En triangulär pyramid vars kanter är lika. Huvudegenskaperna för den korrekta pyramiden

Här finns samlad grundläggande information om pyramiderna och relaterade formler och begrepp. Samtliga studeras med en handledare i matematik som förberedelse för tentamen.

Betrakta ett plan, en polygon ligger i den och en punkt S som inte ligger i den. Anslut S till alla hörn i polygonen. Den resulterande polyedern kallas en pyramid. Segmenten kallas laterala kanter. Polygonen kallas basen och punkten S kallas toppen av pyramiden. Beroende på talet n kallas pyramiden triangulär (n=3), fyrkantig (n=4), femkantig (n=5) och så vidare. Alternativt namn för den triangulära pyramiden - tetraeder. Höjden på en pyramid är vinkelrät ritad från dess spets till basplanet.

En pyramid kallas korrekt if vanlig polygon, och basen av höjden av pyramiden (basen av vinkelrät) är dess centrum.

Handledarens kommentar:
Blanda inte ihop begreppet "vanlig pyramid" och "vanlig tetraeder". Vid den högra pyramiden sido revbenär inte nödvändigtvis lika med kanterna på basen, men i en vanlig tetraeder är alla 6 kanterna lika. Detta är hans definition. Det är lätt att bevisa att likheten innebär att mitten P av polygonen med en höjdbas, så en vanlig tetraeder är en vanlig pyramid.

Vad är en apotem?
En pyramids apotem är höjden på dess sidoyta. Om pyramiden är regelbunden, är alla dess apotemer lika. Det omvända är inte sant.

Matematiklärare om sin terminologi: arbete med pyramider är till 80 % byggt genom två typer av trianglar:
1) Innehåller apotem SK och höjd SP
2) Innehåller den laterala kanten SA och dess projektion PA

För att förenkla referenser till dessa trianglar är det bekvämare för en matematiklärare att namnge den första av dem apotemisk, och andra costal. Tyvärr hittar du inte denna terminologi i någon av läroböckerna, och läraren måste introducera den ensidigt.

Formel för pyramidvolym:
1) , var är arean av pyramidens bas, och är höjden på pyramiden
2) , där är radien för den inskrivna sfären och är pyramidens totala yta.
3) , där MN är avståndet mellan två korsande kanter, och är arean av parallellogrammet som bildas av mittpunkterna på de fyra återstående kanterna.

Pyramid Height Base Egenskap:

Punkt P (se figur) sammanfaller med mitten av den inskrivna cirkeln vid basen av pyramiden om något av följande villkor är uppfyllt:
1) Alla apotemer är lika
2) Alla sidoytor är lika lutande mot basen
3) Alla apotemer lutar lika mycket till pyramidens höjd
4) Pyramidens höjd är lika lutande mot alla sidoytor

Matematiklärarens kommentar: notera att alla punkter förenas av en gemensam egenskap: på ett eller annat sätt deltar sidoytor överallt (apotemer är deras element). Därför kan handledaren erbjuda en mindre exakt, men bekvämare formulering för memorering: punkten P sammanfaller med mitten av den inskrivna cirkeln, pyramidens bas, om det finns någon lika information om dess sidoytor. För att bevisa det räcker det att visa att alla apotemiska trianglar är lika.

Punkten P sammanfaller med mitten av den omskrivna cirkeln nära pyramidens bas, om ett av de tre villkoren är sant:
1) Alla sidokanter är lika
2) Alla sidoribbor är lika lutande mot basen
3) Alla sidoribbor är lika lutande mot höjden

• apotem- höjden på sidoytan på en vanlig pyramid, som dras från dess topp (dessutom är apotem längden på vinkelrät, som sänks från mitten av en vanlig polygon till 1 av dess sidor);
• sidoytor (ASB, BSC, CSD, DSA) - trianglar som konvergerar i toppen;
• sido revben ( SOM , BS , CS , D.S. ) - gemensamma sidor av sidoytorna;
• toppen av pyramiden (v. S) - en punkt som förbinder sidokanterna och som inte ligger i basens plan;
• höjd ( SÅ ) - ett segment av vinkelrät, som dras genom toppen av pyramiden till planet för dess bas (ändarna av ett sådant segment kommer att vara toppen av pyramiden och basen av vinkelrät);
• diagonal sektion av en pyramid- sektion av pyramiden, som passerar genom toppen och diagonalen av basen;
• bas (ABCD) är en polygon som toppen av pyramiden inte tillhör.

pyramidegenskaper.

1. När alla sidokanter har samma storlek, då:

• nära basen av pyramiden är det lätt att beskriva en cirkel, medan toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel;
• sidoribbor bildar lika vinklar med basplanet;
• dessutom är det omvända också sant, d.v.s. när sidokanterna bildar lika stora vinklar med basplanet, eller när en cirkel kan beskrivas nära pyramidens bas och toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel, då har alla sidokanter på pyramiden samma storlek.

2. När sidoytorna har en lutningsvinkel mot basplanet med samma värde, då:

• nära basen av pyramiden är det lätt att beskriva en cirkel, medan toppen av pyramiden kommer att projiceras in i mitten av denna cirkel;
• höjderna på sidoytorna är lika lång;
• arean på sidoytan är ½ produkten av basens omkrets och höjden på sidoytan.

3. En sfär kan beskrivas nära pyramiden om pyramidens bas är en polygon runt vilken en cirkel kan beskrivas (ett nödvändigt och tillräckligt villkor). Sfärens centrum kommer att vara skärningspunkten för planen som passerar genom mittpunkterna på pyramidens kanter vinkelrätt mot dem. Av detta teorem drar vi slutsatsen att en sfär kan beskrivas både runt vilken triangulär som helst och runt vilken vanlig pyramid som helst.

4. En sfär kan inskrivas i en pyramid om halvledarplanen för pyramidens inre dihedrala vinklar skär varandra i 1:a punkten (ett nödvändigt och tillräckligt villkor). Denna punkt kommer att bli sfärens centrum.

Den enklaste pyramiden.

Beroende på antalet hörn av pyramidens bas är de uppdelade i triangulära, fyrkantiga och så vidare.

Pyramiden kommer triangulär, fyrkantig, och så vidare, när basen av pyramiden är en triangel, en fyrhörning och så vidare. En triangulär pyramid är en tetraeder - en tetraeder. Fyrkantig - pentaeder och så vidare.

Videolektion 2: Pyramid utmaning. Pyramidvolym

Videolektion 3: Pyramid utmaning. Rätt pyramid

Föreläsning: Pyramid, dess bas, sidokanter, höjd, sidoyta; triangulär pyramid; höger pyramid

Pyramid– Det här är en tredimensionell kropp som har en polygon vid basen, och alla dess ytor består av trianglar.

Ett specialfall av en pyramid är en kon, vid vars bas ligger en cirkel.

Tänk på huvuddelarna i pyramiden:

Apotemär ett segment som förbinder toppen av pyramiden med mitten av den nedre kanten av sidoytan. Med andra ord, detta är höjden på pyramidens ansikte.

I figuren kan du se trianglarna ADS, ABS, BCS, CDS. Om man tittar noga på namnen kan man se att varje triangel har en gemensam bokstav i sitt namn - S. Det vill säga det betyder att alla sidoytor (trianglar) konvergerar i en punkt, som kallas toppen av pyramiden.

Segmentet OS, som förbinder vertexet med skärningspunkten för basens diagonaler (i fallet med trianglar, vid skärningspunkten för höjderna), kallas pyramidhöjd.

En diagonal sektion är ett plan som passerar genom toppen av pyramiden, såväl som en av basens diagonaler.

Eftersom pyramidens laterala yta består av trianglar, för att hitta den totala ytan av lateral yta, är det nödvändigt att hitta områdena på varje yta och lägga till dem. Antalet och formen på ytorna beror på formen och storleken på sidorna av polygonen som ligger vid basen.

Det enda planet i en pyramid som inte har en vertex kallas grund pyramider.

I figuren ser vi att basen är ett parallellogram, men det kan finnas vilken godtycklig polygon som helst.

Egenskaper:

Tänk på det första fallet av en pyramid, där den har kanter av samma längd:

• En cirkel kan beskrivas runt basen av en sådan pyramid. Om du projicerar toppen av en sådan pyramid, kommer dess projektion att vara placerad i mitten av cirkeln.
• Vinklarna vid basen av pyramiden är desamma för varje yta.
• Samtidigt kan ett tillräckligt villkor för att en cirkel kan beskrivas runt pyramidens bas, och även att alla kanter är av olika längd, betraktas som samma vinklar mellan basen och varje kant av ytorna .

Om du stöter på en pyramid där vinklarna mellan sidoytorna och basen är lika, då är följande egenskaper sanna:

• Du kommer att kunna beskriva en cirkel runt basen av pyramiden, vars topp projiceras exakt till mitten.
• Om du ritar på varje sida av höjden till basen, kommer de att vara lika långa.
• För att hitta den laterala ytarean av en sådan pyramid räcker det att hitta basens omkrets och multiplicera den med halva längden av höjden.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Typer av pyramid.
• Beroende på vilken polygon som ligger vid basen av pyramiden, kan de vara triangulära, fyrkantiga, etc. Om en vanlig polygon (med lika sidor) ligger vid basen av pyramiden, kommer en sådan pyramid att kallas regelbunden.

Vanlig triangulär pyramid

Vi är väl medvetna om de stora egyptiska pyramiderna, alla kan föreställa sig hur de ser ut. Denna representation kommer att hjälpa oss att förstå egenskaperna hos sådana geometrisk figur som en pyramid.

En pyramid är en polyeder som består av en platt polygon - pyramidens bas, en punkt som inte ligger i basens plan - pyramidens topp och alla segment som förbinder toppen med basens punkter. De segment som förbinder toppen av pyramiden med toppen av basen kallas laterala kanter. På fig. 1 visar pyramiden SABCD. Fyrkant ABCD är basen av pyramiden, punkt S är toppen av pyramiden, segment SA, SB, SC och SD är kanterna på pyramiden.

Pyramidens höjd är den vinkelräta som faller från toppen av pyramiden till basens plan. På fig. 1 SO är höjden på pyramiden.

En pyramid kallas n-gonal om dess bas är en n-gon. Figur 1 visar en fyrkantig pyramid. En triangulär pyramid kallas en tetraeder.

En pyramid kallas regelbunden om dess bas är en vanlig polygon, och höjdens bas sammanfaller med mitten av denna polygon. Sidokanterna på en vanlig pyramid är lika, och därför är sidoytorna likbenta trianglar. I en vanlig pyramid kallas höjden på sidoytan från toppen av pyramiden för apotem.

Pyramiden har ett antal egenskaper.

Alla diagonaler i en pyramid hör till dess ansikten.

Om alla sidokanter är lika, då:

• nära basen av pyramiden kan en cirkel beskrivas, och toppen av pyramiden projiceras in i dess centrum;
• sidokanterna bildar lika vinklar med basplanet, och omvänt, om sidokanterna bildar lika vinklar med basplanet, eller om en cirkel kan beskrivas nära pyramidens bas, och toppen av pyramiden projiceras in i dess centrum, då är alla sidokanter av pyramiden lika.

Om sidoytorna lutar mot basplanet i en vinkel, då:

• en cirkel kan inskrivas vid basen av pyramiden, och toppen av pyramiden projiceras in i dess mitt;
• höjderna på sidoytorna är lika;
• arean på sidoytan är lika med hälften av produkten av basens omkrets och höjden på sidoytan.

Tänk på formlerna för att hitta volymen, ytan av pyramiden.

Pyramidens volym kan beräknas med följande formel:

där S är arean av basen och h är höjden.

För att hitta den totala ytan av en pyramid, använd formeln:

S p \u003d S b + S o,

där Sp är den totala ytarean, Sb är sidoytan, So är basarean.

En stympad pyramid är en polyeder innesluten mellan basen av pyramiden och ett skärande plan parallellt med dess bas. Ytorna på den trunkerade pyramiden, som ligger i parallella plan, kallas baserna för den trunkerade pyramiden, de återstående ytorna kallas sidoytorna. Baserna i en trunkerad pyramid är liknande polygoner, sidoytorna är trapetser. En stympad pyramid som erhålls från en vanlig pyramid kallas en vanlig stympad pyramid. Sidoytorna på en vanlig trunkerad trapets är lika likbenta trapetser, deras höjder kallas apotemer.

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.