Hem › Chassi › Hur hittar man de största och minsta värdena för en funktion i ett avgränsat slutet område? Undersökning av grafen för en funktion.

Hur hittar man de största och minsta värdena för en funktion i ett avgränsat slutet område? Undersökning av grafen för en funktion.

I den här artikeln kommer jag att prata om hur man tillämpar förmågan att hitta på studien av en funktion: att hitta dess största eller det minsta värdet. Och så ska vi lösa några problem från Uppgift B15 från öppen bank uppdrag för .

Låt oss som vanligt börja med teorin först.

I början av varje studie av en funktion hittar vi den

För att hitta det största eller minsta värdet på funktionen behöver du undersöka på vilka intervall funktionen ökar och på vilka den minskar.

För att göra detta måste du hitta derivatan av funktionen och studera dess intervall med konstant tecken, det vill säga intervallen där derivatan behåller sitt tecken.

De intervall på vilka derivatan av en funktion är positiv är intervall med ökande funktion.

De intervall på vilka derivatan av en funktion är negativ är intervall med minskande funktion.

1 . Låt oss lösa uppgift B15 (nr 245184)

För att lösa det kommer vi att följa följande algoritm:

a) Hitta funktionens domän

b) Hitta derivatan av funktionen .

c) Sätt den lika med noll.

d) Låt oss hitta intervallen för konstanttecken för funktionen.

e) Hitta den punkt där funktionen tar det största värdet.

f) Hitta värdet på funktionen vid denna punkt.

Jag berättar den detaljerade lösningen av denna uppgift i VIDEOLEKTIONEN:

Förmodligen stöds inte din webbläsare. För att använda simulatorn "Unified State Examination Hour" testa att ladda ner
Firefox

2. Låt oss lösa uppgift B15 (nr 282862)

Hitta det största värdet på en funktion på segmentet

Det är uppenbart att funktionen tar det största värdet på segmentet vid maxpunkten, vid x=2. Hitta värdet på funktionen vid denna punkt:

Svar: 5

3 . Låt oss lösa uppgift B15 (nr 245180):

Hitta det största värdet på en funktion

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Eftersom omfattningen av den ursprungliga funktionen title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Täljaren är noll vid . Låt oss kontrollera om ODZ tillhör funktionen. För att göra detta, kontrollera om villkoret title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

så punkten tillhör ODZ för funktionen

Vi undersöker tecknet för derivatan till höger och vänster om punkten:

Vi ser att funktionen tar det största värdet vid punkten. Låt oss nu hitta värdet på funktionen vid:

Notera 1. Observera att vi i detta problem inte hittade funktionens domän: vi fixade bara begränsningarna och kontrollerade om punkten där derivatan är lika med noll tillhör funktionens domän. I detta problem visade sig detta vara tillräckligt. Detta är dock inte alltid fallet. Det beror på uppgiften.

Anmärkning 2. När man studerar beteendet hos en komplex funktion kan man använda följande regel:

om den yttre funktionen av en sammansatt funktion ökar, så får funktionen sitt största värde vid samma punkt där den inre funktionen får sitt största värde. Detta följer av definitionen av en ökande funktion: en funktion ökar på intervallet I if större värde ett argument från detta intervall motsvarar ett större värde på funktionen.
om den yttre funktionen av en komplex funktion minskar, antar funktionen det största värdet vid samma punkt där den inre funktionen antar det minsta värdet . Detta följer av definitionen av en minskande funktion: funktionen minskar på intervallet I om det större värdet av argumentet från detta intervall motsvarar det mindre värdet på funktionen

I vårt exempel ökar den yttre funktionen - över hela definitionsdomänen. Under logaritmens tecken finns ett uttryck - ett kvadratiskt trinomium, som med en negativ seniorkoefficient tar det största värdet vid punkten . Därefter ersätter vi detta värde på x i funktionens ekvation och hitta dess största värde.

Låt funktionen $z=f(x,y)$ vara definierad och kontinuerlig i någon avgränsad sluten domän $D$. Låt i detta område för given funktion har finita partiella derivator av första ordningen (med möjliga undantag för ett ändligt antal punkter). För att hitta de största och minsta värdena av en funktion av två variabler i en given sluten region krävs tre steg av en enkel algoritm.

Algoritm för att hitta de största och minsta värdena för funktionen $z=f(x,y)$ i den stängda domänen $D$.

Hitta de kritiska punkterna för funktionen $z=f(x,y)$ som hör till regionen $D$. Beräkna funktionsvärden vid kritiska punkter.
Undersök beteendet för funktionen $z=f(x,y)$ på gränsen för regionen $D$ genom att hitta punkterna för möjliga max- och minivärden. Beräkna funktionsvärdena vid de erhållna punkterna.
Från funktionsvärdena som erhållits i de två föregående styckena, välj den största och minsta.

Vad är kritiska punkter? visa gömma

Under kritiska punkter innebär punkter där båda första ordningens partiella derivator är lika med noll (dvs $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ och $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) eller åtminstone en partiell derivata existerar inte.

Ofta kallas de punkter där första ordningens partiella derivator är lika med noll stationära punkter. Stationära punkter är således en delmängd av kritiska punkter.

Exempel #1

Hitta de högsta och lägsta värdena för funktionen $z=x^2+2xy-y^2-4x$ i det stängda området avgränsat av linjerna $x=3$, $y=0$ och $y=x +1$.

Vi kommer att följa ovanstående, men först kommer vi att ta itu med ritningen av ett givet område, som vi kommer att beteckna med bokstaven $D$. Vi får ekvationerna för tre räta linjer, som begränsar detta område. Den räta linjen $x=3$ går genom punkten $(3;0)$ parallellt med y-axeln (axel Oy). Den räta linjen $y=0$ är ekvationen för abskissaxeln (Ox-axeln). Tja, för att konstruera en rät linje $y=x+1$ låt oss hitta två punkter genom vilka vi drar denna räta linje. Du kan naturligtvis ersätta ett par godtyckliga värden istället för $x$. Om vi till exempel ersätter $x=10$ får vi: $y=x+1=10+1=11$. Vi har hittat punkten $(10;11)$ liggande på linjen $y=x+1$. Det är dock bättre att hitta de punkter där linjen $y=x+1$ skär linjerna $x=3$ och $y=0$. Varför är det bättre? Eftersom vi kommer att lägga ner ett par fåglar i en smäll: vi får två punkter för att konstruera den räta linjen $y=x+1$ och samtidigt ta reda på vid vilka punkter denna räta linje skär andra linjer som begränsar den givna område. Linjen $y=x+1$ skär linjen $x=3$ i punkten $(3;4)$ och linjen $y=0$ - i punkten $(-1;0)$. För att inte belamra lösningens gång med hjälpförklaringar kommer jag att lägga upp frågan om att få fram dessa två punkter i en not.

Hur erhölls poängen $(3;4)$ och $(-1;0)$? visa gömma

Låt oss börja från skärningspunkten mellan linjerna $y=x+1$ och $x=3$. Koordinaterna för den önskade punkten tillhör både den första och andra linjen, så för att hitta okända koordinater måste du lösa ekvationssystemet:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Lösningen av ett sådant system är trivial: genom att ersätta $x=3$ i den första ekvationen får vi: $y=3+1=4$. Punkten $(3;4)$ är den önskade skärningspunkten för linjerna $y=x+1$ och $x=3$.

Låt oss nu hitta skärningspunkten för linjerna $y=x+1$ och $y=0$. Återigen komponerar och löser vi ekvationssystemet:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Genom att ersätta $y=0$ i den första ekvationen får vi: $0=x+1$, $x=-1$. Punkten $(-1;0)$ är den önskade skärningspunkten för linjerna $y=x+1$ och $y=0$ (abskissaxel).

Allt är klart för att bygga en ritning som kommer att se ut så här:

Frågan om lappen verkar uppenbar, eftersom allt kan ses från figuren. Det är dock värt att komma ihåg att ritningen inte kan tjäna som bevis. Figuren är bara en illustration för tydlighetens skull.

Vårt område sattes med hjälp av linjeekvationerna som begränsar det. Det är uppenbart att dessa linjer definierar en triangel, eller hur? Eller inte helt uppenbart? Eller så kanske vi får ett annat område, avgränsat av samma linjer:

Självklart säger villkoret att området är stängt, så bilden som visas är fel. Men för att undvika sådana oklarheter är det bättre att definiera regioner med ojämlikheter. Vi är intresserade av den del av planet som ligger under linjen $y=x+1$? Okej, alltså $y ≤ x+1$. Vårt område ska ligga ovanför linjen $y=0$? Bra, så $y ≥ 0$. Förresten, de två sista ojämlikheterna kombineras enkelt till en: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Dessa ojämlikheter definierar domänen $D$ och definierar den unikt, utan några tvetydigheter. Men hur hjälper detta oss i frågan i början av fotnoten? Det kommer också att hjälpa :) Vi måste kontrollera om punkten $M_1(1;1)$ tillhör regionen $D$. Låt oss ersätta $x=1$ och $y=1$ i systemet av ojämlikheter som definierar denna region. Om båda ojämlikheterna är uppfyllda, ligger poängen inom regionen. Om åtminstone en av ojämlikheterna inte är uppfyllda, så tillhör inte punkten regionen. Så:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Båda ojämlikheterna är sanna. Punkten $M_1(1;1)$ tillhör regionen $D$.

Nu är det turen att undersöka funktionens beteende på domänens gräns, d.v.s. gå till. Låt oss börja med den raka linjen $y=0$.

Den räta linjen $y=0$ (abskissaxel) begränsar området $D$ under villkoret $-1 ≤ x ≤ 3$. Ersätt $y=0$ i den givna funktionen $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Den resulterande ersättningsfunktionen för en variabel $x$ kommer att betecknas som $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Nu för funktionen $f_1(x)$ måste vi hitta de största och minsta värdena på intervallet $-1 ≤ x ≤ 3$. Hitta derivatan av denna funktion och likställ den med noll:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Värdet $x=2$ tillhör segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$, så vi lägger också till $M_2(2;0)$ till poänglistan. Dessutom beräknar vi värdena för funktionen $z$ i ändarna av segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$, dvs. vid punkterna $M_3(-1;0)$ och $M_4(3;0)$. Förresten, om punkten $M_2$ inte tillhörde det aktuella segmentet, skulle det naturligtvis inte finnas något behov av att beräkna värdet på funktionen $z$ i den.

Så låt oss beräkna värdena för funktionen $z$ vid punkterna $M_2$, $M_3$, $M_4$. Du kan naturligtvis ersätta koordinaterna för dessa punkter i det ursprungliga uttrycket $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Till exempel, för punkten $M_2$ får vi:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Beräkningarna kan dock förenklas en aning. För att göra detta är det värt att komma ihåg att på segmentet $M_3M_4$ har vi $z(x,y)=f_1(x)$. Jag ska beskriva det i detalj:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(justerad)

Naturligtvis finns det vanligtvis inget behov av sådana detaljerade poster, och i framtiden kommer vi att börja skriva ner alla beräkningar på ett kortare sätt:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Låt oss nu vända oss till den raka linjen $x=3$. Denna linje avgränsar domänen $D$ under villkoret $0 ≤ y ≤ 4$. Ersätt $x=3$ i den givna funktionen $z$. Som ett resultat av en sådan substitution får vi funktionen $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

För funktionen $f_2(y)$ måste du hitta de största och minsta värdena på intervallet $0 ≤ y ≤ 4$. Hitta derivatan av denna funktion och likställ den med noll:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Värdet $y=3$ tillhör segmentet $0 ≤ y ≤ 4$, så vi lägger till $M_5(3;3)$ till de punkter som hittats tidigare. Dessutom är det nödvändigt att beräkna värdet av funktionen $z$ vid punkterna i ändarna av segmentet $0 ≤ y ≤ 4$, dvs. vid punkterna $M_4(3;0)$ och $M_6(3;4)$. Vid punkten $M_4(3;0)$ har vi redan beräknat värdet på $z$. Låt oss beräkna värdet av funktionen $z$ vid punkterna $M_5$ och $M_6$. Låt mig påminna dig om att på segmentet $M_4M_6$ har vi $z(x,y)=f_2(y)$, därför:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(justerad)

Och, slutligen, betrakta den sista gränsen för $D$, dvs. rad $y=x+1$. Denna linje avgränsar regionen $D$ under villkoret $-1 ≤ x ≤ 3$. Genom att ersätta $y=x+1$ i funktionen $z$ kommer vi att ha:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Återigen har vi en funktion av en variabel $x$. Och återigen måste du hitta de största och minsta värdena för denna funktion på segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$. Hitta derivatan av funktionen $f_(3)(x)$ och likställ den med noll:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Värdet $x=1$ tillhör intervallet $-1 ≤ x ≤ 3$. Om $x=1$, då $y=x+1=2$. Låt oss lägga till $M_7(1;2)$ till listan över punkter och ta reda på vad värdet på funktionen $z$ är vid denna tidpunkt. Punkterna i ändarna av segmentet $-1 ≤ x ≤ 3$, dvs. poäng $M_3(-1;0)$ och $M_6(3;4)$ övervägdes tidigare, vi har redan hittat värdet på funktionen i dem.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Det andra steget i lösningen är avslutat. Vi har sju värden:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Låt oss vända oss till. Genom att välja de största och minsta värdena från de siffror som erhölls i det tredje stycket kommer vi att ha:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6,$$

Problemet är löst, det återstår bara att skriva ner svaret.

Svar: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Exempel #2

Hitta de största och minsta värdena för funktionen $z=x^2+y^2-12x+16y$ i området $x^2+y^2 ≤ 25$.

Låt oss bygga en ritning först. Ekvationen $x^2+y^2=25$ (detta är gränslinjen för det givna området) definierar en cirkel med ett centrum i origo (dvs i punkten $(0;0)$) och en radie på 5. Olikheten $x^2 +y^2 ≤ 25$ uppfyller alla punkter inuti och på den nämnda cirkeln.

Vi kommer att agera på. Låt oss hitta partiella derivator och ta reda på de kritiska punkterna.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Det finns inga punkter där de hittade partiella derivaten inte existerar. Låt oss ta reda på vid vilka punkter båda partiella derivaten samtidigt är lika med noll, dvs. hitta stationära punkter.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(justerad) \right.$$

Vi fick en stationär poäng $(6;-8)$. Den hittade punkten tillhör dock inte regionen $D$. Detta är lätt att visa utan att ens behöva rita. Låt oss kontrollera om olikheten $x^2+y^2 ≤ 25$, som definierar vår domän $D$, håller. Om $x=6$, $y=-8$, då $x^2+y^2=36+64=100$, dvs. ojämlikheten $x^2+y^2 ≤ 25$ är inte uppfylld. Slutsats: punkten $(6;-8)$ tillhör inte regionen $D$.

Det finns alltså inga kritiska punkter inuti $D$. Låt oss gå vidare till. Vi behöver undersöka funktionens beteende på gränsen för det givna området, d.v.s. på cirkeln $x^2+y^2=25$. Du kan naturligtvis uttrycka $y$ i termer av $x$ och sedan ersätta det resulterande uttrycket med vår funktion $z$. Från cirkelekvationen får vi: $y=\sqrt(25-x^2)$ eller $y=-\sqrt(25-x^2)$. Genom att till exempel ersätta $y=\sqrt(25-x^2)$ i den givna funktionen kommer vi att ha:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Den ytterligare lösningen kommer att vara helt identisk med studien av beteendet hos funktionen på gränsen av regionen i föregående exempel nr 1. Det förefaller mig dock mer rimligt i denna situation att tillämpa Lagrangemetoden. Vi är bara intresserade av den första delen av denna metod. Efter att ha tillämpat den första delen av Lagrange-metoden kommer vi att få poäng vid vilka och undersöka funktionen $z$ för minimi- och maximivärden.

Vi komponerar Lagrange-funktionen:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Vi hittar de partiella derivatorna av Lagrange-funktionen och sammanställer motsvarande ekvationssystem:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (justerad) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(aligned) \ höger. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( justerad)\right.$$

För att lösa detta system, låt oss omedelbart indikera att $\lambda\neq -1$. Varför $\lambda\neq -1$? Låt oss försöka ersätta $\lambda=-1$ i den första ekvationen:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Den resulterande motsägelsen $0=6$ säger att värdet $\lambda=-1$ är ogiltigt. Utdata: $\lambda\neq -1$. Låt oss uttrycka $x$ och $y$ i termer av $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(justerad)

Jag tror att det blir uppenbart här varför vi specifikt stipulerade $\lambda\neq -1$-villkoret. Detta gjordes för att passa in uttrycket $1+\lambda$ i nämnarna utan störningar. Det vill säga att vara säker på att nämnaren är $1+\lambda\neq 0$.

Låt oss ersätta de erhållna uttrycken för $x$ och $y$ i systemets tredje ekvation, dvs. i $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Det följer av den resulterande jämlikheten att $1+\lambda=2$ eller $1+\lambda=-2$. Därför har vi två värden för parametern $\lambda$, nämligen: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Följaktligen får vi två par av värden $x$ och $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(justerad)

Så, vi fick två poäng av ett möjligt villkorligt extremum, dvs. $M_1(3;-4)$ och $M_2(-3;4)$. Hitta värdena för funktionen $z$ vid punkterna $M_1$ och $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(justerad)

Vi bör välja de största och minsta värdena från de som vi fick i det första och andra steget. Men i det här fallet valet är litet :) Vi har:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Svar: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

I den här artikeln kommer jag att prata om algoritm för att hitta det största och minsta värdet funktion, lägsta och högsta poäng.

Från teorin kommer vi definitivt att behöva derivattabell Och differentieringsregler. Allt finns i den här tavlan:

Algoritm för att hitta de största och minsta värdena.

Jag tycker det är lättare att förklara specifikt exempel. Överväga:

Exempel: Hitta det största värdet för funktionen y=x^5+20x^3–65x på segmentet [–4;0].

Steg 1. Vi tar derivatan.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Steg 2 Hitta extrema punkter.

extremum punkt vi namnger sådana punkter där funktionen når sitt högsta eller lägsta värde.

För att hitta extrempunkterna är det nödvändigt att likställa derivatan av funktionen till noll (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Nu löser vi den här biquadratiska ekvationen och de hittade rötterna är våra extrema punkter.

Jag löser sådana ekvationer genom att ersätta t = x^2, sedan 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Minska ekvationen med 5, vi får: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Vi gör den omvända substitutionen x^2 = t:

X_(1 och 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 och 4) = ±sqrt(-13) (vi utesluter, det kan inte finnas negativa tal under roten, såvida vi förstås inte pratar om komplexa tal)

Totalt: x_(1) = 1 och x_(2) = -1 - det här är våra extrema punkter.

Steg 3 Bestäm det största och minsta värdet.

Substitutionsmetod.

I villkoret fick vi segmentet [b][–4;0]. Punkten x=1 ingår inte i detta segment. Så vi överväger det inte. Men förutom punkten x=-1 måste vi också överväga de vänstra och högra gränserna för vårt segment, det vill säga punkterna -4 och 0. För att göra detta ersätter vi alla dessa tre punkter i den ursprungliga funktionen. Lägg märke till att den ursprungliga är den som ges i villkoret (y=x^5+20x^3–65x), vissa börjar byta in i derivatan...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Detta betyder att maxvärdet för funktionen är [b]44 och det nås vid punkterna [b]-1, vilket kallas maximipunkten för funktionen på segmentet [-4; 0].

Vi bestämde oss och fick ett svar, vi är fantastiska, du kan slappna av. Men sluta! Tycker du inte att det är för komplicerat att räkna y(-4) på något sätt? Under förhållanden med begränsad tid är det bättre att använda en annan metod, jag kallar det så här:

Genom konstanta intervaller.

Dessa luckor finns för derivatan av funktionen, det vill säga för vår biquadratiska ekvation.

Jag gör det på följande sätt. Jag drar en riktningslinje. Jag sätter punkterna: -4, -1, 0, 1. Trots att 1 inte ingår i det givna segmentet, bör det ändå noteras för att korrekt bestämma konstansintervallen. Låt oss ta ett tal många gånger större än 1, låt oss säga 100, mentalt ersätta det i vår biquadratiska ekvation 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Även utan att räkna någonting blir det uppenbart att vid punkten 100 funktionen har ett plustecken. Det betyder att för intervaller från 1 till 100 har den ett plustecken. När du passerar genom 1 (vi går från höger till vänster) kommer funktionen att ändra tecken till minus. När den passerar genom punkten 0 kommer funktionen att behålla sitt tecken, eftersom detta bara är segmentets gräns och inte roten till ekvationen. När du passerar genom -1 kommer funktionen återigen att ändra tecken till plus.

Från teorin vet vi att var derivatan av funktionen är (och vi ritade detta för det) byter tecken från plus till minus (punkt -1 i vårt fall) funktion når dess lokala maximum (y(-1)=44 som beräknats tidigare) på detta segment (detta är logiskt mycket tydligt, funktionen har upphört att öka, eftersom den nådde sitt maximum och började minska).

Följaktligen, där derivatan av funktionen byter tecken från minus till plus, uppnått lokalt minimum av en funktion. Ja, ja, vi hittade också den lokala minimipunkten, som är 1, och y(1) är minimivärdet för funktionen på intervallet, låt oss säga från -1 till +∞. Observera att detta endast är ett LOKALT MINIMUM, det vill säga ett minimum på ett visst segment. Eftersom den faktiska (globala) minimifunktionen kommer att nå någonstans där, i -∞.

Enligt min åsikt är den första metoden enklare teoretiskt, och den andra är enklare i termer av aritmetiska operationer, men mycket svårare i termer av teori. När allt kommer omkring, ibland finns det fall när funktionen inte ändrar tecken när den passerar genom roten av ekvationen, och du kan faktiskt bli förvirrad med dessa lokala, globala maxima och minima, även om du måste bemästra det väl ändå om du planerar att komma in på ett tekniskt universitet (och för vad mer att ge profilprov och lösa detta problem). Men övning och bara övning kommer att lära dig hur du löser sådana problem en gång för alla. Och du kan träna på vår hemsida. Här .

Om du har några frågor, eller om något är oklart, var noga med att fråga. Jag kommer gärna att svara dig och göra ändringar, tillägg till artikeln. Kom ihåg att vi skapar den här sidan tillsammans!

Låt oss se hur man utforskar en funktion med hjälp av en graf. Det visar sig att när du tittar på grafen kan du ta reda på allt som intresserar oss, nämligen:

funktionsomfång
funktionsområde
funktion nollor
perioder av ökning och minskning
höga och låga punkter
det största och minsta värdet av funktionen på intervallet.

Låt oss förtydliga terminologin:

Abskissaär punktens horisontella koordinat.
Ordinera- vertikal koordinat.
abskissa- den horisontella axeln, oftast kallad axeln.
Y-axel- vertikal axel, eller axel.

Argumentär en oberoende variabel som funktionens värden beror på. Oftast anges.
Med andra ord väljer vi själva , ersätter i funktionsformeln och får .

Domän funktioner - uppsättningen av dessa (och endast de) värden för argumentet som funktionen finns för.
Betecknas: eller .

I vår figur är funktionens domän ett segment. Det är på detta segment som grafen för funktionen ritas. Endast här finns denna funktion.

Funktionsområdeär den uppsättning värden som variabeln tar. I vår figur är detta ett segment - från det lägsta till det högsta värdet.

Funktion nollor- punkter där värdet på funktionen är lika med noll, dvs. I vår figur är dessa punkterna och .

Funktionsvärdena är positiva var . I vår figur är dessa intervallen och .
Funktionsvärdena är negativa var . Vi har detta intervall (eller intervall) från till.

De viktigaste begreppen - ökande och minskande funktion på någon uppsättning. Som en uppsättning kan du ta ett segment, ett intervall, en union av intervall eller hela tallinjen.

Fungera ökar

Med andra ord, ju fler, desto mer, det vill säga grafen går åt höger och uppåt.

Fungera minskar på mängden om för någon och tillhörande mängden innebär ojämlikheten ojämlikheten .

För en minskande funktion motsvarar ett större värde ett mindre värde. Grafen går åt höger och ner.

I vår figur ökar funktionen på intervallet och minskar på intervallen och .

Låt oss definiera vad som är maximala och minimala poäng för funktionen.

Maxpoäng- detta är en intern punkt i definitionsdomänen, så att värdet av funktionen i den är större än i alla punkter tillräckligt nära den.
Med andra ord är den maximala punkten en sådan punkt, värdet på funktionen där Merän i de närliggande. Detta är en lokal "kulle" på sjökortet.

I vår figur - den maximala poängen.

Lågpunkt- en intern punkt i definitionsdomänen, så att värdet av funktionen i den är mindre än i alla punkter tillräckligt nära den.
Det vill säga, minimipunkten är sådan att värdet på funktionen i den är mindre än i angränsande. På grafen är detta ett lokalt "hål".

I vår figur - minimipunkten.

Poängen är gränsen. Det är inte en inre punkt i definitionsdomänen och passar därför inte in i definitionen av en maximipunkt. Hon har trots allt inga grannar till vänster. På samma sätt kan det inte finnas någon minimipunkt på vårt diagram.

Maximi- och minimumpoängen kallas kollektivt funktionens extrema punkter. I vårt fall är detta och .

Men tänk om du behöver hitta t.ex. funktion minimum på snittet? I det här fallet är svaret: Därför att funktion minimumär dess värde vid minimipunkten.

På samma sätt är maxvärdet för vår funktion . Den nås vid punkten.

Vi kan säga att funktionens extrema är lika med och .

Ibland i uppgifter du behöver hitta de största och minsta värdena för funktionen på ett visst segment. De sammanfaller inte nödvändigtvis med ytterligheter.

I vårat fall minsta funktionsvärde på intervallet är lika med och sammanfaller med funktionens minimum. Men dess största värde på detta segment är lika med . Den nås i den vänstra änden av segmentet.

I vilket fall som helst uppnås de största och minsta värdena för en kontinuerlig funktion på ett segment antingen vid ytterpunkterna eller i ändarna av segmentet.

En miniatyr och ganska enkel uppgift av det slag som fungerar som livlina för en flytande elev. I naturen, det sömniga riket i mitten av juli, så det är dags att slå sig ner med en bärbar dator på stranden. Spelade tidigt på morgonen solstråle teori för att snart fokusera på praktiken, som trots sin påstådda lätthet innehåller glasbitar i sanden. I detta avseende rekommenderar jag att du samvetsgrant överväger några exempel på den här sidan. För att lösa praktiska uppgifter behöver du kunna hitta derivat och förstå materialet i artikeln Intervaller av monotoni och extrema för en funktion.

Först, kort om det viktigaste. I en lektion om funktionskontinuitet Jag gav definitionen av kontinuitet vid en punkt och kontinuitet på ett intervall. Det exemplariska beteendet för en funktion på ett segment formuleras liknande. En funktion är kontinuerlig på ett segment om:

1) den är kontinuerlig i intervallet;
2) kontinuerlig vid en punkt till höger och vid punkten vänster.

Andra stycket behandlar s.k ensidig kontinuitet fungerar vid en punkt. Det finns flera tillvägagångssätt för dess definition, men jag kommer att hålla mig till den linje som började tidigare:

Funktionen är kontinuerlig vid en punkt till höger, om den är definierad vid en given punkt och dess högra gräns sammanfaller med värdet på funktionen vid en given punkt: . Den är kontinuerlig vid punkten vänster, om den definieras vid en given punkt och dess vänstra gräns är lika med värdet vid den punkten:

Föreställ dig att de gröna prickarna är naglarna som det magiska gummibandet är fäst på:

Mentalt ta den röda linjen i dina händer. Uppenbarligen, oavsett hur långt vi sträcker grafen upp och ner (längs axeln), kommer funktionen fortfarande att finnas kvar begränsad- en häck ovanför, en häck under, och vår produkt betar i en hage. Således, en funktion som är kontinuerlig på ett segment är avgränsad på den. Under loppet av matematisk analys framställs och bevisas detta till synes enkla faktum Weierstrass första teorem.... Många människor är irriterade över att elementära påståenden är tråkigt underbyggda i matematik, men det finns viktig betydelse. Anta att en viss invånare från frottémedeltiden drog grafen upp i himlen bortom synbarhetens gränser, detta infogades. Före uppfinningen av teleskopet var den begränsade funktionen i rymden inte alls uppenbar! Ja, hur vet du vad som väntar oss bortom horisonten? När allt kommer omkring, en gång ansågs jorden vara platt, så idag kräver även vanlig teleportering bevis =)

Enligt andra Weierstrass-satsen, kontinuerligt på segmentetfunktionen når sin exakt överkant och hans exakt nedre kant .

Numret kallas också det maximala värdet för funktionen på segmentet och betecknas med , och numret - minimivärdet för funktionen på segmentet märkt.

I vårat fall:

Notera : i teorin är poster vanliga .

Grovt sett ligger det största värdet där det är mest hög punkt grafik, och den minsta - där är den lägsta punkten.

Viktig! Som redan påpekats i artikeln om extrema av funktionen, det största värdet av funktionen Och minsta funktionsvärde – INTE DET SAMMA, Vad funktion maximalt Och funktion minimum. Så i det här exemplet är numret funktionens minimum, men inte minimivärdet.

Vad händer förresten utanför segmentet? Ja, även översvämningen, i samband med det aktuella problemet, intresserar detta oss inte alls. Uppgiften går ut på att bara hitta två siffror och det är allt!

Dessutom är lösningen rent analytisk, därför inget behov av att rita!

Algoritmen ligger på ytan och föreslår sig själv från ovanstående figur:

1) Hitta funktionsvärdena i kritiska punkter, som tillhör detta segment.

Fånga en godbit till: det finns inget behov av att kontrollera ett tillräckligt tillstånd för ett extremum, eftersom, som just visat, närvaron av ett minimum eller maximum ännu inte garanterat vad är lägsta eller högsta värdet. Demofunktionen når sitt maximum och genom ödets vilja är det samma antal högsta värde funktioner på intervallet. Men en sådan slump inträffar förstås inte alltid.

Så i det första steget är det snabbare och lättare att beräkna funktionsvärdena vid kritiska punkter som hör till segmentet, utan att bry sig om de har extrema eller inte.

2) Vi beräknar värdena för funktionen i slutet av segmentet.

3) Bland värdena för funktionen som finns i 1:a och 2:a styckena väljer vi den minsta och mest stort antal, skriv ner svaret.

Vi sitter på stranden av det blå havet och slår i hälarna i grunt vatten:

Exempel 1

Hitta de största och minsta värdena för en funktion på ett segment

Lösning:
1) Beräkna värdena för funktionen vid kritiska punkter som hör till detta segment:

Vi beräknar värdet på funktionen i tvåan kritisk punkt:

2) Beräkna värdena för funktionen i slutet av segmentet:

3) "Fet" resultat erhölls med exponential och logaritmer, vilket avsevärt komplicerar deras jämförelse. Av denna anledning kommer vi att beväpna oss med en miniräknare eller Excel och beräkna de ungefärliga värdena, utan att glömma att: