Eksponentialligningen er null. eksponentielle ligninger

Ligninger kalles eksponentielle hvis det ukjente er inneholdt i eksponenten. Den enkleste eksponentialligningen har formen: a x \u003d a b, hvor a> 0, og 1, x er en ukjent.

Hovedegenskapene til gradene, ved hjelp av hvilke eksponentialligningene transformeres: a>0, b>0.

Når man bestemmer seg eksponentielle ligninger også nyte følgende egenskaper eksponentiell funksjon: y = a x , a > 0, a1:

For å representere et tall som en potens, bruk grunntall logaritmisk identitet: b = , a > 0, a1, b > 0.

Oppgaver og tester om emnet "Eksponentialligninger"

• eksponentielle ligninger

  Leksjoner: 4 oppgaver: 21 prøver: 1

• eksponentielle ligninger - Viktige temaer for repetisjon av eksamen i matematikk

  Oppgaver: 14

• Systemer av eksponentielle og logaritmiske ligninger - Eksponentielle og logaritmiske funksjoner, klasse 11

  Leksjoner: 1 oppgaver: 15 prøver: 1

• §2.1. Løsning av eksponentialligninger

  Leksjoner: 1 oppgaver: 27

• §7 Eksponentielle og logaritmiske ligninger og ulikheter - Del 5. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner Grad 10

  Leksjoner: 1 oppgaver: 17

Til vellykket løsning eksponentialligninger Du må kunne de grunnleggende egenskapene til potenser, egenskapene til eksponentialfunksjonen, den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Når du løser eksponentielle ligninger, brukes to hovedmetoder:

1. overgang fra ligningen a f(x) = a g(x) til ligningen f(x) = g(x);
2. introduksjon av nye linjer.

Eksempler.

1. Ligninger reduseres til det enkleste. De løses ved å bringe begge sider av ligningen til en potens med samme grunntall.

3x \u003d 9x - 2.

Løsning:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Svar: 4.

2. Ligninger løst ved å sette den felles faktoren i parentes.

Løsning:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Svar: 3.

3. Ligninger løst ved endring av variabel.

Løsning:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Vi betegner 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y1 = -4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. Ligningen har ingen løsninger, fordi 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Svar: logg 2 3.

4. Ligninger som inneholder potenser med to forskjellige (ikke reduserbare til hverandre) baser.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Svar: 2.

5. Ligninger som er homogene med hensyn til a x og b x .

Generell form: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Løsning:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Angi (3/2) x = y.
y 2 - 2,5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Svar: logg 3/2 2; - logg 3/2 2.

Løsning av eksponentialligninger. Eksempler.

Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Hva har skjedd eksponentiell ligning? Dette er en ligning der de ukjente (x) og uttrykk med dem er med indikatorer noen grader. Og bare der! Det er viktig.

Der er du eksempler på eksponentielle ligninger:

3 x 2 x = 8 x + 3

Merk! I basis av grader (nedenfor) - bare tall. I indikatorer grader (over) - en lang rekke uttrykk med x. Hvis det plutselig dukker opp en x i ligningen et annet sted enn indikatoren, for eksempel:

dette vil være ligningen blandet type. Slike ligninger har ikke klare regler for løsning. Vi vil ikke vurdere dem foreløpig. Her skal vi forholde oss til løsning av eksponentialligninger i sin reneste form.

Faktisk er selv rene eksponentielle ligninger ikke alltid klart løst. Men det er visse typer eksponentielle ligninger som kan og bør løses. Dette er typene vi skal se på.

Løsning av de enkleste eksponentialligningene.

La oss starte med noe veldig grunnleggende. For eksempel:

Selv uten noen teori, ved enkelt valg er det klart at x = 2. Ikke noe mer, ikke sant!? Ingen andre x-verdi-ruller. Og la oss nå se på løsningen av denne vanskelige eksponentielle ligningen:

Hva har vi gjort? Vi har faktisk bare kastet ut de samme bunnene (trippel). Fullstendig kastet ut. Og, hva gleder, treff blink!

Faktisk, hvis i eksponentialligningen til venstre og høyre er det samme tall i hvilken som helst grad, kan disse tallene fjernes og like eksponenter. Matematikk tillater. Det gjenstår å løse en mye enklere ligning. Det er bra, ikke sant?)

La oss imidlertid huske ironisk nok: du kan fjerne basene bare når basetallene til venstre og høyre er i utmerket isolasjon! Uten noen naboer og koeffisienter. La oss si i ligningene:

2 x +2 x + 1 = 2 3, eller

Du kan ikke fjerne dobler!

Vel, vi har mestret det viktigste. Hvordan gå fra onde eksponentielle uttrykk til enklere ligninger.

"Her er de gangene!" - du sier. "Hvem vil gi en slik primitiv på kontroll og eksamener!?"

Tvunget til å være enig. Ingen vil. Men nå vet du hvor du skal gå når du skal løse forvirrende eksempler. Det er nødvendig å huske på det, når det samme basenummeret er til venstre - til høyre. Da blir alt lettere. Egentlig er dette matematikkens klassikere. Vi tar det originale eksemplet og transformerer det til ønsket oss sinn. Etter matematikkens regler, selvfølgelig.

Tenk på eksempler som krever litt ekstra innsats for å bringe dem til det enkleste. La oss ringe dem enkle eksponentialligninger.

Løsning av enkle eksponentialligninger. Eksempler.

Ved løsning av eksponentielle ligninger er hovedreglene handlinger med krefter. Uten kunnskap om disse handlingene vil ingenting fungere.

Til handlinger med grader må man legge til personlig observasjon og oppfinnsomhet. Trenger vi de samme grunntallene? Så vi ser etter dem i eksemplet i en eksplisitt eller kryptert form.

La oss se hvordan dette gjøres i praksis?

La oss gi oss et eksempel:

2 2x - 8 x+1 = 0

Første blikk på begrunnelse. De... De er forskjellige! To og åtte. Men det er for tidlig å bli motløs. Det er på tide å huske det

To og åtte er slektninger i grad.) Det er fullt mulig å skrive ned:

8 x+1 = (2 3) x+1

Hvis vi husker formelen fra handlinger med potenser:

(a n) m = a nm ,

det fungerer generelt bra:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Det originale eksemplet ser slik ut:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Vi overfører 2 3 (x+1) til høyre (ingen kansellerte de grunnleggende handlingene i matematikk!), får vi:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Det er praktisk talt alt. Fjerning av baser:

Vi løser dette monsteret og får

Dette er det riktige svaret.

I dette eksemplet hjalp det oss å kjenne kreftene til to. Vi identifisert i åtte, den krypterte toeren. Denne teknikken (koding av vanlige baser under forskjellige tall) er et veldig populært triks i eksponentielle ligninger! Ja, selv i logaritmer. Man må kunne gjenkjenne potensene til andre tall i tall. Dette er ekstremt viktig for å løse eksponentielle ligninger.

Faktum er at det ikke er et problem å heve et hvilket som helst tall til enhver makt. Multipliser, selv på et stykke papir, og det er alt. For eksempel kan alle høyne 3 til femte potens. 243 vil vise seg hvis du kjenner multiplikasjonstabellen.) Men i eksponentialligninger er det mye oftere nødvendig å ikke heve til en potens, men omvendt ... hvilket antall i hvilken grad skjuler seg bak tallet 243, eller for eksempel 343... Ingen kalkulator vil hjelpe deg her.

Du må kjenne kraften til noen tall ved synet, ja ... Skal vi øve?

Bestem hvilke potenser og hvilke tall som er tall:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Svar (i et rot, selvfølgelig!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Hvis du ser nøye etter, kan du se et merkelig faktum. Det er flere svar enn spørsmål! Vel, det skjer... For eksempel er 2 6 , 4 3 , 8 2 alle 64.

La oss anta at du har notert deg informasjonen om kjennskap til tall.) La meg minne deg på at for å løse eksponentielle ligninger bruker vi hele lager av matematisk kunnskap. Inkludert fra lavere-middelklassen. Du gikk ikke rett på videregående, gjorde du?

For eksempel, når du løser eksponentielle ligninger, hjelper det veldig ofte å sette fellesfaktoren utenfor parentes (hei til karakter 7!). La oss se et eksempel:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Og igjen, det første blikket - på eiendommen! Grunnlaget for gradene er forskjellige ... Tre og ni. Og vi vil at de skal være de samme. Vel, i dette tilfellet er ønsket ganske gjennomførbart!) Fordi:

9 x = (3 2) x = 3 2x

I henhold til de samme reglene for handlinger med grader:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Det er flott, du kan skrive:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Vi ga et eksempel av samme grunn. Så, hva er neste!? Treere kan ikke kastes ut ... blindvei?

Ikke i det hele tatt. Husk den mest universelle og kraftige beslutningsregelen alle matteoppgaver:

Hvis du ikke vet hva du skal gjøre, gjør det du kan!

Du ser, alt er dannet).

Hva er i denne eksponentielle ligningen Kan gjøre? Ja, venstre side ber direkte om parentes! Fellesfaktoren 3 2x antyder klart dette. La oss prøve, så får vi se:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Eksemplet blir stadig bedre og bedre!

Vi husker at for å eliminere baser trenger vi en ren grad, uten koeffisienter. Tallet 70 plager oss. Så vi deler begge sider av ligningen med 70, får vi:

Opp-pa! Alt har vært bra!

Dette er det endelige svaret.

Det hender imidlertid at det oppnås uttaksing på samme grunnlag, men avviklingen er det ikke. Dette skjer i eksponentialligninger av en annen type. La oss få denne typen.

Endring av variabel ved løsning av eksponentialligninger. Eksempler.

La oss løse ligningen:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Først - som vanlig. La oss gå videre til basen. Til toeren.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Vi får ligningen:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Og her skal vi henge. De forrige triksene vil ikke fungere, uansett hvordan du snur på det. Vi må komme oss fra arsenalet til en annen kraftig og allsidig måte. Det heter variabel substitusjon.

Essensen av metoden er overraskende enkel. I stedet for ett komplekst ikon (i vårt tilfelle 2 x), skriver vi et annet, enklere (for eksempel t). En slik tilsynelatende meningsløs erstatning fører til fantastiske resultater!) Alt blir bare klart og forståelig!

Så la

Deretter 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Vi erstatter i ligningen vår alle potenser med x-er med t:

Vel, det går opp?) Har du ikke glemt andregradsligninger ennå? Vi løser gjennom diskriminanten, vi får:

Her er det viktigste å ikke stoppe, som det skjer ... Dette er ikke svaret ennå, vi trenger x, ikke t. Vi går tilbake til Xs, dvs. gjør en erstatning. Først for t 1:

Det er,

En rot ble funnet. Vi ser etter den andre, fra t 2:

Um... Venstre 2 x, Høyre 1... Et stikk? Ja, ikke i det hele tatt! Det er nok å huske (fra handlinger med grader, ja ...) at en enhet er noen tall til null. Noen. Uansett hva du trenger, vil vi sette det. Vi trenger en toer. Midler:

Nå er det alt. Har 2 røtter:

Dette er svaret.

På løse eksponentialligninger på slutten får man noen ganger et klosset uttrykk. Type:

Fra de syv, en toer til en enkel grad fungerer ikke. De er ikke slektninger ... Hvordan kan jeg være her? Noen kan bli forvirret ... Men personen som leste på dette nettstedet emnet "Hva er en logaritme?" , bare smil sparsomt og skriv ned med fast hånd det helt riktige svaret:

Det kan ikke være noe slikt svar i oppgavene "B" på eksamen. Det kreves et spesifikt nummer. Men i oppgaver "C" - lett.

Denne leksjonen gir eksempler på løsning av de vanligste eksponentialligningene. La oss fremheve den viktigste.

Praktiske tips:

1. Først og fremst ser vi på begrunnelse grader. La oss se om de ikke kan gjøres det samme. La oss prøve å gjøre dette ved å bruke aktivt handlinger med krefter. Ikke glem at tall uten x også kan gjøres om til grader!

2. Vi prøver å bringe eksponentialligningen til formen når venstre og høyre er det samme tall i noen grad. Vi bruker handlinger med krefter Og faktorisering. Det som kan telles i tall - vi teller.

3. Hvis det andre rådet ikke fungerte, prøver vi å bruke variabelsubstitusjonen. Resultatet kan bli en ligning som er lett å løse. Oftest - firkantet. Eller brøk, som også reduseres til en firkant.

4. For å lykkes med å løse eksponentialligninger, må du kjenne gradene til noen tall "av synet".

Som vanlig, på slutten av timen inviteres du til å løse litt.) På egenhånd. Fra enkelt til komplekst.

Løs eksponentialligninger:

Vanskeligere:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Finn produkt av røtter:

2 3-x + 2 x = 9

Skjedd?

Da så det vanskeligste eksemplet(bestemte seg imidlertid i tankene ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Hva er mer interessant? Da er her et dårlig eksempel for deg. Ganske trekke på økt vanskelighetsgrad. Jeg vil antyde at i dette eksemplet sparer oppfinnsomhet og den mest universelle regelen for å løse alle matematiske oppgaver.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Et eksempel er enklere, for avslapning):

9 2 x - 4 3 x = 0

Og til dessert. Finn summen av røttene til ligningen:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja Ja! Dette er en ligning av blandet type! Noe vi ikke tok for oss i denne leksjonen. Og hva du bør vurdere dem, de må løses!) Denne leksjonen er ganske nok til å løse ligningen. Vel, oppfinnsomhet trengs ... Og ja, syvende klasse vil hjelpe deg (dette er et hint!).

Svar (i uorden, atskilt med semikolon):

1; 2; 3; 4; det er ingen løsninger; 2; -2; -5; 4; 0.

Er alt vellykket? Flott.

Det er et problem? Ikke noe problem! I Special Section 555 løses alle disse eksponentialligningene med detaljerte forklaringer. Hva, hvorfor og hvorfor. Og selvfølgelig er det ytterligere verdifull informasjon om å jobbe med alle slags eksponentielle ligninger. Ikke bare med disse.)

Et siste morsomt spørsmål å vurdere. I denne leksjonen jobbet vi med eksponentialligninger. Hvorfor sa jeg ikke et ord om ODZ her? I ligninger er dette en veldig viktig ting, forresten ...

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.

Forelesning: "Metoder for å løse eksponentialligninger."

1 . eksponentielle ligninger.

Ligninger som inneholder ukjente i eksponenten kalles eksponentielle ligninger. Den enkleste av disse er ligningen ax = b, hvor a > 0 og a ≠ 1.

1) For b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) For b > 0, ved å bruke monotonisiteten til funksjonen og rotteoremet, har ligningen en enkelt rot. For å finne den må b representeres som b = aс, ax = bс ó x = c eller x = logab.

Eksponentiallikningene, gjennom algebraiske transformasjoner, fører til standardlikninger, som løses ved hjelp av følgende metoder:

1) metode for reduksjon til en base;

2) vurderingsmetode;

3) grafisk metode;

4) metoden for å introdusere nye variabler;

5) faktoriseringsmetode;

6) eksponentiell - potensligninger;

7) eksponentiell med en parameter.

2 . Metode for reduksjon til ett grunnlag.

Metoden er basert på følgende egenskap av grader: hvis to grader er like og deres base er like, så er eksponentene deres like, dvs. ligningen skal forsøkes redusert til formen

Eksempler. Løs ligningen:

1 . 3x=81;

La oss representere høyre side av ligningen på formen 81 = 34 og skrive ligningen tilsvarende den opprinnelige 3 x = 34; x = 4. Svar: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> og gå til ligningen for eksponenter 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Svar: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Legg merke til at tallene 0,2, 0,04, √5 og 25 er potenser av 5. La oss dra nytte av dette og transformere den opprinnelige ligningen som følger:

, hvorfra 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, hvorfra vi finner løsningen x = -1. Svar: -1.

5. 3x = 5. Per definisjon av logaritmen, x = log35. Svar: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

La oss omskrive ligningen til 32x+4,22x+4 = 32x.2x+8, dvs..png" width="181" height="49 src="> Derav x - 4 =0, x = 4. Svar: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Ved å bruke egenskapene til potenser skriver vi likningen på formen e. x+1 = 2, x =1. Svar: 1.

Oppgavebank nr. 1.

Løs ligningen:

Test nummer 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ingen røtter
	1) 7;1 2) ingen røtter 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) ingen røtter 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Vurderingsmetode.

Rotteoremet: hvis funksjonen f (x) øker (minker) på intervallet I, er tallet a en hvilken som helst verdi tatt av f på dette intervallet, så har ligningen f (x) = a en enkelt rot på intervallet I.

Ved løsning av ligninger ved estimeringsmetoden brukes denne teoremet og monotonisitetsegenskapene til funksjonen.

Eksempler. Løs ligninger: 1. 4x = 5 - x.

Løsning. La oss omskrive ligningen som 4x + x = 5.

1. hvis x \u003d 1, så er 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 sann, så er 1 roten av ligningen.

Funksjonen f(x) = 4x øker på R og g(x) = x øker på R => h(x)= f(x)+g(x) øker på R som summen av økende funksjoner, så x = 1 er den eneste roten av ligningen 4x = 5 – x. Svar: 1.

2.

Løsning. Vi skriver om ligningen i skjemaet .

1. hvis x = -1, da , 3 = 3-sann, så x = -1 er roten til ligningen.

2. bevise at det er unikt.

3. Funksjonen f(x) = - avtar på R, og g(x) = - x - avtar på R => h(x) = f(x) + g(x) - avtar på R, som summen av avtagende funksjoner. Så ved rotteoremet er x = -1 den eneste roten av ligningen. Svar: -1.

Oppgavebank nr. 2. løse ligningen

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 = 1 – x;

4. Metode for å introdusere nye variabler.

Metoden er beskrevet i avsnitt 2.1. Introduksjonen av en ny variabel (substitusjon) utføres vanligvis etter transformasjoner (forenkling) av begrepene i ligningen. Tenk på eksempler.

Eksempler. R spise ligning: 1. .

La oss omskrive ligningen annerledes: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Løsning. La oss omskrive ligningen annerledes:

Angi https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ikke egnet.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> er en irrasjonell ligning. Merk at

Løsningen til ligningen er x = 2,5 ≤ 4, så 2,5 er roten til ligningen. Svar: 2.5.

Løsning. La oss skrive om likningen i formen og dele begge sider med 56x+6 ≠ 0. Vi får likningen

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, so..png" width="118" height="56">

Røtter kvadratisk ligning– t1 = 1 og t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Løsning . Vi skriver om ligningen i skjemaet

og merk at det er en homogen ligning av andre grad.

Del ligningen med 42x, får vi

Erstatt https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Svar: 0; 0,5.

Oppgavebank #3. løse ligningen

b)

G)

Test #3 med valg av svar. Minimumsnivå.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) ingen røtter 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) ingen røtter 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test #4 med valg av svar. Generelt nivå.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) ingen røtter

5. Metode for faktorisering.

1. Løs ligningen: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Løsning..png" width="169" height="69"> , hvorfra

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Løsning. La oss ta ut 6x på venstre side av ligningen, og 2x på høyre side. Vi får ligningen 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Siden 2x >0 for alle x, kan vi dele begge sider av denne ligningen med 2x uten frykt for å miste løsninger. Vi får 3x = 1ó x = 0.

3.

Løsning. Vi løser ligningen ved å faktorisere.

Vi velger kvadratet til binomialet

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 er roten til ligningen.

Ligning x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15,x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test #6 Generelt nivå.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponentiell - potenslikninger.

Eksponentiallikningene er forbundet med de såkalte eksponential-potenslikningene, dvs. ligninger av formen (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Hvis det er kjent at f(x)>0 og f(x) ≠ 1, så løses ligningen, som den eksponentielle, ved å likestille eksponentene g(x) = f(x).

Hvis betingelsen ikke utelukker muligheten for f(x)=0 og f(x)=1, må vi vurdere disse tilfellene når vi løser den eksponentielle potenslikningen.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Løsning. x2 +2x-8 - gir mening for enhver x, fordi et polynom, så ligningen er ekvivalent med settet

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Eksponentialligninger med parametere.

1. For hvilke verdier av parameteren p har ligningen 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) eneste avgjørelse?

Løsning. La oss introdusere endringen 2x = t, t > 0, så vil ligning (1) ha formen t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminanten til ligning (2) er D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ligning (1) har en unik løsning hvis ligning (2) har én positiv rot. Dette er mulig i følgende tilfeller.

1. Hvis D = 0, det vil si p = 1, vil ligning (2) ha formen t2 – 2t + 1 = 0, derav t = 1, derfor har ligning (1) en unik løsning x = 0.

2. Hvis p1, så 9(p – 1)2 > 0, så har ligning (2) to forskjellige røtter t1 = p, t2 = 4p – 3. Systemsettet tilfredsstiller problemets tilstand

Vi har erstattet t1 og t2 i systemene

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Løsning. La da vil ligning (3) ha formen t2 – 6t – a = 0. (4)

La oss finne verdiene til parameteren a der minst én rot av ligningen (4) tilfredsstiller betingelsen t > 0.

La oss introdusere funksjonen f(t) = t2 – 6t – a. Følgende tilfeller er mulige.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Tilfelle 2. Ligning (4) har en unik positiv løsning hvis

D = 0, hvis a = – 9, vil ligning (4) ha formen (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Tilfelle 3. Ligning (4) har to røtter, men en av dem tilfredsstiller ikke ulikheten t > 0. Dette er mulig hvis

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Således, ved a 0 har ligning (4) en enkelt positiv rot . Da har ligning (3) en unik løsning

For en< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

hvis en< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
hvis a = – 9, så er x = – 1;

hvis a  0, da

La oss sammenligne metodene for å løse likningene (1) og (3). Legg merke til at når løsning av ligning (1) ble redusert til en kvadratisk ligning, hvor diskriminanten er en hel kvadrat; således ble røttene til ligning (2) umiddelbart beregnet med formelen til røttene til kvadratisk ligning, og deretter ble det trukket konklusjoner angående disse røttene. Ligning (3) er redusert til andregradsligning (4), hvis diskriminant ikke er full firkant, derfor, når du løser ligning (3), er det tilrådelig å bruke teoremer om plasseringen av røttene til et kvadratisk trinomium og en grafisk modell. Merk at ligning (4) kan løses ved å bruke Vieta-setningen.

La oss løse mer komplekse ligninger.

Oppgave 3. Løs ligningen

Løsning. ODZ: x1, x2.

La oss introdusere en erstatning. La 2x = t, t > 0, så som et resultat av transformasjoner vil ligningen ha formen t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) La oss finne verdiene til a som minst én rot av ligningen (*) tilfredsstiller betingelsen t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Svar: hvis a > - 13, a  11, a  5, så hvis a - 13,

a = 11, a = 5, så er det ingen røtter.

Bibliografi.

1. Guzeev grunnlaget for pedagogisk teknologi.

2. Guzeev-teknologi: fra mottak til filosofi.

M. "Rektor" nr. 4, 1996

3. Guzeev og organisasjonsformer læring.

4. Guzeev og praktiseringen av integrert pedagogisk teknologi.

M. "Folkets utdanning", 2001

5. Guzeev fra formene for leksjonen - seminar.

Matematikk på skolen nr. 2, 1987, s. 9 - 11.

6. Selevko pedagogiske teknologier.

M. "Folkets utdanning", 1998

7. Episheva skolebarn lærer matematikk.

M. "Enlightenment", 1990

8. Ivanov for å forberede leksjoner - workshops.

Matematikk ved skolen nr. 6, 1990, s. 37-40.

9. Smirnov modell for undervisning i matematikk.

Matematikk ved skolen nr. 1, 1997, s. 32-36.

10. Tarasenko måter å organisere praktisk arbeid på.

Matematikk ved skolen nr. 1, 1993, s. 27 - 28.

11. Om en av typene enkeltarbeid.

Matematikk ved skolen nr. 2, 1994, s. 63 - 64.

12. Khazankin Kreative ferdigheter skolebarn.

Matematikk ved skolen nr. 2, 1989, s. 10.

13. Scanavi. Forlag, 1997

14. et al. Algebra og begynnelsen av analysen. Didaktisk materiale Til

15. Krivonogov-oppgaver i matematikk.

M. "Første september", 2002

16. Tsjerkasov. Håndbok for videregående elever og

inn på universiteter. "A ST - presseskole", 2002

17. Zhevnyak for søkere til universiteter.

Minsk og RF "Review", 1996

18. Skriftlig D. Forberedelse til eksamen i matematikk. M. Rolf, 1999

19. og andre Lære å løse likninger og ulikheter.

M. "Intellekt - Senter", 2003

20. og andre. Pedagogisk - treningsmaterialeå forberede seg til E G E.

M. "Intellekt - Senter", 2003 og 2004

21 m.fl. Varianter av CMM. Testsenter ved Forsvarsdepartementet i Den russiske føderasjonen, 2002, 2003

22. Goldberg-ligninger. "Quantum" nr. 3, 1971

23. Volovich M. Hvordan lykkes med å undervise i matematikk.

Matematikk, 1997 nr. 3.

24 Okunev for leksjonen, barn! M. Enlightenment, 1988

25. Yakimanskaya - orientert utdanning på skolen.

26. Liimets jobber på timen. M. Knowledge, 1975

Til youtube-kanalen til nettstedet vårt for å være oppmerksom på alle nye videoleksjoner.

Først, la oss huske de grunnleggende formlene for grader og deres egenskaper.

Produkt av et tall en skjer av seg selv n ganger, kan vi skrive dette uttrykket som a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Potens eller eksponentialligninger- dette er ligninger der variablene er i potenser (eller eksponenter), og grunntallet er et tall.

Eksempler på eksponentialligninger:

I dette eksemplet tallet 6 er basen, det er alltid nederst og variabelen x grad eller mål.

La oss gi flere eksempler på eksponentialligninger.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

La oss nå se på hvordan eksponentialligninger løses?

La oss ta en enkel ligning:

2 x = 2 3

Et slikt eksempel kan løses selv i sinnet. Det kan sees at x=3. Tross alt, for at venstre og høyre side skal være like, må du sette tallet 3 i stedet for x.
La oss nå se hvordan denne avgjørelsen skal tas:

2 x = 2 3
x = 3

For å løse denne ligningen fjernet vi samme grunn(det vil si toere) og skrev ned det som var igjen, dette er grader. Vi fikk svaret vi var ute etter.

La oss nå oppsummere løsningen vår.

Algoritme for å løse eksponentialligningen:
1. Må sjekkes det samme om grunnlaget for ligningen til høyre og venstre. Hvis begrunnelsen ikke er den samme, ser vi etter alternativer for å løse dette eksemplet.
2. Etter at basene er de samme, likestille grad og løse den resulterende nye ligningen.

La oss nå løse noen eksempler:

La oss starte enkelt.

Basene på venstre og høyre side er lik tallet 2, noe som betyr at vi kan forkaste basen og sette likhetstegn mellom gradene deres.

x+2=4 Den enkleste ligningen har blitt.
x=4 - 2
x=2
Svar: x=2

I følgende eksempel kan du se at basene er forskjellige, disse er 3 og 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Til å begynne med overfører vi de ni til høyre side, vi får:

Nå må du lage de samme basene. Vi vet at 9=3 2 . La oss bruke potensformelen (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Vi får 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 nå er det klart at basene på venstre og høyre side er de samme og lik tre, noe som betyr at vi kan forkaste dem og likestille gradene.

3x=2x+16 fikk den enkleste ligningen
3x-2x=16
x=16
Svar: x=16.

La oss se på følgende eksempel:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Først av alt ser vi på basene, basene er forskjellige to og fire. Og vi må være like. Vi transformerer kvadrupelen i henhold til formelen (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Og vi bruker også en formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Legg til i ligningen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Vi ga et eksempel av samme grunn. Men andre tall 10 og 24 forstyrrer oss. Hva skal jeg gjøre med dem? Hvis du ser nøye etter, kan du se at på venstre side gjentar vi 2 2x, her er svaret - vi kan sette 2 2x ut av parentes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

La oss beregne uttrykket i parentes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Vi deler hele ligningen på 6:

Tenk deg 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 baser er de samme, kast dem og sett likhetstegn mellom gradene.
2x \u003d 2 viste seg å være den enkleste ligningen. Vi deler det på 2, får vi
x = 1
Svar: x = 1.

La oss løse ligningen:

9 x - 12*3 x +27= 0

La oss transformere:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Vi får ligningen:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Våre baser er de samme, lik 3. I dette eksemplet er det tydelig at den første trippelen har en grad to ganger (2x) enn den andre (bare x). I dette tilfellet kan du bestemme substitusjonsmetode. Tallet med minste grad erstattes med:

Deretter 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Vi erstatter alle grader med x-er i ligningen med t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Vi får en andregradsligning. Vi løser gjennom diskriminanten, vi får:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Tilbake til variabel x.

Vi tar t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Det er,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

En rot ble funnet. Vi ser etter den andre, fra t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Svar: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

På siden kan du i seksjonen HJELP BESTEMME å stille spørsmål av interesse, vi vil definitivt svare deg.

Bli med i en gruppe

Løsningen av de fleste matematiske problemer er på en eller annen måte forbundet med transformasjonen av numeriske, algebraiske eller funksjonelle uttrykk. Dette gjelder spesielt løsningen. I USE-variantene i matematikk inkluderer denne typen oppgaver spesielt oppgave C3. Å lære å løse C3-oppgaver er viktig ikke bare for formålet vellykket levering Unified State Examination, men også av den grunn at denne ferdigheten er nyttig når du studerer et matematikkkurs i høyere utdanning.

Utføre oppgaver C3, må du bestemme forskjellige typer likninger og ulikheter. Blant dem er rasjonelle, irrasjonelle, eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske, inneholdende moduler (absoluttverdier), så vel som kombinerte. Denne artikkelen diskuterer hovedtypene av eksponentielle ligninger og ulikheter, samt ulike metoder for å løse dem. Les om løsning av andre typer ligninger og ulikheter under overskriften "" i artikler viet metoder for å løse C3-oppgaver fra BRUK alternativer matematikk.

Før du går videre til analysen av spesifikke eksponentielle ligninger og ulikheter, som matteveileder foreslår jeg at du frisker opp noen teoretisk materiale som vi trenger.

Eksponentiell funksjon

Hva er en eksponentiell funksjon?

Vis funksjon y = en x, Hvor en> 0 og en≠ 1, kalt eksponentiell funksjon.

Hoved eksponentielle funksjonsegenskaper y = en x:

Graf av en eksponentiell funksjon

Grafen til eksponentialfunksjonen er utstiller:

Grafer av eksponentielle funksjoner (eksponenter)

Løsning av eksponentialligninger

veiledende kalt ligninger der den ukjente variabelen bare finnes i eksponenter for potenser.

For løsninger eksponentielle ligninger du må kjenne til og kunne bruke følgende enkle teorem:

Teorem 1. eksponentiell ligning en f(x) = en g(x) (Hvor en > 0, en≠ 1) er ekvivalent med ligningen f(x) = g(x).

I tillegg er det nyttig å huske de grunnleggende formlene og handlingene med grader:

Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}

Eksempel 1 Løs ligningen:

Løsning: bruk formlene ovenfor og substitusjon:

Ligningen blir da:

Diskriminanten til den oppnådde kvadratiske ligningen er positiv:

Title="Gengitt av QuickLaTeX.com">!}

Dette betyr at denne ligningen har to røtter. Vi finner dem:

Går tilbake til bytte, får vi:

Den andre ligningen har ingen røtter, siden eksponentialfunksjonen er strengt tatt positiv over hele definisjonsdomenet. La oss løse den andre:

Når vi tar i betraktning det som ble sagt i teorem 1, går vi over til den ekvivalente ligningen: x= 3. Dette vil være svaret på oppgaven.

Svar: x = 3.

Eksempel 2 Løs ligningen:

Løsning: ligningen har ingen begrensninger på området for tillatte verdier, siden det radikale uttrykket gir mening for enhver verdi x(eksponentiell funksjon y = 9 4 -x positiv og ikke lik null).

Vi løser likningen ved ekvivalente transformasjoner ved å bruke reglene for multiplikasjon og deling av potenser:

Den siste overgangen ble utført i samsvar med teorem 1.

Svar:x= 6.

Eksempel 3 Løs ligningen:

Løsning: begge sider av den opprinnelige ligningen kan deles med 0,2 x. Denne overgangen vil være ekvivalent, siden dette uttrykket er større enn null for en hvilken som helst verdi x(den eksponentielle funksjonen er strengt tatt positiv på sitt domene). Deretter har ligningen formen:

Svar: x = 0.

Eksempel 4 Løs ligningen:

Løsning: vi forenkler ligningen til en elementær ved ekvivalente transformasjoner ved å bruke reglene for divisjon og multiplikasjon av potenser gitt i begynnelsen av artikkelen:

Dele begge sider av ligningen med 4 x, som i forrige eksempel, er en ekvivalent transformasjon, siden dette uttrykket ikke er lik null for noen verdier x.

Svar: x = 0.

Eksempel 5 Løs ligningen:

Løsning: funksjon y = 3x, som står på venstre side av ligningen, øker. Funksjon y = —x-2/3, som står på høyre side av ligningen, er avtagende. Dette betyr at hvis grafene til disse funksjonene krysser hverandre, så høyst på ett punkt. I denne saken det er lett å gjette at grafene skjærer hverandre i et punkt x= -1. Det vil ikke være andre røtter.

Svar: x = -1.

Eksempel 6 Løs ligningen:

Løsning: vi forenkler ligningen ved ekvivalente transformasjoner, med tanke på overalt at eksponentialfunksjonen er strengt tatt større enn null for en hvilken som helst verdi x og ved å bruke reglene for å beregne produktet og delkreftene gitt i begynnelsen av artikkelen:

Svar: x = 2.

Løse eksponentielle ulikheter

veiledende kalt ulikheter der den ukjente variabelen bare finnes i eksponentene til noen potenser.

For løsninger eksponentielle ulikheter kjennskap til følgende teorem er nødvendig:

Teorem 2. Hvis en> 1, så ulikheten en f(x) > en g(x) tilsvarer en ulikhet med samme betydning: f(x) > g(x). Hvis 0< en < 1, то показательное неравенство en f(x) > en g(x) tilsvarer en ulikhet av motsatt betydning: f(x) < g(x).

Eksempel 7 Løs ulikheten:

Løsning: representere den opprinnelige ulikheten i formen:

Del begge sider av denne ulikheten med 3 2 x, og (på grunn av den positive funksjonen y= 3 2x) ulikhetstegnet vil ikke endre seg:

La oss bruke en erstatning:

Deretter tar ulikheten formen:

Så løsningen på ulikheten er intervallet:

går over til omvendt erstatning, får vi:

Den venstre ulikheten, på grunn av positiviteten til den eksponentielle funksjonen, oppfylles automatisk. Ved å bruke den velkjente egenskapen til logaritmen går vi over til ekvivalent ulikhet:

Siden grunnlaget for graden er et tall større enn én, vil ekvivalent (av setning 2) være overgangen til følgende ulikhet:

Så får vi endelig svar:

Eksempel 8 Løs ulikheten:

Løsning: ved å bruke egenskapene til multiplikasjon og deling av potenser, omskriver vi ulikheten i formen:

La oss introdusere en ny variabel:

Med denne substitusjonen tar ulikheten formen:

Multipliser telleren og nevneren til brøken med 7, vi får følgende ekvivalente ulikhet:

Så ulikheten tilfredsstilles av følgende verdier av variabelen t:

Så, går vi tilbake til erstatning, får vi:

Siden grunnlaget for graden her er større enn én, er det ekvivalent (ved setning 2) å gå over til ulikheten:

Endelig får vi svar:

Eksempel 9 Løs ulikheten:

Løsning:

Vi deler begge sider av ulikheten med uttrykket:

Det er alltid større enn null (fordi eksponentialfunksjonen er positiv), så ulikhetstegnet trenger ikke å endres. Vi får:

t , som er i intervallet:

Går vi til den omvendte substitusjonen, finner vi at den opprinnelige ulikheten deler seg i to tilfeller:

Den første ulikheten har ingen løsninger på grunn av positiviteten til eksponentialfunksjonen. La oss løse den andre:

Eksempel 10 Løs ulikheten:

Løsning:

Parabelgrener y = 2x+2-x 2 er rettet nedover, derfor er den avgrenset ovenfra av verdien den når ved toppunktet:

Parabelgrener y = x 2 -2x+2, som er i indikatoren, er rettet oppover, noe som betyr at den er begrenset nedenfra av verdien som den når på toppen:

Samtidig viser det seg at funksjonen er avgrenset nedenfra y = 3 x 2 -2x+2 på høyre side av ligningen. Hun når henne den minste verdien på samme punkt som parabelen i eksponenten, og denne verdien er 3 1 = 3. Så den opprinnelige ulikheten kan bare være sann hvis funksjonen til venstre og funksjonen til høyre tar verdien 3 på ett punkt (av kryssing av områdene til disse funksjonene er bare dette tallet). Denne betingelsen er oppfylt på et enkelt punkt x = 1.

Svar: x= 1.

For å lære å løse eksponentielle ligninger og ulikheter, du må hele tiden trene på løsningen deres. I denne vanskelige saken, div læremidler, oppgavebøker i elementær matematikk, samlinger av konkurranseoppgaver, matematikktimer på skolen, samt individuelle økter med en profesjonell veileder. Jeg ønsker deg oppriktig suksess med forberedelsene dine og strålende resultater på eksamen.

Sergey Valerievich

P.S. Kjære gjester! Vennligst ikke skriv forespørsler om å løse ligningene dine i kommentarene. Jeg har dessverre ikke tid til dette i det hele tatt. Slike meldinger vil bli slettet. Vennligst les artikkelen. Kanskje vil du i den finne svar på spørsmål som ikke tillot deg å løse oppgaven din på egen hånd.