Hovedelementene i trekanten abc. Hva er halveringslinjen til en trekant: egenskaper relatert til sideforholdet

Blant de mange fagene på ungdomsskolen er det for eksempel "geometri". Det er tradisjonelt antatt at grunnleggerne av denne systematiske vitenskapen er grekerne. I dag kalles gresk geometri elementær, siden det var hun som begynte å studere de enkleste formene: fly, linjer og trekanter. Vi vil fokusere på sistnevnte, eller rettere sagt på halveringslinjen til denne figuren. For de som allerede har glemt det, er halveringslinjen til en trekant et segment av halveringslinjen til en av vinklene i trekanten, som deler den i to og forbinder toppunktet til et punkt som ligger på motsatt side.

Halvlederen til en trekant har en rekke egenskaper som du trenger å vite når du løser visse problemer:

• Halveringslinjen til en vinkel er stedet for punkter som er like langt fra sidene ved siden av vinkelen.
• Halveringslinjen i en trekant deler den motsatte siden av vinkelen i segmenter som er proporsjonale med de tilstøtende sidene. For eksempel gitt trekant MKB, der en halveringslinje kommer ut av vinkel K, som forbinder toppunktet til denne vinkelen med punktet A på motsatt side av MB. Etter å ha analysert denne egenskapen og trekanten vår, har vi MA/AB=MK/KB.
• Punktet der halveringslinjene til alle tre vinklene i en trekant skjærer, er sentrum av en sirkel som er innskrevet i den samme trekanten.
• Basen av halveringslinjen til en ytre og to indre vinkel er på samme linje, forutsatt at halveringslinjen til den ytre vinkelen ikke er parallell med motsatt side av trekanten.
• Hvis to halveringslinjer av en så dette

Det skal bemerkes at hvis tre halveringslinjer er gitt, er det umulig å bygge en trekant ved å bruke dem, selv ved hjelp av et kompass.

Svært ofte, når du løser problemer, er halveringslinjen til en trekant ukjent, men det er nødvendig å bestemme lengden. For å løse et slikt problem, er det nødvendig å vite vinkelen som er delt av halveringslinjen i to, og sidene ved siden av denne vinkelen. I dette tilfellet er ønsket lengde definert som forholdet mellom dobbeltproduktet av sidene ved siden av hjørnet og cosinus av vinkelen delt i to til summen av sidene ved siden av hjørnet. For eksempel gitt den samme trekanten MKB. Halveringslinjen forlater vinkelen K og skjærer motsatt side av MB i punktet A. Vinkelen som halveringslinjen går fra er angitt med y. La oss nå skrive ned alt som blir sagt i ord i form av en formel: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Hvis verdien av vinkelen som halveringslinjen til trekanten kommer ut fra er ukjent, men alle sidene er kjent, vil vi for å beregne lengden på halveringslinjen bruke en tilleggsvariabel, som vi vil kalle halvperimeteren og betegne ved bokstaven P: P=1/2*(MK+KB+MB). Etter det vil vi gjøre noen endringer i den forrige formelen, i henhold til hvilken lengden på halveringslinjen ble bestemt, nemlig i telleren til brøken setter vi to ganger produktet av lengdene på sidene ved siden av hjørnet med halvperimeteren og kvotienten, hvor lengden på den tredje siden trekkes fra halvperimeteren. Vi lar nevneren være uendret. I form av en formel vil den se slik ut: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Halveringslinjen til en likebenet trekant, sammen med felles egenskaper, har flere av sine egne. La oss huske hva en trekant er. I en slik trekant er to sider like, og vinklene ved siden av basen er like. Det følger at halveringslinjene som går ned til sidene av en likebenet trekant er like med hverandre. I tillegg er halveringslinjen senket til basen både høyden og medianen på samme tid.

De indre vinklene til en trekant kalles halveringslinjen til trekanten.
Vinkelhalveringslinjen til en trekant forstås også som segmentet mellom dens toppunkt og skjæringspunktet mellom halveringslinjen med motsatt side av trekanten.
Teorem 8. De tre halveringslinjene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.
Tenk først på punktet Р i skjæringspunktet mellom to halveringslinjer, for eksempel AK 1 og VC 2. Dette punktet er like langt fra sidene AB og AC, siden det ligger på halveringslinjen til vinkel A, og er like langt fra sidene AB og BC, som tilhører halveringslinjen til vinkel B. Derfor er det like langt fra sidene AC og BC og tilhører dermed den tredje halveringslinjen SK 3 , det vil si i punktet P krysser alle tre halveringslinjene.
Egenskaper til halveringslinjer for indre og ytre vinkler til en trekant
Teorem 9. Halveringslinjen til den indre vinkelen til en trekant deler den motsatte siden i deler proporsjonale med de tilstøtende sidene.
Bevis. Tenk på trekanten ABC og halveringslinjen til dens vinkel B. La oss tegne en rett linje CM gjennom toppunktet C, parallelt med halveringslinjen BK, til den skjærer i punktet M som en forlengelse av siden AB. Siden VC er halveringslinjen til vinkelen ABC, så er ∠ ABK=∠ KBC. Videre, ∠ ABK=∠ VMS, som de tilsvarende vinklene ved parallelle linjer, og ∠ KBC=∠ VCM, som de tverrliggende vinklene ved parallelle linjer. Derfor ∠ VCM=∠ VMS, og derfor er VMS-trekanten likebenet, derav BC=VM. I følge teoremet om parallelle linjer som skjærer sidene av en vinkel, har vi AK:K C=AB:VM=AB:BC, som måtte bevises.
Teorem 10 Halveringslinjen til den ytre vinkelen B til trekanten ABC har en lignende egenskap: segmentene AL og CL fra toppunktene A og C til punktet L i skjæringspunktet mellom halveringslinjen med forlengelsen av siden AC er proporsjonale med sidene til trekanten: AL: CL=AB :BC .
Denne egenskapen er bevist på samme måte som den forrige: en hjelpelinje CM er tegnet i figuren, parallelt med halveringslinjen BL . Vinklene BMC og BCM er like, som betyr at sidene BM og BC i trekanten BMC er like. Derfra kommer vi til konklusjonen AL:CL=AB:BC.

Teorem d4. (den første formelen for halveringslinjen): Hvis i trekant ABC er segmentet AL halveringslinjen til vinkel A, da AL? = AB AC - LB LC.

Bevis: La M være skjæringspunktet for linjen AL med sirkelen omskrevet om trekanten ABC (fig. 41). BAM-vinkelen er lik MAC-vinkelen etter konvensjon. Vinkler BMA og BCA er like som innskrevne vinkler basert på samme akkord. Derfor er trekanter BAM og LAC like i to vinkler. Derfor AL: AC = AB: AM. Så AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Noe som måtte bevises. Merk: for teoremet om segmenter av kryssende akkorder i en sirkel og om innskrevne vinkler, se emnet sirkel og sirkel.

Teorem d5. (andre formel for halveringslinjen): I trekant ABC med sidene AB=a, AC=b og vinkel A lik 2? og halveringslinjen l, likheten finner sted:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.

Bevis: La ABC være en gitt trekant, AL dens halveringslinje (fig. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Da er S ABC = S ALB + S ALC . Derfor absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin? = (a + b)lsin?<=>l = 2 (ab / (a+b)) cos?. Teoremet er bevist.

Hva er vinkelhalveringslinjen til en trekant? På dette spørsmålet har noen mennesker den beryktede rotta som løper rundt hjørnene og deler hjørnet i to. "Hvis svaret må være "med humor", så er det kanskje riktig. Men fra et vitenskapelig synspunkt er svaret på dette spørsmålet burde ha hørt noe slikt ut: Start øverst i hjørnet og del det siste i to like deler. I geometri blir denne figuren også oppfattet som et segment av halveringslinjen til den skjærer mot motsatt side av trekanten. Dette ikke er feilaktig oppfatning. Og hva mer er kjent om vinkelhalveringslinjen, foruten dens definisjon?

Som ethvert punktsted har det sine egne egenskaper. Den første av dem er heller ikke engang et tegn, men en teorem som kort kan uttrykkes som følger: "Hvis den motsatte siden er delt i to deler av en halveringslinje, vil forholdet deres tilsvare forholdet mellom sidene til en stor triangel."

Den andre egenskapen den har: skjæringspunktet mellom halveringslinjene til alle vinkler kalles insenteret.

Det tredje tegnet: halveringslinjene til en indre og to ytre vinkler i en trekant skjærer i midten av en av de tre sirklene som er innskrevet i den.

Den fjerde egenskapen til vinkelhalveringslinjen til en trekant er at hvis hver av dem er like, så er den siste likebenet.

Det femte tegnet gjelder også en likebenet trekant og er hovedretningslinjen for gjenkjennelse av den i tegningen ved halveringslinjer, nemlig: i en likebenet trekant fungerer den samtidig som en median og høyde.

En vinkelhalveringslinje kan konstrueres ved hjelp av et kompass og en rettlinje:

Den sjette regelen sier at det er umulig å konstruere en trekant ved å bruke sistnevnte bare med de tilgjengelige halveringslinjene, akkurat som det er umulig å konstruere en dobling av en terning, en firkant av en sirkel og en tredeling av en vinkel på denne måten. Strengt tatt er dette alle egenskapene til halveringslinjen til vinkelen til en trekant.

Hvis du leste forrige avsnitt nøye, var du kanskje interessert i én setning. "Hva er tredelingen av en vinkel?" - du vil sikkert spørre. Trisectrix er litt lik halveringslinjen, men hvis du tegner sistnevnte, vil vinkelen bli delt i to like deler, og når du konstruerer en tredeling, i tre. Naturligvis er halveringslinjen til en vinkel lettere å huske, fordi tredelingen ikke læres på skolen. Men for fullstendighetens skyld vil jeg fortelle deg om det.

Trisektoren, som jeg sa, kan ikke bygges bare med et kompass og en linjal, men den kan lages ved hjelp av Fujita-reglene og noen kurver: Pascals snegler, kvadrater, Nicomedes conchoids, kjeglesnitt,

Problemer med tredeling av en vinkel løses ganske enkelt ved hjelp av nevsis.

I geometri er det et teorem om trisektorene til en vinkel. Det kalles Morley (Morley) teoremet. Hun sier at skjæringspunktene for trisektorene i midten av hver vinkel vil være toppunkter

En liten svart trekant inne i en stor vil alltid være likesidet. Denne teoremet ble oppdaget av den britiske forskeren Frank Morley i 1904.

Her er hvor mye du kan lære om deling av en vinkel: tre- og halveringslinjen til en vinkel krever alltid detaljerte forklaringer. Men her er det gitt mange definisjoner som ennå ikke er avslørt av meg: Pascals snegl, Nicomedes' conchoid, etc. Det kan uten tvil skrives mer om dem.

BISECTORENS EGENSKAPER

Halveringsegenskap: I en trekant deler halveringslinjen den motsatte siden i segmenter proporsjonale med de tilstøtende sidene.

Halvleder av en ytre vinkel Halvlederen til en ytre vinkel til en trekant skjærer forlengelsen av siden i et punkt, hvor avstandene til endene av denne siden er proporsjonale med henholdsvis de tilstøtende sidene av trekanten. C B A D

Formler for halveringslengde:

Formelen for å finne lengdene på segmentene der halveringslinjen deler motsatt side av trekanten

Formelen for å finne forholdet mellom lengdene til segmentene som halveringslinjen er delt i med skjæringspunktet til halveringslinjen

Oppgave 1. En av halveringslinjene i en trekant er delt med skjæringspunktet til halveringslinjen i forholdet 3:2, regnet fra toppunktet. Finn omkretsen til en trekant hvis lengden på siden av trekanten som denne halveringslinjen er trukket til er 12 cm.

Løsning Vi bruker formelen til å finne forholdet mellom lengdene på segmentene som halveringslinjen er delt inn i med skjæringspunktet for halveringslinjen i trekanten: 30. Svar: P = 30cm.

Oppgave 2. Halvledere BD og CE ∆ ABC skjærer hverandre i punkt O. AB=14, BC=6, AC=10. Finn O D .

Løsning. La oss bruke formelen for å finne lengden på halveringslinjen: Vi har: BD = BD = = I henhold til formelen for forholdet mellom segmentene som halveringslinjen er delt inn i med skjæringspunktet til halveringslinjen: l = . 2 + 1 = 3 deler av alt.

dette er del 1  OD = Svar: OD =

Oppgaver I ∆ ABC er halveringslinjene AL og BK tegnet. Finn lengden på segmentet KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5. I ∆ ABC er halveringslinjen AD tegnet, og gjennom punktet D er en rett linje parallelt med AC og skjærer AB i punktet E. Finn forholdet mellom arealer ∆ ABC og ∆ BDE , hvis AB = 5, AC = 7. Finn halveringslinjen til spisse vinkler i en rettvinklet trekant med ben 24 cm og 18 cm. Halvledd i en rettvinklet trekant spiss vinkel deler det motsatte benet i segmenter 4 og 5 cm lange. Bestem arealet av trekanten.

5. I en likebenet trekant er grunnflaten og siden henholdsvis 5 og 20 cm Finn halveringslinjen til vinkelen ved trekantens basis. 6. Finn halveringslinjen til den rette vinkelen til en trekant hvis ben er like a og b. 7. Regn ut lengden på halveringslinjen til vinkel A til trekant ABC med sidelengder a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. Finn forholdet der halveringslinjene til de indre vinklene deler seg ved skjæringspunktet.

Svar: Svar: Svar: Svar: Svar: Svar: Svar: Svar: Svar: AP = 6 AP = 10 se KL = CP =

Halveringslinjen til en trekant er et vanlig geometrisk konsept som ikke forårsaker store vanskeligheter med å lære. Å vite om egenskapene, kan mange problemer løses uten store problemer. Hva er en halveringslinje? Vi vil prøve å gjøre leseren kjent med alle hemmelighetene til denne matematiske linjen.

I kontakt med

Essensen av konseptet

Navnet på konseptet kom fra bruken av ord på latin, hvis betydning er "bi" - to, "sectio" - kuttet. De peker spesifikt på den geometriske betydningen av konseptet - å bryte opp rommet mellom strålene i to like deler.

Halveringslinjen til en trekant er et segment som stammer fra toppen av figuren, og den andre enden er plassert på siden som er plassert overfor den, mens rommet deler seg i to like deler.

Mange lærere for rask assosiativ memorering av matematiske begreper av studenter bruker annen terminologi, som vises i vers eller assosiasjoner. Selvfølgelig anbefales denne definisjonen for eldre barn.

Hvordan er denne linjen merket? Her stoler vi på reglene for utpeking av segmenter eller stråler. Hvis vi snakker om betegnelsen på halveringslinjen til vinkelen til en trekantet figur, så skrives den vanligvis som et segment, hvis ender er toppunkt og skjæringspunktet med motsatt side av toppunktet. Dessuten er begynnelsen av betegnelsen skrevet nøyaktig fra toppen.

Merk følgende! Hvor mange halveringslinjer har en trekant? Svaret er åpenbart: så mange som det er hjørner - tre.

Egenskaper

I tillegg til definisjonen, skole lærebok man kan ikke finne så mange egenskaper ved dette geometriske konseptet. Den første egenskapen til halveringslinjen til en trekant, som skolebarn blir introdusert for, er det innskrevne senteret, og den andre, direkte relatert til det, er proporsjonaliteten til segmentene. Hovedpoenget er dette:

1. Uansett skillelinje, er det punkter på den som er det i samme avstand fra sidene, som utgjør rommet mellom strålene.
2. For å skrive inn en sirkel i en trekantet figur, er det nødvendig å bestemme punktet der disse segmentene skal krysse hverandre. Dette er midtpunktet i sirkelen.
3. Deler av en trekantet side geometrisk figur, som dens delelinje deler seg inn i, er i forhold til sidene som danner vinkelen.

Vi vil prøve å bringe resten av funksjonene inn i et system og presentere ytterligere fakta som vil bidra til å bedre forstå fordelene ved dette geometriske konseptet.

Lengde

En av oppgavene som forårsaker vanskeligheter for skolebarn, er å finne lengden på halveringslinjen til vinkelen til en trekant. Det første alternativet, der lengden er plassert, inneholder følgende data:

• størrelsen på rommet mellom strålene, fra toppen av hvilket det gitte segmentet kommer ut;
• lengdene på sidene som danner denne vinkelen.

Å løse problemet formelen brukes, hvis betydning er å finne forholdet mellom det doblede produktet av verdiene til sidene som utgjør vinkelen, ved cosinus av dens halvdel, og summen av sidene.

La oss se på et spesifikt eksempel. Anta at vi får en figur ABC, der segmentet er tegnet fra vinkel A og skjærer side BC i punktet K. Vi betegner verdien av A med Y. Basert på dette, AK \u003d (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).

Den andre versjonen av problemet, der lengden på halveringslinjen til en trekant bestemmes, inneholder følgende data:

• verdiene på alle sider av figuren er kjent.

Når du skal løse et problem av denne typen, først bestemme semiperimeteren. For å gjøre dette, legg til verdiene for alle sider og del i to: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. Deretter bruker vi beregningsformelen, som ble brukt til å bestemme lengden på dette segmentet i forrige oppgave. Det er bare nødvendig å gjøre noen endringer i essensen av formelen i samsvar med de nye parameterne. Så det er nødvendig å finne forholdet mellom den to ganger roten av den andre graden fra produktet av lengdene på sidene som er ved siden av toppen, til semi-perimeteren og forskjellen mellom semi-perimeteren og lengden på motsatt side av summen av sidene som utgjør vinkelen. Det vil si AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

Merk følgende! For å gjøre det lettere å mestre materialet, kan du henvise til det som er tilgjengelig på Internett komiske fortellinger, forteller om "eventyrene" til denne linjen.