Betydningen av den andregradsligningen. Løsning av andregradsligninger, formel for røtter, eksempler

Formler for røttene til en kvadratisk ligning. Tilfellene med reelle, multiple og komplekse røtter vurderes. Faktorisering av et kvadratisk trinomium. Geometrisk tolkning. Eksempler på å bestemme røtter og faktorisering.

Grunnleggende formler

Tenk på den andregradsligningen:
(1) .
Røttene til en andregradsligning(1) bestemmes av formlene:
; .
Disse formlene kan kombineres slik:
.
Når røttene til den kvadratiske ligningen er kjent, kan polynomet av andre grad representeres som et produkt av faktorer (faktorert):
.

Videre antar vi at det er reelle tall.
Ta i betraktning diskriminant av en andregradsligning:
.
Hvis diskriminanten er positiv, har kvadratisk ligning (1) to forskjellige reelle røtter:
; .
Da har faktoriseringen av kvadrattrinomialet formen:
.
Hvis diskriminanten er null, har den kvadratiske ligningen (1) to multiple (like) reelle røtter:
.
Faktorisering:
.
Hvis diskriminanten er negativ, har den kvadratiske ligningen (1) to komplekse konjugerte røtter:
;
.
Her er den imaginære enheten, ;
og er de virkelige og imaginære delene av røttene:
; .
Deretter

.

Grafisk tolkning

Hvis bygge funksjonsgraf
,
som er en parabel, så vil skjæringspunktene til grafen med aksen være røttene til ligningen
.
Når , skjærer grafen abscisseaksen (aksen) i to punkter.
Når , berører grafen x-aksen på ett punkt.
Når , krysser ikke grafen x-aksen.

Nedenfor er eksempler på slike grafer.

Nyttige formler relatert til kvadratisk ligning

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Utledning av formelen for røttene til en andregradsligning

Vi utfører transformasjoner og bruker formler (f.1) og (f.3):




,
Hvor
; .

Så, vi fikk formelen for polynomet av andre grad i formen:
.
Av dette kan man se at ligningen

utført kl
Og .
Det vil si, og er røttene til den kvadratiske ligningen
.

Eksempler på å bestemme røttene til en kvadratisk ligning

Eksempel 1

(1.1) .

Løsning

.
Ved å sammenligne med ligningen vår (1.1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Finne diskriminanten:
.
Siden diskriminanten er positiv, har ligningen to reelle røtter:
;
;
.

Herfra får vi dekomponeringen av kvadrattrinomialet til faktorer:

.

Graf for funksjonen y = 2 x 2 + 7 x + 3 krysser x-aksen i to punkter.

La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den krysser x-aksen (aksen) på to punkter:
Og .
Disse punktene er røttene til den opprinnelige ligningen (1.1).

Svar

;
;
.

Eksempel 2

Finn røttene til en andregradsligning:
(2.1) .

Løsning

Vi skriver andregradsligningen inn generelt syn:
.
Sammenligner vi med den opprinnelige ligningen (2.1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Finne diskriminanten:
.
Siden diskriminanten er null, har ligningen to multiple (like) røtter:
;
.

Da har faktoriseringen av trinomialet formen:
.

Graf for funksjonen y = x 2 - 4 x + 4 berører x-aksen på ett punkt.

La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den berører x-aksen (aksen) på ett punkt:
.
Dette punktet er roten til den opprinnelige ligningen (2.1). Siden denne roten er faktorisert to ganger:
,
da kalles en slik rot et multiplum. Det vil si at de anser at det er to like røtter:
.

Svar

;
.

Eksempel 3

Finn røttene til en andregradsligning:
(3.1) .

Løsning

Vi skriver andregradsligningen i generell form:
(1) .
La oss omskrive den opprinnelige ligningen (3.1):
.
Ved å sammenligne med (1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Finne diskriminanten:
.
Diskriminanten er negativ, . Derfor er det ingen reelle røtter.

Du kan finne komplekse røtter:
;
;
.

Deretter


.

Grafen til funksjonen krysser ikke x-aksen. Det er ingen reelle røtter.

La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den krysser ikke abscissen (aksen). Derfor er det ingen reelle røtter.

Svar

Det er ingen reelle røtter. Komplekse røtter:
;
;
.

Videoleksjon 2: Løse andregradsligninger

Foredrag: Kvadratiske ligninger

Ligningen

Ligningen– dette er en slags likhet, i uttrykkene som det er en variabel.

løse ligningen- betyr å finne et slikt tall i stedet for en variabel som vil lede det til riktig likhet.

En ligning kan ha én løsning, flere eller ingen i det hele tatt.

For å løse en ligning, bør den forenkles så mye som mulig til skjemaet:

Lineær: a*x = b;

Torget: a*x 2 + b*x + c = 0.

Det vil si at enhver ligning før løsning må konverteres til en standardform.

Enhver ligning kan løses på to måter: analytisk og grafisk.

På grafen anses løsningen til ligningen å være punktene der grafen skjærer x-aksen.

Kvadratiske ligninger

En ligning kan kalles kvadratisk hvis den, forenklet, har formen:

a*x 2 + b*x + c = 0.

Hvori a, b, c er koeffisienter av ligningen som avviker fra null. EN "X"- roten av ligningen. Det antas at en kvadratisk ligning har to røtter eller kanskje ikke har en løsning i det hele tatt. De resulterende røttene kan være de samme.

"EN"- koeffisienten som står foran roten i kvadratet.

"b"- står foran det ukjente i første grad.

"Med"- fri ledd for ligningen.

Hvis vi for eksempel har en ligning av formen:

2x 2 -5x+3=0

I den er "2" koeffisienten ved det høyeste leddet i ligningen, "-5" er den andre koeffisienten, og "3" er frileddet.

Løse en andregradsligning

Det er mange måter å løse en kvadratisk ligning på. Men i skolematematikkkurset studeres løsningen ved hjelp av Vieta-teoremet, samt ved bruk av diskriminanten.

Diskriminerende løsning:

Når man løser med denne metoden det er nødvendig å beregne diskriminanten i henhold til formelen:

Hvis du under beregningene fikk at diskriminanten er mindre enn null, betyr dette at denne ligningen ikke har noen løsninger.

Hvis diskriminanten er null, har ligningen to identiske løsninger. I dette tilfellet kan polynomet kollapses i henhold til den forkortede multiplikasjonsformelen til kvadratet av summen eller differansen. Løs det så som en lineær ligning. Eller bruk formelen:

Hvis diskriminanten er større enn null, må følgende metode brukes:

Vietas teorem

Hvis ligningen reduseres, det vil si at koeffisienten på det høyeste leddet er lik én, så kan du bruke Vietas teorem.

Så la oss si at ligningen er:

Røttene til ligningen finnes som følger:

Ufullstendig andregradsligning

Det er flere alternativer for å oppnå en ufullstendig kvadratisk ligning, hvis form avhenger av tilstedeværelsen av koeffisienter.

1. Hvis den andre og tredje koeffisienten er lik null (b=0, c=0), så vil den andregradsligningen se slik ut:

Denne ligningen vil ha eneste beslutning. Likhet vil bare være sann hvis løsningen på ligningen er null.

I fortsettelsen av emnet "Løse ligninger", vil materialet i denne artikkelen introdusere deg til kvadratiske ligninger.

La oss vurdere alt i detalj: essensen og notasjonen til en kvadratisk ligning, sett relaterte termer, analyser skjemaet for å løse ufullstendige og fullstendige ligninger, bli kjent med formelen for røtter og diskriminanten, etablere forbindelser mellom røtter og koeffisienter, og selvfølgelig vi vil gi en visuell løsning av praktiske eksempler.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratisk ligning, dens typer

Definisjon 1

Kvadratisk ligning er ligningen skrevet som a x 2 + b x + c = 0, Hvor x– variabel, a , b og c er noen tall, mens en er ikke null.

Ofte kalles andregradsligninger også andregradsligninger, siden en andregradsligning faktisk er en algebraisk ligning av andregraden.

La oss gi et eksempel for å illustrere den gitte definisjonen: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, osv. er andregradsligninger.

Definisjon 2

Tallene a, b og c er koeffisientene til den kvadratiske ligningen a x 2 + b x + c = 0, mens koeffisienten en kalles den første, eller senior, eller koeffisient ved x 2, b - den andre koeffisienten, eller koeffisient ved x, A c kalt et gratis medlem.

For eksempel i andregradsligningen 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 den høyeste koeffisienten er 6, den andre koeffisienten er − 2 , og fritiden er lik − 11 . La oss ta hensyn til det faktum at når koeffisientene b og/eller c er negative, da kortform registreringer av skjemaet 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, men ikke 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

La oss også klargjøre dette aspektet: hvis koeffisientene en og/eller b lik 1 eller − 1 , så tar de kanskje ikke en eksplisitt del i å skrive den kvadratiske ligningen, som forklares av særegenhetene ved å skrive de angitte numeriske koeffisientene. For eksempel i andregradsligningen y 2 − y + 7 = 0 seniorkoeffisienten er 1 og den andre koeffisienten er − 1 .

Reduserte og ikke-reduserte kvadratiske ligninger

I henhold til verdien av den første koeffisienten deles kvadratiske ligninger inn i reduserte og ikke-reduserte.

Definisjon 3

Redusert andregradsligning er en andregradsligning der ledende koeffisient er 1 . For andre verdier av den ledende koeffisienten er kvadratisk ligning ikke-redusert.

Her er noen eksempler: kvadratiske ligninger x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 reduseres, i hver av disse er den ledende koeffisienten 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- uredusert kvadratisk ligning, hvor den første koeffisienten er forskjellig fra 1 .

Enhver ikke-redusert kvadratisk ligning kan konverteres til en redusert ligning ved å dele begge delene med den første koeffisienten (ekvivalent transformasjon). Den transformerte ligningen vil ha de samme røttene som den gitte ikke-reduserte ligningen eller vil heller ikke ha noen røtter i det hele tatt.

Betraktning casestudie vil tillate oss å visuelt demonstrere overgangen fra en ikke-redusert kvadratisk ligning til en redusert.

Eksempel 1

Gitt ligningen 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Det er nødvendig å konvertere den opprinnelige ligningen til den reduserte formen.

Løsning

I henhold til skjemaet ovenfor deler vi begge deler av den opprinnelige ligningen med den ledende koeffisienten 6 . Da får vi: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, og dette er det samme som: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 og videre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Herfra: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Dermed oppnås en ligning tilsvarende den gitte.

Svar: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Fullstendige og ufullstendige andregradsligninger

La oss gå til definisjonen av en kvadratisk ligning. I den spesifiserte vi det a ≠ 0. En lignende betingelse er nødvendig for ligningen a x 2 + b x + c = 0 var nøyaktig firkantet, siden a = 0 den forvandles i hovedsak til en lineær ligning b x + c = 0.

I tilfellet hvor koeffisientene b Og c er lik null (noe som er mulig, både individuelt og sammen), kalles andregradsligningen ufullstendig.

Definisjon 4

Ufullstendig andregradsligning er en andregradsligning a x 2 + b x + c \u003d 0, hvor minst én av koeffisientene b Og c(eller begge) er null.

Fullfør andregradsligningen er en kvadratisk ligning der alle numeriske koeffisienter ikke er lik null.

La oss diskutere hvorfor typene kvadratiske ligninger gis nettopp slike navn.

For b = 0 har den andregradsligningen formen a x 2 + 0 x + c = 0, som er det samme som a x 2 + c = 0. På c = 0 andregradsligningen skrives som a x 2 + b x + 0 = 0, som tilsvarer a x 2 + b x = 0. På b = 0 Og c = 0 ligningen vil ta formen a x 2 = 0. Ligningene som vi har fått, skiller seg fra den fullstendige andregradslikningen ved at deres venstre side ikke inneholder verken et ledd med variabelen x, eller et fritt ledd, eller begge deler samtidig. Faktisk ga dette faktum navnet til denne typen ligninger - ufullstendige.

For eksempel er x 2 + 3 x + 4 = 0 og − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 komplette andregradsligninger; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 er ufullstendige andregradsligninger.

Løse ufullstendige andregradsligninger

Definisjonen gitt ovenfor gjør det mulig å skille mellom følgende typer ufullstendige kvadratiske ligninger:

• a x 2 = 0, tilsvarer koeffisientene en slik ligning b = 0 og c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 for b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 for c = 0 .

Vurder suksessivt løsningen av hver type ufullstendig andregradsligning.

Løsning av ligningen a x 2 \u003d 0

Som allerede nevnt ovenfor, tilsvarer en slik ligning koeffisientene b Og c, lik null. Ligningen a x 2 = 0 kan konverteres til en ekvivalent ligning x2 = 0, som vi får ved å dele begge sider av den opprinnelige ligningen med tallet en, ikke lik null. Det åpenbare faktum er at roten til ligningen x2 = 0 er null fordi 0 2 = 0 . Denne ligningen har ingen andre røtter, noe som forklares av egenskapene til graden: for et hvilket som helst tall p , ikke lik null, er ulikheten sann p2 > 0, hvorav det følger at når p ≠ 0 likestilling p2 = 0 vil aldri bli nådd.

Definisjon 5

For den ufullstendige andregradsligningen a x 2 = 0, er det altså en enkelt rot x=0.

Eksempel 2

La oss for eksempel løse en ufullstendig andregradsligning − 3 x 2 = 0. Det tilsvarer ligningen x2 = 0, dens eneste rot er x=0, så har den opprinnelige ligningen en enkelt rot - null.

Løsningen er oppsummert som følger:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Løsning av ligningen a x 2 + c \u003d 0

Neste i rekken er løsningen av ufullstendige kvadratiske ligninger, der b \u003d 0, c ≠ 0, det vil si ligninger av formen a x 2 + c = 0. La oss transformere denne ligningen ved å overføre begrepet fra den ene siden av ligningen til den andre, endre tegnet til det motsatte og dele begge sider av ligningen med et tall som ikke er lik null:

• utholde c til høyre, som gir ligningen a x 2 = − c;
• del begge sider av ligningen med en, får vi som et resultat x = - c a .

Våre transformasjoner er henholdsvis ekvivalente, den resulterende ligningen er også ekvivalent med den opprinnelige, og dette faktum gjør det mulig å trekke en konklusjon om røttene til ligningen. Fra hva er verdiene en Og c avhenger av verdien av uttrykket - c a: det kan ha et minustegn (for eksempel if a = 1 Og c = 2, deretter - c a = - 2 1 = - 2) eller et plusstegn (for eksempel if a = -2 Og c=6 så - c a = - 6 - 2 = 3); det er ikke lik null fordi c ≠ 0. La oss dvele mer detaljert ved situasjoner når - ca< 0 и - c a > 0 .

I tilfelle når - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа s likhet p 2 = - c a kan ikke være sann.

Alt er annerledes når - c a > 0: husk kvadratroten, og det vil bli tydelig at roten av ligningen x 2 \u003d - c a vil være tallet - c a, siden - c a 2 \u003d - c a. Det er lett å forstå at tallet - - c a - også er roten til ligningen x 2 = - c a: ja, - - c a 2 = - c a .

Ligningen vil ikke ha andre røtter. Vi kan demonstrere dette ved å bruke den motsatte metoden. Først, la oss angi notasjonen for røttene funnet ovenfor som x 1 Og − x 1. La oss anta at likningen x 2 = - c a også har en rot x2, som er forskjellig fra røttene x 1 Og − x 1. Vi vet det ved å substituere inn i ligningen i stedet for x sine røtter transformerer vi ligningen til en rettferdig numerisk likhet.

Til x 1 Og − x 1 skriv: x 1 2 = - c a , og for x2- x 2 2 \u003d - ca. Basert på egenskapene til numeriske likheter, trekker vi en sann likhet fra en annen begrep for begrep, noe som vil gi oss: x 1 2 − x 2 2 = 0. Bruk egenskapene til talloperasjoner for å omskrive den siste likheten som (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Det er kjent at produktet av to tall er null hvis og bare hvis minst ett av tallene er null. Av det som er sagt, følger det at x1 − x2 = 0 og/eller x1 + x2 = 0, som er det samme x2 = x1 og/eller x 2 = − x 1. En åpenbar motsetning oppsto, fordi man først var enige om at roten til ligningen x2 skiller seg fra x 1 Og − x 1. Så vi har bevist at ligningen ikke har andre røtter enn x = - c a og x = - - c a .

Vi oppsummerer alle argumentene ovenfor.

Definisjon 6

Ufullstendig andregradsligning a x 2 + c = 0 er ekvivalent med ligningen x 2 = - c a , som:

• vil ikke ha røtter ved - c a< 0 ;
• vil ha to røtter x = - c a og x = - - c a når - c a > 0 .

La oss gi eksempler på løsning av ligninger a x 2 + c = 0.

Eksempel 3

Gitt en andregradsligning 9 x 2 + 7 = 0. Det er nødvendig å finne sin løsning.

Løsning

Vi overfører frileddet til høyre side av ligningen, så vil ligningen ta formen 9 x 2 \u003d - 7.
Vi deler begge sider av den resulterende ligningen med 9 , kommer vi til x 2 = - 7 9 . På høyre side ser vi et tall med et minustegn, som betyr: den gitte ligningen har ingen røtter. Deretter den opprinnelige ufullstendige andregradsligningen 9 x 2 + 7 = 0 vil ikke ha røtter.

Svar: ligningen 9 x 2 + 7 = 0 har ingen røtter.

Eksempel 4

Det er nødvendig å løse ligningen − x2 + 36 = 0.

Løsning

La oss flytte 36 til høyre side: − x 2 = − 36.
La oss dele begge deler inn i − 1 , vi får x2 = 36. På høyre side - positivt tall, derfor kan det konkluderes med at x = 36 eller x = -36.
Vi trekker ut roten og skriver det endelige resultatet: en ufullstendig andregradsligning − x2 + 36 = 0 har to røtter x=6 eller x = -6.

Svar: x=6 eller x = -6.

Løsning av ligningen a x 2 +b x=0

La oss analysere den tredje typen ufullstendige kvadratiske ligninger, når c = 0. Å finne en løsning på en ufullstendig andregradsligning a x 2 + b x = 0, bruker vi faktoriseringsmetoden. La oss faktorisere polynomet, som er på venstre side av ligningen, og ta den felles faktoren ut av parentes x. Dette trinnet vil gjøre det mulig å transformere den opprinnelige ufullstendige kvadratiske ligningen til dens ekvivalent x (a x + b) = 0. Og denne ligningen er på sin side ekvivalent med settet med ligninger x=0 Og a x + b = 0. Ligningen a x + b = 0 lineær, og dens rot: x = − b a.

Definisjon 7

Dermed den ufullstendige andregradsligningen a x 2 + b x = 0 vil ha to røtter x=0 Og x = − b a.

La oss konsolidere materialet med et eksempel.

Eksempel 5

Det er nødvendig å finne løsningen av ligningen 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Løsning

La oss ta ut x utenfor parentes og få ligningen x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Denne ligningen er ekvivalent med ligningene x=0 og 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nå skal du løse den resulterende lineære ligningen: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Kort fortalt skriver vi løsningen av ligningen som følger:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller x = 3 3 7

Svar: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formel for røttene til en kvadratisk ligning

For å finne en løsning på kvadratiske ligninger, er det en rotformel:

Definisjon 8

x = - b ± D 2 a, hvor D = b 2 − 4 a c er den såkalte diskriminanten til en kvadratisk ligning.

Å skrive x \u003d - b ± D 2 a betyr i hovedsak at x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Det vil være nyttig å forstå hvordan den angitte formelen ble utledet og hvordan du bruker den.

Utledning av formelen til røttene til en kvadratisk ligning

Anta at vi står overfor oppgaven med å løse en andregradsligning a x 2 + b x + c = 0. La oss utføre en rekke tilsvarende transformasjoner:

• del begge sider av ligningen med tallet en, forskjellig fra null, får vi den reduserte kvadratiske ligningen: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• enkelt ut full firkant på venstre side av den resulterende ligningen:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Etter dette vil ligningen ha formen: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• nå er det mulig å overføre de to siste leddene til høyre side, endre tegnet til det motsatte, hvoretter vi får: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• til slutt transformerer vi uttrykket skrevet på høyre side av den siste likheten:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Dermed har vi kommet til likningen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , som er ekvivalent med den opprinnelige likningen a x 2 + b x + c = 0.

Vi diskuterte løsningen av slike ligninger i de foregående avsnittene (løsningen av ufullstendige kvadratiske ligninger). Erfaringene som allerede er oppnådd gjør det mulig å trekke en konklusjon om røttene til ligningen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• for b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• for b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, har ligningen formen x + b 2 · a 2 = 0, deretter x + b 2 · a = 0.

Herfra er den eneste roten x = - b 2 · a åpenbar;

• for b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 gjelder følgende: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 eller x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , som er det samme som x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 eller x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, dvs. ligningen har to røtter.

Det er mulig å konkludere med at tilstedeværelsen eller fraværet av røttene til ligningen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (og dermed den opprinnelige ligningen) avhenger av tegnet til uttrykket b 2 - 4 a c 4 · en 2 skrevet på høyre side. Og tegnet på dette uttrykket er gitt av tegnet til telleren, (nevneren 4 a 2 vil alltid være positiv), det vil si tegnet på uttrykket b 2 − 4 a c. Dette uttrykket b 2 − 4 a c et navn er gitt - diskriminanten til en kvadratisk ligning og bokstaven D er definert som dens betegnelse. Her kan du skrive ned essensen av diskriminanten - ved dens verdi og fortegn konkluderer de om kvadratisk ligning vil ha reelle røtter, og i så fall hvor mange røtter - en eller to.

La oss gå tilbake til likningen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . La oss omskrive det ved å bruke diskriminantnotasjonen: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

La oss oppsummere konklusjonene:

Definisjon 9

• på D< 0 ligningen har ingen reelle røtter;
• på D=0 ligningen har en enkelt rot x = - b 2 · a ;
• på D > 0 ligningen har to røtter: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 eller x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Basert på egenskapene til radikaler, kan disse røttene skrives som: x \u003d - b 2 a + D 2 a eller - b 2 a - D 2 a. Og når vi åpner modulene og reduserer brøkene til en fellesnevner, får vi: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Så resultatet av resonnementet vårt var utledningen av formelen for røttene til den kvadratiske ligningen:

x = - b + D2a, x = - b - D2a, diskriminant D beregnet med formelen D = b 2 − 4 a c.

Disse formlene gjør det mulig, når diskriminanten er større enn null, å bestemme begge reelle røtter. Når diskriminanten er null, vil bruk av begge formlene gi samme rot som den eneste løsningen på kvadratisk ligning. I tilfellet når diskriminanten er negativ, og prøver å bruke kvadratisk rotformel, vil vi bli møtt med behovet for å trekke ut Kvadratrot fra et negativt tall, som vil ta oss utover reelle tall. Med en negativ diskriminant vil den kvadratiske ligningen ikke ha reelle røtter, men et par komplekse konjugerte røtter er mulig, bestemt av de samme rotformlene vi fikk.

Algoritme for å løse andregradsligninger ved hjelp av rotformler

Det er mulig å løse en andregradsligning ved å umiddelbart bruke rotformelen, men i utgangspunktet gjøres dette når det er nødvendig å finne komplekse røtter.

I de fleste tilfeller er søket vanligvis ikke ment for komplekse, men etter reelle røtter til en kvadratisk ligning. Da er det optimalt, før du bruker formlene for røttene til den kvadratiske ligningen, først å bestemme diskriminanten og sørge for at den ikke er negativ (ellers vil vi konkludere med at ligningen ikke har noen reelle røtter), og deretter fortsette med å beregne verdien av røttene.

Resonnementet ovenfor gjør det mulig å formulere en algoritme for å løse en andregradsligning.

Definisjon 10

For å løse en andregradsligning a x 2 + b x + c = 0, nødvendig:

• i henhold til formelen D = b 2 − 4 a c finne verdien av diskriminanten;
• hos D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• for D = 0 finn den eneste roten av ligningen med formelen x = - b 2 · a ;
• for D > 0, bestem to reelle røtter av kvadratisk ligning med formelen x = - b ± D 2 · a.

Merk at når diskriminanten er null kan du bruke formelen x = - b ± D 2 · a , det vil gi samme resultat som formelen x = - b 2 · a .

Tenk på eksempler.

Eksempler på løsning av andregradsligninger

La oss gi et eksempel på en løsning ulike verdier diskriminerende.

Eksempel 6

Det er nødvendig å finne røttene til ligningen x 2 + 2 x - 6 = 0.

Løsning

Vi skriver de numeriske koeffisientene til den kvadratiske ligningen: a \u003d 1, b \u003d 2 og c = − 6. Deretter handler vi i henhold til algoritmen, dvs. La oss begynne å beregne diskriminanten, som vi erstatter koeffisientene a, b Og c inn i diskriminantformelen: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Så vi fikk D > 0, som betyr at den opprinnelige ligningen vil ha to reelle røtter.
For å finne dem bruker vi rotformelen x \u003d - b ± D 2 · a, og ved å erstatte de riktige verdiene får vi: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Vi forenkler det resulterende uttrykket ved å ta faktoren ut av tegnet på roten, etterfulgt av reduksjon av brøken:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 eller x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 eller x = - 1 - 7

Svar: x = -1 + 7, x = -1 - 7.

Eksempel 7

Det er nødvendig å løse en andregradsligning − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Løsning

La oss definere diskriminanten: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Med denne verdien av diskriminanten vil den opprinnelige ligningen bare ha én rot, bestemt av formelen x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Svar: x = 3, 5.

Eksempel 8

Det er nødvendig å løse ligningen 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Løsning

De numeriske koeffisientene til denne ligningen vil være: a = 5 , b = 6 og c = 2 . Vi bruker disse verdiene for å finne diskriminanten: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Den beregnede diskriminanten er negativ, så den opprinnelige kvadratiske ligningen har ingen reelle røtter.

I tilfellet når oppgaven er å indikere komplekse røtter, bruker vi rotformelen ved å utføre operasjoner med komplekse tall:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 eller x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i eller x = - 3 5 - 1 5 i.

Svar: det er ingen reelle røtter; de komplekse røttene er: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

I skolepensum som standard er det ikke noe krav om å se etter komplekse røtter, derfor, hvis diskriminanten bestemmes som negativ under løsningen, blir svaret umiddelbart registrert at det ikke er noen reelle røtter.

Rotformel for selv andre koeffisienter

Rotformelen x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) gjør det mulig å oppnå en annen formel, mer kompakt, slik at du kan finne løsninger på kvadratiske ligninger med en jevn koeffisient ved x (eller med en koeffisient av formen 2 a n, for eksempel 2 3 eller 14 ln 5 = 2 7 ln 5). La oss vise hvordan denne formelen er utledet.

Anta at vi står overfor oppgaven med å finne en løsning på den kvadratiske ligningen a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Vi handler i henhold til algoritmen: vi bestemmer diskriminanten D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , og bruker deretter rotformelen:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

La uttrykket n 2 − a c betegnes som D 1 (noen ganger er det betegnet D "). Da vil formelen for røttene til den betraktede kvadratiske ligningen med den andre koeffisienten 2 n ha formen:

x \u003d - n ± D 1 a, hvor D 1 \u003d n 2 - a c.

Det er lett å se at D = 4 · D 1 , eller D 1 = D 4 . D 1 er med andre ord en fjerdedel av diskriminanten. Tydeligvis er tegnet på D 1 det samme som tegnet på D, noe som betyr at tegnet på D 1 også kan tjene som en indikator på tilstedeværelse eller fravær av røttene til en kvadratisk ligning.

Definisjon 11

For å finne en løsning på en kvadratisk ligning med en andre koeffisient på 2 n, er det nødvendig:

• finn D 1 = n 2 − a c ;
• på D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• for D 1 = 0, bestem den eneste roten av ligningen med formelen x = - n a ;
• for D 1 > 0, bestem to reelle røtter ved å bruke formelen x = - n ± D 1 a.

Eksempel 9

Det er nødvendig å løse den andregradsligningen 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Løsning

Den andre koeffisienten til den gitte ligningen kan representeres som 2 · (− 3) . Deretter omskriver vi den gitte andregradsligningen til 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , hvor a = 5 , n = − 3 og c = − 32 .

La oss beregne den fjerde delen av diskriminanten: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Den resulterende verdien er positiv, noe som betyr at ligningen har to reelle røtter. Vi definerer dem med den tilsvarende formelen til røttene:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 eller x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 eller x = - 2

Det ville være mulig å utføre beregninger ved å bruke den vanlige formelen for røttene til en kvadratisk ligning, men i dette tilfellet vil løsningen være mer tungvint.

Svar: x = 3 1 5 eller x = - 2 .

Forenkling av formen til andregradsligninger

Noen ganger er det mulig å optimalisere formen til den opprinnelige ligningen, noe som vil forenkle prosessen med å beregne røttene.

For eksempel er den kvadratiske ligningen 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 klart mer praktisk å løse enn 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Oftere utføres forenklingen av formen til en kvadratisk ligning ved å multiplisere eller dele begge deler med et visst tall. For eksempel, ovenfor viste vi en forenklet representasjon av ligningen 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, oppnådd ved å dele begge delene med 100.

En slik transformasjon er mulig når koeffisientene til den kvadratiske ligningen ikke er gjensidig primtall. Da er det vanlig å dele begge sider av ligningen med den største felles deler absolutte verdier av koeffisientene.

Som et eksempel bruker vi den andregradsligningen 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. La oss definere gcd for de absolutte verdiene til koeffisientene: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . La oss dele begge deler av den opprinnelige andregradsligningen med 6 og få den ekvivalente andregradsligningen 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Ved å multiplisere begge sider av den kvadratiske ligningen, elimineres vanligvis brøkkoeffisienter. I dette tilfellet, multipliser med det minste felles multiplum av nevnerne til koeffisientene. For eksempel, hvis hver del av den kvadratiske ligningen 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 multipliseres med LCM (6, 3, 1) \u003d 6, vil den bli skrevet i mer Enkel form x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Til slutt merker vi at du nesten alltid kvitter deg med minus ved den første koeffisienten til kvadratisk ligning, og endrer tegnene til hvert ledd i ligningen, som oppnås ved å multiplisere (eller dividere) begge delene med − 1. For eksempel, fra den kvadratiske ligningen - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, kan du gå til dens forenklede versjon 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Sammenheng mellom røtter og koeffisienter

Den allerede kjente formelen for røttene til kvadratiske ligninger x = - b ± D 2 · a uttrykker røttene til ligningen i form av dens numeriske koeffisienter. Basert på denne formelen har vi mulighet til å sette andre avhengigheter mellom røttene og koeffisientene.

De mest kjente og anvendelige er formlene til Vieta-teoremet:

x 1 + x 2 \u003d - b a og x 2 \u003d c a.

Spesielt for den gitte kvadratiske ligningen er summen av røttene den andre koeffisienten med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet. For eksempel, ved form av den kvadratiske ligningen 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, er det mulig å umiddelbart bestemme at summen av røttene er 7 3, og produktet av røttene er 22 3.

Du kan også finne en rekke andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene til en kvadratisk ligning. For eksempel kan summen av kvadratene til røttene til en kvadratisk ligning uttrykkes i termer av koeffisienter:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Dette emnet kan virke vanskelig i begynnelsen på grunn av de mange enkle formler. Ikke bare har andregradsligningene i seg selv lange oppføringer, men røttene finnes også gjennom diskriminanten. Det er tre nye formler totalt. Ikke veldig lett å huske. Dette er bare mulig etter den hyppige løsningen av slike ligninger. Da vil alle formlene bli husket av seg selv.

Generell oversikt over den kvadratiske ligningen

Her er deres eksplisitte notasjon foreslått, når den største graden er skrevet først, og deretter - i synkende rekkefølge. Ofte er det situasjoner når vilkårene skiller seg fra hverandre. Da er det bedre å omskrive ligningen i synkende rekkefølge etter graden av variabelen.

La oss introdusere notasjon. De er presentert i tabellen nedenfor.

Hvis vi godtar disse notasjonene, reduseres alle kvadratiske ligninger til følgende notasjon.

Dessuten er koeffisienten a ≠ 0. La denne formelen betegnes med nummer én.

Når ligningen er gitt, er det ikke klart hvor mange røtter som vil være i svaret. Fordi ett av tre alternativer alltid er mulig:

• løsningen vil ha to røtter;
• svaret vil være ett tall;
• Ligningen har ingen røtter i det hele tatt.

Og selv om avgjørelsen ikke er brakt til slutten, er det vanskelig å forstå hvilke av alternativene som vil falle ut i en bestemt sak.

Typer registreringer av kvadratiske ligninger

Oppgaver kan ha forskjellige oppføringer. De vil ikke alltid se ut som den generelle formelen til en kvadratisk ligning. Noen ganger vil det mangle noen vilkår. Det som ble skrevet ovenfor er den komplette ligningen. Fjerner du den andre eller tredje termen i den, får du noe annet. Disse postene kalles også kvadratiske ligninger, bare ufullstendige.

Dessuten er det bare leddene som koeffisientene "b" og "c" for kan forsvinne. Tallet "a" kan ikke under noen omstendigheter være lik null. For i dette tilfellet blir formelen til en lineær ligning. Formlene for den ufullstendige formen av ligningene vil være som følger:

Så det er bare to typer, i tillegg til komplette, er det også ufullstendige kvadratiske ligninger. La den første formelen være nummer to, og den andre tallet tre.

Diskriminanten og antallet røtters avhengighet av verdien

Dette tallet må være kjent for å beregne røttene til ligningen. Den kan alltid beregnes, uansett hvilken formel til kvadratisk ligning. For å beregne diskriminanten må du bruke likheten skrevet nedenfor, som vil ha tallet fire.

Etter å ha erstattet verdiene til koeffisientene i denne formelen, kan du få tall med forskjellige tegn. Hvis svaret er ja, vil svaret på ligningen være to forskjellige røtter. Med et negativt tall vil røttene til andregradsligningen være fraværende. Hvis det er lik null, vil svaret være ett.

Hvordan løses en fullstendig andregradsligning?

Faktisk har behandlingen av dette problemet allerede begynt. For først må du finne diskriminanten. Etter at det er avklart at det er røttene til den kvadratiske ligningen, og antallet er kjent, må du bruke formlene for variablene. Hvis det er to røtter, må du bruke en slik formel.

Siden den inneholder "±"-tegnet, vil det være to verdier. Uttrykket under kvadratrottegnet er diskriminanten. Derfor kan formelen skrives om på en annen måte.

Formel fem. Fra den samme posten kan man se at hvis diskriminanten er null, vil begge røttene ha samme verdier.

Hvis løsningen av kvadratiske ligninger ennå ikke er utarbeidet, er det bedre å skrive ned verdiene til alle koeffisientene før du bruker diskriminant- og variabelformlene. Senere vil dette øyeblikket ikke forårsake vanskeligheter. Men helt i begynnelsen er det forvirring.

Hvordan løses en ufullstendig andregradsligning?

Alt er mye enklere her. Selv det er ikke behov for ytterligere formler. Og du trenger ikke de som allerede er skrevet for diskriminerende og ukjente.

Tenk først på den ufullstendige ligningen nummer to. I denne likheten er det ment å ta den ukjente verdien ut av parentesen og løse den lineære ligningen, som vil forbli i parentesen. Svaret vil ha to røtter. Den første er nødvendigvis lik null, fordi det er en faktor som består av selve variabelen. Den andre fås ved å løse en lineær ligning.

Den ufullstendige ligningen ved nummer tre løses ved å overføre tallet fra venstre side av ligningen til høyre. Deretter må du dele med koeffisienten foran det ukjente. Det gjenstår bare å trekke ut kvadratroten og ikke glem å skrive den ned to ganger med motsatte fortegn.

Følgende er noen handlinger som hjelper deg å lære hvordan du løser alle slags likheter som blir til andregradsligninger. De skal hjelpe eleven til å unngå feil på grunn av uoppmerksomhet. Disse manglene er årsaken til dårlige karakterer når man studerer det omfattende temaet "Quadric Equations (Grade 8)". Deretter trenger ikke disse handlingene å utføres kontinuerlig. For det blir en stabil vane.

• Først må du skrive ligningen i standardform. Det vil si først leddet med den største graden av variabelen, og deretter - uten graden og den siste - bare et tall.

• Hvis en minus vises før koeffisienten "a", kan det komplisere arbeidet for en nybegynner å studere kvadratiske ligninger. Det er bedre å bli kvitt det. For dette formålet må all likhet multipliseres med "-1". Dette betyr at alle termer vil endre fortegn til motsatt.

• På samme måte anbefales det å kvitte seg med brøker. Bare multipliser ligningen med riktig faktor slik at nevnerne opphever seg.

Eksempler

Det er nødvendig å løse følgende kvadratiske ligninger:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Den første ligningen: x 2 - 7x \u003d 0. Den er ufullstendig, derfor er den løst som beskrevet for formel nummer to.

Etter bracketing viser det seg: x (x - 7) \u003d 0.

Den første roten har verdien: x 1 = 0. Den andre vil bli funnet fra lineær ligning: x - 7 = 0. Det er lett å se at x 2 = 7.

Andre ligning: 5x2 + 30 = 0. Igjen ufullstendig. Bare det løses som beskrevet for den tredje formelen.

Etter å ha overført 30 til høyre side av ligningen: 5x 2 = 30. Nå må du dele på 5. Det viser seg: x 2 = 6. Svarene vil være tall: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Tredje ligning: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Her og nedenfor vil løsningen av andregradsligninger begynne med å omskrive dem i standard visning: - x 2 - 2x + 15 = 0. Nå er det på tide å bruke den andre nyttige råd og gang alt med minus én. Det viser seg x 2 + 2x - 15 \u003d 0. I henhold til den fjerde formelen må du beregne diskriminanten: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Det er en positivt tall. Av det som ble sagt ovenfor, viser det seg at ligningen har to røtter. De må beregnes i henhold til den femte formelen. I følge det viser det seg at x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Deretter x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Den fjerde ligningen x 2 + 8 + 3x \u003d 0 konverteres til dette: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Dens diskriminant er lik denne verdien: -23. Siden dette tallet er negativt, vil svaret på denne oppgaven være følgende oppføring: "Det er ingen røtter."

Den femte ligningen 12x + x 2 + 36 = 0 skal skrives om som følger: x 2 + 12x + 36 = 0. Etter å ha brukt formelen for diskriminanten, oppnås tallet null. Dette betyr at den vil ha en rot, nemlig: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Den sjette ligningen (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) krever transformasjoner, som består i at du må ta med like ledd, før du åpner parentesene. I stedet for den første vil det være et slikt uttrykk: x 2 + 2x + 1. Etter likhet vil denne oppføringen vises: x 2 + 3x + 2. Etter at lignende termer er talt, vil ligningen ha formen: x 2 - x \u003d 0. Den har blitt ufullstendig . I likhet med det har allerede blitt ansett som litt høyere. Røttene til dette vil være tallene 0 og 1.

Med dette matematikkprogrammet kan du løse andregradsligningen.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også løsningsprosessen på to måter:
- ved å bruke diskriminanten
- ved å bruke Vieta-setningen (hvis mulig).

Dessuten vises svaret nøyaktig, ikke omtrentlig.
For eksempel, for ligningen \(81x^2-16x-1=0\), vises svaret i denne formen:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ i stedet for dette: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole allmennpedagogiske skoler som forberedelse til kontrollarbeid og eksamener, når du tester kunnskap før eksamen, foreldre til å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så fort som mulig? hjemmelekser matte eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med en detaljert løsning.

Dermed kan du gjennomføre din egen trening og/eller opplæring av deres yngre brødre eller søstre, samtidig som utdanningsnivået innen oppgavefelt som skal løses økes.

Hvis du ikke er kjent med reglene for å angi et kvadratisk polynom, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Regler for å angi et kvadratisk polynom

Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) osv.

Tall kan legges inn som heltall eller brøker.
Dessuten kan brøktall angis ikke bare i form av en desimal, men også i form av en vanlig brøk.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
I desimalbrøker kan brøkdelen fra heltallet skilles med enten et punktum eller et komma.
Du kan for eksempel angi desimaler slik: 2,5x - 3,5x^2

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ.

Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: /
Heltallsdelen er atskilt fra brøken med et og-tegnet: &
Inngang: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Når du legger inn et uttrykk du kan bruke parentes. I dette tilfellet, når du løser en kvadratisk ligning, blir det introduserte uttrykket først forenklet.
For eksempel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Bestemme seg for

Det ble funnet at noen skript som trengs for å løse denne oppgaven ikke ble lastet inn, og det kan hende at programmet ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

Du har deaktivert JavaScript i nettleseren din.
JavaScript må være aktivert for at løsningen skal vises.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som ønsker å løse problemet, forespørselen din står i kø.
Etter noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om det i tilbakemeldingsskjemaet .
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Kvadratisk ligning og dens røtter. Ufullstendige andregradsligninger

Hver av ligningene
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
har formen
\(ax^2+bx+c=0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tall.
I den første ligningen a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den andre a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Slike ligninger kalles andregradsligninger.

Definisjon.
kvadratisk ligning det kalles en ligning av formen ax 2 +bx+c=0, der x er en variabel, a, b og c er noen tall, og \(a \neq 0 \).

Tallene a, b og c er koeffisientene til andregradsligningen. Tallet a kalles den første koeffisienten, tallet b er den andre koeffisienten og tallet c er skjæringspunktet.

I hver av likningene på formen ax 2 +bx+c=0, hvor \(a \neq 0 \), er den største potensen til variabelen x en kvadrat. Derav navnet: andregradsligning.

Merk at en kvadratisk ligning også kalles en ligning av andre grad, siden venstre side er et polynom av andre grad.

En annengradsligning der koeffisienten ved x 2 er 1 kalles redusert andregradsligning. For eksempel er de gitte kvadratiske ligningene ligningene
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Hvis i andregradsligningen ax 2 +bx+c=0 er minst én av koeffisientene b eller c lik null, kalles en slik ligning ufullstendig andregradsligning. Så ligningene -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 er ufullstendige andregradsligninger. I den første av dem er b=0, i den andre c=0, i den tredje b=0 og c=0.

Ufullstendige kvadratiske ligninger er av tre typer:
1) ax 2 +c=0, hvor \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, hvor \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Vurder løsningen av ligninger for hver av disse typene.

For å løse en ufullstendig kvadratisk ligning av formen ax 2 +c=0 for \(c \neq 0 \), overføres dens frie ledd til høyre side og begge deler av ligningen deles med a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Høyrepil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Siden \(c \neq 0 \), deretter \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Hvis \(-\frac(c)(a)>0 \), så har ligningen to røtter.

Hvis \(-\frac(c)(a) For å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) faktoriser venstre side og få ligningen
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrise)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Derfor har en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) alltid to røtter.

En ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 \u003d 0 tilsvarer ligningen x 2 \u003d 0 og har derfor en enkelt rot 0.

Formelen for røttene til en kvadratisk ligning

La oss nå vurdere hvordan andregradsligninger løses der både koeffisientene til de ukjente og det frie leddet ikke er null.

Vi løser den andregradsligningen i generell form og som et resultat får vi formelen til røttene. Deretter kan denne formelen brukes for å løse enhver annengradsligning.

Løs den andregradsligningen ax 2 +bx+c=0

Ved å dele begge delene med a, får vi den ekvivalente reduserte andregradsligningen
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Vi transformerer denne ligningen ved å fremheve kvadratet til binomialet:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2- \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Høyrepil \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 - \frac(c)(a) \Høyrepil \) \(\venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Høyrepil \venstre(x+\frac(b)(2a)\høyre)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Høyrepil \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Høyrepil x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Høyrepil \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Rotuttrykket kalles diskriminant av en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerende" på latin - distinguisher). Det er betegnet med bokstaven D, dvs.
\(D = b^2-4ac\)

Nå, ved å bruke notasjonen til diskriminanten, omskriver vi formelen for røttene til den kvadratiske ligningen:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), hvor \(D= b^2-4ac \)

Det er åpenbart at:
1) Hvis D>0, så har andregradsligningen to røtter.
2) Hvis D=0, så har den andregradsligningen én rot \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Hvis D Altså, avhengig av verdien av diskriminanten, kan andregradsligningen ha to røtter (for D > 0), en rot (for D = 0) eller ingen røtter (for D Når du løser en andregradsligning med denne formelen , anbefales det å gjøre følgende:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med null;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lik null, bruk rotformelen, hvis diskriminanten er negativ, skriv ned at det ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Den gitte andregradsligningen ax 2 -7x+10=0 har røttene 2 og 5. Summen av røttene er 7, og produktet er 10. Vi ser at summen av røttene er lik den andre koeffisienten, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet. Enhver redusert kvadratisk ligning som har røtter har denne egenskapen.

Summen av røttene til den gitte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

De. Vietas teorem sier at røttene x 1 og x 2 av den reduserte kvadratiske ligningen x 2 +px+q=0 har egenskapen:
\(\venstre\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)