Var skär höjderna i en triangel? Allt du behöver veta om triangeln

Högra triangelns höjdsats

Om höjden i en rätvinklig ABC av längd , ritad från spetsen av den räta vinkeln, delar hypotenusan av längd och i segment och motsvarar benen och , då är följande likheter sanna:

·

·

Egenskaper för baserna för höjder i en triangel

· Skäl höjder bildar en så kallad ortotriangel, som har sina egna egenskaper.

· Cirkeln omskriven kring en ortotriangel är Eulercirkeln. Denna cirkel innehåller också tre mittpunkter på triangelns sidor och tre mittpunkter av tre segment som förbinder ortocentret med triangelns hörn.

En annan formulering av den sista egenskapen:

· Eulers sats för niopunktscirkeln.

Skäl tre höjder godtycklig triangel, mittpunkterna på dess tre sidor ( grunden för dess inre medianer) och mittpunkterna för tre segment som förbinder dess hörn med ortocentrum, alla ligger på samma cirkel (på niopunktscirkel).

· Sats. I valfri triangel, segmentet ansluter grunder två höjder triangel, skär av en triangel som liknar den givna.

· Sats. I en triangel, segmentet ansluter grunder två höjder trianglar som ligger på två sidor antiparallell till en tredje part som han inte har någon gemensam grund med. En cirkel kan alltid ritas genom dess två ändar, såväl som genom de två hörnen på den tredje nämnda sidan.

Andra egenskaper hos triangelhöjder

· Om triangeln mångsidig (scalene), sedan det inre bisektrisen dragen från någon vertex ligger mellan inre median och höjd från samma vertex.

Höjden på en triangel är isogonalt konjugerad med diametern (radien) omringa, ritad från samma vertex.

· I en spetsig triangel finns två höjder skär av liknande trianglar från den.

· I en rätvinklig triangel höjd ritad från spetsen av en rät vinkel, delar den i två trianglar som liknar den ursprungliga.

Egenskaper för en triangels minsta höjd

Minimihöjden för en triangel har många extrema egenskaper. Till exempel:

· Den minsta ortogonala projektionen av en triangel på linjer som ligger i triangelns plan har en längd som är lika med den minsta av dess höjder.

· Det minsta raka snittet i planet genom vilket en stel triangulär platta kan dras måste ha en längd som är lika med den minsta av höjderna på denna platta.

· När två punkter rör sig kontinuerligt längs omkretsen av en triangel mot varandra, kan det maximala avståndet mellan dem under rörelsen från det första mötet till det andra inte vara mindre än längden på triangelns minsta höjd.

· Minsta höjd i en triangel ligger alltid inuti den triangeln.

Grundläggande relationer

· där är arean av triangeln, är längden på sidan av triangeln med vilken höjden sänks.

· var är produkten av sidorna, radien för den omskrivna cirkeln

· ,

var är radien för den inskrivna cirkeln.

Var är arean av triangeln.

var är sidan av triangeln som höjden sjunker till.

· Höjd på en likbent triangel sänkt till basen:

var är basen.

· - höjd i en liksidig triangel.

Medianer och höjder i en liksidig triangel

Medianerna i en triangel skär varandra i en punkt, som delar var och en av dem i förhållandet 2:1, räknat från vertex. Denna punkt kallas tyngdpunkt triangel. Och i liksidiga trianglar är medianer och höjder samma sak.

Betrakta en godtycklig triangel ABC. Låt oss beteckna med bokstaven O skärningspunkten för dess medianer AA1 och BB1 och rita denna triangels mittlinje A1B1. Triangelns medianer skär varandra i en punkt. Segmentet A1B1 är parallellt med sidan AB, därför vinklarna 1 och 2 , liksom vinklarna 3 och 4 är lika med tvärgående vinklar vid skärningspunkten mellan parallella linjer AB och A1B1 av sekanterna AA1 och BB1. Därför är trianglarna AOB och A1OB1 lika i två vinklar, och därför är deras sidor proportionella: AOA1O=BOB1O=ABA1B1. Men AB=2⋅A1B1, så AO=2⋅A1O och BO=2⋅B1O. Således delar skärningspunkten O för medianerna AA1 och BB1 var och en av dem i förhållandet 2:1, räknat från vertex. På liknande sätt är det bevisat att skärningspunkten för medianerna BB1 och CC1 delar var och en av dem i förhållandet 2:1 räknat från vertexet, och därför sammanfaller med punkten O. Således skär alla tre medianerna i triangeln ABC kl. punkten O och divideras med den i förhållandet 2: 1, räknat från toppen.

Teoremet har bevisats.

Låt oss föreställa oss att vid hörn av vinkeln m₁=1, sedan i punkterna A₁,B₁,C₁, m₂=2, eftersom de är sidornas mittpunkter. Och här kan du lägga märke till att segmenten AA₁,BB₁,CC₁, som skär varandra vid en punkt, liknar spakar med ett stödpunkt O, där AO-l₁, och OA₁-l₂ (axlar). Och enligt den fysikaliska formeln F1/F2=l1/l2, där F=m*g, där g-konst, och den reduceras i enlighet därmed, visar det sig att m^/m2=l1/l2, dvs. ½=1/2.

Teoremet har bevisats.

Ortotriangel

Egenskaper:

· Tre höjder av en triangel skär varandra vid en punkt, denna punkt kallas ortocentrum

· Två intilliggande sidor av en ortotriangel bildar lika vinklar med motsvarande sida i den ursprungliga triangeln

En triangels höjder är halveringslinjerna för en ortotriangel

· En ortotriangel är den triangel med den minsta omkretsen som kan skrivas in inom en given triangel (Fagnanoproblem)

· Omkretsen av en ortotriangel är lika med två gånger produkten av triangelns höjd och sinus av vinkeln från vilken den kommer.

· Om punkterna A 1 , B 1 och C 1 på sidorna BC, AC och AB i spetsig triangel ABC är sådana att

då är en ortotriangel av triangeln ABC.

Ortotriangel skär av trianglar som liknar denna

Sats om egenskapen för bisektrar i en ortotriangel

∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

CC1-bisektor ∟B1C1A

AA1-bisektor ∟B1A1C1

BB1-bisektor ∟A1B1C1

En triangel är en polygon med tre sidor, eller en sluten streckad linje med tre länkar, eller en figur som bildas av tre segment som förbinder tre punkter som inte ligger på samma räta linje (se fig. 1).

Grundläggande element i triangeln abc

Toppar – punkterna A, B och C;

Fester – segmenten a = BC, b = AC och c = AB som förbinder hörnen;

Vinklar – α, β, γ bildade av tre par sidor. Vinklar betecknas ofta på samma sätt som hörn, med bokstäverna A, B och C.

Vinkeln som bildas av en triangels sidor och som ligger i dess inre område kallas en inre vinkel, och den intill den är triangelns intilliggande vinkel (2, s. 534).

En triangels höjder, medianer, bisektrar och mittlinjer

Förutom huvudelementen i en triangel, beaktas även andra segment med intressanta egenskaper: höjder, medianer, bisektrar och mittlinjer.

Höjd

Triangelhöjder- dessa är vinkelräta vinkelräta från triangelns hörn till motsatta sidor.

För att rita höjden måste du utföra följande steg:

1) rita en rak linje som innehåller en av triangelns sidor (om höjden dras från spetsen av en spetsig vinkel i en trubbig triangel);

2) från spetsen som ligger mittemot den ritade linjen, rita ett segment från punkten till denna linje och gör en vinkel på 90 grader med den.

Punkten där höjden skär triangelns sida kallas höjd bas (se fig. 2).

Egenskaper för triangelhöjder

I en rätvinklig triangel delar höjden från spetsen av den räta vinkeln den i två trianglar som liknar den ursprungliga triangeln.

I en spetsig triangel skär dess två höjder av liknande trianglar från den.

Om triangeln är spetsig, hör alla höjdernas baser till triangelns sidor, och i en trubbig triangel faller två höjder på fortsättningen av sidorna.

Tre höjder i en spetsig triangel skär varandra vid en punkt och denna punkt kallas ortocenter triangel.

Median

Medianer(från latin mediana - "mitten") - dessa är segment som förbinder triangelns hörn med mittpunkterna på de motsatta sidorna (se fig. 3).

För att konstruera medianen måste du utföra följande steg:

1) hitta mitten av sidan;

2) koppla ihop punkten som är mitten av sidan av triangeln med motsatt vertex med ett segment.

Egenskaper för triangelmedian

Medianen delar en triangel i två trianglar med lika stor yta.

Medianerna i en triangel skär varandra i en punkt, som delar var och en av dem i förhållandet 2:1, räknat från vertex. Denna punkt kallas tyngdpunkt triangel.

Hela triangeln delas med sina medianer i sex lika stora trianglar.

Bisektris

Bisektorer(från latin bis - två gånger och seko - skär) är de raka linjesegmenten inneslutna i en triangel som delar dess vinklar (se fig. 4).

För att konstruera en bisektrik måste du utföra följande steg:

1) konstruera en stråle som kommer ut från vinkelns spets och dela den i två lika delar (vinkelns bisektrik);

2) hitta skärningspunkten för halveringslinjen för triangelns vinkel med motsatt sida;

3) välj ett segment som förbinder triangelns spets med skärningspunkten på motsatt sida.

Egenskaper för triangelhalveringslinjer

Halslinjen för en vinkel i en triangel delar den motsatta sidan i ett förhållande som är lika med förhållandet mellan de två intilliggande sidorna.

Halvledarna för de inre vinklarna i en triangel skär varandra i en punkt. Denna punkt kallas mitten av den inskrivna cirkeln.

Bisektorerna för de inre och yttre vinklarna är vinkelräta.

Om halveringslinjen för en yttre vinkel av en triangel skär förlängningen av den motsatta sidan, då ADBD=ACBC.

Halvledarna för en inre och två yttre vinklar i en triangel skär varandra i en punkt. Denna punkt är mitten av en av de tre cirklarna i denna triangel.

Baserna för halveringslinjen för två inre och en yttre vinklar i en triangel ligger på samma räta linje om den yttre vinkelns bisektris inte är parallell med den motsatta sidan av triangeln.

Om halvledarna för de yttre vinklarna i en triangel inte är parallella med motsatta sidor, ligger deras baser på samma räta linje.

När man löser olika slags problem, både av rent matematisk och tillämpad karaktär (särskilt i konstruktion), är det ofta nödvändigt att bestämma värdet av höjden på en viss geometrisk figur. Hur beräknar man detta värde (höjd) i en triangel?

Om vi ​​kombinerar 3 punkter i par som inte är placerade på en enda linje, blir den resulterande figuren en triangel. Höjd är den del av en rät linje från valfri vertex av en figur som, när den skär den motsatta sidan, bildar en vinkel på 90°.

Hitta höjden på en skalentriangel

Låt oss bestämma värdet på höjden på en triangel i fallet när figuren har godtyckliga vinklar och sidor.

Herons formel

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, där

p – halva figurens omkrets, h(a) – ett segment till sidan a, ritat i rät vinkel mot det,

p=(a+b+c)/2 – beräkning av halvperimetern.

Om det finns en yta av figuren kan du använda relationen h(a)=2S/a för att bestämma dess höjd.

Trigonometriska funktioner

För att bestämma längden på ett segment som gör en rät vinkel när det skär sidan a, kan du använda följande relationer: om sidan b och vinkeln γ eller sidan c och vinkeln β är kända, så är h(a)=b*sinγ eller h(a)=c *sinp.
Var:
γ – vinkeln mellan sidan b och a,
β är vinkeln mellan sidan c och a.

Förhållande med radie

Om den ursprungliga triangeln är inskriven i en cirkel kan du använda radien för en sådan cirkel för att bestämma höjden. Dess centrum är beläget vid den punkt där alla 3 höjderna skär varandra (från varje vertex) - ortocentret, och avståndet från det till vertexet (vilket som helst) är radien.

Sedan h(a)=bc/2R, där:
b, c – 2 andra sidor av triangeln,
R är radien för den cirkel som omger triangeln.

Hitta höjden i en rätvinklig triangel

I denna typ av geometrisk figur bildar 2 sidor, när de skär varandra, en rät vinkel - 90°. Därför, om du vill bestämma höjdvärdet i det, måste du beräkna antingen storleken på ett av benen eller storleken på segmentet som bildar 90° med hypotenusan. När du utser:
a, b – ben,
c – hypotenusa,
h(c) – vinkelrätt mot hypotenusan.
Du kan göra de nödvändiga beräkningarna med hjälp av följande relationer:

• Pythagoras sats:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, eftersom S=ab/2, sedan h(c)=ab/c.

• Trigonometriska funktioner:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinp* cosp.

Hitta höjden på en likbent triangel

Denna geometriska figur kännetecknas av närvaron av två sidor av samma storlek och en tredje - basen. För att bestämma höjden som dras till den tredje, distinkta sidan kommer Pythagoras sats till undsättning. Med notskrift
en – sida,
c – bas,
h(c) är ett segment till c i en vinkel av 90°, då h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Lektionen innehåller en beskrivning av egenskaperna och formlerna för att hitta höjden på en triangel, samt exempel på problemlösning. Om du inte har hittat en lösning på ett lämpligt problem - skriv om det på forumet. Säkert kommer kursen att kompletteras.

TRIANGELHÖJD Triangelhöjd- en vinkelrät tappad från toppen av en triangel, dragen till sidan mittemot vertex eller till dess fortsättning. Egenskaper triangelhöjder: Om två höjder i en triangel är lika, så är triangeln likbent I vilken triangel som helst skär ett segment som förbinder baserna för två höjder av triangeln av en triangel som liknar den givna I en triangel är ett segment som förbinder baserna för två höjder av triangeln som ligger på två sidor icke-parallellt med den tredje sidan, med vilken det inte har några gemensamma punkter. Genom dess två ändar, såväl som genom de två hörnen på denna sida, kan du alltid rita en cirkel I en spetsig triangel skär två av dess höjder av liknande trianglar från den Minsta höjd i en triangel är alltid innanför den triangeln Ortocenter av triangeln Alla tre höjderna i triangeln (ritade från de tre hörnen) skär varandra vid en punkt, vilket kallas ortocenter. För att hitta skärningspunkten för höjder räcker det att rita två höjder (två linjer skär bara i en punkt). Ortocentrets läge (punkt O) bestäms av typen av triangel. För en spetsig triangel är skärningspunkten för höjderna i triangelns plan. (Figur 1). I en rätvinklig triangel sammanfaller skärningspunkten för höjderna med spetsen för den räta vinkeln (fig. 2). För en trubbig triangel är skärningspunkten för höjderna belägen bakom triangelns plan (fig. 3). För en likbent triangel är medianen, halveringslinjen och höjden som dras till triangelns bas desamma. I en liksidig triangel sammanfaller alla tre "anmärkningsvärda" linjerna (höjd över havet, bisektris och median) och tre "anmärkningsvärda" punkter (punkterna för ortocentrum, tyngdpunkten och mitten av de inskrivna och omskrivna cirklarna) är belägna vid samma skärningspunkt för de "anmärkningsvärda" linjerna, dvs. också matcha.

HÖG TRIKUTNIKA Höjden på tricubitulen sjunker från toppen av tricubitulen vinkelrät, ritar på protidal apex eller på dess förlängning. Alla tre höjderna av tricubitus (ritning från tre hörn) skär varandra vid en punkt, som kallas ortocentrum. För att hitta punkten för korshöjder måste du rita två höjder (två raka linjer korsar endast i en punkt). Ortocentrets läge (punkt O) bestäms av typen av tricuputid. I gostrokutny trikutnik är punkten för höjdkorsning belägen i trikutnikens plan. (Mal.1). I den rakt skurna tricuten möter höjdpunkten på korset det raka snittets spets (Mal. 2). I en trubbvinklad tricutnik är punkten för höjdernas tvärlinje belägen bakom tricutnikens planhet (Mal.3). I den isosfemorala tricullus är medianen, bisekturen och höjden som dras till basen av tricucutineum lika. I en liksidig trikub undviks alla tre "markerade" linjer (höjd, bisektur och median) och tre "markerade" punkter (ortocenterpunkter, linjens mitt och mitten av den inskrivna och beskrivna kölen) är placerade på samma punkten för överföringen leran av de "smutsiga" linjerna, så att de också kan undvikas.

Formler för att hitta höjden på en triangel

Figuren visas för att göra det lättare att förstå formlerna för att hitta höjden på en triangel. Den allmänna regeln är att längden på en sida anges med en liten bokstav mitt emot motsvarande vinkel. Det vill säga sidan a ligger motsatt vinkel A.
Höjd i formler betecknas med bokstaven h, vars sänkning motsvarar den sida på vilken den är sänkt.

Andra beteckningar:
a,b,c- längderna på triangelns sidor
h a- höjden på triangeln ritad till sidan a från motsatt vinkel
h b- höjd dragen åt sidan b
h c- höjd dragen åt sidan c
R- radien för den omskrivna cirkeln
r- radien för den inskrivna cirkeln

Förklaringar till formler.
En triangels höjd är lika med produkten av längden på sidan som gränsar till vinkeln från vilken denna höjd utelämnas och sinus för vinkeln mellan denna sida och sidan till vilken denna höjd är utelämnad (formel 1)
Höjden på en triangel är lika med kvoten av två gånger triangelns area dividerat med längden på sidan till vilken denna höjd sänks (Formel 2)
Höjden på en triangel är lika med kvoten för att dividera produkten av sidorna som gränsar till vinkeln från vilken denna höjd utelämnas med två gånger radien av cirkeln som beskrivs runt den (formel 4).
Höjden på sidorna i en triangel är relaterade till varandra i samma proportion som de omvända proportionerna av längderna på sidorna i samma triangel är relaterade till varandra, och även produkterna av par av sidor i en triangel som har en gemensam vinkel är relaterade till varandra i samma proportion (formel 5).
Summan av de ömsesidiga värdena för höjderna av en triangel är lika med det ömsesidiga värdet av radien av cirkeln inskriven i en sådan triangel (Formel 6)
Arean av en triangel kan hittas genom längderna av höjderna av denna triangel (Formel 7)
Längden på sidan av triangeln som höjden sänks med kan hittas genom att tillämpa formlerna 7 och 2.

Uppgift på .

I en rätvinklig triangel ABC (vinkel C = 90 0) ritas höjden CD. Bestäm CD om AD = 9 cm, BD = 16 cm

Lösning.

Trianglar ABC, ACD och CBD liknar varandra. Detta följer direkt av det andra likhetskriteriet (likheten mellan vinklarna i dessa trianglar är uppenbar).

Rätta trianglar är den enda typen av triangel som kan skäras till två trianglar som liknar varandra och den ursprungliga triangeln.

Beteckningarna för dessa tre trianglar i denna ordning av hörn: ABC, ACD, CBD. Således visar vi samtidigt korrespondensen mellan hörnen. (Vertex A i triangel ABC motsvarar också vertex A i triangel ACD och vertex C i triangel CBD, etc.)

Trianglar ABC och CBD liknar varandra. Betyder att:

AD/DC = DC/BD, det vill säga

Problem med att tillämpa Pythagoras sats.

Triangel ABC är en rätvinklig triangel. I detta fall är C en rät vinkel. Från den ritas höjden CD = 6 cm. Skillnad mellan segment BD-AD=5 cm.

Hitta: Sidor av triangel ABC.

Lösning.

1. Låt oss skapa ett ekvationssystem enligt Pythagoras sats

CD 2 +BD 2 =BC 2

CD 2 +AD 2 =AC 2

eftersom CD=6

Eftersom BD-AD=5 alltså

BD = AD+5, då tar ekvationssystemet formen

36+(AD+5) 2 =BC 2

Låt oss lägga till de första och andra ekvationerna. Eftersom vänster sida läggs till vänster, och höger sida till höger, kommer inte jämställdheten att kränkas. Vi får:

36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 + BC 2

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 + BC 2

2. När man nu tittar på den ursprungliga ritningen av triangeln, enligt samma Pythagoras sats, måste likheten vara uppfylld:

AC 2 + BC 2 = AB 2

Eftersom AB=BD+AD blir ekvationen:

AC 2 + BC 2 =(AD+BD) 2

Eftersom BD-AD=5, då BD = AD+5, alltså

AC 2 + BC 2 =(AD+AD+5) 2

3. Låt oss nu ta en titt på resultaten vi fick när vi löste den första och andra delen av lösningen. Nämligen:

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 + BC 2

AC 2 + BC 2 =(AD+AD+5) 2

De har en gemensam del AC 2 + BC 2. Låt oss alltså likställa dem med varandra.

72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2

72+AD 2 +10AD+25+AD 2 =4AD 2 +20AD+25

2AD 2 -10AD+72=0

I den resulterande andragradsekvationen är diskriminanten lika med D=676, respektive ekvationens rötter är lika:

Eftersom längden på segmentet inte kan vara negativ, kasserar vi den första roten.

Respektive

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

Med hjälp av Pythagoras sats hittar vi de återstående sidorna av triangeln:

AC = roten av (52)

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan även använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

• Om nödvändigt - i enlighet med lag, rättsligt förfarande, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ i Ryska federationen - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.