Gemeinsames Vielfaches zweier Zahlen finden. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)

Größter gemeinsamer Teiler

Bestimmung 2

Wenn eine natürliche Zahl a durch eine natürliche Zahl $b$ teilbar ist, dann heißt $b$ ein Teiler von $a$ und die Zahl $a$ heißt ein Vielfaches von $b$.

Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen. Die Zahl $c$ wird gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ genannt.

Die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen $a$ und $b$ ist endlich, da keiner dieser Teiler größer als $a$ sein kann. Das bedeutet, dass es unter diesen Teilern den größten gibt, der als größter gemeinsamer Teiler der Zahlen $a$ und $b$ bezeichnet wird, und die Notation verwendet wird, um ihn zu bezeichnen:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​oder \ D \ (a;b)$

Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden:

1. Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

Beispiel 1

Finden Sie den ggT der Zahlen $121$ und $132,$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Wählen Sie die Zahlen aus, die in der Erweiterung dieser Zahlen enthalten sind

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

$gcd=2\cdot 11=22$

Beispiel 2

Finden Sie den ggT der Monome $63$ und $81$.

Wir werden gemäß dem vorgestellten Algorithmus finden. Dafür:

Zerlegen wir Zahlen in Primfaktoren

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Wir wählen die Zahlen aus, die in der Erweiterung dieser Zahlen enthalten sind

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Lassen Sie uns das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen finden. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

$gcd=3\cdot 3=9$

Sie können den ggT zweier Zahlen auf andere Weise finden, indem Sie die Menge der Teiler von Zahlen verwenden.

Beispiel 3

Finde den ggT der Zahlen $48$ und $60$.

Lösung:

Finde den Teilersatz von $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Lassen Sie uns nun die Menge der Teiler von $60$ finden:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Finden wir den Schnittpunkt dieser Mengen: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - diese Menge bestimmt die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen $48$ und $60 $. Das größte Element in diesem Set ist die Zahl $12$. Der größte gemeinsame Teiler von 48 $ und 60 $ ist also 12 $.

Definition von NOC

Bestimmung 3

gemeinsames Vielfaches natürlicher Zahlen$a$ und $b$ sind natürliche Zahlen, die ein Vielfaches von $a$ und $b$ sind.

Gemeinsame Vielfache von Zahlen sind Zahlen, die durch das Original ohne Rest teilbar sind. Zum Beispiel sind die gemeinsamen Vielfachen für die Zahlen $25$ und $50$ die Zahlen $50,100,150,200$ usw.

Das kleinste gemeinsame Vielfache wird als kleinstes gemeinsames Vielfaches bezeichnet und mit LCM$(a;b)$ oder K$(a;b).$ bezeichnet

Um das LCM von zwei Zahlen zu finden, benötigen Sie:

1. Zahlen in Primfaktoren zerlegen
2. Schreiben Sie die Faktoren auf, die Teil der ersten Zahl sind, und fügen Sie die Faktoren hinzu, die Teil der zweiten Zahl sind und nicht zur ersten gehören

Beispiel 4

Finden Sie das LCM der Zahlen $99$ und $77$.

Wir werden gemäß dem vorgestellten Algorithmus finden. Dafür

Zahlen in Primfaktoren zerlegen

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Schreiben Sie die Faktoren auf, die in der ersten enthalten sind

Fügen Sie ihnen Faktoren hinzu, die Teil des zweiten sind und nicht zum ersten gehen

Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Das Erstellen von Teilerlisten von Zahlen ist oft sehr zeitaufwändig. Es gibt einen Weg, GCD zu finden, der als Euklid-Algorithmus bezeichnet wird.

Aussagen, auf denen Euklids Algorithmus basiert:

Wenn $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind und $a\vdots b$, dann ist $D(a;b)=b$

Wenn $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind, so dass $b

Mit $D(a;b)= D(a-b;b)$ können wir die betrachteten Zahlen sukzessive verringern, bis wir ein Zahlenpaar erreichen, bei dem die eine durch die andere teilbar ist. Dann ist die kleinere dieser Zahlen der gesuchte größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$.

Eigenschaften von GCD und LCM

1. Jedes gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ ist durch K$(a;b)$ teilbar
2. Wenn $a\vdots b$ ist, dann ist K$(a;b)=a$

Wenn K$(a;b)=k$ und $m$-natürliche Zahl, dann ist K$(am;bm)=km$

Wenn $d$ ein gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ ist, dann ist K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Wenn $a\vdots c$ und $b\vdots c$ , dann ist $\frac(ab)(c)$ ein gemeinsames Vielfaches von $a$ und $b$

Für beliebige natürliche Zahlen $a$ und $b$ die Gleichheit

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Jeder gemeinsame Teiler von $a$ und $b$ ist ein Teiler von $D(a;b)$

Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache sind wichtige arithmetische Konzepte, mit denen Sie mühelos arbeiten können gewöhnliche Brüche. LCM und werden am häufigsten verwendet, um den gemeinsamen Nenner mehrerer Brüche zu finden.

Grundlegendes Konzept

Der Teiler einer ganzen Zahl X ist eine andere ganze Zahl Y, durch die X ohne Rest teilbar ist. Beispielsweise ist der Teiler von 4 2 und 36 ist 4, 6, 9. Ein Vielfaches der ganzen Zahl X ist eine Zahl Y, die ohne Rest durch X teilbar ist. Beispielsweise ist 3 ein Vielfaches von 15 und 6 ein Vielfaches von 12.

Für jedes Zahlenpaar können wir ihre gemeinsamen Teiler und Vielfachen finden. Für 6 und 9 ist beispielsweise das gemeinsame Vielfache 18 und der gemeinsame Teiler 3. Offensichtlich können Paare mehrere Teiler und Vielfache haben, sodass der größte Teiler des ggT und das kleinste Vielfache des LCM in den Berechnungen verwendet werden .

Der kleinste Teiler macht keinen Sinn, da er für jede Zahl immer eins ist. Auch das größte Vielfache ist bedeutungslos, da die Folge der Vielfachen gegen unendlich strebt.

GCD finden

Es gibt viele Methoden, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, von denen die bekanntesten sind:

• sequentielle Aufzählung von Teilern, Auswahl gemeinsamer für ein Paar und Suche nach dem größten von ihnen;
• Zerlegung von Zahlen in unteilbare Faktoren;
• Euklids Algorithmus;
• binärer Algorithmus.

Heute um Bildungsinstitutionen Die beliebtesten sind Primfaktorzerlegungsmethoden und der Euklid-Algorithmus. Letztere wiederum wird zur Lösung diophantischer Gleichungen verwendet: Die Suche nach ggT ist erforderlich, um die Gleichung auf die Möglichkeit zu prüfen, sie in ganze Zahlen aufzulösen.

Suche nach dem NOC

Auch das kleinste gemeinsame Vielfache wird durch iteratives Aufzählen oder Zerlegen in unteilbare Faktoren exakt bestimmt. Außerdem ist es einfach, das LCM zu finden, wenn der größte Teiler bereits bestimmt wurde. Für die Zahlen X und Y stehen LCM und GCD in folgender Beziehung:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Wenn zum Beispiel ggT(15,18) = 3, dann ist LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Die naheliegendste Verwendung von LCM besteht darin, den gemeinsamen Nenner zu finden, der das kleinste gemeinsame Vielfache von ist gegebene Brüche.

Koprime-Zahlen

Wenn ein Zahlenpaar keine gemeinsamen Teiler hat, dann wird ein solches Paar teilerfremd genannt. Das GCM für solche Paare ist immer gleich eins, und basierend auf der Verbindung von Teilern und Vielfachen ist das GCM für Koprime gleich ihrem Produkt. Zum Beispiel sind die Zahlen 25 und 28 Teilerfremde, weil sie keine gemeinsamen Teiler haben, und LCM(25, 28) = 700, was ihrem Produkt entspricht. Zwei beliebige unteilbare Zahlen sind immer teilerfremd.

Gemeinsamer Teiler und Mehrfachrechner

Mit unserem Rechner können Sie GCD und LCM für beliebig viele Zahlen zur Auswahl berechnen. Aufgaben zur Berechnung gemeinsamer Teiler und Vielfacher finden sich in Arithmetik der Klassen 5, 6, jedoch ggT und LCM - Schlüssel Konzepte Mathematik und werden in der Zahlentheorie, Planimetrie und kommunikativen Algebra verwendet.

Beispiele aus dem wirklichen Leben

Gemeinsamer Nenner von Brüchen

Das kleinste gemeinsame Vielfache wird verwendet, um den gemeinsamen Nenner mehrerer Brüche zu finden. Angenommen, in einer arithmetischen Aufgabe müssen 5 Brüche summiert werden:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Um Brüche zu addieren, muss der Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, was sich auf das Problem reduziert, das LCM zu finden. Wählen Sie dazu 5 Zahlen im Taschenrechner aus und geben Sie die Nennerwerte in die entsprechenden Zellen ein. Das Programm berechnet LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Jetzt müssen Sie zusätzliche Faktoren für jeden Bruch berechnen, die als Verhältnis von LCM zum Nenner definiert sind. Die zusätzlichen Multiplikatoren würden also folgendermaßen aussehen:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Danach multiplizieren wir alle Brüche mit dem entsprechenden zusätzlichen Faktor und erhalten:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Wir können solche Brüche einfach addieren und erhalten das Ergebnis in Form von 159/360. Wir reduzieren den Bruch um 3 und sehen die endgültige Antwort - 53/120.

Lösung linearer diophantischer Gleichungen

Lineare diophantische Gleichungen sind Ausdrücke der Form ax + by = d. Wenn das Verhältnis d / ggT(a, b) eine ganze Zahl ist, dann ist die Gleichung in ganzen Zahlen lösbar. Lassen Sie uns ein paar Gleichungen auf die Möglichkeit einer ganzzahligen Lösung überprüfen. Überprüfen Sie zuerst die Gleichung 150x + 8y = 37. Mit einem Taschenrechner finden wir ggT (150,8) = 2. Teilen Sie 37/2 = 18,5. Die Zahl ist keine ganze Zahl, daher hat die Gleichung keine ganzzahligen Wurzeln.

Lassen Sie uns die Gleichung 1320x + 1760y = 10120 überprüfen. Verwenden Sie den Taschenrechner, um ggT(1320, 1760) = 440 zu finden. Teilen Sie 10120/440 = 23. Als Ergebnis erhalten wir eine ganze Zahl, daher ist die diophantische Gleichung in ganzzahligen Koeffizienten lösbar .

Abschluss

GCD und LCM spielen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, und die Konzepte selbst werden in verschiedenen Bereichen der Mathematik häufig verwendet. Verwenden Sie unseren Rechner, um die größten Teiler und kleinsten Vielfachen einer beliebigen Anzahl von Zahlen zu berechnen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen steht in direktem Zusammenhang mit dem größten gemeinsamen Teiler dieser Zahlen. Das Verbindung zwischen GCD und NOC ist durch den folgenden Satz definiert.

Satz.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei positiven ganzen Zahlen a und b ist gleich dem Produkt von a und b dividiert durch den größten gemeinsamen Teiler von a und b, d. h. LCM(a, b)=a b: ggT(a, b).

Nachweisen.

Lassen M ist ein Vielfaches der Zahlen a und b. Das heißt, M ist durch a teilbar, und gemäß der Definition der Teilbarkeit gibt es eine ganze Zahl k, so dass die Gleichheit M = a·k wahr ist. Aber M ist auch durch b teilbar, dann ist a k durch b teilbar.

Bezeichne ggT(a, b) als d . Dann können wir die Gleichungen a=a 1 ·d und b=b 1 ·d aufschreiben, und a 1 =a:d und b 1 =b:d werden teilerfremde Zahlen sein. Daher kann die im vorherigen Absatz erhaltene Bedingung, dass a k durch b teilbar ist, wie folgt umformuliert werden: a 1 d k ist durch b 1 d teilbar, und dies ist aufgrund der Teilbarkeitseigenschaften äquivalent zu der Bedingung, dass a 1 k durch b 1 teilbar ist.

Wir müssen auch zwei wichtige Folgerungen aus dem betrachteten Theorem aufschreiben.

Gemeinsame Vielfache zweier Zahlen sind gleich Vielfache ihres kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

Dies ist wahr, da jedes gemeinsame Vielfache von M Zahlen a und b durch die Gleichheit M=LCM(a, b) t für einen ganzzahligen Wert t definiert ist.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches von teilerfremd positive Zahlen a und b ist gleich ihrem Produkt.

Der Grund für diese Tatsache ist ziemlich offensichtlich. Da a und b teilerfremd sind, ist ggT(a, b)=1 , also LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches von drei oder mehr Zahlen

Das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von drei oder mehr Zahlen kann auf das sukzessive Finden des LCM von zwei Zahlen reduziert werden. Wie das geht, zeigt der folgende Satz: a 1 , a 2 , …, a k stimmen mit gemeinsamen Vielfachen der Zahlen m k-1 überein und a k stimmen also mit Vielfachen von m k überein. Und da das kleinste positive Vielfache der Zahl m k die Zahl m k selbst ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a 1 , a 2 , …, a k m k .

Referenzliste.

• Wilenkin N.Ja. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Winogradov I.M. Grundlagen der Zahlentheorie.
• Michelowitsch Sh.Kh. Zahlentheorie.
• Kulikov L. Ya. ua Sammlung von Problemen der Algebra und Zahlentheorie: Lernprogramm für Studierende der Physik und Mathematik. Spezialgebiete pädagogischer Institute.

Um zu verstehen, wie das LCM berechnet wird, sollten Sie zunächst die Bedeutung des Begriffs "Multiple" bestimmen.

Ein Vielfaches von A ist eine natürliche Zahl, die ohne Rest durch A teilbar ist, also können 15, 20, 25 usw. als Vielfache von 5 betrachtet werden.

Es kann eine begrenzte Anzahl von Teilern einer bestimmten Zahl geben, aber es gibt unendlich viele Vielfache.

Ein gemeinsames Vielfaches natürlicher Zahlen ist eine Zahl, die ohne Rest durch sie teilbar ist.

So finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen

Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von Zahlen (zwei, drei oder mehr) ist die kleinste natürliche Zahl, die durch alle diese Zahlen ohne Rest teilbar ist.

Um das NOC zu finden, können Sie mehrere Methoden verwenden.

Bei kleinen Zahlen ist es praktisch, alle Vielfachen dieser Zahlen in einer Zeile aufzuschreiben, bis unter ihnen ein gemeinsames gefunden wird. Vielfache bezeichnen im Datensatz Großbuchstabe ZU.

Vielfache von 4 können beispielsweise so geschrieben werden:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Sie können also sehen, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 4 und 6 die Zahl 24 ist. Diese Eingabe wird wie folgt durchgeführt:

LCM(4, 6) = 24

Wenn die Zahlen groß sind, finden Sie das gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen, dann ist es besser, eine andere Methode zur Berechnung des LCM zu verwenden.

Um die Aufgabe abzuschließen, ist es notwendig, die vorgeschlagenen Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen.

Zuerst müssen Sie die Erweiterung der größten Zahl in einer Zeile und darunter den Rest aufschreiben.

Bei der Erweiterung jeder Zahl kann es eine unterschiedliche Anzahl von Faktoren geben.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Zahlen 50 und 20 in Primfaktoren zerlegen.

Bei der Erweiterung der kleineren Zahl sollten Faktoren betont werden, die bei der Erweiterung der ersten fehlen. eine große Anzahl und füge sie dann hinzu. Im vorgestellten Beispiel fehlt eine Zwei.

Jetzt können wir das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 50 berechnen.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Somit ist das Produkt aus den Primfaktoren der größeren Zahl und den Faktoren der zweiten Zahl, die nicht in die Zerlegung der größeren Zahl eingehen, das kleinste gemeinsame Vielfache.

Um das LCM von drei oder mehr Zahlen zu finden, sollten alle wie im vorherigen Fall in Primfaktoren zerlegt werden.

Als Beispiel kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 16, 24, 36 finden.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Somit wurden nur zwei Zweien aus der Zerlegung von sechzehn nicht in die Faktorisierung einer größeren Zahl einbezogen (eine ist in der Zerlegung von vierundzwanzig).

Daher müssen sie zur Zerlegung einer größeren Zahl hinzugefügt werden.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Es gibt Sonderfälle bei der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Wenn also eine der Zahlen ohne Rest durch eine andere teilbar ist, dann ist die größere dieser Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache.

Zum Beispiel wären NOCs von zwölf und vierundzwanzig vierundzwanzig.

Wenn es notwendig ist, das kleinste gemeinsame Vielfache von teilerfremden Zahlen zu finden, die nicht dieselben Teiler haben, dann ist ihr LCM gleich ihrem Produkt.

Beispiel: LCM(10, 11) = 110.

Lassen Sie uns die Diskussion über das kleinste gemeinsame Vielfache fortsetzen, die wir im Abschnitt LCM - Kleinstes gemeinsames Vielfaches, Definition, Beispiele begonnen haben. In diesem Thema werden wir uns mit Möglichkeiten befassen, das LCM für drei oder mehr Zahlen zu finden, wir werden die Frage analysieren, wie man das LCM einer negativen Zahl findet.

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Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) durch ggT

Den Zusammenhang zwischen dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen und dem größten gemeinsamen Teiler haben wir bereits hergestellt. Lassen Sie uns nun lernen, wie man das LCM durch den GCD definiert. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, wie dies für positive Zahlen zu tun ist.

Bestimmung 1

Sie können das kleinste gemeinsame Vielfache durch den größten gemeinsamen Teiler finden, indem Sie die Formel LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) verwenden.

Beispiel 1

Es ist notwendig, das LCM der Nummern 126 und 70 zu finden.

Lösung

Nehmen wir a = 126 , b = 70 . Ersetzen Sie die Werte in der Formel zur Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen durch den größten gemeinsamen Teiler LCM (a, b) = a · b: ggT (a, b) .

Findet den ggT der Zahlen 70 und 126. Dazu brauchen wir den Euklid-Algorithmus: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , also ggT (126 , 70) = 14 .

Lassen Sie uns das LCM berechnen: LCM (126, 70) = 126 70: ggT (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Antworten: LCM (126, 70) = 630.

Beispiel 2

Finde das Nok der Zahlen 68 und 34.

Lösung

GCD ein dieser Fall Sie zu finden ist einfach, da 68 durch 34 teilbar ist. Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache mit der Formel: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Antworten: LCM(68, 34) = 68.

In diesem Beispiel haben wir die Regel zum Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen positiver ganzer Zahlen a und b verwendet: Wenn die erste Zahl durch die zweite teilbar ist, dann ist das kgV dieser Zahlen gleich der ersten Zahl.

Ermitteln des LCM durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren

Schauen wir uns nun einen Weg an, um das LCM zu finden, das auf der Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren basiert.

Bestimmung 2

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen wir eine Reihe einfacher Schritte ausführen:

• wir bilden das Produkt aller Primfaktoren von Zahlen, für die wir das LCM finden müssen;
• wir schließen alle Primfaktoren aus ihren erhaltenen Produkten aus;
• Das nach Eliminierung der gemeinsamen Primfaktoren erhaltene Produkt ist gleich dem kgV der gegebenen Zahlen.

Diese Art, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, basiert auf der Gleichheit LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Schaut man sich die Formel an, wird klar: Das Produkt der Zahlen a und b ist gleich dem Produkt aller Faktoren, die an der Entwicklung dieser beiden Zahlen beteiligt sind. In diesem Fall ist der ggT zweier Zahlen gleich dem Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Faktorisierungen dieser beiden Zahlen vorkommen.

Beispiel 3

Wir haben zwei Nummern 75 und 210 . Wir können sie wie folgt ausrechnen: 75 = 3 5 5 Und 210 = 2 3 5 7. Wenn Sie das Produkt aller Faktoren der beiden ursprünglichen Zahlen bilden, erhalten Sie: 2 3 3 5 5 5 7.

Wenn wir die beiden Zahlen 3 und 5 gemeinsamen Faktoren ausschließen, erhalten wir ein Produkt der folgenden Form: 2 3 5 5 7 = 1050. Dieses Produkt wird unser LCM für die Nummern 75 und 210 sein.

Beispiel 4

Finden Sie das LCM der Zahlen 441 Und 700 , wobei beide Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden.

Lösung

Lassen Sie uns alle Primfaktoren der in der Bedingung angegebenen Zahlen finden:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Wir erhalten zwei Zahlenketten: 441 = 3 3 7 7 und 700 = 2 2 5 5 7 .

Das Produkt aller Faktoren, die an der Expansion dieser Zahlen beteiligt waren, sieht folgendermaßen aus: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Lassen Sie uns die gemeinsamen Faktoren finden. Diese Zahl ist 7. Schließen wir es aus gemeinsames Produkt: 2 2 3 3 5 5 7 7. Es stellt sich heraus, dass NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Antworten: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Lassen Sie uns eine weitere Formulierung der Methode zum Ermitteln des LCM geben, indem Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden.

Bestimmung 3

Zuvor haben wir von der Gesamtzahl der Faktoren ausgeschlossen, die beiden Zahlen gemeinsam sind. Jetzt machen wir es anders:

• Zerlegen wir beide Zahlen in Primfaktoren:
• addiere zum Produkt der Primfaktoren der ersten Zahl die fehlenden Faktoren der zweiten Zahl;
• wir erhalten das Produkt, das das gewünschte LCM von zwei Zahlen sein wird.

Beispiel 5

Kommen wir noch einmal auf die Nummern 75 und 210 zurück, für die wir bereits in einem der vorherigen Beispiele nach dem LCM gesucht haben. Zerlegen wir sie in einfache Faktoren: 75 = 3 5 5 Und 210 = 2 3 5 7. Zum Produkt der Faktoren 3 , 5 und 5 Nummer 75 füge die fehlenden Faktoren hinzu 2 Und 7 Zahlen 210 . Wir bekommen: 2 3 5 5 7 . Dies ist das LCM der Nummern 75 und 210.

Beispiel 6

Es ist notwendig, das LCM der Zahlen 84 und 648 zu berechnen.

Lösung

Zerlegen wir die Zahlen aus der Bedingung in Primfaktoren: 84 = 2 2 3 7 Und 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Addiere zum Produkt der Faktoren 2 , 2 , 3 und 7 Zahlen 84 fehlende Faktoren 2 , 3 , 3 und
3 Nummern 648 . Wir bekommen das Produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648.

Antworten: LCM (84, 648) = 4536.

Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen

Unabhängig davon, mit wie vielen Zahlen wir es zu tun haben, der Algorithmus unserer Aktionen wird immer derselbe sein: Wir werden immer das LCM von zwei Zahlen finden. Für diesen Fall gibt es einen Satz.

Satz 1

Angenommen, wir haben ganze Zahlen a 1 , a 2 , … , ein k. NOK m k dieser Zahlen findet sich in sequentieller Rechnung m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Sehen wir uns nun an, wie der Satz auf bestimmte Probleme angewendet werden kann.

Beispiel 7

Sie müssen das kleinste gemeinsame Vielfache der vier Zahlen 140, 9, 54 und berechnen 250 .

Lösung

Lassen Sie uns die Notation einführen: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Beginnen wir mit der Berechnung von m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Verwenden wir den euklidischen Algorithmus, um den ggT der Zahlen 140 und 9 zu berechnen: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Wir erhalten: ggT(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: ggT(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Daher ist m 2 = 1 260 .

Lassen Sie uns nun nach demselben Algorithmus m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) berechnen. Im Laufe der Berechnung erhalten wir m 3 = 3 780.

Es bleibt uns, m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) zu berechnen. Wir handeln nach demselben Algorithmus. Wir bekommen m 4 \u003d 94 500.

Das LCM der vier Zahlen aus der Beispielbedingung ist 94500 .

Antworten: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Wie Sie sehen können, sind die Berechnungen einfach, aber ziemlich mühsam. Um Zeit zu sparen, können Sie den anderen Weg gehen.

Bestimmung 4

Wir bieten Ihnen den folgenden Aktionsalgorithmus an:

• alle Zahlen in Primfaktoren zerlegen;
• addieren Sie zum Produkt der Faktoren der ersten Zahl die fehlenden Faktoren aus dem Produkt der zweiten Zahl;
• füge die fehlenden Faktoren der dritten Zahl zu dem in der vorherigen Stufe erhaltenen Produkt hinzu usw.;
• das resultierende Produkt ist das kleinste gemeinsame Vielfache aller Zahlen aus der Bedingung.

Beispiel 8

Es ist notwendig, das LCM von fünf Nummern 84, 6, 48, 7, 143 zu finden.

Lösung

Zerlegen wir alle fünf Zahlen in Primfaktoren: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Primzahlen, also die Zahl 7 , kann nicht in Primfaktoren zerlegt werden. Solche Zahlen fallen mit ihrer Zerlegung in Primfaktoren zusammen.

Nehmen wir nun das Produkt der Primfaktoren 2, 2, 3 und 7 der Zahl 84 und addieren die fehlenden Faktoren der zweiten Zahl dazu. Wir haben die Zahl 6 in 2 und 3 zerlegt. Diese Faktoren sind bereits im Produkt der ersten Zahl enthalten. Daher lassen wir sie weg.

Wir fügen weiterhin die fehlenden Multiplikatoren hinzu. Wir wenden uns der Zahl 48 zu, aus dem Produkt der Primfaktoren, von denen wir 2 und 2 nehmen. Dann addieren wir einen einfachen Faktor von 7 von der vierten Zahl und Faktoren von 11 und 13 von der fünften. Wir erhalten: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache der fünf ursprünglichen Zahlen.

Antworten: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von negativen Zahlen

Um das kleinste gemeinsame Vielfache von negativen Zahlen zu finden, müssen diese Zahlen zunächst durch Zahlen mit entgegengesetztem Vorzeichen ersetzt werden, und dann sollten die Berechnungen nach den oben genannten Algorithmen durchgeführt werden.

Beispiel 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) und LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Solche Handlungen sind aufgrund der Tatsache zulässig, dass, wenn dies akzeptiert wird A Und − ein- entgegengesetzte Nummern
dann die Menge der Vielfachen A fällt mit der Menge der Vielfachen einer Zahl zusammen − ein.

Beispiel 10

Es ist notwendig, das LCM von negativen Zahlen zu berechnen − 145 Und − 45 .

Lösung

Lassen Sie uns die Zahlen ändern − 145 Und − 45 zu ihren Gegenstücken 145 Und 45 . Nun berechnen wir mit dem Algorithmus LCM (145 , 45) = 145 45 : GCD (145 , 45) = 145 45 : 5 = 1 305 , nachdem wir zuvor den ggT mit dem Euklid-Algorithmus bestimmt haben.

Wir erhalten, dass das LCM der Zahlen − 145 und − 45 gleich 1 305 .

Antworten: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

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