Çalışmanın genel şemasını kullanarak fonksiyonun bir grafiğini oluşturun. Tam işlevli keşif ve çizim

İçin tam çalışma işlevi ve grafiğini oluştururken, aşağıdaki şemanın kullanılması önerilir:

1) işlevin kapsamını bulun;

2) fonksiyonun süreksizlik noktalarını ve dikey asimptotları (eğer varsa) bulun;

3) fonksiyonun sonsuzdaki davranışını araştırın, yatay ve eğik asimptotları bulun;

4) düzgünlük (tuhaflık) ve periyodiklik (trigonometrik fonksiyonlar için) fonksiyonunu araştırmak;

5) fonksiyonun ekstremumlarını ve monotonluk aralıklarını bulun;

6) dışbükeylik ve bükülme noktalarının aralıklarını belirlemek;

7) mümkünse koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını ve grafiği iyileştiren bazı ek noktaları bulun.

Fonksiyonun incelenmesi, grafiğinin oluşturulmasıyla eş zamanlı olarak gerçekleştirilir.

Örnek 9 Fonksiyonu keşfedin ve bir grafik oluşturun.

1. Tanım alanı: ;

2. Fonksiyon noktalarda kesiliyor
,
;

Fonksiyonu dikey asimptotların varlığı için araştırıyoruz.

;
,
─ dikey asimptot.

;
,
─ dikey asimptot.

3. Eğik ve yatay asimptotların varlığı için fonksiyonu araştırıyoruz.

Dümdüz
─ eğik asimptot, eğer
,
.

,
.

Dümdüz
─ yatay asimptot.

4. İşlev çifttir çünkü
. Fonksiyonun paritesi, grafiğin y eksenine göre simetrisini gösterir.

5. Fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıklarını bulun.

Kritik noktaları bulalım, yani. türevin 0 olduğu veya olmadığı noktalar:
;
. üç puanımız var
;

. Bu noktalar tüm gerçek ekseni dört aralığa böler. İşaretleri tanımlayalım her birinin üzerinde.

(-∞; -1) ve (-1; 0) aralıklarında fonksiyon artar, (0; 1) ve (1; +∞) aralıklarında azalır. Bir noktadan geçerken
türev işareti artıdan eksiye değiştirir, dolayısıyla bu noktada fonksiyonun maksimum değeri vardır
.

6. Dışbükey aralıkları, bükülme noktalarını bulalım.

olduğu noktaları bulalım. 0'dır veya mevcut değildir.

gerçek kökleri yoktur.
,
,

puan
Ve
gerçek ekseni üç aralığa bölün. İşareti tanımlayalım her aralıkta.

Böylece, aralıklardaki eğri
Ve
aşağı doğru dışbükey, (-1;1) aralığında yukarı doğru dışbükey; noktalardaki fonksiyon olduğundan bükülme noktaları yoktur
Ve
belirlenmedi.

7. Eksenlerle kesişme noktalarını bulun.

akslı
fonksiyonun grafiği (0; -1) noktasında ve eksenle kesişir
grafik kesişmez, çünkü bu fonksiyonun payının reel kökü yoktur.

Verilen fonksiyonun grafiği Şekil 1'de gösterilmiştir.

Şekil 1 ─ Fonksiyonun grafiği

Türev kavramının ekonomide uygulanması. fonksiyon esnekliği

Ekonomik süreçleri incelemek ve diğer uygulamalı sorunları çözmek için, fonksiyon esnekliği kavramı sıklıkla kullanılır.

Tanım. fonksiyon esnekliği
fonksiyonun göreli artışının oranının limiti olarak adlandırılır değişkenin göreli artışına de
, . (VII)

Bir fonksiyonun esnekliği, fonksiyonun yaklaşık yüzde kaç değişeceğini gösterir.
bağımsız değişkeni değiştirirken %1 oranında

Bir fonksiyonun esnekliği, talep ve tüketimin analizinde kullanılır. Talep esnekliği (mutlak değer olarak) ise
, o zaman talep esnek olarak kabul edilir, eğer
─ eğer nötr
─ fiyat (veya gelir) açısından esnek değildir.

Örnek 10 Bir fonksiyonun esnekliğini hesaplayın
için esneklik indeksinin değerini bulunuz. = 3.

Çözüm: (VII) formülüne göre fonksiyonun esnekliği:

o zaman x=3 olsun
Bu, bağımsız değişkenin %1 artması durumunda bağımlı değişkenin değerinin %1,42 artacağı anlamına gelir.

Örnek 11 Talep fonksiyonuna izin ver fiyat ile ilgili forma sahip
, Nerede ─ sabit katsayı. Talep fonksiyonunun esneklik endeksinin değerini x = 3 den fiyatında bulun. birimler

Çözüm: (VII) formülünü kullanarak talep fonksiyonunun esnekliğini hesaplayın

varsayarak
para birimleri, elde ederiz
. Bu, fiyatta olduğu anlamına gelir
para birimi %1'lik bir fiyat artışı, talebin %6 oranında azalmasına neden olacaktır, yani; talep esnektir.

Bugün sizi bizimle birlikte bir fonksiyon grafiğini keşfetmeye ve çizmeye davet ediyoruz. Bu makaleyi dikkatli bir şekilde inceledikten sonra, bu tür görevleri tamamlamak için uzun süre ter dökmenize gerek kalmayacak. Bir fonksiyonun grafiğini keşfetmek ve oluşturmak kolay değildir, iş hacimlidir ve maksimum dikkat ve hesaplama doğruluğu gerektirir. Malzemenin algılanmasını kolaylaştırmak için yavaş yavaş aynı işlevi inceleyeceğiz, tüm eylemlerimizi ve hesaplamalarımızı açıklayacağız. Matematiğin şaşırtıcı ve büyüleyici dünyasına hoş geldiniz! Gitmek!

İhtisas

Bir işlevi keşfetmek ve çizmek için birkaç tanım bilmeniz gerekir. Fonksiyon, matematikteki temel (temel) kavramlardan biridir. Değişikliklerle birkaç değişken (iki, üç veya daha fazla) arasındaki bağımlılığı yansıtır. Fonksiyon ayrıca kümelerin bağımlılığını da gösterir.

Belirli bir değişim aralığına sahip iki değişkenimiz olduğunu hayal edin. Dolayısıyla, ikinci değişkenin her değerinin ikinci değişkenin bir değerine karşılık gelmesi koşuluyla y, x'in bir fonksiyonudur. Bu durumda y değişkeni bağımlıdır ve buna fonksiyon denir. x ve y değişkenlerinin içinde olduğunu söylemek gelenekseldir. Bu bağımlılığın daha fazla netliği için, fonksiyonun bir grafiği oluşturulur. fonksiyon grafiği nedir? Bu, x'in her değerinin bir y değerine karşılık geldiği koordinat düzlemindeki bir noktalar kümesidir. Grafikler farklı olabilir - düz bir çizgi, hiperbol, parabol, sinüzoidal vb.

Bir fonksiyon grafiği keşif yapılmadan çizilemez. Bugün nasıl araştırma yapacağımızı ve bir fonksiyon grafiği çizeceğimizi öğreneceğiz. Çalışma sırasında not almak çok önemlidir. Bu yüzden görevle başa çıkmak çok daha kolay olacak. En uygun çalışma planı:

1. İhtisas.
2. süreklilik
3. Çift veya tek.
4. periyodiklik.
5. Asimptotlar.
6. Sıfırlar.
7. süreklilik.
8. Artan ve azalan.
9. Aşırılıklar.
10. Dışbükeylik ve içbükeylik.

İlk nokta ile başlayalım. Tanım alanını, yani fonksiyonumuzun hangi aralıklarda var olduğunu bulalım: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Bizim durumumuzda, x'in herhangi bir değeri için işlev vardır, yani tanım alanı R'dir. Bu, xОR olarak yazılabilir.

süreklilik

Şimdi süreksizlik fonksiyonunu inceleyeceğiz. Matematikte "süreklilik" terimi, hareket yasalarının incelenmesi sonucunda ortaya çıktı. sonsuz nedir? Uzay, zaman, bazı bağımlılıklar (bir örnek, hareket problemlerinde S ve t değişkenlerinin bağımlılığıdır), ısıtılan nesnenin sıcaklığı (su, tava, termometre vb.), sürekli bir çizgi (yani bir kağıt kalemden çıkarmadan çizilebilir).

Bir noktada kırılmayan bir grafik sürekli olarak kabul edilir. En iyilerinden biri iyi örnekler böyle bir grafik, bu bölümdeki resimde görebileceğiniz bir sinüs dalgasıdır. Bir dizi koşul karşılanırsa, işlev x0 noktasında süreklidir:

• bir fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır;
• bir noktadaki sağ ve sol limitler eşittir;
• limit, fonksiyonun x0 noktasındaki değerine eşittir.

En az bir koşul karşılanmazsa, işlevin bozulduğu söylenir. Ve fonksiyonun kırıldığı noktalara kırılma noktaları denir. Grafik olarak görüntülendiğinde "kırılacak" bir fonksiyon örneği: y=(x+4)/(x-3). Ayrıca x = 3 noktasında y yoktur (çünkü sıfıra bölmek imkansızdır).

Çalıştığımız fonksiyonda (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) grafik sürekli olacağından her şeyin basit olduğu ortaya çıktı.

Tek çift

Şimdi parite fonksiyonunu inceleyin. Küçük bir teori ile başlayalım. Çift işlev, x değişkeninin herhangi bir değeri için (değer aralığından) f (-x) = f (x) koşulunu sağlayan bir işlevdir. Örnekler:

• x modülü (grafik, grafiğin birinci ve ikinci çeyreğinin açıortayı olan küçük karga gibi görünür);
• x kare (parabol);
• kosinüs x (kosinüs dalgası).

Tüm bu grafiklerin y eksenine göre bakıldığında simetrik olduğuna dikkat edin.

O halde tek işlev olarak adlandırılan nedir? Bunlar, x değişkeninin herhangi bir değeri için f (-x) \u003d - f (x) koşulunu sağlayan işlevlerdir. Örnekler:

• hiperbol;
• kübik parabol;
• sinüsoid;
• teğet vb.

Lütfen bu fonksiyonların noktaya (0:0), yani orijine göre simetrik olduğuna dikkat edin. Makalenin bu bölümünde söylenenlere göre, bir çift ve tek fonksiyon şu özelliğe sahip olmalıdır: x tanım kümesine aittir ve -x de.

Eşlik fonksiyonunu inceleyelim. Tanımların hiçbirine uymadığını görebiliriz. Bu nedenle, fonksiyonumuz ne çift ne de tektir.

Asimptotlar

Bir tanımla başlayalım. Bir asimptot, grafiğe mümkün olduğu kadar yakın bir eğridir, yani bir noktadan uzaklık sıfıra eğilimlidir. Üç tür asimptot vardır:

• dikey, yani y eksenine paralel;
• yatay, yani x eksenine paralel;
• eğik.

Birinci tipte ise bazı noktalarda şu satırlara bakılmalıdır:

• açıklık;
• etki alanının sonu.

Bizim durumumuzda fonksiyon süreklidir ve tanım alanı R'dir. Bu nedenle dikey asimptotlar yoktur.

Bir fonksiyonun grafiği, aşağıdaki gereksinimi karşılayan yatay bir asimptota sahiptir: x sonsuza veya eksi sonsuza eğilimliyse ve limit belirli bir sayıya eşitse (örneğin, a). İÇİNDE bu durum y=a yatay asimptottur. İncelediğimiz fonksiyonda yatay asimptot yoktur.

Eğik bir asimptot, yalnızca iki koşul karşılandığında mevcuttur:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Daha sonra şu formülle bulunabilir: y=kx+b. Yine bizim durumumuzda eğik asimptotlar yoktur.

fonksiyon sıfırları

Bir sonraki adım, sıfırlar için fonksiyonun grafiğini incelemektir. Bir fonksiyonun sıfırlarını bulma ile ilgili görevin sadece bir fonksiyon grafiğinin incelenmesi ve oluşturulmasında değil, aynı zamanda bağımsız bir görev olarak ve eşitsizlikleri çözmenin bir yolu olarak gerçekleştiğine dikkat etmek de çok önemlidir. Bir fonksiyonun sıfırlarını bir grafik üzerinde bulmanız veya matematiksel notasyon kullanmanız istenebilir.

Bu değerleri bulmak, işlevi daha doğru bir şekilde çizmenize yardımcı olacaktır. eğer konuşmak sade dil, o zaman fonksiyonun sıfırı, y=0 olduğu x değişkeninin değeridir. Bir fonksiyonun sıfırlarını bir grafik üzerinde arıyorsanız, grafiğin x ekseni ile kesiştiği noktalara dikkat etmelisiniz.

Fonksiyonun sıfırlarını bulmak için aşağıdaki denklemi çözmeniz gerekir: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Gerekli hesaplamaları yaptıktan sonra aşağıdaki cevabı alırız:

süreklilik işareti

Bir fonksiyonun (grafik) incelenmesi ve oluşturulmasındaki bir sonraki aşama, işaret sabitliği aralıklarını bulmaktır. Bu, fonksiyonun hangi aralıklarda pozitif değer, hangi aralıklarda negatif değer aldığını belirlememiz gerektiği anlamına gelir. Önceki bölümde bulunan fonksiyonların sıfırları bunu yapmamıza yardımcı olacaktır. Bu nedenle, düz bir çizgi (grafikten ayrı olarak) oluşturmamız ve fonksiyonun sıfırlarını doğru sırada küçükten büyüğe doğru dağıtmamız gerekiyor. Şimdi, ortaya çıkan aralıklardan hangisinin “+” işaretine ve hangisinin “-” işaretine sahip olduğunu belirlemeniz gerekiyor.

Bizim durumumuzda, fonksiyon aralıklarda pozitif bir değer alır:

• 1'den 4'e;
• 9'dan sonsuza kadar.

Olumsuz anlam:

• eksi sonsuzdan 1'e;
• 4'ten 9'a.

Bunu belirlemek oldukça kolaydır. Aralıktaki herhangi bir sayıyı işleve yerleştirin ve cevabın (eksi veya artı) hangi işarete sahip olduğunu görün.

Artan ve Azalan Fonksiyon

Bir fonksiyonu keşfetmek ve inşa etmek için, grafiğin nerede artacağını (Oy'da yükselir) ve nerede düşeceğini (y ekseni boyunca aşağı doğru sürünerek) bilmemiz gerekir.

İşlev, yalnızca x değişkeninin daha büyük değeri y'nin daha büyük değerine karşılık geliyorsa artar. Yani, x2, x1'den büyüktür ve f(x2), f(x1)'den büyüktür. Ve azalan bir fonksiyonda tamamen zıt bir fenomen gözlemliyoruz (x ne kadar fazlaysa, y o kadar az). Artış ve azalma aralıklarını belirlemek için aşağıdakileri bulmanız gerekir:

• kapsam (zaten sahibiz);
• türev (bizim durumumuzda: 1/3(3x^2-28x+49);
• 1/3(3x^2-28x+49)=0 denklemini çözün.

Hesaplamalardan sonra sonucu alıyoruz:

Şunu elde ederiz: fonksiyon eksi sonsuzdan 7/3'e ve 7'den sonsuza kadar olan aralıklarda artar ve 7/3'ten 7'ye kadar olan aralıkta azalır.

aşırılıklar

İncelenen y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) fonksiyonu süreklidir ve x değişkeninin herhangi bir değeri için mevcuttur. Ekstremum noktası bu fonksiyonun maksimumunu ve minimumunu gösterir. Bizim durumumuzda, inşaat görevini büyük ölçüde basitleştiren hiçbiri yoktur. Aksi takdirde, türev fonksiyonu kullanılarak da bulunurlar. Bulduktan sonra tablo üzerinde işaretlemeyi unutmayınız.

Dışbükeylik ve içbükeylik

y(x) fonksiyonunu incelemeye devam ediyoruz. Şimdi dışbükeylik ve içbükeylik açısından kontrol etmemiz gerekiyor. Bu kavramların tanımlarını algılamak oldukça zordur, her şeyi örneklerle analiz etmek daha iyidir. Test için: azalan olmayan bir fonksiyonsa bir fonksiyon dışbükeydir. Katılıyorum, bu anlaşılmaz!

İkinci dereceden fonksiyonun türevini bulmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz: y=1/3(6x-28). Şimdi sağ tarafı sıfıra eşitliyoruz ve denklemi çözüyoruz. Cevap: x=14/3. Bükülme noktasını, yani grafiğin dışbükeyden içbükey duruma veya tersi yönde değiştiği yeri bulduk. Eksi sonsuzdan 14/3'e kadar olan aralıkta fonksiyon dışbükeydir ve 14/3'ten artı sonsuza kadar içbükeydir. Grafikteki bükülme noktasının pürüzsüz ve yumuşak olması gerektiğine dikkat etmek de çok önemlidir. keskin köşeler bulunmamalıdır.

Ek noktaların tanımı

Görevimiz, fonksiyon grafiğini keşfetmek ve çizmektir. Çalışmayı tamamladık, şimdi fonksiyonu çizmek zor olmayacak. Koordinat düzleminde bir eğrinin veya düz bir çizginin daha doğru ve ayrıntılı bir şekilde çoğaltılması için birkaç yardımcı nokta bulabilirsiniz. Bunları hesaplamak oldukça kolaydır. Örneğin, x=3 alırız, ortaya çıkan denklemi çözeriz ve y=4'ü buluruz. Veya x=5 ve y=-5 vb. İnşa etmek için ihtiyaç duyduğunuz kadar ek puan alabilirsiniz. En az 3-5 tanesi bulunur.

Çizdirme

(x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y fonksiyonunu incelememiz gerekiyordu. Hesaplamalar sırasında gerekli tüm işaretler koordinat düzleminde yapılmıştır. Yapılması gereken tek şey bir grafik oluşturmak, yani tüm noktaları birbirine bağlamak. Noktaları birleştirmek pürüzsüz ve doğrudur, bu bir beceri meselesidir - biraz pratik yapın ve programınız mükemmel olacaktır.

Talimat

Fonksiyonun kapsamını bulun. Örneğin, sin(x) fonksiyonu -∞ ile +∞ arasındaki tüm aralıkta tanımlanır ve 1/x fonksiyonu -∞ ile +∞ arasında tanımlanır, x = 0 noktası hariç.

Süreklilik alanlarını ve kırılma noktalarını tanımlayın. Genellikle bir fonksiyon tanımlandığı aynı bölgede süreklidir. Süreksizlikleri saptamak için argümanın tanım alanı içindeki yalıtılmış noktalara ne zaman yaklaştığını hesaplamanız gerekir. Örneğin, 1/x fonksiyonu x→0+ olduğunda sonsuza, x→0- olduğunda eksi sonsuza gitme eğilimindedir. Bu, x = 0 noktasında ikinci türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir.
Süreksizlik noktasındaki limitler sonlu ama eşit değilse, bu birinci türden bir süreksizliktir. Eşitlerse, yalıtılmış bir noktada tanımlanmamasına rağmen fonksiyon sürekli olarak kabul edilir.

Varsa dikey asimptotları bulun. Düşey asimptot neredeyse her zaman ikinci türden süreksizlik noktasında olduğundan, bir önceki adımdaki hesaplamalar size burada yardımcı olacaktır. Bununla birlikte, bazen tanım alanının dışında bırakılan noktalar tek tek noktalar değil, tüm nokta aralıklarıdır ve daha sonra dikey asimptotlar bu aralıkların kenarlarına yerleştirilebilir.

Fonksiyonun özel özelliklere sahip olup olmadığını kontrol edin: çift, tek ve periyodik.
Fonksiyon, f(x) = f(-x) alanındaki herhangi bir x için bile olacaktır. Örneğin, cos(x) ve x^2 çift fonksiyonlardır.

Periyodiklik, herhangi bir x için f(x) = f(x + T) olan, periyot adı verilen belirli bir T sayısı olduğunu söyleyen bir özelliktir. Örneğin, tüm büyük trigonometrik fonksiyonlar(sinüs, kosinüs, teğet) - periyodik.

Puan bulun. Bunu yapmak için, verilen fonksiyonun türevini hesaplayın ve kaybolduğu x değerlerini bulun. Örneğin, f(x) = x^3 + 9x^2 -15 fonksiyonunun, x = 0 ve x = -6'da sıfır olan bir g(x) = 3x^2 + 18x türevi vardır.

Hangi uç noktaların maksimum, hangilerinin minimum olduğunu belirlemek için, bulunan sıfırlarda türevin işaretlerindeki değişimi izleyin. g(x), işareti x = -6'da artıdan x = 0'da eksiden artıya değiştirir. Bu nedenle, f(x) fonksiyonunun birinci noktada bir minimumu ve ikinci noktasında bir minimumu vardır.

Böylece monotonluk alanları da buldunuz: f(x) -∞;-6 aralığında monoton olarak artar, -6;0'da monoton olarak azalır ve 0;+∞'da tekrar artar.

İkinci türevi bulun. Kökleri, belirli bir fonksiyonun grafiğinin nerede dışbükey ve nerede içbükey olacağını gösterecektir. Örneğin, f(x) fonksiyonunun ikinci türevi h(x) = 6x + 18 olacaktır. x = -3'te işareti eksiden artıya değiştirerek yok olur. Bu nedenle, f (x) grafiği bu noktadan önce dışbükey olacak, sonra - içbükey olacak ve bu noktanın kendisi bir bükülme noktası olacaktır.

Bir işlev, dikey olanlar dışında başka asimptotlara sahip olabilir, ancak yalnızca tanım alanı . Bunları bulmak için x→∞ veya x→-∞ olduğunda f(x)'in limitini hesaplayın. Eğer sonlu ise, o zaman yatay asimptotu buldunuz.

Eğik asimptot, kx + b biçimindeki düz bir çizgidir. k'yi bulmak için f(x)/x'in limitini x→∞ olarak hesaplayın. Aynı x→∞ ile b - limiti (f(x) – kx) bulmak için.

Fonksiyonu hesaplanan veriler üzerinde çizin. Varsa, asimptotları etiketleyin. Ekstrem noktaları ve içlerindeki fonksiyon değerlerini işaretleyin. Grafiğin daha fazla doğruluğu için, fonksiyon değerlerini birkaç ara noktada daha hesaplayın. Araştırma tamamlandı.

En önemli görevlerden biri diferansiyel hesap gelişme yaygın örnekler fonksiyonların davranışlarını inceler.

y \u003d f (x) işlevi aralıkta sürekliyse ve türevi pozitif veya (a, b) aralığında 0'a eşitse, y \u003d f (x) (f "(x) kadar artar 0). y \u003d f (x) işlevi segmentte sürekliyse ve türevi negatifse veya (a,b) aralığında 0'a eşitse, o zaman y=f(x) (f"( x)0)

Fonksiyonun azalmadığı veya artmadığı aralıklara, fonksiyonun monotonluk aralıkları denir. Bir fonksiyonun monotonluğunun doğası, yalnızca tanım alanının birinci türevinin işaretinin değiştiği noktalarda değişebilir. Bir fonksiyonun birinci türevinin kaybolduğu veya kırıldığı noktalara kritik noktalar denir.

Teorem 1 (bir ekstremumun varlığı için 1. yeterli koşul).

y=f(x) fonksiyonu x 0 noktasında tanımlansın ve fonksiyon doğru parçası üzerinde sürekli olacak ve (x 0 -δ,x 0)u( aralığında türevlenebilecek bir δ>0 komşuluğu olsun. x 0 , x 0 +δ) ve türevi, bu aralıkların her birinde sabit bir işaret tutar. O zaman x 0 -δ, x 0) ve (x 0, x 0 + δ) üzerinde türevin işaretleri farklıysa, o zaman x 0 bir uç noktadır ve eşleşirlerse x 0 bir uç nokta değildir . Ayrıca, x0 noktasından geçerken türev artıdan eksiye işaret değiştirirse (x 0'ın solunda f "(x)> 0 yapılır, o zaman x 0 maksimum noktadır; türev işaret değiştirirse eksiden artıya (x'in sağında 0, f"(x) tarafından yürütülür<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimum ve minimum noktalara fonksiyonun uç noktaları, maksimum ve minimum noktalarına da uç değerleri denir.

Teorem 2 (yerel bir ekstremum için gerekli kriter).

y=f(x) fonksiyonunun mevcut x=x 0'da bir uç noktası varsa, o zaman f'(x 0)=0 veya f'(x 0) yoktur.
Türevlenebilir bir fonksiyonun uç noktalarında, grafiğinin teğeti Öküz eksenine paraleldir.

Bir ekstremum için bir fonksiyonu incelemek için algoritma:

1) Fonksiyonun türevini bulun.
2) Kritik noktaları bulun, örn. fonksiyonun sürekli olduğu ve türevinin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalar.
3) Noktaların her birinin komşuluğunu göz önünde bulundurun ve bu noktanın solundaki ve sağındaki türevin işaretini inceleyin.
4) Uç noktaların koordinatlarını belirleyin, kritik noktaların bu değeri için bu fonksiyona yazın. Yeterli ekstremum koşulları kullanarak, uygun sonuçlar çıkarın.

Örnek 18. y=x 3 -9x 2 +24x fonksiyonunu inceleyin

Çözüm.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Türevi sıfıra eşitleyerek x 1 =2, x 2 =4 buluruz. Bu durumda türev her yerde tanımlanır; dolayısıyla bulunan iki nokta dışında başka kritik nokta yoktur.
3) y "=3(x-2)(x-4) türevinin işareti Şekil 1'deki gibi aralığa bağlı olarak değişir. x=2 noktasından geçerken türev artıdan eksiye işaret değiştirir, ve x=4 noktasından geçerken - eksiden artıya.
4) x=2 noktasında, fonksiyonun maksimum değeri y max =20 ve x=4 noktasında minimum y min =16'dır.

Teorem 3. (Bir ekstremumun varlığı için 2. yeterli koşul).

x 0 noktasında f "(x 0) ve f "" (x 0) bulunsun. O zaman f "" (x 0)> 0 ise, o zaman x 0 minimum noktadır ve f "" (x 0) ise )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Segmentte, y \u003d f (x) işlevi, (a; b) aralığında yer alan işlevin kritik noktalarında veya uçlarda en küçük (en az) veya en büyük (en fazla) değere ulaşabilir. segmentin.

Segmentte sürekli bir y=f(x) fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulma algoritması :

1) f "(x)'i bulun.
2) f "(x) = 0 veya f" (x) -'in bulunmadığı noktaları bulun ve bunlardan segmentin içinde kalanları seçin.
3) y \u003d f (x) fonksiyonunun 2. paragrafta elde edilen noktalarda ve ayrıca segmentin uçlarında değerini hesaplayın ve bunların en büyüğünü ve en küçüğünü seçin: bunlar sırasıyla en büyüğüdür ( segment üzerindeki en büyük) ve en küçük (en küçük için) fonksiyon değerleri .

Örnek 19. Doğru parçasındaki y=x 3 -3x 2 -45+225 sürekli fonksiyonunun en büyük değerini bulun.

1) Segmentte y "=3x 2 -6x-45 var
2) y" türevi tüm x'ler için mevcuttur. y"=0 olduğu noktaları bulalım; alırız:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Fonksiyonun değerini x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 noktalarında hesaplayınız.
Sadece x=5 noktası doğru parçaya aittir. Fonksiyonun bulunan değerlerinin en büyüğü 225, en küçüğü ise 50 sayısıdır. Yani max=225'te max=50'de.

Dışbükeylik üzerine bir fonksiyonun incelenmesi

Şekil, iki fonksiyonun grafiklerini göstermektedir. Bunlardan ilki bir çıkıntı ile, ikincisi - bir çıkıntı ile döndürülür.

y=f(x) fonksiyonu segment üzerinde süreklidir ve (a;b) aralığında türevlenebilir, axb için grafiği teğetten daha yüksek (daha düşük değil) ise, bu segmentte yukarı (aşağı) dışbükey olarak adlandırılır. herhangi bir M 0 noktasında çizilir (x 0 ;f(x 0)) burada axb.

Teorem 4. y=f(x) fonksiyonunun parçanın herhangi bir x iç noktasında ikinci bir türevi olsun ve bu parçanın uçlarında sürekli olsun. O zaman f""(x)0 eşitsizliği (a;b) aralığında sağlanıyorsa, fonksiyon doğru parça üzerinde aşağı doğru dışbükeydir; f""(x)0 eşitsizliği (а;b) aralığında sağlanıyorsa, fonksiyon üzerinde yukarı doğru dışbükeydir.

Teorem 5. Eğer y=f(x) fonksiyonunun (a;b) aralığında ikinci bir türevi varsa ve x 0 noktasından geçerken işaret değiştiriyorsa M(x 0 ;f(x 0)) bir dönüm noktası.

Bükülme noktalarını bulma kuralı:

1) f""(x)'in olmadığı veya yok olduğu noktaları bulun.
2) Birinci adımda bulunan her noktanın solunda ve sağında f""(x) işaretini inceleyin.
3) Teorem 4'e dayanarak bir sonuç çıkarın.

Örnek 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 fonksiyon grafiğinin uç noktalarını ve bükülme noktalarını bulun.

Elimizde f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 var. Açıkçası, x 1 =0, x 2 =1 için f"(x)=0. Türev, x=0 noktasından geçerken işareti eksiden artıya değiştirir ve x=1 noktasından geçerken işaret değiştirmez. Bu, x=0'ın minimum nokta olduğu (y min =12) ve x=1 noktasında ekstremum olmadığı anlamına gelir. Sonra, buluruz . İkinci türev x 1 = 1, x 2 = 1/3 noktalarında sıfır olur. İkinci türevin işaretleri şu şekilde değişir: (-∞;) ışınında f""(x)>0, (;1) aralığında f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Bu nedenle, x= fonksiyon grafiğinin bükülme noktasıdır (dışbükeylikten dışbükeyliğe geçiş) ve x=1 aynı zamanda bir bükülme noktasıdır (dışbükeylikten aşağı dışbükeyliğe geçiş). x= ise y= ; eğer, o zaman x=1, y=13.

Bir grafiğin asimptotunu bulmak için bir algoritma

I. Eğer y=f(x) x → a olarak ise, o zaman x=a dikey bir asimptottur.
II. x → ∞ veya x → -∞ olarak y=f(x) ise, y=A yatay asimptottur.
III. Eğik asimptotu bulmak için aşağıdaki algoritmayı kullanırız:
1) Hesaplayın. Limit varsa ve b'ye eşitse, o zaman y=b yatay asimptottur; ise, ikinci adıma geçin.
2) Hesaplayın. Bu sınır yoksa, o zaman asimptot yoktur; varsa ve k'ye eşitse, üçüncü adıma geçin.
3) Hesaplayın. Bu sınır yoksa, o zaman asimptot yoktur; varsa ve b'ye eşitse, dördüncü adıma geçin.
4) Eğik asimptot y=kx+b'nin denklemini yazın.

Örnek 21: Bir fonksiyon için asimptot bulun

1)
2)
3)
4) Eğik asimptot denklemi şu şekildedir:

Fonksiyon çalışmasının şeması ve grafiğinin yapımı

I. Fonksiyonun etki alanını bulun.
II. Fonksiyon grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun.
III. Asimptotları bulun.
IV. Olası ekstremum noktalarını bulun.
V. Kritik noktaları bulun.
VI. Yardımcı çizimi kullanarak birinci ve ikinci türevlerin işaretlerini araştırınız. Fonksiyonun artma ve azalma alanlarını belirleyin, grafiğin dışbükey yönünü, uç noktalarını ve bükülme noktalarını bulun.
VII. 1-6. paragraflarda yürütülen çalışmayı dikkate alarak bir grafik oluşturun.

Örnek 22: Yukarıdaki şemaya göre bir fonksiyon grafiği çizin

Çözüm.
I. Fonksiyonun alanı, x=1 hariç tüm gerçek sayıların kümesidir.
II. x 2 +1=0 denkleminin gerçek kökleri olmadığından, fonksiyonun grafiğinin Öküz ekseni ile kesişme noktaları yoktur, Oy eksenini (0; -1) noktasında keser.
III. Asimptotların varlığı sorusunu netleştirelim. Fonksiyonun x=1 süreksizlik noktası yakınındaki davranışını araştırıyoruz. x → -∞ için y → ∞, x → 1+ için y → +∞ olduğundan, x=1 doğrusu fonksiyonun grafiğinin dikey bir asimptotudur.
Eğer x → +∞(x → -∞), o zaman y → +∞(y → -∞); bu nedenle grafiğin yatay bir asimptotu yoktur. Ayrıca, limitlerin varlığından

x 2 -2x-1=0 denklemini çözerek olası bir ekstremumun iki noktasını elde ederiz:
x 1 =1-√2 ve x 2 =1+√2

V. Kritik noktaları bulmak için ikinci türevi hesaplıyoruz:

f""(x) kaybolmadığından kritik nokta yoktur.
VI. Birinci ve ikinci türevlerin işaretlerini araştırıyoruz. Dikkate alınması gereken olası uç noktalar: x 1 =1-√2 ve x 2 =1+√2, fonksiyonun varlık alanını aralıklara bölün (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) ve (1+√2;+∞).

Bu aralıkların her birinde, türev işaretini korur: birinci - artı, ikinci - eksi, üçüncü - artı. Birinci türevin işaret sırası şu şekilde yazılacaktır: +, -, +.
Fonksiyonun (-∞;1-√2) üzerinde arttığını, (1-√2;1+√2) üzerinde azaldığını ve (1+√2;+∞) üzerinde tekrar arttığını görüyoruz. Uç noktalar: x=1-√2'de maksimum, ayrıca x=1+√2'de f(1-√2)=2-2√2 minimum, ayrıca f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1) üzerinde grafik yukarı doğru dışbükeydir ve (1;+∞) - aşağı doğru.
VII Elde edilen değerlerin bir tablosunu yapalım.

VIII Elde edilen verilere dayanarak, fonksiyonun grafiğinin bir taslağını oluşturuyoruz.

Fonksiyonların incelenmesinde ve grafiklerinin oluşturulmasında referans noktaları karakteristik noktalardır - süreksizlik noktaları, ekstremum, bükülme, koordinat eksenleriyle kesişme noktaları. Diferansiyel hesap yardımıyla, fonksiyonlardaki değişimin karakteristik özelliklerini belirlemek mümkündür: artış ve azalma, maksimum ve minimum, grafiğin dışbükey ve içbükey yönü, asimptotların varlığı.

Asimptotlar ve uç noktaları bulduktan sonra fonksiyon grafiğinin bir taslağı çizilebilir (ve çizilmelidir) ve çalışma sırasında fonksiyon çalışmasının özet tablosunu doldurmak uygundur.

Genellikle, aşağıdaki işlev araştırması şeması kullanılır.

1.Bir fonksiyonun alanını, süreklilik aralıklarını ve kesme noktalarını bulun.

2.Fonksiyonu çift veya tek (grafiğin eksenel veya merkezi simetrisi) açısından inceleyin.

3.Asimptotları bulun (dikey, yatay veya eğik).

4.Fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını, uç noktalarını bulun ve araştırın.

5.Eğrinin dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını, bükülme noktalarını bulun.

6.Varsa, koordinat eksenleriyle eğrinin kesişme noktalarını bulun.

7.Çalışmanın özet tablosunu derleyin.

8.Yukarıdaki noktalara göre gerçekleştirilen fonksiyon çalışmasını dikkate alarak bir grafik oluşturun.

Örnek.İşlevi Keşfet

ve çizin.

7. Tüm karakteristik noktaları ve aralarındaki aralıkları gireceğimiz fonksiyon çalışmasının özet tablosunu yapalım. Fonksiyonun paritesi verildiğinde, aşağıdaki tabloyu elde ederiz: