hjem › Diverse › Finn arealet til en flyfigur. Sikker integral

Finn arealet til en flyfigur. Sikker integral

Vi går nå over til vurderingen av anvendelser av integralregningen. I denne leksjonen vil vi analysere det typiske og vanligste problemet med å beregne arealet av en flat figur ved å bruke en bestemt integral. Til slutt, alle de som søker mening i høyere matematikk - måtte de finne den. Du vet aldri. I det virkelige liv må du tilnærme en sommerhytte med elementære funksjoner og finne området ved hjelp av en viss integral.

For å lykkes med å mestre materialet, må du:

1) Forstå det ubestemte integralet i det minste på et mellomnivå. Derfor bør dummies først lese Lesson He.

2) Kunne anvende Newton-Leibniz-formelen og beregne det bestemte integralet. Smi varm vennlige forhold med bestemte integraler, se Definite Integral-siden. Løsningseksempler. Oppgaven "beregn arealet ved hjelp av en viss integral" innebærer alltid å bygge en tegning, så dine kunnskaper og ferdigheter i å tegne tegninger vil også være en relevant problemstilling. Som et minimum må man kunne bygge en rett linje, en parabel og en hyperbel.

La oss starte med en krumlinjet trapes. En krumlinjet trapes er en flat figur avgrenset av grafen til en funksjon y = f(x), akse OKSE og linjer x = en; x = b.

Arealet til en krumlinjet trapes er numerisk lik en viss integral

Enhver bestemt integral (som finnes) har en veldig god geometrisk betydning. Leksjonsbestemt integral. Eksempler på løsninger Vi sa at et bestemt integral er et tall. Og nå er det på tide å si en annen nyttig faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det definitive integralet AREA. Det vil si at det bestemte integralet (hvis det eksisterer) geometrisk tilsvarer arealet til en figur. Tenk på den bestemte integralen

Integrand

definerer en kurve på planet (den kan tegnes om ønskelig), og selve det bestemte integralet er numerisk lik arealet til den tilsvarende kurvelinjeformede trapesen.

Eksempel 1

, , , .

Dette er en typisk oppgaveerklæring. Det viktigste punktet i avgjørelsen er konstruksjonen av en tegning. Dessuten må tegningen bygges RIKTIG.

Når du konstruerer en tegning, anbefaler jeg følgende rekkefølge: først er det bedre å bygge alle linjene (hvis noen) og bare da - paraboler, hyperbler, grafer for andre funksjoner. Teknikken for punktvis konstruksjon finnes i referansemateriale Grafer og egenskaper for elementære funksjoner. Der kan du også finne stoff som er veldig nyttig i forhold til leksjonen vår – hvordan bygge en parabel raskt.

I dette problemet kan løsningen se slik ut.

La oss lage en tegning (merk at ligningen y= 0 spesifiserer aksen OKSE):

Vi vil ikke klekke ut den krumlinjede trapesen, det er åpenbart her hvilket område i spørsmålet. Løsningen fortsetter slik:

På intervallet [-2; 1] funksjonsgraf y = x 2 + 2 plassert over aksen OKSE, Derfor:

Svar: .

Som har problemer med å beregne det bestemte integralet og bruke Newton-Leibniz-formelen

se forelesningen Definite Integral. Løsningseksempler. Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. I denne saken"Med øye" teller vi antall celler i tegningen - vel, omtrent 9 vil bli skrevet, det ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi for eksempel hadde svaret: 20 kvadratenheter, så ble det åpenbart gjort en feil et sted - 20 celler passer åpenbart ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret viste seg å være negativt, ble også oppgaven løst feil.

Eksempel 2

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer xy = 4, x = 2, x= 4 og akse OKSE.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Full løsning og svar på slutten av timen.

Hva skal jeg gjøre hvis den krumlinjede trapesen er plassert under aksen OKSE?

Eksempel 3

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer y = e-x, x= 1 og koordinatakser.

Løsning: La oss lage en tegning:

Hvis den krumlinjede trapesen er helt under aksen OKSE, da kan området bli funnet med formelen:

I dette tilfellet:

Merk følgende! De to typene oppgaver bør ikke forveksles:

1) Hvis du blir bedt om å løse bare et bestemt integral uten noen geometrisk betydning, kan det være negativt.

2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble vurdert.

I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan, og derfor går vi videre fra de enkleste skoleoppgavene til mer meningsfulle eksempler.

Eksempel 4

Finn arealet til en plan figur avgrenset av linjer y = 2x – x 2 , y = -x.

Løsning: Først må du lage en tegning. Når vi konstruerer en tegning i arealproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene til linjer. Finn skjæringspunktene til parabelen y = 2x – x 2 og rett y = -x. Dette kan gjøres på to måter. Den første måten er analytisk. Vi løser ligningen:

Så den nedre grensen for integrering en= 0, øvre grense for integrasjon b= 3. Det er ofte mer lønnsomt og raskere å konstruere linjer punkt for punkt, mens grensene for integrasjon blir funnet ut som «av seg selv». Likevel må den analytiske metoden for å finne grensene fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den gjengede konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle). Vi kommer tilbake til oppgaven vår: det er mer rasjonelt å først konstruere en rett linje og først deretter en parabel. La oss lage en tegning:

Vi gjentar at i punktvis konstruksjon blir grensene for integrasjon oftest funnet ut "automatisk".

Og nå arbeidsformelen:

Hvis på intervallet [ en; b] noen kontinuerlig funksjon f(x) er større enn eller lik en kontinuerlig funksjon g(x), så kan området til den tilsvarende figuren bli funnet med formelen:

Her trenger du ikke lenger tenke på hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, men det er viktig hvilket diagram som er OVER (i forhold til et annet diagram), og hvilket som er UNDER.

I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor fra 2 x – x 2 må trekkes fra - x.

Fullføringen av løsningen kan se slik ut:

Den ønskede figuren er begrenset av en parabel y = 2x – x 2 topp og rett y = -x nedenfra.

På segment 2 x – x 2 ≥ -x. I henhold til den tilsvarende formelen:

Svar: .

Faktisk er skoleformelen for arealet til en kurvelinjeformet trapes i det nedre halvplanet (se eksempel nr. 3) spesielt tilfelle formler

Siden aksen OKSE er gitt av ligningen y= 0, og grafen til funksjonen g(x) er plassert under aksen OKSE, Det

Og nå et par eksempler for en uavhengig avgjørelse

Eksempel 5

Eksempel 6

Finn arealet til en figur avgrenset av linjer

I løpet av å løse problemer for å beregne arealet ved hjelp av en viss integral, skjer det noen ganger en morsom hendelse. Tegningen ble laget riktig, beregningene var riktige, men på grunn av uoppmerksomhet ... ble området til feil figur funnet.

Eksempel 7

La oss tegne først:

Figuren, området som vi trenger å finne, er skyggelagt i blått (se nøye på tilstanden - hvordan figuren er begrenset!). Men i praksis, på grunn av uoppmerksomhet, bestemmer de ofte at de trenger å finne området av figuren som er skyggelagt i grønt!

Dette eksemplet er også nyttig ved at området til figuren i det beregnes ved å bruke to bestemte integraler. Egentlig:

1) På segmentet [-1; 1] over akselen OKSE grafen er rett y = x+1;

2) På segmentet over aksen OKSE grafen til hyperbelen er lokalisert y = (2/x).

Det er ganske åpenbart at områdene kan (og bør) legges til, derfor:

Svar:

Eksempel 8

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer

La oss presentere ligningene i "skole"-formen

og gjør strektegningen:

Det kan sees fra tegningen at vår øvre grense er "god": b = 1.

Men hva er den nedre grensen? Det er tydelig at dette ikke er et heltall, men hva?

Kan være, en=(-1/3)? Men hvor er garantien for at tegningen er laget med perfekt nøyaktighet, det kan det godt vise seg en=(-1/4). Hva om vi ikke fikk grafen riktig i det hele tatt?

I slike tilfeller må man bruke ekstra tid og finpusse grensene for integrasjon analytisk.

Finn skjæringspunktene til grafene

For å gjøre dette løser vi ligningen:

Derfor, en=(-1/3).

Den videre løsningen er triviell. Det viktigste er ikke å bli forvirret i erstatninger og tegn. Beregningene her er ikke de enkleste. På segmentet

, ,

i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Som avslutning på leksjonen vil vi vurdere to oppgaver som er vanskeligere.

Eksempel 9

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer

Løsning: Tegn denne figuren på tegningen.

For punkt-for-punkt-tegning må du vite utseende sinusoider. Generelt er det nyttig å kjenne til grafene til alle elementære funksjoner, så vel som noen verdier av sinusen. De finner du i verditabellen trigonometriske funksjoner. I noen tilfeller (for eksempel i dette tilfellet) er det tillatt å konstruere en skjematisk tegning, der grafer og integrasjonsgrenser i prinsippet skal vises riktig.

Det er ingen problemer med integrasjonsgrensene her, de følger direkte av betingelsen:

- "x" endres fra null til "pi". Vi tar en ytterligere avgjørelse:

På segmentet, grafen til funksjonen y= synd 3 x plassert over aksen OKSE, Derfor:

(1) Du kan se hvordan sinus og cosinus er integrert i odde potenser i leksjonen Integraler fra trigonometriske funksjoner. Vi klyper av en sinus.

(2) Vi bruker den grunnleggende trigonometriske identiteten i skjemaet

(3) La oss endre variabelen t= cos x, deretter: plassert over aksen , så:

Merk: vær oppmerksom på hvordan integralet av tangenten i kuben tas, her brukes konsekvensen av den trigonometriske hovedidentiteten

Faktisk, for å finne området til en figur, trenger du ikke så mye kunnskap om det ubestemte og bestemte integralet. Oppgaven "beregn arealet ved hjelp av en viss integral" innebærer alltid å bygge en tegning, så dine kunnskaper og ferdigheter i å tegne tegninger vil være en mye mer relevant problemstilling. I denne forbindelse er det nyttig å oppdatere minnet til grafene til de viktigste elementære funksjonene, og i det minste være i stand til å bygge en rett linje og en hyperbel.

En krumlinjet trapes er en flat figur avgrenset av en akse, rette linjer og en graf for en kontinuerlig funksjon på et segment som ikke endrer fortegn på dette intervallet. La denne figuren være lokalisert ikke mindre abscisse:

Da er arealet til den krumlinjede trapesen numerisk lik en viss integral. Enhver bestemt integral (som finnes) har en veldig god geometrisk betydning.

Når det gjelder geometri, er det definitive integralet AREA.

Det vil si at en viss integral (hvis den eksisterer) geometrisk tilsvarer arealet til en figur. Tenk for eksempel på det bestemte integralet . Integranden definerer en kurve på planet som er plassert over aksen (de som ønsker det kan fullføre tegningen), og selve det bestemte integralet er numerisk lik arealet til den tilsvarende kurvelinjeformede trapesen.

Eksempel 1

Dette er en typisk oppgaveerklæring. Først og avgjørende øyeblikk løsninger - bygge en tegning. Dessuten må tegningen bygges RIKTIG.

Når du bygger en tegning, anbefaler jeg følgende rekkefølge: først er det bedre å bygge alle linjene (hvis noen) og bare da - paraboler, hyperbler, grafer for andre funksjoner. Grafer over funksjoner er mer lønnsomme å bygge punkt for punkt.

I dette problemet kan løsningen se slik ut.
La oss lage en tegning (merk at ligningen definerer aksen):

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, derfor:

Svar:

Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. I dette tilfellet, "etter øye" teller vi antall celler i tegningen - vel, omtrent 9 vil bli skrevet, det ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi for eksempel hadde svaret: 20 kvadratenheter, så ble det åpenbart gjort en feil et sted - 20 celler passer tydeligvis ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret viste seg å være negativt, ble også oppgaven løst feil.

Eksempel 3

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer og koordinatakser.

Løsning: La oss lage en tegning:

Hvis den krumlinjede trapesen er plassert under aksen (eller i det minste ikke høyere gitt akse), kan området bli funnet med formelen:

I dette tilfellet:

Merk følgende! De to typene oppgaver bør ikke forveksles:

1) Hvis du blir bedt om å løse bare et bestemt integral uten noen geometrisk betydning, kan det være negativt.

2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble vurdert.

I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan, og derfor går vi videre fra de enkleste skoleoppgavene til mer meningsfulle eksempler.

Eksempel 4

Finn arealet til en flat figur avgrenset av linjer, .

Løsning: Først må du fullføre tegningen. Generelt sett, når vi konstruerer en tegning i områdeproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene til linjer. La oss finne skjæringspunktene mellom parabelen og linjen. Dette kan gjøres på to måter. Den første måten er analytisk. Vi løser ligningen:

Derfor er den nedre grensen for integrasjon, den øvre grensen for integrasjon.

Det er bedre å ikke bruke denne metoden, hvis mulig.

Det er mye mer lønnsomt og raskere å bygge linjene punkt for punkt, mens grensene for integrasjon blir funnet ut som "av seg selv". Likevel må den analytiske metoden for å finne grensene fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den gjengede konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle). Og vi vil også vurdere et slikt eksempel.

Vi kommer tilbake til oppgaven vår: det er mer rasjonelt å først konstruere en rett linje og først deretter en parabel. La oss lage en tegning:

Og nå arbeidsformelen: Hvis en eller annen kontinuerlig funksjon på segmentet er større enn eller lik en kontinuerlig funksjon, så er arealet av figuren, diagrambegrenset av disse funksjonene og rette linjene , , kan finnes ved formelen:

Her er det ikke lenger nødvendig å tenke på hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, og grovt sett er det viktig hvilket diagram som er OVER (i forhold til et annet diagram), og hvilket som er UNDER.

I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor er det nødvendig å trekke fra

Fullføringen av løsningen kan se slik ut:

Den ønskede figuren er begrenset av en parabel ovenfra og en rett linje nedenfra.
På segmentet, i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Eksempel 4

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , , , .

Løsning: La oss først lage en tegning:

Figuren, området som vi trenger å finne, er skyggelagt i blått (se nøye på tilstanden - hvordan figuren er begrenset!). Men i praksis, på grunn av uoppmerksomhet, oppstår det ofte en "feil", at du må finne området av figuren som er skyggelagt i grønt!

Dette eksemplet er også nyttig ved at området til figuren i det beregnes ved å bruke to bestemte integraler.

Egentlig :

1) På segmentet over aksen er det en rett linjegraf;

2) På segmentet over aksen er en hyperbelgraf.

Det er ganske åpenbart at områdene kan (og bør) legges til, derfor:

Hvordan sette inn matematiske formler på nettstedet?

Hvis du noen gang trenger å legge til en eller to matematiske formler på en nettside, er den enkleste måten å gjøre dette på som beskrevet i artikkelen: matematiske formler settes enkelt inn på nettstedet i form av bilder som Wolfram Alpha genererer automatisk. I tillegg til enkelhet, vil denne universelle metoden bidra til å forbedre synligheten til nettstedet i søkemotorer. Det har fungert lenge (og jeg tror det vil fungere for alltid), men det er moralsk utdatert.

Hvis du stadig bruker matematiske formler på nettstedet ditt, anbefaler jeg at du bruker MathJax, et spesielt JavaScript-bibliotek som viser matematisk notasjon i nettlesere som bruker MathML, LaTeX eller ASCIIMathML-markering.

Det er to måter å begynne å bruke MathJax på: (1) ved hjelp av en enkel kode kan du raskt koble et MathJax-skript til nettstedet ditt, som automatisk lastes fra en ekstern server til rett tid (liste over servere); (2) last opp MathJax-skriptet fra en ekstern server til serveren din og koble det til alle sidene på nettstedet ditt. Den andre metoden er mer kompleks og tidkrevende og vil tillate deg å øke hastigheten på lasting av sidene på nettstedet ditt, og hvis den overordnede MathJax-serveren blir midlertidig utilgjengelig av en eller annen grunn, vil dette ikke påvirke ditt eget nettsted på noen måte. Til tross for disse fordelene, valgte jeg den første metoden, da den er enklere, raskere og ikke krever tekniske ferdigheter. Følg mitt eksempel, og innen 5 minutter vil du kunne bruke alle funksjonene til MathJax på nettstedet ditt.

Du kan koble til MathJax-biblioteksskriptet fra en ekstern server ved å bruke to kodealternativer hentet fra MathJax hovednettsted eller fra dokumentasjonssiden:

Et av disse kodealternativene bør kopieres og limes inn i nettsidekoden din, helst mellom kodene og eller rett etter taggen. I henhold til det første alternativet laster MathJax raskere og bremser siden mindre. Men det andre alternativet sporer og laster automatisk de nyeste versjonene av MathJax. Hvis du setter inn den første koden, må den oppdateres med jevne mellomrom. Hvis du limer inn den andre koden, vil sidene lastes saktere, men du trenger ikke å overvåke MathJax-oppdateringer konstant.

Den enkleste måten å koble MathJax på er i Blogger eller WordPress: i nettstedets kontrollpanel, legg til en widget som er utformet for å sette inn tredjeparts JavaScript-kode, kopier den første eller andre versjonen av lastekoden ovenfor inn i den, og plasser widgeten nærmere begynnelsen av malen (forresten, dette er ikke nødvendig i det hele tatt, siden MathJax-skriptet lastes asynkront). Det er alt. Lær nå MathML-, LaTeX- og ASCIIMathML-markeringssyntaksen, og du er klar til å bygge inn matematiske formler på nettsidene dine.

Enhver fraktal er bygget i henhold til en bestemt regel, som konsekvent brukes et ubegrenset antall ganger. Hver slik tid kalles en iterasjon.

Den iterative algoritmen for å konstruere en Menger-svamp er ganske enkel: den originale kuben med side 1 er delt av plan parallelt med flatene i 27 like terninger. En sentral kube og 6 terninger ved siden av den langs ansiktene fjernes fra den. Det viser seg et sett bestående av 20 gjenværende mindre kuber. Gjør vi det samme med hver av disse kubene, får vi et sett bestående av 400 mindre terninger. Hvis vi fortsetter denne prosessen på ubestemt tid, får vi Menger-svampen.

Vi begynner å vurdere den faktiske prosessen med å beregne dobbeltintegralet og bli kjent med dens geometriske betydning.

Dobbeltintegralet er numerisk lik arealet til en flat figur (integrasjonsregion). Dette enkleste formen dobbel integral når funksjonen til to variabler er lik en:.

La oss først vurdere problemet i generelt syn. Nå vil du bli overrasket over hvor enkelt det egentlig er! La oss beregne arealet til en flat figur avgrenset av linjer. For bestemthets skyld antar vi at på intervallet . Arealet til denne figuren er numerisk lik:

La oss skildre området på tegningen:

La oss velge den første måten å omgå området på:

Dermed:

Og umiddelbart et viktig teknisk triks: itererte integraler kan vurderes separat. Først det indre integralet, så det ytre integralet. Denne metoden anbefales sterkt for nybegynnere i temaet tekanner.

1) Beregn det interne integralet, mens integrasjonen utføres over variabelen "y":

Det ubestemte integralet her er det enkleste, og da brukes den banale Newton-Leibniz-formelen, med den eneste forskjellen at grensene for integrasjon ikke er tall, men funksjoner. Først erstattet vi den øvre grensen med "y" (antiderivatfunksjon), deretter den nedre grensen

2) Resultatet oppnådd i første ledd må erstattes med den eksterne integralen:

En mer kompakt notasjon for hele løsningen ser slik ut:

Den resulterende formelen - dette er nøyaktig arbeidsformelen for å beregne arealet av en flat figur ved å bruke det "vanlige" bestemte integralet! Se leksjonen. Beregning av arealet ved hjelp av en bestemt integral, der er den ved hvert trinn!

Det vil si problemet med å beregne arealet ved hjelp av dobbeltintegralet litt annerledes fra problemet med å finne området ved hjelp av en bestemt integral! Faktisk er de ett og det samme!

Derfor bør ingen vanskeligheter oppstå! Jeg vil ikke vurdere veldig mange eksempler, siden du faktisk har støtt på dette problemet gjentatte ganger.

Eksempel 9

Løsning: Tegn området på tegningen:

La oss velge følgende rekkefølge for å krysse regionen:

Her og nedenfor vil jeg ikke gå inn på hvordan man krysser et område fordi det første avsnittet var veldig detaljert.

Dermed:

Som jeg allerede har nevnt, er det bedre for nybegynnere å beregne itererte integraler separat, jeg vil følge samme metode:

1) Først, ved å bruke Newton-Leibniz-formelen, tar vi for oss det interne integralet:

2) Resultatet oppnådd i det første trinnet erstattes med det ytre integralet:

Punkt 2 er faktisk å finne arealet til en flat figur ved å bruke en bestemt integral.

Svar:

Her er en så dum og naiv oppgave.

Et nysgjerrig eksempel på en uavhengig løsning:

Eksempel 10

Bruk det doble integralet til å beregne arealet til en plan figur avgrenset av linjene , ,

Eksempel Prøve sluttføre løsningen på slutten av leksjonen.

I eksempel 9-10 er det mye mer lønnsomt å bruke den første måten å omgå området på, nysgjerrige lesere kan forresten endre rekkefølgen på omkjøringen og beregne arealene på den andre måten. Hvis du ikke gjør en feil, oppnås naturligvis de samme områdeverdiene.

Men i noen tilfeller er den andre måten å omgå området mer effektiv på, og som avslutning på kurset til den unge nerden, la oss se på et par flere eksempler om dette emnet:

Eksempel 11

Bruk det doble integralet til å beregne arealet til en plan figur avgrenset av linjer.

Løsning: vi gleder oss til to parabler med bris som ligger på siden. Du trenger ikke å smile, lignende ting i flere integraler oppstår ofte.

Hva er den enkleste måten å lage en tegning på?

La oss representere parablen som to funksjoner:
- øvre gren og - nedre gren.

På samme måte kan du forestille deg en parabel som en øvre og nedre grener.

Deretter plotte stasjoner punkt for punkt, noe som resulterer i en så bisarr figur:

Arealet av figuren beregnes ved å bruke dobbeltintegralet i henhold til formelen:

Hva skjer hvis vi velger den første måten å omgå området på? Først må dette området deles i to deler. Og for det andre vil vi observere dette triste bildet: . Integraler er selvfølgelig ikke av et superkomplekst nivå, men ... det er et gammelt matematisk ordtak: Den som er venn med røttene trenger ikke en motregning.

Derfor, fra misforståelsen som er gitt i betingelsen, uttrykker vi de inverse funksjonene:

Inverse funksjoner V dette eksemplet har den fordelen at de umiddelbart setter hele parabelen uten blader, eikenøtter, greiner og røtter.

I henhold til den andre metoden vil arealgjennomgangen være som følger:

Dermed:

Som de sier, føl forskjellen.

1) Vi tar for oss den interne integralen:

Vi erstatter resultatet med det ytre integralet:

Integrasjon over variabelen "y" burde ikke være pinlig, hvis det var en bokstav "zyu" - det ville vært flott å integrere over det. Selv om noen som har lest andre avsnitt av leksjonen Hvordan beregne volumet av en revolusjonskropp, føler han ikke lenger den minste forlegenhet med integrasjon over "y".

Vær også oppmerksom på det første trinnet: integranden er jevn, og integrasjonssegmentet er symmetrisk rundt null. Derfor kan segmentet halveres, og resultatet kan dobles. Denne teknikken kommentert i detalj i leksjonen Effektive metoder beregning av et bestemt integral.

Hva du skal legge til…. Alle!

Svar:

For å teste integreringsteknikken din kan du prøve å beregne . Svaret bør være nøyaktig det samme.

Eksempel 12

Bruk det doble integralet til å beregne arealet til en plan figur avgrenset av linjer

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er interessant å merke seg at hvis du prøver å bruke den første måten å omgå området, vil figuren ikke lenger deles i to, men i tre deler! Og følgelig får vi tre par itererte integraler. Noen ganger skjer det.

Mesterklassen har kommet til slutten, og det er på tide å gå videre til stormesternivået - Hvordan beregne dobbeltintegralet? Løsningseksempler. Jeg skal prøve å ikke være så manisk i den andre artikkelen =)

Jeg ønsker deg suksess!

Løsninger og svar:

Eksempel 2:Løsning: Tegn et område på tegningen:

La oss velge følgende rekkefølge for å krysse regionen:

Dermed:
La oss gå videre til inverse funksjoner:

Dermed:
Svar:

Eksempel 4:Løsning: La oss gå videre til direkte funksjoner:

La oss utføre tegningen:

La oss endre rekkefølgen for gjennomkjøring av området:

Svar:

EN)

Løsning.

Det første og viktigste øyeblikket i beslutningen er konstruksjonen av en tegning.

La oss lage en tegning:

Ligningen y=0 setter x-aksen;

- x=-2 Og x=1- rett, parallelt med aksen OU;

- y \u003d x 2 +2 - en parabel hvis grener er rettet oppover, med et toppunkt i punktet (0;2).

Kommentar. For å konstruere en parabel er det nok å finne punktene for dens skjæringspunkt med koordinataksene, dvs. sette x=0 finn skjæringspunktet med aksen OU og bestemme passende kvadratisk ligning, finn skjæringspunktet med aksen Åh .

Toppunktet til en parabel kan bli funnet ved å bruke formlene:

Du kan tegne linjer og punkt for punkt.

På intervallet [-2;1] grafen til funksjonen y=x 2+2 plassert over aksen Okse, Derfor:

Svar: S\u003d 9 kvadratenheter

Hva skal jeg gjøre hvis den krumlinjede trapesen er plassert under aksen Åh?

b) Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer y=-e x , x=1 og koordinatakser.

Løsning.

La oss lage en tegning.

Hvis den krumlinjede trapesen er helt under aksen Åh , da kan området bli funnet med formelen:

Svar: S=(e-1) kvm enhet" 1,72 kvm enhet

Merk følgende! De to typene oppgaver bør ikke forveksles:

1) Hvis du blir bedt om å løse bare et bestemt integral uten noen geometrisk betydning, kan det være negativt.

2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble vurdert.

I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan.

c) Finn arealet til en plan figur avgrenset av linjer y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Løsning.

Først må du lage en tegning. Generelt sett, når vi konstruerer en tegning i områdeproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene til linjer. Finn skjæringspunktene til parabelen og direkte Dette kan gjøres på to måter. Den første måten er analytisk.

Vi løser ligningen:

Så den nedre grensen for integrering a=0, den øvre grensen for integrering b=3 .

Vi bygger de gitte linjene: 1. Parabel - toppunkt i punktet (1;1); akseskjæring Åh - poeng(0;0) og (0;2). 2. Rett linje - halveringslinjen til 2. og 4. koordinatvinkel. Og nå OBS! Hvis på intervallet [ a;b] noen kontinuerlig funksjon f(x) større enn eller lik en kontinuerlig funksjon g(x), da kan området til den tilsvarende figuren bli funnet med formelen: .

Og det spiller ingen rolle hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, men det er viktig hvilket diagram som er HØYERE (i forhold til et annet diagram), og hvilket som er UNDER. I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor er det nødvendig å trekke fra

Det er mulig å konstruere linjer punkt for punkt, mens grensene for integrering blir funnet ut som «av seg selv». Likevel må den analytiske metoden for å finne grensene fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den gjengede konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle).