Logaritmisk representasjon av et tall. Logaritme

Logaritme av b (b > 0) til grunntall a (a > 0, a ≠ 1) er eksponenten du må heve tallet a til for å få b.

Grunntallet 10 logaritmen til b kan skrives som logg(b), og logaritmen til grunntallet e (naturlig logaritme) - ln(b).

Ofte brukt når du løser problemer med logaritmer:

Egenskaper til logaritmer

Det er fire hoved egenskapene til logaritmer.

La a > 0, a ≠ 1, x > 0 og y > 0.

Egenskap 1. Logaritme av produktet

Logaritme av produktet er lik summen av logaritmer:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Egenskap 2. Logaritme av kvotienten

Logaritme av kvotienten er lik forskjellen av logaritmer:

log a (x / y) = log a x – log a y

Egenskap 3. Logaritme av graden

Gradslogaritme er lik produktet av graden og logaritmen:

Hvis basen til logaritmen er i eksponenten, gjelder en annen formel:

Egenskap 4. Logaritme av roten

Denne egenskapen kan fås fra egenskapen til logaritmen til graden, siden roten av den n-te graden er lik potensen 1/n:

Formelen for å gå fra en logaritme i en base til en logaritme i en annen base

Denne formelen brukes også ofte når du løser ulike oppgaver for logaritmer:

Spesielt tilfelle:

Sammenligning av logaritmer (ulikheter)

Anta at vi har 2 funksjoner f(x) og g(x) under logaritmer med samme base og det er et ulikhetstegn mellom dem:

For å sammenligne dem, må du først se på bunnen av logaritmene a:

• Hvis a > 0, så f(x) > g(x) > 0
• Hvis 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Hvordan løse problemer med logaritmer: eksempler

Oppgaver med logaritmer inngår i BRUK i matematikk for klasse 11 i oppgave 5 og oppgave 7, kan du finne oppgaver med løsninger på nettsiden vår i de aktuelle avsnittene. Også oppgaver med logaritmer finnes i oppgavebanken i matematikk. Du finner alle eksemplene ved å søke på nettstedet.

Hva er en logaritme

Logaritmer har alltid vært vurdert vanskelig tema i skolematematikk. Det finnes mange forskjellige definisjoner av logaritmen, men av en eller annen grunn bruker de fleste lærebøker den mest komplekse og uheldige av dem.

Vi vil definere logaritmen enkelt og tydelig. La oss lage en tabell for dette:

Så vi har to krefter.

Logaritmer - egenskaper, formler, hvordan løses

Hvis du tar tallet fra bunnlinjen, kan du enkelt finne kraften du må heve en toer til for å få dette tallet. For eksempel, for å få 16, må du heve to til den fjerde potensen. Og for å få 64, må du heve to til sjette potens. Dette kan sees fra tabellen.

Og nå - faktisk, definisjonen av logaritmen:

base a av argumentet x er potensen som tallet a må heves til for å få tallet x.

Notasjon: logg a x \u003d b, der a er basen, x er argumentet, b er faktisk det logaritmen er lik.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (grunntall 2-logaritmen av 8 er tre fordi 2 3 = 8). Kan like gjerne logge 2 64 = 6, siden 2 6 = 64.

Operasjonen med å finne logaritmen til et tall til en gitt base kalles. Så la oss legge til en ny rad i tabellen vår:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Dessverre er ikke alle logaritmer vurdert så lett. Prøv for eksempel å finne log 2 5. Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsier at logaritmen vil ligge et sted på segmentet. Fordi 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Slike tall kalles irrasjonelle: tallene etter desimaltegn kan skrives i det uendelige, og de gjentas aldri. Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, er det bedre å la det være slik: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Det er viktig å forstå at logaritmen er et uttrykk med to variabler (grunnlag og argument). Til å begynne med forvirrer mange mennesker hvor basen er og hvor argumentasjonen er. For å unngå irriterende misforståelser er det bare å ta en titt på bildet:

Foran oss er ikke noe mer enn definisjonen av logaritmen. Huske: logaritmen er potensen, som du må heve grunnlaget til for å få argumentet. Det er basen som er hevet til en potens – på bildet er den uthevet i rødt. Det viser seg at basen alltid er nederst! Jeg forteller denne fantastiske regelen til elevene mine allerede i den første leksjonen - og det er ingen forvirring.

Hvordan telle logaritmer

Vi fant ut definisjonen - det gjenstår å lære å telle logaritmer, dvs. bli kvitt "logg"-tegnet. Til å begynne med merker vi at to viktige fakta følger av definisjonen:

1. Argumentet og grunnlaget må alltid være større enn null. Dette følger av definisjonen av graden ved en rasjonell eksponent, som definisjonen av logaritmen reduseres til.
2. Basen må være forskjellig fra enhet, siden en enhet til enhver kraft fortsatt er en enhet. På grunn av dette er spørsmålet "til hvilken makt må man heves for å få to" meningsløst. Det er ingen slik grad!

Slike restriksjoner kalles gyldig område(ODZ). Det viser seg at ODZ til logaritmen ser slik ut: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Merk at det ikke er noen begrensninger på at tallet b (verdien av logaritmen) ikke er pålagt. For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 = −1, fordi 0,5 = 2 −1 .

Men nå vurderer vi bare numeriske uttrykk, der det ikke er nødvendig å kjenne ODZ til logaritmen. Alle begrensninger er allerede tatt i betraktning av kompilatorene av problemene. Men når logaritmiske ligninger og ulikheter spiller inn, vil DHS-kravene bli obligatoriske. I grunnlaget og argumentasjonen kan det faktisk være veldig sterke konstruksjoner, som ikke nødvendigvis samsvarer med begrensningene ovenfor.

Vurder nå generell ordning logaritmeberegninger. Den består av tre trinn:

1. Uttrykk grunntallet a og argumentet x som en potens med minst mulig grunntall større enn én. Underveis er det bedre å kvitte seg med desimalbrøker;
2. Løs ligningen for variabelen b: x = a b ;
3. Det resulterende tallet b vil være svaret.

Det er alt! Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, vil dette sees allerede ved første trinn. Kravet om at grunnlaget skal være større enn én er svært relevant: dette reduserer sannsynligheten for feil og forenkler beregningene betydelig. Tilsvarende med desimalbrøker: hvis du umiddelbart konverterer dem til vanlige, vil det være mange ganger færre feil.

La oss se hvordan denne ordningen fungerer med spesifikke eksempler:

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 5 25

1. La oss representere grunnlaget og argumentet som en potens av fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

La oss lage og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Fikk svar: 2.

Oppgave. Regn ut logaritmen:

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 4 64

1. La oss representere basen og argumentet som en potens av to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. La oss lage og løse ligningen:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Fikk svar: 3.

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 16 1

1. La oss representere basen og argumentet som en potens av to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. La oss lage og løse ligningen:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Fikk svar: 0.

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 7 14

1. La oss representere basen og argumentet som en potens av syv: 7 = 7 1 ; 14 er ikke representert som en potens av syv, fordi 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Det følger av forrige avsnitt at logaritmen ikke vurderes;
3. Svaret er ingen endring: logg 7 14.

En liten merknad til siste eksempel. Hvordan sikre at et tall ikke er en eksakt potens av et annet tall? Veldig enkelt - bare dekomponer det i hovedfaktorer. Hvis det er minst to forskjellige faktorer i utvidelsen, er ikke tallet en eksakt potens.

Oppgave. Finn ut om de nøyaktige potensene til tallet er: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - den nøyaktige graden, fordi det er bare én multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 er ikke en eksakt potens fordi det er to faktorer: 3 og 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - nøyaktig grad;
35 = 7 5 - igjen ikke en eksakt grad;
14 \u003d 7 2 - igjen ikke en eksakt grad;

Merk også at selve primtallene alltid er eksakte potenser av seg selv.

Desimal logaritme

Noen logaritmer er så vanlige at de har et spesielt navn og betegnelse.

av x-argumentet er base 10-logaritmen, dvs. potensen som 10 må heves til for å oppnå x. Betegnelse: lgx.

For eksempel log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nå av, når en setning som "Finn lg 0.01" vises i læreboken, må du vite at dette ikke er en skrivefeil. Dette er desimallogaritmen. Men hvis du ikke er vant til en slik betegnelse, kan du alltid skrive den om:
log x = log 10 x

Alt som er sant for vanlige logaritmer, er også sant for desimaler.

naturlig logaritme

Det er en annen logaritme som har sin egen notasjon. På en måte er det enda viktigere enn desimal. Det handler om om den naturlige logaritmen.

av x-argumentet er logaritmen til grunntallet e, dvs. potensen som tallet e må heves til for å få tallet x. Betegnelse: lnx.

Mange vil spørre: hva er tallet e? Dette er et irrasjonelt tall eksakt verdi umulig å finne og registrere. Her er bare de første tallene:
e = 2,718281828459 …

Vi skal ikke gå nærmere inn på hva dette tallet er og hvorfor det trengs. Bare husk at e er basen naturlig logaritme:
ln x = log e x

Således ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den annen side er ln 2 et irrasjonelt tall. Generelt er den naturlige logaritmen til ethvert rasjonelt tall irrasjonal. Bortsett fra, selvfølgelig, enhet: ln 1 = 0.

For naturlige logaritmer er alle reglene som er sanne for vanlige logaritmer gyldige.

Se også:

Logaritme. Egenskaper til logaritmen (styrken til logaritmen).

Hvordan representere et tall som en logaritme?

Vi bruker definisjonen av en logaritme.

Logaritmen er en indikator på potensen som grunntallet må heves til for å få tallet under logaritmens fortegn.

Derfor, for å representere et visst tall c som en logaritme til grunntallet a, må du sette en grad med samme grunntall som logaritmen under fortegnet til logaritmen, og skrive dette tallet c inn i eksponenten:

I form av en logaritme kan du representere absolutt et hvilket som helst tall - positivt, negativt, heltall, brøk, rasjonelt, irrasjonelt:

For ikke å forveksle a og c under stressende forhold under en test eller eksamen, kan du bruke følgende regel for å huske:

det som er under går ned, det som er over går opp.

For eksempel vil du representere tallet 2 som en logaritme til grunntallet 3.

Vi har to tall - 2 og 3. Disse tallene er grunntallet og eksponenten, som vi skal skrive under logaritmens fortegn. Det gjenstår å bestemme hvilke av disse tallene som skal skrives ned, i bunnen av graden, og hvilke - opp, i eksponenten.

Grunntallet 3 i registreringen av logaritmen er nederst, noe som betyr at når vi representerer toeren som en logaritme til grunntallet på 3, vil vi også skrive 3 ned til grunntallet.

2 er høyere enn 3. Og i notasjonen av graden skriver vi de to over de tre, det vil si i eksponenten:

Logaritmer. Første nivå.

Logaritmer

logaritme positivt tall b av grunn en, Hvor a > 0, a ≠ 1, er eksponenten som tallet må heves til. en, For å oppnå b.

Definisjon av logaritme kan kort skrives slik:

Denne likestillingen gjelder for b > 0, a > 0, a ≠ 1. Han kalles vanligvis logaritmisk identitet.
Handlingen med å finne logaritmen til et tall kalles logaritme.

Egenskaper til logaritmer:

Logaritmen til produktet:

Logaritme av kvotienten fra divisjon:

Bytte ut basen til logaritmen:

Gradslogaritme:

rotlogaritme:

Logaritme med potensbase:

Desimal og naturlige logaritmer.

Desimal logaritme tall kaller basis 10-logaritmen til det tallet og skriver   lg b
naturlig logaritme tall kaller logaritmen til dette tallet til basen e, Hvor e er et irrasjonelt tall, omtrent lik 2,7. Samtidig skriver de ln b.

Andre merknader om algebra og geometri

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og konverteres på alle mulige måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles grunnleggende egenskaper.

Disse reglene må være kjent - ingen alvorlige logaritmiske problemer kan løses uten dem. I tillegg er det svært få av dem – alt kan læres på en dag. Så la oss komme i gang.

Addisjon og subtraksjon av logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme grunntall: logg a x og logg a y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Så summen av logaritmene er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er - samme grunn. Hvis grunnlagene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg å beregne logaritmisk uttrykk selv når dens individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

logg 6 4 + logg 6 9.

Siden basisene til logaritmene er de samme, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 2 48 − log 2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igjen, basene er de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, er de opprinnelige uttrykkene bygd opp av "dårlige" logaritmer, som ikke vurderes separat. Men etter transformasjoner viser ganske normale tall seg. Basert på dette faktum, mange testpapirer. Ja, kontroll - lignende uttrykk i fullt alvor (noen ganger - med praktisk talt ingen endringer) tilbys på eksamen.

Fjerne eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om det er en grad i basen eller argumentet til logaritmen? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å se det siste regel følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ-logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt, dvs. du kan legge inn tallene før tegnet for logaritmen i selve logaritmen.

Hvordan løse logaritmer

Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 7 49 6 .

La oss bli kvitt graden i argumentet i henhold til den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn verdien av uttrykket:

Merk at nevneren er en logaritme hvis grunntall og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Vi har:

Jeg tror det siste eksemplet trenger avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. De presenterte basen og argumentet for logaritmen som sto der i form av grader og tok ut indikatorene - de fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren har samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, noe som ble gjort. Resultatet er svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om basene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny base kommer til unnsetning. Vi formulerer dem i form av et teorem:

La logaritmen logg a x gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Det følger av den andre formelen at det er mulig å bytte ut basen og argumentet til logaritmen, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen er i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid oppgaver som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra å flytte til en ny stiftelse. La oss vurdere et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene er eksakte eksponenter. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

La oss nå snu den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endres fra permutasjon av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og fant deretter ut logaritmene.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive det ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i prosessen med å løse er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base.

I dette tilfellet vil formlene hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er verdien av logaritmen.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter slik:

Ja, hva vil skje hvis tallet b heves til en slik grad at tallet b i denne graden gir tallet a? Det stemmer: dette er det samme tallet a. Les dette avsnittet nøye igjen - mange mennesker "henger" på det.

Som formlene for å flytte til en ny base, den viktigste logaritmisk identitet noen ganger er det den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket:

Legg merke til at log 25 64 = log 5 8 - tok bare ut kvadratet fra grunnflaten og argumentet til logaritmen. Gitt reglene for å multiplisere potenser med samme grunntall, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Examination 🙂

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som er vanskelige å kalle egenskaper – snarere er dette konsekvenser fra definisjonen av logaritmen. De blir stadig funnet i problemer og skaper overraskende problemer selv for "avanserte" elever.

1. log a a = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a fra selve basen er lik én.
2. log a 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet er ett, er logaritmen null! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs oppgavene.

Logaritmiske uttrykk, løsning av eksempler. I denne artikkelen vil vi vurdere problemer knyttet til å løse logaritmer. Oppgavene reiser spørsmålet om å finne verdien av uttrykket. Det skal bemerkes at konseptet med logaritmen brukes i mange oppgaver, og det er ekstremt viktig å forstå betydningen. Når det gjelder BRUK, brukes logaritmen til å løse ligninger, i anvendte problemer, og også i oppgaver knyttet til studiet av funksjoner.

Her er eksempler for å forstå selve betydningen av logaritmen:

Grunnleggende logaritmisk identitet:

Egenskaper til logaritmer som du alltid må huske:

*Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene til faktorene.

* * *

* Logaritmen til kvotienten (brøken) er lik differansen av logaritmene til faktorene.

* * *

* Gradens logaritme er lik produktet av eksponenten og logaritmen til grunntallet.

* * *

*Overgang til ny base

* * *

Flere eiendommer:

* * *

Å beregne logaritmer er nært beslektet med å bruke egenskapene til eksponenter.

Vi lister opp noen av dem:

Essensen av denne egenskapen er at når du overfører telleren til nevneren og omvendt, endres fortegnet til eksponenten til det motsatte. For eksempel:

Konsekvensen av denne egenskapen:

* * *

Når du hever en potens til en potens, forblir basen den samme, men eksponentene multipliseres.

* * *

Som du kan se, er selve konseptet med logaritmen enkelt. Hovedsaken er at det trengs god praksis, som gir en viss ferdighet. Kunnskap om formler er absolutt obligatorisk. Hvis ferdigheten i å konvertere elementære logaritmer ikke dannes, kan man lett gjøre en feil når man løser enkle oppgaver.

Øv deg, løs de enkleste eksemplene fra mattekurset først, og gå deretter videre til mer komplekse. I fremtiden vil jeg definitivt vise hvordan de "stygge" logaritmene løses, det vil ikke være slike på eksamen, men de er av interesse, ikke gå glipp av det!

Det er alt! Lykke til!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller om nettstedet i sosiale nettverk.

Vi fortsetter å studere logaritmer. I denne artikkelen vil vi snakke om beregning av logaritmer, kalles denne prosessen logaritme. Først skal vi ta for oss beregningen av logaritmer per definisjon. Deretter kan du vurdere hvordan verdiene til logaritmene blir funnet ved å bruke egenskapene deres. Etter det vil vi dvele ved beregningen av logaritmer gjennom de opprinnelig gitte verdiene til andre logaritmer. Til slutt, la oss lære hvordan du bruker tabeller med logaritmer. Hele teorien er forsynt med eksempler med detaljerte løsninger.

Sidenavigering.

Beregning av logaritmer per definisjon

I de enkleste tilfellene er det mulig å utføre raskt og enkelt finne logaritmen per definisjon. La oss se nærmere på hvordan denne prosessen foregår.

Dens essens er å representere tallet b i formen a c, hvorav, ved definisjonen av logaritmen, tallet c er verdien av logaritmen. Det vil si, per definisjon, å finne logaritmen tilsvarer følgende kjede av likheter: log a b=log a a c =c .

Så, beregningen av logaritmen, per definisjon, kommer ned til å finne et slikt tall c at a c \u003d b, og tallet c selv er den ønskede verdien av logaritmen.

Gitt informasjonen i de foregående avsnittene, når tallet under tegnet til logaritmen er gitt av en viss grad av basen til logaritmen, kan du umiddelbart indikere hva logaritmen er lik - den er lik eksponenten. La oss vise eksempler.

Eksempel.

Finn log 2 2 −3 , og beregn også den naturlige logaritmen til e 5.3 .

Løsning.

Definisjonen av logaritmen lar oss si med en gang at log 2 2 −3 = −3 . Faktisk er tallet under tegnet til logaritmen lik grunntallet 2 til −3 potens.

På samme måte finner vi den andre logaritmen: lne 5.3 =5.3.

Svar:

log 2 2 −3 = −3 og lne 5,3 =5,3 .

Hvis tallet b under tegnet til logaritmen ikke er gitt som potensen til basen til logaritmen, må du nøye vurdere om det er mulig å komme opp med en representasjon av tallet b i formen a c . Ofte er denne representasjonen ganske åpenbar, spesielt når tallet under tegnet til logaritmen er lik basen i potensen 1, eller 2, eller 3, ...

Eksempel.

Beregn logaritmene log 5 25 , og .

Løsning.

Det er lett å se at 25=5 2 , dette lar deg beregne den første logaritmen: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Vi fortsetter til beregningen av den andre logaritmen. Et tall kan representeres som en potens av 7: (se om nødvendig). Derfor, .

La oss omskrive den tredje logaritmen i følgende form. Nå kan du se det , hvorfra vi konkluderer med det . Derfor, etter definisjonen av logaritmen .

Kort fortalt kan løsningen skrives som følger:

Svar:

log 5 25=2 , Og .

Når et tilstrekkelig stort naturlig tall er under logaritmens tegn, så skader det ikke å dekomponere det til primfaktorer. Det hjelper ofte å representere et slikt tall som en potens av basen til logaritmen, og derfor å beregne denne logaritmen per definisjon.

Eksempel.

Finn verdien av logaritmen.

Løsning.

Noen egenskaper til logaritmer lar deg spesifisere verdien av logaritmer umiddelbart. Disse egenskapene inkluderer egenskapen til logaritmen til en og egenskapen til logaritmen til et tall som er lik grunntallet: log 1 1=log a a 0 =0 og log a a=log a a 1 =1 . Det vil si at når tallet 1 eller tallet a står under logaritmens tegn, lik basen til logaritmen, så er logaritmene i disse tilfellene henholdsvis 0 og 1.

Eksempel.

Hva er logaritmene og lg10?

Løsning.

Siden følger det av definisjonen av logaritmen .

I det andre eksemplet faller tallet 10 under logaritmens fortegn sammen med basen, så desimallogaritmen til ti er lik én, det vil si lg10=lg10 1 =1 .

Svar:

OG lg10=1 .

Merk at å beregne logaritmer per definisjon (som vi diskuterte i forrige avsnitt) innebærer bruk av likhetsloggen a a p =p , som er en av egenskapene til logaritmer.

I praksis, når tallet under tegnet til logaritmen og basen til logaritmen lett kan representeres som en potens av et tall, er det veldig praktisk å bruke formelen , som tilsvarer en av egenskapene til logaritmer. Tenk på et eksempel på å finne logaritmen, som illustrerer bruken av denne formelen.

Eksempel.

Beregn logaritmen til .

Løsning.

Svar:

.

Egenskapene til logaritmer som ikke er nevnt ovenfor, brukes også i beregningen, men vi vil snakke om dette i de følgende avsnittene.

Finne logaritmer i form av andre kjente logaritmer

Informasjonen i dette avsnittet fortsetter temaet om å bruke egenskapene til logaritmer i deres beregning. Men her er hovedforskjellen at egenskapene til logaritmene brukes til å uttrykke den opprinnelige logaritmen i form av en annen logaritme, hvis verdi er kjent. La oss ta et eksempel for avklaring. La oss si at vi vet at log 2 3≈1.584963 , så kan vi finne for eksempel log 2 6 ved å gjøre en liten transformasjon ved å bruke egenskapene til logaritmen: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

I eksemplet ovenfor var det nok for oss å bruke egenskapen til logaritmen til produktet. Imidlertid må du mye oftere bruke et bredere arsenal av egenskaper til logaritmer for å beregne den opprinnelige logaritmen i form av de gitte.

Eksempel.

Beregn logaritmen av 27 til grunntallet 60 hvis det er kjent at log 60 2=a og log 60 5=b .

Løsning.

Så vi må finne logg 60 27 . Det er lett å se at 27=3 3, og den opprinnelige logaritmen, på grunn av egenskapen til logaritmen til graden, kan skrives om til 3·log 60 3 .

La oss nå se hvordan log 60 3 kan uttrykkes i form av kjente logaritmer. Egenskapen til logaritmen til et tall lik grunntallet lar deg skrive likhetsloggen 60 60=1 . På den annen side, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Dermed, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Derfor, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Til slutt beregner vi den opprinnelige logaritmen: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Svar:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Separat er det verdt å nevne betydningen av formelen for overgangen til en ny base av logaritmen til formen . Den lar deg gå fra logaritmer med hvilken som helst base til logaritmer med en spesifikk base, hvis verdier er kjent eller det er mulig å finne dem. Vanligvis, fra den opprinnelige logaritmen, i henhold til overgangsformelen, bytter de til logaritmer i en av basene 2, e eller 10, siden for disse basene er det tabeller med logaritmer som gjør at de kan beregnes med en viss grad av nøyaktighet. I neste avsnitt vil vi vise hvordan dette gjøres.

Tabeller over logaritmer, deres bruk

For en omtrentlig beregning av verdiene til logaritmene kan man bruke logaritmetabeller. De mest brukte er base 2-logaritmetabellen, den naturlige logaritmetabellen og desimallogaritmetabellen. Når du arbeider i desimaltallsystemet, er det praktisk å bruke en tabell med logaritmer til å basere ti. Med dens hjelp vil vi lære å finne verdiene til logaritmer.

Den presenterte tabellen tillater, med en nøyaktighet på en titusendel, å finne verdiene til desimallogaritmene til tall fra 1.000 til 9.999 (med tre desimaler). Prinsippet for å finne verdien av logaritmen ved å bruke tabellen med desimallogaritmer vil bli analysert i spesifikt eksempel- så mye klarere. La oss finne lg1,256 .

I venstre kolonne i tabellen med desimallogaritmer finner vi de to første sifrene i tallet 1,256, det vil si at vi finner 1,2 (dette tallet er sirklet inn i blått for klarhetens skyld). Det tredje sifferet i tallet 1.256 (nummer 5) finnes i den første eller siste linjen til venstre for den doble linjen (dette tallet er ringt inn i rødt). Det fjerde sifferet i det opprinnelige tallet 1.256 (nummer 6) finnes i den første eller siste linjen til høyre for den doble linjen (dette tallet er sirklet inn i grønt). Nå finner vi tallene i cellene i logaritmetabellen i skjæringspunktet mellom den merkede raden og markerte kolonner (disse tallene er uthevet oransje). Summen av de markerte tallene gir ønsket verdi av desimallogaritmen opp til fjerde desimal, dvs. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Er det mulig, ved å bruke tabellen ovenfor, å finne verdiene til desimallogaritmene til tall som har mer enn tre sifre etter desimaltegnet, og som også går utover grensene fra 1 til 9,999? Ja det kan du. La oss vise hvordan dette gjøres med et eksempel.

La oss beregne lg102.76332 . Først må du skrive nummer inn standard skjema : 102,76332=1,0276332 10 2 . Etter det skal mantissen rundes opp til tredje desimal, vi har 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, mens den opprinnelige desimallogaritmen er omtrent lik logaritmen til det resulterende tallet, det vil si at vi tar lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Bruk nå egenskapene til logaritmen: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Til slutt finner vi verdien av logaritmen lg1.028 i henhold til tabellen med desimallogaritmer lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Som et resultat ser hele prosessen med å beregne logaritmen slik ut: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Avslutningsvis er det verdt å merke seg at ved å bruke tabellen med desimallogaritmer kan du beregne den omtrentlige verdien av enhver logaritme. For å gjøre dette er det nok å bruke overgangsformelen for å gå til desimallogaritmer, finne verdiene deres i tabellen og utføre de resterende beregningene.

La oss for eksempel beregne log 2 3 . I henhold til formelen for overgangen til en ny base av logaritmen har vi . Fra tabellen med desimallogaritmer finner vi lg3≈0,4771 og lg2≈0,3010. Dermed, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for søkere til tekniske skoler).

I dag skal vi snakke om logaritmeformler og gi demonstrasjon eksempler på løsninger.

I seg selv innebærer de løsningsmønstre i henhold til de grunnleggende egenskapene til logaritmer. Før vi bruker logaritmeformlene på løsningen, husker vi først alle egenskapene for deg:

Nå, basert på disse formlene (egenskapene), viser vi eksempler på løsning av logaritmer.

Eksempler på løsning av logaritmer basert på formler.

Logaritme et positivt tall b i grunntall a (betegnet log a b) er eksponenten som a må heves til for å få b, med b > 0, a > 0 og 1.

I følge definisjonen log a b = x, som tilsvarer a x = b, så log a a x = x.

Logaritmer, eksempler:

log 2 8 = 3, fordi 2 3 = 8

log 7 49 = 2 fordi 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, fordi 5 -1 = 1/5

Desimal logaritme er en vanlig logaritme, hvis basis er 10. Angitt som lg.

log 10 100 = 2 fordi 10 2 = 100

naturlig logaritme- også den vanlige logaritmelogaritmen, men med basen e (e \u003d 2,71828 ... - et irrasjonelt tall). Referert til som ln.

Det er ønskelig å huske formlene eller egenskapene til logaritmer, fordi vi vil trenge dem senere når vi skal løse logaritmer, logaritmiske ligninger og ulikheter. La oss gå gjennom hver formel på nytt med eksempler.

• Grunnleggende logaritmisk identitet
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritmen til kvotienten er lik differansen til logaritmene
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Egenskaper for graden av et logaritmerbart tall og basisen til logaritmen

  Eksponenten for et logaritmetall log a b m = mlog a b

  Grunneksponent logaritmelogg a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  hvis m = n, får vi log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Overgang til ny stiftelse
  log a b = log c b / log c a,

  hvis c = b, får vi log b b = 1

  så log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Som du kan se, er ikke logaritmeformlene så kompliserte som de ser ut til. Nå, etter å ha vurdert eksempler på løsning av logaritmer, kan vi gå videre til logaritmiske ligninger. Vi vil vurdere eksempler på løsning av logaritmiske ligninger mer detaljert i artikkelen: "". Ikke gå glipp!

Hvis du fortsatt har spørsmål om løsningen, skriv dem i kommentarene til artikkelen.

Merk: bestemte seg for å få en utdanning av en annen klasse studere i utlandet som et alternativ.

Fokuset i denne artikkelen er logaritme. Her skal vi gi definisjonen av logaritmen, vise den aksepterte notasjonen, gi eksempler på logaritmer og snakke om naturlige og desimale logaritmer. Etter det, vurder den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Sidenavigering.

Definisjon av logaritme

Konseptet med en logaritme oppstår når man løser et problem i i en viss forstand invers, når du trenger å finne eksponenten fra en kjent verdi av graden og en kjent base.

Men nok ingress, det er på tide å svare på spørsmålet "hva er en logaritme"? La oss gi en passende definisjon.

Definisjon.

Logaritme av b til base a, der a>0 , a≠1 og b>0 er eksponenten du må heve tallet a til for å få b som et resultat.

På dette stadiet legger vi merke til at det talte ordet "logaritme" umiddelbart bør reise to påfølgende spørsmål: "hvilket tall" og "på hvilket grunnlag." Med andre ord, det er rett og slett ingen logaritme, men det er bare logaritmen til et tall i en eller annen base.

Vi vil umiddelbart introdusere logaritmenotasjon: logaritmen av tallet b til grunntallet a er vanligvis betegnet som log a b . Logaritmen til tallet b til grunntall e og logaritmen til grunntall 10 har sine egne spesielle betegnelser henholdsvis lnb og lgb, det vil si at de skriver ikke log e b , men lnb , og ikke log 10 b , men lgb .

Nå kan du ta med:.
Og postene gir ikke mening, siden i den første av dem er det et negativt tall under logaritmens tegn, i det andre - et negativt tall i basen, og i det tredje - både et negativt tall under logaritmens tegn og en enhet i basen.

La oss nå snakke om regler for lesing av logaritmer. Oppføringsloggen a b leses som "logaritme av b til base a". For eksempel er log 2 3 logaritmen av tre til grunntall 2, og er logaritmen av to komma to tredjedeler til grunntall Kvadratrot av fem. Logaritmen til grunntall e kalles naturlig logaritme, og notasjonen lnb leses som "den naturlige logaritmen til b". For eksempel er ln7 den naturlige logaritmen av syv, og vi vil lese den som den naturlige logaritmen til pi. Logaritmen til base 10 har også et spesielt navn - desimal logaritme, og notasjonen lgb leses som "desimal logaritme b". For eksempel er lg1 desimallogaritmen til én, og lg2.75 er desimallogaritmen av to komma syttifem hundredeler.

Det er verdt å dvele separat ved betingelsene a>0, a≠1 og b>0, under hvilke definisjonen av logaritmen er gitt. La oss forklare hvor disse restriksjonene kommer fra. For å gjøre dette vil vi bli hjulpet av en likhet av formen, kalt , som følger direkte av definisjonen av logaritmen gitt ovenfor.

La oss starte med a≠1 . Siden en er lik en til en hvilken som helst potens, så kan likheten bare være sann for b=1, men log 1 1 kan være et hvilket som helst reelt tall. For å unngå denne tvetydigheten, aksepteres a≠1.

La oss underbygge hensiktsmessigheten av betingelsen a>0 . Med a=0, ved definisjonen av logaritmen, ville vi ha likhet , noe som bare er mulig med b=0 . Men da kan log 0 0 være et hvilket som helst reelt tall som ikke er null, siden null til en potensiell ikke-null er null. Denne tvetydigheten kan unngås med betingelsen a≠0 . Og for en<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Til slutt følger betingelsen b>0 av ulikheten a>0 , siden , og verdien av graden med positiv base a er alltid positiv.

Som konklusjon av dette avsnittet sier vi at den uttrykte definisjonen av logaritmen lar deg umiddelbart indikere verdien av logaritmen når tallet under tegnet til logaritmen er en viss grad av base. Faktisk lar definisjonen av logaritmen oss hevde at hvis b=a p, så er logaritmen til tallet b til grunntallet a lik p . Det vil si at likhetsloggen a a p =p er sann. For eksempel vet vi at 2 3 =8 , så log 2 8=3 . Vi vil snakke mer om dette i artikkelen.