Betydelsen av andragradsekvationen. Lösning av andragradsekvationer, rötters formel, exempel
Formler för rötterna till en andragradsekvation. Fallen med verkliga, multipla och komplexa rötter beaktas. Faktorisering av ett kvadratiskt trinomium. Geometrisk tolkning. Exempel på bestämning av rötter och faktorisering.
Grundläggande formler
Tänk på andragradsekvationen:
(1)
.
Rötterna till en andragradsekvation(1) bestäms av formlerna:
;
.
Dessa formler kan kombineras så här:
.
När rötterna till andragradsekvationen är kända, kan polynomet av andra graden representeras som en produkt av faktorer (faktoriserat):
.
Vidare antar vi att det är reella tal.
Överväga diskriminant av en andragradsekvation:
.
Om diskriminanten är positiv har andragradsekvationen (1) två olika reella rötter:
;
.
Då har faktoriseringen av kvadrattrinomialet formen:
.
Om diskriminanten är noll, har andragradsekvationen (1) två multipla (lika) reella rötter:
.
Faktorisering:
.
Om diskriminanten är negativ har andragradsekvationen (1) två komplexa konjugerade rötter:
;
.
Här är den tänkta enheten, ;
och är de verkliga och imaginära delarna av rötterna:
;
.
Sedan
.
Grafisk tolkning
Om bygga funktionsdiagram
,
som är en parabel, då kommer skärningspunkterna för grafen med axeln att vara rötterna till ekvationen
.
När , skär grafen abskissaxeln (axeln) vid två punkter.
När , vidrör grafen x-axeln vid en punkt.
När , korsar grafen inte x-axeln.
Nedan finns exempel på sådana grafer.
Användbara formler relaterade till kvadratiska ekvation
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Härledning av formeln för rötterna till en andragradsekvation
Vi utför transformationer och tillämpar formler (f.1) och (f.3):
,
Var
;
.
Så vi fick formeln för polynomet av andra graden i formen:
.
Av detta kan man se att ekvationen
uppträdde kl
Och .
Det vill säga, och är rötterna till andragradsekvationen
.
Exempel på att bestämma rötterna till en andragradsekvation
Exempel 1
(1.1)
.
Lösning
.
Jämför vi med vår ekvation (1.1) hittar vi värdena på koefficienterna:
.
Hitta diskriminanten:
.
Eftersom diskriminanten är positiv har ekvationen två reella rötter:
;
;
.
Härifrån får vi nedbrytningen av kvadrattrinomialet i faktorer:
.
Graf över funktionen y = 2 x 2 + 7 x + 3 korsar x-axeln i två punkter.
Låt oss plotta funktionen
.
Grafen för denna funktion är en parabel. Den korsar x-axeln (axeln) vid två punkter:
Och .
Dessa punkter är rötterna till den ursprungliga ekvationen (1.1).
Svar
;
;
.
Exempel 2
Hitta rötterna till en andragradsekvation:
(2.1)
.
Lösning
Vi skriver andragradsekvationen i allmän syn:
.
Jämför vi med den ursprungliga ekvationen (2.1) finner vi värdena på koefficienterna:
.
Hitta diskriminanten:
.
Eftersom diskriminanten är noll har ekvationen två multipla (lika) rötter:
;
.
Då har faktoriseringen av trinomialet formen:
.
Graf för funktionen y = x 2 - 4 x + 4 vidrör x-axeln vid en punkt.
Låt oss plotta funktionen
.
Grafen för denna funktion är en parabel. Den berör x-axeln (axeln) vid en punkt:
.
Denna punkt är roten till den ursprungliga ekvationen (2.1). Eftersom denna rot är faktoriserad två gånger:
,
då kallas en sådan rot en multipel. Det vill säga, de anser att det finns två lika rötter:
.
Svar
;
.
Exempel 3
Hitta rötterna till en andragradsekvation:
(3.1)
.
Lösning
Vi skriver andragradsekvationen i allmän form:
(1)
.
Låt oss skriva om den ursprungliga ekvationen (3.1):
.
Jämför vi med (1) finner vi värdena på koefficienterna:
.
Hitta diskriminanten:
.
Diskriminanten är negativ, . Därför finns det inga riktiga rötter.
Du kan hitta komplexa rötter:
;
;
.
Sedan
.
Grafen för funktionen korsar inte x-axeln. Det finns inga riktiga rötter.
Låt oss plotta funktionen
.
Grafen för denna funktion är en parabel. Den korsar inte abskissan (axeln). Därför finns det inga riktiga rötter.
Svar
Det finns inga riktiga rötter. Komplexa rötter:
;
;
.
Videolektion 2: Lösa andragradsekvationer
Föreläsning: Kvadratisk ekvation
Ekvationen
Ekvationen– det här är en sorts jämlikhet, i vars uttryck det finns en variabel.
lösa ekvationen- betyder att hitta ett sådant tal istället för en variabel som leder det till rätt likhet.
En ekvation kan ha en lösning, eller flera, eller ingen alls.
För att lösa en ekvation bör den förenklas så mycket som möjligt till formen:
Linjär: a*x = b;
Fyrkant: a*x 2 + b*x + c = 0.
Det vill säga att varje ekvation innan lösning måste omvandlas till en standardform.
Vilken ekvation som helst kan lösas på två sätt: analytisk och grafisk.
På grafen anses lösningen till ekvationen vara de punkter där grafen skär x-axeln.
Kvadratisk ekvation
En ekvation kan kallas kvadratisk om den, när den är förenklad, har formen:
a*x 2 + b*x + c = 0.
Vart i a, b, cär koefficienter för ekvationen som skiljer sig från noll. A "X"- roten till ekvationen. Man tror att en andragradsekvation har två rötter eller kanske inte har en lösning alls. De resulterande rötterna kan vara desamma.
"A"- koefficienten som står framför roten i kvadraten.
"b"- står inför det okända i första graden.
"Med"- fri term i ekvationen.
Om vi till exempel har en ekvation av formen:
2x 2 -5x+3=0
I den är "2" koefficienten vid den högsta termen i ekvationen, "-5" är den andra koefficienten och "3" är den fria termen.
Lösa en andragradsekvation
Det finns många sätt att lösa en andragradsekvation. Men i skolans matematikkurs studeras lösningen med hjälp av Vieta-satsen, samt med hjälp av diskriminanten.
Diskriminerande lösning:
När man löser med den här metoden det är nödvändigt att beräkna diskriminanten enligt formeln:
Om du under beräkningarna fick att diskriminanten är mindre än noll betyder det att denna ekvation inte har några lösningar.
Om diskriminanten är noll har ekvationen två identiska lösningar. I det här fallet kan polynomet kollapsas enligt den förkortade multiplikationsformeln till kvadraten på summan eller skillnaden. Lös det sedan som en linjär ekvation. Eller använd formeln:
Om diskriminanten är större än noll, måste följande metod användas:
Vietas sats
Om ekvationen reduceras, det vill säga koefficienten vid den högsta termen är lika med en, så kan du använda Vietas sats.
Så låt oss säga att ekvationen är:
Rötterna till ekvationen hittas enligt följande:
Ofullständig andragradsekvation
Det finns flera alternativ för att erhålla en ofullständig kvadratisk ekvation, vars form beror på närvaron av koefficienter.
1. Om den andra och tredje koefficienten är lika med noll (b=0, c=0), då kommer andragradsekvationen att se ut så här:
Denna ekvation kommer att ha enda beslut. Likhet kommer bara att vara sant om lösningen till ekvationen är noll.
I fortsättningen av ämnet "Lösa ekvationer" kommer materialet i den här artikeln att introducera dig till andragradsekvationer.
Låt oss överväga allt i detalj: essensen och notationen av en andragradsekvation, sätt relaterade termer, analysera schemat för att lösa ofullständiga och fullständiga ekvationer, bekanta oss med formeln för rötter och diskriminant, upprätta kopplingar mellan rötter och koefficienter, och naturligtvis vi kommer att ge en visuell lösning av praktiska exempel.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Andragradsekvationen, dess typer
Definition 1Andragradsekvation skrivs ekvationen som a x 2 + b x + c = 0, Var x– variabel, a , b och cär några siffror, medan aär inte noll.
Ofta kallas andragradsekvationer också för ekvationer av andra graden, eftersom en andragradsekvation i själva verket är en algebraisk ekvation av andra graden.
Låt oss ge ett exempel för att illustrera den givna definitionen: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. är andragradsekvationer.
Definition 2
Siffrorna a, b och cär koefficienterna för andragradsekvationen a x 2 + b x + c = 0, medan koefficienten a kallas den första, eller senior, eller koefficienten vid x 2, b - den andra koefficienten, eller koefficienten vid x, A c kallas gratis medlem.
Till exempel i andragradsekvationen 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 den högsta koefficienten är 6, den andra koefficienten är − 2 , och fritiden är lika med − 11 . Låt oss uppmärksamma det faktum att när koefficienterna b och/eller c är alltså negativa kortform register över formuläret 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, men inte 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Låt oss också klargöra denna aspekt: om koefficienterna a och/eller b likvärdig 1 eller − 1 , då får de inte ta en explicit del i att skriva andragradsekvationen, vilket förklaras av särdragen med att skriva de angivna numeriska koefficienterna. Till exempel i andragradsekvationen y 2 − y + 7 = 0 seniorkoefficienten är 1 och den andra koefficienten är − 1 .
Reducerade och icke-reducerade andragradsekvationer
Enligt värdet av den första koefficienten delas andragradsekvationer in i reducerade och icke-reducerade.
Definition 3
Reducerad andragradsekvationär en andragradsekvation där den ledande koefficienten är 1 . För andra värden på den ledande koefficienten är andragradsekvationen oreducerad.
Här är några exempel: andragradsekvationer x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 reduceras, i var och en av dem är den ledande koefficienten 1 .
9 x 2 - x - 2 = 0- oreducerad andragradsekvation, där den första koefficienten skiljer sig från 1 .
Varje oreducerad andragradsekvation kan omvandlas till en reducerad ekvation genom att dividera båda dess delar med den första koefficienten (ekvivalent transformation). Den transformerade ekvationen kommer att ha samma rötter som den givna icke-reducerade ekvationen eller kommer inte heller att ha några rötter alls.
Hänsyn fallstudie kommer att tillåta oss att visuellt demonstrera övergången från en oreducerad andragradsekvation till en reducerad.
Exempel 1
Givet ekvationen 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Det är nödvändigt att konvertera den ursprungliga ekvationen till den reducerade formen.
Lösning
Enligt ovanstående schema dividerar vi båda delarna av den ursprungliga ekvationen med den ledande koefficienten 6 . Då får vi: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, och det här är samma sak som: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 och vidare: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Härifrån: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Sålunda erhålls en ekvation ekvivalent med den givna.
Svar: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
Kompletta och ofullständiga andragradsekvationer
Låt oss gå över till definitionen av en andragradsekvation. I den specificerade vi det a ≠ 0. Ett liknande villkor är nödvändigt för ekvationen a x 2 + b x + c = 0 var exakt fyrkantig, sedan a = 0 det förvandlas i huvudsak till en linjär ekvation b x + c = 0.
I det fall där koefficienterna b Och cär lika med noll (vilket är möjligt, både individuellt och gemensamt), kallas andragradsekvationen ofullständig.
Definition 4
Ofullständig andragradsekvationär en andragradsekvation a x 2 + b x + c \u003d 0, där minst en av koefficienterna b Och c(eller båda) är noll.
Komplett andragradsekvationär en andragradsekvation där alla numeriska koefficienter inte är lika med noll.
Låt oss diskutera varför typerna av andragradsekvationer ges just sådana namn.
För b = 0 tar andragradsekvationen formen a x 2 + 0 x + c = 0, vilket är detsamma som a x 2 + c = 0. På c = 0 andragradsekvationen skrivs som a x 2 + b x + 0 = 0, vilket är likvärdigt a x 2 + b x = 0. På b = 0 Och c = 0 ekvationen kommer att ta formen a x 2 = 0. Ekvationerna som vi har erhållit skiljer sig från den fullständiga andragradsekvationen genom att deras vänstra sida inte innehåller vare sig en term med variabeln x, eller en fri term, eller båda samtidigt. Egentligen gav detta faktum namnet till den här typen av ekvationer - ofullständiga.
Till exempel är x 2 + 3 x + 4 = 0 och − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 fullständiga andragradsekvationer; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 är ofullständiga andragradsekvationer.
Lösa ofullständiga andragradsekvationer
Definitionen ovan gör det möjligt att särskilja följande typer av ofullständiga andragradsekvationer:
- a x 2 = 0, koefficienter motsvarar en sådan ekvation b = 0 och c = O;
- a x 2 + c \u003d 0 för b \u003d 0;
- a x 2 + b x = 0 för c = 0 .
Betrakta successivt lösningen av varje typ av ofullständig andragradsekvation.
Lösning av ekvationen a x 2 \u003d 0
Som redan nämnts ovan motsvarar en sådan ekvation koefficienterna b Och c, lika med noll. Ekvationen a x 2 = 0 kan omvandlas till en ekvivalent ekvation x2 = 0, vilket vi får genom att dividera båda sidorna av den ursprungliga ekvationen med talet a, inte lika med noll. Det uppenbara faktum är att roten till ekvationen x2 = 0är noll eftersom 0 2 = 0 . Denna ekvation har inga andra rötter, vilket förklaras av gradens egenskaper: för vilket tal som helst p , inte lika med noll, är ojämlikheten sann p2 > 0, varav följer att när p ≠ 0 jämlikhet p2 = 0 kommer aldrig att nås.
Definition 5
Således, för den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 = 0, finns det en enda rot x=0.
Exempel 2
Låt oss till exempel lösa en ofullständig andragradsekvation − 3 x 2 = 0. Det motsvarar ekvationen x2 = 0, dess enda rot är x=0, då har den ursprungliga ekvationen en enda rot - noll.
Lösningen sammanfattas enligt följande:
− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.
Lösning av ekvationen a x 2 + c \u003d 0
Nästa i raden är lösningen av ofullständiga andragradsekvationer, där b \u003d 0, c ≠ 0, det vill säga ekvationer av formen a x 2 + c = 0. Låt oss omvandla denna ekvation genom att överföra termen från den ena sidan av ekvationen till den andra, ändra tecknet till det motsatta och dividera båda sidorna av ekvationen med ett tal som inte är lika med noll:
- härda ut c till höger, vilket ger ekvationen a x 2 = − c;
- dividera båda sidor av ekvationen med a, får vi som ett resultat x = - c a .
Våra transformationer är likvärdiga respektive, den resulterande ekvationen är också likvärdig med den ursprungliga, och detta faktum gör det möjligt att dra en slutsats om ekvationens rötter. Från vilka är värdena a Och c beror på uttryckets värde - c a: det kan ha ett minustecken (till exempel if a = 1 Och c = 2, sedan - c a = - 2 1 = - 2) eller ett plustecken (till exempel if a = -2 Och c=6 sedan -ca = -6 - 2 = 3); det är inte lika med noll eftersom c ≠ 0. Låt oss uppehålla oss mer i detalj vid situationer när - ca< 0 и - c a > 0 .
I fallet när - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа sid likhet p 2 = - c a kan inte vara sant.
Allt är annorlunda när - c a > 0: kom ihåg kvadratroten, och det kommer att bli uppenbart att roten av ekvationen x 2 \u003d - c a kommer att vara talet - c a, eftersom - c a 2 \u003d - c a. Det är lätt att förstå att talet - - c a - också är roten till ekvationen x 2 = - c a: ja, - - c a 2 = - c a .
Ekvationen kommer inte att ha några andra rötter. Vi kan visa detta med den motsatta metoden. Låt oss först ställa in notationen för rötterna ovan som x 1 Och − x 1. Låt oss anta att ekvationen x 2 = - c a också har en rot x2, som skiljer sig från rötterna x 1 Och − x 1. Det vet vi genom att ersätta in i ekvationen istället för x dess rötter omvandlar vi ekvationen till en rättvis numerisk likhet.
För x 1 Och − x 1 skriv: x 1 2 = - c a , och för x2- x 2 2 \u003d - c a. Baserat på egenskaperna hos numeriska likheter subtraherar vi en sann likhet från en annan term för term, vilket ger oss: x 1 2 − x 2 2 = 0. Använd egenskaperna för taloperationer för att skriva om den senaste likheten som (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Det är känt att produkten av två tal är noll om och endast om minst ett av talen är noll. Av det sagda följer att x1 − x2 = 0 och/eller x1 + x2 = 0, vilket är detsamma x2 = x1 och/eller x 2 = − x 1. En uppenbar motsägelse uppstod, eftersom man först var överens om att roten till ekvationen x2 skiljer sig från x 1 Och − x 1. Så vi har bevisat att ekvationen inte har några andra rötter än x = - c a och x = - - c a .
Vi sammanfattar alla argument ovan.
Definition 6
Ofullständig andragradsekvation a x 2 + c = 0är ekvivalent med ekvationen x 2 = - c a , som:
- kommer inte att ha rötter vid - c a< 0 ;
- kommer att ha två rötter x = - c a och x = - - c a när - c a > 0 .
Låt oss ge exempel på att lösa ekvationer a x 2 + c = 0.
Exempel 3
Givet en andragradsekvation 9 x 2 + 7 = 0 . Det är nödvändigt att hitta sin lösning.
Lösning
Vi överför den fria termen till höger sida av ekvationen, sedan får ekvationen formen 9 x 2 \u003d - 7.
Vi dividerar båda sidorna av den resulterande ekvationen med 9
, kommer vi till x 2 = - 7 9 . På höger sida ser vi ett tal med ett minustecken, vilket betyder: den givna ekvationen har inga rötter. Sedan den ursprungliga ofullständiga andragradsekvationen 9 x 2 + 7 = 0 kommer inte att ha rötter.
Svar: ekvationen 9 x 2 + 7 = 0 har inga rötter.
Exempel 4
Det är nödvändigt att lösa ekvationen − x2 + 36 = 0.
Lösning
Låt oss flytta 36 till höger sida: − x 2 = − 36.
Låt oss dela upp båda delarna i − 1
, vi får x2 = 36. På höger sida - Positivt nummer, därför kan man dra slutsatsen att
x = 36 eller
x = -36.
Vi extraherar roten och skriver det slutliga resultatet: en ofullständig andragradsekvation − x2 + 36 = 0 har två rötter x=6 eller x = -6.
Svar: x=6 eller x = -6.
Lösning av ekvationen a x 2 +b x=0
Låt oss analysera den tredje typen av ofullständiga andragradsekvationer, när c = 0. Att hitta en lösning på en ofullständig andragradsekvation a x 2 + b x = 0, använder vi faktoriseringsmetoden. Låt oss faktorisera polynomet, som är på vänster sida av ekvationen, och ta den gemensamma faktorn ur parentes x. Detta steg kommer att göra det möjligt att omvandla den ursprungliga ofullständiga andragradsekvationen till dess ekvivalent x (a x + b) = 0. Och denna ekvation är i sin tur ekvivalent med ekvationsuppsättningen x=0 Och a x + b = 0. Ekvationen a x + b = 0 linjär, och dess rot: x = − b a.
Definition 7
Alltså den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 + b x = 0 kommer att ha två rötter x=0 Och x = − b a.
Låt oss konsolidera materialet med ett exempel.
Exempel 5
Det är nödvändigt att hitta lösningen till ekvationen 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .
Lösning
Låt oss ta ut x utanför parentesen och få ekvationen x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Denna ekvation är likvärdig med ekvationerna x=0 och 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Nu ska du lösa den resulterande linjära ekvationen: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .
Kortfattat skriver vi lösningen av ekvationen enligt följande:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 eller 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 eller x = 3 3 7
Svar: x = 0 , x = 3 3 7 .
Diskriminant, formel för rötterna till en andragradsekvation
För att hitta en lösning på andragradsekvationer finns det en rotformel:
Definition 8
x = - b ± D2a, där D = b 2 − 4 a cär den så kallade diskriminanten för en andragradsekvation.
Att skriva x \u003d - b ± D 2 a betyder i huvudsak att x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.
Det kommer att vara användbart att förstå hur den angivna formeln härleddes och hur man tillämpar den.
Härledning av formeln för rötterna till en andragradsekvation
Antag att vi står inför uppgiften att lösa en andragradsekvation a x 2 + b x + c = 0. Låt oss utföra ett antal motsvarande transformationer:
- dividera båda sidor av ekvationen med talet a, annorlunda än noll, får vi den reducerade andragradsekvationen: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
- Välj ut hel fyrkant på vänster sida av den resulterande ekvationen:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
Efter detta kommer ekvationen att ha formen: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0; - nu är det möjligt att överföra de två sista termerna till höger sida, ändra tecknet till det motsatta, varefter vi får: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- slutligen transformerar vi uttrycket skrivet på höger sida av den sista jämlikheten:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.
Vi har alltså kommit till ekvationen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , vilket är ekvivalent med den ursprungliga ekvationen a x 2 + b x + c = 0.
Vi diskuterade lösningen av sådana ekvationer i de föregående styckena (lösningen av ofullständiga andragradsekvationer). De erfarenheter som redan vunnits gör det möjligt att dra en slutsats om rötterna till ekvationen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:
- för b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- för b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, har ekvationen formen x + b 2 · a 2 = 0, sedan x + b 2 · a = 0.
Härifrån är den enda roten x = - b 2 · a uppenbar;
- för b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 är den korrekta: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 eller x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , vilket är samma som x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 eller x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, d.v.s. ekvationen har två rötter.
Det är möjligt att dra slutsatsen att närvaron eller frånvaron av rötterna till ekvationen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (och därmed den ursprungliga ekvationen) beror på tecknet för uttrycket b 2 - 4 a c 4 · en 2:a skriven på höger sida. Och tecknet för detta uttryck ges av täljarens tecken, (nämnaren 4 a 2 kommer alltid att vara positivt), det vill säga uttryckets tecken b 2 − 4 a c. Detta uttryck b 2 − 4 a c ett namn ges - diskriminanten för en andragradsekvation och bokstaven D definieras som dess beteckning. Här kan du skriva ner essensen av diskriminanten - genom dess värde och tecken drar de slutsatsen om andragradsekvationen kommer att ha verkliga rötter, och i så fall hur många rötter - en eller två.
Låt oss återgå till ekvationen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Låt oss skriva om det med diskriminantnotationen: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Låt oss sammanfatta slutsatserna:
Definition 9
- på D< 0 ekvationen har inga egentliga rötter;
- på D=0 ekvationen har en enda rot x = - b 2 · a ;
- på D > 0 ekvationen har två rötter: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 eller x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Baserat på egenskaperna hos radikaler kan dessa rötter skrivas som: x \u003d - b 2 a + D 2 a eller - b 2 a - D 2 a. Och när vi öppnar modulerna och minskar bråken till en gemensam nämnare får vi: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.
Så resultatet av vårt resonemang var härledningen av formeln för rötterna till andragradsekvationen:
x = - b + D2a, x = - b - D2a, diskriminant D beräknas med formeln D = b 2 − 4 a c.
Dessa formler gör det möjligt att, när diskriminanten är större än noll, bestämma båda reella rötter. När diskriminanten är noll, kommer tillämpning av båda formlerna att ge samma rot som den enda lösningen till andragradsekvationen. I fallet när diskriminanten är negativ och försöker använda kvadratisk rotformel kommer vi att ställas inför behovet av att extrahera Roten ur från ett negativt tal, vilket tar oss bortom reella tal. Med en negativ diskriminant kommer andragradsekvationen inte att ha reella rötter, men ett par komplexa konjugerade rötter är möjliga, bestämt av samma rotformler som vi fick.
Algoritm för att lösa andragradsekvationer med hjälp av rotformler
Det är möjligt att lösa en andragradsekvation genom att omedelbart använda rotformeln, men i princip görs detta när det är nödvändigt att hitta komplexa rötter.
I de flesta fall är sökningen vanligtvis inte avsedd för komplexa, utan efter verkliga rötter av en andragradsekvation. Då är det optimalt, innan du använder formlerna för rötterna till andragradsekvationen, först att bestämma diskriminanten och se till att den inte är negativ (annars kommer vi att dra slutsatsen att ekvationen inte har några riktiga rötter), och sedan fortsätta med att beräkna rötternas värde.
Resonemanget ovan gör det möjligt att formulera en algoritm för att lösa en andragradsekvation.
Definition 10
Att lösa en andragradsekvation a x 2 + b x + c = 0, nödvändigt:
- enligt formeln D = b 2 − 4 a c hitta värdet av diskriminanten;
- på D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- för D = 0 finn den enda roten av ekvationen med formeln x = - b 2 · a ;
- för D > 0, bestäm två reella rötter av andragradsekvationen med formeln x = - b ± D 2 · a.
Observera att när diskriminanten är noll kan du använda formeln x = - b ± D 2 · a , det kommer att ge samma resultat som formeln x = - b 2 · a .
Tänk på exempel.
Exempel på att lösa andragradsekvationer
Låt oss ge ett exempel på en lösning olika värden diskriminerande.
Exempel 6
Det är nödvändigt att hitta rötterna till ekvationen x 2 + 2 x - 6 = 0.
Lösning
Vi skriver de numeriska koefficienterna för andragradsekvationen: a \u003d 1, b \u003d 2 och c = − 6. Därefter agerar vi enligt algoritmen, d.v.s. Låt oss börja beräkna diskriminanten, för vilken vi ersätter koefficienterna a , b Och c i den diskriminerande formeln: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .
Så vi fick D > 0, vilket betyder att den ursprungliga ekvationen kommer att ha två reella rötter.
För att hitta dem använder vi rotformeln x \u003d - b ± D 2 · a och, ersätter de lämpliga värdena, får vi: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Vi förenklar det resulterande uttrycket genom att ta faktorn ur rotens tecken, följt av reduktion av bråket:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 eller x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 eller x = - 1 - 7
Svar: x = -1 + 7, x = -1 - 7.
Exempel 7
Det är nödvändigt att lösa en andragradsekvation − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Lösning
Låt oss definiera diskriminanten: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Med detta värde på diskriminanten kommer den ursprungliga ekvationen bara att ha en rot, bestämd av formeln x = - b 2 · a.
x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5
Svar: x = 3, 5.
Exempel 8
Det är nödvändigt att lösa ekvationen 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Lösning
De numeriska koefficienterna för denna ekvation kommer att vara: a = 5 , b = 6 och c = 2 . Vi använder dessa värden för att hitta diskriminanten: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Den beräknade diskriminanten är negativ, så den ursprungliga andragradsekvationen har inga egentliga rötter.
I det fall då uppgiften är att indikera komplexa rötter, tillämpar vi rotformeln genom att utföra operationer med komplexa tal:
x \u003d - 6 ± - 4 2 5,
x \u003d - 6 + 2 i 10 eller x \u003d - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 i eller x = - 3 5 - 1 5 i.
Svar: det finns inga riktiga rötter; de komplexa rötterna är: - 3 5 + 1 5 i, - 3 5 - 1 5 i .
I Läroplanen som standard finns det inget krav på att leta efter komplexa rötter, därför, om diskriminanten bestäms som negativ under lösningen, registreras svaret omedelbart att det inte finns några riktiga rötter.
Rotformel för jämna andrakoefficienter
Rotformeln x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) gör det möjligt att få en annan formel, mer kompakt, som låter dig hitta lösningar på andragradsekvationer med en jämn koefficient vid x (eller med en koefficient av formen 2 a n, till exempel 2 3 eller 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Låt oss visa hur denna formel härleds.
Anta att vi står inför uppgiften att hitta en lösning på andragradsekvationen a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Vi agerar enligt algoritmen: vi bestämmer diskriminanten D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , och använder sedan rotformeln:
x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .
Låt uttrycket n 2 − a c betecknas som D 1 (ibland betecknas det D "). Då kommer formeln för rötterna till den betraktade andragradsekvationen med den andra koefficienten 2 n att ha formen:
x \u003d - n ± D 1 a, där D 1 \u003d n 2 - a c.
Det är lätt att se att D = 4 · D 1 , eller D 1 = D 4 . D 1 är med andra ord en fjärdedel av diskriminanten. Uppenbarligen är tecknet för D 1 detsamma som tecknet för D, vilket betyder att tecknet för D 1 också kan fungera som en indikator på närvaron eller frånvaron av rötterna till en andragradsekvation.
Definition 11
För att hitta en lösning på en andragradsekvation med en andra koefficient på 2 n är det alltså nödvändigt:
- hitta D 1 = n 2 − a c ;
- vid D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- för D 1 = 0, bestäm den enda roten av ekvationen med formeln x = - n a ;
- för D 1 > 0, bestäm två reella rötter med formeln x = - n ± D 1 a.
Exempel 9
Det är nödvändigt att lösa andragradsekvationen 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.
Lösning
Den andra koefficienten i den givna ekvationen kan representeras som 2 · (− 3) . Sedan skriver vi om den givna andragradsekvationen till 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , där a = 5 , n = − 3 och c = − 32 .
Låt oss beräkna den fjärde delen av diskriminanten: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Det resulterande värdet är positivt, vilket betyder att ekvationen har två reella rötter. Vi definierar dem med motsvarande formel för rötterna:
x = - n ± D la , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,
x = 3 + 13 5 eller x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 eller x = - 2
Det skulle vara möjligt att utföra beräkningar med den vanliga formeln för rötterna till en andragradsekvation, men i det här fallet skulle lösningen vara mer besvärlig.
Svar: x = 3 1 5 eller x = - 2 .
Förenkling av andragradsekvationers form
Ibland är det möjligt att optimera formen på den ursprungliga ekvationen, vilket kommer att förenkla processen för att beräkna rötterna.
Till exempel är andragradsekvationen 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 klart mer bekväm att lösa än 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.
Oftare utförs förenklingen av formen av en kvadratisk ekvation genom att multiplicera eller dividera dess båda delar med ett visst tal. Till exempel visade vi ovan en förenklad representation av ekvationen 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, erhållen genom att dividera båda dess delar med 100.
En sådan transformation är möjlig när koefficienterna för andragradsekvationen inte är inbördes primtal. Då är det vanligt att dela båda sidor av ekvationen med den största gemensam divisor absoluta värden av dess koefficienter.
Som exempel använder vi andragradsekvationen 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Låt oss definiera gcd för de absoluta värdena för dess koefficienter: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Låt oss dividera båda delarna av den ursprungliga andragradsekvationen med 6 och få den ekvivalenta andragradsekvationen 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .
Genom att multiplicera båda sidor av andragradsekvationen elimineras vanligtvis bråkkoefficienter. I det här fallet multiplicerar du med den minsta gemensamma multipeln av nämnarna för dess koefficienter. Till exempel, om varje del av andragradsekvationen 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 multipliceras med LCM (6, 3, 1) \u003d 6, kommer det att skrivas i mer enkel form x 2 + 4 x - 18 = 0 .
Slutligen noterar vi att nästan alltid bli av med minus vid den första koefficienten i andragradsekvationen, genom att ändra tecknen för varje term i ekvationen, vilket uppnås genom att multiplicera (eller dividera) båda delarna med − 1. Till exempel, från andragradsekvationen - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, kan du gå till dess förenklade version 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.
Samband mellan rötter och koefficienter
Den redan kända formeln för rötterna till andragradsekvationer x = - b ± D 2 · a uttrycker ekvationens rötter i termer av dess numeriska koefficienter. Baserat på denna formel har vi möjlighet att ställa in andra beroenden mellan rötterna och koefficienterna.
De mest kända och tillämpliga är formlerna för Vieta-satsen:
x 1 + x 2 \u003d - b a och x 2 \u003d c a.
Speciellt för den givna andragradsekvationen är summan av rötterna den andra koefficienten med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen. Till exempel, med formen av andragradsekvationen 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, är det möjligt att omedelbart bestämma att summan av dess rötter är 7 3 och produkten av rötterna är 22 3.
Du kan också hitta ett antal andra samband mellan rötter och koefficienter i en andragradsekvation. Till exempel kan summan av kvadraterna av rötterna i en andragradsekvation uttryckas i termer av koefficienter:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Detta ämne kan tyckas vara svårt till en början på grund av de många enkla formler. Inte bara andragradsekvationerna i sig har långa poster, utan rötterna hittas också genom diskriminanten. Det finns tre nya formler totalt. Inte så lätt att komma ihåg. Detta är möjligt endast efter den frekventa lösningen av sådana ekvationer. Då kommer alla formler att komma ihåg av sig själva.
Allmän bild av andragradsekvationen
Här föreslås deras explicita notation, när den största graden skrivs först, och sedan - i fallande ordning. Ofta finns det situationer när villkoren skiljer sig åt. Då är det bättre att skriva om ekvationen i fallande ordning efter variabelns grad.
Låt oss introducera notation. De presenteras i tabellen nedan.
Om vi accepterar dessa notationer reduceras alla andragradsekvationer till följande notation.
Dessutom är koefficienten a ≠ 0. Låt denna formel betecknas med nummer ett.
När ekvationen ges är det inte klart hur många rötter som kommer att finnas i svaret. Eftersom ett av tre alternativ alltid är möjligt:
- lösningen kommer att ha två rötter;
- svaret blir ett nummer;
- Ekvationen har inga rötter alls.
Och även om beslutet inte avslutas, är det svårt att förstå vilket av alternativen som kommer att falla ut i ett visst fall.
Typer av poster av andragradsekvationer
Uppgifter kan ha olika poster. De kommer inte alltid att se ut som den allmänna formeln för en andragradsekvation. Ibland kommer det att sakna några termer. Det som skrevs ovan är den fullständiga ekvationen. Om du tar bort den andra eller tredje termen i den får du något annat. Dessa poster kallas också andragradsekvationer, endast ofullständiga.
Dessutom kan endast de termer för vilka koefficienterna "b" och "c" försvinna. Siffran "a" kan under inga omständigheter vara lika med noll. För i det här fallet förvandlas formeln till en linjär ekvation. Formlerna för den ofullständiga formen av ekvationerna kommer att vara följande:
Så det finns bara två typer, förutom kompletta finns det också ofullständiga andragradsekvationer. Låt den första formeln vara nummer två och den andra nummer tre.
Diskriminanten och antalet rötters beroende av dess värde
Detta antal måste vara känt för att kunna beräkna ekvationens rötter. Det går alltid att beräkna, oavsett vilken formel för andragradsekvationen är. För att beräkna diskriminanten måste du använda jämställdheten nedan, som kommer att ha nummer fyra.
Efter att ha ersatt värdena för koefficienterna i denna formel kan du få siffror med olika tecken. Om svaret är ja, kommer svaret på ekvationen att vara två olika rötter. Med ett negativt tal kommer rötterna till andragradsekvationen att saknas. Om det är lika med noll blir svaret ett.
Hur löses en komplett andragradsekvation?
Faktum är att övervägandet av denna fråga redan har börjat. För först måste du hitta diskriminanten. Efter att det har klargjorts att det finns rötter till andragradsekvationen, och deras antal är känt, måste du använda formlerna för variablerna. Om det finns två rötter, måste du tillämpa en sådan formel.
Eftersom den innehåller tecknet "±" kommer det att finnas två värden. Uttrycket under kvadratrottecknet är diskriminanten. Därför kan formeln skrivas om på ett annat sätt.
Formel fem. Från samma post kan man se att om diskriminanten är noll, kommer båda rötterna att ha samma värden.
Om lösningen av andragradsekvationer ännu inte har utarbetats, är det bättre att skriva ner värdena för alla koefficienter innan du använder diskriminant- och variabelformlerna. Senare kommer detta ögonblick inte att orsaka svårigheter. Men i början råder förvirring.
Hur löser man en ofullständig andragradsekvation?
Allt är mycket enklare här. Inte ens det behövs ytterligare formler. Och du behöver inte de som redan har skrivits för diskriminerande och okända.
Tänk först på den ofullständiga ekvationen nummer två. I denna likhet är det meningen att det ska ta det okända värdet ur parentesen och lösa den linjära ekvationen, som kommer att finnas kvar inom parentesen. Svaret kommer att ha två rötter. Den första är nödvändigtvis lika med noll, eftersom det finns en faktor som består av själva variabeln. Den andra erhålls genom att lösa en linjär ekvation.
Den ofullständiga ekvationen vid nummer tre löses genom att överföra talet från vänster sida av ekvationen till höger. Sedan måste du dividera med koefficienten framför det okända. Det återstår bara att extrahera kvadratroten och glöm inte att skriva ner den två gånger med motsatta tecken.
Följande är några åtgärder som hjälper dig att lära dig hur du löser alla typer av likheter som förvandlas till andragradsekvationer. De kommer att hjälpa eleven att undvika misstag på grund av ouppmärksamhet. Dessa brister är orsaken till dåliga betyg när man studerar det omfattande ämnet "Quadric Equations (Betyg 8)". Därefter kommer dessa åtgärder inte att behöva utföras konstant. För det blir en stabil vana.
- Först måste du skriva ekvationen i standardform. Det vill säga först termen med den största graden av variabeln, och sedan - utan graden och den sista - bara en siffra.
- Om ett minus visas före koefficienten "a", kan det komplicera arbetet för en nybörjare att studera andragradsekvationer. Det är bättre att bli av med det. För detta ändamål måste all likhet multipliceras med "-1". Det betyder att alla termer kommer att ändra tecken till motsatt.
- På samma sätt rekommenderas att bli av med fraktioner. Multiplicera helt enkelt ekvationen med lämplig faktor så att nämnarna tar bort.
Exempel
Det krävs för att lösa följande andragradsekvationer:
x 2 - 7x \u003d 0;
15 - 2x - x 2 \u003d 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Den första ekvationen: x 2 - 7x \u003d 0. Den är ofullständig, därför löses den enligt beskrivningen för formel nummer två.
Efter bracketing visar det sig: x (x - 7) \u003d 0.
Den första roten tar värdet: x 1 = 0. Den andra kommer att hittas från linjär ekvation: x - 7 = 0. Det är lätt att se att x 2 = 7.
Andra ekvationen: 5x2 + 30 = 0. Återigen ofullständig. Bara det löses enligt beskrivningen för den tredje formeln.
Efter att ha överfört 30 till höger sida av ekvationen: 5x 2 = 30. Nu måste du dividera med 5. Det visar sig: x 2 = 6. Svaren blir siffror: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.
Tredje ekvationen: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Här och nedan börjar lösningen av andragradsekvationer med att skriva om dem i standardvy: - x 2 - 2x + 15 = 0. Nu är det dags att använda tvåan användbart råd och multiplicera allt med minus ett. Det visar sig x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Enligt den fjärde formeln måste du beräkna diskriminanten: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Det är en Positivt nummer. Av det som sagts ovan visar det sig att ekvationen har två rötter. De måste beräknas enligt den femte formeln. Enligt det visar det sig att x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Sedan x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.
Den fjärde ekvationen x 2 + 8 + 3x \u003d 0 omvandlas till detta: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Dess diskriminant är lika med detta värde: -23. Eftersom detta nummer är negativt kommer svaret på denna uppgift att vara följande post: "Det finns inga rötter."
Den femte ekvationen 12x + x 2 + 36 = 0 ska skrivas om enligt följande: x 2 + 12x + 36 = 0. Efter att ha tillämpat formeln för diskriminanten erhålls talet noll. Detta betyder att den kommer att ha en rot, nämligen: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.
Den sjätte ekvationen (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) kräver transformationer, som består i att du måste ta med liknande termer, innan du öppnar parenteserna. I stället för den första kommer det att finnas ett sådant uttryck: x 2 + 2x + 1. Efter likhet kommer denna post att visas: x 2 + 3x + 2. Efter att liknande termer har räknats kommer ekvationen att ha formen: x 2 - x \u003d 0. Den har blivit ofullständig . Liknande det har redan ansetts vara lite högre. Rötterna till detta kommer att vara siffrorna 0 och 1.
Med detta matematikprogram kan du lösa andragradsekvationen.
Programmet ger inte bara svaret på problemet, utan visar också lösningsprocessen på två sätt:
- använder diskriminanten
- med hjälp av Vieta-satsen (om möjligt).
Dessutom visas svaret exakt, inte ungefärligt.
Till exempel, för ekvationen \(81x^2-16x-1=0\), visas svaret i denna form:
Det här programmet kan vara användbart för gymnasieelever allmänbildningsskolor som förberedelse för kontrollarbete och tentor, när man testar kunskap före examen, föräldrar att kontrollera lösningen av många problem i matematik och algebra. Eller kanske det är för dyrt för dig att anlita en handledare eller köpa nya läroböcker? Eller vill du bara få det gjort så snart som möjligt? läxa matte eller algebra? I det här fallet kan du också använda våra program med en detaljerad lösning.
Således kan du utföra din egen träning och/eller utbildning av sina yngre bröder eller systrar, samtidigt som utbildningsnivån inom området uppgifter som ska lösas höjs.
Om du inte är bekant med reglerna för att skriva in ett kvadratiskt polynom rekommenderar vi att du bekantar dig med dem.
Regler för inmatning av ett kvadratiskt polynom
Vilken latinsk bokstav som helst kan fungera som en variabel.
Till exempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.
Tal kan anges som heltal eller bråk.
Dessutom kan bråktal anges inte bara i form av en decimal utan också i form av en vanlig bråkdel.
Regler för inmatning av decimalbråk.
I decimalbråk kan bråkdelen från heltal separeras med antingen en punkt eller ett kommatecken.
Till exempel kan du ange decimaler så här: 2,5x - 3,5x^2
Regler för inmatning av vanliga bråk.
Endast ett heltal kan fungera som täljare, nämnare och heltalsdel av ett bråk.
Nämnaren kan inte vara negativ.
När du anger ett numeriskt bråk, skiljs täljaren från nämnaren med ett divisionstecken: /
Heltalsdelen separeras från bråket med ett et-tecken: &
Ingång: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
När du anger ett uttryck du kan använda parentes. I det här fallet, när man löser en andragradsekvation, förenklas först det introducerade uttrycket.
Till exempel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Besluta
Det visade sig att vissa skript som behövs för att lösa denna uppgift inte laddades och programmet kanske inte fungerar.
Du kan ha AdBlock aktiverat.
I det här fallet inaktiverar du den och uppdaterar sidan.
JavaScript måste vara aktiverat för att lösningen ska visas.
Här är instruktioner om hur du aktiverar JavaScript i din webbläsare.
Därför att Det är många som vill lösa problemet, din förfrågan står i kö.
Efter några sekunder kommer lösningen att visas nedan.
Vänta sek...
Om du upptäckte ett fel i lösningen, då kan du skriva om det i Feedbackformuläret .
Glöm inte ange vilken uppgift du bestämmer vad ange i fälten.
Våra spel, pussel, emulatorer:
Lite teori.
Andragradsekvationen och dess rötter. Ofullständiga andragradsekvationer
Var och en av ekvationerna
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
har formen
\(ax^2+bx+c=0, \)
där x är en variabel, a, b och c är tal.
I den första ekvationen a = -1, b = 6 och c = 1,4, i den andra a = 8, b = -7 och c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 och c = 4/9. Sådana ekvationer kallas Kvadratisk ekvation.
Definition.
andragradsekvation en ekvation av formen ax 2 +bx+c=0 kallas, där x är en variabel, a, b och c är några tal och \(a \neq 0 \).
Siffrorna a, b och c är koefficienterna för andragradsekvationen. Talet a kallas den första koefficienten, talet b är den andra koefficienten och talet c är skärningen.
I var och en av ekvationerna på formen ax 2 +bx+c=0, där \(a \neq 0 \), är den största potensen av variabeln x en kvadrat. Därav namnet: andragradsekvation.
Observera att en andragradsekvation också kallas en ekvation av andra graden, eftersom dess vänstra sida är ett polynom av andra graden.
En andragradsekvation där koefficienten vid x 2 är 1 kallas reducerad andragradsekvation. Till exempel är de givna andragradsekvationerna ekvationerna
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Om i andragradsekvationen ax 2 +bx+c=0 minst en av koefficienterna b eller c är lika med noll, så kallas en sådan ekvation ofullständig andragradsekvation. Så, ekvationerna -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 är ofullständiga andragradsekvationer. I den första av dem är b=0, i den andra c=0, i den tredje b=0 och c=0.
Ofullständiga andragradsekvationer är av tre typer:
1) ax 2 +c=0, där \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, där \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.
Överväg lösningen av ekvationer för var och en av dessa typer.
För att lösa en ofullständig kvadratisk ekvation av formen ax 2 +c=0 för \(c \neq 0 \), överförs dess fria term till höger sida och båda delarna av ekvationen divideras med a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Högerpil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Eftersom \(c \neq 0 \), sedan \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Om \(-\frac(c)(a)>0 \), så har ekvationen två rötter.
Om \(-\frac(c)(a) För att lösa en ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 +bx=0 för \(b \neq 0 \) faktorisera dess vänstra sida och få ekvationen
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)
Därför har en ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 +bx=0 för \(b \neq 0 \) alltid två rötter.
En ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 \u003d 0 är ekvivalent med ekvationen x 2 \u003d 0 och har därför en enda rot 0.
Formeln för rötterna till en andragradsekvation
Låt oss nu överväga hur andragradsekvationer löses där både koefficienterna för de okända och den fria termen är icke-noll.
Vi löser andragradsekvationen i allmän form och som ett resultat får vi formeln för rötterna. Sedan kan denna formel användas för att lösa vilken andragradsekvation som helst.
Lös andragradsekvationen ax 2 +bx+c=0
Om vi dividerar båda dess delar med a får vi den ekvivalenta reducerade andragradsekvationen
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Vi transformerar denna ekvation genom att markera kvadraten på binomialet:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Högerpil \)
Rotuttrycket kallas diskriminant av en andragradsekvation ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerande" på latin - distinguisher). Det betecknas med bokstaven D, dvs.
\(D = b^2-4ac\)
Nu, med hjälp av notationen av diskriminanten, skriver vi om formeln för rötterna till den andragradsekvationen:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), där \(D= b^2-4ac \)
Det är uppenbart att:
1) Om D>0, så har andragradsekvationen två rötter.
2) Om D=0, så har andragradsekvationen en rot \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Om D Alltså, beroende på värdet på diskriminanten, kan andragradsekvationen ha två rötter (för D > 0), en rot (för D = 0) eller inga rötter (för D När man löser en andragradsekvation med denna formel , är det lämpligt att göra på följande sätt:
1) beräkna diskriminanten och jämföra den med noll;
2) om diskriminanten är positiv eller lika med noll, använd sedan rotformeln, om diskriminanten är negativ, skriv sedan ner att det inte finns några rötter.
Vietas sats
Den givna andragradsekvationen ax 2 -7x+10=0 har rötter 2 och 5. Summan av rötterna är 7, och produkten är 10. Vi ser att summan av rötterna är lika med den andra koefficienten, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen. Alla reducerade andragradsekvationer som har rötter har denna egenskap.
Summan av rötterna i den givna andragradsekvationen är lika med den andra koefficienten, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen.
De där. Vietas teorem säger att rötterna x 1 och x 2 i den reducerade andragradsekvationen x 2 +px+q=0 har egenskapen:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
