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Há três portas à sua frente. O paradoxo de Monty Hall - uma explicação para o aumento da probabilidade de escolha

sobre loterias

Este jogo há muito adquiriu um caráter de massa e tornou-se parte integrante do vida moderna. E embora a loteria esteja expandindo cada vez mais suas capacidades, muitas pessoas ainda a veem apenas como uma forma de enriquecer. Deixe e não livre e não confiável. Por outro lado, como observou um dos heróis de Jack London, em jogatina não se pode deixar de levar em conta os fatos - às vezes as pessoas têm sorte.

Matemática do caso. História da teoria da probabilidade

Alexandre Bufetov

Transcrição e gravação em vídeo de palestra do Doutor em Ciências Físicas e Matemáticas, apresentador investigador Steklov Institute of Mathematics, Pesquisador Líder, IPTP RAS, Professor, Faculdade de Matemática, Escola Superior de Economia, Diretor de Pesquisa Centro Nacional pesquisa científica na França (CNRS) por Alexander Bufetov, entregue como parte da série Polit.ru Public Lectures em 6 de fevereiro de 2014.

A ilusão de regularidade: por que a aleatoriedade parece antinatural

Nossas ideias sobre o aleatório, regular e impossível muitas vezes divergem dos dados da estatística e da teoria da probabilidade. Em "Acaso Imperfeito. Como o acaso governa nossas vidas” O físico americano e divulgador da ciência Leonard Mlodinov fala sobre por que os algoritmos aleatórios parecem tão estranhos, qual é o problema do embaralhamento “aleatório” de músicas no iPod e o que determina o sucesso de um analista de ações. Teorias e Práticas publica um trecho do livro.

Determinismo

O determinismo é um conceito científico geral e filosofia sobre causalidade, padrões, conexão genética, interação e condicionalidade de todos os fenômenos e processos que ocorrem no mundo.

Deus é estatística

Deborah Nolan, professora de estatística da Universidade da Califórnia em Berkeley, pede a seus alunos que façam uma tarefa muito estranha à primeira vista. O primeiro grupo deve jogar uma moeda cem vezes e anotar o resultado: cara ou coroa. A segunda deve imaginar que está jogando uma moeda - e também fazer uma lista com centenas de resultados "imaginários".

o que é determinismo

Se as condições iniciais do sistema forem conhecidas, é possível, usando as leis da natureza, prever seu estado final.

O problema da noiva exigente

Huseyn-Zade S. M.

paradoxo de Zenão

É possível ir de um ponto a outro no espaço? O antigo filósofo grego Zeno de Elea acreditava que o movimento não poderia ser realizado de forma alguma, mas como ele argumentou isso? Colm Keller fala sobre como resolver o famoso paradoxo de Zenão.

Paradoxos de conjuntos infinitos

Imagine um hotel com um número infinito de quartos. Um ônibus chega com um número infinito de futuros hóspedes. Mas colocá-los todos não é tão fácil. Este é um aborrecimento sem fim e os convidados estão sempre cansados. E se você não conseguir cumprir a tarefa, poderá perder uma quantia infinita de dinheiro! O que fazer?

A dependência da altura da criança em relação à altura dos pais

Os pais jovens, é claro, querem saber a altura de seus filhos quando adultos. As estatísticas matemáticas podem oferecer uma relação linear simples para estimar aproximadamente a altura das crianças, com base apenas na altura do pai e da mãe, e também indicar a precisão de tal estimativa.

O paradoxo de Monty Hall é provavelmente o paradoxo mais famoso da teoria da probabilidade. Existem muitas variações dele, por exemplo, o paradoxo dos três prisioneiros. E há muitas interpretações e explicações desse paradoxo. Mas aqui, gostaria de dar não apenas uma explicação formal, mas mostrar a base "física" do que acontece no paradoxo de Monty Hall e outros como ele.

A redação clássica é:

“Você está no jogo. Há três portas à sua frente. Um deles tem um prêmio. O anfitrião convida você a tentar adivinhar onde está o prêmio. Você aponta para uma das portas (ao acaso).

Formulação do Paradoxo de Monty Hall

O anfitrião sabe onde está o prêmio. Ele, enquanto, não abre aquela porta em que você mostrou. Mas abre mais uma das portas restantes para você, atrás da qual não há prêmio. A questão é: você deve mudar sua escolha ou permanecer com a mesma decisão?

Acontece que, se você simplesmente mudar sua escolha, suas chances de ganhar aumentarão!

O paradoxo da situação é óbvio. Tudo o que acontece parece ser aleatório. Não importa se você mudar de ideia ou não. Mas isso não.

Explicação "física" da natureza desse paradoxo

Não vamos, a princípio, entrar em sutilezas matemáticas, mas simplesmente olhar para a situação sem preconceitos.

Neste jogo, você só faz primeiro seleção aleatória. O anfitrião então lhe diz Informações adicionais , o que permite aumentar suas chances de ganhar.

Como o facilitador fornece informações adicionais? Muito simples. Observe que ele abre nenhum porta.

Vamos, para simplificar (embora haja um elemento de astúcia nisso), considere uma situação mais provável: você apontou para uma porta que não tem um prêmio. Então, atrás de uma das portas restantes, o prêmio Há. Ou seja, o líder não tem escolha. Abre uma porta muito específica. (Você apontou para um, há um prêmio atrás do outro, só resta uma porta que o anfitrião pode abrir.)

É nesse momento de escolha significativa que ele lhe dá informações que você pode usar.

EM este caso, o uso da informação é que você muda a decisão.

A propósito, sua segunda escolha já é demais não acidental(ou melhor, não tão aleatório quanto a primeira escolha). Afinal, você escolhe entre portas fechadas, e uma já está aberta e não arbitrário.

Na verdade, já depois dessas discussões, você pode ter a sensação de que é melhor mudar de ideia. É realmente. Vamos mostrá-lo mais formalmente.

Uma explicação mais formal do paradoxo de Monty Hall

Na verdade, sua primeira escolha aleatória divide todas as portas em dois grupos. Atrás da porta que você escolheu, o prêmio está localizado com probabilidade de 1/3, atrás das outras duas - com probabilidade de 2/3. Agora o anfitrião faz uma mudança: ele abre uma porta no segundo grupo. E agora toda a probabilidade de 2/3 se aplica apenas à porta fechada no grupo de duas portas.

É claro que agora é mais lucrativo para você mudar de ideia.

Embora, é claro, você ainda tenha uma chance de perder.

No entanto, alterar sua seleção aumenta suas chances de ganhar.

O Paradoxo de Monty Hall

O paradoxo de Monty Hall é um problema probabilístico, cuja solução (segundo alguns) é contrária ao senso comum. Formulação da Tarefa:

Imagine que você se tornou um participante de um jogo no qual deve escolher uma das três portas. Atrás de uma das portas está um carro, atrás das outras duas portas estão cabras.
Você escolhe uma das portas, por exemplo, a número 1, depois disso o anfitrião, que sabe onde está o carro e onde estão as cabras, abre uma das portas restantes, por exemplo, a número 3, atrás da qual está uma cabra.

O paradoxo de Monty Hall. A matemática mais imprecisa de todos os tempos

Depois disso, ele pergunta se você gostaria de mudar sua escolha e escolher a porta número 2.
Suas chances de ganhar um carro aumentarão se você aceitar a oferta do anfitrião e mudar sua escolha?

Ao resolver um problema, muitas vezes assume-se erroneamente que as duas escolhas são independentes e, portanto, a probabilidade não mudará quando a escolha mudar. Na verdade, este não é o caso, como você pode ver lembrando-se da fórmula de Bayes ou observando os resultados da simulação abaixo:

Aqui: "estratégia 1" - não altere a escolha, "estratégia 2" - altere a escolha. Teoricamente, para o caso com 3 portas, a distribuição de probabilidade é 33,(3)% e 66,(6)%. A simulação numérica deve dar resultados semelhantes.

links

O Paradoxo de Monty Hall- uma tarefa da seção de teoria da probabilidade, em cuja solução há uma contradição com o senso comum.

Origem[editar | editar texto wiki]

No final de 1963, foi ao ar novo talk show intitulado "Vamos fazer um acordo" ("Vamos fazer um acordo"). De acordo com o cenário do quiz, os telespectadores da plateia receberam prêmios pelas respostas corretas, podendo multiplicá-los fazendo novas apostas, mas arriscando os ganhos já existentes. Os fundadores do show foram Stefan Hatosu e Monty Hall, o último dos quais se tornou seu anfitrião permanente por muitos anos.

Uma das tarefas dos participantes era o sorteio do Grande Prêmio, que ficava atrás de uma das três portas. Para os dois restantes houve prémios de incentivo, por sua vez, o apresentador sabia a ordem da sua localização. O competidor teve que determinar a porta vencedora apostando todos os seus ganhos no show.

Quando o adivinhador decidia o número, o anfitrião abria uma das portas restantes, atrás da qual havia um prêmio de incentivo, e oferecia ao jogador a troca da porta originalmente selecionada.

Formulações[editar | editar texto wiki]

Como um problema específico, o paradoxo foi colocado pela primeira vez por Steve Selvin em 1975, que apresentou ao The American Statistician e ao apresentador Monty Hall a pergunta: as chances do competidor de ganhar o Grande Prêmio mudarão se, após abrir a porta com incentivo, ele mudará a escolha dele? Após este incidente, surgiu o conceito de "Monty Hall Paradox".

Em 1990, a versão mais comum do paradoxo foi publicada na Parade Magazine (Revista "Parade") com um exemplo:

“Imagine-se em um jogo de TV onde você tem que dar preferência a uma das três portas: cabras atrás de duas delas e um carro atrás da terceira. Quando você faz uma escolha, assumindo, por exemplo, que a porta vencedora é a número um, o anfitrião abre uma das duas portas restantes, por exemplo, a número três, atrás da qual está uma cabra. Você tem a chance de mudar sua seleção para outra porta? Você pode aumentar suas chances de ganhar um carro mudando sua escolha da porta número um para a porta número dois?”

Esta redação é uma versão simplificada, porque resta o fator de influência do anfitrião, que sabe exatamente onde está o carro e tem interesse em perder o participante.

Para que o problema se torne puramente matemático, é necessário eliminar o fator humano, introduzindo como condições integrais a abertura de uma porta com prêmio de incentivo e a possibilidade de alterar a escolha inicial.

Solução[editar | editar texto wiki]

Ao comparar as probabilidades à primeira vista, alterar o número da porta não trará nenhuma vantagem, porque. todas as três opções têm 1/3 de chance de ganhar (aprox. 33,33% em cada uma das três portas). Ao mesmo tempo, a abertura de uma das portas não afetará as chances das duas restantes, cujas chances serão de 1/2 a 1/2 (50% para cada uma das duas portas restantes). Esse julgamento é baseado na suposição de que a escolha da porta pelo jogador e a escolha da porta pelo anfitrião são dois eventos independentes que não afetam um ao outro. Na verdade, é necessário considerar toda a sequência de eventos como um todo. De acordo com a teoria da probabilidade, as chances da primeira porta escolhida desde o início até o final do jogo são invariavelmente 1/3 (aprox. 33,33%), e as duas portas restantes têm um total de 1/3 + 1 /3 = 2/3 (aprox. 66,66%). Quando uma das duas portas restantes é aberta, suas chances se tornam 0% (o prêmio de incentivo está escondido atrás dela) e, como resultado, as chances de uma porta não selecionada fechada serão de 66,66%, ou seja, o dobro do original.

Para facilitar a compreensão dos resultados da escolha, podemos considerar uma situação alternativa em que o número de opções será maior, por exemplo, mil. A probabilidade de escolher a opção vencedora será de 1/1000 (0,1%). Desde que novecentas e noventa e oito erradas sejam posteriormente abertas das novecentas e noventa e nove opções restantes, torna-se óbvio que a probabilidade de uma porta restante em novecentas e noventa e nove não escolhidas é maior do que a da apenas um escolhido no início.

Menções[editar | editar texto wiki]

Você pode encontrar a menção do Paradoxo de Monty Hall em "Twenty-one" (filme de Robert Luketich), "Kluttyop" (romance de Sergei Lukyanenko), série de TV "4isla" (série de TV), "The Mysterious Nighttime Killing of a Dog" (romances de Mark Haddon), "XKCD" (história em quadrinhos), MythBusters (programa de TV).

Veja também[editar | editar texto wiki]

Na imagem, o processo de escolha entre duas portas fechadas das três originalmente propostas

Exemplos de soluções para problemas em combinatória

Combinatóriaé uma ciência que todos encontram em Vida cotidiana: quantas maneiras de escolher 3 atendentes para limpar a classe ou quantas maneiras de formar uma palavra com as letras dadas.

Em geral, a combinatória permite calcular quantas combinações diferentes, de acordo com certas condições, podem ser feitas a partir de determinados objetos (iguais ou diferentes).

Como ciência, a combinatória surgiu no século 16 e agora todo aluno (e muitas vezes até um estudante) a estuda. Eles começam estudando com os conceitos de permutações, posicionamentos, combinações (com ou sem repetições), você encontrará problemas sobre esses tópicos abaixo. As regras mais famosas da combinatória são as regras da soma e do produto, que são mais usadas em problemas combinatórios típicos.

Abaixo você encontrará vários exemplos de tarefas com soluções para conceitos e regras combinatórias que o ajudarão a lidar com tarefas típicas. Se houver dificuldades com as tarefas, peça um teste de combinatória.

Problemas em combinatória com soluções online

Tarefa 1. Mamãe tem 2 maçãs e 3 peras. Todos os dias, durante 5 dias seguidos, ela distribui uma peça de fruta. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Solução do problema em combinatória 1 (pdf, 35 Kb)

Tarefa 2. Uma empresa pode fornecer trabalho em uma especialidade para 4 mulheres, em outra - para 6 homens, em uma terceira - para 3 funcionários, independentemente do sexo. De quantas maneiras as vagas podem ser preenchidas se houver 14 candidatos: 6 mulheres e 8 homens?

Solução do problema em combinatória 2 (pdf, 39 Kb)

Tarefa 3. Há 9 vagões em um trem de passageiros. De quantas maneiras 4 pessoas podem sentar-se em um trem, desde que todas viajem em vagões diferentes?

Solução do problema em combinatória 3 (pdf, 33 Kb)

Tarefa 4. Há 9 pessoas no grupo. Quantos subgrupos diferentes podem ser formados, desde que o subgrupo inclua pelo menos 2 pessoas?

Solução do problema em combinatória 4 (pdf, 34 Kb)

Tarefa 5. Um grupo de 20 alunos deve ser dividido em 3 equipes, sendo que a primeira equipe deve incluir 3 pessoas, a segunda - 5 e a terceira - 12. De quantas maneiras isso pode ser feito.

Solução do problema em combinatória 5 (pdf, 37 Kb)

Tarefa 6. Para participar da equipe, o treinador seleciona 5 meninos de 10. De quantas maneiras ele pode formar uma equipe se 2 meninos devem ser incluídos na equipe?

Problema de combinatória com solução 6 (pdf, 33 Kb)

Tarefa 7. 15 jogadores de xadrez participaram do torneio de xadrez, e cada um deles jogou apenas uma partida com cada um dos outros. Quantas partidas foram disputadas neste torneio?

Problema de combinatória com solução 7 (pdf, 37 Kb)

Tarefa 8. Quantas frações diferentes podem ser formadas a partir dos números 3, 5, 7, 11, 13, 17 de modo que cada fração inclua 2 vários números? Quantas delas serão frações próprias?

Problema de combinatória com solução 8 (pdf, 32 Kb)

Tarefa 9. Quantas palavras podem ser obtidas reorganizando as letras da palavra Horus e Institute?

Problema de combinatória com solução 9 (pdf, 32 Kb)

Tarefa 10. Quais números de 1 a 1.000.000 são maiores: aqueles em que a unidade ocorre ou aqueles em que ela não ocorre?

Problema de combinatória com solução 10 (pdf, 39 Kb)

Exemplos prontos

Precisa resolver problemas em combinatória? Encontre no guia:

Outras soluções para problemas na teoria da probabilidade

Imagine que um certo banqueiro oferece a você a escolha de uma das três caixas fechadas. Em um deles 50 centavos, no outro - um dólar, no terceiro - 10 mil dólares. Qualquer um que você escolher, você receberá como prêmio.

Você escolhe aleatoriamente, digamos caixa número 1. E então o banqueiro (que, claro, sabe onde está tudo) bem diante de seus olhos abre uma caixa com um dólar (digamos que seja o nº 2), após o que ele oferece a você a troca da caixa inicialmente selecionada nº. 1 para a caixa nº 3.

Você deve mudar de ideia? Isso aumentará suas chances de conseguir 10 mil?

Este é o paradoxo de Monty Hall - um problema da teoria da probabilidade, cuja solução, à primeira vista, contradiz o senso comum. As pessoas estão coçando a cabeça com esse problema desde 1975.

O paradoxo recebeu o nome do apresentador do popular programa de TV americano Let's Make a Deal. Este programa de TV tinha regras semelhantes, apenas os participantes escolhiam portas, duas das quais escondiam cabras e a terceira era um Cadillac.

A maioria dos jogadores raciocinou que depois que havia duas portas fechadas e havia um Cadillac atrás de uma delas, as chances de conseguir eram de 50 a 50. Obviamente, quando o anfitrião abre uma porta e o convida a mudar de ideia, ele começa novo jogo. Quer você mude de ideia ou não, suas chances ainda serão de 50%. Tão certo?

Acontece que não. Na verdade, ao mudar de ideia, você dobra suas chances de sucesso. Por que?

A explicação mais simples para esta resposta é a seguinte consideração. Para ganhar um carro sem alterar a escolha, o jogador deve adivinhar imediatamente a porta atrás da qual o carro está parado. A probabilidade disso é 1/3. Se o jogador inicialmente acertar a porta com uma cabra atrás dela (e a probabilidade desse evento é 2/3, já que são duas cabras e apenas um carro), então ele pode definitivamente ganhar o carro mudando de ideia, já que o carro e uma cabra permanece, e o anfitrião já abriu a porta com a cabra.

Assim, sem alterar a escolha, o jogador permanece com sua probabilidade inicial de ganhar 1/3, e ao alterar a escolha inicial, o jogador vira a seu favor o dobro da probabilidade restante que não acertou no início.

Além disso, uma explicação intuitiva pode ser feita trocando os dois eventos. O primeiro evento é a decisão do jogador de mudar a porta, o segundo evento é a abertura de uma porta extra. Isso é aceitável, pois abrir uma porta extra não dá ao jogador nenhum nova informação(documento ver neste artigo). Então o problema pode ser reduzido à seguinte formulação. No primeiro momento, o jogador divide as portas em dois grupos: no primeiro grupo há uma porta (a que ele escolheu), no segundo grupo há duas portas restantes. No momento seguinte, o jogador faz uma escolha entre os grupos. É óbvio que para o primeiro grupo a probabilidade de ganhar é 1/3, para o segundo grupo 2/3. O jogador escolhe o segundo grupo. No segundo grupo, ele pode abrir as duas portas. Um é aberto pelo anfitrião e o segundo pelo próprio jogador.

Vamos tentar dar a explicação "mais compreensível". Reformule o problema: Um anfitrião honesto anuncia ao jogador que há um carro atrás de uma das três portas e sugere que ele primeiro aponte para uma das portas e, em seguida, escolha uma das duas ações: abra a porta indicada (no formulação antiga, isso se chama “não mude de escolha”) ou abra as outras duas (na redação antiga, seria apenas “mude a escolha”. Pense bem, essa é a chave para entender!). É claro que o jogador escolherá a segunda das duas ações, pois a probabilidade de obter um carro neste caso é duas vezes maior. E a coisinha que o anfitrião antes mesmo de escolher a ação “mostrou uma cabra” não ajuda e não atrapalha na escolha, porque atrás de uma das duas portas sempre tem uma cabra e o anfitrião com certeza vai mostrar a qualquer momento durante o jogo, para que o jogador possa nesta cabra e não assista. A tarefa do jogador, se ele escolheu a segunda ação, é dizer “obrigado” ao anfitrião por livrá-lo do trabalho de abrir ele mesmo uma das duas portas e abrir a outra. Bem, ou até mais fácil. Vamos imaginar esta situação do ponto de vista do anfitrião, que está a fazer um procedimento semelhante com dezenas de jogadores. Como ele sabe perfeitamente o que está atrás das portas, então, em média, em dois casos em três, ele vê com antecedência que o jogador escolheu a porta “errada”. Portanto, para ele definitivamente não há paradoxo de que a estratégia correta seja mudar a escolha após abrir a primeira porta: afinal, nos mesmos dois casos em três, o jogador sairá do estúdio em um carro novo.

Finalmente, a prova mais "ingênua". Que aquele que defende sua escolha seja chamado de "Teimoso", e aquele que segue as instruções do líder, seja chamado de "Atencioso". Então o Teimoso vence se inicialmente adivinhou o carro (1/3), e o Atencioso - se errou e acertou a cabra primeiro (2/3). Afinal, só neste caso ele apontará para a porta com o carro.

Monty Hall, produtor e apresentador do show Vamos fazer um acordo de 1963 a 1991.

Em 1990, esse problema e sua solução foram publicados na revista americana Parade. A publicação causou uma enxurrada de críticas indignadas dos leitores, muitos dos quais com formação científica.

A principal reclamação era que nem todas as condições do problema foram especificadas e qualquer nuance poderia afetar o resultado. Por exemplo, o anfitrião pode se oferecer para mudar a decisão apenas se o jogador escolher um carro na primeira jogada. Obviamente, alterar a escolha inicial em tal situação levará a uma perda garantida.

No entanto, em toda a existência do programa de TV Monty Hall, as pessoas que mudaram de ideia ganharam duas vezes mais:

Dos 30 jogadores que mudaram de ideia, Cadillac venceu 18 - ou seja, 60%

Dos 30 jogadores que ficaram com a escolha, o Cadillac venceu 11 - ou seja, aproximadamente 36%

Assim, os raciocínios dados na decisão, por mais ilógicos que possam parecer, são confirmados pela prática.

Aumento do número de portas

Para facilitar a compreensão da essência do que está acontecendo, podemos considerar o caso em que o jogador vê não três portas à sua frente, mas, por exemplo, cem. Ao mesmo tempo, há um carro atrás de uma das portas e cabras atrás da outra 99. O jogador escolhe uma das portas, enquanto em 99% dos casos escolherá a porta com cabra, e as chances de escolher imediatamente a porta com carro são muito pequenas - são de 1%. Depois disso, o anfitrião abre 98 portas com cabras e pede ao jogador para escolher a porta restante. Nesse caso, em 99% dos casos, o carro ficará atrás dessa porta restante, pois as chances de o jogador escolher imediatamente a porta correta são muito pequenas. É claro que nesta situação um jogador que pensa racionalmente deve sempre aceitar a proposta do líder.

Ao considerar um número maior de portas, muitas vezes surge a pergunta: se no problema original o líder abre uma porta em três (ou seja, 1/3 do total portas), por que devemos supor que, no caso de 100 portas, o anfitrião abrirá 98 portas com cabras, e não 33? Essa consideração costuma ser uma das razões significativas pelas quais o paradoxo de Monty Hall entra em conflito com a percepção intuitiva da situação. Assumindo que a abertura de 98 portas estará correta porque condição essencial A tarefa é ter apenas uma alternativa de escolha para o jogador, que é oferecida pelo moderador. Portanto, para que as tarefas sejam semelhantes, no caso de 4 portas, o líder deve abrir 2 portas, no caso de 5 portas - 3, e assim por diante, de forma que sempre haja uma porta fechada diferente da que o jogador escolheu inicialmente. Se o facilitador abrir menos portas, a tarefa não será mais semelhante à tarefa original do Monty Hall.

Deve-se notar que no caso de muitas portas, mesmo que o anfitrião não deixe uma porta fechada, mas várias, e ofereça ao jogador a escolha de uma delas, então, ao mudar a escolha inicial, as chances do jogador ganhar o carro serão ainda aumentam, embora não tão significativamente. Por exemplo, considere uma situação em que um jogador escolhe uma porta entre cem e, em seguida, o facilitador abre apenas uma das portas restantes, convidando o jogador a mudar sua escolha. Ao mesmo tempo, as chances de o carro estar atrás da porta originalmente escolhida pelo jogador permanecem as mesmas - 1/100, e para as portas restantes as chances mudam: a probabilidade total de o carro estar atrás de uma das portas restantes ( 99/100) agora está distribuído não em 99 portas, mas em 98. Portanto, a probabilidade de encontrar um carro atrás de cada uma dessas portas não será de 1/100, mas de 99/9800. O aumento na probabilidade será de aproximadamente 1%.

Árvore soluções possíveis jogador e anfitrião, mostrando a probabilidade de cada resultado Mais formalmente, o cenário do jogo pode ser descrito usando uma árvore de decisão. Nos dois primeiros casos, quando o jogador escolheu pela primeira vez a porta atrás da qual está a cabra, mudar a escolha resulta em vitória. Nos dois últimos casos, quando o jogador escolheu pela primeira vez a porta com o carro, alterar a escolha resulta em perda.

Se você ainda não entendeu, cuspa nas fórmulas e apenasverifique tudo estatisticamente. Outra possível explicação:

Um jogador cuja estratégia fosse mudar a porta selecionada todas as vezes só perderia se escolhesse inicialmente a porta atrás da qual o carro está localizado.
Como a chance de escolher um carro na primeira tentativa é de uma em três (ou 33%), a chance de não escolher um carro caso o jogador mude de escolha também é de uma em três (ou 33%).
Isso significa que o jogador que usou a estratégia para trocar a porta vencerá com 66% de probabilidade ou dois a três.
Isso dobrará as chances de ganhar um jogador cuja estratégia é não mudar de escolha todas as vezes.

Ainda não acredita? Digamos que você escolha a porta nº 1. Aqui estão todos opções possíveis o que pode acontecer neste caso.

"Existem três tipos de mentiras: mentiras, mentira descarada e estatísticas. Esta frase, atribuída por Mark Twain ao primeiro-ministro britânico Benjamin Disraeli, reflete bem a atitude da maioria em relação às leis matemáticas. De fato, a teoria da probabilidade às vezes lança fatos incríveis, difíceis de acreditar à primeira vista - e que, no entanto, são confirmados pela ciência. "Teorias e Práticas" relembrou os paradoxos mais famosos.

Problema de Monty Hall

Foi essa tarefa que o astuto professor do MIT ofereceu aos alunos no filme Twenty-One. Dando a resposta certa personagem principal junta-se a uma equipe de jovens matemáticos brilhantes vencendo cassinos em Las Vegas.

A frase clássica é a seguinte: “Digamos que um determinado jogador foi convidado a participar do famoso programa de TV americano Let’s Make a Deal, apresentado por Monty Hall, e ele precisa escolher uma das três portas. Atrás de duas portas estão cabras, atrás de uma está o prêmio principal, um carro, o apresentador conhece a localização dos prêmios. Após o jogador fazer sua escolha, o facilitador abre uma das portas restantes, atrás da qual está uma cabra, e convida o jogador a mudar de ideia. O jogador deve concordar ou é melhor manter sua escolha original?”

Aqui está uma linha de raciocínio típica: depois que o anfitrião abriu uma das portas e mostrou a cabra, o jogador deve escolher entre duas portas. O carro está atrás de um deles, então a probabilidade de adivinhar é ½. Portanto, não há diferença - mudar sua escolha ou não. Ainda assim, a teoria da probabilidade diz que você pode aumentar suas chances de ganhar mudando sua decisão. Vamos ver por que isso é assim.

Para fazer isso, vamos voltar um passo. No momento em que fizemos a nossa escolha inicial, dividimos as portas em duas partes: a que escolhemos e as outras duas. Obviamente, a probabilidade de o carro estar escondido atrás da "nossa" porta é ⅓ - respectivamente, o carro está atrás de uma das duas portas restantes com uma probabilidade de ⅔. Quando o facilitador indica que há uma cabra atrás de uma dessas portas, verifica-se que essas ⅔ chances caem na segunda porta. E isso reduz a escolha do jogador a duas portas, atrás de uma das quais (inicialmente escolhida) o carro está com probabilidade de ⅓, e atrás da outra com probabilidade de ⅔. A escolha se torna óbvia. O que, claro, não nega o fato de que desde o início o jogador poderia escolher uma porta com um carro.

A tarefa dos três prisioneiros

O Paradoxo dos Três Prisioneiros é semelhante ao problema de Monty Hall, embora a ação ocorra em cenários mais dramáticos. Três prisioneiros (A, B e C) são condenados à morte e colocados em confinamento solitário. O governador seleciona aleatoriamente um deles e concede-lhe o perdão. O diretor sabe qual dos três está perdoado, mas é instruído a manter isso em segredo. O preso A pede ao guarda que lhe diga o nome do segundo preso (além dele mesmo) que definitivamente será executado: "se B for perdoado, diga-me que C será executado. Se C for perdoado, diga-me que B será executado ... Se ambos forem executados, mas eu tiver piedade, jogue uma moeda e diga qualquer um desses dois nomes. O diretor diz que o prisioneiro B será executado. O prisioneiro A deve ficar feliz?

Parece que sim. Afinal, antes de receber esta informação, a probabilidade de morte do prisioneiro A era de ⅔, e agora ele sabe que um dos outros dois prisioneiros será executado, o que significa que a probabilidade de sua execução caiu para ½. Mas, na verdade, o preso A não aprendeu nada de novo: se não fosse perdoado, seria informado o nome de outro preso, e ele já sabia que um dos dois restantes seria executado. Se ele teve sorte e a execução foi cancelada, ele ouvirá nome aleatório B ou C. Portanto, suas chances de salvação não mudaram de forma alguma.

Agora imagine que um dos prisioneiros restantes aprenda sobre a pergunta do prisioneiro A e a resposta recebida. Isso mudará suas idéias sobre a probabilidade de perdão.

Se o prisioneiro B ouvir a conversa, ele saberá que definitivamente será executado. E se o prisioneiro for B, então a probabilidade de seu perdão será ⅔. Por que isso aconteceu? O preso A não recebeu nenhuma informação e suas chances de ser perdoado ainda são ⅓. O prisioneiro B definitivamente não será perdoado e suas chances são zero. Isso significa que a probabilidade de o terceiro prisioneiro ser solto é ⅔.

O paradoxo de dois envelopes

Esse paradoxo ficou conhecido graças ao matemático Martin Gardner e é formulado da seguinte forma: “Suponha que você e um amigo recebam dois envelopes, um dos quais contém uma certa quantia de dinheiro X e o outro contém o dobro. Você abre envelopes de forma independente, conta dinheiro, após o que pode trocá-los. Os envelopes são iguais, então há ½ chance de você receber um envelope com um valor menor. Digamos que você abriu um envelope e encontrou $ 10 nele. Portanto, o envelope do seu amigo pode ter a mesma probabilidade de conter $ 5 ou $ 20. Se você decidir trocar, poderá calcular a expectativa matemática do valor final - ou seja, seu valor médio. É 1/2x$5+1/2x20=$12,5. Assim, a troca é benéfica para você. E, muito provavelmente, seu amigo argumentará exatamente da mesma maneira. Mas é óbvio que a troca não pode ser benéfica para os dois. Qual é o erro?

O paradoxo é que, até você abrir o envelope, as probabilidades se comportam de maneira justa: na verdade, você tem 50% de chance de encontrar X em seu envelope e 50% de chance de encontrar 2X em seu envelope. E o bom senso dita que as informações sobre a quantia que você possui não podem afetar o conteúdo do segundo envelope.

Porém, assim que você abre o envelope, a situação muda drasticamente (esse paradoxo é um tanto semelhante à história do gato de Schrödinger, onde a própria presença de um observador afeta o estado de coisas). O fato é que, para cumprir as condições do paradoxo, a probabilidade de encontrar no segundo envelope uma quantia maior ou menor que a sua deve ser a mesma. Mas então qualquer valor desta soma de zero a infinito é igualmente provável. E se houver um número igualmente provável de possibilidades, elas somam o infinito. E isso é impossível.

Para maior clareza, você pode imaginar que encontrou um centavo em seu envelope. Obviamente, o segundo envelope não pode conter metade do valor.

É curioso que as discussões sobre a resolução do paradoxo continuem na atualidade. Ao mesmo tempo, estão sendo feitas tentativas para explicar o paradoxo por dentro e para desenvolver melhor estratégia comportamento em tal situação. Em particular, o professor Thomas Cover propôs uma abordagem original para a formação de uma estratégia - mudar ou não mudar o envelope, guiado por alguma expectativa intuitiva. Digamos que se você abrir um envelope e encontrar $ 10 nele - uma pequena quantia de acordo com suas estimativas - vale a pena trocá-lo. E se o envelope contiver, digamos, $ 1.000, o que excede suas expectativas mais loucas, não há necessidade de mudar. Essa estratégia intuitiva, se você for regularmente oferecido para escolher dois envelopes, oferece a oportunidade de aumentar os ganhos totais mais do que a estratégia de mudar constantemente os envelopes.

Paradoxo menino e menina

Esse paradoxo também foi proposto por Martin Gardner e é formulado da seguinte forma: “O Sr. Smith tem dois filhos. Pelo menos uma criança é um menino. Qual é a probabilidade de que o segundo também seja um menino?

Parece que a tarefa é simples. No entanto, se você começar a entender, uma circunstância curiosa se revela: a resposta correta será diferente dependendo de como calculamos a probabilidade do sexo da outra criança.

Opção 1

Considere todas as combinações possíveis em famílias com dois filhos:

menina / menina

menina menino

Garoto garota

menino/menino

A opção menina/menina não nos convém de acordo com as condições do problema. Portanto, para a família do Sr. Smith, existem três opções igualmente prováveis - o que significa que a probabilidade de que a outra criança também seja um menino é 1/3. Esta foi a resposta dada pelo próprio Gardner inicialmente.

opção 2

Vamos imaginar que encontramos o Sr. Smith na rua quando ele está caminhando com seu filho. Qual é a probabilidade de que o segundo filho também seja um menino? Como o sexo do segundo filho é independente do sexo do primeiro, a resposta óbvia (e correta) é ½.

Por que isso está acontecendo, porque, ao que parece, nada mudou?

Tudo depende de como abordamos a questão do cálculo da probabilidade. No primeiro caso, consideramos todas as variantes possíveis da família Smith. Na segunda - consideramos todas as famílias que se enquadram na condição obrigatória "deve haver um menino". O cálculo da probabilidade do sexo do segundo filho foi feito com essa condição (na teoria da probabilidade isso é chamado de "probabilidade condicional"), o que levou a um resultado diferente do primeiro.

Em dezembro de 1963 no canal de TV americano NBC programa lançado pela primeira vez Vamos fazer um acordo("Let's Make a Deal!"), em que participantes selecionados da plateia do estúdio negociavam entre si e com o apresentador, jogavam pequenos jogos ou apenas adivinhe a resposta para a pergunta. Ao final da transmissão, os participantes puderam jogar o “acordo do dia”. Havia três portas na frente deles, sobre as quais se sabia que atrás de uma delas estava o Grande Prêmio (por exemplo, um carro), e atrás das outras duas havia presentes menos valiosos ou completamente absurdos (por exemplo, cabras vivas) . Depois que o jogador fez sua escolha, Monty Hall, o apresentador do programa, abriu uma das duas portas restantes, mostrando que não havia Prêmio por trás dela e deixando o participante feliz por ter uma chance de ganhar.

Em 1975, o cientista da UCLA Steve Selvin perguntou o que aconteceria se, naquele momento, depois de abrir a porta sem um Prêmio, o participante fosse solicitado a mudar sua escolha. As chances do jogador de ganhar o prêmio mudarão neste caso e, em caso afirmativo, em que direção? Ele enviou a questão relevante como uma edição para o jornal O Estatístico Americano("The American Statistician"), e também ao próprio Monty Hall, que lhe deu uma resposta bastante curiosa. Apesar desta resposta (ou talvez por causa dela), o problema tornou-se popular sob o nome de "problema de Monty Hall".

Tarefa

Você acabou no show do Monty Hall como participante - e no momento final, abrindo a porta com uma cabra, o apresentador sugeriu que você mudasse de escolha. Sua decisão - concordar ou não - afetará a probabilidade de ganhar?

Dica

Tente considerar pessoas que escolheram portas diferentes no mesmo caso (ou seja, quando o Prêmio está, por exemplo, atrás da porta número 1). Quem se beneficiará com a mudança de escolha e quem não?

Solução

Conforme sugerido na dica, considere pessoas que fizeram escolhas diferentes. Suponha que o Prêmio esteja atrás da porta nº 1, e atrás das portas nº 2 e nº 3 estejam as cabras. Suponha que temos seis pessoas e cada porta foi escolhida por duas pessoas e, de cada par, uma posteriormente mudou a decisão e a outra não.

Note-se que o Anfitrião que escolher a porta nº 1 abrirá uma das duas portas a seu gosto, enquanto, independentemente disso, o Carro será recebido por aquele que não alterar a sua escolha, mas sim aquele que alterou a sua escolha inicial. ficará sem o Prêmio. Agora vamos olhar para aqueles que escolheram as portas #2 e #3. Como há um carro atrás da porta nº 1, o Anfitrião não pode abri-lo, o que não lhe deixa escolha - ele abre as portas nº 3 e nº 2 para eles, respectivamente. Ao mesmo tempo, quem mudou a decisão em cada par escolherá o Prêmio como resultado, e quem não mudou ficará sem nada. Assim, de três pessoas que mudarem de ideia, duas receberão o Prêmio e uma receberá o bode, enquanto das três que deixaram sua escolha original inalterada, apenas uma receberá o Prêmio.

Deve-se notar que se o carro estivesse atrás da porta #2 ou #3, o resultado seria o mesmo, apenas os vencedores específicos mudariam. Assim, supondo que inicialmente cada porta seja escolhida com igual probabilidade, obtemos que quem muda de escolha ganha o Prêmio duas vezes mais, ou seja, a probabilidade de ganhar nesse caso é maior.

Vamos examinar esse problema do ponto de vista da teoria matemática da probabilidade. Vamos assumir que a probabilidade da escolha inicial de cada uma das portas é a mesma, assim como a probabilidade de estar atrás de cada uma das portas do Carro. Além disso, é útil fazer uma reserva para que o Líder, quando puder abrir duas portas, escolha cada uma delas com igual probabilidade. Acontece que, após a primeira decisão, a probabilidade de o Prêmio estar atrás da porta selecionada é de 1/3, enquanto a probabilidade de estar atrás de uma das outras duas portas é de 2/3. Ao mesmo tempo, depois que o Host abriu uma das duas portas "não selecionadas", toda a probabilidade de 2/3 recai sobre apenas uma das portas restantes, criando assim a base para alterar a decisão, o que aumentará a probabilidade de vitória por 2 vezes. O que, claro, não garante de forma alguma em um caso específico, mas levará a resultados mais bem-sucedidos no caso de repetição repetida do experimento.

Posfácio

O problema de Monty Hall não é a primeira formulação conhecida deste problema. Em particular, em 1959, Martin Gardner publicou na revista Americano científico um problema semelhante “cerca de três prisioneiros” (Problema dos Três Prisioneiros) com a seguinte formulação: “ Dos três prisioneiros, um deveria ser perdoado e dois deveriam ser executados. O prisioneiro A convence o guarda a lhe dizer o nome de um dos outros dois que serão executados (se ambos forem executados), após o que, tendo recebido o nome B, ele considera que a probabilidade de sua própria salvação tornou-se não 1/3, mas 1/2. Ao mesmo tempo, o prisioneiro C afirma que a probabilidade de sua fuga tornou-se 2/3, enquanto nada mudou para A. Qual deles está certo?»

No entanto, Gardner não foi o primeiro, já que em 1889, em seu Cálculo de Probabilidades, o matemático francês Joseph Bertrand (não confundir com o inglês Bertrand Russell!) Oferece um problema semelhante (veja o paradoxo da caixa de Bertrand): “ Existem três caixas, cada uma contendo duas moedas: duas de ouro na primeira, duas de prata na segunda e duas diferentes na terceira. De uma caixa selecionada aleatoriamente, uma moeda foi retirada aleatoriamente, que acabou sendo ouro. Qual é a probabilidade de que a moeda restante na caixa seja ouro?»

Se você entender as soluções para todos os três problemas, será fácil perceber a semelhança de suas ideias; matematicamente, todos eles estão unidos pelo conceito de probabilidade condicional, ou seja, a probabilidade do evento A, se for conhecido que o evento B ocorreu. O exemplo mais simples: a probabilidade de rolar um dado normal é 1/6; no entanto, se o número rolado for conhecido como ímpar, a probabilidade de que seja um já é 1/3. O problema de Monty Hall, como os outros dois problemas citados, mostra que as probabilidades condicionais devem ser tratadas com cuidado.

Esses problemas também são freqüentemente chamados de paradoxos: o paradoxo de Monty Hall, o paradoxo da caixa de Bertrand (este último não deve ser confundido com o verdadeiro paradoxo de Bertrand dado no mesmo livro, que provou a ambigüidade do conceito de probabilidade que existia naquela época) - que implica alguma contradição (por exemplo, em "paradoxo do mentiroso" a frase "esta afirmação é falsa" contradiz a lei do terceiro excluído). Neste caso, porém, não há contradição com afirmações rigorosas. No entanto, há uma clara contradição com opinião pública” ou simplesmente “uma solução óbvia” para o problema. De fato, a maioria das pessoas, olhando para o problema, acredita que depois de abrir uma das portas, a probabilidade de encontrar o Prêmio atrás de qualquer uma das duas restantes fechadas é de 1/2. Ao fazer isso, eles afirmam que não faz diferença se concordam ou discordam em mudar de opinião. Além disso, muitas pessoas acham difícil compreender uma resposta diferente dessa, mesmo depois de ouvirem a solução detalhada.

Em dezembro de 1963, o canal de televisão americano NBC exibiu pela primeira vez o programa Let's Make a Deal ("Vamos fazer um acordo!"), No qual os participantes, selecionados da platéia do estúdio, barganhavam entre si e com o apresentador, jogavam pequenas jogos ou simplesmente adivinhou a resposta à pergunta. Ao final da transmissão, os participantes puderam jogar o “acordo do dia”. Havia três portas na frente deles, sobre as quais se sabia que atrás de uma delas estava o Grande Prêmio (por exemplo, um carro), e atrás das outras duas havia presentes menos valiosos ou completamente absurdos (por exemplo, cabras vivas) . Depois que o jogador fez sua escolha, Monty Hall, o apresentador do programa, abriu uma das duas portas restantes, mostrando que não havia Prêmio por trás dela e deixando o participante feliz por ter uma chance de ganhar.

Em 1975, o cientista da UCLA Steve Selvin perguntou o que aconteceria se, naquele momento, depois de abrir a porta sem um Prêmio, o participante fosse solicitado a mudar sua escolha. As chances do jogador de ganhar o prêmio mudarão neste caso e, em caso afirmativo, em que direção? Ele enviou a pergunta correspondente na forma de um problema para The American Statistician ("American Statistician"), bem como para o próprio Monty Hall, que deu uma resposta bastante curiosa a ela. Apesar desta resposta (ou talvez por causa dela), o problema tornou-se popular sob o nome de "problema de Monty Hall".

A formulação mais comum desse problema, publicada em 1990 na revista Parade, é a seguinte:

“Imagine que você se tornou participante de um jogo no qual precisa escolher uma das três portas. Atrás de uma das portas está um carro, atrás das outras duas portas estão cabras. Você escolhe uma das portas, por exemplo, a número 1, depois disso o anfitrião, que sabe onde está o carro e onde estão as cabras, abre uma das portas restantes, por exemplo, a número 3, atrás da qual está uma cabra. Depois disso, ele pergunta se você gostaria de mudar sua escolha e escolher a porta número 2. Suas chances de ganhar o carro aumentarão se você aceitar a oferta do anfitrião e mudar sua escolha?

Após a publicação, ficou imediatamente claro que o problema foi formulado incorretamente: nem todas as condições foram estipuladas. Por exemplo, o facilitador pode seguir a estratégia do “Monty infernal”: oferecer para mudar a escolha se e somente se o jogador escolheu um carro na primeira jogada. Obviamente, alterar a escolha inicial levará a uma perda garantida em tal situação.

O mais popular é o problema com uma condição adicional - o participante do jogo conhece as seguintes regras com antecedência:

o carro tem a mesma probabilidade de ser colocado atrás de qualquer uma das 3 portas;
em qualquer caso, o anfitrião é obrigado a abrir a porta com a cabra (mas não a que o jogador escolheu) e oferecer ao jogador a alteração da escolha;
se o líder puder escolher qual das duas portas abrir, ele escolherá qualquer uma delas com a mesma probabilidade.

Dica

Solução

Posfácio

O problema de Monty Hall não é a primeira formulação conhecida deste problema. Em particular, em 1959, Martin Gardner publicou na Scientific American um problema semelhante “cerca de três prisioneiros” (Problema dos Três Prisioneiros) com a seguinte redação: “De três prisioneiros, um deve ser perdoado e dois devem ser executados. O prisioneiro A convence o guarda a lhe dizer o nome de um dos outros dois que serão executados (se ambos forem executados), após o que, tendo recebido o nome B, ele considera que a probabilidade de sua própria salvação tornou-se não 1/3, mas 1/2. Ao mesmo tempo, o prisioneiro C afirma que a probabilidade de sua fuga tornou-se 2/3, enquanto nada mudou para A. Qual deles está certo?"

Se você entender as soluções para todos os três problemas, será fácil perceber a semelhança de suas ideias; matematicamente, todos eles estão unidos pelo conceito de probabilidade condicional, ou seja, a probabilidade do evento A, se for conhecido que o evento B ocorreu. O exemplo mais simples: a probabilidade de uma unidade cair em um dado regular é 1/6; no entanto, se o número rolado for conhecido como ímpar, a probabilidade de que seja um já é 1/3. O problema de Monty Hall, como os outros dois problemas citados, mostra que as probabilidades condicionais devem ser tratadas com cuidado.

Esses problemas também costumam ser chamados de paradoxos: o paradoxo de Monty Hall, o paradoxo da caixa de Bertrand (este último não deve ser confundido com o verdadeiro paradoxo de Bertrand dado no mesmo livro, que provou a ambigüidade do conceito de probabilidade que existia naquela época) - que implica alguma contradição (por exemplo, em "paradoxo do mentiroso" a frase "esta afirmação é falsa" contradiz a lei do terceiro excluído). Neste caso, porém, não há contradição com afirmações rigorosas. Mas há uma clara contradição com a "opinião pública" ou simplesmente com a "solução óbvia" do problema. De fato, a maioria das pessoas, olhando para o problema, acredita que depois de abrir uma das portas, a probabilidade de encontrar o Prêmio atrás de qualquer uma das duas restantes fechadas é de 1/2. Ao fazer isso, eles afirmam que não faz diferença se concordam ou discordam em mudar de opinião. Além disso, muitas pessoas acham difícil compreender uma resposta diferente dessa, mesmo depois de ouvirem a solução detalhada.

A resposta de Monty Hall a Steve Selwyn

Sr. Steve Selvin,
professor assistente de bioestatística,
Universidade da California, Berkeley.

Caro Steve,

Obrigado por me enviar o problema da American Statistical.

Embora não tenha estudado estatística na universidade, sei que os números sempre podem ser usados a meu favor se eu quiser manipulá-los. Seu raciocínio não leva em conta uma circunstância essencial: depois que a primeira caixa estiver vazia, o participante não poderá mais alterar sua escolha. Portanto, as probabilidades permanecem as mesmas: uma em três, certo? E, claro, depois que uma das caixas fica vazia, as chances não chegam a 50/50, mas permanecem as mesmas - uma em três. Parece apenas ao participante que, ao se livrar de uma caixa, ele tem mais chances. De jeito nenhum. Dois contra um contra ele, como era, e permanece. E se você vier de repente ao meu show, as regras continuarão as mesmas para você: sem trocar de caixa após a seleção.

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