et system med to ligninger med to ukjente.

En aritmetisk progresjon er en monoton sekvens. Hvori:

Hvis d > 0 , da øker det;
Hvis d < 0 , da er det avtagende;
Hvis d = 0 , da vil sekvensen være stasjonær.

Geometrisk progresjon

geometrisk progresjon en sekvens kalles, hvor hvert ledd, fra den andre, er lik den forrige, multiplisert med det samme tallet.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

er en geometrisk progresjon hvis for et hvilket som helst naturlig tall n betingelsen er oppfylt:

b n +1 = b n · q,

Hvor q ≠ 0 - et nummer.

Dermed er forholdet mellom neste ledd i denne geometriske progresjonen og den forrige et konstant tall:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Antall q kalt nevner for en geometrisk progresjon.

For å angi en geometrisk progresjon er det nok å spesifisere dens første ledd og nevner.

For eksempel,

Hvis b 1 = 1, q = -3 , så finnes de fem første leddene i sekvensen som følger:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 og nevner q henne n -te ledd kan finnes ved formelen:

b n = b 1 · q n -1 .

For eksempel,

finn det syvende leddet i en geometrisk progresjon 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

da åpenbart

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

hvert medlem av den geometriske progresjonen, fra den andre, er lik det geometriske gjennomsnittet (proporsjonal) av de forrige og etterfølgende elementene.

Siden det motsatte også er sant, gjelder følgende påstand:

tallene a, b og c er påfølgende medlemmer av en eller annen geometrisk progresjon hvis og bare hvis kvadratet til en av dem er lik produktet av de to andre, det vil si at ett av tallene er det geometriske gjennomsnittet av de to andre.

For eksempel,

la oss bevise at sekvensen gitt av formelen b n= -3 2 n , er en geometrisk progresjon. La oss bruke utsagnet ovenfor. Vi har:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Derfor,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

som beviser den nødvendige påstanden. ◄

Noter det n leddet i en geometrisk progresjon kan ikke bare finnes gjennom b 1 , men også en hvilken som helst tidligere periode b k , som det er tilstrekkelig å bruke formelen for

b n = b k · q n - k.

For eksempel,

Til b 5 kan skrives

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

da åpenbart

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadratet til ethvert medlem av en geometrisk progresjon, fra den andre, er lik produktet av medlemmene av denne progresjonen like langt fra den.

I tillegg, for enhver geometrisk progresjon, er likheten sann:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

For eksempel,

eksponensielt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , fordi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

først n medlemmer av en geometrisk progresjon med en nevner q ≠ 0 beregnet med formelen:

Og når q = 1 - i henhold til formelen

S n= n.b. 1

Merk at hvis vi trenger å summere vilkårene

b k, b k +1 , . . . , b n,

så brukes formelen:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

For eksempel,

eksponensielt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Hvis en geometrisk progresjon er gitt, så mengdene b 1 , b n, q, n Og S n koblet sammen med to formler:

Derfor, hvis verdiene til tre av disse mengdene er gitt, blir de tilsvarende verdiene til de to andre mengdene bestemt fra disse formlene kombinert til et system med to ligninger med to ukjente.

For en geometrisk progresjon med første ledd b 1 og nevner q følgende finner sted monotoniske egenskaper :

progresjonen øker hvis en av følgende betingelser er oppfylt:

b 1 > 0 Og q> 1;

b 1 < 0 Og 0 < q< 1;

En progresjon avtar hvis en av følgende betingelser er oppfylt:

b 1 > 0 Og 0 < q< 1;

b 1 < 0 Og q> 1.

Hvis q< 0 , da er den geometriske progresjonen tegnvekslende: dens oddetallsledd har samme fortegn som dens første ledd, og partallsleddene har motsatt fortegn. Det er klart at en vekslende geometrisk progresjon ikke er monoton.

Produktet av den første n termer for en geometrisk progresjon kan beregnes ved formelen:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

For eksempel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Uendelig avtagende geometrisk progresjon

Uendelig avtagende geometrisk progresjon kalles en uendelig geometrisk progresjon hvis nevnermodul er mindre enn 1 , det er

|q| < 1 .

Merk at en uendelig avtagende geometrisk progresjon kanskje ikke er en avtagende sekvens. Dette passer til saken

1 < q< 0 .

Med en slik nevner er sekvensen fortegnsvekslende. For eksempel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon navngi tallet som summen av den første n vilkår for progresjonen med en ubegrenset økning i antallet n . Dette tallet er alltid endelig og uttrykkes med formelen