Hem › Chassi › Hur hittar man det minsta värdet på en funktion? Det största och minsta värdet av en funktion i ett segment.

Hur hittar man det minsta värdet på en funktion? Det största och minsta värdet av en funktion i ett segment.

Problemformulering 2:

Givet en funktion som är definierad och kontinuerlig på något intervall. Det krävs att man hittar det största (minsta) värdet på funktionen på detta intervall.

Teoretisk grund.
Teorem (Andra Weierstrass-satsen):

Om en funktion är definierad och kontinuerlig i ett stängt intervall, når den sina maximala och lägsta värden i detta intervall.

Funktionen kan nå sina maximala och lägsta värden antingen vid intervallets interna punkter eller vid dess gränser. Låt oss illustrera alla möjliga alternativ.

Förklaring:
1) Funktionen når sin det största värdet på den vänstra kanten av intervallet vid punkten, och dess minsta värde på den högra kanten av intervallet vid punkten.
2) Funktionen når sitt maximala värde vid punkten (detta är maxpunkten), och dess minimivärde vid den högra gränsen för intervallet vid punkten.
3) Funktionen når sitt maximala värde på den vänstra kanten av intervallet vid punkten och dess minimivärde vid punkten (detta är minimipunkten).
4) Funktionen är konstant på intervallet, d.v.s. den når sina lägsta och högsta värden när som helst i intervallet, och minimi- och maximivärdena är lika med varandra.
5) Funktionen når sitt maxvärde vid punkten , och sitt minimumvärde vid punkten (trots att funktionen har både ett maximum och ett minimum på detta intervall).
6) Funktionen når sitt maximala värde vid en punkt (detta är maxpunkten), och dess minimivärde vid en punkt (detta är minimipunkten).
Kommentar:

"Maximum" och "maximumvärde" är olika saker. Detta följer av definitionen av maximum och den intuitiva förståelsen av frasen "maximalt värde".

Algoritm för att lösa problem 2.

4) Välj bland de erhållna värdena det största (minsta) och skriv ner svaret.

Exempel 4:

Bestäm den största och minsta värde funktioner på segmentet.
Lösning:
1) Hitta derivatan av funktionen.

2) Hitta stationära punkter (och punkter som är misstänkta mot ett extremum) genom att lösa ekvationen . Var uppmärksam på de punkter där det inte finns någon tvåsidig finit derivata.

3) Beräkna värdena för funktionen vid stationära punkter och vid intervallets gränser.

4) Välj bland de erhållna värdena det största (minsta) och skriv ner svaret.

Funktionen på detta segment når sitt maximala värde vid punkten med koordinater.

Funktionen på detta segment når sitt lägsta värde vid punkten med koordinater.

Du kan verifiera att beräkningarna är korrekta genom att titta på grafen för funktionen som studeras.

Kommentar: Funktionen når sitt maximala värde vid maxpunkten och minimivärdet vid segmentets gräns.

Specialfall.

Anta att du vill hitta max- och minimivärdet för någon funktion på ett segment. Efter exekveringen av algoritmens första stycke, dvs. beräkning av derivatet blir det tydligt att det till exempel endast tar negativa värden på hela det aktuella segmentet. Kom ihåg att om derivatan är negativ, så minskar funktionen. Vi fann att funktionen minskar under hela intervallet. Denna situation visas i diagram nr 1 i början av artikeln.

Funktionen minskar på intervallet, d.v.s. den har inga extrema punkter. Det kan ses på bilden att funktionen tar det minsta värdet på segmentets högra kant och det största värdet till vänster. om derivatan på intervallet är positiv överallt, så ökar funktionen. Det minsta värdet finns på segmentets vänstra kant, det största är till höger.

Processen att hitta de minsta och största värdena för en funktion på ett segment påminner om en fascinerande flygning runt ett objekt (en graf över en funktion) på en helikopter med skjutning från en långdistanskanon vid vissa punkter och att välja mellan dessa punkter mycket speciella punkter för kontrollskott. Poäng väljs på ett visst sätt och enligt vissa regler. Enligt vilka regler? Vi kommer att prata om detta vidare.

Om funktionen y = f(x) kontinuerlig på segmentet [ a, b] , då når den på detta segment minst Och högsta värden . Detta kan antingen hända i extrema punkter eller i slutet av segmentet. Därför att hitta minst Och de största värdena för funktionen , kontinuerlig på intervallet [ a, b] måste du beräkna dess värden totalt kritiska punkter och i ändarna av segmentet, och välj sedan den minsta och största av dem.

Låt, till exempel, det krävs för att bestämma maxvärdet för funktionen f(x) på segmentet [ a, b] . För att göra detta, hitta alla dess kritiska punkter som ligger på [ a, b] .

kritisk punkt kallas den punkt vid vilken funktion definierad, och hon derivatär antingen noll eller existerar inte. Sedan bör du beräkna funktionens värden vid kritiska punkter. Och slutligen bör man jämföra funktionens värden vid kritiska punkter och i ändarna av segmentet ( f(a) Och f(b) ). Den största av dessa siffror kommer att vara det största värdet av funktionen på intervallet [a, b] .

Problemet med att hitta de minsta värdena för funktionen .

Vi letar efter funktionens minsta och största värden tillsammans

Exempel 1. Hitta de minsta och största värdena för en funktion på segmentet [-1, 2] .

Lösning. Vi hittar derivatan av denna funktion. Jämställ derivatan med noll () och få två kritiska punkter: och . För att hitta de minsta och största värdena för en funktion på ett givet segment räcker det att beräkna dess värden i slutet av segmentet och vid punkten, eftersom punkten inte tillhör segmentet [-1, 2] . Dessa funktionsvärden är följande: , , . Det följer att minsta funktionsvärde(markerad i rött på grafen nedan), lika med -7, nås i den högra änden av segmentet - vid punkten , och störst(även röd på grafen), är lika med 9, - vid den kritiska punkten .

Om funktionen är kontinuerlig i ett visst intervall och detta intervall inte är ett segment (men är till exempel ett intervall; skillnaden mellan ett intervall och ett segment: gränspunkterna för intervallet ingår inte i intervallet, men gränspunkter för segmentet är inkluderade i segmentet), så bland funktionens värden kanske det inte finns den minsta och största. Så, till exempel, funktionen som avbildas i figuren nedan är kontinuerlig på ]-∞, +∞[ och har inte det största värdet.

Men för alla intervall (stängt, öppet eller oändligt) gäller följande egenskap för kontinuerliga funktioner.

Exempel 4. Hitta de minsta och största värdena för en funktion på segmentet [-1, 3] .

Lösning. Vi finner derivatan av denna funktion som derivatan av kvoten:

Vi likställer derivatan med noll, vilket ger oss en kritisk punkt: . Den tillhör intervallet [-1, 3] . För att hitta de minsta och största värdena för en funktion på ett givet segment, hittar vi dess värden i slutet av segmentet och vid den hittade kritiska punkten:

Låt oss jämföra dessa värden. Slutsats: lika med -5/13, vid punkten och det största värdet lika med 1 vid punkten.

Vi fortsätter att söka efter de minsta och största värdena av funktionen tillsammans

Det finns lärare som, när det gäller att hitta de minsta och största värdena på en funktion, inte ger eleverna exempel som är mer komplicerade än de som nyss betraktats, det vill säga de där funktionen är ett polynom eller en bråkdel, täljaren och nämnaren som är polynom. Men vi kommer inte att begränsa oss till sådana exempel, eftersom det bland lärare finns älskare av att få elever att tänka fullt ut (tabell med derivator). Därför kommer logaritmen och den trigonometriska funktionen att användas.

Exempel 6. Hitta de minsta och största värdena för en funktion på segmentet .

Lösning. Vi finner derivatan av denna funktion som derivat av produkten :

Vi likställer derivatan med noll, vilket ger en kritisk punkt: . Det tillhör segmentet. För att hitta de minsta och största värdena för en funktion på ett givet segment, hittar vi dess värden i slutet av segmentet och vid den hittade kritiska punkten:

Resultatet av alla åtgärder: funktionen når sitt lägsta värde, lika med 0, vid en punkt och vid en punkt och det största värdet lika med e² , vid punkten .

Exempel 7. Hitta de minsta och största värdena för en funktion på segmentet .

Lösning. Vi hittar derivatan av denna funktion:

Jämställ derivatan med noll:

Den enda kritiska punkten tillhör segmentet. För att hitta de minsta och största värdena för en funktion på ett givet segment, hittar vi dess värden i slutet av segmentet och vid den hittade kritiska punkten:

Slutsats: funktionen når sitt lägsta värde, lika med , vid punkten och det största värdet, lika med , vid punkten .

I tillämpade extrema problem reduceras som regel att hitta de minsta (största) funktionsvärdena till att hitta minimum (maximum). Men det är inte själva minima eller maxima som är av större praktiskt intresse, utan värderingarna i argumentet vid vilka de uppnås. När man löser tillämpade problem uppstår ytterligare en svårighet - sammanställningen av funktioner som beskriver fenomenet eller processen som övervägs.

Exempel 8 En tank med en kapacitet på 4, med formen av en parallellepiped med fyrkantig bas och öppen upptill, måste förtennas. Vilka dimensioner bör tanken ha för att täcka den med minsta mängd material?

Lösning. Låta x- bassidan h- tankhöjd, S- dess yta utan täckning, V- dess volym. Tankens yta uttrycks med formeln, dvs. är en funktion av två variabler. Att uttrycka S som funktion av en variabel använder vi det faktum att , varifrån . Ersätter det hittade uttrycket h in i formeln för S:

Låt oss undersöka denna funktion för ett extremum. Det är definierat och differentierbart överallt i ]0, +∞[ och

Vi likställer derivatan med noll () och hittar den kritiska punkten. Dessutom, vid , existerar inte derivatan, men detta värde ingår inte i definitionsdomänen och kan därför inte vara en extrempunkt. Så, - den enda kritiska punkten. Låt oss kontrollera det för närvaron av ett extremum med det andra tillräckliga kriteriet. Låt oss hitta den andra derivatan. När andraderivatan är större än noll (). Detta innebär att när funktionen når ett minimum . För att detta minimum - det enda extremumet för denna funktion, det är dess minsta värde. Så sidan av tankens bas ska vara lika med 2 m och dess höjd.

Exempel 9 Från paragraf A, som ligger på järnvägslinjen, till punkten MED, på avstånd därifrån l, gods måste transporteras. Kostnaden för att transportera en viktenhet per enhetssträcka med järnväg är lika med , och med motorväg är den lika med . Till vilken punkt M rader järnväg en motorväg bör byggas så att godstransporter från A V MED var det mest ekonomiska AB järnvägen antas vara rak)?

Hur hittar man de största och minsta värdena för en funktion på ett segment?

För detta vi följer den välkända algoritmen:

1 . Vi hittar ODZ-funktioner.

2 . Hitta derivatan av en funktion

3 . Jämställ derivatan med noll

4 . Vi hittar intervallen vid vilka derivatan behåller sitt tecken, och från dem bestämmer vi intervallen för ökning och minskning av funktionen:

Om på intervallet I derivatan av funktionen 0" title="f^(primtal)(x)>0">, то функция !} ökar under detta intervall.

Om på intervallet I derivatan av funktionen , då funktionen minskar under detta intervall.

5 . Vi hittar maximala och minimala poäng för funktionen.

I funktionen maxpunkt, derivatan ändrar tecken från "+" till "-".

I minimipunkt för funktionenderivata ändrar tecken från "-" till "+".

6 . Vi hittar värdet på funktionen i slutet av segmentet,

sedan jämför vi värdet på funktionen i slutet av segmentet och vid maxpunkterna, och välj den största av dem om du behöver hitta det största värdet på funktionen
eller så jämför vi värdet på funktionen i slutet av segmentet och vid minimipunkterna, och välj den minsta av dem om du behöver hitta det minsta värdet på funktionen

Men beroende på hur funktionen beter sig på intervallet kan denna algoritm reduceras avsevärt.

Tänk på funktionen . Grafen för denna funktion ser ut så här:

Låt oss titta på några exempel på att lösa problem från öppen bank uppdrag för

1 . Uppgift B15 (#26695)

På snittet.

1. Funktionen är definierad för alla reella värden av x

Uppenbarligen har denna ekvation inga lösningar, och derivatan är positiv för alla värden på x. Därför ökar funktionen och får det största värdet i den högra änden av intervallet, det vill säga vid x=0.

Svar: 5.

2 . Uppgift B15 (nr 26702)

Hitta det största värdet på en funktion på segmentet.

1.ODZ-funktion title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivatan är noll vid , men vid dessa punkter ändrar den inte tecken:

Därför, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} ökar och tar det största värdet i den högra änden av intervallet, vid .

För att göra det tydligt varför derivatan inte ändrar tecken, transformerar vi uttrycket för derivatan enligt följande:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Svar: 5.

3 . Uppgift B15 (#26708)

Hitta det minsta värdet på funktionen på intervallet.

1. ODZ-funktioner: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Låt oss placera rötterna till denna ekvation på en trigonometrisk cirkel.

Intervallet innehåller två siffror: och

Låt oss sätta upp skyltarna. För att göra detta bestämmer vi tecknet för derivatan vid punkten x=0: . När man passerar genom punkterna och derivatan byter tecken.

Låt oss skildra förändringen av tecken för derivatan av funktionen på koordinatlinjen:

Uppenbarligen är punkten en minimipunkt (där derivatan ändrar tecken från "-" till "+"), och för att hitta det minsta värdet av funktionen på intervallet måste du jämföra funktionens värden vid minimipunkten och i den vänstra änden av segmentet, .

I den här artikeln kommer jag att prata om algoritm för att hitta det största och minsta värdet funktion, min och max poäng.

Från teorin kommer vi definitivt att behöva derivattabell Och differentieringsregler. Allt finns i den här tavlan:

Algoritm för att hitta de största och minsta värdena.

Jag tycker det är lättare att förklara specifikt exempel. Överväga:

Exempel: Hitta det största värdet för funktionen y=x^5+20x^3–65x på segmentet [–4;0].

Steg 1. Vi tar derivatan.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Steg 2 Hitta extrema punkter.

extremum punkt vi namnger sådana punkter där funktionen når sitt högsta eller lägsta värde.

För att hitta extrempunkterna är det nödvändigt att likställa derivatan av funktionen till noll (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Nu löser vi den här biquadratiska ekvationen och de hittade rötterna är våra extrema punkter.

Jag löser sådana ekvationer genom att ersätta t = x^2, sedan 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Minska ekvationen med 5, vi får: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Vi gör den omvända substitutionen x^2 = t:

X_(1 och 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 och 4) = ±sqrt(-13) (vi utesluter, det kan inte finnas negativa tal under roten, såvida vi förstås inte pratar om komplexa tal)

Totalt: x_(1) = 1 och x_(2) = -1 - det här är våra extrema punkter.

Steg 3 Bestäm det största och minsta värdet.

Substitutionsmetod.

I villkoret fick vi segmentet [b][–4;0]. Punkten x=1 ingår inte i detta segment. Så vi överväger det inte. Men förutom punkten x=-1 måste vi också överväga de vänstra och högra gränserna för vårt segment, det vill säga punkterna -4 och 0. För att göra detta ersätter vi alla dessa tre punkter i den ursprungliga funktionen. Lägg märke till att den ursprungliga är den som ges i villkoret (y=x^5+20x^3–65x), vissa börjar byta in i derivatan...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Detta betyder att maxvärdet för funktionen är [b]44 och det nås vid punkterna [b]-1, vilket kallas maximipunkten för funktionen på segmentet [-4; 0].

Vi bestämde oss och fick ett svar, vi är fantastiska, du kan slappna av. Men sluta! Tycker du inte att det är för komplicerat att räkna y(-4) på något sätt? Under förhållanden med begränsad tid är det bättre att använda en annan metod, jag kallar det så här:

Genom konstanta intervaller.

Dessa luckor finns för derivatan av funktionen, det vill säga för vår biquadratiska ekvation.

Jag gör det på följande sätt. Jag drar en riktningslinje. Jag sätter punkterna: -4, -1, 0, 1. Trots att 1 inte ingår i det givna segmentet, bör det ändå noteras för att korrekt bestämma konstansintervallen. Låt oss ta ett tal många gånger större än 1, låt oss säga 100, mentalt ersätta det i vår biquadratiska ekvation 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Även utan att räkna någonting blir det uppenbart att vid punkten 100 funktionen har ett plustecken. Det betyder att för intervaller från 1 till 100 har den ett plustecken. När du passerar genom 1 (vi går från höger till vänster) kommer funktionen att ändra tecken till minus. När den passerar genom punkten 0 kommer funktionen att behålla sitt tecken, eftersom detta bara är segmentets gräns och inte roten till ekvationen. När du passerar genom -1 kommer funktionen återigen att ändra tecken till plus.

Från teorin vet vi att var derivatan av funktionen är (och vi ritade detta för det) byter tecken från plus till minus (punkt -1 i vårt fall) funktion når dess lokala maximum (y(-1)=44 som beräknats tidigare) på detta segment (detta är logiskt mycket tydligt, funktionen har upphört att öka, eftersom den nådde sitt maximum och började minska).

Följaktligen, där derivatan av funktionen byter tecken från minus till plus, uppnått lokalt minimum av en funktion. Ja, ja, vi hittade också den lokala minimipunkten, som är 1, och y(1) är minimivärdet för funktionen på intervallet, låt oss säga från -1 till +∞. Observera att detta endast är ett LOKALT MINIMUM, det vill säga ett minimum på ett visst segment. Eftersom den faktiska (globala) minimifunktionen kommer att nå någonstans där, i -∞.

Enligt min mening är den första metoden enklare teoretiskt, och den andra är enklare när det gäller aritmetiska operationer, men mycket svårare i termer av teori. När allt kommer omkring, ibland finns det fall när funktionen inte ändrar tecken när den passerar genom roten av ekvationen, och du kan faktiskt bli förvirrad med dessa lokala, globala maxima och minima, även om du måste bemästra det väl ändå om du planerar att komma in på ett tekniskt universitet (och för vad mer att ge profilprov och lösa detta problem). Men övning och bara övning kommer att lära dig hur du löser sådana problem en gång för alla. Och du kan träna på vår hemsida. Här .

Om du har några frågor, eller om något är oklart, var noga med att fråga. Jag kommer gärna att svara dig och göra ändringar, tillägg till artikeln. Kom ihåg att vi skapar den här sidan tillsammans!

Populär i kategorin: