จุดสูงสุดของฟังก์ชัน f x สุดขั้วของฟังก์ชันคืออะไร: จุดวิกฤตสูงสุดและต่ำสุด

ส่งผ่านอสมการเหล่านี้ไปยังขีดจำกัดเป็น Δ x→ 0 และพิจารณาว่าอนุพันธ์ ฉ "(x 0) มีอยู่ ดังนั้นลิมิตทางซ้ายจึงไม่ขึ้นอยู่กับว่า Δ เป็นอย่างไร x→ 0 เราจะได้: สำหรับ Δ x → 0 – 0 ฉ" (x 0) ≥ 0 และที่ Δ x → 0 + 0 ฉ" (x 0) ≤ 0 ตั้งแต่ ฉ" (x 0) กำหนดตัวเลข ดังนั้นอสมการทั้งสองนี้จะเข้ากันได้ก็ต่อเมื่อ ฉ" (x 0) = 0.

ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วว่าจุดสูงสุดและต่ำสุดสามารถอยู่ในค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์หายไปเท่านั้น

เราได้พิจารณากรณีที่ฟังก์ชันมีอนุพันธ์ในทุกจุดของส่วนใดส่วนหนึ่ง จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อไม่มีอนุพันธ์? พิจารณาตัวอย่าง

ย =|x |.

ฟังก์ชันไม่มีอนุพันธ์ที่จุด x=0 (ณ จุดนี้ กราฟของฟังก์ชันไม่มีเส้นสัมผัสที่แน่นอน) แต่ ณ จุดนี้ ฟังก์ชันมีค่าน้อยที่สุด เนื่องจาก ย(0)=0 และสำหรับทั้งหมด x ≠ 0ย > 0.

ดังนั้น จากตัวอย่างที่ให้มาและทฤษฎีบทที่กำหนดขึ้น จึงเป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชันสามารถมีค่าสุดขั้วได้ในสองกรณีเท่านั้น: 1) ณ จุดที่อนุพันธ์มีอยู่และมีค่าเท่ากับศูนย์; 2) ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์

แต่ถ้าถึงจุดหนึ่ง x 0 เรารู้เรื่องนั้น ฉ"(x 0 ) =0 จึงไม่สามารถสรุปได้ว่า ณ จุดนี้ x 0 ฟังก์ชันมีค่าสุดขั้ว

ตัวอย่างเช่น.

แต่จุด x=0 ไม่ใช่จุดสูงสุด เนื่องจากทางด้านซ้ายของจุดนี้ ค่าของฟังก์ชันจะอยู่ใต้แกน วัวและด้านบนทางด้านขวา

ค่าของอาร์กิวเมนต์จากโดเมนของฟังก์ชัน ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชันหายไปหรือไม่มีอยู่ เรียกว่า จุดวิกฤต .

จากที่กล่าวมาแล้วข้างต้นว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชันอยู่ในจุดวิกฤต และไม่ใช่ว่าทุกจุดวิกฤตจะเป็นจุดสูงสุด ดังนั้น เพื่อหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน คุณต้องหาจุดวิกฤตทั้งหมดของฟังก์ชัน จากนั้นตรวจสอบจุดสูงสุดและต่ำสุดแต่ละจุดแยกจากกัน สำหรับสิ่งนี้ ทฤษฎีบทต่อไปนี้ทำหน้าที่

ทฤษฎีบท 2 (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของจุดสูงสุด) ให้ฟังก์ชันต่อเนื่องในบางช่วงที่มีจุดวิกฤติ x 0 และหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดของช่วงเวลานี้ (ยกเว้น บางที จุดเอง x 0). ถ้าเมื่อผ่านจากซ้ายไปขวาผ่านจุดนี้ อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ เมื่อถึงจุดนี้ x = x 0 ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด ถ้าเมื่อผ่านไป x 0 จากซ้ายไปขวา อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก แล้วฟังก์ชันมีค่าต่ำสุด ณ จุดนี้

ดังนั้น ถ้า

ฉ"(x)>0 ที่ x <x 0 และ ฉ"(x)< 0 ที่ x > x 0 แล้ว x 0 - จุดสูงสุด;

การพิสูจน์. ให้เราสันนิษฐานไว้ก่อนว่าเมื่อผ่านไปแล้ว x 0 อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ เช่น สำหรับทุกอย่าง xใกล้ถึงจุด x 0 ฉ "(x)> 0 สำหรับ x< x 0 , ฉ"(x)< 0 สำหรับ x > x 0 . ขอให้เราใช้ทฤษฎีบทลากรองจ์กับความแตกต่าง ฉ(x) - ฉ(x 0 ) = ฉ "(ค)(x- x 0) โดยที่ คอยู่ระหว่าง xและ x 0 .

อนุญาต x< x 0 . แล้ว ค< x 0 และ ฉ "(ค)> 0. นั่นเป็นเหตุผล ฉ "(ค)(x-x 0)< 0 และดังนั้น

ฉ(x) - ฉ(x 0 )< 0 เช่น ฉ(x)< f(x 0 ).

อนุญาต x > x 0 . แล้ว ค>เอ็กซ์ 0 และ ฉ"(ค)< 0. วิธี ฉ "(ค)(x-x 0)< 0. นั่นเป็นเหตุผล ฉ(x) - ฉ(x 0 ) <0,т.е.ฉ(x) < ฉ(x 0 ) .

ดังนั้นสำหรับค่าทั้งหมด xใกล้พอที่จะ x 0 ฉ(x) < ฉ(x 0 ) . และนั่นหมายความว่า ณ จุดนั้น x 0 ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด

ส่วนที่สองของทฤษฎีบทขั้นต่ำได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน

ให้เราแสดงความหมายของทฤษฎีบทนี้ในรูป อนุญาต ฉ"(x 1 ) =0 และใดๆ x,ใกล้พอที่จะ x 1 ความไม่เท่าเทียมกัน

ฉ"(x)< 0 ที่ x< x 1 , ฉ "(x)> 0 ที่ x > x 1 .

จากนั้นไปทางซ้ายของจุด x 1 ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและลดลงทางด้านขวา ดังนั้น เมื่อ x = x 1 ฟังก์ชันเปลี่ยนจากเพิ่มเป็นลด นั่นคือมีค่าสูงสุด

ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิจารณาประเด็นต่างๆ x 2 และ x 3 .

แผนผังสามารถแสดงภาพทั้งหมดข้างต้นได้ในภาพ:

กฎสำหรับการศึกษาฟังก์ชัน y=f(x) สำหรับค่าสุดขั้ว

ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน ฉ(x).

ค้นหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน ฉ"(x) .

กำหนดจุดวิกฤตสำหรับสิ่งนี้:

ค้นหารากที่แท้จริงของสมการ ฉ"(x) =0;

ค้นหาค่าทั้งหมด xซึ่งอนุพันธ์ ฉ"(x)ไม่ได้อยู่.

กำหนดสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ทางซ้ายและขวาของจุดวิกฤต เนื่องจากเครื่องหมายของอนุพันธ์คงที่ระหว่างจุดวิกฤตสองจุด จึงเพียงพอแล้วที่จะกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ที่จุดใดจุดหนึ่งทางด้านซ้ายและจุดหนึ่งทางด้านขวาของจุดวิกฤต

คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุด

ก่อนที่จะเรียนรู้วิธีหาค่าสุดขั้วของฟังก์ชัน จำเป็นต้องเข้าใจว่าค่าสุดขั้วคืออะไร คำจำกัดความทั่วไปที่สุดของ extremum คือค่าที่น้อยที่สุดหรือมากที่สุดของฟังก์ชันที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์บนชุดของเส้นจำนวนหรือกราฟ ในที่ที่ค่าต่ำสุดอยู่สุดขีดของค่าต่ำสุดจะปรากฏขึ้น และที่ที่มีค่าสูงสุดอยู่ ค่าสูงสุดของค่าสูงสุดจะปรากฏขึ้น นอกจากนี้ในระเบียบวินัยเช่นการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ความแตกต่างของฟังก์ชันเฉพาะที่มากเกินไป ทีนี้มาดูวิธีหาค่าสุดโต่งกัน

สุดโต่งในวิชาคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในลักษณะที่สำคัญที่สุดของฟังก์ชัน โดยจะแสดงค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด ส่วนสุดโต่งส่วนใหญ่พบที่จุดวิกฤตของฟังก์ชันที่พบ เป็นที่น่าสังเกตว่าอยู่ที่จุดสุดขั้วที่ฟังก์ชันเปลี่ยนทิศทางอย่างรุนแรง หากเราคำนวณอนุพันธ์ของจุดสุดขีดตามคำจำกัดความจะต้องเท่ากับศูนย์มิฉะนั้นจะขาดหายไปโดยสิ้นเชิง ดังนั้น หากต้องการเรียนรู้วิธีหาค่าสุดขั้วของฟังก์ชัน คุณต้องดำเนินการสองอย่างตามลำดับ:

• ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ต้องกำหนดโดยงานนั้น
• ค้นหารากของสมการ

ลำดับการหาจุดสูงสุด

1. เขียนฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดให้ ค้นหาอนุพันธ์อันดับหนึ่ง f "(x) เทียบนิพจน์ผลลัพธ์เป็นศูนย์
2. ตอนนี้คุณต้องแก้สมการที่เกิดขึ้น คำตอบที่ได้จะเป็นรากของสมการ เช่นเดียวกับจุดวิกฤตของฟังก์ชันที่ถูกกำหนด
3. ตอนนี้เราพิจารณาว่าจุดวิกฤตใด (สูงสุดหรือต่ำสุด) คือรากที่พบ ขั้นตอนต่อไปหลังจากที่เราเรียนรู้วิธีหาจุดสูงสุดของฟังก์ชันแล้วคือการหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่ต้องการ f "(x) จำเป็นต้องแทนที่ค่าของจุดวิกฤตที่พบ ลงในอสมการเฉพาะแล้วคำนวณว่าเกิดอะไรขึ้น ถ้าเกิดว่า อนุพันธ์อันดับสองมีค่ามากกว่าศูนย์ ณ จุดวิกฤติ ก็จะเป็นจุดต่ำสุด มิฉะนั้น ก็จะเป็นจุดสูงสุด
4. มันยังคงคำนวณค่าของฟังก์ชันเริ่มต้นที่จุดสูงสุดและต่ำสุดที่ต้องการของฟังก์ชัน ในการทำเช่นนี้เราจะแทนที่ค่าที่ได้รับลงในฟังก์ชันและคำนวณ อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าหากจุดวิกฤตกลายเป็นค่าสูงสุด ค่าสูงสุดจะเป็นค่าสูงสุดและหากมีค่าต่ำสุด ค่าต่ำสุดจะเป็นค่าต่ำสุดโดยการเปรียบเทียบ

อัลกอริทึมสำหรับหาค่าสูงสุด

เพื่อสรุปความรู้ที่ได้รับ เรามาสร้างอัลกอริทึมสั้น ๆ เกี่ยวกับวิธีการหาจุดสูงสุด

1. เราพบโดเมนของฟังก์ชันที่กำหนดและช่วงเวลาซึ่งกำหนดว่าช่วงใดที่ฟังก์ชันต่อเนื่อง
2. เราพบอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f "(x)
3. เราคำนวณจุดวิกฤติของสมการ y = f (x)
4. เราวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงในทิศทางของฟังก์ชัน f (x) รวมถึงเครื่องหมายของอนุพันธ์ f "(x) โดยที่จุดวิกฤตแยกขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้
5. ตอนนี้เราพิจารณาว่าแต่ละจุดบนกราฟมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด
6. เราพบค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่สุดขั้ว
7. เราแก้ไขผลการศึกษานี้ - สุดโต่งและช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจ นั่นคือทั้งหมด ตอนนี้เราได้พิจารณาวิธีการหาค่าสูงสุดในทุกช่วงเวลา หากคุณต้องการค้นหาค่าสูงสุดในช่วงเวลาหนึ่งของฟังก์ชัน วิธีนี้จะทำในลักษณะเดียวกัน โดยจำเป็นต้องคำนึงถึงขอบเขตของการศึกษาที่กำลังดำเนินการเท่านั้น

ดังนั้นเราจึงพิจารณาวิธีการหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณอย่างง่ายรวมถึงความรู้เกี่ยวกับการหาอนุพันธ์ คุณสามารถหาค่า extremum ใดๆ และคำนวณได้ รวมทั้งกำหนดกราฟิกด้วย การค้นหาค่าสุดขั้วเป็นหนึ่งในส่วนที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ ทั้งที่โรงเรียนและสถาบันอุดมศึกษา ดังนั้น หากคุณเรียนรู้วิธีการระบุค่าเหล่านี้อย่างถูกต้อง การเรียนรู้จะง่ายขึ้นและน่าสนใจยิ่งขึ้น

จากบทความนี้ ผู้อ่านจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับค่าฟังก์ชันสูงสุด รวมถึงคุณลักษณะของการใช้งานจริง การศึกษาแนวคิดดังกล่าวมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการทำความเข้าใจพื้นฐานของคณิตศาสตร์ระดับสูง หัวข้อนี้เป็นพื้นฐานของการศึกษาหลักสูตรในเชิงลึก

ติดต่อกับ

สุดโต่งคืออะไร?

ในหลักสูตรของโรงเรียน ให้คำจำกัดความของแนวคิด "สุดโต่ง" ไว้มากมาย บทความนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ผู้ที่ไม่รู้ปัญหานี้เข้าใจอย่างลึกซึ้งและชัดเจนที่สุด ดังนั้น คำนี้จึงเป็นที่เข้าใจถึงขอบเขตของช่วงการทำงานที่จะได้รับค่าต่ำสุดหรือสูงสุดในชุดใดชุดหนึ่ง

ค่าสูงสุดเป็นทั้งค่าต่ำสุดของฟังก์ชันและค่าสูงสุดพร้อมกัน มีจุดต่ำสุดและจุดสูงสุด นั่นคือ ค่าสูงสุดของอาร์กิวเมนต์บนกราฟ วิทยาศาสตร์หลักที่ใช้แนวคิดนี้:

• สถิติ;
• การควบคุมเครื่องจักร
• เศรษฐมิติ

จุดสูงสุดมีบทบาทสำคัญในการกำหนดลำดับของฟังก์ชันที่กำหนด ระบบพิกัดบนกราฟที่ดีที่สุดจะแสดงการเปลี่ยนแปลงในตำแหน่งสุดขั้วขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันการทำงาน

สุดขั้วของฟังก์ชันอนุพันธ์

นอกจากนี้ยังมีสิ่งที่เรียกว่า "อนุพันธ์" จำเป็นต้องกำหนดจุดสูงสุด สิ่งสำคัญคือต้องไม่สับสนระหว่างจุดต่ำสุดหรือสูงสุดกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด สิ่งเหล่านี้เป็นแนวคิดที่แตกต่างกัน แม้ว่าอาจดูคล้ายกันก็ตาม

ค่าของฟังก์ชันเป็นปัจจัยหลักในการพิจารณาหาจุดสูงสุด อนุพันธ์ไม่ได้เกิดจากค่า แต่เฉพาะจากตำแหน่งสุดขั้วในลำดับใดลำดับหนึ่ง

อนุพันธ์นั้นพิจารณาจากข้อมูลของจุดสุดขั้ว ไม่ใช่ค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุด ในโรงเรียนของรัสเซียเส้นแบ่งระหว่างแนวคิดทั้งสองนี้ไม่ได้วาดอย่างชัดเจนซึ่งส่งผลต่อความเข้าใจในหัวข้อนี้โดยทั่วไป

ตอนนี้เรามาพิจารณาสิ่งที่เรียกว่า "สุดขั้ว" จนถึงปัจจุบัน มีค่าต่ำสุดเฉียบพลันและค่าสูงสุดเฉียบพลัน คำจำกัดความได้รับตามการจำแนกจุดวิกฤตของฟังก์ชันของรัสเซีย แนวคิดของจุดสูงสุดเป็นพื้นฐานสำหรับการค้นหาจุดวิกฤตบนแผนภูมิ

เพื่อกำหนดแนวคิดดังกล่าว ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ถูกนำมาใช้ มันเป็นสิ่งสำคัญที่สุดในการศึกษาจุดสุดยอดและให้แนวคิดที่ชัดเจนเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของพวกเขาในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง เพื่อให้มั่นใจถึงขีดสุด สิ่งสำคัญคือต้องสร้างเงื่อนไขบางประการสำหรับการลดหรือเพิ่มบนแผนภูมิ

ในการตอบคำถาม "วิธีหาจุดสูงสุด" อย่างถูกต้อง คุณต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดเหล่านี้:

1. การค้นหาพื้นที่ที่แน่นอนของคำจำกัดความบนแผนภูมิ
2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและจุดสุดขั้ว
3. แก้อสมการมาตรฐานสำหรับโดเมนของอาร์กิวเมนต์
4. สามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดบนกราฟมีการกำหนดและต่อเนื่องในฟังก์ชันใด

ความสนใจ!การค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีอนุพันธ์ของอันดับสองเป็นอย่างน้อย ซึ่งรับประกันได้จากการมีอยู่ของจุดสูงสุดในสัดส่วนที่สูง

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับฟังก์ชันสุดขั้ว

สิ่งสำคัญคือต้องมีทั้งจุดต่ำสุดและจุดสูงสุด เพื่อให้ค่าสูงสุดมีอยู่ หากปฏิบัติตามกฎนี้เพียงบางส่วน เงื่อนไขสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้วจะถูกละเมิด

แต่ละหน้าที่ในตำแหน่งใด ๆ จะต้องแตกต่างกันเพื่อระบุความหมายใหม่ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่ากรณีที่จุดหนึ่งหายไปไม่ใช่หลักการสำคัญในการค้นหาจุดที่แตกต่าง

ค่าสุดขั้วเช่นเดียวกับค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน เป็นส่วนสำคัญอย่างยิ่งในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยใช้ค่าสุดโต่ง เพื่อให้เข้าใจองค์ประกอบนี้ได้ดีขึ้น สิ่งสำคัญคือต้องอ้างอิงถึงค่าตารางสำหรับการกำหนดฟังก์ชัน

จุดสุดขั้วของฟังก์ชันคือจุดในโดเมนของฟังก์ชันที่ค่าของฟังก์ชันใช้ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด ค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้เรียกว่า extrema (ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของฟังก์ชัน).

คำนิยาม. จุด x1 ขอบเขตของฟังก์ชัน ฉ(x) ถูกเรียก จุดสูงสุดของฟังก์ชัน ถ้าค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้มากกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดใกล้เคียงพอ ซึ่งอยู่ทางขวาและซ้ายของมัน (นั่นคือความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x0 ) > ฉ(x 0 + Δ x) x1 ขีดสุด.

คำนิยาม. จุด x2 ขอบเขตของฟังก์ชัน ฉ(x) ถูกเรียก จุดต่ำสุดของฟังก์ชันถ้าค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้น้อยกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดใกล้เคียงพอ ซึ่งอยู่ทางขวาและซ้ายของมัน (นั่นคือความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x0 ) < ฉ(x 0 + Δ x) ). ในกรณีนี้ ฟังก์ชันดังกล่าวมีที่จุด x2 ขั้นต่ำ

สมมติว่าประเด็น x1 - จุดสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(x) . จากนั้นในช่วงเวลาถึง x1 ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงมากกว่าศูนย์ ( ฉ "(x) > 0 ) และในช่วงเวลาหลังจากนั้น x1 ฟังก์ชันลดลงดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันน้อยกว่าศูนย์ ( ฉ "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

ให้เราถือว่าประเด็นนั้น x2 - จุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ฉ(x) . จากนั้นในช่วงเวลาถึง x2 ฟังก์ชันมีค่าลดลงและอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ( ฉ "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่ามากกว่าศูนย์ ( ฉ "(x) > 0 ). ในกรณีนี้ตรงจุดด้วย x2 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ (เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว). ถ้าจุด x0 - จุดสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(x) จากนั้น ณ จุดนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์ ( ฉ "(x) = 0 ) หรือไม่มีอยู่

คำนิยาม. จุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริงเรียกว่า จุดวิกฤต .

ตัวอย่างที่ 1ลองพิจารณาฟังก์ชัน

ที่จุด x= 0 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จุด x= 0 คือจุดวิกฤต อย่างไรก็ตาม ดังที่เห็นได้จากกราฟของฟังก์ชัน มันเพิ่มขึ้นในโดเมนทั้งหมดของนิยาม ดังนั้นจุด x= 0 ไม่ใช่จุดสูงสุดของฟังก์ชันนี้

ดังนั้น เงื่อนไขที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าสุดขั้ว แต่ไม่เพียงพอ เนื่องจากสามารถให้ตัวอย่างฟังก์ชันอื่นๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ได้ แต่ฟังก์ชัน ไม่มีสุดขีดที่จุดที่สอดคล้องกัน นั่นเป็นเหตุผล ต้องมีข้อบ่งชี้เพียงพอซึ่งทำให้สามารถตัดสินได้ว่ามีจุดสูงสุดที่จุดวิกฤติใดจุดหนึ่งหรือไม่ และจุดใด - สูงสุดหรือต่ำสุด

ทฤษฎีบท (เกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว)จุดวิกฤต x0 ฉ(x) ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุดนี้ และถ้าเครื่องหมายเปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" ก็จะเป็นจุดสูงสุด และถ้าจาก "ลบ" เป็น "บวก" ก็จะเป็นจุดต่ำสุด .

ถ้าใกล้ถึงจุด x0 , ทางซ้ายและทางขวาของมัน, อนุพันธ์ยังคงมีเครื่องหมายของมัน, ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันอาจลดลงหรือเพิ่มขึ้นเฉพาะในบางพื้นที่ใกล้เคียงของจุดเท่านั้น x0 . ในกรณีนี้ตรงจุด x0 ไม่มีความสุดโต่ง

ดังนั้น, ในการกำหนดจุดสูงสุดของฟังก์ชัน คุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้ :

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2. เทียบอนุพันธ์กับศูนย์และกำหนดจุดวิกฤต
3. ในใจหรือบนกระดาษ ทำเครื่องหมายจุดวิกฤตบนแกนตัวเลข และกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วงผลลัพธ์ หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" จุดวิกฤติคือจุดสูงสุด และถ้าจาก "ลบ" เป็น "บวก" จุดวิกฤติคือจุดต่ำสุด
4. คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุด

ตัวอย่างที่ 2หาค่าสุดขั้วของฟังก์ชัน .

สารละลาย. มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

เทียบค่าอนุพันธ์เป็นศูนย์เพื่อหาจุดวิกฤติ:

.

เนื่องจากสำหรับค่าใด ๆ ของ "x" ตัวส่วนจะไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงจัดตัวเศษให้เป็นศูนย์:

มีจุดสำคัญจุดหนึ่ง x= 3 . เรากำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาที่คั่นด้วยจุดนี้:

ในช่วงจากอินฟินิตี้ลบถึง 3 - เครื่องหมายลบนั่นคือฟังก์ชันลดลง

ในช่วงตั้งแต่ 3 ถึงบวกอนันต์ - เครื่องหมายบวกนั่นคือฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

นั่นคือจุด x= 3 เป็นจุดต่ำสุด

ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด:

ดังนั้นจึงพบจุดสูงสุดของฟังก์ชัน: (3; 0) และเป็นจุดต่ำสุด

ทฤษฎีบท (เกณฑ์ที่สองเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว)จุดวิกฤต x0 เป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(x) ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ไม่เท่ากับศูนย์ ( ฉ ""(x) ≠ 0 ) นอกจากนี้ หากอนุพันธ์อันดับสองมีค่ามากกว่าศูนย์ ( ฉ ""(x) > 0 ) จากนั้นจุดสูงสุด และถ้าอนุพันธ์อันดับสองน้อยกว่าศูนย์ ( ฉ ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

หมายเหตุ 1. หากถึงจุดหนึ่ง x0 ทั้งอนุพันธ์ที่หนึ่งและสองหายไป ณ จุดนี้มันเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินการมีอยู่ของสุดขั้วบนพื้นฐานของสัญญาณเพียงพอที่สอง ในกรณีนี้ คุณต้องใช้เกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

หมายเหตุ 2. เกณฑ์ที่สองที่เพียงพอสำหรับค่าสุดขั้วของฟังก์ชันจะใช้ไม่ได้เช่นกันเมื่ออนุพันธ์อันดับที่หนึ่งไม่มีอยู่ที่จุดหยุดนิ่ง (จากนั้นอนุพันธ์อันดับสองก็ไม่มีเช่นกัน) ในกรณีนี้ ยังจำเป็นต้องใช้เกณฑ์แรกที่เพียงพอสำหรับค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

ลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันสุดขั้ว

จากคำจำกัดความข้างต้นเป็นไปตามที่ขอบเขตของฟังก์ชันมีลักษณะเฉพาะ - นี่คือค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันเมื่อเทียบกับค่าที่ใกล้ที่สุด

สมมติว่าคุณพิจารณารายได้ของคุณในช่วงเวลาหนึ่งปี หากในเดือนพฤษภาคม คุณได้รับ 45,000 รูเบิล และในเดือนเมษายน 42,000 รูเบิล และในเดือนมิถุนายน 39,000 รูเบิล รายได้ในเดือนพฤษภาคมจะเป็นฟังก์ชันรายได้สูงสุดเมื่อเทียบกับค่าที่ใกล้ที่สุด แต่ในเดือนตุลาคม คุณได้รับ 71,000 รูเบิล ในเดือนกันยายน 75,000 รูเบิล และในเดือนพฤศจิกายน 74,000 รูเบิล ดังนั้นรายได้ในเดือนตุลาคมจึงเป็นฟังก์ชันรายได้ขั้นต่ำเมื่อเทียบกับค่าใกล้เคียง และคุณสามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่าค่าสูงสุดของเดือนเมษายน-พฤษภาคม-มิถุนายนนั้นน้อยกว่าค่าต่ำสุดของเดือนกันยายน-ตุลาคม-พฤศจิกายน

โดยทั่วไป ฟังก์ชันอาจมีค่ามากสุดหลายค่าในช่วงเวลาหนึ่ง และอาจกลายเป็นว่าค่าต่ำสุดใดๆ ของฟังก์ชันมีค่ามากกว่าค่าสูงสุดใดๆ ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันที่แสดงในรูปด้านบน

นั่นคือเราไม่ควรคิดว่าค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันคือค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดตามลำดับสำหรับทั้งเซ็กเมนต์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ที่จุดสูงสุด ฟังก์ชันมีค่ามากที่สุดเมื่อเปรียบเทียบกับค่าเหล่านั้นที่มีทุกจุดใกล้กับจุดสูงสุดพอสมควร และที่จุดต่ำสุด ค่าที่น้อยที่สุดเท่านั้นเมื่อเปรียบเทียบกับค่าเหล่านั้น ที่มีทุกจุดใกล้เคียงกับจุดต่ำสุดพอสมควร

ดังนั้นเราจึงสามารถปรับแต่งแนวคิดของจุดสูงสุดของฟังก์ชันที่ให้ไว้ข้างต้น และเรียกจุดต่ำสุดจุดต่ำสุดในพื้นที่ และจุดสูงสุด - จุดสูงสุดในพื้นที่

เรากำลังมองหาจุดสุดยอดของฟังก์ชันด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 3

เฉลย ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องในบรรทัดจำนวนเต็ม อนุพันธ์ของมัน ยังมีอยู่ในเส้นจำนวนทั้งหมด ดังนั้นใน กรณีนี้เฉพาะที่ เช่น , จากไหน และ . จุดวิกฤติและแบ่งโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันออกเป็นสามช่วงของความเป็นโมโนโทนิก: เราเลือกจุดควบคุมหนึ่งจุดในแต่ละจุดและค้นหาเครื่องหมายของอนุพันธ์ ณ จุดนี้

สำหรับช่วงเวลา จุดอ้างอิงสามารถเป็น : เราพบ . หาจุดในช่วงเวลา เราได้ และรับจุดในช่วงเวลา เราได้ ดังนั้น ในช่วงเวลา และ และ ในช่วงเวลา ตามเครื่องหมายแรกสุดของค่าสุดขั้ว ไม่มีค่าสุดขั้วที่จุด (เนื่องจากอนุพันธ์ยังคงเครื่องหมายอยู่ในช่วง ) และฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดที่จุด (เนื่องจากอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่อผ่าน ผ่านจุดนี้ไป) ค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน: , และ . ในช่วงเวลา ฟังก์ชันจะลดลงเนื่องจากในช่วงเวลานี้ และในช่วงเวลานั้นจะเพิ่มขึ้น เนื่องจากในช่วงเวลานี้

เพื่อชี้แจงการสร้างกราฟ เราจะหาจุดตัดกับแกนพิกัด เมื่อเราได้รับสมการที่มีรากและ เช่น พบจุดสองจุด (0; 0) และ (4; 0) ของกราฟของฟังก์ชัน เราสร้างกราฟโดยใช้ข้อมูลทั้งหมดที่ได้รับ (ดูที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่าง)

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาสุดขั้วของฟังก์ชันและสร้างกราฟ

โดเมนของฟังก์ชันคือเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้นจุด เช่น .

เพื่อให้การศึกษาสั้นลง เราสามารถใช้ความจริงที่ว่าฟังก์ชันนี้เป็นเลขคู่ เนื่องจาก . ดังนั้นกราฟจึงสมมาตรรอบแกน โอ๊ยและทำการศึกษาได้เฉพาะช่วงเวลาเท่านั้น

การหาอนุพันธ์ และจุดวิกฤตของฟังก์ชัน:

1) ;

2) ,

แต่ฟังก์ชันจะหยุดทำงาน ณ จุดนี้ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นจุดสูงสุดได้

ดังนั้น ฟังก์ชันที่กำหนดจึงมีจุดวิกฤตสองจุด: และ โดยคำนึงถึงความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน เราจะตรวจสอบเฉพาะจุดด้วยเครื่องหมายที่สองที่เพียงพอของค่าสุดขั้ว ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์อันดับสอง และกำหนดสัญลักษณ์ของมันที่ : เราได้รับ . ตั้งแต่ และ แล้ว เป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ในขณะที่ .

เพื่อให้ได้ภาพที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นของกราฟของฟังก์ชัน ลองหาพฤติกรรมของมันบนขอบเขตของโดเมนของนิยาม:

(ที่นี่สัญลักษณ์บ่งบอกถึงความปรารถนา xเป็นศูนย์ทางด้านขวา และ xยังคงเป็นบวก ในทำนองเดียวกันหมายถึงความทะเยอทะยาน xเป็นศูนย์ทางด้านซ้ายและ xยังคงเป็นลบ) ดังนั้น ถ้า แล้ว . ต่อไปเราจะพบ

,

เหล่านั้น. ถ้า แล้ว .

กราฟของฟังก์ชันไม่มีจุดตัดกับแกน รูปภาพอยู่ที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่าง

เรายังคงค้นหาสุดขั้วของฟังก์ชันด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 8ค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน

สารละลาย. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันจะต้องคงอยู่ เราจึงได้มาจาก

มาหาอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันกัน:

มาหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันกัน