Yazılı ve merkez açıların derece ölçüsü. Çember ve çevre açı

ABC açısı bir çevre açıdır. Kenarları arasına alınmış AC yayının üzerinde durur (Şekil 330).

teorem. Çevresel bir açı, kestiği yayın yarısı ile ölçülür.

Bu şu şekilde anlaşılmalıdır: çevrelenmiş bir açı, dayandığı yayın yarısında bulunan yay dereceleri, dakikaları ve saniyeleri kadar çok açısal derece, dakika ve saniye içerir.

Bu teoremi ispatlarken üç durumu ele almamız gerekiyor.

İlk durum. Çemberin merkezi çevrelenmiş açının yanında yer alır (Şek. 331).

∠ABC çevre açı olsun ve O çemberinin merkezi BC kenarı üzerinde olsun. AC yayının yarısı ile ölçüldüğünü kanıtlamak gerekir.

A noktasını çemberin merkezine bağlayın. AO = OB olan \(\Delta\)AOB ikizkenarını aynı dairenin yarıçapları olarak elde ederiz. Bu nedenle, ∠A = ∠B.

∠AOC, AOB üçgeninin dışındadır, yani ∠AOC = ∠A + ∠B ve A ve B açıları eşit olduğundan, ∠B 1/2 ∠AOC'dir.

Ancak ∠AOC, AC arkıyla ölçülür, bu nedenle ∠B, AC arkının yarısı ile ölçülür.

Örneğin, \(\breve(AC)\) 60°18' içeriyorsa, ∠B 30°9' içerir.

İkinci durum. Çemberin merkezi, çevrelenmiş açının kenarları arasında yer alır (Şek. 332).

∠ABD bir çevre açı olsun. O dairesinin merkezi, kenarları arasında yer alır. ∠ABD'nin AD yayının yarısı ile ölçüldüğünü kanıtlamak gerekir.

Bunu kanıtlamak için BC çapını çizelim. ABD açısı iki açıya bölünmüştür: ∠1 ve ∠2.

∠1, AC yayının yarısı ile ölçülür ve ∠2, CD yayının yarısı ile ölçülür, dolayısıyla ∠ABD'nin tamamı 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), yani AD yayının yarısı.

Örneğin, \(\breve(AD)\) 124°'yi içeriyorsa, ∠B 62°'yi içerir.

Üçüncü durum. Çemberin merkezi çevrelenmiş açının dışındadır (Şek. 333).

∠MAD bir çevre açı olsun. O dairesinin merkezi köşenin dışındadır. ∠MAD'nin MD yayının yarısı ile ölçüldüğünü kanıtlamak gerekir.

Bunu kanıtlamak için AB çapını çizelim. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Ancak ∠MAB 1/2 \(\breve(MB)\) ve ∠DAB 1/2 \(\breve(DB)\) ölçer.

Bu nedenle, ∠MAD 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), yani 1 / 2 \(\breve(MD)\) ölçer.

Örneğin, \(\breve(MD)\) 48° 38" içeriyorsa, ∠MAD 24° 19' 8" içerir.

Sonuçlar
1. Aynı yayın temelindeki tüm çevre açılar, aynı yayın yarısı ile ölçüldüğü için birbirine eşittir. (Şek. 334, a).

2. Çapa dayalı çevre açı, yarım daireye dayalı olduğu için dik açıdır. Çemberin yarısı 180 yay derecesi içerir, bu da çapa dayalı açının 90 açısal derece içerdiği anlamına gelir (Şekil 334, b).

Yazılı ve merkez açı kavramı

Önce merkez açı kavramını tanıtalım.

1. açıklama

Dikkat bir merkez açının derece ölçüsü, gördüğü yayın derece ölçüsüne eşittir.

Şimdi çevre açı kavramını tanıtıyoruz.

Tanım 2

Köşesi bir daire üzerinde olan ve kenarları aynı daireyi kesen açıya çevre açı denir (Şekil 2).

Şekil 2. Çevresel açı

yazılı açı teoremi

teorem 1

Bir çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.

Kanıt.

Merkezi $O$ olan bir daire verilsin. $ACB$ yazılı açıyı belirtin (Şekil 2). Aşağıdaki üç durum mümkündür:

• $CO$ ışını açının bir kenarına denk gelir. Bu $CB$ tarafı olsun (Şekil 3).

Figür 3

Bu durumda $AB$ yayı $(180)^(()^\circ )$'den küçüktür, dolayısıyla $AOB$ merkez açısı $AB$ yayına eşittir. $AO=OC=r$ olduğundan, $AOC$ üçgeni ikizkenardır. Dolayısıyla, $CAO$ ve $ACO$ taban açıları eşittir. Bir üçgenin dış açısıyla ilgili teoreme göre, şunu elde ederiz:

• Ray $CO$ bir iç açıyı iki açıya böler. Daireyi $D$ noktasında kessin (Şek. 4).

Şekil 4

biz alırız

• $CO$ ışını bir iç açıyı iki açıya bölmez ve herhangi bir kenarı ile çakışmaz (Şekil 5).

Şekil 5

$ACD$ ve $DCB$ açılarını ayrı ayrı düşünün. 1. maddede kanıtlananlara göre, şunu elde ederiz:

biz alırız

Teorem kanıtlanmıştır.

hadi getirelim sonuçlar bu teoremden

Sonuç 1: Aynı yayı kesen çevre açılar eşittir.

Sonuç 2:Çapı kesen çevreli açı dik açıdır.

Yazılı ve merkez açı kavramı

Önce merkez açı kavramını tanıtalım.

1. açıklama

Dikkat bir merkez açının derece ölçüsü, gördüğü yayın derece ölçüsüne eşittir.

Şimdi çevre açı kavramını tanıtıyoruz.

Tanım 2

Köşesi bir daire üzerinde olan ve kenarları aynı daireyi kesen açıya çevre açı denir (Şekil 2).

Şekil 2. Çevresel açı

yazılı açı teoremi

teorem 1

Bir çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.

Kanıt.

Merkezi $O$ olan bir daire verilsin. $ACB$ yazılı açıyı belirtin (Şekil 2). Aşağıdaki üç durum mümkündür:

• $CO$ ışını açının bir kenarına denk gelir. Bu $CB$ tarafı olsun (Şekil 3).

Figür 3

Bu durumda $AB$ yayı $(180)^(()^\circ )$'den küçüktür, dolayısıyla $AOB$ merkez açısı $AB$ yayına eşittir. $AO=OC=r$ olduğundan, $AOC$ üçgeni ikizkenardır. Dolayısıyla, $CAO$ ve $ACO$ taban açıları eşittir. Bir üçgenin dış açısıyla ilgili teoreme göre, şunu elde ederiz:

• Ray $CO$ bir iç açıyı iki açıya böler. Daireyi $D$ noktasında kessin (Şek. 4).

Şekil 4

biz alırız

• $CO$ ışını bir iç açıyı iki açıya bölmez ve herhangi bir kenarı ile çakışmaz (Şekil 5).

Şekil 5

$ACD$ ve $DCB$ açılarını ayrı ayrı düşünün. 1. maddede kanıtlananlara göre, şunu elde ederiz:

biz alırız

Teorem kanıtlanmıştır.

hadi getirelim sonuçlar bu teoremden

Sonuç 1: Aynı yayı kesen çevre açılar eşittir.

Sonuç 2:Çapı kesen çevreli açı dik açıdır.

Çevresel açı, problem teorisi. Arkadaşlar! Bu yazıda, çözümü için yazılı bir açının özelliklerini bilmenin gerekli olduğu görevler hakkında konuşacağız. Bu, bütün bir görev grubudur, sınava dahil edilirler. Çoğu tek adımda çok basit bir şekilde çözülür.

Daha zor görevler var ama bunlar sizin için fazla zorluk çıkarmayacak, çevre açının özelliklerini bilmeniz gerekiyor. Yavaş yavaş, görevlerin tüm prototiplerini analiz edeceğiz, sizi bloga davet ediyorum!

Şimdi gerekli teori. Bu açıların dayandığı merkezi ve yazılı bir açının, kirişin, yayın ne olduğunu hatırlayın:

Bir dairedeki merkez açıya düz açı denirmerkezinde doruk.

Dairenin düz bir köşe içindeki kısmıçemberin yayı denir.

Bir daire yayının derece ölçüsü, derece ölçüsüdürkarşılık gelen merkez açı.

Açının tepe noktası yatıyorsa, açı bir daire içinde yazılı olarak adlandırılır.bir daire üzerinde ve açının kenarları bu daireyi kesiyor.

Bir daire üzerinde iki noktayı birleştiren doğru parçasına denir.akor. Çemberin merkezinden geçen en uzun kirişe denir.çap.

Daire içine çizilen açılarla ilgili problemleri çözmek için,aşağıdaki özellikleri bilmeniz gerekir:

1. Çevresel açı, aynı yaya göre merkez açının yarısına eşittir.

2. Aynı yaya bağlı tüm çevre açılar eşittir.

3. Köşeleri bu kirişin aynı tarafında bulunan, aynı kirişe dayalı tüm yazılı açılar eşittir.

4. Köşeleri kirişin zıt taraflarında bulunan, aynı kirişe dayalı herhangi bir açı çiftinin toplamı 180°'dir.

Sonuç: Bir daire içine alınmış bir dörtgenin karşılıklı açılarının toplamı 180 derecedir.

5. Çapa dayalı tüm yazılı açılar düzdür.

Genel olarak, bu özellik (1) özelliğinin bir sonucudur, bu onun özel durum. Bakın - merkez açı 180 dereceye eşittir (ve bu gelişmiş açı bir çaptan başka bir şey değildir), bu da birinci özelliğe göre çevrelenmiş C açısının yarısına, yani 90 dereceye eşit olduğu anlamına gelir.

Bu özelliğin bilinmesi birçok sorunun çözülmesine yardımcı olur ve genellikle gereksiz hesaplamalardan kaçınmanıza olanak tanır. İyi bir şekilde hakim olduktan sonra, bu tür problemlerin yarısından fazlasını sözlü olarak çözebileceksiniz. Çıkarılabilecek iki sonuç:

Sonuç 1: Bir üçgen bir çemberin içine yazılmışsa ve kenarlarından biri bu çemberin çapına denk geliyorsa, o zaman üçgen dik açılıdır (dik açının tepesi çemberin üzerindedir).

Sonuç 2: hakkında anlatılanların merkezi sağ üçgen daire, hipotenüsünün orta noktasıyla çakışıyor.

Birçok stereometrik problem prototipi de bu özellik ve bu sonuçlar kullanılarak çözülmüştür. Gerçeğin kendisini hatırlayın: eğer bir dairenin çapı çevrelenmiş bir üçgenin bir kenarıysa, o zaman bu üçgen dik açılıdır (çapın karşısındaki açı 90 derecedir). Diğer tüm sonuçları ve sonuçları kendiniz çıkarabilirsiniz, onlara öğretmenize gerek yoktur.

Kural olarak, çevrelenmiş bir açı için problemlerin yarısı bir çizimle, ancak nota olmadan verilir. Problemleri çözerken akıl yürütme sürecini anlamak için (makalenin altında), köşelerin (köşelerin) gösterimleri tanıtılmaktadır. Sınavda bunu yapamazsınız.Görevleri göz önünde bulundurun:

Çemberin yarıçapına eşit bir kirişi kesen dar çevreli açı nedir? Cevabınızı derece cinsinden veriniz.

Belirli bir çevre açı için bir merkez açı oluşturalım, köşeleri gösterelim:

Çembere çizilen açının özelliğine göre:

AOB üçgeni eşkenar olduğundan ve bir eşkenar üçgende tüm açılar 60 0'a eşit olduğundan, AOB açısı 60 0'a eşittir. Koşul kirişin yarıçapa eşit olduğunu söylediği için üçgenin kenarları eşittir.

Böylece, çevrelenmiş açı DIA 30°'dir.

Cevap: 30

30 0 açısının dayandığı, yarıçapı 3 olan bir daire içine yazılmış kirişi bulun.

Bu esasen (bir öncekinin) ters problemidir. Bir orta köşe oluşturalım.

Yazılı olandan iki kat daha büyüktür, yani AOB açısı 60 0 . Buradan AOB üçgeninin eşkenar olduğu sonucuna varabiliriz. Böylece akor yarıçapa, yani üçe eşittir.

Cevap: 3

Çemberin yarıçapı 1'dir. İkinin köküne eşit bir kirişe dayalı olarak geniş çevre açının değerini bulun. Cevabınızı derece cinsinden veriniz.

Merkez açıyı oluşturalım:

Yarıçapı ve kirişi bilerek DIA merkez açısını bulabiliriz. Bu, kosinüs yasası kullanılarak yapılabilir. Merkez açıyı bildiğimiz için, çevrelenmiş ACB açısını kolayca bulabiliriz.

Kosinüs teoremi: Bir üçgenin herhangi bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşittir, ancak bu kenarların çarpımı ile aralarındaki açının kosinüsünü ikiye katlamaz.

Bu nedenle, ikinci merkez açı 360 0'dır. – 90 0 = 270 0 .

Çevresel açının özelliğine göre, DIA açısı yarıya eşittir, yani 135 derecedir.

Cevap: 135

Üçün kökü olan 120 derecelik açının yarıçaplı bir daireye çizildiği akoru bulun.

A ve B noktalarını dairenin merkezine bağlayın. O diyelim:

Yarıçapı ve yazılı DIA açısını biliyoruz. AOB merkez açısını (180 dereceden büyük) bulabiliriz, ardından AOB üçgeninde AOB açısını bulabiliriz. Ve sonra kosinüs teoremini kullanarak AB'yi hesaplayın.

Çevre açı özelliği gereği, (180 dereceden büyük olan) merkez açısı AOB, çevre açının iki katına, yani 240 dereceye eşit olacaktır. Bu, AOB üçgenindeki AOB açısının 360 0 - 240 0 = 120 0 olduğu anlamına gelir.

Kosinüs yasasına göre:

Cevap:3

Çemberin %20'si olan yaya göre çevre açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden veriniz.

Çevre açı özelliği gereği aynı yaya göre merkez açının ölçüsünün yarısı kadardır. bu durum AB yayından bahsediyoruz.

AB yayının çevrenin yüzde 20'si olduğu söylenir. Bu, AOB merkez açısının da 360°'nin yüzde 20'si olduğu anlamına gelir.* Daire 360 ​​derecelik bir açıdır. Araç,

Böylece, yazılı ACB açısı 36 derecedir.

Cevap: 36

bir çemberin yayı AC, nokta içermeyen B, 200 derecedir. Ve noktaları içermeyen BC çemberinin yayı A, 80 derecedir. Yazılı ACB açısını bulun. Cevabınızı derece cinsinden veriniz.

Açısal ölçüleri verilen yayları açıklık için gösterelim. 200 dereceye karşılık gelen yay - Mavi renk, 80 dereceye karşılık gelen yay kırmızı, dairenin geri kalanı sarıdır.

Böylece, AB yayının (sarı) derece ölçüsü ve dolayısıyla merkez açısı AOB şu şekildedir: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Çevrelenmiş açı DAB, AOB merkez açısının yarısıdır, yani 40 dereceye eşittir.

Cevap: 40

Çemberin çapına göre çevre açısı nedir? Cevabınızı derece cinsinden veriniz.

Bu iki açının oluşturduğu açıdır. akorlarçemberin bir noktasından başlar. Yazılı bir açı olduğu söylenir güvenir kenarları arasına alınmış bir yay üzerinde.

yazılı açıüzerinde bulunduğu yayın yarısına eşittir.

Başka bir deyişle, yazılı açı kadar derece, dakika ve saniye içerir. yay dereceleri, dakika ve saniye dayandığı yayın yarısı içine alınır. Gerekçelendirme için üç durumu analiz ediyoruz:

İlk durum:

Orta O yan tarafta bulunur yazılı açı ABS. AO yarıçapını çizerek, OA = OB (yarıçap olarak) ve buna göre ∠ABO = ∠BAO olan ΔABO elde ederiz. bununla ilgili olarak üçgen, AOC açısı dıştır. Ve böylece, ABO ve BAO açılarının toplamına veya ABO çift açısına eşittir. Yani ∠ABO yarıdır orta köşe AOC. Ancak bu açı AC yayı ile ölçülür. Yani, ABC çevre açısı AC yayının yarısı ile ölçülür.

İkinci durum:

Merkez O, kenarların arasında yer alır. yazılı açı ABC.BD çapını çizdikten sonra, ABC açısını iki açıya böleceğiz, birinci durumda belirlenene göre biri yarı yarıya ölçülür. yaylar AD ve arkın diğer yarısı CD. Ve buna göre ABC açısı (AD + DC) / 2 ile ölçülür, yani. 1/2 AC.

Üçüncü durum:

Merkez O dışarıda bulunur yazılı açı ABS. BD çapını çizdikten sonra şunu elde ederiz: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Ancak ABD ve CBD açıları, daha önce kanıtlanmış yarımlara dayalı olarak ölçülür. yaylar AD ve CD. Ve ∠ABС (AD-CD)/2 ile ölçüldüğü için, yani AC yayının yarısıdır.

Sonuç 1. Aynı yaya dayalı herhangi biri aynıdır, yani birbirlerine eşittirler. Her biri aynı değerin yarısı ile ölçüldüğü için yaylar .

Sonuç 2. yazılı açı, çapa göre - sağ açı. Bu tür her açı yarım daire ile ölçüldüğünden ve buna göre 90 ° içerdiğinden.