Firedimensjonal terningrotasjon. For alle og om alt

Utviklingen av den menneskelige hjernen fant sted i tredimensjonalt rom. Derfor er det vanskelig for oss å forestille oss rom med dimensjoner større enn tre. Faktisk kan den menneskelige hjernen ikke forestille seg geometriske objekter med dimensjoner større enn tre. Og samtidig kan vi lett forestille oss geometriske objekter med dimensjoner ikke bare tre, men også med dimensjoner to og en.

Forskjellen og analogien mellom endimensjonale og todimensjonale rom, så vel som forskjellen og analogien mellom todimensjonale og tredimensjonale rom, tillater oss å åpne litt mystikkskjermen som skjermer oss fra rom med høyere dimensjoner. For å forstå hvordan denne analogien brukes, bør du vurdere et veldig enkelt firedimensjonalt objekt - en hyperkube, det vil si en firedimensjonal kube. For å være spesifikk, la oss si at vi ønsker å løse et spesifikt problem, nemlig å telle antall kvadratiske flater av en firdimensjonal kube. All videre vurdering vil være svært lemfeldig, uten bevis, rent analogt.

For å forstå hvordan en hyperkube er bygget opp fra en vanlig kube, må du først se på hvordan en vanlig kube er bygget opp fra en vanlig firkant. For originalitetens skyld i presentasjonen av dette materialet, vil vi her kalle en vanlig firkant en SubCube (og vil ikke forveksle den med en succubus).

For å bygge en kube fra en subkube, må du utvide subkuben i en retning vinkelrett på subkubens plan i retning av den tredje dimensjonen. I dette tilfellet vil en underkube vokse fra hver side av den opprinnelige underkuben, som er den todimensjonale siden av kuben, som vil begrense det tredimensjonale volumet til kuben på fire sider, to vinkelrett på hver retning i underkubens plan. Og langs den nye tredje aksen er det også to underkuber som begrenser det tredimensjonale volumet til kuben. Dette er det todimensjonale ansiktet der underkuben vår opprinnelig var plassert og den todimensjonale overflaten til kuben hvor underkuben kom på slutten av konstruksjonen av kuben.

Det du nettopp har lest presenteres i overdreven detalj og med mange avklaringer. Og med god grunn. Nå skal vi gjøre et slikt triks, vi vil formelt erstatte noen ord i forrige tekst på denne måten:
kube -> hyperkube
underkube -> kube
fly -> volum
tredje -> fjerde
todimensjonal -> tredimensjonal
fire -> seks
tredimensjonal -> firedimensjonal
to -> tre
fly -> plass

Som et resultat får vi følgende meningsfulle tekst, som ikke lenger virker altfor detaljert.

For å bygge en hyperkube fra en kube, må du strekke kuben i en retning vinkelrett på volumet av kuben i retning av den fjerde dimensjonen. I dette tilfellet vil en kube vokse fra hver side av den opprinnelige kuben, som er den laterale tredimensjonale flaten til hyperkuben, som vil begrense det firedimensjonale volumet til hyperkuben på seks sider, tre vinkelrett på hver retning i plass i kuben. Og langs den nye fjerde aksen er det også to kuber som begrenser det firedimensjonale volumet til hyperkuben. Dette er det tredimensjonale ansiktet der kuben vår opprinnelig var plassert og det tredimensjonale ansiktet til hyperkuben hvor kuben kom på slutten av konstruksjonen av hyperkuben.

Hvorfor er vi så sikre på at vi har fått riktig beskrivelse av konstruksjonen av en hyperkube? Ja, for ved nøyaktig samme formelle erstatning av ord får vi en beskrivelse av konstruksjonen av en kube fra en beskrivelse av konstruksjonen av en firkant. (Sjekk det ut selv.)

Nå er det klart at hvis en annen tredimensjonal kube skulle vokse fra hver side av kuben, så skal et ansikt vokse fra hver kant av den første kuben. Totalt har kuben 12 kanter, noe som betyr at ytterligere 12 nye flater (subkuber) vil dukke opp på de 6 kubene som begrenser det firedimensjonale volumet langs de tre aksene i tredimensjonalt rom. Og det er ytterligere to kuber igjen som begrenser dette firdimensjonale volumet nedenfra og ovenfra langs den fjerde aksen. Hver av disse kubene har 6 flater.

Totalt finner vi at hyperkuben har 12+6+6=24 kvadratiske flater.

Følgende bilde viser den logiske strukturen til en hyperkube. Dette er som en projeksjon av en hyperkube på tredimensjonalt rom. Dette gir en tredimensjonal ramme av ribber. På figuren ser du naturligvis projeksjonen av denne rammen på et plan.

På denne rammen er den indre kuben som den første kuben som konstruksjonen startet fra og som begrenser det firedimensjonale volumet til hyperkuben langs den fjerde aksen fra bunnen. Vi strekker denne innledende kuben oppover langs den fjerde måleaksen, og den går inn i den ytre kuben. Så de ytre og indre kubene fra denne figuren begrenser hyperkuben langs den fjerde måleaksen.

Og mellom disse to kubene kan du se 6 nye kuber, som berører vanlige ansikter med de to første. Disse seks kubene bandt hyperkuben vår langs de tre aksene til tredimensjonalt rom. Som du kan se, er de ikke bare i kontakt med de to første kubene, som er de indre og ytre kubene på denne tredimensjonale rammen, men de er også i kontakt med hverandre.

Du kan telle direkte i figuren og forsikre deg om at hyperkuben virkelig har 24 ansikter. Men dette spørsmålet melder seg. Denne hyperkuberammen i tredimensjonalt rom er fylt med åtte tredimensjonale kuber uten hull. For å lage en ekte hyperkube fra denne tredimensjonale projeksjonen av en hyperkube, må du snu denne rammen inn og ut slik at alle 8 kubene binder et 4-dimensjonalt volum.

Det er gjort slik. Vi inviterer en beboer i firedimensjonalt rom til å besøke oss og ber ham hjelpe oss. Han griper den indre kuben i denne rammen og beveger den i retning av den fjerde dimensjonen, som er vinkelrett på vårt tredimensjonale rom. I vårt tredimensjonale rom oppfatter vi det som om hele den indre rammen hadde forsvunnet og bare rammen til den ytre kuben var igjen.

Videre tilbyr vår firedimensjonale assistent sin assistanse på fødeinstitusjoner for smertefri fødsel, men våre gravide kvinner er skremt av utsiktene til at babyen rett og slett vil forsvinne fra magen og havne i parallell tredimensjonal plass. Derfor blir den firedimensjonale personen høflig nektet.

Og vi er forundret over spørsmålet om noen av kubene våre gikk fra hverandre da vi snudde innsiden av hyperkuberammen. Tross alt, hvis noen tredimensjonale kuber som omgir en hyperkube berører naboene på rammen med ansiktene, vil de også berøre med de samme ansiktene hvis den firedimensjonale kuben snur rammen inn og ut?

La oss igjen gå til analogien med rom med lavere dimensjoner. Sammenlign bildet av hyperkuberammen med projeksjonen av en tredimensjonal kube på et plan vist i det følgende bildet.

Innbyggerne i det todimensjonale rommet bygde en ramme på et plan for projeksjon av en kube på et fly og inviterte oss, tredimensjonale beboere, til å snu denne rammen ut og inn. Vi tar de fire toppunktene til det indre kvadratet og flytter dem vinkelrett på planet. Todimensjonale beboere ser den fullstendige forsvinningen av hele den indre rammen, og de sitter igjen med bare rammen til den ytre firkanten. Med en slik operasjon fortsetter alle rutene som var i kontakt med kantene å berøre de samme kantene.

Derfor håper vi at det logiske skjemaet til hyperkuben heller ikke vil bli krenket når du snur rammen til hyperkuben inn og ut, og antallet kvadratiske flater til hyperkuben vil ikke øke og fortsatt være lik 24. Dette selvfølgelig , er ikke bevis i det hele tatt, men rent en gjetning ved analogi.

Etter alt du har lest her, kan du enkelt tegne det logiske rammeverket til en femdimensjonal kube og beregne antall hjørner, kanter, flater, kuber og hyperkuber den har. Det er ikke vanskelig i det hele tatt.

Et univers med fire dimensjoner, eller fire koordinater, er like utilfredsstillende som et univers med tre. Vi kan si at vi ikke har alle dataene som er nødvendige for å konstruere universet, siden verken de tre koordinatene til den gamle fysikken eller de fire koordinatene til den nye er tilstrekkelige til å beskrive Total forskjellige fenomener i universet.

La oss vurdere i rekkefølge "kuber" av forskjellige dimensjoner.

En endimensjonal kube på en linje er et segment. Todimensjonal - en firkant. Grensen til plassen består av fire punkter - topper Og fire segmenter - ribbeina Dermed har en firkant to typer elementer på sin grense: punkter og segmenter. Grensen til en tredimensjonal kube inneholder elementer av tre typer: toppunkter - det er 8 av dem, kanter (segmenter) - det er 12 av dem og ansikter (kvadrater) - det er 6 av dem. Det endimensjonale segmentet AB fungerer som flaten til det todimensjonale kvadratet ABCD, kvadratet er siden av kuben ABCDHEFG, som igjen vil være siden av de fire -dimensjonal hyperkube.

I en firedimensjonal hyperkube vil det altså være 16 toppunkter: 8 toppunkter av den opprinnelige kuben og 8 av den som er forskjøvet i fjerde dimensjon. Den har 32 kanter - 12 hver gir den opprinnelige og siste posisjonen til den originale kuben, og ytterligere 8 kanter "tegner" sine åtte hjørner, som har flyttet til den fjerde dimensjonen. Det samme resonnementet kan gjøres for ansiktene til en hyperkube. I todimensjonalt rom er det bare én (selve firkanten), en kube har 6 av dem (to flater fra den flyttede firkanten og fire til som beskriver sidene). En firedimensjonal hyperkube har 24 kvadratiske flater - 12 kvadrater av den originale kuben i to posisjoner og 12 kvadrater fra dens tolv kanter.

Kube dimensjon	Grensedimensjon
2 kvadrat
4 tesseract

Koordinater ifiredimensjonalt rom.

Et punkt på en linje er definert som et tall, et punkt på et plan som et tallpar, et punkt i tredimensjonalt rom som en trippel av tall. Derfor er det helt naturlig å konstruere geometrien til det firedimensjonale rommet ved å definere et punkt i dette imaginære rommet som en firedobbel av tall.

En todimensjonal flate av en firedimensjonal kube er et sett med punkter der to koordinater kan ta på seg alle mulige verdier fra 0 til 1, og de to andre er konstante (lik enten 0 eller 1).

Tredimensjonalt ansikt En firedimensjonal kube er et sett med punkter der tre koordinater tar alle mulige verdier fra 0 til 1, og en er konstant (lik enten 0 eller 1).

Utviklinger av kuber av ulike dimensjoner.

Vi tar et segment, plasserer ett segment på alle sider, og fester et annet til et hvilket som helst, i dette tilfellet til høyre segment.

Vi fikk en firkantet skanning.

Vi tar en firkant, legger en firkant på alle sider, fester en annen til en hvilken som helst, i dette tilfellet til den nederste firkanten.

Dette er en utvikling av en tredimensjonal kube.

Firedimensjonal kube

Vi tar en terning, legger en kube på alle sider, fester en annen til en hvilken som helst i denne nedre kuben.

Utvikling av en firedimensjonal kube

La oss forestille oss det firedimensjonal kube laget av wire og en maur sitter ved toppunktet (1;1;1;1), så fra ett toppunkt til et annet må mauren krype langs kantene.

Spørsmål: hvor mange kanter må han krype langs for å komme til toppunktet (0;0;0;0)?

Langs 4 kanter, det vil si at toppunktet (0;0;0;0) er et 4. ordens toppunkt, ved å passere langs 1 kant kan han komme til et toppunkt som har en av koordinatene 0, dette er et 1. ordens toppunkt, ved å passere langs 2 kanter kan han komme til toppunktene der det er 2 nuller er toppunkter av 2. orden, det er 6 slike toppunkter, passerer langs 3 kanter, vil han komme til toppunktene som har 3 koordinater null, dette er toppunktene til tredje orden.

Det er andre kuber i flerdimensjonalt rom. I tillegg til tesserakten kan du bygge kuber med et stort antall dimensjoner. Modellen av en femdimensjonal kube er en penterakt.En penterakt har 32 hjørner, 80 kanter, 80 flater, 40 kuber og 10 tesserakter.

Kunstnere, regissører, skulptører, vitenskapsmenn representerer den flerdimensjonale kuben på forskjellige måter. Her er noen eksempler:

Mange science fiction-forfattere beskriver tesserakten i verkene sine. For eksempel nevnte Robert Anson Heinlein (1907–1988) hyperkuber i minst tre av sine sakprosahistorier. I "The House of Four Dimensions" beskrev han et hus bygget som utfoldelsen av en tesseract.

Handlingen i filmen Cube 2 sentrerer seg om åtte fremmede fanget i en hyperkube.

« Crucifixion" av Salvador Dali, 1954 (1951). Dalis surrealisme søkte kontaktpunkter mellom vår virkelighet og den andre verdens, spesielt den 4-dimensjonale verden. Derfor er det på den ene siden fantastisk, men på den annen side er det ikke noe overraskende i det faktum at den geometriske figuren av kuber som danner det kristne korset er et bilde av en 3-dimensjonal utvikling av en 4-dimensjonal kube eller tesseract.

21. oktober avduket matematisk institutt ved Pennsylvania State University en uvanlig skulptur kalt «Octacube». Det er et bilde av et firedimensjonalt geometrisk objekt i tredimensjonalt rom. Ifølge forfatteren av skulpturen, professor Adrian Ocneanu, slik vakker figur denne typen fantes ikke i verden, verken virtuelt eller fysisk, selv om tredimensjonale projeksjoner av firedimensjonale figurer hadde blitt laget før.

Generelt opererer matematikere enkelt med fire-, fem- og enda flere flerdimensjonale objekter, men det er umulig å skildre dem i tredimensjonalt rom. "Octacube", som alle lignende figurer, er ikke virkelig firedimensjonal. Det kan sammenlignes med et kart - en projeksjon av den tredimensjonale overflaten av kloden på et flatt ark.

En tredimensjonal projeksjon av en firedimensjonal figur ble oppnådd av Okneanu ved bruk av radiell stereografi ved bruk av en datamaskin. Samtidig ble symmetrien til den opprinnelige firedimensjonale figuren bevart. Skulpturen har 24 hjørner og 96 ansikter. I firedimensjonalt rom er kantene på en figur rette, men i projeksjon er de buede. Vinklene mellom flatene til den tredimensjonale projeksjonen og den originale figuren er de samme.

Octacube ble laget av rustfritt stål i ingeniørverkstedene til Pennsylvania State University. Skulpturen ble installert i den renoverte McAllister-bygningen til Det matematiske fakultet.

Flerdimensjonalt rom var av interesse for mange forskere, som Rene Descartes og Hermann Minkowski. Nå for tiden øker kunnskapen om dette temaet. Det hjelper matematikere, forskere og oppfinnere av vår tid til å nå sine mål og fremme vitenskapen. Et skritt inn i flerdimensjonalt rom er et skritt inn i en ny, mer utviklet æra av menneskeheten.

τέσσαρες ἀκτίνες - fire stråler) - 4-dimensjonal Hyperkube- analog i 4-dimensjonalt rom.

Bildet er en projeksjon () av ​​en firedimensjonal kube på tredimensjonalt rom.

En generalisering av kuben til tilfeller med mer enn 3 dimensjoner kalles hyperkube eller (en:measure polytoper). Formelt er en hyperkube definert som fire like segmenter.

Denne artikkelen beskriver hovedsakelig det 4-dimensjonale hyperkube, kalt tesseract.

Populær beskrivelse

La oss prøve å forestille oss hvordan en hyperkube vil se ut uten å forlate vårt tredimensjonale rom.

I endimensjonalt "rom" - på en linje - velger vi AB med lengde L. I todimensjonalt rom, i en avstand L fra AB, tegner vi et segment DC parallelt med det og kobler endene deres. Resultatet er en firkant ABCD. Ved å gjenta denne operasjonen med flyet får vi en tredimensjonal kube ABCDHEFG. Og ved å flytte kuben i den fjerde dimensjonen (vinkelrett på de tre første!) med en avstand L, får vi en hyperkube.

Et endimensjonalt segment AB fungerer som en side av en todimensjonal kvadrat ABCD, kvadratet fungerer som en side av en kube ABCDHEFG, som igjen vil være en side av en firedimensjonal hyperkube. Et rett linjestykke har to grensepunkter, et kvadrat har fire hjørner, en terning har åtte. I en firedimensjonal hyperkube vil det altså være 16 toppunkter: 8 toppunkter av den opprinnelige kuben og 8 av den som er forskjøvet i fjerde dimensjon. Den har 32 kanter - 12 hver gir den opprinnelige og siste posisjonen til den originale kuben, og ytterligere 8 kanter "tegner" sine åtte hjørner, som har flyttet til den fjerde dimensjonen. Det samme resonnementet kan gjøres for ansiktene til en hyperkube. I todimensjonalt rom er det bare én (selve firkanten), en kube har 6 av dem (to flater fra den flyttede firkanten og fire til som beskriver sidene). En firedimensjonal hyperkube har 24 kvadratiske flater - 12 kvadrater av den originale kuben i to posisjoner og 12 kvadrater fra dens tolv kanter.

På lignende måte kan vi fortsette resonnementet vårt for hyperkuber med et større antall dimensjoner, men det er mye mer interessant å se hvordan det vil se ut for oss, beboere i tredimensjonalt rom. firedimensjonal hyperkube. For dette vil vi bruke den allerede kjente metoden for analogier.

La oss ta trådkuben ABCDHEFG og se på den med ett øye fra siden av kanten. Vi vil se og kan tegne to firkanter på planet (dets nære og fjerne kanter), forbundet med fire linjer - sidekanter. På samme måte vil en firedimensjonal hyperkube i tredimensjonalt rom se ut som to kubiske "bokser" satt inn i hverandre og forbundet med åtte kanter. I dette tilfellet vil selve "boksene" - tredimensjonale ansikter - bli projisert på "vårt" rom, og linjene som forbinder dem vil strekke seg i den fjerde dimensjonen. Du kan også prøve å forestille deg kuben ikke i projeksjon, men i et romlig bilde.

Akkurat som en tredimensjonal kube er dannet av en firkant som er forskjøvet med lengden på overflaten, vil en kube forskjøvet inn i den fjerde dimensjonen danne en hyperkube. Den er begrenset av åtte kuber, som i perspektiv vil se ut som en ganske kompleks figur. Den delen av den som forblir i "vår" plass er tegnet solide linjer, og det som gikk inn i hyperspace er prikkete. Selve den firedimensjonale hyperkuben består av et uendelig antall kuber, akkurat som en tredimensjonal kube kan "kuttes" til et uendelig antall flate firkanter.

Ved å kutte de åtte flatene til en tredimensjonal kube kan du dekomponere den til flat figur- skanning. Den vil ha en firkant på hver side av det originale ansiktet, pluss en til - ansiktet motsatt. Og den tredimensjonale utviklingen av en firedimensjonal hyperkube vil bestå av den originale kuben, seks kuber "vokser" fra den, pluss en til - den endelige "overflaten".

Egenskapene til tesserakten er en forlengelse av egenskapene geometriske former mindre dimensjoner inn i 4-dimensjonalt rom, presentert i tabellen nedenfor.

La oss starte med å forklare hva firedimensjonalt rom er.

Dette er et endimensjonalt rom, det vil si ganske enkelt OX-aksen. Ethvert punkt på den er preget av én koordinat.

La oss nå tegne OY-aksen vinkelrett på OX-aksen. Så vi får et todimensjonalt rom, det vil si XOY-planet. Ethvert punkt på den er preget av to koordinater - abscisse og ordinat.

La oss tegne OZ-aksen vinkelrett på OX- og OY-aksene. Resultatet er et tredimensjonalt rom der ethvert punkt har abscisse, ordinat og applikat.

Det er logisk at den fjerde aksen, OQ, skal være vinkelrett på OX-, OY- og OZ-aksene samtidig. Men vi kan ikke konstruere en slik akse nøyaktig, og derfor kan vi bare prøve å forestille oss den. Hvert punkt i firedimensjonalt rom har fire koordinater: x, y, z og q.

La oss nå se hvordan den firedimensjonale kuben dukket opp.

Bildet viser en figur i endimensjonalt rom - en linje.

Hvis du gjør en parallell oversettelse av denne linjen langs OY-aksen, og deretter kobler de tilsvarende endene av de to resulterende linjene, vil du få en firkant.

På samme måte, hvis du gjør en parallell oversettelse av kvadratet langs OZ-aksen og kobler de tilsvarende toppunktene, vil du få en kube.

Og hvis vi gjør en parallell oversettelse av kuben langs OQ-aksen og kobler sammen hjørnene til disse to kubene, så får vi en firedimensjonal terning. Det heter forresten tesseract.

For å tegne en kube på et fly, trenger du den prosjekt. Visuelt ser det slik ut:

La oss forestille oss at den henger i luften over overflaten wireframe modell kube, det vil si som om "laget av ledning", og over den er en lyspære. Hvis du slår på lyspæren, spor skyggen av kuben med en blyant, og deretter slå av lyspæren, vil en projeksjon av kuben bli avbildet på overflaten.

La oss gå videre til noe litt mer komplekst. Se igjen på tegningen med lyspæren: Som du kan se, konvergerer alle strålene på ett punkt. Det kalles forsvinningspunkt og brukes til å bygge perspektivprojeksjon(og det skjer også parallelt, når alle strålene er parallelle med hverandre. Resultatet er at følelsen av volum ikke skapes, men den er lettere, og dessuten, hvis forsvinningspunktet er ganske langt unna det projiserte objektet, da er forskjellen mellom disse to anslagene lite merkbar). For å projisere et gitt punkt på et gitt plan ved hjelp av et forsvinningspunkt, må du tegne en rett linje gjennom forsvinningspunktet og det gitte punktet, og deretter finne skjæringspunktet for den resulterende rette linjen og planet. Og for å projisere mer kompleks figur, si, en kube, må du projisere hvert av hjørnene, og deretter koble sammen de tilsvarende punktene. Det er verdt å merke seg at algoritme for å projisere rom på underrom kan generaliseres til tilfellet med 4D->3D, ikke bare 3D->2D.

Som sagt kan vi ikke forestille oss nøyaktig hvordan OQ-aksen ser ut, akkurat som tesserakten. Men vi kan få en begrenset ide om det hvis vi projiserer det på et volum og deretter tegner det på en dataskjerm!

La oss nå snakke om tesseract-projeksjonen.

Til venstre er projeksjonen av kuben på flyet, og til høyre er tesserakten på volumet. De er ganske like: projeksjonen av en kube ser ut som to firkanter, små og store, den ene inne i den andre, og hvis tilsvarende toppunkter er forbundet med linjer. Og projeksjonen av tesserakten ser ut som to terninger, små og store, den ene inne i den andre, og hvis korresponderende hjørner er koblet sammen. Men vi har alle sett kuben, og vi kan med sikkerhet si at både den lille firkanten og den store, og de fire trapesene over, under, til høyre og venstre for den lille firkanten, faktisk er firkanter, og de er like . Og tesseracten har det samme. Og en stor terning, og en liten terning, og seks avkortede pyramider på sidene av en liten terning - disse er alle terninger, og de er like.

Programmet mitt kan ikke bare tegne projeksjonen av en tesserakt på et volum, men også rotere det. La oss se på hvordan dette gjøres.

Først skal jeg fortelle deg hva det er rotasjon parallelt med planet.

Tenk deg at kuben roterer rundt OZ-aksen. Deretter beskriver hvert av hjørnene en sirkel rundt OZ-aksen.

En sirkel er en flat figur. Og planene til hver av disse sirklene er parallelle med hverandre, og i dette tilfellet parallelle med XOY-planet. Det vil si at vi ikke bare kan snakke om rotasjon rundt OZ-aksen, men også om rotasjon parallelt med XOY-planet. Som vi ser, for punkter som roterer parallelt med XOY-aksen, endres kun abscissen og ordinaten, mens applikatet forblir. og faktisk kan vi snakke om rotasjon rundt en rett linje bare når vi har å gjøre med tredimensjonalt rom. I todimensjonalt rom roterer alt rundt et punkt, i firedimensjonalt rom roterer alt rundt et plan, i femdimensjonalt rom snakker vi om rotasjon rundt et volum. Og hvis vi kan forestille oss rotasjon rundt et punkt, så er rotasjon rundt et plan og volum noe utenkelig. Og hvis vi snakker om rotasjon parallelt med planet, kan et punkt i ethvert n-dimensjonalt rom rotere parallelt med planet.

Mange av dere har sikkert hørt om rotasjonsmatrisen. Multipliserer punktet med det, får vi et punkt rotert parallelt med planet med en vinkel phi. For todimensjonalt rom ser det slik ut:

Hvordan multiplisere: x av et punkt rotert med en vinkel phi = cosinus til vinkelen phi*ix til det opprinnelige punktet minus sinus til vinkelen phi*ig til det opprinnelige punktet;
ig til et punkt rotert med en vinkel phi = sinus til vinkelen phi * ix til det opprinnelige punktet pluss cosinus til vinkelen phi * ig til det opprinnelige punktet.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ja
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, hvor Xa og Ya er abscissen og ordinaten til punktet som skal roteres, Xa` og Ya` er abscissen og ordinaten til det allerede roterte punktet

For tredimensjonalt rom er denne matrisen generalisert som følger:

Rotasjon parallelt med XOY-planet. Som du kan se endres ikke Z-koordinaten, men kun X og Y endres
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (i hovedsak Za`=Za)

Rotasjon parallelt med XOZ-planet. Ikke noe nytt,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (i hovedsak Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

Og den tredje matrisen.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (i hovedsak Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

Og for den fjerde dimensjonen ser de slik ut:


Jeg tror du allerede forstår hva du skal multiplisere med, så jeg vil ikke gå i detalj igjen. Men jeg legger merke til at den gjør det samme som en matrise for rotasjon parallelt med et plan i tredimensjonalt rom! Begge endrer bare ordinaten og applikatet, og berører ikke de andre koordinatene, så det kan brukes i det tredimensjonale tilfellet, rett og slett ikke ta hensyn til den fjerde koordinaten.

Men med projeksjonsformelen er ikke alt så enkelt. Uansett hvor mange fora jeg leser, fungerte ingen av projeksjonsmetodene for meg. Den parallelle var ikke egnet for meg, siden projeksjonen ikke ville se tredimensjonal ut. I noen projeksjonsformler, for å finne et punkt må du løse et ligningssystem (og jeg vet ikke hvordan jeg skal lære en datamaskin å løse dem), andre forsto jeg rett og slett ikke... Generelt sett bestemte jeg meg for å komme opp med min egen måte. For dette formålet bør du vurdere 2D->1D-projeksjonen.

pov betyr "synspunkt", ptp betyr "punkt til prosjekt" (punktet som skal projiseres), og ptp` er ønsket punkt på OX-aksen.

Vinklene povptpB og ptpptp`A er like tilsvarende (den stiplede linjen er parallell med OX-aksen, den rette linjen povptp er en sekant).
X-en til punktet ptp` er lik x-en til punktet ptp minus lengden til segmentet ptp`A. Dette segmentet kan finnes fra trekanten ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangens av vinkel ptpptp`A. Vi kan finne denne tangenten fra trekanten povptpB: tangent ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Svar: Xptp`=Xptp-Yptp/tangens av vinkel ptpptp`A.

Jeg beskrev ikke denne algoritmen i detalj her, siden det er mange spesielle tilfeller når formelen endres noe. Hvis noen er interessert, se på kildekoden til programmet, alt er beskrevet der i kommentarfeltet.

For å projisere et punkt i tredimensjonalt rom på et plan, vurderer vi ganske enkelt to plan - XOZ og YOZ, og løser dette problemet for hver av dem. Når det gjelder firedimensjonalt rom, er det nødvendig å vurdere tre plan: XOQ, YOQ og ZOQ.

Og til slutt, om programmet. Det fungerer slik: initialiser seksten hjørner av tesseracten -> avhengig av kommandoene som er lagt inn av brukeren, roter den -> projiser den på volumet -> avhengig av kommandoene brukeren har lagt inn, roter projeksjonen -> projiser på volumet fly -> tegne.

Jeg skrev projeksjonene og rotasjonene selv. De fungerer i henhold til formlene jeg nettopp beskrev. OpenGL-biblioteket tegner linjer og håndterer også fargeblanding. Og koordinatene til tesserakt-punktene beregnes på denne måten:

Koordinater til toppunktene til en linje sentrert ved origo og lengde 2 - (1) og (-1);
- " - " - firkantet - " - " - og en kant med lengde 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) og (-1; -1);
- " - " - kube - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Som du kan se, er en firkant én linje over OY-aksen og én linje under OY-aksen; en kube er en firkant foran XOY-planet, og en bak den; Tesserakten er en kube på den andre siden av XOYZ-volumet, og en på denne siden. Men det er mye lettere å oppfatte denne vekslingen av enere og minuser hvis de er skrevet i en spalte

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

I den første kolonnen veksler én og minus én. I den andre kolonnen er det først to plusser, deretter to minuser. I den tredje - fire pluss ener, og deretter fire minus enere. Dette var toppunktene til kuben. Tesserakten har dobbelt så mange av dem, og derfor var det nødvendig å skrive en løkke for å deklarere dem, ellers er det veldig lett å bli forvirret.

Programmet mitt kan også tegne anaglyf. Glade eiere av 3D-briller kan observere et stereoskopisk bilde. Det er ikke noe vanskelig med å tegne et bilde; du tegner ganske enkelt to projeksjoner på flyet, for høyre og venstre øyne. Men programmet blir mye mer visuelt og interessant, og viktigst av alt, det gir en bedre ide om den firdimensjonale verden.

Mindre viktige funksjoner er belysningen av en av kantene i rødt slik at svingene kan sees bedre, samt mindre bekvemmeligheter - regulering av koordinatene til "øye"-punktene, øker og reduserer svinghastigheten.

Arkiver med program, kildekode og bruksanvisning.

I geometri hyperkube- Dette n-dimensjonal analogi av et kvadrat ( n= 2) og kube ( n= 3). Det er en lukket konveks figur som består av grupper av parallelle linjer plassert på motsatte kanter av figuren, og forbundet med hverandre i rette vinkler.

Denne figuren er også kjent som tesseract(tesserakt). Tesserakten er til kuben som kuben er til firkanten. Mer formelt kan en tesserakt beskrives som en vanlig konveks firedimensjonal polytop (polyhedron) hvis grense består av åtte kubiske celler.

I følge Oxford English Dictionary ble ordet "tesseract" laget i 1888 av Charles Howard Hinton og brukt i hans bok "A New Era of Thought." Ordet ble avledet fra det greske "τεσσερες ακτινες" ("fire stråler"), i form av fire koordinatakser. I tillegg ble den samme figuren kalt i noen kilder tetracube(tetrakube).

n-dimensjonal hyperkube kalles også n-kube.

Et punkt er en hyperkube med dimensjon 0. Hvis du forskyver punktet med en lengdeenhet, får du et segment med lengdeenhet - en hyperkube med dimensjon 1. Videre, hvis du forskyver segmentet med en lengdeenhet i en retning vinkelrett til retningen til segmentet, får du en terning - en hyperkube av dimensjon 2. Forskyvning av kvadratet med en lengdeenhet i retningen vinkelrett på kvadratets plan, oppnås en kube - en hyperkube med dimensjon 3. Denne prosessen kan generaliseres til et hvilket som helst antall dimensjoner. For eksempel, hvis du flytter en kube med én lengdeenhet i den fjerde dimensjonen, får du en tesserakt.

Hyperkubefamilien er en av få vanlige polyedre som kan representeres i alle dimensjoner.

Elementer i en hyperkube

Dimensjon hyperkube n har 2 n"sider" (en endimensjonal linje har 2 punkter; en todimensjonal firkant har 4 sider; en tredimensjonal kube har 6 flater; en firedimensjonal tesserakt har 8 celler). Antall toppunkter (punkter) til en hyperkube er 2 n(for eksempel for en kube - 2 3 hjørner).

Mengde m-dimensjonale hyperkuber på grensen n-kuben er lik

For eksempel, på grensen til en hyperkube er det 8 kuber, 24 firkanter, 32 kanter og 16 toppunkter.

Elementer av hyperkuber

n-kube	Navn	Vertex (0-ansikt)	Kant (1-ansikt)	Kant (2-ansikt)	Celle (3-ansikt)	(4-ansikt)	(5-ansikt)	(6-sidig)	(7-ansikt)	(8-ansikt)
0-kube	Punktum	1
1-kube	Linjestykke	2	1
2-kube	Torget	4	4	1
3-kube	Kube	8	12	6	1
4-kube	Tesseract	16	32	24	8	1
5-kube	Penteract	32	80	80	40	10	1
6-kube	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-kube	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kube	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kube	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Projeksjon på et fly

Dannelsen av en hyperkube kan representeres på følgende måte:

• To punkter A og B kan kobles sammen for å danne et linjestykke AB.
• To parallelle segmenter AB og CD kan kobles sammen for å danne en kvadratisk ABCD.
• To parallelle kvadrater ABCD og EFGH kan kobles sammen for å danne en kube ABCDEFGH.
• To parallelle kuber ABCDEFGH og IJKLMNOP kan kobles sammen for å danne hyperkuben ABCDEFGHIJKLMNOP.

Sistnevnte struktur er ikke lett å visualisere, men det er mulig å skildre dens projeksjon inn i todimensjonalt eller tredimensjonalt rom. Dessuten kan projeksjoner på et todimensjonalt plan være mer nyttige ved å la posisjonene til de projiserte toppunktene omorganiseres. I dette tilfellet er det mulig å få bilder som ikke lenger gjenspeiler de romlige relasjonene til elementene i tesserakten, men som illustrerer strukturen til toppunktforbindelsene, som i eksemplene nedenfor.

Den første illustrasjonen viser hvordan en tesserakt i prinsippet dannes ved å slå sammen to terninger. Dette opplegget ligner på opplegget for å lage en kube fra to firkanter. Det andre diagrammet viser at alle kantene på tesserakten er like lange. Dette opplegget tvinger deg også til å se etter kuber koblet til hverandre. I det tredje diagrammet er toppunktene til tesserakten plassert i samsvar med avstandene langs flatene i forhold til bunnpunktet. Dette skjemaet er interessant fordi det brukes som et grunnleggende skjema for nettverkstopologien for å koble prosessorer når du organiserer parallell databehandling: avstanden mellom to noder overstiger ikke 4 kantlengder, og det er mange forskjellige veier for å balansere belastningen.

Hyperkube i kunst

Hyperkuben har dukket opp i science fiction-litteratur siden 1940, da Robert Heinlein i historien "And He Built a Crooked House" beskrev et hus bygget i form av en tesseract-skanning. I historien, denne neste, kollapser dette huset, og blir til en firedimensjonal tesserakt. Etter dette dukker hyperkuben opp i mange bøker og noveller.

Filmen Cube 2: Hypercube handler om åtte personer fanget i et nettverk av hyperkuber.

Salvador Dalis maleri "Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954, viser Jesus korsfestet på en tesseract-skanning. Dette maleriet kan sees i Metropolitan Museum of Art i New York.

Konklusjon

En hyperkube er en av de enkleste firedimensjonale objektene, hvorfra man kan se kompleksiteten og uvanligheten til den fjerde dimensjonen. Og det som ser umulig ut i tre dimensjoner, er mulig i fire, for eksempel umulige figurer. Så for eksempel vil stengene i en umulig trekant i fire dimensjoner være koblet i rette vinkler. Og denne figuren vil se slik ut fra alle synspunkter, og vil ikke bli forvrengt, i motsetning til implementeringene av en umulig trekant i tredimensjonalt rom (se.