Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri. Bir fonksiyonun en küçük değeri nasıl bulunur?

Fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, ele alınan aralıktaki ordinatın kabul edilen en büyük (en küçük) değeridir.

En büyüğünü bulmak için veya en küçük değer gerekli işlevler:

1. Verilen segmente hangi sabit noktaların dahil edildiğini kontrol edin.
2. 3. adımdaki segmentin uçlarındaki ve durağan noktalardaki fonksiyonun değerini hesaplayın
3. Elde edilen sonuçlar arasından en büyük veya en küçük değeri seçin.

Maksimum veya minimum noktaları bulmak için yapmanız gerekenler:

1. $f"(x)$ fonksiyonunun türevini bulun
2. $f"(x)=0$ denklemini çözerek durağan noktaları bulun
3. Bir fonksiyonun türevini çarpanlara ayırın.
4. Bir koordinat çizgisi çizin, üzerine durağan noktalar yerleştirin ve elde edilen aralıklarda 3. maddedeki gösterimi kullanarak türevin işaretlerini belirleyin.
5. Kurala göre maksimum veya minimum noktaları bulun: bir noktada türev işareti artıdan eksiye değiştirirse, bu maksimum nokta olacaktır (eksiden artıya ise, bu minimum nokta olacaktır). Uygulamada, aralıklarda okların görüntüsünü kullanmak uygundur: türevin pozitif olduğu aralıkta ok yukarı doğru çekilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Bazı temel fonksiyonların türev tablosu:

İşlev	Türev
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1))), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$çünkü^2x$	$-sin2x$
$günah^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Farklılaşmanın temel kuralları

1. Toplam ve farkın türevi, her terimin türevine eşittir

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ fonksiyonunun türevini bulun

Toplamın ve farkın türevi, her terimin türevine eşittir

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Bir ürünün türevi.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

$f(x)=4x∙cosx$ türevini bulun

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Bölümün türevi

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ türevini bulun

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, harici fonksiyonun türevi ile dahili fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

$y=2x-ln⁡(x+11)+4$ fonksiyonunun minimum noktasını bulun

1. Fonksiyonun ODZ'sini bulun: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ fonksiyonunun türevini bulun

3. Türevi sıfıra eşitleyerek durağan noktaları bulun

$(2x+21)/(x+11)=0$

Pay sıfırsa ve payda sıfır değilse bir kesir sıfırdır

$2x+21=0; x≠-11$

4. Bir koordinat doğrusu çizin, üzerine durağan noktalar yerleştirin ve elde edilen aralıklarda türevin işaretlerini belirleyin. Bunu yapmak için, aşırı sağ bölgeden herhangi bir sayıyı, örneğin sıfırı türevde yerine koyarız.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Minimum noktada türevin işareti eksiden artıya değişir, dolayısıyla $-10.5$ noktası minimum noktadır.

Cevap: $-10.5$

Bulmak en yüksek değer$[-5;1]$ aralığında $y=6x^5-90x^3-5$ işlevleri

1. $y'=30x^4-270x^2$ fonksiyonunun türevini bulun

2. Türevi sıfıra eşitleyin ve durağan noktaları bulun

$30x^4-270x^2=0$

$30x^2$ ortak çarpanını parantezden çıkaralım

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Her faktörü sıfıra eşitle

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Belirli $[-5;1]$ segmentine ait durağan noktaları seçin

$x=0$ ve $x=-3$ sabit noktaları bizim için uygundur

4. Segmentin uçlarındaki ve 3. maddedeki durağan noktalardaki fonksiyonun değerini hesaplayın.

Genellikle fizik ve matematikte bir fonksiyonun en küçük değerini bulmak gerekir. Bunu nasıl yapacağımızı şimdi anlatacağız.

Bir fonksiyonun en küçük değeri nasıl bulunur: talimat

1. Belirli bir aralıktaki sürekli bir fonksiyonun en küçük değerini hesaplamak için şu algoritmayı izlemeniz gerekir:
2. Bir fonksiyonun türevini bulun.
3. Belirli bir segmentte türevin sıfıra eşit olduğu noktaları ve tüm kritik noktaları bulun. Daha sonra fonksiyonun bu noktalardaki değerlerini bulun, yani x'in sıfıra eşit olduğu denklemi çözün. Değerlerden hangisinin en küçük olduğunu bulun.
4. Fonksiyonun uç noktalarda hangi değere sahip olduğunu bulun. Bu noktalarda fonksiyonun en küçük değerini belirleyiniz.
5. Alınan verileri en küçük değerle karşılaştırın. Alınan sayıların küçük olanı, işlevin en küçük değeri olacaktır.

Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en küçük noktaları olmaması durumunda, bu segment üzerinde arttığı veya azaldığı anlamına gelir. Bu nedenle, fonksiyonun sonlu segmentleri üzerinde en küçük değer hesaplanmalıdır.

Diğer tüm durumlarda, fonksiyonun değeri belirtilen algoritmaya göre hesaplanır. Algoritmanın her adımında, basit bir sorunu çözmeniz gerekecek. Doğrusal Denklem bir kök ile. Hatalardan kaçınmak için çizimi kullanarak denklemi çözün.

Yarı açık bir segmentte bir fonksiyonun en küçük değeri nasıl bulunur? Yarı açık veya açık dönem fonksiyonu için en küçük değer aşağıdaki gibi bulunmalıdır. Fonksiyon değerinin bitiş noktalarında, fonksiyonun tek taraflı limitini hesaplayın. Başka bir deyişle, eğilim noktalarının a+0 ve b+0 değeriyle verildiği, a ve b'nin kritik noktaların adları olduğu bir denklemi çözün.

Artık bir fonksiyonun en küçük değerini nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Ana şey, tüm hesaplamaları doğru, doğru ve hatasız yapmaktır.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma süreci, bir helikopterde bir nesnenin (bir fonksiyonun grafiği) etrafında, belirli noktalarda uzun menzilli bir toptan ateşlenen ve aralarından seçim yapılan büyüleyici bir uçuşu anımsatır. bu noktalar için çok özel noktalar kontrol çekimleri. Puanlar belirli bir şekilde ve belirli kurallara göre seçilir. Hangi kurallara göre? Bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

eğer işlev y = F(X) segmentte sürekli [ A, B] , ardından bu segmente ulaşır en az Ve en yüksek değerler . Bu ya olabilir uç noktalar veya segmentin sonunda. Bu nedenle, bulmak en az Ve fonksiyonun en büyük değerleri , segmentte sürekli [ A, B] , tüm değerlerini hesaplamanız gerekir kritik noktalar ve segmentin uçlarında ve ardından bunların en küçüğünü ve en büyüğünü seçin.

Örneğin, fonksiyonun maksimum değerini belirlemek istensin. F(X) kesimde [ A, B] . Bunu yapmak için, üzerinde yatan tüm kritik noktalarını bulun [ A, B] .

kritik nokta bulunduğu nokta denir fonksiyon tanımlı, ve onun türev ya sıfırdır ya da yoktur. Daha sonra fonksiyonun kritik noktalardaki değerlerini hesaplamalısınız. Ve son olarak, fonksiyonun değeri şu şekilde karşılaştırılmalıdır: kritik noktalar ve segmentin sonunda ( F(A) Ve F(B)). Bu sayıların en büyüğü aralıktaki fonksiyonun en büyük değeri [A, B] .

bulma sorunu fonksiyonun en küçük değerleri .

Birlikte fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini arıyoruz

Örnek 1. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte [-1, 2] .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini buluyoruz. Türevi sıfıra () eşitleyin ve iki kritik nokta elde edin: ve . Belirli bir segmentte bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için segmentin uçlarındaki ve noktadaki değerlerini hesaplamak yeterlidir çünkü nokta [-1, 2] . Bu fonksiyon değerleri şunlardır: , , . Bunu takip eder en küçük fonksiyon değeri(aşağıdaki grafikte kırmızı ile işaretlenmiştir), -7'ye eşit, segmentin sağ ucunda - noktasında ulaşılır ve En büyük(ayrıca grafikte kırmızı), kritik noktada 9'a eşittir.

Fonksiyon belirli bir aralıkta sürekli ise ve bu aralık bir parça değilse (ancak, örneğin bir aralık ise; bir aralık ile bir parça arasındaki fark: aralığın sınır noktaları aralığa dahil edilmez, ancak segmentin sınır noktaları segmente dahil edilir), o zaman fonksiyonun değerleri arasında en küçük ve en büyük olmayabilir. Yani, örneğin aşağıdaki şekilde gösterilen fonksiyon ]-∞, +∞[ üzerinde süreklidir ve en büyük değere sahip değildir.

Bununla birlikte, herhangi bir aralık için (kapalı, açık veya sonsuz), sürekli fonksiyonların aşağıdaki özelliği geçerlidir.

Örnek 4. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte [-1, 3] .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini bölümün türevi olarak buluyoruz:

.

Türevi sıfıra eşitliyoruz, bu da bize bir kritik nokta veriyor: . [-1, 3] aralığına aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, segmentin uçlarındaki ve bulunan kritik noktadaki değerlerini buluruz:

Bu değerleri karşılaştıralım. Sonuç: noktada -5/13'e eşit ve en büyük değer noktasında 1'e eşittir.

Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini birlikte aramaya devam ediyoruz.

Bir işlevin en küçük ve en büyük değerlerini bulma konusunda öğrencilere az önce düşünülenlerden daha karmaşık örnekler vermeyen, yani işlevin bir polinom veya kesir, pay olan öğretmenler vardır. ve paydaları polinomlardır. Ancak kendimizi bu tür örneklerle sınırlamayacağız, çünkü öğretmenler arasında öğrencileri tam olarak düşündürmeyi sevenler var (türev tablosu). Bu nedenle logaritma ve trigonometrik fonksiyon kullanılacaktır.

Örnek 6. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini şu şekilde buluruz: ürünün türevi :

Türevi sıfıra eşitliyoruz, bu da bir kritik nokta veriyor: . Segmente aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, segmentin uçlarındaki ve bulunan kritik noktadaki değerlerini buluruz:

Tüm eylemlerin sonucu: fonksiyon minimum değerine ulaşır, 0'a eşit, bir noktada ve bir noktada ve en büyük değer eşittir e² noktasında .

Örnek 7. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini buluyoruz:

Türevi sıfıra eşitle:

Tek kritik nokta segmente aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, segmentin uçlarındaki ve bulunan kritik noktadaki değerlerini buluruz:

Çözüm: fonksiyon minimum değerine ulaşır, eşittir , noktasında ve en büyük değer, eşit , noktada .

Uygulamalı uç problemlerde, en küçük (en büyük) fonksiyon değerlerini bulmak, kural olarak minimum (maksimum) bulmaya indirgenir. Ancak, daha fazla pratik ilgi uyandıran minimum veya maksimumların kendileri değil, elde edildikleri argümanın değerleridir. Uygulamalı problemleri çözerken, ek bir zorluk ortaya çıkar - söz konusu olguyu veya süreci tanımlayan işlevlerin derlenmesi.

Örnek 8 4 kapasiteli, paralelyüz şeklinde, kare tabanlı ve üstü açık bir tank kalaylanmalıdır. Tankın en az malzeme ile kaplanabilmesi için boyutları ne olmalıdır?

Çözüm. İzin vermek X- taban tarafı H- depo yüksekliği, S- örtüsüz yüzey alanı, V- hacmi. Tankın yüzey alanı formülle ifade edilir , yani. iki değişkenli bir fonksiyondur. İfade etmek S bir değişkenin fonksiyonu olarak, , nereden olduğu gerçeğini kullanırız. Bulunan ifadeyi değiştirme H için formüle S:

Bu fonksiyonu bir ekstremum için inceleyelim. ]0, +∞[ ve her yerde tanımlanır ve türevlenebilir.

.

Türevi sıfıra () eşitliyoruz ve kritik noktayı buluyoruz. Ek olarak, , türevi yoktur, ancak bu değer tanım alanına dahil değildir ve bu nedenle bir uç nokta olamaz. Yani - tek kritik nokta. İkinci yeterli işaretini kullanarak bir ekstremumun varlığını kontrol edelim. İkinci türevi bulalım. İkinci türev sıfırdan büyük olduğunda (). Bunun anlamı, fonksiyon minimuma ulaştığında . Çünkü bu minimum - bu fonksiyonun tek uç noktası, en küçük değeridir. Bu nedenle, tankın tabanının kenarı 2 m'ye ve yüksekliğine eşit olmalıdır.

Örnek 9 Paragraftan A, demiryolu hattı üzerinde bulunan noktaya İLE, ondan uzakta ben, mallar taşınmalıdır. Bir ağırlık birimini demiryolu ile birim mesafeye taşımanın maliyeti , karayolu ile ise , eşittir . hangi noktaya Mçizgiler demiryolu malların taşınması için karayolu yapılmalıdır. A V İLE en ekonomik olanıydı AB demiryolunun düz olduğu varsayılır)?

Böyle bir matematiksel analiz nesnesinin bir fonksiyon olarak incelenmesi büyük önem taşımaktadır. Anlam ve bilimin diğer alanlarında. Örneğin, içinde ekonomik analiz davranışı sürekli değerlendirme ihtiyacı fonksiyonlar kar, yani maksimumunu belirlemek için Anlam ve bunu başarmak için bir strateji geliştirin.

Talimat

Herhangi bir davranışın incelenmesi her zaman bir tanım alanı arayışıyla başlamalıdır. Genellikle belirli bir problemin durumuna göre en büyük problemin belirlenmesi gerekir. Anlam fonksiyonlar ya bu alanın tamamında ya da açık veya kapalı sınırları olan belirli bir aralığında.

dayalı olarak, en büyüğü Anlam fonksiyonlar tanım alanının herhangi bir noktası için y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0) eşitsizliğinin sağlandığı y(x0). Grafik olarak, argümanın değerlerini apsis ekseni boyunca ve işlevin kendisini ordinat ekseni boyunca düzenlerseniz, bu nokta en yüksek olacaktır.

En büyüğünü belirlemek için Anlam fonksiyonlar, üç adımlı algoritmayı takip edin. Tek taraflı ve ile çalışabilmeniz ve türevi hesaplayabilmeniz gerektiğini unutmayın. Öyleyse, bir y(x) fonksiyonu verilsin ve en büyüğünü bulması gerekiyor. Anlam A ve B sınır değerlerine sahip bir aralıkta.

Bu aralığın kapsam dahilinde olup olmadığını öğrenin fonksiyonlar. Bunu yapmak için, tüm olası kısıtlamaları göz önünde bulundurarak bulmanız gerekir: ifadede bir kesrin varlığı, kare kök vesaire. Tanım alanı, işlevin mantıklı olduğu argüman değerleri kümesidir. Verilen aralığın onun bir alt kümesi olup olmadığını belirleyin. Evet ise, bir sonraki adıma geçin.

türevi bul fonksiyonlar ve elde edilen denklemi türevi sıfıra eşitleyerek çözün. Böylece sözde sabit noktaların değerlerini elde edeceksiniz. En az birinin A, B aralığına ait olup olmadığını değerlendirin.

Üçüncü aşamada bu noktaları göz önünde bulundurun, değerlerini fonksiyona yerleştirin. Aralık türüne bağlı olarak aşağıdaki ek adımları gerçekleştirin. [A, B] şeklinde bir parça varsa, sınır noktaları aralığa dahil edilir, bu parantez ile gösterilir. Değerleri Hesapla fonksiyonlar x = A ve x = B için. Açık aralık (A, B) ise, sınır değerleri delinir, yani. buna dahil değildir. x→A ve x→B için tek taraflı limitleri çözün. [A, B) veya (A, B) biçimindeki birleşik bir aralık, sınırlarından biri ona ait, diğeri değil. x delinmiş değere meylettiği için tek taraflı limiti bulun ve diğerini yerine koyun. Sonsuz iki taraflı aralık (-∞, +∞) veya şu şekildeki tek taraflı sonsuz aralıklar: , (-∞, B) A ve B gerçek limitleri için, daha önce açıklanan ilkelere göre ilerleyin ve sonsuz için , sırasıyla x→-∞ ve x→+∞ için limitleri arayın.

Bu aşamada görev

Fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

Bir fonksiyonun en büyük değerine en büyük, en küçük değere tüm değerlerinin en küçüğü denir.

Bir fonksiyon yalnızca bir en büyük ve yalnızca bir en küçük değere sahip olabilir veya hiç olmayabilir. Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini bulmak, bu fonksiyonların aşağıdaki özelliklerine dayanmaktadır:

1) Eğer bir aralıkta (sonlu veya sonsuz) y=f(x) fonksiyonu sürekli ise ve sadece bir ekstremuma sahipse ve bu maksimum (minimum) ise, o zaman fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri olacaktır. bu aralıkta.

2) f(x) fonksiyonu bir segment üzerinde sürekli ise, o zaman bu segment üzerinde mutlaka en büyük ve en küçük değerlere sahiptir. Bu değerlere ya segmentin içinde uzanan uç noktalarda ya da bu segmentin sınırlarında ulaşılır.

Segmentteki en büyük ve en küçük değerleri bulmak için aşağıdaki şemanın kullanılması önerilir:

1. Türevi bulun.

2. Fonksiyonun =0 veya olmadığı kritik noktalarını bulun.

3. Fonksiyonun segmentin kritik noktalarındaki ve uçlarındaki değerlerini bulun ve bunlardan en büyük f max ve en küçük f min'i seçin.

Uygulamalı problemleri, özellikle optimizasyon problemlerini çözerken, X aralığında bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini (global maksimum ve global minimum) bulma problemleri önemlidir.Bu tür problemleri çözmek için, duruma göre kişi gerekir. , bağımsız bir değişken seçin ve bu değişken aracılığıyla incelenen değeri ifade edin. Ardından, ortaya çıkan fonksiyonun istenen maksimum veya minimum değerini bulun. Bu durumda sonlu veya sonsuz olabilen bağımsız değişkenin değişim aralığı da problemin durumundan belirlenir.

Örnek. Dikdörtgen paralel yüzlü, tabanı kare, üstü açık olan tankın içi kalay ile kaplanmalıdır. 108 litre kapasiteli tankın boyutları ne olmalıdır? kalaylama maliyeti en az olacak şekilde su?

Çözüm. Belirli bir kapasite için yüzeyi minimumsa, tankı kalayla kaplamanın maliyeti en düşük olacaktır. Bir dm ile belirtin - tabanın yanı, b dm - tankın yüksekliği. O zaman yüzeyinin alanı S eşittir

VE

Ortaya çıkan ilişki, S tankının yüzey alanı (fonksiyon) ile tabanın tarafı a (argüman) arasındaki ilişkiyi kurar. Bir ekstremum için S fonksiyonunu araştırıyoruz. İlk türevi bulun, sıfıra eşitleyin ve elde edilen denklemi çözün:

Dolayısıyla a = 6. (a) > 0 için a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun arasında.

Çözüm: Belirtilen işlev tüm sayı ekseninde süreklidir. fonksiyon türevi

ve de türevi. Fonksiyonun şu noktalardaki değerlerini hesaplayalım:

.

Verilen aralığın sonundaki fonksiyon değerleri eşittir. Bu nedenle, fonksiyonun en büyük değeri , en küçük değeri ise .

Kendi kendine muayene için sorular

1. Formdaki belirsizliklerin açıklanması için L'Hopital kuralını formüle edin. L'Hospital kuralının kullanılabileceği farklı belirsizlik türlerini listeleyin.

2. Artan ve azalan fonksiyonun işaretlerini formüle edin.

3. Bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu tanımlayın.

4. Bir ekstremumun varlığı için gerekli koşulu formüle edin.

5. Argümanın hangi değerleri (hangi noktalar) kritik olarak adlandırılır? Bu noktalar nasıl bulunur?

6. Bir fonksiyonun ekstremumunun varlığının yeterli işaretleri nelerdir? Birinci türevi kullanarak bir ekstremum için bir fonksiyonu incelemek için bir şema çizin.

7. İkinci türevi kullanarak bir ekstremum fonksiyonunu incelemek için şemayı ana hatlarıyla belirtin.

8. Bir eğrinin dışbükeyliğini, içbükeyliğini tanımlar.

9. Bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktası nedir? Bu noktaların nasıl bulunacağını belirtin.

10. Belirli bir parça üzerinde eğrinin gerekli ve yeterli dışbükeylik ve içbükeylik işaretlerini formüle edin.

11. Eğrinin asimptotunu tanımlayın. Bir fonksiyon grafiğinin dikey, yatay ve eğik asimptotları nasıl bulunur?

12. Devlet genel şema grafiğinin işlevinin ve yapısının incelenmesi.

13. Belirli bir segmentte bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için bir kural formüle edin.