Logaritmik eşitsizlikler - Bilgi hipermarketi. Logaritmik eşitsizlikler hakkında her şey

Tüm logaritmik eşitsizlik çeşitleri arasında, değişken tabanlı eşitsizlikler ayrı ayrı incelenir. Bazı nedenlerden dolayı okulda nadiren öğretilen özel bir formüle göre çözülürler:

günlük k (x ) f (x ) ∨ günlük k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) - g (x )) (k (x ) - 1) ∨ 0

Küçük karga "∨" yerine herhangi bir eşitsizlik işareti koyabilirsiniz: aşağı yukarı. Önemli olan, her iki eşitsizlikte de işaretlerin aynı olmasıdır.

Böylece logaritmalardan kurtulur ve sorunu rasyonel bir eşitsizliğe indirgeriz. İkincisini çözmek çok daha kolaydır, ancak logaritmalar atılırken fazladan kökler görünebilir. Bunları kesmek için kabul edilebilir değerler aralığını bulmak yeterlidir. Logaritmanın ODZ'sini unuttuysanız, tekrarlamanızı şiddetle tavsiye ederim - "Logaritma nedir" bölümüne bakın.

Kabul edilebilir değerler aralığı ile ilgili her şey ayrı ayrı yazılmalı ve çözülmelidir:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Bu dört eşitsizlik bir sistem oluşturur ve aynı anda yerine getirilmesi gerekir. Kabul edilebilir değerler aralığı bulunduğunda, onu rasyonel bir eşitsizliğin çözümü ile geçmeye devam ediyor - ve cevap hazır.

Görev. Eşitsizliği çözün:

İlk olarak, logaritmanın ODZ'sini yazalım:

İlk iki eşitsizlik otomatik olarak yapılır ve sonuncusu yazılmalıdır. Bir sayının karesi sıfır olduğu için, ancak ve ancak sayının kendisi sıfırsa, şunu elde ederiz:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Logaritmanın ODZ'sinin sıfır hariç tüm sayılar olduğu ortaya çıktı: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Şimdi ana eşitsizliği çözelim:

Logaritmik eşitsizlikten rasyonel olana geçişi gerçekleştiriyoruz. Orijinal eşitsizlikte “küçüktür” işareti vardır, dolayısıyla ortaya çıkan eşitsizlik de “küçüktür” işaretiyle olmalıdır. Sahibiz:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

Bu ifadenin sıfırları: x = 3; x = -3; x = 0. Ayrıca x = 0 ikinci çokluğun köküdür yani içinden geçerken fonksiyonun işareti değişmez. Sahibiz:

x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) elde ederiz. Bu küme tamamen logaritmanın ODZ'sinde bulunur, bu da yanıtın bu olduğu anlamına gelir.

Logaritmik eşitsizliklerin dönüşümü

Genellikle orijinal eşitsizlik yukarıdakinden farklıdır. Bu, logaritmalarla çalışmak için standart kurallara göre kolayca düzeltilebilir - bkz. "Logaritmaların temel özellikleri". Yani:

1. Herhangi bir sayı, belirli bir tabana sahip bir logaritma olarak temsil edilebilir;
2. Aynı tabanlı logaritmaların toplamı ve farkı tek bir logaritma ile değiştirilebilir.

Ayrı olarak, size kabul edilebilir değerler aralığını hatırlatmak istiyorum. Orijinal eşitsizlikte birkaç logaritma olabileceğinden, her birinin DPV'sini bulmak gerekir. Böylece, genel şema logaritmik eşitsizliklerin çözümü aşağıdaki gibidir:

1. Eşitsizliğe dahil olan her bir logaritmanın ODZ'sini bulun;
2. Logaritma toplama ve çıkarma formüllerini kullanarak eşitsizliği standart olana indirin;
3. Ortaya çıkan eşitsizliği yukarıdaki şemaya göre çözün.

Görev. Eşitsizliği çözün:

İlk logaritmanın tanım alanını (ODZ) bulun:

Aralık yöntemiyle çözüyoruz. Payın sıfırlarını bulma:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Sonra - paydanın sıfırları:

x - 1 = 0;
x = 1.

Koordinat okunda sıfırları ve işaretleri işaretliyoruz:

x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) elde ederiz. ODZ'nin ikinci logaritması aynı olacaktır. Bana inanmıyorsan kontrol edebilirsin. Şimdi ikinci logaritmayı tabanı iki olacak şekilde dönüştürüyoruz:

Gördüğünüz gibi, tabandaki ve logaritmadan önceki üçlüler küçüldü. Aynı tabana sahip iki logaritma elde edin. Bunları bir araya getirelim:

günlük 2 (x - 1) 2< 2;
günlük 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Standart logaritmik eşitsizliği elde ettik. Logaritmalardan formülle kurtuluyoruz. Orijinal eşitsizlikte küçüktür işareti olduğundan, elde edilen rasyonel ifade de sıfırdan küçük olmalıdır. Sahibiz:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

İki setimiz var:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Cevap adayı: x ∈ (−1; 3).

Bu kümeleri geçmeye devam ediyor - gerçek cevabı alıyoruz:

Kümelerin kesişimiyle ilgileniyoruz, bu nedenle her iki ok üzerinde gölgeli aralıkları seçiyoruz. x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) elde ederiz - tüm noktalar delinir.

Logaritmik bir fonksiyon içeriyorsa, eşitsizliğe logaritmik denir.

Logaritmik eşitsizlikleri çözme yöntemleri iki şey dışında farklı değildir.

Birincisi, logaritmik eşitsizlikten sublogaritmik fonksiyonların eşitsizliğine geçerken, Ortaya çıkan eşitsizliğin işaretini takip edin. Aşağıdaki kurala uyar.

Logaritmik fonksiyonun tabanı $1$'dan büyükse logaritmik eşitsizlikten sublogaritmik fonksiyonların eşitsizliğine geçerken eşitsizlik işareti korunur, $1$'dan küçükse ters çevrilir.

İkincisi, herhangi bir eşitsizliğin çözümü bir aralıktır ve bu nedenle, sublogaritmik fonksiyonların eşitsizliğinin çözümünün sonunda, iki eşitsizlikten oluşan bir sistem oluşturmak gerekir: bu sistemin ilk eşitsizliği şu eşitsizlik olacaktır: sublogaritmik fonksiyonlar ve ikincisi, logaritmik eşitsizliğin içerdiği logaritmik fonksiyonların tanım alanının aralığı olacaktır.

Pratik.

Eşitsizlikleri çözelim:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Logaritmanın tabanı $2>1$ olduğundan işaret değişmez. Logaritmanın tanımını kullanarak şunu elde ederiz:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )