Derivert 5x 4. Derivert av e i potensen av x og eksponentiell funksjon

Derivasjon av formelen for den deriverte av en potensfunksjon (x i potensen av a). Derivater av røtter fra x vurderes. Formelen for den deriverte av en potensfunksjon av høyere orden. Eksempler på beregning av derivater.

Den deriverte av x i potensen av a er a ganger x i potensen av en minus en:
(1) .

Den deriverte av den n-te roten av x til mte potens er:
(2) .

Avledning av formelen for den deriverte av en potensfunksjon

Sak x > 0

Tenk på en potensfunksjon av variabel x med eksponent a :
(3) .
Her er a et vilkårlig reelt tall. La oss vurdere saken først.

For å finne den deriverte av funksjonen (3), bruker vi egenskapene til potensfunksjonen og transformerer den til følgende form:
.

Nå finner vi den deriverte ved å bruke:
;
.
Her .

Formel (1) er bevist.

Avledning av formelen for den deriverte av roten av graden n av x til graden m

Tenk nå på en funksjon som er roten til følgende form:
(4) .

For å finne den deriverte konverterer vi roten til en potensfunksjon:
.
Sammenligner vi med formel (3), ser vi det
.
Deretter
.

Ved formel (1) finner vi den deriverte:
(1) ;
;
(2) .

I praksis er det ikke nødvendig å memorere formel (2). Det er mye mer praktisk å først konvertere røttene til potensfunksjoner, og deretter finne deres deriverte ved å bruke formel (1) (se eksempler på slutten av siden).

Tilfelle x = 0

Hvis , er eksponentialfunksjonen også definert for verdien av variabelen x = 0 . La oss finne den deriverte av funksjon (3) for x = 0 . For å gjøre dette bruker vi definisjonen av et derivat:
.

Erstatter x = 0 :
.
I dette tilfellet mener vi med avledet den høyre grensen for hvilken .

Så vi fant:
.
Av dette kan man se at ved , .
På , .
På , .
Dette resultatet er også oppnådd ved formel (1):
(1) .
Derfor er formel (1) også gyldig for x = 0 .

tilfelle x< 0

Vurder funksjon (3) igjen:
(3) .
For noen verdier av konstanten a er den også definert for negative verdier av variabelen x . Nemlig la a være et rasjonelt tall. Da kan det representeres som en irreduserbar brøk:
,
hvor m og n er heltall uten felles deler.

Hvis n er oddetall, er eksponentialfunksjonen også definert for negative verdier av variabelen x. For eksempel for n = 3 og m = 1 vi har terningroten av x :
.
Det er også definert for negative verdier av x .

La oss finne den deriverte av potensfunksjonen (3) for og for rasjonelle verdier av konstanten a , som den er definert for. For å gjøre dette, representerer vi x i følgende form:
.
Deretter ,
.
Vi finner den deriverte ved å ta konstanten ut av tegnet til den deriverte og bruke regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

.
Her . Men
.
Fordi da
.
Deretter
.
Det vil si at formel (1) også er gyldig for:
(1) .

Derivater av høyere orden

Nå finner vi de høyere ordens deriverte av potensfunksjonen
(3) .
Vi har allerede funnet den første ordensderiverten:
.

Ved å ta konstanten a ut av tegnet til den deriverte, finner vi andreordens deriverte:
.
På samme måte finner vi derivater av tredje og fjerde orden:
;

.

Herfra er det klart at avledet av en vilkårlig n-te orden har følgende form:
.

Legg merke til det hvis a er et naturlig tall, , da er den n-te deriverte konstant:
.
Da er alle påfølgende derivater lik null:
,
kl.

Avledede eksempler

Eksempel

Finn den deriverte av funksjonen:
.

Løsning

La oss konvertere røttene til potenser:
;
.
Deretter har den opprinnelige funksjonen formen:
.

Vi finner deriverte av grader:
;
.
Den deriverte av en konstant er null:
.

Beregningen av den deriverte finnes ofte i BRUK oppdrag. Denne siden inneholder en liste over formler for å finne derivater.

Differensieringsregler

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivat av en kompleks funksjon. Hvis y=F(u) og u=u(x), kalles funksjonen y=f(x)=F(u(x)) en kompleks funksjon av x. Er lik y′(x)=Fu⋅ ux′.
5. Avledet av en implisitt funksjon. Funksjonen y=f(x) kalles den implisitte funksjonen gitt av relasjonen F(x,y)=0 hvis F(x,f(x))≡0.
6. Derivert av den inverse funksjonen. Hvis g(f(x))=x, kalles funksjonen g(x) den inverse funksjonen for funksjonen y=f(x).
7. Derivert av en parametrisk gitt funksjon. La x og y gis som funksjoner av variabelen t: x=x(t), y=y(t). Det sies at y=y(x) er en parametrisk definert funksjon på intervallet x∈ (a;b) hvis på dette intervallet kan likningen x=x(t) uttrykkes som t=t(x) og funksjonen y=y(t(x))=y(x).
8. Derivert av eksponentiell funksjon. Den finnes ved å ta logaritmen til bunnen av den naturlige logaritmen.

Vi anbefaler deg å lagre lenken, siden denne tabellen kan være nødvendig mange flere ganger.

applikasjon

Løsningen av derivatet til nettstedet for å konsolidere materialet dekket av studenter og skolebarn. Å beregne den deriverte av en funksjon på noen få sekunder er ikke vanskelig hvis du bruker vår online problemløsningstjeneste. Lede detaljert analyse hver tredje student vil kunne studere grundig i en praktisk leksjon. Ofte blir vi kontaktet av avdelingen ved den aktuelle avdelingen for å fremme matematikk i utdanningsinstitusjoner land. I dette tilfellet, hvordan ikke å nevne løsningen av derivatet online for lukket rom tallrekker. Mange velstående individer har lov til å uttrykke sin forvirring. Men i mellomtiden sitter ikke matematikere stille og jobber hardt. Endringen i inngangsparametere i henhold til lineære karakteristikker vil bli akseptert av derivatkalkulatoren hovedsakelig på grunn av supremaen til de synkende posisjonene til kubene. Resultatet er uunngåelig som overflate. Som innledende data eliminerer online-derivatet behovet for å ta unødvendige skritt. Bortsett fra fiktive lekser. I tillegg til at det å løse derivater på nett er et nødvendig og viktig aspekt ved å lære matematikk, husker elevene ofte ikke tidligere problemer. Eleven, som en lat skapning, forstår dette. Men studentene Artige folk! Enten gjør det i henhold til reglene, eller så kan den deriverte av funksjonen i et skråplan gi akselerasjon til et materialpunkt. La oss rette vektoren til den synkende romlige strålen et sted. I det ønskede svaret virker det abstrakt å finne den deriverte teoretisk retning på grunn av ustabiliteten til det matematiske systemet. Tenk på et forhold mellom tall som en sekvens av ubrukte alternativer. Kommunikasjonskanalen ble etterfylt med den femte linjen langs den synkende vektoren fra punktet for den lukkede bifurkasjonen av kuben. På planet av buede rom fører løsning av den deriverte på nettet oss til en konklusjon som fikk oss til å tenke i forrige århundre de største sinnene planeter. I hendelsesforløpet fra matematikkfeltet, fem grunnleggende viktige faktorer, som bidrar til å forbedre plasseringen av valget av variabelen. Så loven for poeng sier at online-derivatet ikke beregnes i detalj i alle tilfeller, bare et lojalt fremadskridende øyeblikk kan være et unntak. Varselet førte oss til ny runde utvikling. Vi trenger et resultat. I linjen med den matematiske skråningen som passerer under overflaten, er kalkulatoren for modusderivatene i området for skjæringspunktet mellom produktene på bøyesettet. Det gjenstår å analysere differensieringen av funksjonen på dets uavhengige punkt nær epsilon-området. Dette kan alle se i praksis. Som et resultat vil det være noe å bestemme seg for i neste fase av programmeringen. Studenten trenger den nettbaserte derivativet som alltid, uavhengig av de imaginære studiene som praktiseres. Det viser seg at funksjonen multiplisert med en konstant ikke endrer løsningen til den deriverte på nett generell retning bevegelse av et materialpunkt, men karakteriserer hastighetsøkningen i en rett linje. I denne forstand vil det være nyttig å bruke vår derivatkalkulator og beregne alle verdiene til en funksjon på hele settet med definisjonen. Det er bare ikke nødvendig å studere kraftbølgene til gravitasjonsfeltet. I intet tilfelle vil den elektroniske derivatløsningen vise tilten til den utgående strålen, men bare i sjeldne tilfeller, når det virkelig er nødvendig, kan universitetsstudenter forestille seg dette. Vi undersøker rektor. Verdien av den minste rotoren er forutsigbar. Påfør på resultatet de høyrevendte linjene som beskriver ballen, men online kalkulator derivater, er dette grunnlaget for tall med spesiell styrke og ikke-lineær avhengighet. Matematikkprosjektrapport er klar. Personlige egenskaper forskjell minste tall og den deriverte av funksjonen langs y-aksen vil bringe konkaviteten til samme funksjon til høyden. Det er en retning - det er en konklusjon. Det er lettere å omsette teori i praksis. Det foreligger forslag fra studenter om tidspunkt for studiestart. Trenger en lærers svar. Igjen, som i forrige posisjon, er det matematiske systemet ikke regulert på grunnlag av en handling som vil bidra til å finne den deriverte. I likhet med den nedre semi-lineære versjonen vil den elektroniske deriverte i detalj angi identifiseringen av løsningen iht. degenerert betinget lov. Bare legg frem ideen om å beregne formler. Lineær differensiering av en funksjon avviser sannheten til løsningen ved ganske enkelt å legge ut irrelevante positive variasjoner. Betydningen av sammenligningstegnene vil bli sett på som et kontinuerlig brudd på funksjonen langs aksen. Dette er viktigheten av den mest bevisste konklusjonen, ifølge studenten, der den elektroniske derivativet er noe annet enn et lojalt eksempel på matematisk analyse. Radiusen til en buet sirkel i det euklidiske rommet ga tvert imot kalkulatoren for derivater en naturlig representasjon av utvekslingen av avgjørende problemer for stabilitet. Den beste metoden er funnet. Det var lettere å nivåere oppgaven. La anvendeligheten av den uavhengige differanseandelen føre til løsningen av derivatene online. Løsningen roterer rundt x-aksen, og beskriver figuren til en sirkel. Det er en vei ut, og den er basert på forskning som er teoretisk støttet av universitetsstudenter, som alle lærer av, og selv i disse øyeblikkene er det en avledning av funksjonen. Vi fant en vei for fremgang og elevene bekreftet det. Vi har råd til å finne den deriverte uten å gå utover en unaturlig tilnærming til å transformere det matematiske systemet. Det venstre proporsjonaltegnet vokser eksponentielt som den matematiske representasjonen av den elektroniske derivatkalkulatoren på grunn av den ukjente omstendigheten til lineære faktorer på den uendelige y-aksen. Matematikere over hele verden har vist seg eksepsjonelle produksjonsprosess. Det er en minste firkant i en sirkel i henhold til beskrivelsen av teorien. Igjen, den elektroniske derivativet vil utdype vår gjetning om hva som kan ha påvirket den teoretisk raffinerte oppfatningen i utgangspunktet. Det var meninger av en annen karakter enn rapporten vi analyserte. Separat oppmerksomhet skjer kanskje ikke med studenter ved våre fakulteter, men bare ikke til smarte og avanserte matematikere der differensieringen av en funksjon bare er en unnskyldning. Den mekaniske betydningen av derivatet er veldig enkel. Løftekraften beregnes som en online-derivert for de nedoverskrånende jevne rom i tid. Åpenbart er derivatkalkulatoren en streng prosess for å beskrive problemet med degenerasjonen av en kunstig transformasjon som en amorf kropp. Den første deriverte snakker om en endring i bevegelsen til et materiell punkt. Tredimensjonalt rom er åpenbart observert i sammenheng med spesialtrente teknologier for å løse derivater på nettet, faktisk er det i hvert kollokvium om emnet matematisk disiplin. Den andre deriverte karakteriserer endringen i hastigheten til et materialpunkt og bestemmer akselerasjonen. Meridiantilnærmingen basert på bruk av en affin transformasjon tar den deriverte av en funksjon på et punkt fra definisjonsdomenet til denne funksjonen til et nytt nivå. En online kalkulator av derivater kan ikke være uten tall og symbolsk notasjon i noen tilfeller ved det riktige kjørbare øyeblikket, bortsett fra det transformerbare arrangementet av ting i oppgaven. Overraskende nok er det en andre akselerasjon av et materialpunkt, dette karakteriserer endringen i akselerasjon. Om kort tid vil vi begynne å studere løsningen av derivatet på nett, men så snart en viss milepæl i kunnskap er nådd, vil studenten vår stoppe denne prosessen. Den beste måten å bygge nettverk på er å chatte live om et matematisk emne. Det er prinsipper som ikke under noen omstendigheter må brytes, uansett hvor vanskelig oppgaven er. Det er nyttig å finne den deriverte online i tide og uten feil. Dette vil føre til en ny plassering av det matematiske uttrykket. Systemet er stabilt. fysisk mening derivat er ikke så populært som mekanisk. Det er usannsynlig at noen husker hvordan den online-deriverte i detalj på planet viste omrisset av linjene til funksjonen til normalen fra trekanten ved siden av x-aksen. Mennesket fortjener en stor rolle i forrige århundres forskning. La oss utføre i tre elementære stadier differensieringen av funksjonen på punkter, både fra definisjonsdomenet og i det uendelige. Vil være med skriving bare i studieretningen, men kan ta plassen til hovedvektoren i matematikk og tallteori, så snart det som skjer vil koble den elektroniske derivatkalkulatoren med problemet. Det vil være en grunn, men det vil være en grunn til å lage en ligning. Det er veldig viktig å huske på alle inngangsparametrene. Det beste tas ikke alltid i pannen, bak dette ligger en kolossal mengde arbeidskraft de beste hodene som visste hvordan den elektroniske deriverte beregnes i verdensrommet. Siden den gang har konveksitet blitt ansett som en egenskap ved en kontinuerlig funksjon. Likevel er det bedre å først sette oppgaven med å løse derivater online på kortest mulig tid. Dermed vil løsningen være komplett. I tillegg til de uoppfylte normene anses ikke dette tilstrekkelig. I utgangspunktet foreslår nesten hver student å legge frem en enkel metode for hvordan den deriverte av en funksjon forårsaker en kontroversiell vekstalgoritme. I retning av den stigende strålen. Det gir mening som generell stilling. Tidligere markerte de begynnelsen på fullføringen av en spesifikk matematisk handling, men i dag vil det være omvendt. Kanskje løsningen av den deriverte på nettet vil reise problemet igjen, og vi vil godta en felles mening om bevaring av den under diskusjonen av lærermøtet. Vi håper på forståelse fra alle sider av møtedeltakerne. Den logiske betydningen er inneholdt i beskrivelsen av kalkulatoren for derivater i resonansen til tall om sekvensen av presentasjonen av tanken på problemet, som ble besvart i forrige århundre av verdens store vitenskapsmenn. Det vil hjelpe å trekke ut en kompleks variabel fra det konverterte uttrykket og finne den deriverte på nettet for å utføre en massiv handling av samme type. Sannheten er mye bedre enn gjetting. Laveste verdi i mote. Resultatet vil ikke vente lenge på seg når du bruker en unik tjeneste for den mest nøyaktige plasseringen, som det er en online derivat for i detalj. Indirekte, men til poenget, som en klok mann sa, ble en online derivatkalkulator laget på forespørsel fra mange studenter fra forskjellige byer i fagforeningen. Hvis det er en forskjell, hvorfor bestemme seg to ganger. Spesifisert vektor ligger på samme side som normalen. I midten av forrige århundre ble differensieringen av en funksjon på ingen måte oppfattet slik den er i dag. Takket være utviklingen som pågår, har nettmatematikk dukket opp. Over tid glemmer elevene å gi kreditt til matematiske disipliner. Løsningen av den deriverte på nett vil utfordre oppgaven vår, rettmessig basert på anvendelse av teori, støttet av praktisk kunnskap. Vil gå utover den eksisterende verdien av presentasjonsfaktoren og skrive formelen i en eksplisitt form for funksjonen. Det hender at du trenger å finne derivatet online akkurat nå uten å bruke noen kalkulator, men du kan alltid ty til studentens triks og fortsatt bruke en slik tjeneste som et nettsted. Dermed vil eleven spare mye tid på å kopiere eksempler fra en kladdebok til et endelig skjema. Hvis det ikke er noen motsetninger, bruk trinnvise løsningstjeneste for slike komplekse eksempler.

Første nivå

Funksjonsderiverte. Omfattende guide (2019)

Se for deg en rett vei som går gjennom et kupert område. Det vil si at den går opp og ned, men svinger ikke til høyre eller venstre. Hvis aksen er rettet horisontalt langs veien, og vertikalt, vil veilinjen være veldig lik grafen til en kontinuerlig funksjon:

Aksen er et visst nivå på null høyde, i livet bruker vi havnivå som det.

Går vi framover langs en slik vei, beveger vi oss også opp eller ned. Vi kan også si: når argumentet endres (beveger seg langs abscisseaksen), endres verdien av funksjonen (beveger seg langs ordinataksen). La oss nå tenke på hvordan vi bestemmer "brattheten" på veien vår? Hva kan denne verdien være? Veldig enkelt: hvor mye vil høyden endres når man beveger seg en viss avstand fremover. Faktisk, på forskjellige deler av veien, når vi beveger oss fremover (langs abscissen) en kilometer, vil vi stige eller falle et annet antall meter i forhold til havnivået (langs ordinaten).

Vi betegner fremgang fremover (les "delta x").

Den greske bokstaven (delta) brukes ofte i matematikk som et prefiks som betyr "endring". Det vil si - dette er en endring i størrelse, - en endring; så hva er det? Det stemmer, en endring i størrelse.

Viktig: uttrykket er en enkelt enhet, én variabel. Du bør aldri rive av "delta" fra "x" eller noen annen bokstav! Det er for eksempel.

Så vi har gått fremover, horisontalt, videre. Hvis vi sammenligner veiens linje med grafen til en funksjon, hvordan betegner vi da stigningen? Gjerne,. Det vil si at når vi går videre stiger vi høyere.

Det er lett å beregne verdien: hvis vi i begynnelsen var i høyden, og etter flytting var vi i høyden, da. Hvis sluttpunktet viste seg å være lavere enn startpunktet, vil det være negativt - dette betyr at vi ikke stiger opp, men synker.

Tilbake til "steepness": dette er en verdi som indikerer hvor mye (bratt) høyden øker når man beveger seg fremover per enhetsavstand:

Anta at på en del av stien, når du går frem med km, stiger veien opp med km. Da er brattheten på dette stedet lik. Og hvis veien sank med km ved fremskritt med m? Da er helningen lik.

Tenk nå på toppen av en ås. Hvis du tar begynnelsen av seksjonen en halv kilometer til toppen, og slutten - en halv kilometer etter den, kan du se at høyden er nesten den samme.

Det vil si, ifølge vår logikk viser det seg at helningen her er nesten lik null, noe som tydeligvis ikke stemmer. Mye kan endre seg bare noen få mil unna. Mindre områder må vurderes for et mer tilstrekkelig og nøyaktig estimat av brattheten. Hvis du for eksempel måler høydeendringen når du beveger deg en meter, vil resultatet bli mye mer nøyaktig. Men selv denne nøyaktigheten er kanskje ikke nok for oss - tross alt, hvis det er en stolpe midt på veien, kan vi ganske enkelt skli gjennom den. Hvilken avstand skal vi velge da? Centimeter? Millimeter? Mindre er bedre!

I det virkelige livå måle avstanden til nærmeste millimeter er mer enn nok. Men matematikere streber alltid etter perfeksjon. Derfor var konseptet uendelig liten, det vil si at modulo-verdien er mindre enn et hvilket som helst tall vi kan navngi. For eksempel sier du: en trilliondel! Hvor mye mindre? Og du deler dette tallet på - og det blir enda mindre. Og så videre. Hvis vi vil skrive at verdien er uendelig liten, skriver vi slik: (vi leser «x har en tendens til null»). Det er veldig viktig å forstå at dette tallet ikke er lik null! Men veldig nærme det. Dette betyr at den kan deles inn i.

Konseptet motsatt til uendelig lite er uendelig stort (). Du har sannsynligvis allerede støtt på det da du jobbet med ulikheter: dette tallet er større i modul enn noe tall du kan tenke deg. Hvis du kommer opp med størst mulig tall, multipliserer du det med to og du får enda mer. Og uendelighet er enda mer enn det som skjer. Faktisk er uendelig stor og uendelig liten omvendt til hverandre, det vil si at, og omvendt: at.

Nå tilbake til veien vår. Den ideelt beregnede helningen er helningen beregnet for et uendelig lite segment av banen, det vil si:

Jeg legger merke til at med en uendelig liten forskyvning vil også høydeendringen være uendelig liten. Men la meg minne deg på at uendelig liten ikke betyr lik null. Hvis du deler uendelige tall med hverandre, kan du få et helt ordinært tall, for eksempel. Det vil si at en liten verdi kan være nøyaktig dobbelt så stor som en annen.

Hvorfor alt dette? Veien, brattheten ... Vi skal ikke på rally, men vi lærer matematikk. Og i matematikk er alt nøyaktig det samme, bare kalt annerledes.

Konseptet med et derivat

Den deriverte av en funksjon er forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet ved en uendelig inkrement av argumentet.

Øke i matematikk kalles endring. Hvor mye argumentet () har endret seg når man beveger seg langs aksen kalles argumentøkning og betegnet med Hvor mye funksjonen (høyden) har endret seg når man beveger seg fremover langs aksen med en avstand kalles funksjonsøkning og er merket.

Så den deriverte av en funksjon er forholdet til når. Vi betegner den deriverte med samme bokstav som funksjonen, bare med et slag fra øverst til høyre: eller ganske enkelt. Så la oss skrive den deriverte formelen ved å bruke disse notasjonene:

Som i analogien med veien, her, når funksjonen øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ.

Men er den deriverte lik null? Sikkert. For eksempel, hvis vi kjører på en flat horisontal vei, er brattheten null. Høyden endres faktisk ikke i det hele tatt. Så med den deriverte: den deriverte av en konstant funksjon (konstant) er lik null:

siden økningen av en slik funksjon er null for enhver.

La oss ta eksempelet på en bakketopp. Det viste seg at det var mulig å arrangere endene av segmentet på motsatte sider av toppunktet på en slik måte at høyden på endene viser seg å være den samme, det vil si at segmentet er parallelt med aksen:

Men store segmenter er et tegn på unøyaktig måling. Vi vil heve segmentet vårt opp parallelt med seg selv, så vil lengden minke.

Til slutt, når vi er uendelig nær toppen, vil lengden på segmentet bli uendelig liten. Men samtidig forble den parallelt med aksen, det vil si at høydeforskjellen i endene er lik null (pleier ikke, men er lik). Så den deriverte

Dette kan forstås slik: når vi står helt øverst, endrer en liten forskyvning til venstre eller høyre høyden vår ubetydelig.

Det er også en rent algebraisk forklaring: til venstre for toppen øker funksjonen, og til høyre reduseres den. Som vi allerede har funnet ut tidligere, når funksjonen øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ. Men den endrer seg jevnt, uten hopp (fordi veien ikke endrer helningen kraftig noe sted). Derfor må det være mellom negative og positive verdier. Det vil være der funksjonen verken øker eller minker - ved toppunktet.

Det samme gjelder for dalen (området der funksjonen avtar til venstre og øker til høyre):

Litt mer om økninger.

Så vi endrer argumentet til en verdi. Vi endrer fra hvilken verdi? Hva har han (argumentet) nå blitt til? Vi kan velge hvilket som helst punkt, og nå skal vi danse fra det.

Tenk på et punkt med en koordinat. Verdien av funksjonen i den er lik. Så gjør vi det samme trinnet: øker koordinaten med. Hva er argumentet nå? Meget lett: . Hva er verdien av funksjonen nå? Der argumentet går, går funksjonen dit: . Hva med funksjonsøkning? Ikke noe nytt: Dette er fortsatt beløpet som funksjonen har endret seg med:

Øv på å finne trinn:

1. Finn økningen til funksjonen i et punkt med en økning av argumentet lik.
2. Det samme for en funksjon på et punkt.

Løsninger:

I forskjellige punkter med samme økning av argumentet, vil økningen av funksjonen være forskjellig. Dette betyr at den deriverte på hvert punkt har sin egen (vi diskuterte dette helt i begynnelsen - brattheten til veien på forskjellige punkter er forskjellig). Derfor, når vi skriver en derivert, må vi indikere på hvilket tidspunkt:

Power funksjon.

En potensfunksjon kalles en funksjon der argumentet til en viss grad er (logisk, ikke sant?).

Og - i noen grad: .

Den enkleste saken er når eksponenten er:

La oss finne dens deriverte på et punkt. Husk definisjonen av et derivat:

Så argumentasjonen endres fra til. Hva er funksjonsøkningen?

Økning er. Men funksjonen til enhver tid er lik argumentet. Derfor:

Den deriverte er:

Den deriverte av er:

b) Vurder nå den kvadratiske funksjonen (): .

La oss nå huske det. Dette betyr at verdien av økningen kan neglisjeres, siden den er uendelig liten, og derfor ubetydelig på bakgrunn av et annet begrep:

Så vi har en annen regel:

c) Vi fortsetter den logiske rekken: .

Dette uttrykket kan forenkles på forskjellige måter: åpne den første parentesen ved å bruke formelen for forkortet multiplikasjon av kuben av summen, eller dekomponer hele uttrykket i faktorer ved å bruke formelen for forskjellen av terninger. Prøv å gjøre det selv på en av de foreslåtte måtene.

Så jeg fikk følgende:

Og la oss huske det igjen. Dette betyr at vi kan neglisjere alle termer som inneholder:

Vi får: .

d) Lignende regler kan oppnås for store makter:

e) Det viser seg at denne regelen kan generaliseres for en potensfunksjon med en vilkårlig eksponent, ikke engang et heltall:

(2)

Du kan formulere regelen med ordene: "graden føres frem som en koeffisient, og avtar deretter med".

Vi vil bevise denne regelen senere (nesten helt på slutten). La oss nå se på noen få eksempler. Finn den deriverte av funksjoner:

1. (på to måter: ved formelen og ved å bruke definisjonen av den deriverte - ved å telle økningen av funksjonen);

1. . Tro det eller ei, dette er en kraftfunksjon. Hvis du har spørsmål som "Hvordan er det? Og hvor er graden?", Husk emnet" "!
   Ja, ja, roten er også en grad, bare en brøkdel:.
   Så vår Kvadratrot er bare en grad med en eksponent:
   .
   Vi ser etter den deriverte ved å bruke den nylig lærte formelen:

   Hvis det på dette tidspunktet ble uklart igjen, gjenta emnet "" !!! (omtrent en grad med negativ indikator)

2. . Nå eksponenten:

   Og nå gjennom definisjonen (har du glemt ennå?):
   ;
   .
   Nå, som vanlig, neglisjerer vi begrepet som inneholder:
   .

3. . Kombinasjon av tidligere saker: .

trigonometriske funksjoner.

Her skal vi bruke ett faktum fra høyere matematikk:

Når uttrykk.

Du vil lære beviset i det første året av instituttet (og for å komme dit må du bestå eksamen godt). Nå skal jeg bare vise det grafisk:

Vi ser at når funksjonen ikke eksisterer - punkteres punktet på grafen. Men jo nærmere verdien, jo nærmere er funksjonen. Dette er selve "strever".

I tillegg kan du sjekke denne regelen med en kalkulator. Ja, ja, ikke vær sjenert, ta en kalkulator, vi er ikke på eksamen ennå.

Så la oss prøve: ;

Ikke glem å bytte kalkulatoren til Radians-modus!

etc. Vi ser at jo mindre nærmere mening forhold til.

a) Tenk på en funksjon. Som vanlig finner vi økningen:

La oss gjøre forskjellen på sinus til et produkt. For å gjøre dette bruker vi formelen (husk emnet ""):.

Nå den deriverte:

La oss gjøre en erstatning: . Så, for uendelig liten, er den også uendelig liten: . Uttrykket for har formen:

Og nå husker vi det med uttrykket. Og også, hva om en uendelig liten verdi kan neglisjeres i summen (det vil si at).

Så vi får følgende regel: den deriverte av sinus er lik cosinus:

Dette er grunnleggende ("tabell") derivater. Her er de i en liste:

Senere vil vi legge til noen flere til dem, men disse er de viktigste, da de brukes oftest.

Øve på:

1. Finn den deriverte av en funksjon i et punkt;
2. Finn den deriverte av funksjonen.

Løsninger:

1. Først finner vi den deriverte i generelt syn, og erstatte den deretter med verdien:
   ;
   .
2. Her har vi noe som ligner på en kraftfunksjon. La oss prøve å bringe henne til
   normal visning:
   .
   Ok, nå kan du bruke formelen:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Hva er det????

Ok, du har rett, vi vet fortsatt ikke hvordan vi finner slike derivater. Her har vi en kombinasjon av flere typer funksjoner. For å jobbe med dem, må du lære noen flere regler:

Eksponent og naturlig logaritme.

Det er en slik funksjon i matematikk, hvis deriverte for enhver er lik verdien av selve funksjonen for den samme. Den kalles "eksponent", og er en eksponentiell funksjon

Grunnlaget for denne funksjonen - en konstant - er en uendelig desimalbrøk, det vil si et irrasjonelt tall (som f.eks.). Det kalles "Euler-nummeret", og det er derfor det er angitt med en bokstav.

Så regelen er:

Det er veldig lett å huske.

Vel, vi vil ikke gå langt, vi vil umiddelbart vurdere den inverse funksjonen. Hva er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:

I vårt tilfelle er basen et tall:

En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles en "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: vi skriver i stedet.

Hva er lik? Selvfølgelig, .

Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:

Eksempler:

1. Finn den deriverte av funksjonen.
2. Hva er den deriverte av funksjonen?

Svar: Utstiller og naturlig logaritme- funksjoner er unikt enkle når det gjelder den deriverte. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter at vi har gått gjennom reglene for differensiering.

Differensieringsregler

Hvilke regler? Nok et nytt begrep, igjen?!...

Differensiering er prosessen med å finne den deriverte.

Bare og alt. Hva er et annet ord for denne prosessen? Ikke proizvodnovanie... Matematikkens differensial kalles selve inkrementet til funksjonen ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.

Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:

Det er 5 regler totalt.

Konstanten tas ut av tegnet til den deriverte.

Hvis - et konstant tall (konstant), da.

Selvfølgelig fungerer denne regelen også for forskjellen: .

La oss bevise det. La, eller lettere.

Eksempler.

Finn deriverte av funksjoner:

1. på punktet;
2. på punktet;
3. på punktet;
4. på punktet.

Løsninger:

1. (Den deriverte er den samme på alle punkter, siden den er det lineær funksjon, husker du?);

Derivat av et produkt

Alt er likt her: vi introduserer en ny funksjon og finner dens økning:

Derivat:

Eksempler:

1. Finn deriverte av funksjoner og;
2. Finn den deriverte av en funksjon i et punkt.

Løsninger:

Derivert av eksponentiell funksjon

Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, og ikke bare eksponenten (har du glemt hva det er ennå?).

Så hvor er et tall.

Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å bringe funksjonen vår til en ny base:

Til dette bruker vi enkel regel: . Deretter:

Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.

Skjedd?

Her, sjekk deg selv:

Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av eksponenten: Som den var, gjenstår det, bare en faktor dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.

Eksempler:
Finn deriverte av funksjoner:

Svar:

Dette er bare et tall som ikke kan beregnes uten en kalkulator, det vil si at det ikke er mulig å skrive det ned i mer Enkel form. Derfor, i svaret er det igjen i denne formen.

Derivert av en logaritmisk funksjon

Her er det likt: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:

Derfor, for å finne en vilkårlig fra logaritmen med en annen base, for eksempel:

Vi må bringe denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til en logaritme? Jeg håper du husker denne formelen:

Bare nå i stedet for vil vi skrive:

Nevneren viste seg å være bare en konstant (et konstant tall, uten en variabel). Den deriverte er veldig enkel:

Derivater av de eksponentielle og logaritmiske funksjonene finnes nesten aldri i eksamen, men det vil ikke være overflødig å kjenne dem.

Derivat av en kompleks funksjon.

Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en buetangens. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om logaritmen virker vanskelig for deg, les emnet "Logarithms" og alt ordner seg), men i form av matematikk betyr ikke ordet "kompleks" "vanskelig".

Se for deg en liten transportør: to personer sitter og gjør noen handlinger med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Det viser seg en slik sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise en sjokoladeplate, må du gjøre de motsatte trinnene i omvendt rekkefølge.

La oss lage en lignende matematisk rørledning: først finner vi cosinus til et tall, og deretter kvadrerer vi det resulterende tallet. Så, de gir oss et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og deretter firer du det jeg har (bind det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi, for å finne verdien, gjør den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en annen handling med det som skjedde som et resultat av den første.

Vi kan godt gjøre de samme handlingene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet:. Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. Viktig funksjon komplekse funksjoner: når du endrer rekkefølgen på handlinger, endres funksjonen.

Med andre ord, En kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .

For det første eksemplet, .

Andre eksempel: (samme). .

Den siste handlingen vi gjør vil kalles "ekstern" funksjon, og handlingen som ble utført først - hhv "intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare stoffet på et enkelt språk).

Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern:

Svar: Separasjonen av indre og ytre funksjoner ligner veldig på å endre variabler: for eksempel i funksjonen

1. Hva vil vi gjøre først? Først beregner vi sinusen, og først da hever vi den til en terning. Så det er en intern funksjon, ikke en ekstern.
   Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning: .
2. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
3. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
4. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
5. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.

vi endrer variabler og får en funksjon.

Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladen vår - se etter derivatet. Prosedyren er alltid omvendt: først ser vi etter den deriverte av den ytre funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte av den indre funksjonen. For det originale eksemplet ser det slik ut:

Et annet eksempel:

Så la oss til slutt formulere den offisielle regelen:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Alt ser ut til å være enkelt, ikke sant?

La oss sjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(bare ikke prøv å redusere nå! Ingenting er tatt ut under kosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart at det er en kompleks funksjon på tre nivåer her: tross alt er dette allerede en kompleks funksjon i seg selv, og vi trekker fortsatt ut roten fra den, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (legg sjokolade i en omslag). og med et bånd i en koffert). Men det er ingen grunn til å være redd: uansett vil vi "pakke ut" denne funksjonen i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.

Det vil si at vi først differensierer roten, deretter cosinus, og først deretter uttrykket i parentes. Og så multipliserer vi det hele.

I slike tilfeller er det praktisk å nummerere handlingene. Det vil si, la oss forestille oss hva vi vet. I hvilken rekkefølge vil vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? La oss se på et eksempel:

Jo senere handlingen utføres, jo mer "ekstern" vil den tilsvarende funksjonen være. Rekkefølgen av handlinger - som før:

Her er hekkingen generelt 4-nivå. La oss bestemme handlingsforløpet.

1. Radikalt uttrykk. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sette det hele sammen:

DERIVAT. KORT OM HOVEDET

Funksjonsderivat- forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet med en uendelig økning av argumentet:

Grunnleggende derivater:

Differensieringsregler:

Konstanten tas ut av tegnet til den deriverte:

Avledet av sum:

Avledet produkt:

Derivat av kvotienten:

Derivert av en kompleks funksjon:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

1. Vi definerer den "interne" funksjonen, finner dens deriverte.
2. Vi definerer den "eksterne" funksjonen, finner dens deriverte.
3. Vi multipliserer resultatene av det første og andre punktet.

Dato: 20.11.2014

Hva er et derivat?

Avledet tabell.

Den deriverte er et av hovedbegrepene i høyere matematikk. I denne leksjonen vil vi introdusere dette konseptet. La oss bli kjent, uten strenge matematiske formuleringer og bevis.

Denne introduksjonen lar deg:

Forstå essensen av enkle oppgaver med et derivat;

Løs disse mest vellykket vanskelige oppgaver;

Forbered deg på mer seriøse avledede leksjoner.

Først en hyggelig overraskelse.

Den strenge definisjonen av derivatet er basert på teorien om grenser, og saken er ganske komplisert. Det er opprørende. Men den praktiske anvendelsen av derivatet krever som regel ikke så omfattende og dyp kunnskap!

For å lykkes med de fleste oppgaver på skole og universitet, er det nok å vite bare noen få termer- å forstå oppgaven, og bare noen få regler- for å løse det. Og det er det. Dette gjør meg glad.

Skal vi bli kjent med hverandre?)

Vilkår og betegnelser.

Det er mange matematiske operasjoner i elementær matematikk. Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, eksponentiering, logaritme, etc. Hvis en operasjon til legges til disse operasjonene, blir elementær matematikk høyere. Dette ny operasjon kalt differensiering. Definisjonen og betydningen av denne operasjonen vil bli diskutert i separate leksjoner.

Her er det viktig å forstå at differensiering bare er en matematisk operasjon på en funksjon. Vi tar hvilken som helst funksjon og transformerer den i henhold til visse regler. Resultatet blir ny funksjon. Denne nye funksjonen heter: derivat.

Differensiering- handling på en funksjon.

Derivat er resultatet av denne handlingen.

Akkurat som for eksempel sum er resultatet av tillegget. Eller privat er resultatet av delingen.

Når du kjenner begrepene, kan du i det minste forstå oppgavene.) Ordlyden er som følger: finne den deriverte av en funksjon; ta den deriverte; differensiere funksjonen; beregne derivat og så videre. Dette er alt samme. Selvfølgelig er det mer komplekse oppgaver, hvor det å finne den deriverte (differensiering) bare vil være ett av trinnene for å løse oppgaven.

Den deriverte er angitt med en strek øverst til høyre over funksjonen. Som dette: y" eller f"(x) eller S"(t) og så videre.

lese y slag, ef slag fra x, es slag fra te, vel du skjønner...)

Et primtall kan også betegne den deriverte av en bestemt funksjon, for eksempel: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etc. Ofte er den deriverte betegnet med differensialer, men vi vil ikke vurdere en slik notasjon i denne leksjonen.

Anta at vi har lært å forstå oppgavene. Det er ingenting igjen - å lære å løse dem.) La meg minne deg på igjen: å finne den deriverte er transformasjon av en funksjon i henhold til visse regler. Disse reglene er overraskende få.

For å finne den deriverte av en funksjon trenger du bare å vite tre ting. Tre søyler som all differensiering hviler på. Her er de tre hvalene:

1. Tabell over derivater (differensieringsformler).

3. Derivert av en kompleks funksjon.

La oss starte i rekkefølge. I denne leksjonen vil vi vurdere tabellen over derivater.

Avledet tabell.

Verden har et uendelig antall funksjoner. Blant dette settet er det funksjoner som er viktigst for praktisk anvendelse. Disse funksjonene sitter i alle naturlovene. Fra disse funksjonene, som fra murstein, kan du konstruere alle de andre. Denne klassen av funksjoner kalles elementære funksjoner. Det er disse funksjonene som studeres på skolen - lineær, kvadratisk, hyperbel, etc.

Differensiering av funksjoner "fra bunnen av", dvs. basert på definisjonen av derivatet og teorien om grenser - en ganske tidkrevende ting. Og matematikere er mennesker også, ja, ja!) Så de forenklet livene sine (og oss). De beregnet deriverte av elementære funksjoner før oss. Resultatet er en tabell med derivater, hvor alt er klart.)

Her er den, denne platen for de mest populære funksjonene. Venstre - elementær funksjon, høyre - dens deriverte.

	Funksjon y	Derivert av funksjon y y"
1	C (konstant)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n er et hvilket som helst tall)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	synd x	(sinx)" = cosx
	fordi x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	en x
	e x
5	Logg en x
	ln x ( a = e)

Jeg anbefaler å ta hensyn til den tredje gruppen av funksjoner i denne tabellen over derivater. Den deriverte av en potensfunksjon er en av de vanligste formlene, om ikke den vanligste! Er hintet klart?) Ja, det er ønskelig å kunne tabellen over derivater utenat. Forresten, dette er ikke så vanskelig som det kan virke. Prøv å løse flere eksempler, selve tabellen vil bli husket!)

Å finne tabellverdien til den deriverte, som du forstår, er ikke den vanskeligste oppgaven. Derfor er det veldig ofte i slike oppgaver ekstra sjetonger. Enten i formuleringen av oppgaven, eller i den opprinnelige funksjonen, som ikke ser ut til å være i tabellen ...

La oss se på noen eksempler:

1. Finn den deriverte av funksjonen y = x 3

Det er ingen slik funksjon i tabellen. Men det er en generell derivert av potensfunksjonen (tredje gruppe). I vårt tilfelle er n=3. Så vi erstatter trippelen i stedet for n og skriver nøye ned resultatet:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Det er alt som skal til.

Svar: y" = 3x 2

2. Finn verdien av den deriverte av funksjonen y = sinx i punktet x = 0.

Denne oppgaven betyr at du først må finne den deriverte av sinusen, og deretter erstatte verdien x = 0 til dette samme derivatet. Det er i den rekkefølgen! Ellers skjer det at de umiddelbart erstatter null i den opprinnelige funksjonen ... Vi blir bedt om å finne ikke verdien til den opprinnelige funksjonen, men verdien dens derivat. Den deriverte, la meg minne deg på, er allerede en ny funksjon.

På platen finner vi sinus og den tilsvarende deriverte:

y" = (sinx)" = cosx

Bytt inn null i den deriverte:

y"(0) = cos 0 = 1

Dette vil være svaret.

3. Differensieer funksjonen:

Hva inspirerer?) Det er ikke engang nær en slik funksjon i tabellen over derivater.

La meg minne deg på at å differensiere en funksjon er ganske enkelt å finne den deriverte av denne funksjonen. Hvis du glemmer elementær trigonometri, er det ganske vanskelig å finne den deriverte av funksjonen vår. Bordet hjelper ikke...

Men hvis vi ser at vår funksjon er cosinus av en dobbel vinkel, da blir alt umiddelbart bedre!

Ja Ja! Husk at transformasjonen av den opprinnelige funksjonen før differensiering ganske akseptabelt! Og det skjer for å gjøre livet mye enklere. I henhold til formelen for cosinus til en dobbel vinkel:

De. vår vanskelige funksjon er ingenting annet enn y = cox. Og dette er en tabellfunksjon. Vi får umiddelbart:

Svar: y" = - sin x.

Eksempel for videregående kandidater og studenter:

4. Finn den deriverte av en funksjon:

Det er ingen slik funksjon i derivattabellen, selvfølgelig. Men hvis du husker elementær matematikk, handlinger med potenser... Da er det fullt mulig å forenkle denne funksjonen. Som dette:

Og x i potens av en tiendedel er allerede en tabellfunksjon! Den tredje gruppen, n=1/10. Direkte i henhold til formelen og skriv:

Det er alt. Dette vil være svaret.

Jeg håper at med den første differensieringshvalen - tabellen over derivater - er alt klart. Det gjenstår å håndtere de to gjenværende hvalene. I neste leksjon skal vi lære differensieringsreglene.