Medida em graus de ângulos inscritos e centrais. Círculo e ângulo inscrito

O ângulo ABC é um ângulo inscrito. Ele repousa sobre o arco AC, encerrado entre seus lados (Fig. 330).

Teorema. Um ângulo inscrito é medido pela metade do arco que intercepta.

Isso deve ser entendido da seguinte forma: um ângulo inscrito contém tantos graus angulares, minutos e segundos quanto graus de arco, minutos e segundos estão contidos na metade do arco sobre o qual repousa.

Para provar este teorema, precisamos considerar três casos.

Primeiro caso. O centro do círculo está no lado do ângulo inscrito (Fig. 331).

Seja ∠ABC um ângulo inscrito e o centro da circunferência O esteja no lado BC. É necessário provar que é medido por metade do arco AC.

Conecte o ponto A ao centro do círculo. Obtemos os isósceles \(\Delta\)AOB, em que AO = OB, como os raios do mesmo círculo. Portanto, ∠A = ∠B.

∠AOC é externo ao triângulo AOB, então ∠AOC = ∠A + ∠B, e como os ângulos A e B são iguais, ∠B é 1/2 ∠AOC.

Mas ∠AOC é medido pelo arco AC, portanto ∠B é medido pela metade do arco AC.

Por exemplo, se \(\breve(AC)\) contém 60°18', então ∠B contém 30°9'.

Segundo caso. O centro do círculo fica entre os lados do ângulo inscrito (Fig. 332).

Seja ∠ABD um ângulo inscrito. O centro do círculo O está entre seus lados. É necessário provar que ∠ABD é medido pela metade do arco AD.

Para provar isso, vamos desenhar o diâmetro BC. Ângulo ABD dividido em dois ângulos: ∠1 e ∠2.

∠1 é medido pela metade do arco AC, e ∠2 é medido pela metade do arco CD, portanto, todo o ∠ABD é medido por 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), ou seja, metade do arco AD.

Por exemplo, se \(\breve(AD)\) contém 124°, então ∠B contém 62°.

Terceiro caso. O centro do círculo está fora do ângulo inscrito (Fig. 333).

Seja ∠MAD um ângulo inscrito. O centro do círculo O está fora do canto. É necessário provar que ∠MAD é medido pela metade do arco MD.

Para provar isso, vamos desenhar o diâmetro AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Mas ∠MAB mede 1/2 \(\breve(MB)\) e ∠DAB mede 1/2 \(\breve(DB)\).

Portanto, ∠MAD mede 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), ou seja, 1 / 2 \(\breve(MD)\).

Por exemplo, se \(\breve(MD)\) contém 48° 38", então ∠MAD contém 24° 19' 8".

Consequências
1. Todos os ângulos inscritos com base no mesmo arco são iguais entre si, pois são medidos pela metade do mesmo arco (Fig. 334, a).

2. Um ângulo inscrito com base em um diâmetro é um ângulo reto porque é baseado em meio círculo. Metade do círculo contém 180 graus de arco, o que significa que o ângulo baseado no diâmetro contém 90 graus angulares (Fig. 334, b).

Conceito de ângulo inscrito e central

Vamos primeiro introduzir o conceito de ângulo central.

Observação 1

Observe que a medida em grau de um ângulo central é igual à medida em grau do arco que ele intercepta.

Agora introduzimos o conceito de ângulo inscrito.

Definição 2

Um ângulo cujo vértice está em um círculo e cujos lados interceptam o mesmo círculo é chamado de ângulo inscrito (Fig. 2).

Figura 2. Ângulo inscrito

Teorema do ângulo inscrito

Teorema 1

A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco que ele intercepta.

Prova.

Seja dado um círculo centrado no ponto $O$. Denote o ângulo inscrito $ACB$ (Fig. 2). Os três casos a seguir são possíveis:

• O raio $CO$ coincide com algum lado do ângulo. Seja este o lado $CB$ (Fig. 3).

Figura 3

Nesse caso, o arco $AB$ é menor que $(180)^(()^\circ )$, portanto o ângulo central $AOB$ é igual ao arco $AB$. Como $AO=OC=r$, o triângulo $AOC$ é isósceles. Portanto, os ângulos da base $CAO$ e $ACO$ são iguais. De acordo com o teorema sobre o ângulo externo de um triângulo, temos:

• Raio $CO$ divide um ângulo interno em dois ângulos. Deixe-o cruzar o círculo no ponto $D$ (Fig. 4).

Figura 4

Nós temos

• O raio $CO$ não divide um ângulo interno em dois ângulos e não coincide com nenhum de seus lados (Fig. 5).

Figura 5

Considere separadamente os ângulos $ACD$ e $DCB$. Pelo que foi provado no item 1, obtemos

Nós temos

O teorema foi provado.

vamos trazer consequências deste teorema.

Corolário 1: Os ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco são iguais.

Consequência 2: Um ângulo inscrito que intercepta um diâmetro é um ângulo reto.

Conceito de ângulo inscrito e central

Vamos primeiro introduzir o conceito de ângulo central.

Observação 1

Observe que a medida em grau de um ângulo central é igual à medida em grau do arco que ele intercepta.

Agora introduzimos o conceito de ângulo inscrito.

Definição 2

Um ângulo cujo vértice está em um círculo e cujos lados interceptam o mesmo círculo é chamado de ângulo inscrito (Fig. 2).

Figura 2. Ângulo inscrito

Teorema do ângulo inscrito

Teorema 1

A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco que ele intercepta.

Prova.

Seja dado um círculo centrado no ponto $O$. Denote o ângulo inscrito $ACB$ (Fig. 2). Os três casos a seguir são possíveis:

• O raio $CO$ coincide com algum lado do ângulo. Seja este o lado $CB$ (Fig. 3).

Figura 3

Nesse caso, o arco $AB$ é menor que $(180)^(()^\circ )$, portanto o ângulo central $AOB$ é igual ao arco $AB$. Como $AO=OC=r$, o triângulo $AOC$ é isósceles. Portanto, os ângulos da base $CAO$ e $ACO$ são iguais. De acordo com o teorema sobre o ângulo externo de um triângulo, temos:

• Raio $CO$ divide um ângulo interno em dois ângulos. Deixe-o cruzar o círculo no ponto $D$ (Fig. 4).

Figura 4

Nós temos

• O raio $CO$ não divide um ângulo interno em dois ângulos e não coincide com nenhum de seus lados (Fig. 5).

Figura 5

Considere separadamente os ângulos $ACD$ e $DCB$. Pelo que foi provado no item 1, obtemos

Nós temos

O teorema foi provado.

vamos trazer consequências deste teorema.

Corolário 1: Os ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco são iguais.

Consequência 2: Um ângulo inscrito que intercepta um diâmetro é um ângulo reto.

Ângulo inscrito, teoria do problema. Amigos! Neste artigo falaremos sobre tarefas, para cuja solução é necessário conhecer as propriedades de um ângulo inscrito. Este é todo um grupo de tarefas, elas estão incluídas no exame. A maioria deles é resolvida de forma muito simples, em uma única etapa.

Existem tarefas mais difíceis, mas não apresentarão muita dificuldade para você, você precisa conhecer as propriedades do ângulo inscrito. Aos poucos, vamos analisar todos os protótipos de tarefas, convido você ao blog!

Agora teoria necessária. Lembre-se do que é um ângulo central e inscrito, corda, arco, no qual esses ângulos dependem:

O ângulo central em um círculo é chamado de ângulo plano compináculo em seu centro.

A parte de um círculo que está dentro de um canto planochamado de arco de círculo.

A medida em grau de um arco de círculo é a medida em grauângulo central correspondente.

Um ângulo é chamado inscrito em um círculo se o vértice do ângulo estáem um círculo, e os lados do ângulo interceptam esse círculo.

Chama-se segmento de recta que une dois pontos de uma circunferênciaacorde. A corda mais longa passa pelo centro do círculo e é chamadadiâmetro.

Para resolver problemas de ângulos inscritos em um círculo,você precisa conhecer as seguintes propriedades:

1. O ângulo inscrito é igual à metade do ângulo central baseado no mesmo arco.

2. Todos os ângulos inscritos com base no mesmo arco são iguais.

3. Todos os ângulos inscritos com base na mesma corda, cujos vértices estão do mesmo lado dessa corda, são iguais.

4. Qualquer par de ângulos baseados na mesma corda, cujos vértices estão em lados opostos da corda, somam 180°.

Corolário: Os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito em um círculo somam 180 graus.

5. Todos os ângulos inscritos com base no diâmetro são retos.

Em geral, esta propriedade é consequência da propriedade (1), esta é sua caso especial. Veja - o ângulo central é igual a 180 graus (e esse ângulo desenvolvido nada mais é do que um diâmetro), o que significa que, de acordo com a primeira propriedade, o ângulo inscrito C é igual à sua metade, ou seja, 90 graus.

O conhecimento dessa propriedade ajuda a resolver muitos problemas e muitas vezes permite evitar cálculos desnecessários. Tendo dominado bem, você será capaz de resolver oralmente mais da metade deste tipo de problemas. Duas consequências que podem ser feitas:

Corolário 1: se um triângulo está inscrito em um círculo e um de seus lados coincide com o diâmetro desse círculo, então o triângulo é retângulo (o vértice do ângulo reto está no círculo).

Corolário 2: o centro do descrito sobre triângulo retângulo circunferência coincide com o ponto médio de sua hipotenusa.

Muitos protótipos de problemas estereométricos também são resolvidos usando essa propriedade e esses corolários. Lembre-se do fato em si: se o diâmetro de um círculo é um lado de um triângulo inscrito, esse triângulo é retângulo (o ângulo oposto ao diâmetro é de 90 graus). Você mesmo pode tirar todas as outras conclusões e consequências, não precisa ensiná-las.

Como regra, metade dos problemas para um ângulo inscrito é dado com um esboço, mas sem notação. Para entender o processo de raciocínio ao resolver problemas (abaixo no artigo), são introduzidas as designações de vértices (cantos). No exame, você não pode fazer isso.Considere as tarefas:

O que é um ângulo agudo inscrito que intercepta uma corda igual ao raio do círculo? Dê sua resposta em graus.

Vamos construir um ângulo central para um determinado ângulo inscrito, denote os vértices:

De acordo com a propriedade de um ângulo inscrito em um círculo:

O ângulo AOB é igual a 60 0, pois o triângulo AOB é equilátero, e em um triângulo equilátero todos os ângulos são iguais a 60 0 . Os lados do triângulo são iguais, pois a condição diz que a corda é igual ao raio.

Assim, o ângulo inscrito DIA é 30 0 .

Resposta: 30

Encontre a corda na qual repousa o ângulo 30 0, inscrito em um círculo de raio 3.

Este é essencialmente o problema inverso (do anterior). Vamos construir um canto central.

É duas vezes maior que o inscrito, ou seja, o ângulo AOB é 60 0 . A partir disso, podemos concluir que o triângulo AOB é equilátero. Assim, a corda é igual ao raio, ou seja, três.

Resposta: 3

O raio do círculo é 1. Encontre o valor de um ângulo inscrito obtuso com base em uma corda igual à raiz de dois. Dê sua resposta em graus.

Vamos construir o ângulo central:

Conhecendo o raio e a corda, podemos encontrar o ângulo central DIA. Isso pode ser feito usando a lei dos cossenos. Conhecendo o ângulo central, podemos encontrar facilmente o ângulo inscrito ACB.

Teorema do cosseno: o quadrado de qualquer lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, sem dobrar o produto desses lados vezes o cosseno do ângulo entre eles.

Portanto, o segundo ângulo central é 360 0 – 90 0 = 270 0 .

De acordo com a propriedade de um ângulo inscrito, o ângulo DIA é igual à sua metade, ou seja, 135 graus.

Resposta: 135

Encontre a corda na qual o ângulo de 120 graus, a raiz de três, está inscrito em um círculo de raio.

Conecte os pontos A e B com o centro do círculo. Vamos chamá-lo de O:

Conhecemos o raio e o ângulo inscrito DIA. Podemos encontrar o ângulo central AOB (maior que 180 graus), então encontrar o ângulo AOB no triângulo AOB. E então, usando o teorema do cosseno, calcule AB.

Pela propriedade do ângulo inscrito, o ângulo central AOB (que é maior que 180 graus) será igual ao dobro do ângulo inscrito, ou seja, 240 graus. Isso significa que o ângulo AOB no triângulo AOB é 360 0 - 240 0 = 120 0 .

Pela lei dos cossenos:

Resposta:3

Encontre o ângulo inscrito com base no arco que é 20% do círculo. Dê sua resposta em graus.

Pela propriedade de um ângulo inscrito, ele tem metade do tamanho do ângulo central baseado no mesmo arco, em este caso Estamos falando do arco AB.

Diz-se que o arco AB é 20 por cento da circunferência. Isso significa que o ângulo central AOB também é 20% de 360 ​​0 .* Um círculo é um ângulo de 360 ​​graus. Significa,

Assim, o ângulo inscrito ACB é de 36 graus.

Resposta: 36

arco de um círculo AC, não contendo pontos B, é de 200 graus. E o arco do círculo BC, que não contém pontos A, é de 80 graus. Encontre o ângulo inscrito ACB. Dê sua resposta em graus.

Vamos denotar para maior clareza os arcos cujas medidas angulares são dadas. Arco correspondente a 200 graus - Cor azul, o arco correspondente a 80 graus é vermelho, o restante do círculo é amarelo.

Assim, a medida em grau do arco AB (amarelo) e, portanto, o ângulo central AOB é: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

O ângulo inscrito DAB é a metade do ângulo central AOB, ou seja, igual a 40 graus.

Resposta: 40

Qual é o ângulo inscrito com base no diâmetro do círculo? Dê sua resposta em graus.

Este é o ângulo formado por dois acordes originando-se em um ponto do círculo. Diz-se que um ângulo inscrito é depende em um arco fechado entre seus lados.

Ângulo inscrito igual à metade do arco sobre o qual repousa.

Em outras palavras, ângulo inscrito inclui tantos graus, minutos e segundos quanto graus de arco, minutos e segundos são incluídos na metade do arco no qual ele se baseia. Para justificação, analisamos três casos:

Primeiro caso:

O centro O está localizado no lado ângulo inscrito ABDÔMEN. Desenhando o raio AO, obtemos ΔABO, em que OA = OB (como raios) e, portanto, ∠ABO = ∠BAO. em relação a isso triângulo, o ângulo AOC é externo. E assim, é igual à soma dos ângulos ABO e BAO, ou igual ao duplo ângulo ABO. Então ∠ABO é metade canto central AOC. Mas esse ângulo é medido pelo arco AC. Ou seja, o ângulo inscrito ABC é medido pela metade do arco AC.

Segundo caso:

O centro O está localizado entre os lados ângulo inscrito ABC. Traçado o diâmetro BD, dividiremos o ângulo ABC em dois ângulos, dos quais, conforme estabelecido no primeiro caso, um é medido pela metade arcos AD, e a outra metade do arco CD. E, consequentemente, o ângulo ABC é medido por (AD + DC) / 2, ou seja. 1/2 CA.

Terceiro caso:

O centro O está localizado fora ângulo inscrito ABDÔMEN. Traçado o diâmetro BD, teremos: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Mas os ângulos ABD e CBD são medidos, com base nas metades previamente fundamentadas arcos AD e CD. E como ∠ABС é medido por (AD-CD)/2, ou seja, metade do arco AC.

Consequência 1. Quaisquer , com base no mesmo arco são iguais, ou seja, são iguais entre si. Como cada um deles é medido pela metade do mesmo arcos .

Consequência 2. Ângulo inscrito, com base no diâmetro - ângulo certo. Uma vez que cada um desses ângulos é medido por meio semicírculo e, portanto, contém 90 °.