Radien för den inskrivna cirkeln i en rätvinklig triangelformel. Formler för radierna för inskrivna och omskrivna cirklar av regelbundna polygoner

Mycket ofta, när du löser geometriska problem, måste du utföra åtgärder med hjälpfigurer. Hitta till exempel radien för en inskriven eller omskriven cirkel, etc. Den här artikeln kommer att visa dig hur du hittar radien för en cirkel som omger en triangel. Eller, med andra ord, radien för cirkeln där triangeln är inskriven.

Hur man hittar radien för en cirkel omskriven kring en triangel - den allmänna formeln

Den allmänna formeln är som följer: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), där R är radien för den omskrivna cirkeln, p är triangelns omkrets dividerat med 2 (halvomkrets). a, b, c är triangelns sidor.

Hitta radien för triangelns omslutna cirkel om a = 3, b = 6, c = 7.

Således, baserat på ovanstående formel, beräknar vi halvomkretsen:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Byt ut värdena i formeln och få:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Svar: R = 126/16√5

Hur man hittar radien på en cirkel omskriven kring en liksidig triangel

För att hitta radien för en cirkel omskriven om en liksidig triangel finns det ganska enkel formel: R = a/√3, där a är värdet på dess sida.

Exempel: Sidan på en liksidig triangel är 5. Hitta radien för den omskrivna cirkeln.

Eftersom alla sidor av en liksidig triangel är lika, för att lösa problemet behöver du bara ange dess värde i formeln. Vi får: R = 5/√3.

Svar: R = 5/√3.

Hur man hittar radien för en cirkel omskriven om en rätvinklig triangel

Formeln ser ut så här: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, där a och b är ben och c är hypotenusan. Lägger vi till kvadraterna på benen i en rätvinklig triangel får vi kvadraten på hypotenusan. Som framgår av formeln ligger detta uttryck under roten. Genom att beräkna roten av kvadraten av hypotenusan får vi själva längden. Att multiplicera det resulterande uttrycket med 1/2 leder oss så småningom till uttrycket 1/2 × c = c/2.

Exempel: Beräkna radien för den omskrivna cirkeln om triangelns ben är 3 och 4. Byt ut värdena i formeln. Vi får: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

I detta uttryck är 5 längden på hypotenusan.

Svar: R = 2,5.

Hur man hittar radien för en cirkel omskriven om en likbent triangel

Formeln ser ut så här: R = a² / √ (4a² - b²), där a är längden på triangelns lår och b är längden på basen.

Exempel: Beräkna radien för en cirkel om dess höft = 7 och dess bas = 8.

Lösning: Vi ersätter dessa värden i formeln och får: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. Svaret kan skrivas direkt så här.

Svar: R = 49/√132

Onlineresurser för att beräkna radien på en cirkel

Det är väldigt lätt att bli förvirrad i alla dessa formler. Därför, om det behövs, kan du använda miniräknare online, som hjälper dig att lösa problem med att hitta radien. Funktionsprincipen för sådana miniprogram är mycket enkel. Byt ut sidans värde i lämpligt fält och få ett färdigt svar. Du kan välja flera alternativ för att avrunda svaret: till decimaler, hundradelar, tusendelar osv.

Cirkel inskriven i en triangel

Förekomsten av en cirkel inskriven i en triangel

Kom ihåg definitionen vinkelhalveringslinje .

Definition 1 .Vinkelhalveringslinje kallas en stråle som delar en vinkel i två lika delar.

Sats 1 (grundläggande egenskap för vinkelhalveringslinjen) . Varje punkt i vinkelns bisektris är på samma avstånd från vinkelns sidor (fig. 1).

Ris. 1

Bevis D liggande på vinkelns bisektrikBAC , Och DE Och D.F. på hörnets sidor (fig. 1).räta trianglar ADF Och ADE likvärdig eftersom de har samma spetsiga vinklarDAF Och DAE och hypotenusan AD - allmänt. Därav,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Sats 2 (invers sats till sats 1) . Om några , så ligger den på vinkelns bisektris (fig. 2).

Ris. 2

Bevis . Tänk på en godtycklig punktD ligger inne i hörnetBAC och ligger på samma avstånd från hörnets sidor. Släpp från punktenD vinkelräta DE Och D.F. på hörnets sidor (fig. 2).räta trianglar ADF Och ADE likvärdig , eftersom de har lika benD.F. Och DE och hypotenusan AD - allmänt. Därav,

Q.E.D.

Definition 2 . Cirkeln kallas cirkel inskriven i en vinkel om det är sidorna av denna vinkel.

Sats 3 . Om en cirkel är inskriven i en vinkel, är avstånden från vinkelns spets till cirkelns kontaktpunkter med vinkelns sidor lika.

Bevis . Låt poängen D är mitten av en cirkel inskriven i en vinkelBAC , och poängen E Och F - cirkelns kontaktpunkter med hörnets sidor (fig. 3).

Fig.3

a , b , c - sidor av en triangel
 S -fyrkant,

r – radien för den inskrivna cirkeln,
 sid - semiperimeter

.

Visa formelutdata

a – laterala sidan av en likbent triangel , 
 b - bas, r – inskriven cirkelradie

a r – inskriven cirkelradie

Visa formelutdata

,

Var

,

då, i fallet med en likbent triangel, när

vi får

vilket är vad som krävdes.

Sats 7 . För jämställdheten

Var a - sidan av en liksidig triangelr – radien för den inskrivna cirkeln (fig. 8).

Ris. 8

Bevis .

,

sedan, i fallet med en liksidig triangel, när

b=a,

vi får

vilket är vad som krävdes.

Kommentar . Jag rekommenderar att som en övning härleda formeln för radien av en cirkel inskriven i en liksidig triangel direkt, dvs. utan att använda allmänna formler för radierna för cirklar inskrivna i en godtycklig triangel eller i en likbent triangel.

Sats 8 . För en rätvinklig triangel, likheten

Var a , b - ben i en rätvinklig triangel, c – hypotenusa , r – radien för den inskrivna cirkeln.

Bevis . Tänk på figur 9.

Ris. 9

Sedan fyrhörningenCDOF är , som har intilliggande sidorDO Och AV är lika, då är denna rektangel . Därav,

CB \u003d CF \u003d r,

I kraft av sats 3, jämlikheterna

Därför, med hänsyn också till , får vi

vilket är vad som krävdes.

Ett urval av uppgifter om ämnet "En cirkel inskriven i en triangel."

1.

En cirkel inskriven i en likbent triangel delar vid kontaktpunkten en av sidorna i två segment, vars längder är lika med 5 och 3, räknat från spetsen mittemot basen. Hitta omkretsen av triangeln.

2.

3

I triangel ABC AC=4, BC=3, vinkel C är 90º. Hitta radien för den inskrivna cirkeln.

4.

Benen i en likbent rätvinklig triangel är 2+. Hitta radien för cirkeln inskriven i denna triangel.

5.

Radie av en cirkel inskriven i en likbent rät triangel, är lika med 2. Hitta hypotenusan c för denna triangel. Skriv c(-1) i ditt svar.

Här är ett antal uppgifter från tentan med lösningar.

Radien för en cirkel inskriven i en likbent rätvinklig triangel är . Hitta hypotenusan c för denna triangel. Vänligen ange i ditt svar.

Triangeln är rät och likbent. Så hans ben är likadana. Låt varje ben vara lika. Då är hypotenusan.

Vi skriver arean av triangeln ABC på två sätt:

Att likställa dessa uttryck, vi får det. Eftersom den, det förstår vi. Sedan.

Skriv som svar.

Svar:.

Uppgift 2.

1. På två valfria sidor 10 cm och 6 cm (AB och BC). Hitta radierna för de omskrivna och inskrivna cirklarna
Problemet löses självständigt med kommentarer.

Lösning:

I.

1) Hitta:
2) Bevisa:och hitta CK
3) Hitta: radierna för de omskrivna och inskrivna cirklarna

Lösning:

Uppgift 6.

R radien för en cirkel inskriven i en kvadrat är. Hitta radien för cirkeln omskriven kring denna kvadrat.Given :

Hitta: OS=?
Lösning: V det här fallet problemet kan lösas med antingen Pythagoras sats eller formeln för R. Det andra fallet är enklare, eftersom formeln för R härrör från satsen.

Uppgift 7.

Radien för en cirkel inskriven i en likbent rätvinklig triangel är 2. Hitta hypotenusanMed denna triangel. Vänligen ange i ditt svar.

S är arean av triangeln

Vi känner inte till vare sig triangelns sidor eller dess area. Låt oss beteckna benen som x, då blir hypotenusan lika med:

Arean av triangeln kommer att vara 0,5x 2 .

Betyder

Så hypotenusan blir:

Svaret måste skrivas:

Svar: 4

Uppgift 8.

I triangel ABC, AC = 4, BC = 3, vinkel Cär lika med 90 0 . Hitta radien för den inskrivna cirkeln.

Låt oss använda formeln för radien av en cirkel inskriven i en triangel:

där a, b, c är triangelns sidor

S är arean av triangeln

Två sidor är kända (detta är ben), vi kan beräkna den tredje (hypotenus), vi kan också beräkna arean.

Enligt Pythagoras sats:

Låt oss hitta området:

Således:

Svar: 1

Uppgift 9.

Sidorna i en likbent triangel är 5, basen är 6. Hitta radien för den inskrivna cirkeln.

Låt oss använda formeln för radien av en cirkel inskriven i en triangel:

där a, b, c är triangelns sidor

S är arean av triangeln

Alla sidor är kända, och arean är beräknad. Vi kan hitta det med Herons formel:

Sedan

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress E-post etc.

Hur vi använder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer till dig.
• Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

• I händelse av att det är nödvändigt - i enlighet med lagen, rättsordningen, i rättsliga förfaranden och / eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ på Ryska federationens territorium - avslöja din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt av säkerhetsskäl, brottsbekämpande eller andra allmänintressen.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

En romb är ett parallellogram med alla sidor lika. Därför ärver det alla egenskaper hos ett parallellogram. Nämligen:

• Diagonalerna på en romb är inbördes vinkelräta.
• Diagonalerna på en romb är bisektorerna för dess inre vinklar.

En cirkel kan inskrivas i en fyrhörning om och endast om summan av motsatta sidor är lika.
Därför kan en cirkel inskrivas i vilken romb som helst. Mitten av den inskrivna cirkeln sammanfaller med skärningscentrumet för rombens diagonaler.
Radien för en inskriven cirkel i en romb kan uttryckas på flera sätt

1 sätt. Radien för den inskrivna cirkeln i en romb genom höjden

Höjden på en romb är lika med diametern på den inskrivna cirkeln. Detta följer av egenskapen hos en rektangel, som bildas av diametern på den inskrivna cirkeln och höjden på romben - rektangelns motsatta sidor är lika.

Därför är formeln för radien för den inskrivna cirkeln i en romb genom höjden:

2 sätt. Radie av en inskriven cirkel i en romb genom diagonalerna

Arean av en romb kan uttryckas i termer av radien för den inskrivna cirkeln
, Var Rär rombens omkrets. Att veta att omkretsen är summan av alla sidor av en fyrhörning, vi har P= 4×ha. Sedan
Men arean av en romb är också hälften av produkten av dess diagonaler
Genom att likställa de rätta delarna av areaformlerna har vi följande likhet
Som ett resultat får vi en formel som gör att vi kan beräkna radien för den inskrivna cirkeln i en romb genom diagonalerna

Ett exempel på att beräkna radien för en cirkel inskriven i en romb om diagonalerna är kända
Hitta radien på en cirkel inskriven i en romb om det är känt att längden på diagonalerna är 30 cm och 40 cm
Låta ABCD- romb alltså AC Och BD dess diagonaler. AC= 30 cm , BD=40 cm
Låt poängen HANDLA OMär mitten av det inskrivna i romben ABCD cirkel, då kommer det också att vara skärningspunkten för dess diagonaler och dela dem på mitten.


eftersom rombens diagonaler skär varandra i räta vinklar, då triangeln AOB rektangulär. Sedan av Pythagoras sats
, ersätter vi de tidigare erhållna värdena i formeln

AB= 25 cm
Genom att tillämpa den tidigare härledda formeln för radien av den omskrivna cirkeln på en romb får vi

3 sätt. Radien för den inskrivna cirkeln i romben genom segmenten m och n

Punkt F- cirkelns kontaktpunkt med sidan av romben, som delar upp den i segment AF Och bf. Låta AF=m, BF=n.
Punkt O- skärningscentrum för rombens diagonaler och mitten av cirkeln inskriven i den.
Triangel AOB- rektangulär, eftersom rombens diagonaler skär varandra i räta vinklar.
, därför att är radien ritad till cirkelns tangentpunkt. Därav AV- triangelns höjd AOB till hypotenusan. Sedan AF Och bf- projektioner av benen på hypotenusan.
Höjden i en rätvinklig triangel som sjunker till hypotenusan är den genomsnittliga proportionella mellan projektionerna av benen på hypotenusan.

Formeln för radien av en inskriven cirkel i en romb genom segmenten är lika med kvadratroten av produkten av dessa segment i vilka sidan av romben delas med cirkelns tangentpunkt

Hur hittar man radien på en cirkel? Denna fråga är alltid relevant för skolbarn som studerar planimetri. Nedan ska vi titta på några exempel på hur du kan klara av uppgiften.

Beroende på problemets tillstånd kan du hitta cirkelns radie så här.

Formel 1: R \u003d L / 2π, där L är och π är en konstant lika med 3,141 ...

Formel 2: R = √(S / π), där S är cirkelns area.

Formel 1: R = B/2, där B är hypotenusan.

Formel 2: R \u003d M * B, där B är hypotenusan och M är medianen som dras till den.

Hur man hittar radien på en cirkel om den är omskriven runt en vanlig polygon

Formel: R \u003d A / (2 * sin (360 / (2 * n))), där A är längden på en av figurens sidor och n är antalet sidor i denna geometriska figur.

Hur man hittar radien för en inskriven cirkel

En inskriven cirkel kallas när den berör alla sidor av polygonen. Låt oss titta på några exempel.

Formel 1: R \u003d S / (P / 2), där - S och P är arean och omkretsen av figuren.

Formel 2: R \u003d (P / 2 - A) * tg (a / 2), där P är omkretsen, A är längden på en av sidorna och är vinkeln motsatt denna sida.

Hur man hittar radien på en cirkel om den är inskriven i en rätvinklig triangel

Formel 1:

Radie av en cirkel inskriven i en romb

En cirkel kan inskrivas i vilken romb som helst, både liksidig och oliksidig.

Formel 1: R \u003d 2 * H, där H är höjden på den geometriska figuren.

Formel 2: R \u003d S / (A * 2), där S är och A är längden på dess sida.

Formel 3: R \u003d √ ((S * sin A) / 4), där S är området för romben, och sin A är sinus spetsig vinkel denna geometriska figur.

Formel 4: R \u003d V * G / (√ (V² + G²), där V och G är längden på diagonalerna för en geometrisk figur.

Formel 5: R = B * sin (A / 2), där B är rombens diagonal och A är vinkeln vid de hörn som förbinder diagonalen.

Radie av en cirkel som är inskriven i en triangel

I händelse av att du i problemets tillstånd får längden på alla sidor av figuren, beräkna först (P) och sedan halvomkretsen (p):

P \u003d A + B + C, där A, B, C är längderna på sidorna av den geometriska figuren.

Formel 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

Och om du känner till alla samma tre sidor, kan du beräkna den erforderliga radien enligt följande.

Formel 2: R = S * 2(A + B + C)

Formel 3: R \u003d S / p \u003d S / (A + B + C) / 2), där - p är halvomkretsen av den geometriska figuren.

Formel 4: R \u003d (n - A) * tg (A / 2), där n är halva omkretsen av triangeln, A är en av dess sidor och tg (A / 2) är tangenten för halva vinkeln motsatt denna sida.

Och formeln nedan hjälper dig att hitta radien för cirkeln som är inskriven i

Formel 5: R \u003d A * √3/6.

Radie av en cirkel som är inskriven i en rätvinklig triangel

Om problemet ges längden på benen, såväl som hypotenusan, hittas radien för den inskrivna cirkeln enligt följande.

Formel 1: R \u003d (A + B-C) ​​/ 2, där A, B är ben, C är hypotenusan.

I händelse av att du bara får två ben är det dags att komma ihåg Pythagoras sats för att hitta hypotenusan och använda formeln ovan.

C \u003d √ (A² + B²).

Radie av en cirkel som är inskriven i en kvadrat

Cirkeln, som är inskriven i kvadraten, delar alla sina 4 sidor exakt på mitten vid kontaktpunkterna.

Formel 1: R \u003d A / 2, där A är längden på sidan av kvadraten.

Formel 2: R \u003d S / (P / 2), där S och P är arean och omkretsen av kvadraten.