Трикутна піраміда якої ребра рівні. Основні властивості правильної піраміди

Тут зібрані основні відомості про піраміди і пов'язані з нею формули та поняття. Усі вони вивчаються з репетитором з математики під час підготовки до ЄДІ.

Розглянемо площину, багатокутник , що лежить у ній і точку S, що не лежить у ній. З'єднаємо S з усіма вершинами багатокутника. Отриманий багатогранник називається пірамідою. Відрізки називаються бічними ребрами. Багатокутник називається основою, а точка S вершиною піраміди. Залежно від числа n піраміда називається трикутною (n=3), чотирикутною (n=4), п'ятикутною (n=5) тощо. Альтернативна назва трикутної піраміди – тетраедр. Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений із її вершини до площини основи.

Піраміда називається правильною, якщо правильний багатокутника основа висоти піраміди (основа перпендикуляра) є його центром.

Коментар репетитора:
Не плутайте поняття «правильна піраміда» та «правильний тетраедр». У правильної піраміди бічні ребразовсім не обов'язково рівні ребрам підстави, а правильному тетраедрі все 6 ребер ребра рівні. Це його визначення. Легко довести, що з рівності слід збіг центру багатокутника P з основою висоти, тому правильний тетраедр є правильною пірамідою.

Що таке апофема?
Апофема піраміди називається висота її бічної грані. Якщо піраміда правильна, всі її апофеми рівні. Назад неправильно.

Репетитор з математики про свою термінологію: робота з пірамідами на 80% будується через два види трикутників:
1) Що містить апофему SK і висоту SP
2) Містить бічне ребро SA та його проекцію PA

Щоб спростити посилання на ці трикутники, репетитору з математики зручніше називати перший з них. апофемним, а другий реберним. На жаль, цієї термінології ви не зустрінете в жодному з підручників, і викладачеві доводиться вводити її в односторонньому порядку.

Формула об'єму піраміди:
1) , де - площа основи піраміди, а -висота піраміди
2) , де – радіус вписаної кулі, а – площа повної поверхні піраміди.
3) , де MN - відстань будь-якими двома схрещуються ребрами, а - площа паралелограма, утвореного серединами чотирьох ребер, що залишилися.

Властивість основи висоти піраміди:

Точка P (дивися малюнок) збігається з центром вписаного кола в основу піраміди, якщо виконується одна з наступних умов:
1) Усі апофеми рівні
2) Усі бічні грані однаково нахилені до основи
3) Усі апофеми однаково нахилені до висоти піраміди
4) Висота піраміди однаково нахилена до всіх бокових граней

Коментар репетитора з математики: Зверніть увагу, що всі пункти поєднує одну загальну властивість: так чи інакше скрізь беруть участь бічні грані (апофеми - це їх елементи). Тому репетитор може запропонувати менш точну, але зручнішу для заучування формулювання: точка P збігається з центром вписаного кола основу піраміди, якщо є будь-яка рівна інформація про її бічні грані. Для доказу досить показати, що це апофемні трикутники рівні.

Точка P збігається з центром описаної біля основи піраміди колом, якщо правильна одна з трьох умов:
1) Усі бічні ребра рівні
2) Усі бічні ребра однаково нахилені до основи
3) Усі бічні ребра однаково нахилені до висоти

• апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини (крім того, апофемою є довжина перпендикуляра, який опущений з середини правильного багатокутника на 1-ну з його сторін);
• бічні грані (ASB, BSC, CSD, DSA) - трикутники, що сходяться у вершині;
• бічні ребра ( AS , BS , CS , DS ) - загальні сторони бічних граней;
• вершина піраміди (т. S) - точка, яка з'єднує бічні ребра і яка не лежить у площині основи;
• висота ( SO ) - відрізок перпендикуляра, який проведений через вершину піраміди до площини її основи (кінцями такого відрізка будуть вершина піраміди та основа перпендикуляра);
• діагональний переріз піраміди- перетин піраміди, який проходить через вершину та діагональ основи;
• заснування (ABCD) багатокутник, якому не належить вершина піраміди.

Властивості піраміди.

1. Коли всі бічні ребра мають однакову величину, тоді:

• біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
• бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути;
• крім того, вірне і протилежне, тобто. коли бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або коли біля основи піраміди можна описати коло і вершина піраміди проектуватиметься в центр цього кола, отже, всі бічні ребра піраміди мають однакову величину.

2. Коли бічні грані мають кут нахилу до площини основи однієї величини, тоді:

• біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
• висоти бічних граней мають рівну довжину;
• площа бічної поверхні дорівнює ½ добутку периметра основи на висоту бічної грані.

3. Біля піраміди можна описати сферу в тому випадку, якщо в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери стане точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми робимо висновок, що як у всякої трикутної, так і у будь-якої правильної піраміди можна описати сферу.

4. У піраміду можна вписати сферу в тому випадку, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в 1-ій точці (необхідна та достатня умова). Ця точка стане центром сфери.

Найпростіша піраміда.

За кількістю кутів основи піраміди ділять на трикутні, чотирикутні тощо.

Піраміда буде трикутної, чотирикутний, і так далі, коли основою піраміди буде трикутник, чотирикутник і так далі. Трикутна піраміда є чотиригранником - тетраедр. Чотирикутна - п'ятигранник і так далі.

Відеоурок 2: Завдання на піраміду. Об'єм піраміди

Відеоурок 3: Завдання на піраміду. Правильна піраміда

Лекція: Піраміда, її основа, бічні ребра, висота, бічна поверхня; трикутна піраміда; правильна піраміда

Піраміда- це об'ємне тіло, яке має в основі багатокутник, а всі її грані складаються з трикутників.

Окремим випадком піраміди є конус, в основі якого лежить коло.

Розглянемо основні елементи піраміди:

Апофема– це відрізок, який з'єднує вершину піраміди із серединою нижнього ребра бічної грані. Інакше кажучи, це висота грані піраміди.

На малюнку можна побачити трикутники ADS, ABS, BCS, CDS. Якщо уважно подивитися на назви, можна побачити, що кожен трикутник має у своїй назві одну загальну літеру – S. Тобто це означає, що всі бічні грані (трикутники) сходяться на одній точці, яка називається вершиною піраміди.

Відрізок ОS, який з'єднує вершину з точкою перетину діагоналей основи (у разі трикутників – у точці перетину висот), називається заввишки піраміди.

Діагональним перетином називають площину, яка проходить через вершину піраміди, а також одну з діагоналей основи.

Так як бічна поверхня піраміди складається з трикутників, то для знаходження загальної площі бічної поверхні необхідно знайти площі кожної грані та скласти їх. Кількість і форма граней залежить від форми та розмірів сторін багатокутника, що лежить в основі.

Єдина площина у піраміді, якій не належить її вершина, називається основоюпіраміди.

На малюнку ми бачимо, що в основі лежить паралелограм, проте може бути будь-який довільний багатокутник.

Властивості:

Розглянемо перший випадок піраміди, у якому вона має ребра однакової довжини:

• Навколо основи такої піраміди можна описати коло. Якщо спроектувати вершину такої піраміди, то її проекція буде в центрі кола.
• Кути при основі піраміди у кожної грані однакові.
• При цьому достатньою умовою до того, що навколо основи піраміди можна описати коло, а так само вважати, що всі ребра різної довжини, можна вважати однакові кути між основою та кожним рубом граней.

Якщо Вам трапилася піраміда, у якої кути між бічними гранями та основою рівні, то справедливі такі властивості:

• Ви зможете описати коло навколо основи піраміди, вершина якої проектується точно в центр.
• Якщо провести у кожній бічній грані висоти до основи, вони будуть рівної довжини.
• Щоб знайти площу бічної поверхні такої піраміди, достатньо знайти периметр основи та помножити його на половину довжини висоти.
• S бп = 0,5P oc H.
• Види піраміди.
• Залежно від того, який багатокутник лежить в основі піраміди, вони можуть бути трикутними, чотирикутними та ін. Якщо в основі піраміди лежить правильний багатокутник (з рівними сторонами), то така піраміда називатиметься правильною.

Правильна трикутна піраміда

Нам добре відомі великі єгипетські піраміди, кожен може уявити, як вони виглядають. Це уявлення і допоможе нам розібратися в особливостях такої геометричної фігурияк піраміда.

Піраміда – це багатогранник, що складається з плоского багатокутника – основи піраміди, точки, що не лежить у площині основи, – вершини піраміди та всіх відрізків, що з'єднують вершину з точками основи. Відрізки, які з'єднують вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами. На рис. 1 зображено піраміду SABCD. Чотирикутник ABCD – основа піраміди, точка S – вершина піраміди, відрізки SA, SB, SC та SD – ребра піраміди.

Висота піраміди – перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи. На рис. 1 SO – висота піраміди.

Піраміда називається n-вугільною, якщо її основою є n-кутник. На малюнку 1 зображено чотирикутну піраміду. Трикутна піраміда називається тетраедром.

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний багатокутник, а основа висоти збігається із центром цього багатокутника. Бічні ребра у правильної піраміди рівні, а отже, бічні грані є рівнобедреними трикутниками. У правильній піраміді висота бічної грані, проведена з вершини піраміди, називається апофемою.

Піраміда має низку властивостей.

Усі діагоналі піраміди належать її граням.

Якщо всі бічні ребра рівні, то:

• біля основи піраміди можна описати коло, причому вершина піраміди проектується на її центр;
• бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, і, навпаки, якщо бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути або якщо біля основи піраміди можна описати коло, причому вершина піраміди проектується в її центр, всі бічні ребра піраміди рівні.

Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то:

• в основу піраміди можна вписати коло, причому вершина піраміди проектується в її центр;
• висоти бічних граней рівні;
• площа бічної поверхні дорівнює половині добутку периметра основи висоту бічної грані.

Розглянемо формули знаходження обсягу, площі поверхні піраміди.

Обсяг піраміди можна обчислити за такою формулою:

де S – площа основи, а h – висота.

Щоб знайти площу повної поверхні піраміди, необхідно скористатися формулою:

S p = S b + S o ,

де S p – площа повної поверхні, S b – площа бічної поверхні, S o – площа основи.

Усічена піраміда – це багатогранник, укладений між основою піраміди і січною площиною, паралельною її основі. Грані усіченої піраміди, що лежать у паралельних площинах, називаються основами усіченої піраміди, інші грані називаються бічними гранями. Підставами усіченої піраміди є подібні багатокутники, бічними гранями – трапеції. Усічена піраміда, яка виходить із правильної піраміди, називається правильною усіченою пірамідою. Бічні грані правильної усіченої трапеції є рівними рівнобокими трапеціями, їх висоти називаються апофемами.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.