O raio do círculo inscrito em uma fórmula de triângulo retângulo. Fórmulas para os raios de círculos inscritos e circunscritos de polígonos regulares

Muitas vezes, ao resolver problemas geométricos, é necessário realizar ações com figuras auxiliares. Por exemplo, encontre o raio de um círculo inscrito ou circunscrito, etc. Este artigo mostrará como encontrar o raio de um círculo que circunscreve um triângulo. Ou, em outras palavras, o raio do círculo no qual o triângulo está inscrito.

Como encontrar o raio de um círculo circunscrito a um triângulo - a fórmula geral

A fórmula geral é a seguinte: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), onde R é o raio do círculo circunscrito, p é o perímetro do triângulo dividido por 2 (meio perímetro). a, b, c são os lados do triângulo.

Encontre o raio do circumcircle do triângulo se a = 3, b = 6, c = 7.

Assim, com base na fórmula acima, calculamos o semiperímetro:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Substitua os valores na fórmula e obtenha:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Resposta: R = 126/16√5

Como encontrar o raio de um círculo circunscrito a um triângulo equilátero

Para encontrar o raio de um círculo circunscrito a um triângulo equilátero, existem fórmula simples: R = a/√3, onde a é o valor de seu lado.

Exemplo: O lado de um triângulo equilátero é 5. Encontre o raio do círculo circunscrito.

Como todos os lados de um triângulo equilátero são iguais, para resolver o problema, basta inserir seu valor na fórmula. Obtemos: R = 5/√3.

Resposta: R = 5/√3.

Como encontrar o raio de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo

A fórmula fica assim: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, onde a e b são pernas e c é a hipotenusa. Se somarmos os quadrados dos catetos de um triângulo retângulo, obtemos o quadrado da hipotenusa. Como pode ser visto na fórmula, esta expressão está sob a raiz. Ao calcular a raiz do quadrado da hipotenusa, obtemos o próprio comprimento. Multiplicar a expressão resultante por 1/2 eventualmente nos leva à expressão 1/2 × c = c/2.

Exemplo: Calcule o raio do círculo circunscrito se os catetos do triângulo forem 3 e 4. Substitua os valores na fórmula. Obtemos: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

Nesta expressão, 5 é o comprimento da hipotenusa.

Resposta: R = 2,5.

Como encontrar o raio de um círculo circunscrito a um triângulo isósceles

A fórmula fica assim: R = a² / √ (4a² - b²), onde a é o comprimento da coxa do triângulo e b é o comprimento da base.

Exemplo: Calcule o raio de um círculo se seu quadril = 7 e sua base = 8.

Solução: Substituímos esses valores na fórmula e obtemos: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. A resposta pode ser escrita diretamente assim.

Resposta: R = 49/√132

Recursos on-line para calcular o raio de um círculo

É muito fácil ficar confuso em todas essas fórmulas. Portanto, se necessário, você pode usar calculadoras online, que o ajudará a resolver problemas para encontrar o raio. O princípio de operação de tais miniprogramas é muito simples. Substitua o valor do lado no campo apropriado e obtenha uma resposta pronta. Você pode escolher várias opções para arredondar a resposta: para decimais, centésimos, milésimos, etc.

Círculo inscrito em um triângulo

Existência de um círculo inscrito em um triângulo

Lembre-se da definição bissetriz de ângulo .

Definição 1 .Bissetriz do ângulo chamada semirreta que divide um ângulo em duas partes iguais.

Teorema 1 (Propriedade básica da bissetriz do ângulo) . Cada ponto da bissetriz do ângulo está à mesma distância dos lados do ângulo (Fig. 1).

Arroz. 1

Prova D deitado na bissetriz do ânguloBAC , E DE E D.F. nas laterais do canto (Fig. 1).triângulos retângulos ADF E ADE igual porque eles têm os mesmos ângulos agudosDAF E DAE , e a hipotenusa DE ANÚNCIOS - em geral. Por isso,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Teorema 2 (teorema inverso ao Teorema 1) . Se algum , então está na bissetriz do ângulo (Fig. 2).

Arroz. 2

Prova . Considere um ponto arbitrárioD deitado dentro do cantoBAC e localizado à mesma distância dos lados do canto. Cair do pontoD perpendiculares DE E D.F. nas laterais do canto (Fig. 2).triângulos retângulos ADF E ADE igual , pois têm pernas iguaisD.F. E DE , e a hipotenusa DE ANÚNCIOS - em geral. Por isso,

Q.E.D.

Definição 2 . O círculo é chamado circunferência inscrita em um ângulo se são os lados deste ângulo.

Teorema 3 . Se um círculo está inscrito em um ângulo, então as distâncias do vértice do ângulo aos pontos de contato do círculo com os lados do ângulo são iguais.

Prova . deixe o ponto D é o centro de um círculo inscrito em um ânguloBAC , e os pontos E E F - pontos de contato do círculo com os lados do canto (Fig. 3).

Fig.3

a , b , c - lados de um triângulo
 S -quadrado,

r – raio do círculo inscrito,
 p - semiperímetro

.

Ver resultado da fórmula

a – lado lateral de um triângulo isósceles , 
 b - base, r – raio do círculo inscrito

a r – raio do círculo inscrito

Ver resultado da fórmula

,

Onde

,

então, no caso de um triângulo isósceles, quando

Nós temos

que é o que era necessário.

Teorema 7 . pela igualdade

Onde a - lado de um triângulo equiláteror – raio do círculo inscrito (Fig. 8).

Arroz. 8

Prova .

,

então, no caso de um triângulo equilátero, quando

b=a,

Nós temos

que é o que era necessário.

Comente . Recomendo derivar como exercício a fórmula para o raio de um círculo inscrito diretamente em um triângulo equilátero, ou seja, sem usar fórmulas gerais para os raios dos círculos inscritos em um triângulo arbitrário ou em um triângulo isósceles.

Teorema 8 . Para um triângulo retângulo, a igualdade

Onde a , b - pernas de um triângulo retângulo, c – hipotenusa , r – raio do círculo inscrito.

Prova . Considere a Figura 9.

Arroz. 9

Desde o quadriláteroCDOF é , que tem lados adjacentesFAZER E DE são iguais, então este retângulo é . Por isso,

CB \u003d CF \u003d r,

Em virtude do Teorema 3, as igualdades

Portanto, levando em consideração também , obtemos

que é o que era necessário.

Uma seleção de tarefas sobre o tema "Um círculo inscrito em um triângulo".

1.

Um círculo inscrito em um triângulo isósceles divide no ponto de contato um dos lados em dois segmentos, cujos comprimentos são iguais a 5 e 3, contados a partir do vértice oposto à base. Encontre o perímetro do triângulo.

2.

3

EM triângulo ABC AC=4, BC=3, o ângulo C é 90º. Encontre o raio do círculo inscrito.

4.

Os catetos de um triângulo retângulo isósceles são 2+. Encontre o raio do círculo inscrito neste triângulo.

5.

Raio de um círculo inscrito em uma isósceles triângulo retângulo, é igual a 2. Encontre a hipotenusa c deste triângulo. Escreva c(-1) em sua resposta.

Aqui estão algumas tarefas do exame com soluções.

O raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo isósceles é . Encontre a hipotenusa c deste triângulo. Por favor, indique em sua resposta.

O triângulo é retângulo e isósceles. Então suas pernas são as mesmas. Deixe cada perna ser igual. Então a hipotenusa é.

Escrevemos a área do triângulo ABC de duas maneiras:

Igualando essas expressões, obtemos que. Porque o, nós entendemos isso. Então.

Em resposta, escreva.

Responder:.

Tarefa 2.

1. Em quaisquer dois lados 10cm e 6cm (AB e BC). Encontre os raios dos círculos circunscritos e inscritos
O problema é resolvido de forma independente com comentários.

Solução:

EM.

1) Encontre:
2) Prove:e encontre CK
3) Encontre: os raios dos círculos circunscritos e inscritos

Solução:

Tarefa 6.

R o raio de um círculo inscrito em um quadrado é. Encontre o raio do círculo circunscrito a este quadrado.Dado :

Encontrar: SO=?
Solução: V este caso o problema pode ser resolvido usando o teorema de Pitágoras ou a fórmula para R. O segundo caso é mais simples, pois a fórmula para R é derivada do teorema.

Tarefa 7.

O raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo isósceles é 2. Encontre a hipotenusaCom este triângulo. Por favor indique na sua resposta.

S é a área do triângulo

Não conhecemos nem os lados do triângulo nem sua área. Vamos denotar as pernas como x, então a hipotenusa será igual a:

A área do triângulo será 0,5x 2 .

Significa

Então a hipotenusa será:

A resposta deve ser escrita:

Resposta: 4

Tarefa 8.

No triângulo ABC, AC = 4, BC = 3, ângulo Cé igual a 90 0 . Encontre o raio do círculo inscrito.

Vamos usar a fórmula para o raio de um círculo inscrito em um triângulo:

onde a, b, c são os lados do triângulo

S é a área do triângulo

Dois lados são conhecidos (são pernas), podemos calcular o terceiro (hipotenusa), também podemos calcular a área.

De acordo com o teorema de Pitágoras:

Vamos encontrar a área:

Por isso:

Resposta 1

Tarefa 9.

Os lados de um triângulo isósceles são 5, a base é 6. Encontre o raio do círculo inscrito.

Vamos usar a fórmula para o raio de um círculo inscrito em um triângulo:

onde a, b, c são os lados do triângulo

S é a área do triângulo

Todos os lados são conhecidos e a área é calculada. Podemos encontrá-lo usando a fórmula de Heron:

Então

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Um losango é um paralelogramo com todos os lados iguais. Portanto, ele herda todas as propriedades de um paralelogramo. Nomeadamente:

• As diagonais de um losango são mutuamente perpendiculares.
• As diagonais de um losango são as bissetrizes de seus ângulos internos.

Um círculo pode ser inscrito em um quadrilátero se e somente se as somas dos lados opostos forem iguais.
Portanto, um círculo pode ser inscrito em qualquer losango. O centro do círculo inscrito coincide com o centro de intersecção das diagonais do losango.
O raio de um círculo inscrito em um losango pode ser expresso de várias maneiras

1 caminho. O raio do círculo inscrito em um losango através da altura

A altura de um losango é igual ao diâmetro do círculo inscrito. Isso decorre da propriedade de um retângulo, que é formado pelo diâmetro do círculo inscrito e pela altura do losango - os lados opostos do retângulo são iguais.

Portanto, a fórmula para o raio do círculo inscrito em um losango pela altura:

2 maneiras. Raio de um círculo inscrito em um losango através das diagonais

A área de um losango pode ser expressa em termos do raio do círculo inscrito
, Onde Ré o perímetro do losango. Sabendo que o perímetro é a soma de todos os lados de um quadrilátero, temos P= 4×ha. Então
Mas a área de um losango também é metade do produto de suas diagonais
Igualando as partes certas das fórmulas de área, temos a seguinte igualdade
Como resultado, obtemos uma fórmula que nos permite calcular o raio do círculo inscrito em um losango através das diagonais

Um exemplo de cálculo do raio de um círculo inscrito em um losango se as diagonais forem conhecidas
Encontre o raio de um círculo inscrito em um losango sabendo que o comprimento das diagonais é 30 cm e 40 cm
Deixar ABCD- losango, então CA E BD suas diagonais. AC= 30 cm , BD=40 cm
deixe o ponto SOBREé o centro do inscrito no losango ABCD círculo, então será também o ponto de interseção de suas diagonais, dividindo-as ao meio.


como as diagonais do losango se cruzam em ângulos retos, então o triângulo AOB retangular. Então pelo teorema de Pitágoras
, substituímos os valores obtidos anteriormente na fórmula

AB= 25 cm
Aplicando a fórmula derivada anteriormente para o raio do círculo circunscrito a um losango, obtemos

3 vias. O raio do círculo inscrito no losango através dos segmentos m e n

Ponto F- o ponto de contato do círculo com o lado do losango, que o divide em segmentos AF E namorado. Deixar AF=m, BF=n.
Ponto O- o centro de interseção das diagonais do losango e o centro do círculo nele inscrito.
Triângulo AOB- retangular, pois as diagonais do losango se cruzam em ângulos retos.
, porque é o raio traçado para o ponto tangente do círculo. Por isso DE- a altura do triângulo AOBà hipotenusa. Então AF E namorado- projeções das pernas na hipotenusa.
A altura em um triângulo retângulo caído até a hipotenusa é a média proporcional entre as projeções dos catetos na hipotenusa.

A fórmula para o raio de um círculo inscrito em um losango através dos segmentos é igual à raiz quadrada do produto desses segmentos em que o lado do losango é dividido pelo ponto tangente do círculo

Como encontrar o raio de um círculo? Esta questão é sempre relevante para alunos que estudam planimetria. Abaixo, veremos alguns exemplos de como você pode lidar com a tarefa.

Dependendo da condição do problema, você pode encontrar o raio do círculo assim.

Fórmula 1: R \u003d L / 2π, onde L é e π é uma constante igual a 3,141 ...

Fórmula 2: R = √(S / π), onde S é a área do círculo.

Fórmula 1: R = B/2, onde B é a hipotenusa.

Fórmula 2: R \u003d M * B, onde B é a hipotenusa e M é a mediana desenhada para ela.

Como encontrar o raio de um círculo circunscrito a um polígono regular

Fórmula: R \u003d A / (2 * sin (360 / (2 * n))), onde A é o comprimento de um dos lados da figura e n é o número de lados nesta figura geométrica.

Como encontrar o raio de um círculo inscrito

Um círculo inscrito é chamado quando toca todos os lados do polígono. Vejamos alguns exemplos.

Fórmula 1: R \u003d S / (P / 2), onde - S e P são a área e o perímetro da figura, respectivamente.

Fórmula 2: R \u003d (P / 2 - A) * tg (a / 2), onde P é o perímetro, A é o comprimento de um dos lados e é o ângulo oposto a esse lado.

Como encontrar o raio de um círculo se ele está inscrito em um triângulo retângulo

Fórmula 1:

Raio de um círculo inscrito em um losango

Um círculo pode ser inscrito em qualquer losango, tanto equilátero como inequilátero.

Fórmula 1: R \u003d 2 * H, onde H é a altura da figura geométrica.

Fórmula 2: R \u003d S / (A * 2), onde S é e A é o comprimento de seu lado.

Fórmula 3: R \u003d √ ((S * sen A) / 4), onde S é a área do losango e sen A é o seno ângulo agudo esta figura geométrica.

Fórmula 4: R \u003d V * G / (√ (V² + G²), onde V e G são os comprimentos das diagonais de uma figura geométrica.

Fórmula 5: R = B * sin (A / 2), onde B é a diagonal do losango e A é o ângulo nos vértices que conectam a diagonal.

Raio de uma circunferência inscrita em um triângulo

No caso de, na condição do problema, você receber os comprimentos de todos os lados da figura, primeiro calcule (P) e depois o semiperímetro (p):

P \u003d A + B + C, onde A, B, C são os comprimentos dos lados da figura geométrica.

Fórmula 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

E se, conhecendo os mesmos três lados, você também tiver, poderá calcular o raio desejado da seguinte maneira.

Fórmula 2: R = S * 2(A + B + C)

Fórmula 3: R \u003d S / p \u003d S / (A + B + C) / 2), onde - p é o semiperímetro da figura geométrica.

Fórmula 4: R \u003d (n - A) * tg (A / 2), onde n é o meio perímetro do triângulo, A é um de seus lados e tg (A / 2) é a tangente da metade do ângulo oposto a este lado.

E a fórmula abaixo ajudará você a encontrar o raio do círculo inscrito em

Fórmula 5: R \u003d A * √3/6.

Raio de uma circunferência inscrita em um triângulo retângulo

Se o problema for dado os comprimentos das pernas, bem como a hipotenusa, então o raio do círculo inscrito é encontrado da seguinte forma.

Fórmula 1: R \u003d (A + B-C) ​​​​/ 2, onde A, B são pernas, C é a hipotenusa.

Caso você tenha apenas duas pernas, é hora de lembrar o teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa e usar a fórmula acima.

C \u003d √ (A² + B²).

Raio de um círculo inscrito em um quadrado

O círculo, que está inscrito no quadrado, divide todos os seus 4 lados exatamente ao meio nos pontos de contato.

Fórmula 1: R \u003d A / 2, onde A é o comprimento do lado do quadrado.

Fórmula 2: R \u003d S / (P / 2), onde S e P são a área e o perímetro do quadrado, respectivamente.