Bir denklem sisteminin X y çözümü. Doğrusal denklem sistemleri
Denklem sistemleri, ekonomik endüstride çeşitli süreçlerin matematiksel modellemesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, yönetim ve üretim planlama problemlerini çözerken, lojistik rotalar ( taşıma görevi) veya ekipman yerleşimi.
Denklem sistemleri sadece matematik alanında değil fizik, kimya ve biyolojide de popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerinin çözümünde kullanılmaktadır.
Bir doğrusal denklem sistemi, ortak bir çözüm bulmanın gerekli olduğu, birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklem için kullanılan bir terimdir. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya dizinin var olmadığını kanıtladığı böyle bir sayı dizisi.
Doğrusal Denklem
ax+by=c şeklindeki denklemlere lineer denir. X, y gösterimleri, değeri bulunması gereken bilinmeyenlerdir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Denklemi grafiğini çizerek çözmek, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgi gibi görünecektir.
Doğrusal denklem sistemlerinin türleri
En basitleri, X ve Y olmak üzere iki değişkenli lineer denklem sistemlerinin örnekleridir.
F1(x, y) = 0 ve F2(x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlardır ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.
Denklem sistemini çözme - sistemin gerçek bir eşitlik haline geldiği bu tür değerleri (x, y) bulmak veya x ve y'nin uygun değerlerinin olmadığını belirlemek anlamına gelir.
Nokta koordinatları olarak yazılan bir çift değere (x, y), doğrusal denklem sisteminin çözümü denir.
Sistemlerin tek ortak çözümü varsa veya çözümü yoksa bunlara eşdeğer denir.
Homojen doğrusal denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. "Eşittir" işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa böyle bir sistem homojen değildir.
Değişken sayısı ikiden çok olabilir, o zaman üç veya daha fazla değişkenli bir lineer denklem sistemi örneğinden bahsetmeliyiz.
Sistemlerle karşı karşıya kalan okul çocukları, denklem sayısının mutlaka bilinmeyenlerin sayısıyla çakışması gerektiğini varsayar, ancak bu böyle değildir. Sistemdeki denklem sayısı değişkenlere bağlı değildir, keyfi olarak çok sayıda olabilir.
Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler
Bu tür sistemleri çözmenin genel bir analitik yolu yoktur, tüm yöntemler sayısal çözümlere dayalıdır. Matematik okul dersi, permütasyon, cebirsel toplama, ikame gibi yöntemlerin yanı sıra grafik ve matris yöntemi, Gauss yöntemiyle çözüm gibi ayrıntılı olarak açıklar.
Çözme yöntemlerinin öğretilmesindeki ana görev, sistemin nasıl doğru bir şekilde analiz edileceğini ve her örnek için en uygun çözüm algoritmasının nasıl bulunacağını öğretmektir. Asıl mesele, her yöntem için bir kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi uygulama ilkelerini anlamaktır.
Programın 7. sınıfı doğrusal denklem sistemlerinin örneklerini çözme ortaokul oldukça basit ve ayrıntılı olarak açıklanmış. Matematikle ilgili herhangi bir ders kitabında bu bölüme yeterince dikkat edilir. Lineer denklem sistemleri örneklerinin Gauss ve Cramer yöntemiyle çözümü, yüksek öğretim kurumlarının ilk kurslarında daha ayrıntılı olarak incelenir.
Yerine koyma yöntemiyle sistemlerin çözümü
İkame yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikincisi aracılığıyla ifade etmeyi amaçlar. İfade, kalan denklemde ikame edilir, ardından tek değişkenli forma indirgenir. İşlem, sistemdeki bilinmeyen sayısına bağlı olarak tekrarlanır.
Yerine koyma yöntemiyle 7. sınıf lineer denklem sistemine bir örnek verelim:
Örnekten de görülebileceği gibi, x değişkeni F(X) = 7 + Y şeklinde ifade edilmiştir. Ortaya çıkan ifade, sistemin 2. denkleminde X yerine ikame edilerek 2. denklemde bir değişken Y elde edilmesine yardımcı olmuştur. . Çözüm bu örnek zorluk çıkarmaz ve Y değerini almanızı sağlar. Son adım bu, alınan değerlerin bir testidir.
Bir lineer denklem sistemi örneğini yerine koyma yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve değişkenin ikinci bilinmeyen cinsinden ifadesi, sonraki hesaplamalar için çok külfetli olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda, ikame çözümü de pratik değildir.
Bir lineer homojen olmayan denklem sistemi örneğinin çözümü:
Cebirsel toplama kullanarak çözüm
Toplama yöntemi ile sistemlere çözüm ararken terim terim toplama ve denklemlerin çarpılması çeşitli sayılar. Matematiksel işlemlerin nihai amacı, tek değişkenli bir denklemdir.
uygulamalar için Bu method uygulama ve gözlem gerektirir. Değişken sayısı 3 veya daha fazla olan bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek kolay değildir. Cebirsel toplama, denklemler kesirler ve ondalık sayılar içerdiğinde kullanışlıdır.
Çözüm eylem algoritması:
- Denklemin her iki tarafını da bir sayı ile çarp. Aritmetik işlem sonucunda değişkenin katsayılarından birinin 1 olması gerekir.
- Ortaya çıkan ifadeyi terim terim toplayın ve bilinmeyenlerden birini bulun.
- Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde yerine koyun.
Yeni bir değişken tanıtarak çözüm yöntemi
Sistemin ikiden fazla denklem için bir çözüm bulması gerekiyorsa yeni bir değişken tanıtılabilir, bilinmeyen sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.
Yöntem, yeni bir değişken getirerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem girilen bilinmeyene göre çözülür ve elde edilen değer orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.
Yeni bir t değişkeni ekleyerek, sistemin 1. denklemini standart bir kare üçlü terime indirgemenin mümkün olduğu örnekten görülebilir. Ayırımcıyı bularak bir polinomu çözebilirsiniz.
İyi bilinen formülü kullanarak ayırıcının değerini bulmak gerekir: D = b2 - 4*a*c, burada D istenen ayırıcıdır, b, a, c polinomun çarpanlarıdır. Verilen örnekte, a=1, b=16, c=39, dolayısıyla D=100. Ayırıcı sıfırdan büyükse iki çözüm vardır: t = -b±√D / 2*a, ayırıcı sıfırdan küçükse tek çözüm vardır: x= -b / 2*a.
Ortaya çıkan sistemlerin çözümü toplama yöntemi ile bulunur.
Sistemleri çözmek için görsel bir yöntem
3 denklemli sistemler için uygundur. Yöntem, sistemde yer alan her bir denklemin grafiklerinin koordinat ekseni üzerinde çizilmesinden oluşur. Eğrilerin kesişme noktalarının koordinatları sistemin genel çözümü olacaktır.
Grafik yöntemin bir dizi nüansı vardır. Doğrusal denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğini ele alalım.
Örnekten de görülebileceği gibi, her çizgi için iki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçildi: 0 ve 3. x değerlerine göre, y değerleri bulundu: 3 ve 0. Koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar grafik üzerinde işaretlendi ve bir çizgi ile bağlandı.
Adımlar ikinci denklem için tekrarlanmalıdır. Doğruların kesişme noktası sistemin çözümüdür.
Aşağıdaki örnekte 0.5x-y+2=0 ve 0.5x-y-1=0 doğrusal denklem sistemine grafiksel bir çözüm bulunması istenmektedir.
Örnekten de görülebileceği gibi, grafikler paralel olduğundan ve tüm uzunlukları boyunca kesişmediğinden sistemin çözümü yoktur.
Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir, ancak inşa edildiğinde çözümlerinin farklı olduğu aşikar hale gelir. Unutulmamalıdır ki sistemin bir çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir, her zaman bir grafik oluşturmak gerekir.
Matrix ve çeşitleri
Matrisler için kullanılır kısaltma lineer denklem sistemleri. Matris, sayılarla dolu özel bir tablo türüdür. n*m, n - satıra ve m - sütuna sahiptir.
Sütun ve satır sayısı eşit olduğunda bir matris karedir. Bir matris vektörü, sonsuz sayıda satır içeren tek sütunlu bir matristir. Köşegenlerden biri boyunca birimleri ve diğer sıfır elemanları olan bir matrise kimlik denir.
Ters bir matris, orijinal olanın bir birim bire dönüştüğü çarpıldığında, böyle bir matris yalnızca orijinal kare olan için var olan bir matristir.
Bir denklem sistemini matrise dönüştürmek için kurallar
Denklem sistemleri ile ilgili olarak, denklemlerin katsayıları ve serbest üyeleri matrisin numarası olarak yazılır, bir denklem matrisin bir satırıdır.
Satırın en az bir elemanı sıfıra eşit değilse, bir matris satırı sıfır olmayan olarak adlandırılır. Bu nedenle, denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklılık gösteriyorsa, eksik bilinmeyenin yerine sıfır girilmesi gerekir.
Matrisin sütunları kesinlikle değişkenlere karşılık gelmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna yazılabileceği anlamına gelir, örneğin birincisi, bilinmeyen y'nin katsayısı - yalnızca ikinci sütunda.
Bir matrisi çarparken, tüm matris elemanları art arda bir sayı ile çarpılır.
Ters matrisi bulma seçenekleri
Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / |K|, burada K -1 ters matristir ve |K| - matris determinantı. |K| sıfıra eşit olmamalıdır, o zaman sistemin bir çözümü vardır.
Determinant, ikiye-iki bir matris için kolayca hesaplanır, sadece elemanları birbirleriyle çapraz olarak çarpmak gerekir. "Üçe üç" seçeneği için |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formülü vardır. 3 + a 3 b 2 c 1 . Formülü kullanabilir veya elemanların sütun ve satır numaralarının çarpımda tekrar etmemesi için her satırdan ve her sütundan bir eleman almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz.
Doğrusal denklem sistemleri örneklerinin matris yöntemiyle çözümü
Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, çok sayıda değişken ve denklem içeren sistemleri çözerken hantal girdileri azaltmayı mümkün kılar.
Örnekte bir nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir vektördür x n değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.
Gauss yöntemi ile sistemlerin çözümü
Yüksek matematikte Gauss yöntemi Cramer yöntemiyle birlikte incelenir ve sistemlere çözüm bulma işlemine Gauss-Cramer çözme yöntemi denir. Bu yöntemler bulmak için kullanılır sistem değişkenleri birçok lineer denklem ile.
Gauss yöntemi, ikame ve cebirsel toplama çözümlerine çok benzer, ancak daha sistematiktir. Okul dersinde, 3 ve 4 denklemli sistemler için Gauss çözümü kullanılır. Yöntemin amacı, sistemi ters yamuk şekline getirmektir. Cebirsel dönüşümler ve ikamelerle, sistemin denklemlerinden birinde bir değişkenin değeri bulunur. İkinci denklem, sırasıyla 2 bilinmeyenli ve 3 ve 4 - 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.
Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, diğer çözüm, bilinen değişkenlerin sistem denklemlerinde ardışık olarak yer değiştirmesine indirgenir.
İÇİNDE okul ders kitapları 7. sınıf için Gauss yöntemiyle bir çözüm örneği şu şekilde açıklanmaktadır:
Örnekten de görülebileceği gibi, adım (3)'te 3x 3 -2x 4 =11 ve 3x 3 +2x 4 =7 olmak üzere iki denklem elde edilmiştir. Denklemlerden herhangi birinin çözümü, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.
Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilmesi durumunda ortaya çıkan sistemin de orijinal denkleme eşdeğer olacağını belirtmektedir.
Gauss yöntemini öğrencilerin anlaması zordur lise, ama en çok biridir ilginç yollar matematik ve fizik derslerinde ileri çalışma programına kayıtlı çocukların yaratıcılığını geliştirmek.
Hesaplamaları kaydetme kolaylığı için, aşağıdakileri yapmak gelenekseldir:
Denklem katsayıları ve serbest terimler, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden birine karşılık geldiği bir matris biçiminde yazılır. denklemin sol tarafını sağ taraftan ayırır. Romen rakamları, sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.
Önce çalışacakları matrisi, ardından satırlardan biriyle gerçekleştirilen tüm eylemleri yazarlar. Ortaya çıkan matris "ok" işaretinden sonra yazılır ve sonuç elde edilene kadar gerekli cebirsel işlemleri yapmaya devam eder.
Sonuç olarak, köşegenlerden birinin 1 olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu, yani matrisin tek bir forma indirgendiği bir matris elde edilmelidir. Denklemin her iki tarafındaki sayılarla hesaplama yapmayı unutmamalıyız.
Bu gösterim daha az zahmetlidir ve çok sayıda bilinmeyeni listeleyerek dikkatinizin dağılmamasını sağlar.
Herhangi bir çözüm yönteminin ücretsiz olarak uygulanması, özen ve belirli bir miktar deneyim gerektirecektir. Tüm yöntemler uygulanmaz. Çözüm bulmanın bazı yolları, belirli bir insan faaliyeti alanında daha çok tercih edilirken, diğerleri öğrenme amacıyla mevcuttur.
1. İkame yöntemi: sistemin herhangi bir denkleminden bir bilinmeyeni diğeri cinsinden ifade ederiz ve onu sistemin ikinci denkleminde yerine koyarız.
Görev. Denklem sistemini çözün:
Çözüm. Sistemin ilk denkleminden, ifade ediyoruz de başından sonuna kadar X ve sistemin ikinci denkleminde yerine koyun. Gelelim sisteme 
orijinaline eşdeğer.
Bu tür şartları getirdikten sonra, sistem şu şekli alacaktır:
İkinci denklemden şunu buluruz: . Bu değeri denklemde yerine koymak de = 2 - 2X, alırız de= 3. Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.
2. cebirsel toplama yöntemi: iki denklemi toplayarak tek değişkenli bir denklem elde edin.
Görev. Sistem denklemini çözün:
Çözüm.İkinci denklemin her iki tarafını da 2 ile çarparak, sistemi elde ederiz. 
orijinaline eşdeğer. Bu sistemin iki denklemini toplayarak sisteme varıyoruz. 
Benzer terimleri indirgedikten sonra, bu sistem şu şekli alacaktır: 
İkinci denklemden buluyoruz. Bu değeri Denklem 3'te yerine koymak X + 4de= 5, elde ederiz 
, Neresi . Bu nedenle, bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.
3. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi: sistemde yeni değişkenlerle göstereceğimiz, böylece sistemin biçimini basitleştireceğimiz bazı tekrarlanan ifadeler arıyoruz.
Görev. Denklem sistemini çözün:
Çözüm. Bu sistemi farklı şekilde yazalım: 
İzin vermek x + y = sen, hu = V. sonra sistemi alırız
Yerine koyma yöntemiyle çözelim. Sistemin ilk denkleminden, ifade ediyoruz sen başından sonuna kadar v ve sistemin ikinci denkleminde yerine koyun. Gelelim sisteme 
onlar. 
Bulduğumuz sistemin ikinci denkleminden v 1 = 2, v 2 = 3.
Bu değerleri denklemde yerine koymak sen = 5 - v, alırız sen 1 = 3,
sen 2 = 2. O halde iki sistemimiz var.
İlk sistemi çözerek iki çift sayı elde ederiz (1; 2), (2; 1). İkinci sistemin çözümü yoktur.
Bağımsız çalışma için alıştırmalar
1. Yerine koyma yöntemini kullanarak denklem sistemlerini çözün.
Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz. E-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Üçüncü şahıslara ifşa
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.
İstisnalar:
- Gerekli olması durumunda - yasaya, adli düzene uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarından gelen taleplere dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, yasa uygulama veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.
kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.
Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Talimat
Ekleme yöntemi.
Kesinlikle birbirinin altına iki tane yazmanız gerekir:
549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Rastgele seçilen (sistemden) bir denklemde, zaten bulunan "oyun" yerine 11 sayısını girin ve ikinci bilinmeyeni hesaplayın:
X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Bu denklem sisteminin cevabı: x=116, y=11.
Grafik yol.
Doğruların denklem sisteminde matematiksel olarak yazıldığı noktanın koordinatlarının pratik olarak bulunmasından oluşur. Aynı koordinat sisteminde her iki çizginin grafiğini ayrı ayrı çizmelisiniz. Genel görünüm: - y \u003d kx + b. Düz bir çizgi oluşturmak için iki noktanın koordinatlarını bulmak yeterlidir ve x keyfi olarak seçilir.
Sistem verilsin: 2x - y \u003d 4
Y \u003d -3x + 1.
İlkine göre düz bir çizgi inşa edilir, kolaylık olması için yazılması gerekir: y \u003d 2x-4. X için (daha kolay) değerler bulun, denklemde yerine koyun, çözün, y'yi bulun. Düz bir çizginin inşa edildiği iki nokta elde edilir. (resme bakın.)
x 0 1
y -4 -2
İkinci denkleme göre düz bir çizgi oluşturulur: y \u003d -3x + 1.
Ayrıca bir hat oluşturun. (resme bakın.)
1-5
Grafikte iki inşa edilmiş çizginin kesişme noktasının koordinatlarını bulun (çizgiler kesişmezse, o zaman denklem sistemi yoktur - yani).
İlgili videolar
Aynı denklem sistemi üç ile çözülürse Farklı yollar, cevap aynı olacaktır (çözüm doğruysa).
kaynaklar:
- Cebir 8. Sınıf
- iki bilinmeyenli bir denklemi çevrimiçi çözme
- İkili lineer denklem sistemlerini çözme örnekleri
sistem denklemler her biri belirli sayıda değişken içeren bir matematiksel kayıtlar koleksiyonudur. Onları çözmenin birkaç yolu var.
İhtiyacın olacak
- -Cetvel ve kalem;
- -hesap makinesi.
Talimat
Aşağıdaki forma sahip doğrusal denklemlerden oluşan sistemi çözme sırasını düşünün: a1x + b1y = c1 ve a2x + b2y = c2. Burada x ve y bilinmeyen değişkenler ve b,c serbest üyelerdir. Bu yöntemi uygularken, her sistem her denkleme karşılık gelen noktaların koordinatlarıdır. İlk olarak, her durumda, bir değişkeni diğeri cinsinden ifade edin. Ardından, x değişkenini istediğiniz sayıda değere ayarlayın. İki yeterli. Denklemi takın ve y'yi bulun. Bir koordinat sistemi oluşturun, üzerinde elde edilen noktaları işaretleyin ve içlerinden düz bir çizgi çizin. Sistemin diğer bölümleri için de benzer hesaplamalar yapılmalıdır.
sistem var tek karar, inşa edilen çizgiler kesişirse ve bir ortak nokta. Birbirlerine paralel olmaları tutarsızdır. Ve çizgiler birbiriyle birleştiğinde sonsuz sayıda çözümü vardır.
Bu yöntemin çok açık olduğu kabul edilir. Ana dezavantaj, hesaplanan bilinmeyenlerin yaklaşık değerlere sahip olmasıdır. Sözde cebirsel yöntemlerle daha doğru bir sonuç verilir.
Bir denklem sisteminin herhangi bir çözümü kontrol edilmeye değer. Bunu yapmak için değişkenler yerine elde edilen değerleri değiştirin. Çözümünü de birkaç şekilde bulabilirsiniz. Sistemin çözümü doğruysa herkes aynı sonuca varmalıdır.
Genellikle terimlerden birinin bilinmediği denklemler vardır. Bir denklemi çözmek için, bu sayıları hatırlamanız ve belirli bir dizi eylemi yapmanız gerekir.
İhtiyacın olacak
- - kağıt;
- - Kalem veya kurşun kalem.
Talimat
Önünüzde 8 tavşan olduğunu ve sadece 5 havuç olduğunu hayal edin. Her tavşanın bir havuç alması için daha fazla havuç almanız gerektiğini düşünün.
Bu problemi denklem şeklinde gösterelim: 5 + x = 8. x yerine 3 yazalım, gerçekten 5 + 3 = 8.
x'in yerine bir sayı koyduğunuzda, 8'den 5 çıkarmakla aynı işlemi yapıyordunuz. Bilinmeyen terim, bilinen terimi toplamdan çıkarın.
Diyelim ki 20 tavşanınız ve sadece 5 havucunuz var. Hadi beste yapalım. Denklem, yalnızca içinde bulunan harflerin belirli değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Değerlerini bulmak istediğiniz harfler çağrılır. Bir bilinmeyenli bir denklem yazın, buna x diyelim. Tavşanlarla ilgili problemimizi çözerken aşağıdaki denklem elde edilir: 5 + x = 20.
20 ile 5 arasındaki farkı bulalım. Çıkarma yapılırken çıkarıldığı sayı azalır. Çıkarılan sayıya denir ve nihai sonuca fark denir. Yani, x = 20 - 5; x = 15. Tavşan için 15 adet havuç almanız gerekiyor.
Kontrol edin: 5 + 15 = 20. Denklem doğrudur. Tabii ki, ne zaman Konuşuyoruz bu kadar basit olanlar hakkında bir kontrol yapmak gerekli değildir. Ancak üç basamaklı, dört basamaklı ve benzeri denklemler söz konusu olduğunda, çalışmanızın sonucundan kesinlikle emin olmak için mutlaka kontrol etmeniz gerekir.
İlgili videolar
Yararlı tavsiye
Bilinmeyen eksiyi bulmak için, çıkanı farka eklemeniz gerekir.
Bilinmeyen çıkanı bulmak için eksilen değerden farkı çıkarmak gerekir.
İpucu 4: Üç bilinmeyenli üç denklemli bir sistem nasıl çözülür?
Üç bilinmeyenli üç denklemli bir sistemin, yeterli sayıda denklem olmasına rağmen çözümü olmayabilir. Yerine koyma yöntemini veya Cramer yöntemini kullanarak çözmeyi deneyebilirsiniz. Cramer'in yöntemi, sistemi çözmenin yanı sıra, bilinmeyenlerin değerlerini bulmadan önce sistemin çözülebilir olup olmadığını değerlendirmeye olanak tanır.
Talimat
İkame yöntemi, sırayla bir bilinmeyenden iki diğerinden oluşur ve elde edilen sonucu sistemin denklemlerinde değiştirir. Üç denklemli bir sistem verilsin Genel görünüm:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Birinci denklemden x'i ifade edin: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun, ardından ikinci denklemden y'yi ifade edin ve üçüncü denklemde yerine koyun. Sistemin denklemlerinin katsayıları aracılığıyla z için doğrusal bir ifade elde edeceksiniz. Şimdi "geri" gidin: z'yi ikinci denkleme koyun ve y'yi bulun, sonra z ve y'yi birinci denkleme koyun ve x'i bulun. z bulunana kadar olan süreç genel olarak şekilde gösterilmiştir. Ayrıca, genel formdaki kayıt çok hantal olacaktır, pratikte ikame ederek üç bilinmeyeni de kolayca bulabilirsiniz.
Cramer'in yöntemi, sistemin matrisinin derlenmesinden ve bu matrisin determinantının yanı sıra üç yardımcı matrisin daha hesaplanmasından oluşur. Sistemin matrisi, denklemlerin bilinmeyen terimlerindeki katsayılardan oluşur. Denklemlerin sağ tarafındaki sayıları içeren sütun, sağ taraftaki sütun. Sistemde kullanılmaz, ancak sistem çözülürken kullanılır.
İlgili videolar
Not
Sistemdeki tüm denklemler, diğer denklemlerden bağımsız olarak ek bilgi sağlamalıdır. Aksi takdirde sistem eksik belirlenecek ve kesin bir çözüm bulmak mümkün olmayacaktır.
Yararlı tavsiye
Denklem sistemini çözdükten sonra, bulunan değerleri orijinal sisteme yerleştirin ve tüm denklemleri sağlayıp sağlamadıklarını kontrol edin.
Kendi kendine denklemüç ile Bilinmeyen birçok çözümü vardır, bu nedenle çoğu zaman iki denklem veya koşulla desteklenir. İlk verilerin ne olduğuna bağlı olarak, kararın seyri büyük ölçüde bağlı olacaktır.
İhtiyacın olacak
- - üç bilinmeyenli üç denklem sistemi.
Talimat
Üç sistemden ikisinde üç bilinmeyenden yalnızca ikisi varsa, bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmeyi ve bunları denklemüç ile Bilinmeyen. Bununla amacınız, onu normal hale getirmektir. denklem bilinmeyenle. Bu ise, diğer çözüm oldukça basittir - bulunan değeri diğer denklemlerle değiştirin ve diğer tüm bilinmeyenleri bulun.
Bazı denklem sistemleri bir denklemden diğeriyle çıkarılabilir. Birini veya bir değişkeni çarpmanın mümkün olup olmadığına bakın, böylece iki bilinmeyen aynı anda azaltılır. Böyle bir fırsat varsa, onu kullanın, büyük olasılıkla sonraki karar zor olmayacaktır. Bir sayı ile çarparken hem sol tarafı hem de sağ tarafı çarpmanız gerektiğini unutmayın. Benzer şekilde, denklemleri çıkarırken, sağ tarafın da çıkarılması gerektiğini unutmayın.
Eğer önceki yollar yardımcı olmadı, herhangi bir denklemi üç ile çözmek için genel yöntemi kullanın Bilinmeyen. Bunu yapmak için denklemleri a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 biçiminde yeniden yazın. Şimdi x'teki katsayılardan oluşan bir matris (A), bir bilinmeyenler matrisi (X) ve bir serbest olanlar matrisi (B) yapın. Dikkat edin, katsayılar matrisini bilinmeyenler matrisiyle çarparak, bir matris, bir serbest üyeler matrisi, yani A * X \u003d B elde edeceksiniz.
A üzeri matrisi (-1) bulduktan sonra sıfıra eşit olmaması gerektiğine dikkat edin. Bundan sonra, elde edilen matrisi B matrisiyle çarpın, sonuç olarak tüm değerleri gösteren istenen X matrisini elde edeceksiniz.
Cramer yöntemini kullanarak üç denklemli bir sistemin çözümünü de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için, sistemin matrisine karşılık gelen üçüncü dereceden determinantı ∆ bulun. Ardından, karşılık gelen sütunların değerleri yerine serbest terimlerin değerlerini değiştirerek art arda üç belirleyici ∆1, ∆2 ve ∆3 bulun. Şimdi x'i bulun: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
kaynaklar:
- üç bilinmeyenli denklemlerin çözümleri
Bir denklem sistemini çözmeye başlayarak, bu denklemlerin ne olduğunu bulun. Doğrusal denklemleri çözme yöntemleri iyi çalışılmıştır. Doğrusal olmayan denklemler çoğunlukla çözülmez. Her biri pratik olarak bireysel olan yalnızca bir özel durum vardır. Bu nedenle, çözüm yöntemlerinin incelenmesi doğrusal denklemlerle başlamalıdır. Bu tür denklemler tamamen algoritmik olarak bile çözülebilir.
bulunan bilinmeyenlerin paydaları tamamen aynıdır. Evet ve paylar, yapılarının bazı kalıplarını görebilir. Denklem sisteminin boyutu ikiden büyük olsaydı, yok etme yöntemi çok hantal hesaplamalara yol açardı. Onlardan kaçınmak için tamamen algoritmik çözümler geliştirilmiştir. Bunların en basiti Cramer'in algoritmasıdır (Cramer'in formülleri). çünkü bilmelisin genel sistem n denklemden denklemler.
n bilinmeyenli n doğrusal cebirsel denklem sistemi şu şekildedir (bkz. Şekil 1a). Burada aij sistemin katsayılarıdır,
хj – bilinmeyenler, bi – serbest üyeler (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Böyle bir sistem kompakt bir şekilde AX=B matris formunda yazılabilir. Burada A, sistemin katsayı matrisidir, X, bilinmeyenlerin sütun matrisidir, B, serbest terimlerin sütun matrisidir (bkz. Şekil 1b). Cramer'in yöntemine göre her bilinmeyen xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Katsayılar matrisinin determinantı ∆ ana determinant, ∆i ise yardımcı olarak adlandırılır. Her bilinmeyen için, ana determinantın i'inci sütunu bir serbest terim sütunu ile değiştirilerek bir yardımcı determinant bulunur. İkinci ve üçüncü dereceden sistemler için Cramer'in yöntemi, Şekil 1'de ayrıntılı olarak sunulmaktadır. 2.
Bir sistem, her biri iki veya daha fazla bilinmeyene sahip iki veya daha fazla eşitliğin birleşimidir. Çerçevede kullanılan doğrusal denklem sistemlerini çözmenin iki ana yolu vardır. Okul müfredatı. Bunlardan biri yöntem, diğeri ise toplama yöntemi olarak adlandırılır.
İki denklem sisteminin standart formu
-de standart biçim birinci denklem a1*x+b1*y=c1'dir, ikinci denklem a2*x+b2*y=c2'dir, vb. Örneğin, sistemin iki parçası olması durumunda her ikisinde de verilen a1, a2, b1, b2, c1, c2 bazı sayısal katsayılar belirli denklemlerde sunulur. Buna karşılık, x ve y değerlerinin belirlenmesi gereken bilinmeyenlerdir. İstenen değerler, her iki denklemi aynı anda gerçek eşitliklere dönüştürür.Toplama yöntemiyle sistemin çözümü
Sistemi çözmek, yani x ve y'nin onları gerçek eşitliklere dönüştürecek değerlerini bulmak için birkaç basit adım atmanız gerekir. Bunlardan ilki, denklemlerden herhangi birini, her iki denklemdeki x veya y değişkeninin sayısal katsayıları mutlak değerde çakışacak, ancak işaret olarak farklı olacak şekilde dönüştürmektir.Örneğin iki denklemden oluşan bir sistem verilsin. Birincisi 2x+4y=8, ikincisi 6x+2y=6 şeklindedir. Görevi tamamlamak için seçeneklerden biri, ikinci denklemi -12x-4y=-12 biçimine götürecek olan -2 çarpanı ile çarpmaktır. Katsayının doğru seçimi, bilinmeyenleri bulma prosedürünün tüm ilerleyişini belirlediği için, sistemi toplama yöntemiyle çözme sürecindeki temel görevlerden biridir.
Şimdi sistemin iki denklemini eklemek gerekiyor. Açıkça, eşit değerde ancak zıt işaret katsayılarına sahip değişkenlerin karşılıklı olarak yok edilmesi onu -10x=-4 biçimine götürecektir. Bundan sonra, x=0.4'ü açık bir şekilde takip eden bu basit denklemi çözmek gerekir.
Çözüm sürecindeki son adım, değişkenlerden birinin bulunan değerinin sistemdeki mevcut başlangıç eşitliklerinden herhangi birine ikame edilmesidir. Örneğin, ilk denklemde x=0,4'ü değiştirerek 2*0,4+4y=8 ifadesini elde edebilirsiniz, buradan y=1,8 olur. Böylece x=0.4 ve y=1.8 örnekte gösterilen sistemin kökleridir.
Köklerin doğru bulunduğundan emin olmak için bulunan değerleri sistemin ikinci denkleminde yerine koyarak kontrol etmekte fayda var. Örneğin, içinde bu durum 0.4*6+1.8*2=6 şeklinde bir eşitlik elde edilir ki bu doğrudur.
İlgili videolar
İki tür denklem çözme sistemini analiz edeceğiz:
1. Sistemin ikame yöntemiyle çözümü.
2. Sistemin denklemlerinin terim terim toplanması (çıkarılması) ile sistemin çözümü.
Denklem sistemini çözmek için ikame yöntemi basit bir algoritma izlemeniz gerekir:
1. İfade ederiz. Herhangi bir denklemden bir değişken ifade ediyoruz.
2. İkame. Başka bir denklemde, ifade edilen değişkenin yerine sonuçtaki değeri koyarız.
3. Ortaya çıkan denklemi bir değişkenle çözüyoruz. Sisteme bir çözüm buluyoruz.
Çözmek için terim terim toplama (çıkarma) ile sistem gerek:
1. Aynı katsayıları yapacağımız bir değişken seçin.
2. Denklemleri toplar veya çıkarırız, sonuç olarak tek değişkenli bir denklem elde ederiz.
3. Ortaya çıkan lineer denklemi çözüyoruz. Sisteme bir çözüm buluyoruz.
Sistemin çözümü, fonksiyonun grafiklerinin kesişme noktalarıdır.
Örnekler kullanarak sistemlerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alalım.
Örnek 1:
Yerine koyma yöntemiyle çözelim
Denklem sistemini ikame yöntemiyle çözme2x+5y=1 (1 denklem)
x-10y=3 (2. denklem)
1. Ekspres
Görüldüğü gibi ikinci denklemde katsayısı 1 olan bir x değişkeni vardır, dolayısıyla x değişkenini ikinci denklemden ifade etmenin en kolay yol olduğu ortaya çıkmaktadır.
x=3+10y
2. İfade ettikten sonra birinci denklemde x değişkeni yerine 3 + 10y yazıyoruz.
2(3+10y)+5y=1
3. Ortaya çıkan denklemi bir değişkenle çözüyoruz.
2(3+10y)+5y=1 (açık parantez)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
Denklem sisteminin çözümü grafiklerin kesişme noktalarıdır bu nedenle x ve y'yi bulmamız gerekiyor çünkü kesişme noktası x ve y'den oluşuyor x'i bulalım ilk paragrafta ifade ettiğimiz yerde y yerine y koyuyoruz.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
İlk etapta noktaları yazmak adettendir, x değişkenini ve ikinci olarak y değişkenini yazarız.
Cevap: (1; -0.2)
Örnek 2:
Terim terim toplama (çıkarma) ile çözelim.
Bir denklem sistemini toplama yöntemiyle çözme3x-2y=1 (1 denklem)
2x-3y=-10 (2. denklem)
1. Bir değişken seçin, x'i seçtiğimizi varsayalım. İlk denklemde x değişkeninin katsayısı 3, ikincisinde - 2'dir. Katsayıları aynı yapmamız gerekiyor, bunun için denklemleri çarpma veya herhangi bir sayı ile bölme hakkımız var. İlk denklemi 2, ikinciyi 3 ile çarparız ve toplam 6 katsayı elde ederiz.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. x değişkeninden kurtulmak için ilk denklemden ikinciyi çıkarın.Doğrusal denklemi çözün.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. x'i bulun. Bulunan y'yi herhangi bir denklemde, diyelim ki ilk denklemde yerine koyarız.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12.8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6
Kesişim noktası x=4.6 olacaktır; y=6.4
Cevap: (4.6; 6.4)
Sınavlara ücretsiz hazırlanmak ister misiniz? çevrimiçi öğretmen ücretsiz. Şaka yapmıyorum.
