Hitta en gemensam multipel av två tal. Minsta gemensamma multipel (LCM)
Största gemensamma delare
Definition 2
Om ett naturligt tal a är delbart med ett naturligt tal $b$, kallas $b$ en divisor av $a$, och talet $a$ kallas en multipel av $b$.
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal. Talet $c$ kallas en gemensam divisor för både $a$ och $b$.
Mängden gemensamma divisorer för talen $a$ och $b$ är ändlig, eftersom ingen av dessa divisorer kan vara större än $a$. Det betyder att bland dessa divisorer finns den största, som kallas den största gemensamma divisorn av talen $a$ och $b$, och notationen används för att beteckna den:
$gcd \ (a;b) \ eller \ D \ (a;b)$
För att hitta den största gemensamma delaren av två tal:
- Hitta produkten av talen som hittades i steg 2. Det resulterande talet blir den önskade största gemensamma divisorn.
Exempel 1
Hitta gcd för siffrorna $121$ och $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Välj de siffror som ingår i expansionen av dessa siffror
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Hitta produkten av talen som hittades i steg 2. Det resulterande talet blir den önskade största gemensamma divisorn.
$gcd=2\cdot 11=22$
Exempel 2
Hitta GCD för monomial $63$ och $81$.
Vi kommer att hitta enligt den presenterade algoritmen. För detta:
Låt oss dekomponera tal i primtalsfaktorer
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Vi väljer ut de siffror som ingår i expansionen av dessa siffror
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Låt oss hitta produkten av talen som hittades i steg 2. Det resulterande talet kommer att vara den önskade största gemensamma divisorn.
$gcd=3\cdot 3=9$
Du kan hitta GCD för två tal på ett annat sätt, genom att använda uppsättningen av delare av tal.
Exempel 3
Hitta gcd för siffrorna $48$ och $60$.
Lösning:
Hitta uppsättningen delare av $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Låt oss nu hitta uppsättningen av delare av $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Låt oss hitta skärningspunkten mellan dessa uppsättningar: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - denna uppsättning kommer att bestämma uppsättningen gemensamma divisorer för talen $48$ och $60 $. Det största elementet i denna uppsättning kommer att vara siffran $12$. Så den största gemensamma delaren för $48$ och $60$ är $12$.
Definition av NOC
Definition 3
gemensam multipel av naturliga tal$a$ och $b$ är ett naturligt tal som är en multipel av både $a$ och $b$.
Gemensamma multipler av tal är tal som är delbara med originalet utan rest. Till exempel för talen $25$ och $50$ blir de gemensamma multiplerna talen $50,100,150,200$, etc.
Den minsta gemensamma multipeln kommer att kallas den minsta gemensamma multipeln och betecknas med LCM$(a;b)$ eller K$(a;b).$
För att hitta LCM för två siffror behöver du:
- Dela upp tal i primtalsfaktorer
- Skriv ut faktorerna som är en del av det första talet och lägg till dem de faktorer som ingår i det andra och inte går till det första
Exempel 4
Hitta LCM för talen $99$ och $77$.
Vi kommer att hitta enligt den presenterade algoritmen. För detta
Dela upp tal i primtalsfaktorer
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Skriv ner de faktorer som ingår i den första
lägg till dem faktorer som är en del av den andra och inte går till den första
Hitta produkten av talen som hittades i steg 2. Det resulterande talet blir den önskade minsta gemensamma multipeln
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Att sammanställa listor över taldelare är ofta mycket tidskrävande. Det finns ett sätt att hitta GCD som kallas Euklids algoritm.
Påståenden som Euklids algoritm är baserad på:
Om $a$ och $b$ är naturliga tal, och $a\vdots b$, då $D(a;b)=b$
Om $a$ och $b$ är naturliga tal så att $b
Genom att använda $D(a;b)= D(a-b;b)$ kan vi successivt minska siffrorna i fråga tills vi når ett par tal så att det ena är delbart med det andra. Då blir det minsta av dessa tal den önskade största gemensamma divisorn för talen $a$ och $b$.
Egenskaper för GCD och LCM
- Varje gemensam multipel av $a$ och $b$ är delbar med K$(a;b)$
- Om $a\vdots b$, då K$(a;b)=a$
Om K$(a;b)=k$ och $m$-naturligt tal, då K$(am;bm)=km$
Om $d$ är en gemensam divisor för $a$ och $b$, då K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $
Om $a\vdots c$ och $b\vdots c$ är $\frac(ab)(c)$ en gemensam multipel av $a$ och $b$
För alla naturliga tal $a$ och $b$ är likheten
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Varje gemensam divisor av $a$ och $b$ är en divisor av $D(a;b)$
Den största gemensamma divisorn och den minsta gemensamma multipeln är viktiga aritmetiska begrepp som låter dig arbeta utan ansträngning vanliga bråk. LCM och används oftast för att hitta den gemensamma nämnaren för flera bråk.
Grundläggande koncept
Divisorn för ett heltal X är ett annat heltal Y med vilket X är delbart utan rest. Till exempel är divisorn för 4 2 och 36 är 4, 6, 9. En multipel av heltal X är ett tal Y som är delbart med X utan rest. Till exempel är 3 en multipel av 15 och 6 är en multipel av 12.
För alla talpar kan vi hitta deras gemensamma divisorer och multiplar. Till exempel, för 6 och 9 är den gemensamma multipeln 18, och den gemensamma divisorn är 3. Uppenbarligen kan par ha flera divisorer och multipler, så den största divisorn av GCD och den minsta multipeln av LCM används i beräkningarna .
Den minsta divisorn är inte meningsfull, eftersom den för alla tal alltid är ett. Den största multipeln är också meningslös, eftersom sekvensen av multiplar tenderar till oändlighet.
Hitta GCD
Det finns många metoder för att hitta den största gemensamma divisorn, av vilka de mest kända är:
- sekventiell uppräkning av divisorer, urval av vanliga för ett par och sök efter den största av dem;
- sönderdelning av tal till odelbara faktorer;
- Euklids algoritm;
- binär algoritm.
Idag kl läroanstalter de mest populära är metoder för primtalsfaktorisering och Euklids algoritm. Den senare används i sin tur för att lösa diofantiska ekvationer: sökningen efter GCD krävs för att kontrollera ekvationen för möjligheten att lösa den i heltal.
Att hitta NOC
Den minsta gemensamma multipeln bestäms också exakt genom iterativ uppräkning eller faktorisering till odelbara faktorer. Dessutom är det lätt att hitta LCM om den största divisorn redan har bestämts. För nummer X och Y är LCM och GCD relaterade av följande relation:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Till exempel, om gcd(15,18) = 3, då LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Den mest uppenbara användningen av LCM är att hitta den gemensamma nämnaren, som är den minsta gemensamma multipeln av givna bråk.
Samprimtal
Om ett talpar inte har några gemensamma divisorer, kallas ett sådant par coprime. GCM för sådana par är alltid lika med ett, och baserat på kopplingen av divisorer och multipler är GCM för coprime lika med deras produkt. Till exempel är talen 25 och 28 coprime, eftersom de inte har några gemensamma divisorer, och LCM(25, 28) = 700, vilket motsvarar deras produkt. Alla två odelbara tal kommer alltid att vara coprime.
Gemensam divisor och multipelräknare
Med vår kalkylator kan du beräkna GCD och LCM för valfritt antal siffror att välja mellan. Uppgifter för att beräkna gemensamma divisorer och multipler finns i aritmetiken för betyg 5, 6, dock GCD och LCM - nyckelbegrepp matematik och används inom talteori, planimetri och kommunikativ algebra.
Verkliga exempel
Gemensam nämnare för bråk
Den minsta gemensamma multipeln används för att hitta den gemensamma nämnaren för flera bråk. Antag att i ett aritmetiskt problem krävs att man summerar 5 bråk:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
För att lägga till bråk måste uttrycket reduceras till en gemensam nämnare, vilket reducerar till problemet med att hitta LCM. För att göra detta, välj 5 siffror i räknaren och skriv in nämnarvärdena i lämpliga celler. Programmet kommer att beräkna LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nu måste du beräkna ytterligare faktorer för varje bråkdel, som definieras som förhållandet mellan LCM och nämnaren. Så de extra multiplikatorerna skulle se ut så här:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Efter det multiplicerar vi alla bråk med motsvarande tilläggsfaktor och får:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Vi kan enkelt lägga till sådana bråk och få resultatet i form av 159/360. Vi minskar bråket med 3 och ser det slutliga svaret - 53/120.
Lösning av linjära diofantina ekvationer
Linjära diofantiska ekvationer är uttryck av formen ax + by = d. Om förhållandet d / gcd(a, b) är ett heltal, är ekvationen lösbar i heltal. Låt oss kolla ett par ekvationer för möjligheten till en heltalslösning. Kontrollera först ekvationen 150x + 8y = 37. Med hjälp av en miniräknare hittar vi gcd (150,8) = 2. Dividera 37/2 = 18,5. Talet är inte ett heltal, därför har ekvationen inte heltalsrötter.
Låt oss kolla ekvationen 1320x + 1760y = 10120. Använd kalkylatorn för att hitta gcd(1320, 1760) = 440. Dividera 10120/440 = 23. Som ett resultat får vi ett heltal, därför är Diofantinkoefficienten löslig i heltal .
Slutsats
GCD och LCM spelar en viktig roll i talteorin, och själva begreppen används i stor utsträckning inom olika områden av matematiken. Använd vår kalkylator för att beräkna de största divisorerna och de minsta multiplerna av valfritt antal tal.
Den minsta gemensamma multipeln av två tal är direkt relaterad till den största gemensamma divisorn av dessa tal. Detta länk mellan GCD och NOC definieras av följande teorem.
Sats.
Den minsta gemensamma multipeln av två positiva heltal a och b är lika med produkten av a och b dividerat med den största gemensamma divisorn av a och b, dvs. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).
Bevis.
Låta M är någon multipel av talen a och b. Det vill säga, M är delbart med a, och enligt definitionen av delbarhet finns det något heltal k så att likheten M=a·k är sann. Men M är också delbart med b, då är a k delbart med b.
Beteckna gcd(a, b) som d . Sedan kan vi skriva ner likheterna a=a 1 ·d och b=b 1 ·d, och a 1 =a:d och b 1 =b:d blir coprimtal. Därför kan villkoret som erhållits i föregående stycke att a k är delbart med b omformuleras på följande sätt: a 1 d k är delbart med b 1 d , och detta, på grund av delbarhetens egenskaper, är ekvivalent med villkoret att a 1 k är delbart med b 1 .
Vi behöver också skriva ner två viktiga följder från den övervägda satsen.
Gemensamma multipler av två tal är desamma som multiplar av deras minsta gemensamma multipel.
Detta är sant, eftersom varje gemensam multipel av M tal a och b definieras av likheten M=LCM(a, b) t för något heltalsvärde t .
Minsta gemensamma multipel av coprime positiva siffror a och b är lika med deras produkt.
Skälet till detta faktum är ganska uppenbart. Eftersom a och b är coprime, då gcd(a, b)=1 , därför, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Minsta gemensamma multipel av tre eller fler tal
Att hitta den minsta gemensamma multipeln av tre eller flera tal kan reduceras till att successivt hitta LCM för två tal. Hur detta går till anges i följande sats: a 1 , a 2 , …, a k sammanfaller med gemensamma multiplar av tal m k-1 och a k sammanfaller därför med multiplar av m k . Och eftersom den minsta positiva multipeln av talet m k är talet m k själv, så är den minsta gemensamma multipeln av talen a 1 , a 2 , …, a k m k .
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. etc. Matematik. Årskurs 6: lärobok för läroanstalter.
- Vinogradov I.M. Grunderna i talteorin.
- Mikhelovich Sh.Kh. Talteori.
- Kulikov L.Ya. och andra. Samling av problem inom algebra och talteori: Handledning för studenter i fysik och matematik. pedagogiska institutens specialiteter.
För att förstå hur man beräknar LCM bör du först bestämma innebörden av termen "multipel".
En multipel av A är ett naturligt tal som är delbart med A utan rest. Således kan 15, 20, 25 och så vidare betraktas som multiplar av 5.
Det kan finnas ett begränsat antal divisorer av ett visst tal, men det finns ett oändligt antal multiplar.
En gemensam multipel av naturliga tal är ett tal som är delbart med dem utan rest.
Hur man hittar den minsta gemensamma multipeln av tal
Den minsta gemensamma multipeln (LCM) av tal (två, tre eller fler) är det minsta naturliga talet som är jämnt delbart med alla dessa tal.
För att hitta NOC kan du använda flera metoder.
För små tal är det bekvämt att skriva ut alla multipler av dessa tal på en rad tills en gemensam finns bland dem. Multipler anger i posten stor bokstav TILL.
Till exempel kan multiplar av 4 skrivas så här:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
Så du kan se att den minsta gemensamma multipeln av siffrorna 4 och 6 är talet 24. Denna inmatning utförs enligt följande:
LCM(4, 6) = 24
Om talen är stora, hitta den gemensamma multipeln av tre eller fler tal, då är det bättre att använda ett annat sätt att beräkna LCM.
För att slutföra uppgiften är det nödvändigt att dekomponera de föreslagna talen i primtalsfaktorer.
Först måste du skriva ut expansionen av det största av siffrorna på en rad, och under det - resten.
I expansionen av varje nummer kan det finnas ett annat antal faktorer.
Låt oss till exempel faktorisera talen 50 och 20 till primtalsfaktorer.
Vid utbyggnaden av det mindre antalet bör faktorer som saknas vid utbyggnaden av det första framhållas. ett stort antal och lägg sedan till dem. I det presenterade exemplet saknas en tvåa.
Nu kan vi beräkna den minsta gemensamma multipeln av 20 och 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Således kommer produkten av primfaktorerna för det större talet och faktorerna för det andra talet, som inte ingår i sönderdelningen av det större talet, att vara den minsta gemensamma multipeln.
För att hitta LCM för tre eller fler tal bör alla delas upp i primtalsfaktorer, som i föregående fall.
Som ett exempel kan du hitta den minsta gemensamma multipeln av talen 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Således inkluderades endast två tvåor från sönderdelningen av sexton i faktoriseringen av ett större antal (en är i sönderdelningen av tjugofyra).
Således måste de läggas till nedbrytningen av ett större antal.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Det finns speciella fall för att bestämma den minsta gemensamma multipeln. Så om ett av talen kan delas utan en rest med ett annat, kommer det största av dessa tal att vara den minsta gemensamma multipeln.
Till exempel skulle NOC på tolv och tjugofyra vara tjugofyra.
Om det är nödvändigt att hitta den minsta gemensamma multipeln av coprimtal som inte har samma divisorer, kommer deras LCM att vara lika med deras produkt.
Till exempel, LCM(10; 11) = 110.
Låt oss fortsätta diskussionen om den minsta gemensamma multipeln som vi startade i avsnittet LCM - Minsta gemensamma multipel, definition, exempel. I det här ämnet kommer vi att titta på sätt att hitta LCM för tre tal eller fler, vi kommer att analysera frågan om hur man hittar LCM för ett negativt tal.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Beräkning av minsta gemensamma multipel (LCM) till gcd
Vi har redan etablerat förhållandet mellan den minsta gemensamma multipeln och den största gemensamma divisorn. Låt oss nu lära oss hur man definierar LCM genom GCD. Låt oss först ta reda på hur man gör detta för positiva siffror.
Definition 1
Du kan hitta den minsta gemensamma multipeln genom den största gemensamma divisorn med formeln LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Exempel 1
Det är nödvändigt att hitta LCM för siffrorna 126 och 70.
Lösning
Låt oss ta a = 126 , b = 70 . Ersätt värdena i formeln för att beräkna den minsta gemensamma multipeln genom den största gemensamma divisorn LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Hittar GCD för talen 70 och 126. För detta behöver vi Euklids algoritm: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , därav gcd (126 , 70) = 14 .
Låt oss beräkna LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Svar: LCM (126, 70) = 630.
Exempel 2
Hitta nok för siffrorna 68 och 34.
Lösning
GCD in det här fallet Att hitta det är lätt, eftersom 68 är delbart med 34. Beräkna den minsta gemensamma multipeln med formeln: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Svar: LCM(68; 34) = 68.
I det här exemplet använde vi regeln för att hitta den minsta gemensamma multipeln av positiva heltal a och b: om det första talet är delbart med det andra, så kommer LCM för dessa tal att vara lika med det första talet.
Hitta LCM genom att faktorisera siffror till primära faktorer
Låt oss nu titta på ett sätt att hitta LCM, som är baserat på sönderdelningen av tal till primtalsfaktorer.
Definition 2
För att hitta den minsta gemensamma multipeln måste vi utföra ett antal enkla steg:
- vi gör upp produkten av alla primtalsfaktorer av tal för vilka vi behöver hitta LCM;
- vi utesluter alla primära faktorer från deras erhållna produkter;
- produkten som erhålls efter eliminering av de vanliga primfaktorerna kommer att vara lika med LCM för de givna talen.
Detta sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln baseras på likheten LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Om du tittar på formeln kommer det att bli tydligt: produkten av talen a och b är lika med produkten av alla faktorer som är involverade i expansionen av dessa två tal. I det här fallet är GCD för två tal lika med produkten av alla primtalsfaktorer som är närvarande samtidigt i faktoriseringarna av dessa två tal.
Exempel 3
Vi har två nummer 75 och 210 . Vi kan räkna ut dem så här: 75 = 3 5 5 Och 210 = 2 3 5 7. Om du gör produkten av alla faktorer av de två ursprungliga talen får du: 2 3 3 5 5 5 7.
Om vi exkluderar de faktorer som är gemensamma för både siffrorna 3 och 5 får vi en produkt av följande form: 2 3 5 5 7 = 1050. Denna produkt kommer att vara vår LCM för nummer 75 och 210.
Exempel 4
Hitta LCM för siffror 441 Och 700 , nedbrytning av båda talen i primtalsfaktorer.
Lösning
Låt oss hitta alla primtalsfaktorer för talen som ges i villkoret:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Vi får två talkedjor: 441 = 3 3 7 7 och 700 = 2 2 5 5 7 .
Produkten av alla faktorer som deltog i expansionen av dessa siffror kommer att se ut så här: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Låt oss hitta de gemensamma faktorerna. Detta nummer är 7 . Låt oss utesluta det från vanlig produkt: 2 2 3 3 5 5 7 7. Det visar sig att NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Svar: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Låt oss ge ytterligare en formulering av metoden för att hitta LCM genom att sönderdela tal i primtalsfaktorer.
Definition 3
Tidigare har vi uteslutit från det totala antalet faktorer som är gemensamma för båda siffrorna. Nu ska vi göra det annorlunda:
- Låt oss dekomponera båda talen i primtalsfaktorer:
- lägg till produkten av primtalsfaktorerna för det första talet de saknade faktorerna för det andra talet;
- vi får produkten, som kommer att vara den önskade LCM av två nummer.
Exempel 5
Låt oss gå tillbaka till siffrorna 75 och 210, för vilka vi redan letade efter LCM i ett av de tidigare exemplen. Låt oss dela upp dem i enkla faktorer: 75 = 3 5 5 Och 210 = 2 3 5 7. Till produkten av faktorerna 3, 5 och 5 nummer 75 lägg till de saknade faktorerna 2 Och 7 nummer 210 . Vi får: 2 3 5 5 7 . Detta är LCM för siffrorna 75 och 210.
Exempel 6
Det är nödvändigt att beräkna LCM för siffrorna 84 och 648.
Lösning
Låt oss dekomponera talen från villkoret till primtalsfaktorer: 84 = 2 2 3 7 Och 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Lägg till produkten av faktorerna 2 , 2 , 3 och 7
nummer 84 saknar faktorer 2 , 3 , 3 och
3
nummer 648 . Vi får produkten 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Detta är den minsta gemensamma multipeln av 84 och 648.
Svar: LCM (84, 648) = 4536.
Hitta LCM för tre eller fler nummer
Oavsett hur många siffror vi har att göra med, kommer algoritmen för våra handlingar alltid att vara densamma: vi kommer konsekvent att hitta LCM för två siffror. Det finns ett teorem för detta fall.
Sats 1
Anta att vi har heltal a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k av dessa tal finns i sekventiell beräkning m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Låt oss nu titta på hur teoremet kan tillämpas på specifika problem.
Exempel 7
Du måste beräkna den minsta gemensamma multipeln av de fyra talen 140 , 9 , 54 och 250 .
Lösning
Låt oss presentera notationen: en 1 \u003d 140, en 2 \u003d 9, en 3 \u003d 54, en 4 \u003d 250.
Låt oss börja med att beräkna m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Låt oss använda den euklidiska algoritmen för att beräkna GCD för talen 140 och 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Vi får: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Därför är m 2 = 1 260 .
Låt oss nu beräkna enligt samma algoritm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Under beräkningarna får vi m 3 = 3 780.
Det återstår för oss att beräkna m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Vi agerar enligt samma algoritm. Vi får m 4 \u003d 94 500.
LCM för de fyra talen från exempelvillkoret är 94500.
Svar: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Som du kan se är beräkningarna enkla, men ganska mödosamma. För att spara tid kan du gå åt andra hållet.
Definition 4
Vi erbjuder dig följande algoritm för åtgärder:
- dekomponera alla tal i primtalsfaktorer;
- till produkten av faktorerna för det första talet, lägg till de saknade faktorerna från produkten av det andra talet;
- lägg till de saknade faktorerna för det tredje numret till produkten som erhållits i föregående steg, etc.;
- den resulterande produkten kommer att vara den minsta gemensamma multipeln av alla tal från villkoret.
Exempel 8
Det är nödvändigt att hitta LCM för fem siffror 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Lösning
Låt oss dekomponera alla fem talen i primtalsfaktorer: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . primtal, som är talet 7 , kan inte räknas in i primtalsfaktorer. Sådana tal sammanfaller med deras nedbrytning i primtalsfaktorer.
Låt oss nu ta produkten av primfaktorerna 2, 2, 3 och 7 av talet 84 och lägga till de saknade faktorerna för det andra talet. Vi har dekomponerat talet 6 till 2 och 3. Dessa faktorer finns redan i produkten av det första talet. Därför utelämnar vi dem.
Vi fortsätter att lägga till de saknade multiplikatorerna. Vi vänder oss till talet 48, från produkten av primtalsfaktorer som vi tar 2 och 2 av. Sedan lägger vi till en enkel faktor 7 från det fjärde talet och faktorerna 11 och 13 av det femte. Vi får: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Detta är den minsta gemensamma multipeln av de fem ursprungliga talen.
Svar: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Hitta den minsta gemensamma multipeln av negativa tal
För att hitta den minsta gemensamma multipeln av negativa tal måste dessa tal först ersättas med tal med motsatt tecken, och sedan ska beräkningarna utföras enligt ovanstående algoritmer.
Exempel 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) och LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Sådana åtgärder är tillåtna på grund av det faktum att om det accepteras att a Och − a- motsatta siffror
sedan uppsättningen av multiplar a sammanfaller med mängden multiplar av ett tal − a.
Exempel 10
Det är nödvändigt att beräkna LCM för negativa tal − 145 Och − 45 .
Lösning
Låt oss ändra siffrorna − 145 Och − 45 till deras motsatta nummer 145 Och 45 . Nu, med hjälp av algoritmen, beräknar vi LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , efter att tidigare ha bestämt GCD med Euklid-algoritmen.
Vi får att LCM för siffror − 145 och − 45 lika 1 305 .
Svar: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
