O que é chamado de seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo. triângulo retângulo

Instrução

Se você precisa encontrar o cosseno ângulo em um triângulo arbitrário, é necessário usar o teorema do cosseno:
se o ângulo for agudo: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
se ângulo: cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), onde a, b são os comprimentos dos lados adjacentes ao canto, c é o comprimento do lado oposto ao canto.

Conselho util

A notação matemática para cosseno é cos.
O valor do cosseno não pode ser maior que 1 e menor que -1.

Fontes:

• como calcular o cosseno de um ângulo
• Funções trigonométricas no círculo unitário

cossenoé a função trigonométrica básica do ângulo. A capacidade de determinar o cosseno é útil na álgebra vetorial ao determinar as projeções de vetores em vários eixos.

Instrução

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Existe um triângulo com lados a, b, c iguais a 3, 4, 5 mm, respectivamente.

Encontrar cosseno o ângulo fechado entre os lados grandes.

Vamos denotar o ângulo oposto ao lado a por?, então, de acordo com a fórmula derivada acima, temos:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Resposta: 0,8.

Se o triângulo é um triângulo retângulo, então para encontrar cosseno e é suficiente saber os comprimentos de quaisquer dois lados do ângulo ( cossenoângulo reto é 0).

Seja um triângulo retângulo de lados a, b, c, onde c é a hipotenusa.

Considere todas as opções:

Encontre cos? se os comprimentos dos lados a e b (de um triângulo) são conhecidos

Vamos usar adicionalmente o teorema de Pitágoras:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Para a exatidão da fórmula resultante, nós a substituímos a partir do exemplo 1, ou seja,

Tendo feito cálculos elementares, obtemos:

Da mesma forma, existe cosseno em um retangular triângulo Em outros casos:

Conhecidos a e c (hipotenusa e perna oposta), encontre cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Substituindo os valores a=3 e c=5 do exemplo, obtemos:

b e c são conhecidos (a hipotenusa e a perna adjacente).

Encontrar cos?

Tendo realizado transformações semelhantes (mostradas nos exemplos 2 e 3), obtemos que neste caso cosseno V triângulo calculado usando uma fórmula muito simples:

A simplicidade da fórmula derivada é explicada de forma elementar: de fato, adjacente ao canto? a perna é uma projeção da hipotenusa, seu comprimento é igual ao comprimento da hipotenusa multiplicado por cos?.

Substituindo os valores b=4 e c=5 do primeiro exemplo, obtemos:

Portanto, todas as nossas fórmulas estão corretas.

Dica 5: Como encontrar um ângulo agudo em um triângulo retângulo

Diretamente carbônico o triângulo é provavelmente um dos mais famosos, do ponto de vista histórico, formas geométricas. As "calças" pitagóricas só podem competir com "Eureka!" Arquimedes.

você vai precisar

• - desenho de um triângulo;
• - governante;
• - transferidor.

Instrução

A soma dos ângulos de um triângulo é 180 graus. em um retangular triângulo um ângulo (direito) sempre será de 90 graus e os demais são agudos, ou seja, menos de 90 graus cada. Para determinar qual ângulo em um retângulo triânguloé reta, meça os lados do triângulo com uma régua e determine o maior. É a hipotenusa (AB) e está oposta ao ângulo reto (C). Os dois lados restantes formam um ângulo reto e pernas (AC, BC).

Depois de determinar qual ângulo é agudo, você pode usar um transferidor para calcular o ângulo ou calculá-lo usando fórmulas matemáticas.

Para determinar o valor do ângulo usando um transferidor, alinhe seu topo (vamos denotá-lo com a letra A) com uma marca especial na régua no centro do transferidor, a perna AC deve coincidir com sua borda superior. Marque na parte semicircular do transferidor o ponto por onde passa a hipotenusa AB. O valor neste ponto corresponde ao valor do ângulo em graus. Se 2 quantidades são indicadas no transferidor, então para ângulo agudo você precisa escolher um menor, para um estúpido - um maior.

Encontre o valor resultante na referência Bradis e determine qual ângulo corresponde ao valor numérico resultante. Nossas avós usavam esse método.

No nosso, basta levar com a função de cálculo de fórmulas trigonométricas. Por exemplo, a calculadora integrada do Windows. Inicie o aplicativo "Calculadora", no item de menu "Exibir", selecione o item "Engenharia". Calcule o seno do ângulo desejado, por exemplo, sen (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Mude a calculadora para o modo de função inversa clicando no botão INV no visor da calculadora e, em seguida, clique no botão de função arco-seno (rotulado sin para o menos um de energia no visor). A seguinte inscrição aparecerá na janela de cálculo: asind (0,5) = 30. Ou seja, o ângulo desejado é de 30 graus.

Fontes:

• Tabelas de Bradis (senos, cossenos)

O teorema do cosseno em matemática é usado com mais frequência quando é necessário encontrar o terceiro lado por um ângulo e dois lados. No entanto, às vezes, a condição do problema é definida ao contrário: é necessário encontrar o ângulo para dados três lados.

Instrução

Imagine que você recebe um triângulo com comprimentos conhecidos de dois lados e o valor de um ângulo. Todos os ângulos deste triângulo não são iguais entre si e seus lados também são diferentes em tamanho. O ângulo γ fica oposto ao lado do triângulo, designado por AB, que é esta figura. Através deste ângulo, bem como através dos lados restantes AC e BC, você pode encontrar aquele lado do triângulo, que é desconhecido, usando o teorema do cosseno, derivando a fórmula abaixo com base nele:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, onde a=BC, b=AB, c=AC
O teorema do cosseno também é chamado de teorema de Pitágoras generalizado.

Agora imagine que todos os três lados da figura são dados, mas seu ângulo γ é desconhecido. Sabendo que a forma a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transforme esta expressão para que o valor desejado seja o ângulo γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Em seguida, leve a equação acima para uma forma ligeiramente diferente: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Então esta expressão deve ser transformada no seguinte: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Resta substituir os números na fórmula e realizar os cálculos.

Para encontrar o cosseno, denotado como γ, ele deve ser expresso por meio da trigonométrica inversa, chamada de cosseno inverso. O arco cosseno do número m é o valor do ângulo γ, para o qual o cosseno do ângulo γ é igual a m. A função y=arccos m é decrescente. Imagine, por exemplo, que o cosseno do ângulo γ é um meio. Então o ângulo γ pode ser definido em termos do arco cosseno da seguinte forma:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, onde m = 1/2.
Da mesma forma, você pode encontrar os ângulos restantes de um triângulo com dois outros lados desconhecidos.

Seno e cosseno são duas funções trigonométricas chamadas de "linhas retas". São eles que precisam ser calculados com mais frequência do que outros, e hoje cada um de nós tem uma escolha considerável de opções para resolver esse problema. Abaixo estão alguns dos mais maneiras simples.

Instrução

Use um transferidor, lápis e papel se outros meios de cálculo não estiverem disponíveis. Uma das definições do cosseno é dada por meio de ângulos agudos em um triângulo retângulo - é igual à razão entre o comprimento da perna oposta a esse ângulo e o comprimento. Desenhe um triângulo onde um dos ângulos seja reto (90°) e o outro seja o ângulo que você deseja calcular. O comprimento dos lados não importa - desenhe-os de forma que seja mais conveniente para você medir. Meça o comprimento da perna desejada e da hipotenusa e divida a primeira pela segunda de qualquer maneira conveniente.

Aproveite a oportunidade de valor funções trigonométricas usando a calculadora embutida no mecanismo de busca Nigma, se você tiver acesso à Internet. Por exemplo, se você deseja calcular o cosseno de um ângulo de 20°, então, carregando pagina inicial service http://nigma.ru digite na consulta de pesquisa "cosseno 20" e clique no botão "Localizar!". Você pode omitir "graus" e substituir a palavra "cosseno" por cos - em qualquer caso, o mecanismo de pesquisa mostrará o resultado com uma precisão de até 15 casas decimais (0,939692620785908).

Abra o programa padrão - instalado com o operacional Sistema Windows se não houver acesso à internet. Isso pode ser feito, por exemplo, pressionando simultaneamente as teclas win e r, inserindo o comando calc e clicando no botão OK. Para calcular funções trigonométricas, aqui está uma interface chamada "engenharia" ou "científica" (dependendo da versão do sistema operacional) - selecione o item desejado na seção "Visualizar" do menu da calculadora. Depois disso, insira o valor do ângulo e clique no botão cos na interface do programa.

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Dica 8: Como determinar os ângulos em um triângulo retângulo

Retangular é caracterizado por certas proporções entre ângulos e lados. Conhecendo os valores de alguns deles, você pode calcular outros. Para isso, são utilizadas fórmulas baseadas, por sua vez, nos axiomas e teoremas da geometria.

Dados de referência para tangente (tg x) e cotangente (ctg x). Definição geométrica, propriedades, gráficos, fórmulas. Tabela de tangentes e cotangentes, derivadas, integrais, expansões em série. Expressões através de variáveis ​​complexas. Conexão com funções hiperbólicas.

definição geométrica

|BD| - o comprimento do arco de um círculo centrado no ponto A.
α é o ângulo expresso em radianos.

Tangente ( tgα) é uma função trigonométrica dependente do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão entre o comprimento do cateto oposto |BC| ao comprimento da perna adjacente |AB| .

Cotangente ( ctgα) é uma função trigonométrica dependente do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão entre o comprimento do cateto adjacente |AB| ao comprimento da perna oposta |BC| .

Tangente

Onde n- todo.

Na literatura ocidental, a tangente é denotada da seguinte forma:
.
;
;
.

Gráfico da função tangente, y = tg x

Co-tangente

Onde n- todo.

Na literatura ocidental, a cotangente é denotada da seguinte forma:
.
A seguinte notação também foi adotada:
;
;
.

Gráfico da função cotangente, y = ctg x

Propriedades da tangente e cotangente

Periodicidade

Funções y= tg x e y= ctg x são periódicos de período π.

Paridade

As funções tangente e cotangente são ímpares.

Domínios de definição e valores, ascendentes, descendentes

As funções tangente e cotangente são contínuas em seu domínio de definição (veja a prova de continuidade). As principais propriedades da tangente e cotangente são apresentadas na tabela ( n- inteiro).

	y= tg x	y= ctg x
Escopo e continuidade
Faixa de valores	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Ascendente		-
descendente	-
Extremos	-	-
Zeros, y = 0
Pontos de interseção com o eixo y, x = 0	y= 0	-

Fórmulas

Expressões em termos de seno e cosseno

; ;
; ;
;

Fórmulas para tangente e cotangente de soma e diferença

O resto das fórmulas são fáceis de obter, por exemplo

Produto de tangentes

A fórmula para a soma e diferença de tangentes

Esta tabela mostra os valores de tangentes e cotangentes para alguns valores do argumento.

Expressões em termos de números complexos

Expressões em termos de funções hiperbólicas

;
;

Derivativos

; .

.
Derivada de enésima ordem em relação à variável x da função:
.
Derivação de fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > >

Integrais

Expansões em série

Para obter a expansão da tangente em potências de x, você precisa obter vários termos da expansão em uma série de potências para as funções pecado x E cos x e divida esses polinômios entre si , . Isso resulta nas seguintes fórmulas.

No .

no .
Onde B n- Números de Bernoulli. Eles são determinados a partir da relação de recorrência:
;
;
Onde .
Ou de acordo com a fórmula de Laplace:

funções inversas

funções inversas a tangente e cotangente são arcotangente e arcotangente, respectivamente.

Arcotangente, arco

, Onde n- todo.

Arco tangente, arcctg

, Onde n- todo.

Referências:
EM. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.
G. Korn, Manual de Matemática para Pesquisadores e Engenheiros, 2012.

O seno é uma das funções trigonométricas básicas, cuja aplicação não se limita apenas à geometria. Tabelas para calcular funções trigonométricas, como calculadoras de engenharia, nem sempre estão disponíveis, e o cálculo do seno às vezes é necessário para resolver vários problemas. Em geral, o cálculo do seno ajudará a consolidar as habilidades de desenho e o conhecimento das identidades trigonométricas.

Jogos de régua e lápis

Uma tarefa simples: como encontrar o seno de um ângulo desenhado no papel? Para resolver, você precisa de uma régua comum, um triângulo (ou compasso) e um lápis. A maneira mais simples de calcular o seno de um ângulo é dividindo a extremidade oposta de um triângulo com um ângulo reto pelo lado maior - a hipotenusa. Assim, primeiro você precisa completar o ângulo agudo para a figura de um triângulo retângulo desenhando uma linha perpendicular a um dos raios a uma distância arbitrária do vértice do ângulo. Será necessário observar um ângulo de exatamente 90 °, para o qual precisamos de um triângulo clerical.

Usar uma bússola é um pouco mais preciso, mas levará mais tempo. Em um dos raios, você precisa marcar 2 pontos a uma certa distância, definir um raio na bússola aproximadamente igual à distância entre os pontos e desenhar semicírculos com centros nesses pontos até que essas linhas se cruzem. Ao conectar os pontos de interseção de nossos círculos entre si, obteremos uma perpendicular estrita ao raio de nosso ângulo, resta apenas estender a linha até que ela se cruze com outro raio.

No triângulo resultante, você precisa medir o lado oposto ao canto e o lado comprido de um dos raios com uma régua. A razão da primeira medição para a segunda será o valor desejado do seno do ângulo agudo.

Encontre o seno para um ângulo maior que 90°

Para um ângulo obtuso, a tarefa não é muito mais difícil. É necessário traçar um raio do vértice na direção oposta usando uma régua para formar uma linha reta com um dos raios do ângulo que nos interessa. Com o ângulo agudo resultante, deve-se proceder conforme descrito acima, os senos dos ângulos adjacentes, formando juntos um ângulo desenvolvido de 180°, são iguais.

Calculando o seno de outras funções trigonométricas

Além disso, o cálculo do seno é possível se os valores de outras funções trigonométricas do ângulo ou pelo menos o comprimento dos lados do triângulo forem conhecidos. Identidades trigonométricas nos ajudarão com isso. Vejamos exemplos comuns.

Como encontrar o seno com um cosseno conhecido de um ângulo? A primeira identidade trigonométrica, proveniente do teorema de Pitágoras, diz que a soma dos quadrados do seno e do cosseno do mesmo ângulo é igual a um.

Como encontrar o seno com uma tangente conhecida de um ângulo? A tangente é obtida dividindo a perna mais distante pela próxima ou dividindo o seno pelo cosseno. Assim, o seno será o produto do cosseno pela tangente, e o quadrado do seno será o quadrado desse produto. Substituímos o cosseno ao quadrado pela diferença entre a unidade e o seno ao quadrado de acordo com a primeira identidade trigonométrica e, através de manipulações simples, trazemos a equação para calcular o seno ao quadrado pela tangente, respectivamente, para calcular o seno, você terá que extrair a raiz do resultado obtido.

Como encontrar o seno com uma cotangente conhecida de um ângulo? O valor da cotangente pode ser calculado dividindo o comprimento do próximo do ângulo da perna pelo comprimento do distante, e também dividindo o cosseno pelo seno, ou seja, a cotangente é a função inversa da tangente com em relação ao número 1. Para calcular o seno, você pode calcular a tangente usando a fórmula tg α \u003d 1 / ctg α e usar a fórmula na segunda opção. Você também pode derivar uma fórmula direta por analogia com a tangente, que ficará assim.

Como encontrar o seno dos três lados de um triângulo

Existe uma fórmula para encontrar o comprimento do lado desconhecido de qualquer triângulo, não apenas um triângulo retângulo, dados dois lados conhecidos usando a função trigonométrica do cosseno do ângulo oposto. Ela se parece com isso.

Bem, o seno pode ser calculado a partir do cosseno de acordo com as fórmulas acima.

Os conceitos de seno, cosseno, tangente e cotangente são as principais categorias da trigonometria - um ramo da matemática, e estão inextricavelmente ligados à definição de um ângulo. A posse desta ciência matemática requer memorização e compreensão de fórmulas e teoremas, bem como pensamento espacial desenvolvido. É por isso que os cálculos trigonométricos costumam causar dificuldades para alunos e alunos. Para superá-los, você deve se familiarizar mais com as funções e fórmulas trigonométricas.

Conceitos de trigonometria

Para entender os conceitos básicos de trigonometria, você deve primeiro decidir o que são um triângulo retângulo e um ângulo em um círculo e por que todos os cálculos trigonométricos básicos estão associados a eles. Um triângulo em que um dos ângulos é de 90 graus é um triângulo retângulo. Historicamente, essa figura era frequentemente usada por pessoas na arquitetura, navegação, arte, astronomia. Assim, estudando e analisando as propriedades dessa figura, as pessoas chegaram ao cálculo das proporções correspondentes de seus parâmetros.

As principais categorias associadas aos triângulos retângulos são a hipotenusa e os catetos. A hipotenusa é o lado de um triângulo oposto ao ângulo reto. As pernas, respectivamente, são os outros dois lados. A soma dos ângulos de qualquer triângulo é sempre 180 graus.

A trigonometria esférica é uma seção da trigonometria que não é estudada na escola, mas em ciências aplicadas, como astronomia e geodésia, os cientistas a usam. Uma característica de um triângulo na trigonometria esférica é que ele sempre tem uma soma de ângulos maior que 180 graus.

Ângulos de um triângulo

Em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo desejado e a hipotenusa do triângulo. Assim, o cosseno é a razão entre a perna adjacente e a hipotenusa. Ambos os valores sempre têm um valor menor que um, pois a hipotenusa é sempre maior que a perna.

A tangente de um ângulo é um valor igual à razão entre o lado oposto e o lado adjacente do ângulo desejado, ou seno para cosseno. A cotangente, por sua vez, é a razão entre a perna adjacente do ângulo desejado e o cacteto oposto. A cotangente de um ângulo também pode ser obtida dividindo a unidade pelo valor da tangente.

círculo unitário

Um círculo unitário em geometria é um círculo cujo raio é igual a um. Tal círculo é construído no sistema de coordenadas cartesianas, com o centro do círculo coincidindo com o ponto de origem, e a posição inicial do vetor raio é determinada pelo sentido positivo do eixo X (eixo das abcissas). Cada ponto do círculo tem duas coordenadas: XX e YY, ou seja, as coordenadas da abscissa e da ordenada. Selecionando qualquer ponto do círculo no plano XX e deixando cair a perpendicular dele para o eixo das abcissas, obtemos um triângulo retângulo formado por um raio para o ponto selecionado (denotemo-lo pela letra C), uma perpendicular desenhada para o eixo X (o ponto de interseção é indicado pela letra G) e um segmento do eixo das abcissas entre a origem (o ponto é indicado pela letra A) e o ponto de interseção G. O triângulo resultante ACG é um triângulo retângulo inscrito em um círculo, onde AG é a hipotenusa e AC e GC são os catetos. O ângulo entre o raio do círculo AC e o segmento do eixo das abcissas com a designação AG, definimos como α (alfa). Portanto, cos α = AG/AC. Dado que AC é o raio do círculo unitário e é igual a um, verifica-se que cos α=AG. Da mesma forma, sen α=CG.

Além disso, conhecendo esses dados, você pode determinar a coordenada do ponto C no círculo, pois cos α \u003d AG e sin α \u003d CG, o que significa que o ponto C tem coordenadas dadas(cos α;sin α). Sabendo que a tangente é igual à razão do seno para o cosseno, podemos determinar que tg α \u003d y / x e ctg α \u003d x / y. Considerando ângulos em um sistema de coordenadas negativas, pode-se calcular que os valores de seno e cosseno de alguns ângulos podem ser negativos.

Cálculos e fórmulas básicas

Valores de funções trigonométricas

Tendo considerado a essência das funções trigonométricas por meio do círculo unitário, podemos derivar os valores dessas funções para alguns ângulos. Os valores estão listados na tabela abaixo.

As identidades trigonométricas mais simples

As equações nas quais existe um valor desconhecido sob o sinal da função trigonométrica são chamadas trigonométricas. Identidades com o valor sen x = α, k é qualquer número inteiro:

1. sen x = 0, x = πk.
2. 2. sen x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sen x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sen x = a, |a| > 1, sem soluções.
5. sen x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arco sen α + πk.

Identidades com o valor cos x = a, onde k é qualquer número inteiro:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, sem soluções.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identidades com o valor tg x = a, onde k é qualquer número inteiro:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identidades com valor ctg x = a, onde k é qualquer número inteiro:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Fórmulas de elenco

Esta categoria de fórmulas constantes denota métodos pelos quais você pode ir de funções trigonométricas da forma para funções do argumento, ou seja, converter o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de qualquer valor para os indicadores correspondentes do ângulo de o intervalo de 0 a 90 graus para maior comodidade de cálculos.

As fórmulas para reduzir funções para o seno de um ângulo são assim:

• sen(900 - α) = α;
• sen(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sen(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sen(3600 + α) = sen α.

Para o cosseno de um ângulo:

• cos(900 - α) = sen α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sen α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

O uso das fórmulas acima é possível sujeito a duas regras. Primeiro, se o ângulo puder ser representado como um valor (π/2 ± a) ou (3π/2 ± a), o valor da função muda:

• do pecado ao cos;
• do cos ao pecado;
• de tg para ctg;
• de ctg para tg.

O valor da função permanece inalterado se o ângulo puder ser representado como (π ± a) ou (2π ± a).

Em segundo lugar, o sinal da função reduzida não muda: se inicialmente era positivo, permanece assim. O mesmo vale para funções negativas.

Fórmulas de adição

Essas fórmulas expressam os valores do seno, cosseno, tangente e cotangente da soma e diferença de dois ângulos de rotação em termos de suas funções trigonométricas. Ângulos são geralmente denotados como α e β.

As fórmulas ficam assim:

1. sen(α ± β) = sen α * cos β ± cos α * sen.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sen α * sen.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Estas fórmulas são válidas para quaisquer ângulos α e β.

Fórmulas de ângulo duplo e triplo

As fórmulas trigonométricas de um ângulo duplo e triplo são fórmulas que relacionam as funções dos ângulos 2α e 3α, respectivamente, com as funções trigonométricas do ângulo α. Derivado de fórmulas de adição:

1. sin2α = 2senα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Transição de soma para produto

Considerando que 2senx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), simplificando esta fórmula, obtemos a identidade sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Da mesma forma, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Transição do produto para a soma

Estas fórmulas decorrem das identidades para a transição da soma para o produto:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Fórmulas de Redução

Nessas identidades, as potências quadradas e cúbicas do seno e cosseno podem ser expressas em termos do seno e cosseno da primeira potência de um ângulo múltiplo:

• sen^2α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Substituição universal

As fórmulas de substituição trigonométrica universal expressam funções trigonométricas em termos da tangente de um meio ângulo.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), enquanto x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), onde x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), onde x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), enquanto x \u003d π + 2πn.

Casos especiais

Casos particulares das equações trigonométricas mais simples são dados abaixo (k é qualquer número inteiro).

Privado para seno:

valor do pecado x	valor x
0	pacote
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk ou 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk ou -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk ou 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk ou -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk ou 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk ou -2π/3 + 2πk

Quocientes de cosseno:

cos x valor	valor x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privado para tangente:

tg x valor	valor x
0	pacote
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Quocientes cotangentes:

valor ctg x	valor x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

teoremas

teorema do seno

Existem duas versões do teorema - simples e estendida. Teorema do seno simples: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Nesse caso, a, b, c são os lados do triângulo e α, β, γ são os ângulos opostos, respectivamente.

Teorema do seno estendido para um triângulo arbitrário: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Nesta identidade, R denota o raio do círculo no qual o triângulo dado está inscrito.

teorema do cosseno

A identidade é exibida desta forma: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Na fórmula, a, b, c são os lados do triângulo e α é o ângulo oposto ao lado a.

teorema da tangente

A fórmula expressa a relação entre as tangentes de dois ângulos e o comprimento dos lados opostos a eles. Os lados são rotulados como a, b, c, e os ângulos opostos correspondentes são α, β, γ. A fórmula do teorema da tangente: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

teorema cotangente

Associa o raio de um círculo inscrito em um triângulo com o comprimento de seus lados. Se a, b, c são os lados de um triângulo e A, B, C, respectivamente, são seus ângulos opostos, r é o raio do círculo inscrito e p é o meio-perímetro do triângulo, as seguintes identidades segurar:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Formulários

Trigonometria não é apenas ciência teórica associada a fórmulas matemáticas. Suas propriedades, teoremas e regras são utilizadas na prática por diversas indústrias atividade humana– astronomia, navegação aérea e marítima, teoria musical, geodésia, química, acústica, ótica, eletrônica, arquitetura, economia, engenharia mecânica, obras de medição, computação gráfica, cartografia, oceanografia e muitos outros.

Seno, cosseno, tangente e cotangente são os conceitos básicos da trigonometria, com os quais você pode expressar matematicamente a relação entre os ângulos e os comprimentos dos lados de um triângulo e encontrar as quantidades desejadas por meio de identidades, teoremas e regras.

Qual é o seno, cosseno, tangente, cotangente de um ângulo ajudará você a entender um triângulo retângulo.

Como são chamados os lados de um triângulo retângulo? Isso mesmo, a hipotenusa e os catetos: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto (no nosso exemplo, esse é o lado \ (AC \) ); as pernas são os dois lados restantes \ (AB \) e \ (BC \) (aqueles que são adjacentes ao ângulo reto), além disso, se considerarmos as pernas em relação ao ângulo \ (BC \) , então a perna \ (AB \) é a perna adjacente, e a perna \ (BC \) é oposta. Então, agora vamos responder à pergunta: o que são seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo?

Seno de um ângulo- esta é a proporção da perna oposta (distante) para a hipotenusa.

No nosso triângulo:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosseno de um ângulo- esta é a proporção da perna adjacente (próxima) para a hipotenusa.

No nosso triângulo:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Ângulo tangente- esta é a proporção da perna oposta (distante) para a adjacente (próxima).

No nosso triângulo:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangente de um ângulo- esta é a proporção da perna adjacente (próxima) para a oposta (longe).

No nosso triângulo:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Essas definições são necessárias lembrar! Para facilitar a lembrança de qual perna dividir por quê, você precisa entender claramente que em tangente E co-tangente apenas as pernas se sentam, e a hipotenusa aparece apenas em seio E cosseno. E então você pode criar uma cadeia de associações. Por exemplo, este:

cosseno→toque→toque→adjacente;

Cotangente→toque→toque→adjacente.

Em primeiro lugar, é necessário lembrar que o seno, cosseno, tangente e cotangente como razões dos lados de um triângulo não dependem dos comprimentos desses lados (em um ângulo). Não acredite? Então certifique-se olhando a foto:

Considere, por exemplo, o cosseno do ângulo \(\beta \) . Por definição, de um triângulo \(ABC \): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), mas podemos calcular o cosseno do ângulo \(\beta \) do triângulo \(AHI \): \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Veja, os comprimentos dos lados são diferentes, mas o valor do cosseno de um ângulo é o mesmo. Assim, os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente dependem apenas da magnitude do ângulo.

Se você entender as definições, vá em frente e corrija-as!

Para o triângulo \(ABC \) , mostrado na figura abaixo, encontramos \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Bem, você entendeu? Então tente você mesmo: calcule o mesmo para o ângulo \(\beta \) .

Respostas: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Círculo unitário (trigonométrico)

Compreendendo os conceitos de grau e radiano, consideramos um círculo com raio igual a \ (1 \) . Tal círculo é chamado solteiro. É muito útil no estudo da trigonometria. Portanto, nos debruçamos sobre isso com um pouco mais de detalhes.

Como você pode ver, este círculo é construído no sistema de coordenadas cartesianas. O raio do círculo é igual a um, enquanto o centro do círculo está na origem, a posição inicial do vetor raio é fixada ao longo da direção positiva do eixo \(x \) (no nosso exemplo, este é o raio \(AB \) ).

Cada ponto no círculo corresponde a dois números: a coordenada ao longo do eixo \(x \) e a coordenada ao longo do eixo \(y \) . Quais são esses números de coordenadas? E, em geral, o que eles têm a ver com o assunto em questão? Para fazer isso, lembre-se do triângulo retângulo considerado. Na figura acima, você pode ver dois triângulos retângulos inteiros. Considere o triângulo \(ACG \) . É retangular porque \(CG \) é perpendicular ao eixo \(x \).

O que é \(\cos \ \alpha \) do triângulo \(ACG \) ? Isso mesmo \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Além disso, sabemos que \(AC \) é o raio do círculo unitário, logo \(AC=1 \) . Substitua esse valor em nossa fórmula de cosseno. Aqui está o que acontece:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

E o que é \(\sin \ \alpha \) do triângulo \(ACG \) ? Bem, claro, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Substitua o valor do raio \ (AC \) nesta fórmula e obtenha:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Então, você pode me dizer quais são as coordenadas do ponto \(C \) , que pertence ao círculo? Bem, de jeito nenhum? Mas e se você perceber que \(\cos \ \alpha \) e \(\sin \alpha \) são apenas números? A que coordenada \(\cos \alpha \) corresponde? Bem, é claro, a coordenada \(x \) ! E a que coordenada \(\sin \alpha \) corresponde? Isso mesmo, a coordenada \(y\)! Então o ponto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

O que são então \(tg \alpha \) e \(ctg \alpha \) ? Isso mesmo, vamos usar as definições apropriadas de tangente e cotangente e obter isso \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

E se o ângulo for maior? Aqui, por exemplo, como nesta foto:

O que mudou em este exemplo? Vamos descobrir. Para fazer isso, nos voltamos novamente para um triângulo retângulo. Considere um triângulo retângulo \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : um ângulo (como adjacente ao ângulo \(\beta \) ). Qual é o valor do seno, cosseno, tangente e cotangente para um ângulo \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? É isso mesmo, aderimos às definições correspondentes de funções trigonométricas:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ângulo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ângulo ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\ângulo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Bem, como você pode ver, o valor do seno do ângulo ainda corresponde à coordenada \ (y \) ; o valor do cosseno do ângulo - a coordenada \ (x \) ; e os valores de tangente e cotangente às proporções correspondentes. Assim, essas relações são aplicáveis ​​a quaisquer rotações do vetor raio.

Já foi mencionado que a posição inicial do vetor raio está no sentido positivo do eixo \(x\). Até agora, giramos esse vetor no sentido anti-horário, mas o que acontece se o girarmos no sentido horário? Nada de extraordinário, você também obterá um ângulo de um determinado tamanho, mas apenas negativo. Assim, ao girar o vetor raio no sentido anti-horário, obtemos ângulos positivos, e ao girar no sentido horário - negativo.

Então, sabemos que toda a revolução do vetor raio ao redor do círculo é \(360()^\circ \) ou \(2\pi \) . É possível rotacionar o vetor raio por \(390()^\circ \) ou por \(-1140()^\circ \) ? Bem, claro que pode! No primeiro caso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), então o vetor raio fará uma rotação completa e parará em \(30()^\circ \) ou \(\dfrac(\pi )(6) \) .

No segundo caso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ou seja, o vetor raio fará três voltas completas e parará na posição \(-60()^\circ \) ou \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Assim, a partir dos exemplos acima, podemos concluir que os ângulos que diferem por \(360()^\circ \cdot m \) ou \(2\pi \cdot m \) (onde \(m \) é qualquer inteiro ) correspondem à mesma posição do vetor raio.

A figura abaixo mostra o ângulo \(\beta =-60()^\circ \) . A mesma imagem corresponde ao canto \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Esta lista pode ser continuada indefinidamente. Todos esses ângulos podem ser escritos com a fórmula geral \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ou \(\beta +2\pi \cdot m \) (onde \(m \) é qualquer número inteiro)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Agora, conhecendo as definições das funções trigonométricas básicas e usando o círculo unitário, tente responder a que valores são iguais:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\texto(tg)\ 180()^\circ =\texto(tg)\ \pi =?\\\texto(ctg)\ 180()^\circ =\texto(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Aqui está um círculo de unidade para ajudá-lo:

Alguma dificuldade? Então vamos descobrir. Então sabemos que:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

A partir daqui, determinamos as coordenadas dos pontos correspondentes a certas medidas do ângulo. Bem, vamos começar em ordem: o canto em \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corresponde a um ponto com coordenadas \(\left(0;1 \right) \) , portanto:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- não existe;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Além disso, seguindo a mesma lógica, descobrimos que os cantos em \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) correspondem a pontos com coordenadas \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \à direita) \), respectivamente. Sabendo disso, fica fácil determinar os valores das funções trigonométricas nos pontos correspondentes. Tente você mesmo primeiro, depois verifique as respostas.

Respostas:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- não existe

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- não existe

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- não existe

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- não existe

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Assim, podemos fazer a seguinte tabela:

Não há necessidade de lembrar todos esses valores. Basta lembrar a correspondência entre as coordenadas dos pontos no círculo unitário e os valores das funções trigonométricas:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Precisa lembrar ou ser capaz de produzir!! \) !}

E aqui estão os valores das funções trigonométricas dos ângulos em e \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) dados na tabela abaixo, você deve se lembrar:

Não precisa se assustar, agora vamos mostrar um dos exemplos de memorização bastante simples dos valores correspondentes:

Para usar este método, é vital lembrar os valores dos senos \u200b\u200bpara todas as três medidas de ângulo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), bem como o valor da tangente do ângulo em \(30()^\circ \) . Conhecendo esses valores \(4\), é bastante fácil restaurar toda a tabela - os valores do cosseno são transferidos de acordo com as setas, ou seja:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sabendo disso, é possível restaurar os valores para \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). O numerador “\(1 \) ” corresponderá a \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , e o denominador “\(\sqrt(\text(3)) \) ” corresponderá a \ (\text(tg)\ 60()^\circ \ \) . Os valores cotangentes são transferidos de acordo com as setas mostradas na figura. Se você entender isso e se lembrar do esquema com setas, será suficiente lembrar apenas \(4 \) valores da tabela.

Coordenadas de um ponto em um círculo

É possível encontrar um ponto (suas coordenadas) em um círculo, conhecendo as coordenadas do centro do círculo, seu raio e ângulo de rotação? Bem, claro que pode! Vamos derivar uma fórmula geral para encontrar as coordenadas de um ponto. Aqui, por exemplo, temos esse círculo:

nos é dado esse ponto \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)é o centro do círculo. O raio do círculo é \(1,5 \) . É necessário encontrar as coordenadas do ponto \(P \) obtidas pela rotação do ponto \(O \) em \(\delta \) graus.

Como pode ser visto na figura, a coordenada \ (x \) do ponto \ (P \) corresponde ao comprimento do segmento \ (TP=UQ=UK+KQ \) . O comprimento do segmento \ (UK \) corresponde à coordenada \ (x \) do centro do círculo, ou seja, é igual a \ (3 \) . O comprimento do segmento \(KQ \) pode ser expresso usando a definição de cosseno:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Então temos que para o ponto \(P\) a coordenada \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Pela mesma lógica, encontramos o valor da coordenada y para o ponto \(P\) . Por isso,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Então em visão geral as coordenadas dos pontos são determinadas pelas fórmulas:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Onde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordenadas do centro do círculo,

\(r\) - raio do círculo,

\(\delta \) - ângulo de rotação do raio vetorial.

Como você pode ver, para o círculo unitário que estamos considerando, essas fórmulas são significativamente reduzidas, pois as coordenadas do centro são zero e o raio é igual a um:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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