Піраміда її основу бічні ребра висота. Піраміда

• апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини (крім того, апофемою є довжина перпендикуляра, який опущений з середини правильного багатокутника на 1-ну з його сторін);
• бічні грані (ASB, BSC, CSD, DSA) - трикутники, що сходяться у вершині;
• бічні ребра ( AS , BS , CS , DS ) - загальні сторони бічних граней;
• вершина піраміди (т. S) - точка, яка з'єднує бічні ребра і яка не лежить у площині основи;
• висота ( SO ) - відрізок перпендикуляра, який проведений через вершину піраміди до площини її основи (кінцями такого відрізка будуть вершина піраміди та основа перпендикуляра);
• діагональний переріз піраміди- перетин піраміди, який проходить через вершину та діагональ основи;
• заснування (ABCD) багатокутник, якому не належить вершина піраміди.

Властивості піраміди.

1. Коли всі бічні ребра мають однакову величину, тоді:

• біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
• бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути;
• крім того, вірне і протилежне, тобто. коли бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або коли біля основи піраміди можна описати коло і вершина піраміди проектуватиметься в центр цього кола, отже, всі бічні ребра піраміди мають однакову величину.

2. Коли бічні грані мають кут нахилу до площини основи однієї величини, тоді:

• біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
• висоти бічних граней мають рівну довжину;
• площа бічної поверхні дорівнює ½ добутку периметра основи на висоту бічної грані.

3. Біля піраміди можна описати сферу в тому випадку, якщо в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери стане точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми робимо висновок, що як у всякої трикутної, так і у всякої правильної пірамідиможна описати сферу.

4. У піраміду можна вписати сферу в тому випадку, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в 1-ій точці (необхідна та достатня умова). Ця точка стане центром сфери.

Найпростіша піраміда.

За кількістю кутів основи піраміди ділять на трикутні, чотирикутні тощо.

Піраміда буде трикутної, чотирикутний, і так далі, коли основою піраміди буде трикутник, чотирикутник і так далі. Трикутна піраміда є чотиригранником - тетраедр. Чотирикутна - п'ятигранник і так далі.

Тут зібрані основні відомості про піраміди і пов'язані з нею формули та поняття. Усі вони вивчаються з репетитором з математики під час підготовки до ЄДІ.

Розглянемо площину, багатокутник , що лежить у ній і точку S, що не лежить у ній. З'єднаємо S з усіма вершинами багатокутника. Отриманий багатогранник називається пірамідою. Відрізки називаються бічними ребрами. Багатокутник називається основою, а точка S вершиною піраміди. Залежно від числа n піраміда називається трикутною (n=3), чотирикутною (n=4), п'ятикутною (n=5) тощо. Альтернативна назва трикутної піраміди – тетраедр. Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений із її вершини до площини основи.

Піраміда називається правильною, якщо правильний багатокутника основа висоти піраміди (основа перпендикуляра) є його центром.

Коментар репетитора:
Не плутайте поняття «правильна піраміда» та «правильний тетраедр». У правильної піраміди бічні ребра не обов'язково рівні ребрам основи, а правильному тетраедрі все 6 ребер ребра рівні. Це його визначення. Легко довести, що з рівності слід збіг центру багатокутника P з основою висоти, тому правильний тетраедр є правильною пірамідою.

Що таке апофема?
Апофема піраміди називається висота її бічної грані. Якщо піраміда правильна, всі її апофеми рівні. Назад неправильно.

Репетитор з математики про свою термінологію: робота з пірамідами на 80% будується через два види трикутників:
1) Що містить апофему SK і висоту SP
2) Містить бічне ребро SA та його проекцію PA

Щоб спростити посилання на ці трикутники, репетитору з математики зручніше називати перший з них. апофемним, а другий реберним. На жаль, цієї термінології ви не зустрінете в жодному з підручників, і викладачеві доводиться вводити її в односторонньому порядку.

Формула об'єму піраміди:
1) , де - площа основи піраміди, а -висота піраміди
2) , де – радіус вписаної кулі, а – площа повної поверхні піраміди.
3) , де MN - відстань будь-якими двома схрещуються ребрами, а - площа паралелограма, утвореного серединами чотирьох ребер, що залишилися.

Властивість основи висоти піраміди:

Точка P (дивися малюнок) збігається з центром вписаного кола в основу піраміди, якщо виконується одна з наступних умов:
1) Усі апофеми рівні
2) Усі бічні грані однаково нахилені до основи
3) Усі апофеми однаково нахилені до висоти піраміди
4) Висота піраміди однаково нахилена до всіх бокових граней

Коментар репетитора з математики: Зверніть увагу, що всі пункти поєднує одну загальну властивість: так чи інакше скрізь беруть участь бічні грані (апофеми - це їх елементи). Тому репетитор може запропонувати менш точну, але зручнішу для заучування формулювання: точка P збігається з центром вписаного кола основу піраміди, якщо є будь-яка рівна інформація про її бічні грані. Для доказу досить показати, що це апофемні трикутники рівні.

Точка P збігається з центром описаної біля основи піраміди колом, якщо правильна одна з трьох умов:
1) Усі бічні ребра рівні
2) Усі бічні ребра однаково нахилені до основи
3) Усі бічні ребра однаково нахилені до висоти

Відеоурок 2: Завдання на піраміду. Об'єм піраміди

Відеоурок 3: Завдання на піраміду. Правильна піраміда

Лекція: Піраміда, її основа, бічні ребра, висота, бічна поверхня; трикутна піраміда; правильна піраміда

Піраміда- це об'ємне тіло, яке має в основі багатокутник, а всі її грані складаються з трикутників.

Окремим випадком піраміди є конус, в основі якого лежить коло.

Розглянемо основні елементи піраміди:

Апофема– це відрізок, який з'єднує вершину піраміди із серединою нижнього ребра бічної грані. Інакше кажучи, це висота грані піраміди.

На малюнку можна побачити трикутники ADS, ABS, BCS, CDS. Якщо уважно подивитися на назви, можна побачити, що кожен трикутник має у своїй назві одну загальну літеру – S. Тобто це означає, що всі бічні грані (трикутники) сходяться на одній точці, яка називається вершиною піраміди.

Відрізок ОS, який з'єднує вершину з точкою перетину діагоналей основи (у разі трикутників – у точці перетину висот), називається заввишки піраміди.

Діагональним перетином називають площину, яка проходить через вершину піраміди, а також одну з діагоналей основи.

Так як бічна поверхня піраміди складається з трикутників, то для знаходження загальної площі бічної поверхні необхідно знайти площі кожної грані та скласти їх. Кількість і форма граней залежить від форми та розмірів сторін багатокутника, що лежить в основі.

Єдина площина у піраміді, якій не належить її вершина, називається основоюпіраміди.

На малюнку ми бачимо, що в основі лежить паралелограм, проте може бути будь-який довільний багатокутник.

Властивості:

Розглянемо перший випадок піраміди, у якому вона має ребра однакової довжини:

• Навколо основи такої піраміди можна описати коло. Якщо спроектувати вершину такої піраміди, то її проекція буде в центрі кола.
• Кути при основі піраміди у кожної грані однакові.
• При цьому достатньою умовою до того, що навколо основи піраміди можна описати коло, а так само вважати, що всі ребра різної довжини, можна вважати однакові кути між основою та кожним рубом граней.

Якщо Вам трапилася піраміда, у якої кути між бічними гранями та основою рівні, то справедливі такі властивості:

• Ви зможете описати коло навколо основи піраміди, вершина якої проектується точно в центр.
• Якщо провести у кожній бічній грані висоти до основи, вони будуть рівної довжини.
• Щоб знайти площу бічної поверхні такої піраміди, достатньо знайти периметр основи та помножити його на половину довжини висоти.
• S бп = 0,5P oc H.
• Види піраміди.
• Залежно від того, який багатокутник лежить в основі піраміди, вони можуть бути трикутними, чотирикутними та ін. Якщо в основі піраміди лежить правильний багатокутник (з рівними сторонами), то така піраміда називатиметься правильною.

Правильна трикутна піраміда

Поняття піраміди

Визначення 1

Геометрична фігура, Утворена багатокутником і точкою, що не лежить у площині, що містить цей багатокутник, з'єднаною з усіма вершинами багатокутника називається пірамідою (рис. 1).

Багатокутник, з якого складена піраміда, називається основою піраміди, що отримуються при з'єднанні з точкою трикутники - бічними гранями піраміди, сторони трикутників - сторонами піраміди, а загальна для всіх трикутників точка - вершиною піраміди.

Види пірамід

Залежно від кількості кутів у основі піраміди її можна назвати трикутною, чотирикутною тощо (рис. 2).

Малюнок 2.

Ще один вид пірамід - правильна піраміда.

Введемо та доведемо властивість правильної піраміди.

Теорема 1

Усі бічні грані правильної піраміди є рівнобедреними трикутниками, які рівні між собою.

Доведення.

Розглянемо правильну $n-$вугільну піраміду з вершиною $S$ заввишки $h=SO$. Опишемо навколо основи коло (рис. 4).

Малюнок 4.

Розглянемо трикутник $SOA$. За теоремою Піфагора, отримаємо

Очевидно, що так визначатиметься будь-яке бічне ребро. Отже, всі бічні ребра рівні між собою, тобто всі бічні грані – рівнобедрені трикутники. Доведемо, що вони між собою рівні. Оскільки основа - правильний багатокутник, то основи всіх бічних граней рівні між собою. Отже, всі бічні грані дорівнюють за III ознакою рівності трикутників.

Теорему доведено.

Введемо тепер таке визначення, пов'язане з поняттям правильної піраміди.

Визначення 3

Апофемою правильної піраміди називається висота її бічної грані.

Очевидно, що за теоремою всі апофеми рівні між собою.

Теорема 2

Площа бічної поверхні правильної піраміди визначається як добуток напівпериметра основи апофему.

Доведення.

Позначимо сторону основи $n-$вугільної піраміди через $a$, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Так як, за теоремою 1, всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Ще один вид піраміди - усічена піраміда.

Визначення 4

Якщо через звичайну піраміду провести площину, паралельну до її основи, то постать, утворена між цією площиною та площиною основи називається усіченою пірамідою (рис. 5).

Рисунок 5. Усічена піраміда

Боковими гранями усіченої піраміди є трапеції.

Теорема 3

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди визначається як добуток суми напівпериметрів підстав на апофему.

Доведення.

Позначимо сторони основ $n-$вугільної піраміди через $a\ і \ b$ відповідно, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Оскільки всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Приклад завдання

Приклад 1

Знайти площу бічної поверхні зрізаної трикутної піраміди, якщо вона отримана з правильної піраміди зі стороною основи 4 і апофемою 5 шляхом відсікання площиною, що проходить через середню лінію бічних граней.

Рішення.

По теоремі про середню лінію отримаємо, що верхня основа усіченої піраміди дорівнює $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апофема дорівнює $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Тоді, за теоремою 3, отримаємо