İkinci dereceden denklemin anlamı. İkinci dereceden denklemlerin çözümü, kök formülü, örnekler

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formüller. Gerçek, çoklu ve karmaşık kök durumları ele alınır. Bir kare üç terimlinin çarpanlara ayrılması. Geometrik yorum. Kök belirleme ve çarpanlarına ayırma örnekleri.

Temel Formüller

İkinci dereceden denklemi düşünün:
(1) .
İkinci dereceden bir denklemin kökleri(1) aşağıdaki formüllerle belirlenir:
; .
Bu formüller şu şekilde birleştirilebilir:
.
İkinci dereceden denklemin kökleri bilindiğinde, ikinci dereceden polinom, faktörlerin bir ürünü (faktörlere ayrılmış) olarak temsil edilebilir:
.

Ayrıca, bunların gerçek sayılar olduğunu varsayıyoruz.
Dikkate almak ikinci dereceden bir denklemin ayırt edicisi:
.
Ayırıcı pozitifse, ikinci dereceden denklemin (1) iki farklı gerçek kökü vardır:
; .
O zaman kare üçlü terimlinin çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.
Ayırıcı sıfır ise, ikinci dereceden denklemin (1) iki çoklu (eşit) gerçek kökü vardır:
.
çarpanlara ayırma:
.
Ayırıcı negatifse, ikinci dereceden denklemin (1) iki karmaşık eşlenik kökü vardır:
;
.
İşte sanal birim, ;
ve köklerin gerçek ve hayali kısımlarıdır:
; .
Daha sonra

.

Grafik yorumlama

eğer inşa fonksiyon grafiği
,
ki bu bir parabol, o zaman grafiğin eksenle kesişme noktaları denklemin kökleri olacaktır.
.
olduğunda, grafik apsis eksenini (eksen) iki noktada keser.
olduğunda, grafik bir noktada x eksenine dokunur.
olduğunda, grafik x eksenini geçmez.

Aşağıda bu tür grafiklerin örnekleri verilmiştir.

İkinci Dereceden Denklemle İlgili Yararlı Formüller

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

Dönüşümler gerçekleştiriyoruz ve (f.1) ve (f.3) formüllerini uyguluyoruz:




,
Nerede
; .

Böylece, ikinci derecenin polinomunun formülünü şu şekilde elde ettik:
.
Buradan, denklemin olduğu görülebilir.

gerçekleştirilen
Ve .
Yani, ve ikinci dereceden denklemin kökleridir
.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini belirleme örnekleri

örnek 1

(1.1) .

Çözüm

.
Denklemimiz (1.1) ile karşılaştırarak, katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Ayrımcıyı bulmak:
.
Diskriminant pozitif olduğundan, denklemin iki gerçek kökü vardır:
;
;
.

Buradan kare üçlü terimlinin faktörlere ayrışmasını elde ederiz:

.

y = fonksiyonunun grafiği 2x2+7x+3 x eksenini iki noktada keser.

Fonksiyonu çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. x eksenini (eksen) iki noktada keser:
Ve .
Bu noktalar orijinal denklemin (1.1) kökleridir.

Cevap

;
;
.

Örnek 2

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(2.1) .

Çözüm

İkinci dereceden denklemi yazıyoruz Genel görünüm:
.
Orijinal denklem (2.1) ile karşılaştırıldığında, katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Ayrımcıyı bulmak:
.
Diskriminant sıfır olduğundan, denklemin iki çoklu (eşit) kökü vardır:
;
.

O zaman üç terimlinin çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.

y = x fonksiyonunun grafiği 2 - 4 x + 4 x eksenine bir noktada dokunur.

Fonksiyonu çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Bir noktada x eksenine (eksen) dokunur:
.
Bu nokta orijinal denklemin (2.1) köküdür. Bu kök iki kez çarpanlara ayrıldığından:
,
o zaman böyle bir köke kat denir. Yani, iki eşit kök olduğunu düşünürler:
.

Cevap

;
.

Örnek 3

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(3.1) .

Çözüm

İkinci dereceden denklemi genel biçimde yazıyoruz:
(1) .
Orijinal denklemi (3.1) yeniden yazalım:
.
(1) ile karşılaştırarak, katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Ayrımcıyı bulmak:
.
Ayrımcı negatif, . Bu nedenle, gerçek kökler yoktur.

Karmaşık kökleri bulabilirsiniz:
;
;
.

Daha sonra


.

Fonksiyonun grafiği x eksenini kesmiyor. Gerçek kökleri yoktur.

Fonksiyonu çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Apsisi (ekseni) geçmez. Bu nedenle, gerçek kökler yoktur.

Cevap

Gerçek kökleri yoktur. Karmaşık kökler:
;
;
.

Video dersi 2: İkinci dereceden denklemleri çözme

Ders: ikinci dereceden denklemler

Denklem

Denklem- bu, ifadelerinde değişken olan bir tür eşitliktir.

denklemi çözün- onu doğru eşitliğe götürecek bir değişken yerine böyle bir sayı bulmak demektir.

Bir denklemin bir veya birkaç çözümü olabilir veya hiç olmayabilir.

Herhangi bir denklemi çözmek için, forma mümkün olduğunca basitleştirilmelidir:

Doğrusal: a*x = b;

Kare: a*x 2 + b*x + c = 0.

Yani, çözmeden önce herhangi bir denklem standart bir forma dönüştürülmelidir.

Herhangi bir denklem iki şekilde çözülebilir: analitik ve grafiksel.

Grafikte, denklemin çözümü, grafiğin x eksenini kestiği noktalar olarak kabul edilir.

ikinci dereceden denklemler

Basitleştirildiğinde şu formu alıyorsa, bir denklem ikinci dereceden olarak adlandırılabilir:

a*x 2 + b*x + c = 0.

nerede bir, b, c denklemin sıfırdan farklı katsayılarıdır. A "X"- denklemin kökü. İkinci dereceden bir denklemin iki kökü olduğuna veya hiç bir çözümü olmayabileceğine inanılmaktadır. Ortaya çıkan kökler aynı olabilir.

"A"- karede kökün önünde duran katsayı.

"B"- birinci derecede bilinmeyenin önünde durur.

"İle"- denklemin serbest terimi.

Örneğin, şu şekilde bir denklemimiz varsa:

2x 2 -5x+3=0

Burada "2" denklemin en yüksek terimindeki katsayı, "-5" ikinci katsayı ve "3" serbest terimdir.

İkinci dereceden bir denklemi çözme

İkinci dereceden bir denklemi çözmenin birçok yolu vardır. Bununla birlikte, okul matematik dersinde, çözüm, diskriminantın yanı sıra Vieta teoremi kullanılarak incelenir.

Ayrımcı çözüm:

ile çözerken Bu method ayırıcıyı aşağıdaki formüle göre hesaplamak gerekir:

Hesaplamalar sırasında diskriminantın sıfırdan küçük olduğunu anladıysanız, bu denklemin çözümü olmadığı anlamına gelir.

Diskriminant sıfır ise, denklemin iki özdeş çözümü vardır. Bu durumda, polinom kısaltılmış çarpma formülüne göre toplamın veya farkın karesine daraltılabilir. Sonra doğrusal bir denklem gibi çöz. Veya şu formülü kullanın:

Ayırıcı sıfırdan büyükse, aşağıdaki yöntem kullanılmalıdır:

Vieta teoremi

Denklem azaltılırsa, yani en yüksek terimdeki katsayı bire eşitse, o zaman kullanabilirsiniz. Vieta teoremi.

Denklemin şöyle olduğunu varsayalım:

Denklemin kökleri aşağıdaki gibi bulunur:

Eksik ikinci dereceden denklem

Eksik bir ikinci dereceden denklem elde etmek için, biçimi katsayıların varlığına bağlı olan birkaç seçenek vardır.

1. İkinci ve üçüncü katsayılar sıfıra eşitse (b=0, c=0), o zaman ikinci dereceden denklem şöyle görünecektir:

Bu denklem sahip olacak tek karar. Eşitlik yalnızca denklemin çözümü sıfırsa doğru olacaktır.

“Denklemleri Çözme” konusunun devamında, bu makaledeki materyal size ikinci dereceden denklemleri tanıtacaktır.

Her şeyi ayrıntılı olarak ele alalım: ikinci dereceden bir denklemin özü ve gösterimi, ilgili terimleri ayarlayın, eksik ve tam denklemleri çözme şemasını analiz edin, kökler ve ayrımcı formülü ile tanışın, kökler ve katsayılar arasında bağlantılar kurun ve tabii ki pratik örneklerin görsel bir çözümünü vereceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İkinci dereceden denklem, türleri

tanım 1

İkinci dereceden denklem Denklem şu şekilde yazılır bir x 2 + b x + c = 0, Nerede X– değişken, a , b ve C bazı sayılardır, oysa A sıfır değil

İkinci dereceden denklemler genellikle ikinci dereceden denklemler olarak da adlandırılır, çünkü aslında ikinci dereceden bir denklem ikinci dereceden bir cebirsel denklemdir.

Verilen tanımı açıklamak için bir örnek verelim: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, vb. ikinci dereceden denklemlerdir.

Tanım 2

a , b sayıları ve C ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır bir x 2 + b x + c = 0, katsayı iken A birinci veya kıdemli veya x 2'deki katsayı, b - ikinci katsayı veya katsayı olarak adlandırılır X, A Cücretsiz üye denir.

Örneğin, ikinci dereceden denklemde 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 en yüksek katsayı 6, ikinci katsayı ise − 2 ve serbest terim şuna eşittir: − 11 . Katsayıların ne zaman olduğu gerçeğine dikkat edelim. B ve/veya c negatif, o zaman kısa form formun kayıtları 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, Ama değil 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Bu yönü de açıklığa kavuşturalım: eğer katsayılar A ve/veya B eşit 1 veya − 1 , o zaman belirtilen sayısal katsayıları yazmanın özellikleriyle açıklanan ikinci dereceden denklemin yazılmasında açık bir rol almayabilirler. Örneğin, ikinci dereceden denklemde y 2 - y + 7 = 0 kıdemli katsayı 1 ve ikinci katsayı − 1 .

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

Birinci katsayının değerine göre, ikinci dereceden denklemler indirgenmiş ve indirgenmemiş olarak ayrılır.

Tanım 3

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemönde gelen katsayının 1 olduğu ikinci dereceden bir denklemdir. Baş katsayının diğer değerleri için, ikinci dereceden denklem indirgenmez.

İşte bazı örnekler: x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 ikinci dereceden denklemler indirgenir ve her birinin önde gelen katsayısı 1'dir.

9 x 2 - x - 2 = 0- birinci katsayının farklı olduğu indirgenmemiş ikinci dereceden denklem 1 .

Herhangi bir indirgenmemiş ikinci dereceden denklem, her iki parçasını da birinci katsayıya bölerek (eşdeğer dönüşüm) indirgenmiş bir denkleme dönüştürülebilir. Dönüştürülen denklem, verilen indirgenmemiş denklemle aynı köklere sahip olacak veya hiç kök içermeyecek.

Düşünce Vaka Analizi indirgenmemiş bir ikinci dereceden denklemden indirgenmiş bir denkleme geçişi görsel olarak göstermemize izin verecektir.

örnek 1

6 x 2 + 18 x - 7 = 0 denklemi verildiğinde . Orijinal denklemi indirgenmiş forma dönüştürmek gerekir.

Çözüm

Yukarıdaki şemaya göre, orijinal denklemin her iki parçasını da önde gelen katsayıya böleriz 6 . Sonra şunu elde ederiz: (6x2 + 18x-7) : 3 = 0: 3, ve bu şununla aynıdır: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ve ilerisi: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0 . Buradan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Böylece verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Cevap: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımına dönelim. içinde şunu belirtmiştik bir ≠ 0. Denklem için benzer bir koşul gereklidir bir x 2 + b x + c = 0 tam olarak kareydi, çünkü bir = 0 esasen doğrusal bir denkleme dönüşür b x + c = 0.

Katsayıların olduğu durumda B Ve C sıfıra eşittir (hem bireysel hem de ortak olarak mümkündür), ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım 4

Eksik ikinci dereceden denklem ikinci dereceden bir denklemdir a x 2 + b x + c \u003d 0, burada katsayılardan en az biri B Ve C(veya her ikisi) sıfırdır.

Tam ikinci dereceden denklem tüm sayısal katsayıların sıfıra eşit olmadığı ikinci dereceden bir denklemdir.

İkinci dereceden denklem türlerine neden tam olarak bu tür adlar verildiğini tartışalım.

b = 0 için, ikinci dereceden denklem şu şekli alır: bir x 2 + 0 x + c = 0 ile aynı olan bir x 2 + c = 0. -de c = 0 ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: bir x 2 + b x + 0 = 0 eşdeğer olan bir x 2 + b x = 0. -de b = 0 Ve c = 0 denklem şeklini alacak x 2 = 0. Elde ettiğimiz denklemler, tam ikinci dereceden denklemden farklıdır, çünkü sol tarafları x değişkenli bir terim veya serbest terim veya her ikisini birden içermez. Aslında, bu gerçek, bu tür denklemlere adını verdi - eksik.

Örneğin, x 2 + 3 x + 4 = 0 ve − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 tam ikinci dereceden denklemlerdir; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Yukarıda verilen tanım, aşağıdaki eksik ikinci dereceden denklem türlerini ayırt etmeyi mümkün kılar:

• x 2 = 0, katsayılar böyle bir denkleme karşılık gelir b = 0 ve c = 0;
• b \u003d 0 için a x 2 + c \u003d 0;
• c = 0 için a x 2 + b x = 0 .

Her tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin çözümünü sırayla düşünün.

a x 2 \u003d 0 denkleminin çözümü

Yukarıda belirtildiği gibi, böyle bir denklem katsayılara karşılık gelir. B Ve C, sıfıra eşit. Denklem x 2 = 0 eşdeğer bir denkleme dönüştürülebilir x2 = 0, orijinal denklemin her iki tarafını da sayıya bölerek elde ederiz A, sıfıra eşit değil. Açık olan gerçek şu ki, denklemin kökü x2 = 0 sıfır çünkü 0 2 = 0 . Bu denklemin derecenin özellikleriyle açıklanan başka kökleri yoktur: herhangi bir sayı için P , sıfıra eşit değil, eşitsizlik doğrudur p2 > 0, bundan şu sonuç çıkar ki, ne zaman p ≠ 0 eşitlik p2 = 0 asla ulaşılamayacak.

Tanım 5

Bu nedenle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 = 0 için tek bir kök vardır x=0.

Örnek 2

Örneğin, tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemi çözelim. - 3x2 = 0. Denkleme eşdeğerdir x2 = 0, tek kökü x=0, o zaman orijinal denklemin tek bir kökü vardır - sıfır.

Çözüm özetle şöyle:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0 denkleminin çözümü

Sırada, b \u003d 0, c ≠ 0, yani formun denklemleri olan tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü var. bir x 2 + c = 0. Terimi denklemin bir tarafından diğer tarafına aktararak, işaretini ters olarak değiştirerek ve denklemin her iki tarafını sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölerek bu denklemi dönüştürelim:

• dayanmak C denklemi veren sağ tarafa bir x 2 = - c;
• denklemin her iki tarafını da böl A, sonuç olarak x = - c a elde ederiz.

Dönüşümlerimiz sırasıyla eşdeğerdir, ortaya çıkan denklem de orijinaline eşdeğerdir ve bu gerçek, denklemin kökleri hakkında bir sonuç çıkarmayı mümkün kılar. Değerler nelerdir? A Ve C ifadenin değerine bağlıdır - c a: eksi işareti olabilir (örneğin, eğer bir = 1 Ve c = 2, o zaman - c a = - 2 1 = - 2) veya artı işareti (örneğin, eğer bir = -2 Ve c=6, o zaman - c a = - 6 - 2 = 3); sıfıra eşit değil çünkü c ≠ 0. Durumlar üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım - c a< 0 и - c a > 0 .

- c a olduğu durumda< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P eşitlik p 2 = - c a doğru olamaz.

- c a > 0 olduğunda her şey farklıdır: karekökü hatırlayın ve x 2 \u003d - c a denkleminin kökünün - c a sayısı olacağı aşikar hale gelecektir, çünkü - c a 2 \u003d - c a. - - c a - sayısının aynı zamanda x 2 = - c a denkleminin kökü olduğunu anlamak kolaydır: aslında, - - c a 2 = - c a .

Denklemin başka kökü olmayacak. Bunu ters yöntemi kullanarak gösterebiliriz. İlk olarak, yukarıda bulunan köklerin gösterimini şu şekilde ayarlayalım: x 1 Ve - x 1. x 2 = - c a denkleminin de bir kökü olduğunu varsayalım x2 köklerden farklı olan x 1 Ve - x 1. yerine denklemde yerine koyarak biliyoruz X kökleri, denklemi adil bir sayısal eşitliğe dönüştürüyoruz.

İçin x 1 Ve - x 1 yazın: x 1 2 = - c a , ve için x2- x 2 2 \u003d - c a. Sayısal eşitliklerin özelliklerine dayanarak, bir gerçek eşitliği başka bir terimden terime çıkarırız, bu da bize şunu verir: x 1 2 - x 2 2 = 0. Son eşitliği şu şekilde yeniden yazmak için sayı işlemlerinin özelliklerini kullanın: (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. İki sayının çarpımının sıfır olduğu ancak ve ancak sayılardan en az birinin sıfır olduğu bilinmektedir. Anlatılanlardan anlaşıldığına göre x1 - x2 = 0 ve/veya x1 + x2 = 0 aynı olan x2 = x1 ve/veya x 2 = - x 1. Açık bir çelişki ortaya çıktı, çünkü ilk başta denklemin kökünün olduğu kabul edildi. x2 farklıdır x 1 Ve - x 1. Böylece, denklemin x = - c a ve x = - - c a dışında kökleri olmadığını kanıtladık.

Yukarıdaki tüm argümanları özetliyoruz.

Tanım 6

Eksik ikinci dereceden denklem bir x 2 + c = 0 x 2 = - c a denklemine eşdeğerdir, bu:

• kökleri olmayacak - c a< 0 ;
• - c a > 0 olduğunda x = - c a ve x = - - c a olmak üzere iki kökü olacaktır.

Denklem çözme örnekleri verelim bir x 2 + c = 0.

Örnek 3

İkinci dereceden bir denklem verildiğinde 9 x 2 + 7 = 0 .Çözümünü bulmak gerekiyor.

Çözüm

Serbest terimi denklemin sağ tarafına aktarıyoruz, ardından denklem şu şekli alıyor: 9 x 2 \u003d - 7.
Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını şuna böleriz: 9 , x 2 = - 7 9'a geldik. Sağ tarafta eksi işaretli bir sayı görüyoruz, yani verilen denklemin kökü yok. Sonra orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9x2 + 7 = 0 kökleri olmayacaktır.

Cevap: denklem 9x2 + 7 = 0 kökleri yoktur.

Örnek 4

Denklemi çözmek gerekli - x2 + 36 = 0.

Çözüm

36'yı sağa kaydıralım: - x 2 = - 36.
İki parçayı da ikiye ayıralım − 1 , alırız x2 = 36. Sağ tarafta - pozitif sayı, dolayısıyla şu sonuca varılabilir x = 36 veya x = - 36 .
Kökü çıkarıyoruz ve nihai sonucu yazıyoruz: tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklem - x2 + 36 = 0 iki kökü vardır x=6 veya x = -6.

Cevap: x=6 veya x = -6.

a x 2 +b x=0 denkleminin çözümü

Üçüncü tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri analiz edelim. c = 0. Eksik bir ikinci dereceden denklemin çözümünü bulmak için bir x 2 + b x = 0, çarpanlara ayırma yöntemini kullanırız. Denklemin solundaki polinomu parantez içindeki ortak çarpanı alarak çarpanlarına ayıralım. X. Bu adım, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi eşdeğerine dönüştürmeyi mümkün kılacaktır. x (bir x + b) = 0. Ve bu denklem, sırayla, denklem setine eşdeğerdir. x=0 Ve x + b = 0. Denklem x + b = 0 doğrusal ve kökü: x = - b bir.

tanım 7

Böylece, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem bir x 2 + b x = 0 iki kökü olacak x=0 Ve x = - b bir.

Malzemeyi bir örnekle pekiştirelim.

Örnek 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 denkleminin çözümünü bulmak gerekir.

Çözüm

hadi çıkaralım X parantezlerin dışında ve x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 denklemini elde edin. Bu denklem denklemlere eşdeğerdir x=0 ve 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Şimdi ortaya çıkan doğrusal denklemi çözmelisiniz: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Kısaca denklemin çözümünü aşağıdaki gibi yazalım:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya x = 3 3 7

Cevap: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü

İkinci dereceden denklemlere bir çözüm bulmak için bir kök formül vardır:

tanım 8

x = - b ± D 2 a, burada D = b 2 - 4 bir c ikinci dereceden bir denklemin sözde ayırt edicisidir.

X \u003d - b ± D 2 a yazmak, esasen x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a anlamına gelir.

Belirtilen formülün nasıl elde edildiğini ve nasıl uygulanacağını anlamak faydalı olacaktır.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin formülünün türetilmesi

İkinci dereceden bir denklemi çözme göreviyle karşı karşıya olduğumuzu varsayalım. bir x 2 + b x + c = 0. Bir dizi eşdeğer dönüşüm gerçekleştirelim:

• denklemin her iki tarafını da sayıya bölmek A, sıfırdan farklı olarak indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• ayırmak tam kare elde edilen denklemin sol tarafında:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Bundan sonra denklem şu şekli alacaktır: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• şimdi son iki terimi sağ tarafa aktarmak, işareti tersine çevirmek mümkündür, bundan sonra şunu elde ederiz: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• son olarak son eşitliğin sağ tarafında yazan ifadeyi dönüştürüyoruz:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Böylece, orijinal denklemin eşdeğeri olan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denklemine geldik. bir x 2 + b x + c = 0.

Bu tür denklemlerin çözümünü önceki paragraflarda tartışmıştık (tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü). Halihazırda kazanılan deneyim, x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denkleminin kökleri hakkında bir sonuç çıkarmayı mümkün kılar:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 için< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 için, denklem x + b 2 · a 2 = 0, ardından x + b 2 · a = 0 şeklindedir.

Buradan, x = - b 2 · a'nın tek kökü açıktır;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 için doğru olan: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 veya x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , ki bu x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 veya x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 ile aynı , yani denklemin iki kökü vardır.

x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denkleminin köklerinin varlığının veya yokluğunun (ve dolayısıyla orijinal denklemin) b 2 - 4 a c ifadesinin işaretine bağlı olduğu sonucuna varmak mümkündür. 4 · sağ tarafta yazılı bir 2. Ve bu ifadenin işareti payın işaretiyle verilir, (payda 4 ve 2 her zaman pozitif olacaktır), yani ifadenin işareti b 2 − 4 bir c. Bu ifade b 2 − 4 bir c bir isim verilir - ikinci dereceden bir denklemin ayırt edicisi ve D harfi onun tanımı olarak tanımlanır. Burada ayrımcının özünü yazabilirsiniz - değeri ve işaretiyle, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olup olmayacağı ve eğer öyleyse, kaç kök - bir veya iki olduğu sonucuna varırlar.

x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denklemine geri dönelim. Diskriminant gösterimini kullanarak yeniden yazalım: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sonuçları tekrar özetleyelim:

tanım 9

• de D< 0 denklemin gerçek kökleri yoktur;
• de D=0 denklemin tek bir kökü vardır x = - b 2 · a ;
• de D > 0 denklemin iki kökü vardır: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 veya x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Radikallerin özelliklerine göre bu kökler şu şekilde yazılabilir: x \u003d - b 2 a + D 2 a veya - b 2 a - D 2 a. Ve modülleri açıp kesirleri ortak bir paydaya indirdiğimizde, şunu elde ederiz: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Dolayısıyla, muhakememizin sonucu, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülün türetilmesiydi:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , ayırt edici D formül ile hesaplanır D = b 2 - 4 bir c.

Bu formüller, diskriminant sıfırdan büyük olduğunda her iki gerçek kökü de belirlemeyi mümkün kılar. Diskriminant sıfır olduğunda, her iki formülün uygulanması, ikinci dereceden denklemin tek çözümü olarak aynı kökü verecektir. Ayırt edicinin negatif olması durumunda, ikinci dereceden kök formülünü kullanmaya çalışırken, çıkarma ihtiyacı ile karşı karşıya kalacağız. Kare kök negatif bir sayıdan, bu da bizi gerçek sayıların ötesine götürecektir. Negatif bir ayırt edici ile, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmayacaktır, ancak elde ettiğimiz aynı kök formüllerle belirlenen bir çift karmaşık eşlenik kök mümkündür.

Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

Hemen kök formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözmek mümkündür, ancak temelde bu, karmaşık kökleri bulmak gerektiğinde yapılır.

Çoğu durumda, arama genellikle karmaşık değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri içindir. İkinci dereceden denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, önce ayırıcıyı belirlemek ve negatif olmadığından emin olmak (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varırız) ve sonra hesaplamaya devam etmek en uygunudur. köklerin değeri.

Yukarıdaki akıl yürütme, ikinci dereceden bir denklemi çözmek için bir algoritma formüle etmeyi mümkün kılar.

Tanım 10

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için bir x 2 + b x + c = 0, gerekli:

• formüle göre D = b 2 - 4 bir c ayırt edicinin değerini bulun;
• D'de< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 için x = - b 2 · a formülüne göre denklemin tek kökünü bulun;
• D > 0 için, x = - b ± D 2 · a formülüne göre ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökünü belirleyin.

Diskriminant sıfır olduğunda, x = - b ± D 2 · a formülünü kullanabilirsiniz, bunun x = - b 2 · a formülüyle aynı sonucu vereceğini unutmayın.

Örnekleri düşünün.

İkinci dereceden denklem çözme örnekleri

için örnek bir çözüm verelim. farklı değerler ayrımcı

Örnek 6

Denklemin köklerini bulmak gerekiyor x 2 + 2 x - 6 = 0.

Çözüm

İkinci dereceden denklemin sayısal katsayılarını yazıyoruz: a \u003d 1, b \u003d 2 ve c = - 6. Ardından, algoritmaya göre hareket ediyoruz, yani. a , b katsayılarını yerine koyduğumuz diskriminantı hesaplamaya başlayalım Ve C ayrımcı formülde: D = b 2 − 4 bir c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

D > 0 elde ettik, yani orijinal denklemin iki gerçek kökü olacak.
Bunları bulmak için x \u003d - b ± D 2 · a kök formülünü kullanırız ve uygun değerleri değiştirerek şunu elde ederiz: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Ortaya çıkan ifadeyi kökün işaretinden çarpanı alarak ve ardından kesri indirgeyerek basitleştiririz:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 veya x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 veya x = - 1 - 7

Cevap: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Örnek 7

İkinci dereceden bir denklemi çözmek gereklidir - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

Çözüm

Ayrımcıyı tanımlayalım: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Diskriminantın bu değeriyle, orijinal denklemin x = - b 2 · a formülüyle belirlenen yalnızca bir kökü olacaktır.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Cevap: x = 3, 5.

Örnek 8

Denklemi çözmek gerekli 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Çözüm

Bu denklemin sayısal katsayıları şöyle olacaktır: a = 5 , b = 6 ve c = 2 . Ayırt ediciyi bulmak için şu değerleri kullanırız: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Hesaplanan ayırt edici negatiftir, bu nedenle orijinal ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Görevin karmaşık kökleri belirtmek olduğu durumda, karmaşık sayılarla işlemler gerçekleştirerek kök formülü uygularız:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 ben 10 veya x \u003d - 6 - 2 ben 10,

x = - 3 5 + 1 5 ben veya x = - 3 5 - 1 5 ben .

Cevap: gerçek kökler yoktur; karmaşık kökler şunlardır: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

İÇİNDE Okul müfredatı varsayılan olarak, karmaşık kökler arama zorunluluğu yoktur, bu nedenle, çözüm sırasında diskriminant negatif olarak belirlenirse, gerçek köklerin olmadığı yanıtı hemen kaydedilir.

Çift ikinci katsayılar için kök formül

x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) kök formülü, daha kompakt başka bir formül elde etmeyi mümkün kılar ve x'te çift katsayılı (veya katsayılı) ikinci dereceden denklemlere çözüm bulmanızı sağlar 2 ve n biçiminde, örneğin 2 3 veya 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Bu formülün nasıl elde edildiğini gösterelim.

İkinci dereceden a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 denkleminin çözümünü bulma göreviyle karşı karşıya olduğumuzu varsayalım. Algoritmaya göre hareket ediyoruz: D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ayrımcısını belirliyoruz ve ardından kök formülü kullanıyoruz:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · CA .

n 2 − a c ifadesinin D 1 olarak gösterilmesine izin verin (bazen D "ile gösterilir). Ardından, ikinci katsayı 2 n ile dikkate alınan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alacaktır:

x \u003d - n ± D 1 a, burada D 1 \u003d n 2 - a c.

D = 4 · D1 veya D1 = D4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle, D 1 diskriminantın dörtte biridir. Açıkçası, D 1'in işareti D'nin işaretiyle aynıdır, bu da D 1'in işaretinin ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesi olarak da hizmet edebileceği anlamına gelir.

Tanım 11

Bu nedenle, ikinci katsayı 2 n olan ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmak için gereklidir:

• bul D 1 = n 2 − bir c ;
• D 1'de< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 için, denklemin tek kökünü x = - n a formülüyle belirleyin;
• D 1 > 0 için, x = - n ± D 1 a formülünü kullanarak iki gerçek kök belirleyin.

Örnek 9

5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 ikinci dereceden denklemi çözmek gerekir.

Çözüm

Verilen denklemin ikinci katsayısı 2 · (− 3) olarak gösterilebilir. Daha sonra verilen ikinci dereceden denklemi 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , burada a = 5 , n = − 3 ve c = − 32 olarak yeniden yazarız.

Diskriminantın dördüncü kısmını hesaplayalım: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Ortaya çıkan değer pozitiftir, yani denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları karşılık gelen kök formülü ile tanımlarız:

x = - n ± D 1 bir , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 veya x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 veya x = - 2

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için bilinen formülü kullanarak hesaplamalar yapmak mümkün olacaktır, ancak bu durumda çözüm daha külfetli olacaktır.

Cevap: x = 3 1 5 veya x = - 2 .

İkinci dereceden denklem formunun basitleştirilmesi

Bazen, kökleri hesaplama sürecini basitleştirecek olan orijinal denklemin biçimini optimize etmek mümkündür.

Örneğin, 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ikinci dereceden denklemi çözmek için 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0'dan açıkça daha uygundur.

Daha sıklıkla, ikinci dereceden bir denklem formunun basitleştirilmesi, her iki parçasını da belirli bir sayı ile çarparak veya bölerek gerçekleştirilir. Örneğin, yukarıda 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 denkleminin her iki parçasını da 100'e bölerek elde edilen basitleştirilmiş bir temsilini gösterdik.

Böyle bir dönüşüm, ikinci dereceden denklemin katsayıları karşılıklı olmadığında mümkündür. asal sayılar. O zaman denklemin her iki tarafını da en büyüğüne bölmek yaygındır. ortak bölen katsayılarının mutlak değerleri.

Örnek olarak, 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 ikinci dereceden denklemi kullanıyoruz. Katsayılarının mutlak değerlerinin ebob'unu tanımlayalım: ebob (12 , 42 , 48) = ebob(OBEB (12 , 42) , 48) = ebob (6 , 48) = 6 . Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya bölelim ve eşdeğer ikinci dereceden denklemi elde edelim 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

İkinci dereceden denklemin her iki tarafını çarparak, kesirli katsayılar genellikle elimine edilir. Bu durumda, katsayılarının paydalarının en küçük ortak katıyla çarpın. Örneğin, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 ikinci dereceden denklemin her bir kısmı LCM (6, 3, 1) \u003d 6 ile çarpılırsa, daha sonra yazılacaktır. basit biçim x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Son olarak, her iki parçayı - 1 ile çarparak (veya bölerek) elde edilen denklemin her bir teriminin işaretlerini değiştirerek, ikinci dereceden denklemin ilk katsayısındaki eksiden neredeyse her zaman kurtulduğumuzu not ediyoruz. Örneğin, ikinci dereceden denklemden - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, basitleştirilmiş versiyonu 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0'a gidebilirsiniz.

Kökler ve katsayılar arasındaki ilişki

İkinci dereceden denklemlerin kökleri için zaten bilinen x = - b ± D 2 · a formülü, denklemin köklerini sayısal katsayıları cinsinden ifade eder. Bu formüle dayanarak, kökler ve katsayılar arasında başka bağımlılıklar belirleme olanağına sahibiz.

En ünlü ve uygulanabilir olan, Vieta teoreminin formülleridir:

x 1 + x 2 \u003d - b a ve x 2 \u003d c a.

Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için köklerin toplamı ters işaretli ikinci katsayıdır ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Örneğin, 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 ikinci dereceden denklem biçiminde, köklerinin toplamının 7 3 ve köklerin çarpımının 22 3 olduğunu hemen belirlemek mümkündür.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka ilişki de bulabilirsiniz. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamı katsayılar cinsinden ifade edilebilir:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu konu, çok sayıda içerik nedeniyle ilk bakışta zor görünebilir. basit formüller. Sadece ikinci dereceden denklemlerin kendileri uzun girişlere sahip olmakla kalmaz, aynı zamanda diskriminant aracılığıyla kökler de bulunur. Toplamda üç yeni formül var. Hatırlamak çok kolay değil. Bu, ancak bu tür denklemlerin sık sık çözümünden sonra mümkündür. Daha sonra tüm formüller kendi başlarına hatırlanacak.

İkinci dereceden denklemin genel görünümü

Burada, en büyük derece önce ve sonra - azalan sırayla yazıldığında, açık gösterimleri önerilmektedir. Çoğu zaman terimlerin ayrı durduğu durumlar vardır. O zaman denklemi değişkenin derecesinin azalan düzeninde yeniden yazmak daha iyidir.

Notasyonu tanıtalım. Aşağıdaki tabloda sunulmuştur.

Bu gösterimleri kabul edersek, tüm ikinci dereceden denklemler aşağıdaki gösterime indirgenir.

Ayrıca katsayı a ≠ 0. Bu formül bir numara ile gösterilsin.

Denklem verildiğinde, cevapta kaç kök olacağı belli değil. Çünkü üç seçenekten biri her zaman mümkündür:

• çözümün iki kökü olacaktır;
• cevap bir numara olacak;
• Denklemin hiç kökü yoktur.

Ve karar sona ermemiş olsa da, belirli bir durumda hangi seçeneklerin ortaya çıkacağını anlamak zordur.

İkinci dereceden denklemlerin kayıt türleri

Görevlerin farklı girişleri olabilir. Her zaman ikinci dereceden bir denklemin genel formülü gibi görünmeyeceklerdir. Bazen bazı terimler eksik olacaktır. Yukarıda yazılanlar tam denklemdir. İçindeki ikinci veya üçüncü terimi çıkarırsanız, farklı bir şey elde edersiniz. Bu kayıtlara ikinci dereceden denklemler de denir, sadece eksiktir.

Ayrıca, yalnızca "b" ve "c" katsayılarının kaybolabileceği terimler. "a" sayısı hiçbir koşulda sıfıra eşit olamaz. Çünkü bu durumda formül doğrusal bir denkleme dönüşür. Denklemlerin eksik formu için formüller aşağıdaki gibi olacaktır:

Yani, sadece iki tür vardır, tamamlanmış olanlara ek olarak, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler de vardır. Birinci formül iki, ikinci formül üç olsun.

Diskriminant ve kök sayısının değerine bağımlılığı

Denklemin köklerini hesaplamak için bu sayının bilinmesi gerekir. İkinci dereceden denklemin formülü ne olursa olsun, her zaman hesaplanabilir. Diskriminantı hesaplamak için aşağıda yazılan ve dört rakamına sahip olacak eşitliği kullanmanız gerekir.

Katsayıların değerlerini bu formüle yerleştirdikten sonra, sayıları elde edebilirsiniz. farklı işaretler. Cevap evet ise, o zaman denklemin cevabı iki farklı kök olacaktır. Negatif bir sayı ile ikinci dereceden denklemin kökleri bulunmayacaktır. Sıfıra eşitse, cevap bir olacaktır.

Tam bir ikinci dereceden denklem nasıl çözülür?

Aslında, bu konunun değerlendirilmesi çoktan başladı. Çünkü önce ayrımcıyı bulmanız gerekiyor. İkinci dereceden denklemin kökleri olduğu açıklığa kavuşturulduktan ve sayıları bilindikten sonra, değişkenler için formülleri kullanmanız gerekir. İki kök varsa, böyle bir formül uygulamanız gerekir.

“±” işaretini içerdiğinden iki değer olacaktır. Karekök işaretinin altındaki ifade ayırt edicidir. Bu nedenle, formül farklı bir şekilde yeniden yazılabilir.

Formül beş. Aynı kayıttan, diskriminant sıfır ise, her iki kökün de aynı değerleri alacağı görülebilir.

İkinci dereceden denklemlerin çözümü henüz çözülmediyse, ayrımcı ve değişken formülleri uygulamadan önce tüm katsayıların değerlerini yazmak daha iyidir. Daha sonra bu an zorluklara neden olmaz. Ama en başında bir kafa karışıklığı var.

Eksik bir ikinci dereceden denklem nasıl çözülür?

Burada her şey çok daha basit. Hatta ek formüllere gerek yoktur. Ayrımcı ve bilinmeyen için zaten yazılmış olanlara da ihtiyacınız olmayacak.

İlk olarak, iki numaralı tamamlanmamış denklemi ele alalım. Bu eşitlikte parantez içindeki bilinmeyen değeri alıp parantez içinde kalacak lineer denklemi çözmesi istenmektedir. Cevabın iki kökü olacak. Birincisi mutlaka sıfıra eşittir, çünkü değişkenin kendisinden oluşan bir çarpan vardır. İkincisi, doğrusal bir denklem çözülerek elde edilir.

Üç numaralı eksik denklem, denklemin sol tarafındaki sayıyı sağa aktararak çözülür. O zaman bilinmeyenin önündeki katsayıya bölmeniz gerekir. Sadece karekökü çıkarmak için kalır ve zıt işaretlerle iki kez yazmayı unutmayın.

Aşağıda, ikinci dereceden denklemlere dönüşen her türlü eşitliğin nasıl çözüleceğini öğrenmenize yardımcı olacak bazı eylemler bulunmaktadır. Öğrencinin dikkatsizlikten kaynaklanan hatalardan kaçınmasına yardımcı olurlar. Bu eksiklikler, kapsamlı "Kuadrik Denklemler (Sınıf 8)" konusunu çalışırken düşük notların nedenidir. Daha sonra, bu eylemlerin sürekli olarak gerçekleştirilmesi gerekmeyecektir. Çünkü sabit bir alışkanlık olacak.

• Öncelikle denklemi standart formda yazmanız gerekir. Yani, önce değişkenin en büyük derecesine sahip terim ve sonra - derecesi ve sonuncusu olmadan - sadece bir sayı.

• "a" katsayısından önce bir eksi belirirse, ikinci dereceden denklemleri incelemek için yeni başlayanlar için işi zorlaştırabilir. Ondan kurtulmak daha iyi. Bunun için tüm eşitliklerin "-1" ile çarpılması gerekir. Bu, tüm terimlerin işaret değiştireceği anlamına gelir.

• Aynı şekilde kesirlerden de kurtulmanız tavsiye edilir. Paydaların birbirini götürmesi için denklemi uygun faktörle çarpmanız yeterlidir.

örnekler

Aşağıdaki ikinci dereceden denklemleri çözmek gerekir:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

İlk denklem: x 2 - 7x \u003d 0. Eksiktir, bu nedenle iki numaralı formülde açıklandığı gibi çözülür.

Parantez içine aldıktan sonra şu çıkıyor: x (x - 7) \u003d 0.

İlk kök x 1 = 0 değerini alır. İkincisi şuradan bulunur: Doğrusal Denklem: x - 7 = 0. x 2 = 7 olduğunu görmek kolaydır.

İkinci denklem: 5x2 + 30 = 0. Yine eksik. Sadece üçüncü formül için açıklandığı gibi çözülür.

30'u denklemin sağ tarafına aktardıktan sonra: 5x2=30. Şimdi 5'e bölmeniz gerekiyor. 6.

Üçüncü denklem: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Burada ve aşağıda, ikinci dereceden denklemlerin çözümü, onları yeniden yazarak başlayacaktır. standart görünüm: - x 2 - 2x + 15 = 0. Şimdi ikinciyi kullanma zamanı yararlı tavsiye ve her şeyi eksi bir ile çarpın. X 2 + 2x - 15 \u003d 0 çıkıyor. Dördüncü formüle göre ayrımcıyı hesaplamanız gerekiyor: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. pozitif sayı Yukarıda söylenenlerden, denklemin iki kökü olduğu ortaya çıkıyor. Beşinci formüle göre hesaplanmaları gerekir. Buna göre x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2 olduğu ortaya çıkıyor. Sonra x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Dördüncü denklem x 2 + 8 + 3x \u003d 0 şuna dönüştürülür: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Diskriminantı şu değere eşittir: -23. Bu sayı negatif olduğu için, bu görevin cevabı şu giriş olacaktır: "Kök yok."

Beşinci denklem 12x + x 2 + 36 = 0 şu şekilde yeniden yazılmalıdır: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant için formül uygulandıktan sonra sıfır sayısı elde edilir. Bu, bir kökü olacağı anlamına gelir, yani: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Altıncı denklem (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2), parantezleri açmadan önce benzer terimleri getirmeniz gerektiği gerçeğinden oluşan dönüşümler gerektirir. İlkinin yerine şöyle bir ifade olacak: x 2 + 2x + 1. Eşitlikten sonra şu giriş görünecektir: x 2 + 3x + 2. Benzer terimler sayıldıktan sonra, denklem şu şekli alacaktır: x 2 - x \u003d 0. Eksik hale geldi . Buna benzer zaten biraz daha yüksek olarak kabul edildi. Bunun kökleri 0 ve 1 sayıları olacaktır.

Bu matematik programı ile yapabilecekleriniz ikinci dereceden denklemi çöz.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, çözüm sürecini de iki şekilde gösteriyor:
- ayrımcıyı kullanmak
- Vieta teoremini kullanarak (mümkünse).

Ayrıca, cevap yaklaşık olarak değil tam olarak görüntülenir.
Örneğin, \(81x^2-16x-1=0\) denklemi için yanıt şu biçimde görüntülenir:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ bunun yerine: \(x_1 = 0.247; \ dörtlü x_2 = -0,05 \)

Bu program lise öğrencileri için faydalı olabilir genel eğitim okulları hazırlık aşamasında kontrol işi ve sınavlar, sınav öncesi bilgiyi test ederken, ebeveynler matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol eder. Ya da belki bir öğretmen tutmak veya yeni ders kitapları almak sizin için çok pahalı? Yoksa bir an önce halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematik mi cebir mi? Bu durumda detaylı çözümlü programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Böylece işlemlerinizi gerçekleştirebilirsiniz. kendi eğitimi ve/veya küçük erkek veya kız kardeşlerinin eğitimi, çözülmesi gereken görevler alanındaki eğitim düzeyi yükseltilir.

Kare polinom girme kurallarına aşina değilseniz, bunlara aşina olmanızı öneririz.

Kare polinom girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) vb.

Sayılar tam sayı veya kesir olarak girilebilir.
Ayrıca, kesirli sayılar yalnızca ondalık sayı biçiminde değil, aynı zamanda sıradan bir kesir biçiminde de girilebilir.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Ondalık kesirlerde, tam sayıdan kesirli kısım nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin, ondalık sayıları şu şekilde girebilirsiniz: 2,5x - 3,5x^2

Adi kesirleri girme kuralları.
Bir kesrin pay, payda ve tamsayı kısmı olarak yalnızca bir tam sayı işlev görebilir.

Payda negatif olamaz.

Sayısal bir kesir girerken, pay paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Tamsayı kısmı kesirden bir ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Sonuç: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Bir ifade girerken parantez kullanabilirsin. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemi çözerken, tanıtılan ifade önce basitleştirilir.
Örneğin: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Karar vermek

Bu görevi çözmek için gereken bazı komut dosyalarının yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği bulundu.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda, devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript etkinleştirilmelidir.
Burada, tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatlar verilmiştir.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye sonra çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görev olduğunu belirt ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, öykünücülerimiz:

Biraz teori.

İkinci dereceden denklem ve kökleri. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

Denklemlerin her biri
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
forma sahip
\(ax^2+bx+c=0, \)
burada x bir değişkendir, a, b ve c sayılardır.
Birinci denklemde a = -1, b = 6 ve c = 1.4, ikincisinde a = 8, b = -7 ve c = 0, üçüncüsünde a = 1, b = 0 ve c = 4/9. Bu tür denklemler denir ikinci dereceden denklemler.

Tanım.
ikinci dereceden denklem ax 2 +bx+c=0 şeklinde bir denklem denir, burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve \(a \neq 0 \).

a, b ve c sayıları ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır. a sayısına birinci katsayı, b sayısına ikinci katsayı ve c sayısına kesme noktası denir.

ax 2 +bx+c=0 şeklindeki denklemlerin her birinde, burada \(a \neq 0 \), x değişkeninin en büyük kuvveti bir karedir. Dolayısıyla adı: ikinci dereceden denklem.

Sol tarafı ikinci dereceden bir polinom olduğundan, ikinci dereceden bir denklemin ikinci dereceden bir denklem olarak da adlandırıldığına dikkat edin.

x 2'deki katsayının 1 olduğu ikinci dereceden bir denklem denir indirgenmiş ikinci dereceden denklem. Örneğin, verilen ikinci dereceden denklemler,
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

ax 2 +bx+c=0 ikinci dereceden denklemde b veya c katsayılarından en az biri sıfıra eşitse, böyle bir denklem denir eksik ikinci dereceden denklem. Dolayısıyla, -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 denklemleri tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir. İlkinde b=0, ikincisinde c=0, üçüncüsünde b=0 ve c=0 şeklindedir.

Eksik ikinci dereceden denklemler üç türdendir:
1) ax 2 +c=0, burada \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, burada \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Bu türlerin her birinin denklemlerinin çözümünü düşünün.

\(c \neq 0 \) için ax 2 +c=0 biçimindeki tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemi çözmek için, serbest terimi sağ tarafa aktarılır ve denklemin her iki kısmı da a'ya bölünür:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \) olduğundan, o zaman \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Eğer \(-\frac(c)(a)>0 \), denklemin iki kökü vardır.

Eğer \(-\frac(c)(a) ise, \(b \neq 0 \) için ax 2 +bx=0 biçimindeki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözmek için sol tarafını çarpanlara ayırın ve denklemi elde edin
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(dizi)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(dizi) \sağ. \Rightarrow \left\( \begin (dizi)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(dizi) \sağ.\)

Dolayısıyla, \(b \neq 0 \) için ax 2 +bx=0 biçimindeki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin her zaman iki kökü vardır.

ax 2 \u003d 0 biçimindeki eksik bir ikinci dereceden denklem, x 2 \u003d 0 denklemine eşdeğerdir ve bu nedenle tek bir kök 0'a sahiptir.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

Şimdi hem bilinmeyenlerin katsayılarının hem de serbest terimin sıfır olmadığı ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

İkinci dereceden denklemi genel formda çözüyoruz ve sonuç olarak köklerin formülünü elde ediyoruz. Daha sonra bu formül herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için uygulanabilir.

ax 2 +bx+c=0 ikinci dereceden denklemi çözün

Her iki parçasını da a'ya bölerek, eşdeğer indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz.
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Binomun karesini vurgulayarak bu denklemi dönüştürüyoruz:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Sağok \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Kök ifade denir ikinci dereceden bir denklemin ayırt edicisi ax 2 +bx+c=0 (Latince "ayırt edici" - ayırt edici). D harfi ile gösterilir, yani.
\(D = b^2-4ac\)

Şimdi, diskriminant gösterimini kullanarak, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülü yeniden yazıyoruz:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), burada \(D= b^2-4ac \)

Açıktır ki:
1) D>0 ise ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır.
2) D=0 ise, ikinci dereceden denklemin bir kökü vardır \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) D ise Böylece, ayırt edicinin değerine bağlı olarak, ikinci dereceden denklemin iki kökü olabilir (D > 0 için), bir kökü (D = 0 için) veya hiç kökü olmayabilir (D için) Bu formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken , aşağıdaki şekilde yapılması tavsiye edilir:
1) ayırıcıyı hesaplayın ve sıfır ile karşılaştırın;
2) ayırt edici pozitif veya sıfıra eşitse, kök formülü kullanın, ayrımcı negatifse, kök olmadığını yazın.

Vieta teoremi

Verilen ikinci dereceden denklem ax 2 -7x+10=0'ın kökleri 2 ve 5'tir. Köklerin toplamı 7 ve çarpım 10'dur. Köklerin toplamının ikinci katsayıya eşit olduğunu görüyoruz. zıt işaret ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Kökleri olan herhangi bir indirgenmiş ikinci dereceden denklem bu özelliğe sahiptir.

Verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, ters işaretle alınan ikinci katsayıya ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir.

Onlar. Vieta teoremi, x 2 +px+q=0 indirgenmiş ikinci dereceden denklemin x 1 ve x 2 köklerinin şu özelliğe sahip olduğunu belirtir:
\(\left\( \begin(dizi)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(dizi) \sağ. \)