Uma pirâmide triangular cujas arestas são iguais. As principais propriedades da pirâmide correta

Aqui são coletadas informações básicas sobre as pirâmides e fórmulas e conceitos relacionados. Todos eles são estudados com um tutor em matemática em preparação para o exame.

Considere um plano, um polígono deitado nele e um ponto S que não está nele. Conecte S a todos os vértices do polígono. O poliedro resultante é chamado de pirâmide. Os segmentos são chamados de arestas laterais. O polígono é chamado de base e o ponto S é chamado de topo da pirâmide. Dependendo do número n, a pirâmide é chamada de triangular (n=3), quadrangular (n=4), pentagonal (n=5) e assim por diante. Nome alternativo para a pirâmide triangular - tetraedro. A altura de uma pirâmide é a perpendicular traçada de seu vértice até o plano da base.

Uma pirâmide é dita correta se polígono regular, e a base da altura da pirâmide (a base da perpendicular) é o seu centro.

comentário do tutor:
Não confunda o conceito de "pirâmide regular" e "tetraedro regular". Na pirâmide direita costelas laterais não são necessariamente iguais às arestas da base, mas em um tetraedro regular todas as 6 arestas das arestas são iguais. Esta é a definição dele. É fácil provar que a igualdade implica que o centro P do polígono com uma base de altura, então um tetraedro regular é uma pirâmide regular.

O que é um apótema?
O apótema de uma pirâmide é a altura de sua face lateral. Se a pirâmide é regular, então todos os seus apótemas são iguais. O contrário não é verdade.

Tutor de matemática sobre sua terminologia: o trabalho com pirâmides é 80% construído através de dois tipos de triângulos:
1) Contendo o apótema SK e a altura SP
2) Contendo a borda lateral SA e sua projeção PA

Para simplificar as referências a esses triângulos, é mais conveniente para um professor de matemática nomear o primeiro deles apotêmico, e em segundo lugar costal. Infelizmente, você não encontrará essa terminologia em nenhum dos livros didáticos, e o professor deve apresentá-la unilateralmente.

Fórmula do volume da pirâmide:
1) , onde é a área da base da pirâmide e é a altura da pirâmide
2), onde é o raio da esfera inscrita e é a área total da superfície da pirâmide.
3) , onde MN é a distância de quaisquer duas arestas que se cruzam e é a área do paralelogramo formado pelos pontos médios das quatro arestas restantes.

Propriedade da Base da Altura da Pirâmide:

O ponto P (ver figura) coincide com o centro do círculo inscrito na base da pirâmide se uma das seguintes condições for atendida:
1) Todos os apótemas são iguais
2) Todas as faces laterais são igualmente inclinadas em direção à base
3) Todos os apótemas são igualmente inclinados em relação à altura da pirâmide
4) A altura da pirâmide é igualmente inclinada para todas as faces laterais

Comentário do professor de matemática: observe que todos os pontos são unidos por uma propriedade comum: de uma forma ou de outra, as faces laterais participam de todos os lugares (os apótemas são seus elementos). Portanto, o tutor pode oferecer uma formulação menos precisa, mas mais conveniente para a memorização: o ponto P coincide com o centro do círculo inscrito, a base da pirâmide, se houver alguma informação igual sobre suas faces laterais. Para prová-lo, basta mostrar que todos os triângulos apotêmicos são iguais.

O ponto P coincide com o centro do círculo circunscrito próximo à base da pirâmide, se uma das três condições for verdadeira:
1) Todas as arestas laterais são iguais
2) Todas as nervuras laterais são igualmente inclinadas em direção à base
3) Todas as nervuras laterais são igualmente inclinadas em relação à altura

• apótema- a altura da face lateral de uma pirâmide regular, que é desenhada de seu topo (além disso, o apótema é o comprimento da perpendicular, que é abaixada do meio de um polígono regular até 1 de seus lados);
• rostos laterais (ASB, BSC, CSD, DSA) - triângulos que convergem no topo;
• costelas laterais ( COMO , BS , CS , DS ) - lados comuns das faces laterais;
• topo da pirâmide (v. S) - um ponto que conecta as arestas laterais e que não se encontra no plano da base;
• altura ( ENTÃO ) - um segmento da perpendicular, que é traçado do topo da pirâmide até o plano de sua base (as extremidades desse segmento serão o topo da pirâmide e a base da perpendicular);
• seção diagonal de uma pirâmide- seção da pirâmide, que passa pelo topo e pela diagonal da base;
• base (ABCD) é um polígono ao qual o topo da pirâmide não pertence.

propriedades da pirâmide.

1. Quando todas as bordas laterais tiverem o mesmo tamanho, então:

• perto da base da pirâmide é fácil descrever um círculo, enquanto o topo da pirâmide será projetado no centro desse círculo;
• as nervuras laterais formam ângulos iguais com o plano base;
• além disso, o inverso também é verdadeiro, ou seja, quando as arestas laterais formam ângulos iguais com o plano base, ou quando um círculo pode ser descrito perto da base da pirâmide e o topo da pirâmide será projetado no centro desse círculo, então todas as arestas laterais da pirâmide têm o mesmo tamanho.

2. Quando as faces laterais tiverem um ângulo de inclinação em relação ao plano da base de mesmo valor, então:

• perto da base da pirâmide, é fácil descrever um círculo, enquanto o topo da pirâmide será projetado no centro desse círculo;
• as alturas das faces laterais são comprimento igual;
• a área da superfície lateral é ½ do produto do perímetro da base e a altura da face lateral.

3. Uma esfera pode ser descrita perto da pirâmide se a base da pirâmide for um polígono ao redor do qual um círculo pode ser descrito (uma condição necessária e suficiente). O centro da esfera será o ponto de interseção dos planos que passam pelos pontos médios das arestas da pirâmide perpendiculares a eles. A partir deste teorema, concluímos que uma esfera pode ser descrita tanto em torno de qualquer triângulo quanto em torno de qualquer pirâmide regular.

4. Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide se os planos bissetores dos ângulos diedros internos da pirâmide se interceptarem no 1º ponto (uma condição necessária e suficiente). Este ponto se tornará o centro da esfera.

A pirâmide mais simples.

De acordo com o número de cantos da base da pirâmide, eles são divididos em triangulares, quadrangulares e assim por diante.

A pirâmide vai triangular, quadrangular, e assim por diante, quando a base da pirâmide é um triângulo, um quadrilátero e assim por diante. Uma pirâmide triangular é um tetraedro - um tetraedro. Quadrangular - pentaedro e assim por diante.

Vídeo aula 2: Desafio da pirâmide. Volume da Pirâmide

Vídeo aula 3: Desafio da pirâmide. pirâmide correta

Palestra: Pirâmide, sua base, bordas laterais, altura, superfície lateral; pirâmide triangular; pirâmide direita

Pirâmide- Este é um corpo tridimensional que tem um polígono na base e todas as suas faces consistem em triângulos.

Um caso especial de pirâmide é um cone, na base do qual está um círculo.

Considere os principais elementos da pirâmide:

Apótemaé um segmento que conecta o topo da pirâmide com o meio da borda inferior da face lateral. Em outras palavras, esta é a altura da face da pirâmide.

Na figura você pode ver os triângulos ADS, ABS, BCS, CDS. Se você olhar atentamente para os nomes, verá que cada triângulo tem uma letra comum em seu nome - S. Ou seja, isso significa que todas as faces laterais (triângulos) convergem em um ponto, que é chamado de topo da pirâmide.

O segmento OS, que conecta o vértice com o ponto de interseção das diagonais da base (no caso dos triângulos, no ponto de interseção das alturas), é chamado altura da pirâmide.

Uma seção diagonal é um plano que passa pelo topo da pirâmide, bem como uma das diagonais da base.

Como a superfície lateral da pirâmide consiste em triângulos, para encontrar a área total da superfície lateral, é necessário encontrar as áreas de cada face e somá-las. O número e a forma das faces dependem da forma e do tamanho dos lados do polígono que fica na base.

O único plano em uma pirâmide que não tem um vértice é chamado base pirâmides.

Na figura, vemos que a base é um paralelogramo, porém, pode haver qualquer polígono arbitrário.

Propriedades:

Considere o primeiro caso de uma pirâmide, na qual ela possui arestas do mesmo comprimento:

• Um círculo pode ser descrito em torno da base de tal pirâmide. Se você projetar o topo de tal pirâmide, sua projeção estará localizada no centro do círculo.
• Os ângulos na base da pirâmide são os mesmos para cada face.
• Ao mesmo tempo, uma condição suficiente para que um círculo possa ser descrito em torno da base da pirâmide, e também que todas as arestas tenham comprimentos diferentes, podem ser considerados os mesmos ângulos entre a base e cada aresta das faces .

Se você se deparar com uma pirâmide na qual os ângulos entre as faces laterais e a base são iguais, as seguintes propriedades são verdadeiras:

• Você será capaz de descrever um círculo ao redor da base da pirâmide, cujo topo é projetado exatamente para o centro.
• Se você desenhar em cada face lateral da altura até a base, elas terão o mesmo comprimento.
• Para encontrar a área da superfície lateral de tal pirâmide, basta encontrar o perímetro da base e multiplicá-lo pela metade do comprimento da altura.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Tipos de pirâmide.
• Dependendo de qual polígono está na base da pirâmide, eles podem ser triangulares, quadrangulares, etc. Se um polígono regular (com lados iguais) estiver na base da pirâmide, essa pirâmide será chamada regular.

pirâmide triangular regular

Conhecemos bem as grandes pirâmides egípcias, todos podem imaginar como são. Essa representação nos ajudará a entender as características de tal figura geométrica como uma pirâmide.

Uma pirâmide é um poliedro que consiste em um polígono plano - a base da pirâmide, um ponto que não se encontra no plano da base - o topo da pirâmide e todos os segmentos que conectam o topo aos pontos da base. Os segmentos que conectam o topo da pirâmide com os topos da base são chamados de arestas laterais. Na fig. 1 mostra a pirâmide SABCD. O quadrilátero ABCD é a base da pirâmide, o ponto S é o topo da pirâmide, os segmentos SA, SB, SC e SD são as arestas da pirâmide.

A altura da pirâmide é a perpendicular caída do topo da pirâmide até o plano da base. Na fig. 1 SO é a altura da pirâmide.

Uma pirâmide é chamada de n-gonal se sua base for um n-gon. A Figura 1 mostra uma pirâmide quadrangular. Uma pirâmide triangular é chamada de tetraedro.

Uma pirâmide é chamada regular se sua base é um polígono regular e a base da altura coincide com o centro desse polígono. As arestas laterais de uma pirâmide regular são iguais e, portanto, as faces laterais são triângulos isósceles. Em uma pirâmide regular, a altura da face lateral desenhada a partir do topo da pirâmide é chamada de apótema.

A pirâmide tem várias propriedades.

Todas as diagonais de uma pirâmide pertencem às suas faces.

Se todas as arestas laterais forem iguais, então:

• perto da base da pirâmide, um círculo pode ser descrito, e o topo da pirâmide é projetado em seu centro;
• as arestas laterais formam ângulos iguais com o plano base e, inversamente, se as arestas laterais formam ângulos iguais com o plano base, ou se um círculo pode ser descrito perto da base da pirâmide, e o topo da pirâmide é projetado em seu centro, então todas as arestas laterais da pirâmide são iguais.

Se as faces laterais estiverem inclinadas em relação ao plano base em um ângulo, então:

• um círculo pode ser inscrito na base da pirâmide e o topo da pirâmide é projetado em seu centro;
• as alturas das faces laterais são iguais;
• a área da superfície lateral é igual à metade do produto do perímetro da base e a altura da face lateral.

Considere as fórmulas para encontrar o volume, a área da superfície da pirâmide.

O volume da pirâmide pode ser calculado usando a seguinte fórmula:

onde S é a área da base e h é a altura.

Para encontrar a área total da superfície de uma pirâmide, use a fórmula:

S p \u003d S b + S o,

onde Sp é a área de superfície total, S b é a área de superfície lateral, So é a área de base.

Uma pirâmide truncada é um poliedro fechado entre a base da pirâmide e um plano de corte paralelo à sua base. As faces da pirâmide truncada, situadas em planos paralelos, são chamadas de bases da pirâmide truncada, as faces restantes são chamadas de faces laterais. As bases de uma pirâmide truncada são polígonos semelhantes, as faces laterais são trapézios. Uma pirâmide truncada que é obtida de uma pirâmide regular é chamada de pirâmide truncada regular. As faces laterais de um trapézio truncado regular são trapézios isósceles iguais, suas alturas são chamadas de apótemas.

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