Den naturlige logaritmen til 0 er lik. Logaritme

Hva er en logaritme?

Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Hva er en logaritme? Hvordan løse logaritmer? Disse spørsmålene forvirrer mange nyutdannede. Tradisjonelt anses temaet logaritmer som komplekst, uforståelig og skummelt. Spesielt - ligninger med logaritmer.

Dette er absolutt ikke sant. Absolutt! Tror du ikke? Fint. Nå, i 10-20 minutter:

1. Forstå hva er en logaritme.

2. Lær å løse en hel klasse eksponentialligninger. Selv om du ikke har hørt om dem.

3. Lær å regne ut enkle logaritmer.

Dessuten, for dette trenger du bare å vite multiplikasjonstabellen, og hvordan et tall heves til en potens ...

Jeg føler at du tviler ... Vel, hold tiden! Gå!

Løs først følgende ligning i tankene dine:

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.

Logaritmen av tallet b til grunntallet a er eksponenten du må heve tallet a til for å få tallet b.

Hvis da .

Logaritmen er ekstrem viktig matematisk størrelse, siden den logaritmiske beregningen tillater ikke bare å løse eksponentielle ligninger, men også operere med indikatorer, differensiere eksponentielle og logaritmiske funksjoner, integrere dem og føre til en mer akseptabel form som kan beregnes.

I kontakt med

Alle egenskaper ved logaritmer er direkte relatert til egenskaper eksponentielle funksjoner. For eksempel det faktum at betyr at:

Det skal bemerkes at når du løser spesifikke problemer, kan egenskapene til logaritmer være viktigere og nyttige enn reglene for å jobbe med potenser.

Her er noen identiteter:

Her er de viktigste algebraiske uttrykkene:

;

.

Merk følgende! kan bare eksistere for x>0, x≠1, y>0.

La oss prøve å forstå spørsmålet om hva naturlige logaritmer er. Egen interesse for matematikk representerer to typer- den første har tallet "10" i basen, og kalles " desimal logaritme". Den andre kalles naturlig. Grunnlaget for den naturlige logaritmen er tallet e. Det er om ham vi vil snakke i detalj i denne artikkelen.

Betegnelser:

• lg x - desimal;
• ln x - naturlig.

Ved å bruke identiteten kan vi se at ln e = 1, samt at lg 10=1.

naturlig logggraf

Vi konstruerer en graf av den naturlige logaritmen på standard klassisk måte etter punkt. Hvis du ønsker det, kan du sjekke om vi bygger en funksjon riktig ved å undersøke funksjonen. Imidlertid er det fornuftig å lære å bygge det "manuelt" for å vite hvordan man korrekt beregner logaritmen.

Funksjon: y = log x. La oss skrive en tabell med punkter som grafen vil passere gjennom:

La oss forklare hvorfor vi valgte slike verdier av argumentet x. Alt handler om identitet: For en naturlig logaritme vil denne identiteten se slik ut:

For enkelhets skyld kan vi ta fem referansepunkter:

;

;

.

;

.

Dermed er telling av naturlige logaritmer en ganske enkel oppgave, dessuten forenkler det beregningen av operasjoner med potenser, og gjør dem til normal multiplikasjon.

Etter å ha bygget en graf etter poeng, får vi en omtrentlig graf:

Domenet til den naturlige logaritmen (det vil si alle gyldige verdier av X-argumentet) er alle tall større enn null.

Merk følgende! Definisjonsdomenet til den naturlige logaritmen inkluderer bare positive tall! Omfanget inkluderer ikke x=0. Dette er umulig basert på betingelsene for eksistensen av logaritmen.

Verdiområdet (dvs. alle gyldige verdier for funksjonen y = ln x) er alle tall i intervallet.

naturlig logggrense

Når man studerer grafen, oppstår spørsmålet - hvordan oppfører funksjonen seg når y<0.

Selvfølgelig har grafen til funksjonen en tendens til å krysse y-aksen, men vil ikke være i stand til å gjøre dette, siden den naturlige logaritmen til x<0 не существует.

Naturlig grense Logg kan skrives slik:

Formel for å endre basisen til en logaritme

Å håndtere en naturlig logaritme er mye enklere enn å håndtere en logaritme som har en vilkårlig base. Det er grunnen til at vi vil prøve å lære å redusere enhver logaritme til en naturlig, eller uttrykke den i en vilkårlig base gjennom naturlige logaritmer.

La oss starte med den logaritmiske identiteten:

Da kan et hvilket som helst tall eller variabel y representeres som:

hvor x er et hvilket som helst tall (positivt i henhold til egenskapene til logaritmen).

Dette uttrykket kan logaritmeres på begge sider. La oss gjøre dette med en vilkårlig base z:

La oss bruke egenskapen (bare i stedet for "med" har vi et uttrykk):

Herfra får vi den universelle formelen:

.

Spesielt hvis z=e, da:

.

Vi klarte å representere logaritmen til en vilkårlig base gjennom forholdet mellom to naturlige logaritmer.

Vi løser problemer

For å bedre navigere i naturlige logaritmer, vurder eksempler på flere problemer.

Oppgave 1. Det er nødvendig å løse likningen ln x = 3.

Løsning: Ved å bruke definisjonen av logaritmen: hvis , da , får vi:

Oppgave 2. Løs ligningen (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Løsning: Ved å bruke definisjonen av logaritmen: hvis , så får vi:

.

Nok en gang bruker vi definisjonen av logaritmen:

.

Dermed:

.

Du kan beregne svaret omtrentlig, eller du kan la det stå i dette skjemaet.

Oppgave 3. Løs ligningen.

Løsning: La oss gjøre en erstatning: t = ln x. Deretter vil ligningen ha følgende form:

.

Vi har en andregradsligning. La oss finne den diskriminerende:

Første rot av ligningen:

.

Den andre roten av ligningen:

.

Når vi husker at vi gjorde erstatningen t = ln x, får vi:

I statistikk og sannsynlighetsteori er logaritmiske størrelser svært vanlige. Dette er ikke overraskende, fordi tallet e - ofte gjenspeiler veksthastigheten til eksponentielle verdier.

I informatikk, programmering og datateori er logaritmer ganske vanlige, for eksempel for å lagre N biter i minnet.

I teoriene om fraktaler og dimensjoner brukes logaritmer konstant, siden dimensjonene til fraktaler kun bestemmes med deres hjelp.

I mekanikk og fysikk det er ingen seksjon der logaritmer ikke ble brukt. Den barometriske fordelingen, alle prinsippene for statistisk termodynamikk, Tsiolkovsky-ligningen og så videre er prosesser som bare kan beskrives matematisk ved hjelp av logaritmer.

I kjemi brukes logaritmen i Nernst-ligningene, beskrivelser av redoksprosesser.

Utrolig nok, selv i musikk, for å finne ut antall deler av en oktav, brukes logaritmer.

Naturlig logaritme Funksjon y=ln x dens egenskaper

Bevis på hovedegenskapen til den naturlige logaritmen

tar ofte et tall e = 2,718281828 . Logaritmer i denne basen kalles naturlig. Når man utfører beregninger med naturlige logaritmer, er det vanlig å operere med tegnet ln, men ikke Logg; mens nummeret 2,718281828 , som definerer basen, indikerer ikke.

Med andre ord vil ordlyden se slik ut: naturlig logaritme tall X er eksponenten som tallet skal heves til e, For å oppnå x.

Så, ln(7 389...)= 2 fordi e 2 =7,389... . Den naturlige logaritmen til selve tallet e= 1 fordi e 1 =e, og den naturlige logaritmen av enhet er lik null, siden e 0 = 1.

Selve nummeret e definerer grensen for en monoton avgrenset sekvens

regnet det ut e = 2,7182818284... .

Ganske ofte, for å fikse et nummer i minnet, er sifrene i det nødvendige nummeret knyttet til en utestående dato. Hastigheten for å huske de første ni sifrene i et tall e etter desimaltegnet vil øke hvis du legger merke til at 1828 er året for Leo Tolstojs fødsel!

Til dags dato er det ganske komplette tabeller over naturlige logaritmer.

naturlig logggraf(funksjoner y=ln x) er en konsekvens av plottet av eksponenten som et speilbilde med hensyn til den rette linjen y = x og ser slik ut:

Den naturlige logaritmen kan finnes for hvert positivt reelt tall en som området under kurven y = 1/x fra 1 før en.

Den elementære naturen til denne formuleringen, som passer inn med mange andre formler der den naturlige logaritmen er involvert, var årsaken til dannelsen av navnet "naturlig".

Hvis vi analyserer naturlig logaritme, som en reell funksjon av en reell variabel, så virker den invers funksjon til en eksponentiell funksjon, som reduserer til identitetene:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

I analogi med alle logaritmer, konverterer den naturlige logaritmen multiplikasjon til addisjon, divisjon til subtraksjon:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritmen kan finnes for hver positiv base som ikke er lik én, ikke bare for e, men logaritmer for andre baser skiller seg fra den naturlige logaritmen bare med en konstant faktor, og er vanligvis definert i form av den naturlige logaritmen.

Etter å ha analysert naturlig logggraf, vi får at det eksisterer for positive verdier av variabelen x. Den øker monotont på sitt definisjonsdomene.

På x → 0 grensen for den naturlige logaritmen er minus uendelig ( -∞ ).På x → +∞ grensen for den naturlige logaritmen er pluss uendelig ( + ∞ ). For øvrig x logaritmen øker ganske sakte. Enhver strømfunksjon x a med en positiv eksponent enøker raskere enn logaritmen. Den naturlige logaritmen er en monotont økende funksjon, så den har ingen ekstrema.

Bruk naturlige logaritmer veldig rasjonell i overgangen til høyere matematikk. Dermed er bruken av logaritmen praktisk for å finne svaret på ligninger der de ukjente vises som en eksponent. Bruken av naturlige logaritmer i beregninger gjør det mulig å i stor grad lette et stort antall matematiske formler. basislogaritmer e er tilstede i å løse et betydelig antall fysiske problemer og er naturlig inkludert i den matematiske beskrivelsen av individuelle kjemiske, biologiske og andre prosesser. Dermed brukes logaritmer for å beregne henfallskonstanten for en kjent halveringstid, eller for å beregne henfallstiden for å løse problemer med radioaktivitet. De spiller en ledende rolle i mange deler av matematikk og praktiske vitenskaper, de blir ty til innen finans for å løse et stort antall problemer, inkludert i beregningen av renters rente.

Leksjon og presentasjon om temaene: "Naturlige logaritmer. Grunnlag for en naturlig logaritme. Logaritme av et naturlig tall"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, tilbakemeldinger, forslag! Alt materiale kontrolleres av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i nettbutikken "Integral" for 11. klasse
Interaktiv manual for klasse 9-11 "Trigonometri"
Interaktiv manual for klasse 10-11 "Logarithms"

Hva er naturlig logaritme

Gutter, i den siste leksjonen lærte vi et nytt, spesielt nummer - e. I dag skal vi fortsette å jobbe med dette nummeret.
Vi har studert logaritmer og vi vet at basisen til logaritmen kan være et sett med tall som er større enn 0. I dag skal vi også vurdere logaritmen, som er basert på tallet e. En slik logaritme kalles vanligvis den naturlige logaritmen. . Den har sin egen notasjon: $\ln(n)$ er den naturlige logaritmen. Denne notasjonen tilsvarer: $\log_e(n)=\ln(n)$.
De eksponentielle og logaritmiske funksjonene er inverse, så er den naturlige logaritmen inversen av funksjonen: $y=e^x$.
Inverse funksjoner er symmetriske med hensyn til den rette linjen $y=x$.
La oss plotte den naturlige logaritmen ved å plotte eksponentialfunksjonen med hensyn til den rette linjen $y=x$.

Det er verdt å merke seg at hellingen til tangenten til grafen til funksjonen $y=e^x$ i punktet (0;1) er 45°. Da vil helningen til tangenten til grafen til den naturlige logaritmen i punktet (1; 0) også være lik 45°. Begge disse tangentene vil være parallelle med linjen $y=x$. La oss skissere tangentene:

Egenskaper for funksjonen $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Er verken partall eller oddetall.
3. Øker over hele definisjonsdomenet.
4. Ikke begrenset ovenfra, ikke begrenset nedenfra.
5. Det er ingen maksimumsverdi, det er ingen minimumsverdi.
6. Kontinuerlig.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveks opp.
9. Differensierbar overalt.

I løpet av høyere matematikk er det bevist at den deriverte av en invers funksjon er den resiproke av den deriverte av den gitte funksjonen.
Det gir ikke mye mening å fordype seg i beviset, la oss bare skrive formelen: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Eksempel.
Beregn verdien av den deriverte av funksjonen: $y=\ln(2x-7)$ i punktet $x=4$.
Løsning.
Generelt er funksjonen vår representert ved funksjonen $y=f(kx+m)$, vi kan beregne de deriverte av slike funksjoner.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
La oss beregne verdien av den deriverte ved det nødvendige punktet: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Svar: 2.

Eksempel.
Tegn en tangent til grafen til funksjonen $y=ln(x)$ i punktet $x=e$.
Løsning.
Likningen av tangenten til grafen til funksjonen, i punktet $x=a$, husker vi godt.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
La oss beregne de nødvendige verdiene sekvensielt.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Tangentligningen i punktet $x=e$ er funksjonen $y=\frac(x)(e)$.
La oss plotte den naturlige logaritmen og tangenten.

Eksempel.
Undersøk funksjonen for monotonisitet og ekstrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Løsning.
Domene til funksjonen $D(y)=(0;+∞)$.
Finn den deriverte av den gitte funksjonen:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Den deriverte eksisterer for alle x fra definisjonsdomenet, da er det ingen kritiske punkter. La oss finne stasjonære punkter:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punktet $х=-1$ tilhører ikke definisjonsdomenet. Da har vi ett stasjonært punkt $х=1$. Finn intervallene for økning og reduksjon:

Punktet $x=1$ er minimumspunktet, deretter $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Svar: Funksjonen avtar på segmentet (0;1], funksjonen øker på strålen $)