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O paradoxo de Monty Hall. A matemática mais imprecisa de todos os tempos

A decisão da qual, à primeira vista, é contrária ao senso comum.

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O problema é formulado como uma descrição de um jogo baseado no jogo de televisão americano "Let's Make a Deal", e leva o nome do apresentador desse programa. A formulação mais comum deste problema, publicada em 1990 na revista Revista Desfile, soa assim:

Imagine que você se tornou um participante de um jogo no qual deve escolher uma das três portas. Atrás de uma das portas está um carro, atrás das outras duas portas estão cabras. Você escolhe uma das portas, por exemplo, a número 1, depois disso o anfitrião, que sabe onde está o carro e onde estão as cabras, abre uma das portas restantes, por exemplo, a número 3, atrás da qual está uma cabra. Depois disso, ele pergunta - você gostaria de mudar sua escolha e escolher a porta número 2? Suas chances de ganhar um carro aumentarão se você aceitar a oferta do anfitrião e mudar sua escolha?

Após a publicação, ficou imediatamente claro que o problema foi formulado incorretamente: nem todas as condições foram estipuladas. Por exemplo, o facilitador pode seguir a estratégia do "Monty infernal": oferecer para mudar a escolha se e somente se o jogador escolheu um carro na primeira jogada. Obviamente, alterar a escolha inicial levará a uma perda garantida em tal situação (veja abaixo).

O mais popular é o problema com uma condição adicional - o participante do jogo conhece as seguintes regras com antecedência:

o carro tem a mesma probabilidade de ser colocado atrás de qualquer uma das três portas;
em qualquer caso, o anfitrião é obrigado a abrir a porta com a cabra (mas não a que o jogador escolheu) e oferecer ao jogador a alteração da escolha;
se o líder puder escolher qual das duas portas abrir, ele escolherá qualquer uma delas com a mesma probabilidade.

O texto a seguir discute o problema de Monty Hall nessa formulação.

Análise

Para a estratégia vencedora, é importante o seguinte: se você mudar a escolha da porta após as ações do líder, você ganha se inicialmente escolheu a porta perdedora. É provável que aconteça 2 ⁄ 3 , já que inicialmente você pode escolher uma porta perdedora de 2 maneiras de 3.

Mas muitas vezes, ao resolver esse problema, eles argumentam algo assim: o anfitrião sempre remove uma porta perdida no final, e então as probabilidades de um carro aparecer atrás de duas não abertas tornam-se iguais a ½, independentemente da escolha inicial. Mas isso não é verdade: embora existam de fato duas possibilidades de escolha, essas possibilidades (levando em conta o histórico) não são igualmente prováveis! Isso é verdade porque inicialmente todas as portas tinham chances iguais de vencer, mas depois tinham probabilidades diferentes de serem eliminadas.

Para a maioria das pessoas, essa conclusão contradiz a percepção intuitiva da situação e, devido à discrepância resultante entre a conclusão lógica e a resposta à qual a opinião intuitiva se inclina, a tarefa é chamada de Paradoxo de Monty Hall.

A situação com portas fica ainda mais óbvia se imaginarmos que não são 3 portas, mas, digamos, 1000, e após a escolha do jogador, o apresentador retira 998 extras, deixando 2 portas: a que o jogador escolheu e mais um. Parece mais óbvio que as probabilidades de encontrar um prêmio atrás dessas portas são diferentes e não iguais a ½. Se mudarmos a porta, perderemos apenas se escolhermos primeiro a porta do prêmio, cuja probabilidade é de 1:1000. Ganhamos se nossa escolha inicial foi Não correto, e a probabilidade disso é 999 em 1000. No caso de 3 portas, a lógica é preservada, mas a probabilidade de ganhar ao mudar a decisão é correspondentemente menor, ou seja 2 ⁄ 3 .

Outra maneira de raciocinar é substituir a condição por uma equivalente. Vamos imaginar que ao invés do jogador fazer a escolha inicial (que seja sempre a porta #1) e depois abrir a porta com a cabra entre as restantes (ou seja, sempre entre #2 e #3), imaginemos que o jogador precisa adivinhar a porta na primeira tentativa, mas é informado com antecedência que pode haver um carro atrás da porta nº 1 com uma probabilidade inicial (33%), e entre as portas restantes é indicado para qual das portas o carro definitivamente não está atrás (0%). Assim, a última porta sempre representará 67%, sendo preferível a estratégia de escolhê-la.

Outro comportamento do líder

versão clássica O paradoxo de Monty Hall afirma que o anfitrião definitivamente oferecerá ao jogador a troca da porta, independentemente de ele escolher o carro ou não. Mas também é possível um comportamento mais complexo do host. Esta tabela descreve brevemente vários comportamentos.

Possível Comportamento do Líder
Comportamento do host	Resultado
"Infernal Monty": O anfitrião se oferece para trocar se a porta estiver correta.	A mudança sempre dará uma cabra.
"Angelic Monty": O anfitrião se oferece para trocar se a porta estiver errada.	A mudança sempre dará um carro.
"Monty ignorante" ou "Monty Buch": o anfitrião inadvertidamente cai, a porta se abre e descobre-se que não há carro atrás dela. Ou seja, o próprio anfitrião não sabe o que está atrás das portas, abre a porta totalmente ao acaso, e só por acaso não havia carro atrás dela.	Uma mudança dá uma vitória em ½ dos casos. É assim que o programa americano “Deal or No Deal” é organizado - porém, o próprio jogador abre uma porta aleatória e, se não houver carro atrás dela, o apresentador se oferece para trocá-la.
O anfitrião escolhe uma das cabras e a abre caso o jogador tenha escolhido uma porta diferente.	Uma mudança dá uma vitória em ½ dos casos.
O anfitrião sempre abre a cabra. Se um carro for selecionado, a cabra esquerda é aberta com probabilidade p e certo com probabilidade q=1−p.	Se o líder abriu a porta da esquerda, o turno dá uma vitória com probabilidade 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Se o direito 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). No entanto, o sujeito não pode influenciar a probabilidade de que a porta certa seja aberta - independentemente de sua escolha, isso acontecerá com uma probabilidade 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
O mesmo, p=q= ½ (caso clássico).	Uma mudança dá uma vitória com uma probabilidade 2 ⁄ 3 .
O mesmo, p=1, q=0 ("Monty impotente" - o apresentador cansado fica na porta da esquerda e abre a cabra que está mais perto).	Se o apresentador abriu a porta certa, a mudança dá vitória garantida. Se for deixado - probabilidade ½.
O anfitrião sempre abre a cabra se um carro for escolhido, e com probabilidade ½ caso contrário.	A mudança dá uma vitória com uma probabilidade de ½.
Caso geral: o jogo se repete muitas vezes, a probabilidade de esconder o carro atrás de uma ou outra porta, bem como abrir esta ou aquela porta é arbitrária, mas o anfitrião sabe onde está o carro e sempre oferece uma mudança abrindo uma das as cabras.	Equilíbrio de Nash: é o paradoxo de Monty Hall em sua forma clássica que é mais benéfico para o anfitrião (a probabilidade de ganhar 2 ⁄ 3 ). O carro se esconde atrás de qualquer uma das portas com probabilidade ⅓; se houver escolha, abra qualquer cabra aleatoriamente.
O mesmo, mas o host pode não abrir a porta.	Equilíbrio de Nash: é benéfico para o anfitrião não abrir a porta, a probabilidade de ganhar é 1/3.

Veja também

Notas

Tierney, John (21 de julho de 1991), "Behind Monty Hall"s Portas: Puzzle, Debate and Resposta? ", O jornal New York Times, . Acesso em 18 de janeiro de 2008.

Em dezembro de 1963, o canal de televisão americano NBC exibiu pela primeira vez o programa Let's Make a Deal ("Vamos fazer um acordo!"), No qual os participantes, selecionados da platéia do estúdio, barganhavam entre si e com o apresentador, jogavam pequenos jogos ou apenas adivinhe a resposta para a pergunta. Ao final da transmissão, os participantes puderam jogar o “acordo do dia”. Havia três portas na frente deles, sobre as quais se sabia que atrás de uma delas estava o Grande Prêmio (por exemplo, um carro), e atrás das outras duas havia presentes menos valiosos ou completamente absurdos (por exemplo, cabras vivas) . Depois que o jogador fez sua escolha, Monty Hall, o apresentador do programa, abriu uma das duas portas restantes, mostrando que não havia Prêmio por trás dela e deixando o participante feliz por ainda ter uma chance de ganhar.

Em 1975, o cientista da UCLA Steve Selvin perguntou o que aconteceria se, naquele momento, depois de abrir a porta sem um Prêmio, o participante fosse solicitado a mudar sua escolha. As chances do jogador de ganhar o prêmio mudarão neste caso e, em caso afirmativo, em que direção? Ele enviou a pergunta correspondente na forma de um problema para The American Statistician ("American Statistician"), bem como para o próprio Monty Hall, que deu uma resposta bastante curiosa a ela. Apesar desta resposta (ou talvez por causa dela), o problema tornou-se popular sob o nome de "problema de Monty Hall".

A formulação mais comum desse problema, publicada em 1990 na revista Parade, é a seguinte:

“Imagine que você se tornou participante de um jogo no qual precisa escolher uma das três portas. Atrás de uma das portas está um carro, atrás das outras duas portas estão cabras. Você escolhe uma das portas, por exemplo, a número 1, depois disso o anfitrião, que sabe onde está o carro e onde estão as cabras, abre uma das portas restantes, por exemplo, a número 3, atrás da qual está uma cabra. Depois disso, ele pergunta se você gostaria de mudar sua escolha e escolher a porta número 2. Suas chances de ganhar o carro aumentarão se você aceitar a oferta do anfitrião e mudar sua escolha?

O mais popular é o problema com uma condição adicional - o participante do jogo conhece as seguintes regras com antecedência:

o carro tem a mesma probabilidade de ser colocado atrás de qualquer uma das 3 portas;
em qualquer caso, o anfitrião é obrigado a abrir a porta com a cabra (mas não a que o jogador escolheu) e oferecer ao jogador a alteração da escolha;
se o líder puder escolher qual das duas portas abrir, ele escolherá qualquer uma delas com a mesma probabilidade.

Dica

Tente considerar pessoas que escolheram portas diferentes no mesmo caso (ou seja, quando o Prêmio está, por exemplo, atrás da porta número 1). Quem se beneficiará com a mudança de escolha e quem não?

Solução

Conforme sugerido na dica de ferramenta, considere pessoas que fizeram escolhas diferentes. Vamos supor que o Prêmio esteja atrás da porta nº 1, e atrás das portas nº 2 e nº 3 estejam as cabras. Suponha que temos seis pessoas e cada porta foi escolhida por duas pessoas e, de cada par, uma posteriormente mudou a decisão e a outra não.

Note-se que o Anfitrião que escolher a porta nº 1 abrirá uma das duas portas a seu gosto, enquanto, independentemente disso, o Carro será recebido por aquele que não alterar a sua escolha, mas sim aquele que alterou a sua escolha inicial. ficará sem o Prêmio. Agora vamos olhar para aqueles que escolheram as portas #2 e #3. Como há um carro atrás da porta nº 1, o Anfitrião não pode abri-lo, o que não lhe deixa escolha - ele abre as portas nº 3 e nº 2 para eles, respectivamente. Ao mesmo tempo, quem mudou a decisão em cada par escolherá o Prêmio como resultado, e quem não mudou ficará sem nada. Assim, de três pessoas que mudarem de ideia, duas receberão o Prêmio e uma receberá o bode, enquanto das três que deixaram sua escolha original inalterada, apenas uma receberá o Prêmio.

Deve-se notar que se o carro estivesse atrás da porta #2 ou #3, o resultado seria o mesmo, apenas os vencedores específicos mudariam. Assim, supondo que inicialmente cada porta seja escolhida com igual probabilidade, obtemos que quem muda de escolha ganha o Prêmio duas vezes mais, ou seja, a probabilidade de ganhar nesse caso é maior.

Vamos examinar esse problema do ponto de vista da teoria matemática da probabilidade. Vamos assumir que a probabilidade da escolha inicial de cada uma das portas é a mesma, assim como a probabilidade de estar atrás de cada uma das portas do Carro. Além disso, é útil fazer uma reserva para que o Líder, quando puder abrir duas portas, escolha cada uma delas com igual probabilidade. Acontece que, após a primeira decisão, a probabilidade de o Prêmio estar atrás da porta selecionada é de 1/3, enquanto a probabilidade de estar atrás de uma das outras duas portas é de 2/3. Ao mesmo tempo, depois que o Host abriu uma das duas portas "não selecionadas", toda a probabilidade de 2/3 recai sobre apenas uma das portas restantes, criando assim a base para alterar a decisão, o que aumentará a probabilidade de vitória por 2 vezes. O que, claro, não garante de forma alguma em um caso específico, mas levará a resultados mais bem-sucedidos no caso de repetição repetida do experimento.

Posfácio

O problema de Monty Hall não é a primeira formulação conhecida deste problema. Em particular, em 1959, Martin Gardner publicou na Scientific American um problema semelhante “cerca de três prisioneiros” (problema dos três prisioneiros) com a seguinte redação: “De três prisioneiros, um deve ser perdoado e dois devem ser executados. O prisioneiro A convence o guarda a lhe dizer o nome de um dos outros dois que serão executados (se ambos forem executados), após o que, tendo recebido o nome B, ele considera que a probabilidade de sua própria salvação tornou-se não 1/3, mas 1/2. Ao mesmo tempo, o prisioneiro C afirma que a probabilidade de sua fuga tornou-se 2/3, enquanto nada mudou para A. Qual deles está certo?"

No entanto, Gardner não foi o primeiro, já que em 1889, em seu Cálculo de Probabilidades, o matemático francês Joseph Bertrand (não confundir com o inglês Bertrand Russell!) Oferece um problema semelhante (veja o paradoxo da caixa de Bertrand): “Existem três caixas, cada uma contendo duas moedas: duas de ouro na primeira, duas de prata na segunda e duas diferentes na terceira. De uma caixa selecionada aleatoriamente, uma moeda foi sorteada, que virou que é ouro. Qual é a probabilidade de que a moeda restante na caixa seja ouro?

Se você entender as soluções para todos os três problemas, será fácil perceber a semelhança de suas ideias; matematicamente, todos eles estão unidos pelo conceito de probabilidade condicional, ou seja, a probabilidade do evento A, se for conhecido que o evento B ocorreu. O exemplo mais simples: a probabilidade de sair um 1 em um dado normal é 1/6; no entanto, se o número rolado for conhecido como ímpar, a probabilidade de que seja um já é 1/3. O problema de Monty Hall, como os outros dois problemas citados, mostra que as probabilidades condicionais devem ser tratadas com cuidado.

Esses problemas também são freqüentemente chamados de paradoxos: o paradoxo de Monty Hall, o paradoxo da caixa de Bertrand (este último não deve ser confundido com o verdadeiro paradoxo de Bertrand dado no mesmo livro, que provou a ambigüidade do conceito de probabilidade que existia naquela época) - que implica alguma contradição (por exemplo, em "paradoxo do mentiroso" a frase "esta afirmação é falsa" contradiz a lei do terceiro excluído). EM este caso, no entanto, não há contradição com declarações estritas. No entanto, há uma clara contradição com opinião pública” ou simplesmente “uma solução óbvia” para o problema. De fato, a maioria das pessoas, olhando para o problema, acredita que depois de abrir uma das portas, a probabilidade de encontrar o Prêmio atrás de qualquer uma das duas restantes fechadas é de 1/2. Ao fazer isso, eles afirmam que não faz diferença se concordam ou discordam em mudar de opinião. Além disso, muitas pessoas acham difícil compreender uma resposta diferente dessa, mesmo depois de ouvirem a solução detalhada.

A resposta de Monty Hall a Steve Selwyn

Sr. Steve Selvin,
professor assistente de bioestatística,
Universidade da California, Berkeley.

Caro Steve,

Obrigado por me enviar o problema da American Statistical.

Embora não tenha estudado estatística na universidade, sei que os números sempre podem ser usados a meu favor se eu quiser manipulá-los. Seu raciocínio não leva em conta uma circunstância essencial: depois que a primeira caixa estiver vazia, o participante não poderá mais alterar sua escolha. Portanto, as probabilidades permanecem as mesmas: uma em três, certo? E, claro, depois que uma das caixas fica vazia, as chances não chegam a 50/50, mas permanecem as mesmas - uma em três. Parece apenas ao participante que, ao se livrar de uma caixa, ele tem mais chances. De jeito nenhum. Dois contra um contra ele, como era, e permanece. E se você vier de repente ao meu show, as regras continuarão as mesmas para você: sem trocar de caixa após a seleção.

Imagine que um certo banqueiro oferece a você a escolha de uma das três caixas fechadas. Em um deles 50 centavos, no outro - um dólar, no terceiro - 10 mil dólares. Qualquer um que você escolher, você receberá como prêmio.

Você escolhe aleatoriamente, digamos caixa número 1. E então o banqueiro (que, claro, sabe onde está tudo) bem diante de seus olhos abre uma caixa com um dólar (digamos que seja o nº 2), após o que ele oferece a você a troca da caixa inicialmente selecionada nº. 1 para a caixa nº 3.

Você deve mudar de ideia? Isso aumentará suas chances de conseguir 10 mil?

Este é o paradoxo de Monty Hall - um problema da teoria da probabilidade, cuja solução, à primeira vista, contradiz o senso comum. As pessoas estão coçando a cabeça com esse problema desde 1975.

O paradoxo recebeu o nome do apresentador do popular programa de TV americano Let's Make a Deal. Este programa de TV tinha regras semelhantes, apenas os participantes escolhiam portas, duas das quais escondiam cabras e a terceira era um Cadillac.

A maioria dos jogadores raciocinou que depois que havia duas portas fechadas e havia um Cadillac atrás de uma delas, as chances de conseguir eram de 50 a 50. Obviamente, quando o anfitrião abre uma porta e o convida a mudar de ideia, ele começa novo jogo. Quer você mude de ideia ou não, suas chances ainda serão de 50%. Tão certo?

Acontece que não. Na verdade, ao mudar de ideia, você dobra suas chances de sucesso. Por que?

A explicação mais simples para esta resposta é a seguinte consideração. Para ganhar um carro sem alterar a escolha, o jogador deve adivinhar imediatamente a porta atrás da qual o carro está parado. A probabilidade disso é 1/3. Se o jogador inicialmente acertar a porta com uma cabra atrás dela (e a probabilidade desse evento é 2/3, já que são duas cabras e apenas um carro), então ele pode definitivamente ganhar o carro mudando de ideia, já que o carro e uma cabra permanece, e o anfitrião já abriu a porta com a cabra.

Assim, sem alterar a escolha, o jogador permanece com sua probabilidade inicial de ganhar 1/3, e ao alterar a escolha inicial, o jogador vira a seu favor o dobro da probabilidade restante que não acertou no início.

Além disso, uma explicação intuitiva pode ser feita trocando os dois eventos. O primeiro evento é a decisão do jogador de mudar a porta, o segundo evento é a abertura de uma porta extra. Isso é aceitável, pois abrir uma porta extra não dá ao jogador nenhum nova informação(documento ver neste artigo). Então o problema pode ser reduzido à seguinte formulação. No primeiro momento, o jogador divide as portas em dois grupos: no primeiro grupo há uma porta (a que ele escolheu), no segundo grupo há duas portas restantes. No momento seguinte, o jogador faz uma escolha entre os grupos. É óbvio que para o primeiro grupo a probabilidade de ganhar é 1/3, para o segundo grupo 2/3. O jogador escolhe o segundo grupo. No segundo grupo, ele pode abrir as duas portas. Um é aberto pelo anfitrião e o segundo pelo próprio jogador.

Vamos tentar dar a explicação "mais compreensível". Reformule o problema: Um anfitrião honesto anuncia ao jogador que há um carro atrás de uma das três portas e sugere que ele primeiro aponte para uma das portas e, em seguida, escolha uma das duas ações: abra a porta indicada (no formulação antiga, isso se chama “não mude de escolha”) ou abra as outras duas (na redação antiga, seria apenas “mude a escolha”. Pense bem, essa é a chave para entender!). É claro que o jogador escolherá a segunda das duas ações, pois a probabilidade de obter um carro neste caso é duas vezes maior. E a coisinha que o anfitrião antes mesmo de escolher a ação “mostrou uma cabra” não ajuda e não atrapalha na escolha, porque atrás de uma das duas portas sempre tem uma cabra e o anfitrião com certeza vai mostrar a qualquer momento durante o jogo, para que o jogador possa nesta cabra e não assista. A tarefa do jogador, se ele escolheu a segunda ação, é dizer “obrigado” ao anfitrião por livrá-lo do trabalho de abrir ele mesmo uma das duas portas e abrir a outra. Bem, ou até mais fácil. Vamos imaginar esta situação do ponto de vista do anfitrião, que está a fazer um procedimento semelhante com dezenas de jogadores. Como ele sabe perfeitamente o que está atrás das portas, então, em média, em dois casos em três, ele vê com antecedência que o jogador escolheu a porta “errada”. Portanto, para ele definitivamente não há paradoxo de que a estratégia correta seja mudar a escolha após abrir a primeira porta: afinal, nos mesmos dois casos em três, o jogador deixará o estúdio para carro novo.

Finalmente, a prova mais "ingênua". Que aquele que defende sua escolha seja chamado de "Teimoso", e aquele que segue as instruções do líder, seja chamado de "Atencioso". Então o Teimoso vence se inicialmente adivinhou o carro (1/3), e o Atencioso - se errou e acertou a cabra primeiro (2/3). Afinal, só neste caso ele apontará para a porta com o carro.

Monty Hall, produtor e apresentador do show Vamos fazer um acordo de 1963 a 1991.

Em 1990, esse problema e sua solução foram publicados na revista americana Parade. A publicação causou uma enxurrada de críticas indignadas dos leitores, muitos dos quais com formação científica.

A principal reclamação era que nem todas as condições do problema foram especificadas e qualquer nuance poderia afetar o resultado. Por exemplo, o anfitrião pode se oferecer para mudar a decisão apenas se o jogador escolher um carro na primeira jogada. Obviamente, alterar a escolha inicial em tal situação levará a uma perda garantida.

No entanto, em toda a existência do programa de TV Monty Hall, as pessoas que mudaram de ideia ganharam duas vezes mais:

Dos 30 jogadores que mudaram de ideia, Cadillac venceu 18 - ou seja, 60%

Dos 30 jogadores que ficaram com a escolha, o Cadillac venceu 11 - ou seja, aproximadamente 36%

Assim, os raciocínios dados na decisão, por mais ilógicos que possam parecer, são confirmados pela prática.

Aumento do número de portas

Para facilitar a compreensão da essência do que está acontecendo, podemos considerar o caso em que o jogador vê não três portas à sua frente, mas, por exemplo, cem. Ao mesmo tempo, há um carro atrás de uma das portas e cabras atrás da outra 99. O jogador escolhe uma das portas, enquanto em 99% dos casos escolherá a porta com cabra, e as chances de escolher imediatamente a porta com carro são muito pequenas - são de 1%. Depois disso, o anfitrião abre 98 portas com cabras e pede ao jogador que escolha a porta restante. Nesse caso, em 99% dos casos, o carro ficará atrás dessa porta restante, pois as chances de o jogador escolher imediatamente a porta correta são muito pequenas. É claro que nesta situação um jogador que pensa racionalmente deve sempre aceitar a proposta do líder.

Ao considerar um número maior de portas, muitas vezes surge a pergunta: se no problema original o líder abre uma porta em três (ou seja, 1/3 do total portas), por que devemos supor que, no caso de 100 portas, o anfitrião abrirá 98 portas com cabras, e não 33? Essa consideração costuma ser uma das razões significativas pelas quais o paradoxo de Monty Hall entra em conflito com a percepção intuitiva da situação. Assumindo que a abertura de 98 portas estará correta porque condição essencial A tarefa é ter apenas uma alternativa de escolha para o jogador, que é oferecida pelo moderador. Portanto, para que as tarefas sejam semelhantes, no caso de 4 portas, o líder deve abrir 2 portas, no caso de 5 portas - 3, e assim por diante, de forma que sempre haja uma porta fechada diferente da que o jogador escolheu inicialmente. Se o facilitador abrir menos portas, a tarefa não será mais semelhante à tarefa original do Monty Hall.

Deve-se notar que no caso de muitas portas, mesmo que o anfitrião não deixe uma porta fechada, mas várias, e ofereça ao jogador a escolha de uma delas, então, ao mudar a escolha inicial, as chances do jogador ganhar o carro serão ainda aumentam, embora não tão significativamente. Por exemplo, considere uma situação em que um jogador escolhe uma porta entre cem e, em seguida, o facilitador abre apenas uma das portas restantes, convidando o jogador a mudar sua escolha. Ao mesmo tempo, as chances de o carro estar atrás da porta originalmente escolhida pelo jogador permanecem as mesmas - 1/100, e para as portas restantes as chances mudam: a probabilidade total de o carro estar atrás de uma das portas restantes ( 99/100) agora está distribuído não em 99 portas, mas em 98. Portanto, a probabilidade de encontrar um carro atrás de cada uma dessas portas não será de 1/100, mas de 99/9800. O aumento na probabilidade será de aproximadamente 1%.

Árvore soluções possíveis jogador e anfitrião, mostrando a probabilidade de cada resultado Mais formalmente, o cenário do jogo pode ser descrito usando uma árvore de decisão. Nos dois primeiros casos, quando o jogador escolheu pela primeira vez a porta atrás da qual está a cabra, mudar a escolha resulta em vitória. Nos dois últimos casos, quando o jogador escolheu pela primeira vez a porta com o carro, alterar a escolha resulta em perda.

Se você ainda não entendeu, cuspa nas fórmulas e apenasverifique tudo estatisticamente. Outra possível explicação:

Um jogador cuja estratégia fosse mudar a porta selecionada todas as vezes só perderia se escolhesse inicialmente a porta atrás da qual o carro está localizado.
Como a chance de escolher um carro na primeira tentativa é de uma em três (ou 33%), a chance de não escolher um carro caso o jogador mude de escolha também é de uma em três (ou 33%).
Isso significa que o jogador que usou a estratégia para trocar a porta vencerá com 66% de probabilidade ou dois a três.
Isso dobrará as chances de ganhar um jogador cuja estratégia é não mudar de escolha todas as vezes.

Ainda não acredita? Digamos que você escolha a porta nº 1. Aqui estão todos opções possíveis o que pode acontecer neste caso.

Conheci-a chamada Paradoxo de Monty Hall e uau resolvido de forma diferente, a saber: provou que este é um pseudo-paradoxo.

Amigos, ficarei feliz em ouvir críticas à minha refutação desse paradoxo (pseudoparadoxo, se estiver certo). E então vou ver com meus próprios olhos que minha lógica é manca, vou parar de pensar em mim como um pensador e pensar em mudar o tipo de atividade para uma mais lírica: o). Então, aqui está o conteúdo da tarefa. A solução proposta e minha refutação estão abaixo.

Imagine que você se tornou um participante de um jogo no qual está diante de três portas. O anfitrião, que se diz honesto, colocou um carro atrás de uma das portas e uma cabra atrás das outras duas portas. Você não tem informações sobre o que está atrás de qual porta.

O facilitador lhe diz: “Primeiro você deve escolher uma das portas. Depois disso, abrirei uma das portas restantes, atrás da qual está uma cabra. Então, sugiro que você mude sua escolha original e escolha a porta fechada restante em vez da que escolheu no início. Você pode seguir meu conselho e escolher outra porta ou pode confirmar sua escolha original. Depois disso, abrirei a porta que você escolheu e você ganhará o que está atrás dessa porta.”

Você escolhe a porta número 3. O facilitador abre a porta número 1 e mostra que há uma cabra atrás dela. O anfitrião então pede que você escolha a porta número 2.

Suas chances de ganhar um carro aumentarão se você seguir o conselho dele?
O paradoxo de Monty Hall é um dos problemas conhecidos da teoria da probabilidade, cuja solução, à primeira vista, contradiz o senso comum.
Na hora de resolver esse problema, costumam raciocinar assim: depois que o dono abrir a porta atrás da qual está a cabra, o carro só pode ficar atrás de uma das duas portas restantes. Como o jogador não pode receber nenhum Informações adicionais sobre qual porta o carro está atrás, então a probabilidade de encontrar um carro atrás de cada uma das portas é a mesma, e mudar a escolha inicial da porta não dá nenhuma vantagem ao jogador. No entanto, esta linha de raciocínio é incorreta.
Se o anfitrião sempre sabe qual porta está atrás, sempre abre a porta restante que contém uma cabra e sempre solicita ao jogador que mude sua escolha, então a probabilidade de que o carro esteja atrás da porta escolhida pelo jogador é 1/3 e , portanto, a probabilidade de o carro estar atrás da porta restante é 2/3. Assim, mudar a escolha inicial dobra as chances do jogador ganhar o carro. Essa conclusão contradiz a percepção intuitiva da situação pela maioria das pessoas, razão pela qual o problema descrito é chamado de paradoxo de Monty Hall.

Parece-me que as chances não vão mudar; não há paradoxo.

E aqui está o porquê: a primeira e a segunda opções de porta são independente eventos. É como jogar uma moeda 2 vezes: o que cai na 2ª vez não depende em nada do que caiu na 1ª.

Então aqui: depois de abrir a porta com uma cabra, o jogador se encontra em nova situação quando tem 2 portas e a probabilidade de escolher um carro ou uma cabra é 1/2.

Mais uma vez: depois de abrir uma porta em três, a probabilidade de que o carro esteja atrás da porta restante, diferente de 2/3, porque 2/3 é a probabilidade de que o carro esteja atrás de quaisquer 2 portas. É incorreto atribuir essa probabilidade a uma porta fechada e a uma aberta. Antes a abertura das portas foi um tal alinhamento de probabilidades, mas depois abrindo uma porta, todas essas probabilidades se tornam vazio, porque a situação mudou e, portanto, um novo cálculo de probabilidade é necessário, qual pessoas comuns realizada corretamente, respondendo que nada mudará com uma mudança de escolha.

Adendo: 1) argumentando que:

a) a probabilidade de encontrar um carro atrás da porta escolhida é 1/3,

b) a probabilidade de que o carro esteja atrás de duas outras portas não selecionadas, 2/3,

c) porque o anfitrião abriu a porta com a cabra, então a probabilidade de 2/3 vai inteiramente para uma porta não selecionada (e fechada),

e, portanto, é necessário mudar a escolha para outra porta, para que a probabilidade de 1/3 se torne 2/3, não verdadeiro, mas falso, a saber: na alínea “c”, porque inicialmente a probabilidade 2/3 diz respeito a quaisquer duas portas, incluindo as 2 restantes não abertas, e como uma porta foi aberta, essa probabilidade será dividida igualmente entre 2 não abertas, ou seja, a probabilidade será igual e escolher outra porta não a aumentará.

2) as probabilidades condicionais são calculadas se houver 2 ou mais eventos aleatórios, e a probabilidade é calculada separadamente para cada evento, e somente então a probabilidade da ocorrência conjunta de 2 ou mais eventos é calculada. Aqui, a princípio, a probabilidade de adivinhar era de 1/3, mas para calcular a probabilidade de o carro não estar atrás da porta que foi escolhida, mas atrás da outra que não está aberta, você não precisa calcular o probabilidade condicional, mas você precisa calcular a probabilidade simples, que é 1 em 2, aqueles. 1/2.

3) Portanto, isso não é um paradoxo, mas uma falácia! (19.11.2009)

Apêndice 2: Ontem eu vim com a explicação mais simples que estratégia de reseleção é ainda mais vantajosa(o paradoxo é verdadeiro!): com a primeira escolha, entrar em uma cabra é 2 vezes mais provável do que em um carro, porque são duas cabras e, portanto, com a segunda escolha, você precisa alterar a escolha. É tão óbvio :o)

Ou seja: é preciso não marcar no carro, mas rejeitar as cabras, e até o apresentador ajuda nisso, abrindo a cabra. E no início do jogo, com probabilidade de 2 em 3, o jogador também terá sucesso, então, tendo rejeitado as cabras, é preciso mudar a escolha. E também ficou muito óbvio de repente :o)

Portanto, tudo o que escrevi até agora foi uma pseudo-refutação. Bem, aqui está outra ilustração do fato de que você precisa ser mais modesto, respeitar o ponto de vista de outra pessoa e não confiar nas garantias de sua lógica de que suas decisões são cristalinas.

O paradoxo de Monty Hall é um dos problemas conhecidos da teoria da probabilidade, cuja solução, à primeira vista, contradiz o senso comum. O problema é formulado como uma descrição de um jogo hipotético baseado no programa de TV americano Let's Make a Deal e recebe o nome do apresentador desse programa. A formulação mais comum desse problema, publicada em 1990 na revista Parade, é a seguinte:

Imagine que você se tornou um participante de um jogo no qual deve escolher uma das três portas. Atrás de uma das portas está um carro, atrás das outras duas portas estão cabras. Você escolhe uma das portas, por exemplo, a número 1, depois disso o anfitrião, que sabe onde está o carro e onde estão as cabras, abre uma das portas restantes, por exemplo, a número 3, atrás da qual está uma cabra. Depois disso, ele pergunta se você gostaria de mudar sua escolha e escolher a porta número 2. Suas chances de ganhar o carro aumentarão se você aceitar a oferta do anfitrião e mudar sua escolha?

Embora esta formulação do problema seja a mais conhecida, ela é um tanto problemática porque deixa algumas condições importantes do problema indefinidas. O seguinte é uma declaração mais completa.

Na hora de resolver esse problema, costumam raciocinar assim: depois que o dono abrir a porta atrás da qual está a cabra, o carro só pode ficar atrás de uma das duas portas restantes. Como o jogador não pode obter nenhuma informação adicional sobre qual porta o carro está atrás, a probabilidade de encontrar um carro atrás de cada uma das portas é a mesma, e mudar a escolha inicial da porta não dá nenhuma vantagem ao jogador. No entanto, esta linha de raciocínio é incorreta. Se o anfitrião sempre sabe qual porta está atrás, sempre abre a porta restante que contém a cabra e sempre solicita ao jogador que mude sua escolha, então a probabilidade de que o carro esteja atrás da porta escolhida pelo jogador é 1/3 e , portanto, a probabilidade de o carro estar atrás da porta restante é 2/3. Assim, mudar a escolha inicial dobra as chances do jogador ganhar o carro. Essa conclusão contradiz a percepção intuitiva da situação pela maioria das pessoas, razão pela qual o problema descrito é chamado de paradoxo de Monty Hall.

decisão verbal

A resposta correta para esse problema é a seguinte: sim, as chances de ganhar um carro dobram se o jogador seguir o conselho do anfitrião e mudar sua escolha inicial.

Então o problema pode ser reduzido à seguinte formulação. No primeiro momento, o jogador divide as portas em dois grupos: no primeiro grupo há uma porta (a que ele escolheu), no segundo grupo há duas portas restantes. No momento seguinte, o jogador faz uma escolha entre os grupos. É óbvio que para o primeiro grupo a probabilidade de ganhar é 1/3, para o segundo grupo 2/3. O jogador escolhe o segundo grupo. No segundo grupo, ele pode abrir as duas portas. Um é aberto pelo anfitrião e o segundo pelo próprio jogador.

Vamos tentar dar a explicação "mais compreensível". Reformule o problema: Um anfitrião honesto anuncia ao jogador que há um carro atrás de uma das três portas e o convida a apontar primeiro para uma das portas e, em seguida, escolher uma das duas ações: abrir a porta especificada (no velha formulação, isso é chamado de "não mude sua escolha ") ou abra as outras duas (na velha formulação, isso seria apenas "mudar a escolha". Pense, esta é a chave para entender!). É claro que o jogador escolherá a segunda das duas ações, pois a probabilidade de obter um carro neste caso é duas vezes maior. E a coisinha de que o líder “mostrou uma cabra” antes mesmo de escolher a ação não ajuda e não atrapalha na escolha, porque atrás de uma das duas portas sempre tem uma cabra e o líder com certeza vai mostrar a qualquer momento durante o jogo, para que o jogador possa nesta cabra e não assista. A tarefa do jogador, se ele escolher a segunda ação, é dizer "obrigado" ao anfitrião por livrá-lo do trabalho de abrir ele mesmo uma das duas portas e abrir a outra. Bem, ou até mais fácil. Vamos imaginar esta situação do ponto de vista do anfitrião, que está a fazer um procedimento semelhante com dezenas de jogadores. Como ele sabe perfeitamente o que está atrás das portas, então, em média, em dois casos em três, ele vê com antecedência que o jogador escolheu a porta "errada". Portanto, para ele definitivamente não há paradoxo de que a estratégia correta seja mudar a escolha após abrir a primeira porta: afinal, nos mesmos dois casos em três, o jogador sairá do estúdio em um carro novo.

Chaves para entender

Apesar da simplicidade de explicar esse fenômeno, muitas pessoas acreditam intuitivamente que a probabilidade de ganhar não muda quando o jogador muda sua escolha. Habitualmente, a impossibilidade de alterar a probabilidade de ganhar é motivada pelo facto de, no cálculo da probabilidade, não interessarem acontecimentos ocorridos no passado, como acontece, por exemplo, no lançamento de uma moeda - a probabilidade de obter cara ou coroa não não depende de quantas vezes cara ou coroa caiu antes. Portanto, muitos acreditam que no momento em que o jogador escolhe uma porta entre duas, não importa mais que no passado houvesse uma escolha de uma porta entre três, e a probabilidade de ganhar um carro é a mesma ao mudar a escolha , e deixando a escolha original.

No entanto, embora tais considerações sejam verdadeiras no caso de lançamento de uma moeda, elas não são verdadeiras para todos os jogos. Neste caso, a abertura da porta pelo mestre deve ser ignorada. O jogador escolhe essencialmente entre a porta que escolheu primeiro e as outras duas - abrir uma delas serve apenas para distrair o jogador. Sabe-se que há um carro e duas cabras. A escolha inicial do jogador por uma das portas divide os resultados possíveis do jogo em dois grupos: ou o carro está atrás da porta escolhida pelo jogador (probabilidade de 1/3), ou atrás de uma das outras duas (probabilidade disso é 2/3). Ao mesmo tempo, já se sabe que em qualquer caso existe uma cabra atrás de uma das duas portas restantes, e ao abrir esta porta, o anfitrião não dá ao jogador nenhuma informação adicional sobre o que está atrás da porta escolhida pelo jogador. Assim, a abertura da porta com a cabra pelo líder não altera a probabilidade (2/3) de o carro estar atrás de uma das portas restantes. E desde já porta aberta o jogador não escolhe, então toda essa probabilidade é concentrada no caso de o carro estar atrás da porta fechada restante.

Raciocínio mais intuitivo: deixe o jogador agir de acordo com a estratégia de "alterar a escolha". Então ele perderá apenas se inicialmente escolher um carro. E a probabilidade disso é um terço. Portanto, a probabilidade de ganhar: 1-1/3=2/3. Se o jogador agir de acordo com a estratégia “não mude de escolha”, ele vencerá se e somente se inicialmente escolheu o carro. E a probabilidade disso é um terço.

Vamos imaginar esta situação do ponto de vista do anfitrião, que está a fazer um procedimento semelhante com dezenas de jogadores. Como ele sabe perfeitamente o que está atrás das portas, então, em média, em dois casos em três, ele vê com antecedência que o jogador escolheu a porta "errada". Portanto, para ele definitivamente não há paradoxo de que a estratégia correta seja mudar a escolha após abrir a primeira porta: afinal, nos mesmos dois casos em três, o jogador sairá do estúdio em um carro novo.

Outro motivo comum para a dificuldade em entender a solução desse problema é que muitas vezes as pessoas imaginam um jogo um pouco diferente - onde não se sabe de antemão se o anfitrião abrirá a porta com uma cabra e sugerirá que o jogador mude de escolha. Nesse caso, o jogador não conhece a tática do mandante (ou seja, no fundo, não conhece todas as regras do jogo) e não pode fazer escolha ideal. Por exemplo, se o facilitador só oferecerá uma mudança de opção se o jogador inicialmente escolheu a porta com o carro, obviamente o jogador deve sempre deixar a decisão original inalterada. É por isso que é importante ter em mente a formulação exata do problema de Monty Hall. (com esta opção, o líder com diferentes estratégias pode atingir qualquer probabilidade entre as portas, no caso geral (médio) será 1/2 por 1/2).

Aumento do número de portas

Ao considerar um número maior de portas, muitas vezes surge a pergunta: se no problema original o líder abre uma porta em três (ou seja, 1/3 do número total de portas), então por que devemos supor que no caso de 100 portas o líder abrirá 98 portas com cabras, e não 33? Essa consideração costuma ser uma das razões significativas pelas quais o paradoxo de Monty Hall entra em conflito com a percepção intuitiva da situação. Seria correto supor a abertura de 98 portas, pois a condição essencial do problema é que haja apenas uma alternativa de escolha para o jogador, que é oferecida pelo anfitrião. Portanto, para que as tarefas sejam semelhantes, no caso de 4 portas, o líder deve abrir 2 portas, no caso de 5 portas - 3, e assim por diante, de forma que sempre haja uma porta fechada diferente da que o jogador escolheu inicialmente. Se o facilitador abrir menos portas, a tarefa não será mais semelhante à tarefa original do Monty Hall.

árvore de decisão

Possível árvore de decisão do jogador e host, mostrando a probabilidade de cada resultado

Mais formalmente, um cenário de jogo pode ser descrito usando uma árvore de decisão.

Nos dois primeiros casos, quando o jogador escolheu pela primeira vez a porta atrás da qual está a cabra, mudar a escolha resulta em vitória. Nos dois últimos casos, quando o jogador escolheu pela primeira vez a porta com o carro, alterar a escolha resulta em perda.

A probabilidade total de que uma mudança na escolha levará a uma vitória é equivalente à soma das probabilidades dos dois primeiros resultados, ou seja

Assim, a probabilidade de que a recusa em mudar a escolha leve a uma vitória é igual a

Contenção experimento semelhante

Existe uma maneira fácil de garantir que a alteração da escolha original resulte em uma vitória de duas em três vezes, em média. Para fazer isso, você pode simular o jogo descrito no problema de Monty Hall usando jogando cartas. Uma pessoa (distribuindo cartas) desempenha o papel do líder Monty Hall e a segunda - o papel do jogador. São tiradas três cartas para o jogo, das quais uma representa uma porta com um carro (por exemplo, um ás de espadas), e duas outras idênticas (por exemplo, dois duques vermelhos) são portas com cabras.

O anfitrião coloca três cartas viradas para baixo, convidando o jogador a pegar uma das cartas. Depois que o jogador escolhe uma carta, o líder olha para as duas cartas restantes e revela o deuce vermelho. Em seguida, são abertas as cartas deixadas pelo jogador e pelo líder, e se a carta escolhida pelo jogador for o ás de espadas, então é registrado um ponto a favor da opção quando o jogador não mudar de escolha, e se o jogador tem um deuce vermelho e o líder tem um ás de espadas, então um ponto é marcado a favor da opção quando o jogador muda de escolha. Se jogarmos muitas dessas rodadas do jogo, então a proporção entre os pontos a favor das duas opções reflete muito bem a proporção das probabilidades dessas opções. Nesse caso, verifica-se que o número de pontos a favor da alteração da escolha inicial é aproximadamente o dobro.

Esse experimento não apenas garante que a probabilidade de ganhar ao alterar a escolha seja duas vezes maior, mas também ilustra bem por que isso acontece. No momento em que o jogador escolheu uma carta para si, já está determinado se o ás de espadas está em sua mão ou não. A abertura posterior de uma das cartas pelo líder não altera a situação - o jogador já tem a carta na mão e ela permanece lá independentemente das ações do líder. A probabilidade de o jogador escolher o ás de espadas de três cartasé obviamente 1/3 e, portanto, a probabilidade de não escolher (e então o jogador ganha se mudar a escolha original) é 2/3.

Menção

No filme Twenty-one, a professora Miki Rosa desafia o personagem principal, Ben, a resolver um quebra-cabeça: há duas scooters e um carro atrás de três portas; você deve adivinhar a porta para ganhar o carro. Após a primeira escolha, Miki se oferece para mudar a escolha. Ben concorda e justifica matematicamente sua decisão. Então ele involuntariamente passa no teste para a equipe de Miki.

No romance "Nedotepa" de Sergei Lukyanenko, os personagens principais, com essa técnica, ganham uma carruagem e a oportunidade de continuar sua jornada.

Na série de televisão 4isla (episódio 13 da 1ª temporada "Man Hunt"), um dos personagens principais, Charlie Epps, em uma popular palestra sobre matemática, explica o paradoxo de Monty Hall, ilustrando-o claramente com marcadores, em lados reversos que são cabras pintadas e um carro. Charlie encontra o carro alterando a seleção. No entanto, deve-se notar que ele executa apenas um experimento, enquanto o benefício da estratégia de mudança é estatístico e uma série de experimentos deve ser executada para ilustrar corretamente.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

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