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So ermitteln Sie den kleinsten Wert einer Funktion aus einer Gleichung. Der größte und kleinste Wert einer Funktion zweier Variablen in einem geschlossenen Bereich

Eine kleine und eher einfache Aufgabe, die einem schwebenden Schüler als Lebensader dient. In der Natur herrscht Mitte Juli ein verschlafenes Reich, also ist es Zeit, sich mit einem Laptop am Strand niederzulassen. Gespielt früh am Morgen Sonnenstrahl Theorie, um sich bald auf die Praxis zu konzentrieren, die trotz ihrer angeblichen Leichtigkeit Glassplitter im Sand enthält. In diesem Zusammenhang empfehle ich, einige Beispiele dieser Seite gewissenhaft zu betrachten. Um praktische Aufgaben zu lösen, muss man dazu in der Lage sein Derivate finden und den Inhalt des Artikels verstehen Intervalle der Monotonie und Extrema einer Funktion.

Zunächst kurz zum Wesentlichen. In einer Lektion über Funktionskontinuität Ich habe die Kontinuität an einem Punkt und die Kontinuität in einem Intervall definiert. Das beispielhafte Verhalten einer Funktion auf einem Segment wird formuliert ähnlich. Eine Funktion ist auf einem Segment stetig, wenn:

1) es ist im Intervall stetig;
2) kontinuierlich an einem Punkt rechts und zwar auf den Punkt links.

Der zweite Absatz befasst sich mit dem sogenannten einseitige Kontinuität Funktionen an einem Punkt. Für die Definition gibt es mehrere Ansätze, aber ich bleibe bei der zuvor begonnenen Zeile:

Die Funktion ist in einem Punkt stetig rechts, wenn sie an einem bestimmten Punkt definiert ist und ihr rechter Grenzwert mit dem Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt übereinstimmt: . Es ist an der Stelle kontinuierlich links, wenn an einem bestimmten Punkt definiert und sein linker Grenzwert gleich dem Wert an diesem Punkt ist:

Stellen Sie sich vor, dass die grünen Punkte die Nägel sind, an denen das magische Gummiband befestigt ist:

Nehmen Sie die rote Linie gedanklich in die Hand. Offensichtlich bleibt die Funktion erhalten, egal wie weit wir den Graphen nach oben und unten (entlang der Achse) strecken begrenzt- oben eine Hecke, unten eine Hecke und unser Produkt weidet auf einer Koppel. Auf diese Weise, Eine auf einem Segment stetige Funktion ist auf dieses beschränkt. Im Zuge der mathematischen Analyse wird diese scheinbar einfache Tatsache festgestellt und rigoros bewiesen Der erste Satz von Weierstrass.... Viele Leute ärgern sich darüber, dass elementare Aussagen in der Mathematik mühsam begründet werden, aber das gibt es wichtige Bedeutung. Angenommen, ein bestimmter Bewohner des Frottee-Mittelalters zog den Graphen über die Grenzen der Sichtbarkeit hinaus in den Himmel, dann wurde dieser eingefügt. Vor der Erfindung des Teleskops war die eingeschränkte Funktion im Weltraum überhaupt nicht offensichtlich! Woher wissen Sie tatsächlich, was uns hinter dem Horizont erwartet? Denn einst galt die Erde als flach, so dass heute sogar eine gewöhnliche Teleportation Beweise erfordert =)

Entsprechend Zweiter Satz von Weierstraß, kontinuierlich auf dem SegmentFunktion erreicht ihre exakte Oberkante und sein exakte Unterkante .

Die Nummer wird auch angerufen der maximale Wert der Funktion auf dem Segment und bezeichnet mit , und die Zahl - der minimale Wert der Funktion im Intervall markiert.

In unserem Fall:

Notiz : Theoretisch sind Aufzeichnungen üblich .

Grob gesagt, Höchster Wert befindet sich dort, wo die Hochpunkt Grafiken und die kleinste - wo ist der tiefste Punkt.

Wichtig! Wie bereits im Artikel erwähnt Extrema der Funktion, der größte Wert der Funktion Und kleinster Funktionswert – NICHT DAS GLEICHE, Was Funktion maximal Und Funktionsminimum. In diesem Beispiel ist die Zahl also das Minimum der Funktion, aber nicht der Minimalwert.

Was passiert übrigens außerhalb des Segments? Ja, selbst die Flut interessiert uns im Kontext des betrachteten Problems überhaupt nicht. Die Aufgabe besteht darin, nur zwei Zahlen zu finden und alle!

Darüber hinaus ist die Lösung rein analytisch, daher keine Notwendigkeit zu zeichnen!

Der Algorithmus liegt an der Oberfläche und ergibt sich aus der obigen Abbildung:

1) Finden Sie die Funktionswerte in kritische Punkte, die zu diesem Segment gehören.

Noch ein Pluspunkt: Es besteht keine Notwendigkeit, eine hinreichende Bedingung für ein Extremum zu prüfen, da, wie gerade gezeigt, das Vorhandensein eines Minimums oder Maximums erforderlich ist noch nicht garantiert Was ist der minimale oder maximale Wert? Die Demonstrationsfunktion erreicht ihr Maximum und durch den Willen des Schicksals ist dieselbe Zahl der größte Wert der Funktion im Intervall. Aber natürlich kommt es nicht immer zu einem solchen Zufall.

So ist es im ersten Schritt schneller und einfacher, die Werte der Funktion an kritischen Punkten des Segments zu berechnen, ohne sich darum zu kümmern, ob sie Extrema haben oder nicht.

2) Wir berechnen die Werte der Funktion an den Enden des Segments.

3) Unter den im 1. und 2. Absatz gefundenen Funktionswerten wählen wir den kleinsten und den größten aus große Nummer, schreibe die Antwort auf.

Wir sitzen am Ufer des blauen Meeres und schlagen im seichten Wasser auf die Fersen:

Beispiel 1

Finden Sie den größten und kleinster Wert Funktionen auf dem Intervall

Lösung:
1) Berechnen Sie die Werte der Funktion an kritischen Punkten, die zu diesem Segment gehören:

Berechnen wir den Wert der Funktion am zweiten kritischen Punkt:

2) Berechnen Sie die Werte der Funktion an den Enden des Segments:

3) „Fette“ Ergebnisse wurden mit Exponentialen und Logarithmen erhalten, was ihren Vergleich erheblich erschwert. Aus diesem Grund bewaffnen wir uns mit einem Taschenrechner oder Excel und berechnen die ungefähren Werte, wobei wir Folgendes nicht vergessen:

Jetzt ist alles klar.

Antworten:

Bruchrational-Instanz für unabhängige Lösung:

Beispiel 6

Finden Sie die Maximal- und Minimalwerte einer Funktion auf einem Segment

Der größte (kleinste) Wert der Funktion ist der größte (kleinste) akzeptierte Wert der Ordinate im betrachteten Intervall.

Um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion zu ermitteln, müssen Sie Folgendes tun:

Prüfen Sie, welche stationären Punkte im gegebenen Segment enthalten sind.
Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an stationären Punkten aus Schritt 3
Wählen Sie aus den erhaltenen Ergebnissen den größten oder kleinsten Wert aus.

Um die maximale oder minimale Punktzahl zu ermitteln, müssen Sie:

Finden Sie die Ableitung der Funktion $f"(x)$
Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Gleichung $f"(x)=0$ lösen
Faktorisieren Sie die Ableitung einer Funktion.
Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie, platzieren Sie stationäre Punkte darauf und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung in den erhaltenen Intervallen unter Verwendung der Notation von Abschnitt 3.
Finden Sie die maximalen oder minimalen Punkte gemäß der Regel: Wenn die Ableitung an einem Punkt das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, ist dies der maximale Punkt (wenn von Minus nach Plus, dann ist dies der minimale Punkt). In der Praxis ist es praktisch, das Bild von Pfeilen auf den Intervallen zu verwenden: Auf dem Intervall, in dem die Ableitung positiv ist, wird der Pfeil nach oben gezeichnet und umgekehrt.

Ableitungstabelle einiger Elementarfunktionen:

Funktion	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Grundregeln der Differenzierung

1. Die Ableitung der Summe und Differenz ist gleich der Ableitung jedes Termes

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Finden Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Die Ableitung der Summe und Differenz ist gleich der Ableitung jedes Termes

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))“=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat eines Produkts.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Finden Sie die Ableitung $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Ableitung des Quotienten

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Finden Sie die Ableitung $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion und der Ableitung der internen Funktion

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Finden Sie die ODZ der Funktion: $x+11>0; x>-11$

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Ableitung mit Null gleichsetzen

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null und der Nenner ungleich Null ist

$2x+21=0; x≠-11$

4. Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie, platzieren Sie stationäre Punkte darauf und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung in den erhaltenen Intervallen. Dazu setzen wir in die Ableitung eine beliebige Zahl aus dem äußersten rechten Bereich ein, zum Beispiel Null.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Am Minimalpunkt ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, daher ist der $-10,5$-Punkt der Minimalpunkt.

Antwort: $-10,5$

Finden Sie den Maximalwert der Funktion $y=6x^5-90x^3-5$ auf dem Segment $[-5;1]$

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion $y′=30x^4-270x^2$

2. Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich und finden Sie stationäre Punkte

$30x^4-270x^2=0$

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor $30x^2$ aus der Klammer

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Setzen Sie jeden Faktor auf Null

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Wählen Sie stationäre Punkte aus, die zum angegebenen Segment $[-5;1]$ gehören

Für uns sind stationäre Punkte $x=0$ und $x=-3$ geeignet

4. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an stationären Punkten aus Punkt 3

Was ist ein Extremum einer Funktion und was ist die notwendige Bedingung für ein Extremum?

Das Extremum einer Funktion ist das Maximum und Minimum der Funktion.

Die notwendige Bedingung für das Maximum und Minimum (Extremum) der Funktion lautet wie folgt: Wenn die Funktion f(x) am Punkt x = a ein Extremum hat, dann ist die Ableitung an diesem Punkt entweder Null oder unendlich oder nicht nicht existieren.

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht ausreichend. Die Ableitung am Punkt x = a kann verschwinden, ins Unendliche gehen oder nicht existieren, ohne dass die Funktion an diesem Punkt ein Extremum hat.

Was ist eine hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion (Maximum oder Minimum)?

Erste Bedingung:

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a positiv und rechts von a negativ ist, dann gilt am Punkt x = a selbst die Funktion f(x). maximal

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a negativ und rechts von a positiv ist, dann gilt am Punkt x = a selbst die Funktion f(x). Minimum vorausgesetzt, dass die Funktion f(x) hier stetig ist.

Stattdessen können Sie die zweite hinreichende Bedingung für das Extremum der Funktion verwenden:

An der Stelle sei x = und die erste Ableitung f? (x) verschwindet; ist die zweite Ableitung f??(а) negativ, dann hat die Funktion f(x) im Punkt x = a ein Maximum, ist sie positiv, dann ein Minimum.

Was ist der kritische Punkt einer Funktion und wie findet man ihn?

Dies ist der Wert des Funktionsarguments, bei dem die Funktion ein Extremum (d. h. Maximum oder Minimum) hat. Um es zu finden, brauchen Sie Finden Sie die Ableitung Funktion f?(x) und, indem man sie mit Null gleichsetzt, löse die Gleichung f?(x) = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung sowie die Punkte, an denen die Ableitung dieser Funktion nicht existiert, sind kritische Punkte, d. h. die Werte des Arguments, bei denen es ein Extremum geben kann . Sie können leicht durch Hinsehen identifiziert werden Ableitungsgraph: Uns interessieren die Werte des Arguments, bei denen der Graph der Funktion die Abszissenachse (Ox-Achse) schneidet, und diejenigen, bei denen der Graph Brüche erleidet.

Lassen Sie uns zum Beispiel finden Extremum der Parabel.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funktionsableitung: y?(x) = 6x + 2

Wir lösen die Gleichung: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

IN dieser Fall Der kritische Punkt ist x0=-1/3. Für diesen Wert des Arguments hat die Funktion Extremum. Es bekommen finden, ersetzen wir die gefundene Zahl im Ausdruck für die Funktion anstelle von „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

So bestimmen Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion, d. h. seine größten und kleinsten Werte?

Wenn das Vorzeichen der Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes x0 von „Plus“ nach „Minus“ wechselt, dann ist x0 Maximalpunkt; Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus ändert, dann ist x0 Mindestpunktzahl; Ändert sich das Vorzeichen nicht, dann gibt es am Punkt x0 weder ein Maximum noch ein Minimum.

Für das betrachtete Beispiel:

Wir nehmen einen beliebigen Wert des Arguments links davon kritischer Punkt: x = -1

Wenn x = -1, ist der Wert der Ableitung y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (d. h. das Minuszeichen).

Nun nehmen wir einen beliebigen Wert des Arguments rechts vom kritischen Punkt: x = 1

Für x = 1 beträgt der Wert der Ableitung y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (d. h. das Pluszeichen).

Wie Sie sehen können, änderte die Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes das Vorzeichen von Minus zu Plus. Das bedeutet, dass wir beim kritischen Wert von x0 einen Minimalpunkt haben.

Der größte und kleinste Wert der Funktion auf dem Intervall(auf dem Segment) werden mit dem gleichen Verfahren gefunden, nur unter Berücksichtigung der Tatsache, dass möglicherweise nicht alle kritischen Punkte innerhalb des angegebenen Intervalls liegen. Die kritischen Punkte, die außerhalb des Intervalls liegen, müssen von der Betrachtung ausgeschlossen werden. Wenn es innerhalb des Intervalls nur einen kritischen Punkt gibt, hat dieser entweder ein Maximum oder ein Minimum. In diesem Fall berücksichtigen wir zur Bestimmung der größten und kleinsten Werte der Funktion auch die Werte der Funktion an den Enden des Intervalls.

Lassen Sie uns zum Beispiel den größten und kleinsten Wert der Funktion ermitteln

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

in Intervallen:

Die Ableitung der Funktion ist also

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Wir lösen die Gleichung 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Wir finden kritische Punkte im Intervall [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (nicht im Intervall enthalten)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (nicht im Intervall enthalten)

Wir finden die Werte der Funktion bei kritischen Werten des Arguments:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Es ist ersichtlich, dass im Intervall [-9; 9] Die Funktion hat den größten Wert bei x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

und das kleinste - bei x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Im Intervall [-6; -3] wir haben nur einen kritischen Punkt: x = -4,88. Der Wert der Funktion bei x = -4,88 beträgt y = 5,398.

Wir finden den Wert der Funktion an den Enden des Intervalls:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Im Intervall [-6; -3] haben wir den größten Wert der Funktion

y = 5,398 bei x = -4,88

der kleinste Wert ist

y = 1,077 bei x = -3

Wie finde ich die Wendepunkte eines Funktionsgraphen und bestimme die Seiten der Konvexität und Konkavität?

Um alle Wendepunkte der Linie y \u003d f (x) zu finden, müssen Sie die zweite Ableitung finden, sie mit Null gleichsetzen (die Gleichung lösen) und alle Werte von x testen, für die die zweite Ableitung Null ist , unendlich oder existiert nicht. Wenn beim Durchlaufen eines dieser Werte die zweite Ableitung das Vorzeichen ändert, dann weist der Graph der Funktion an dieser Stelle eine Wende auf. Wenn es sich nicht ändert, gibt es keine Beugung.

Die Wurzeln der Gleichung f ? (x) = 0 sowie mögliche Unstetigkeitspunkte der Funktion und der zweiten Ableitung unterteilen den Funktionsbereich in mehrere Intervalle. Die Konvexität in jedem ihrer Intervalle wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt. Ist die zweite Ableitung an einem Punkt des untersuchten Intervalls positiv, dann verläuft die Gerade y = f(x) hier nach oben konkav, ist sie negativ, dann nach unten.

Wie finde ich Extrema einer Funktion zweier Variablen?

Um die im Bereich ihrer Zuordnung differenzierbaren Extrema der Funktion f(x, y) zu finden, benötigen Sie:

1) Finden Sie die kritischen Punkte und lösen Sie dazu das Gleichungssystem

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) Untersuchen Sie für jeden kritischen Punkt P0(a;b), ob das Vorzeichen der Differenz unverändert bleibt

für alle Punkte (x; y) ausreichend nahe an P0. Wenn die Differenz ein positives Vorzeichen behält, haben wir am Punkt P0 ein Minimum, wenn es negativ ist, dann ein Maximum. Wenn die Differenz ihr Vorzeichen nicht behält, gibt es am Punkt Р0 kein Extremum.

Ebenso werden die Extrema der Funktion für eine größere Anzahl von Argumenten bestimmt.

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Was ist ein Extremum einer Funktion und was ist die notwendige Bedingung für ein Extremum?

Das Extremum einer Funktion ist das Maximum und Minimum der Funktion.

Was ist eine hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion (Maximum oder Minimum)?

Erste Bedingung:

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a positiv und rechts von a negativ ist, dann gilt am Punkt x = a selbst die Funktion f(x). maximal

Stattdessen können Sie die zweite hinreichende Bedingung für das Extremum der Funktion verwenden:

An der Stelle sei x = und die erste Ableitung f? (x) verschwindet; ist die zweite Ableitung f??(а) negativ, dann hat die Funktion f(x) im Punkt x = a ein Maximum, ist sie positiv, dann ein Minimum.

Was ist der kritische Punkt einer Funktion und wie findet man ihn?

Lassen Sie uns zum Beispiel finden Extremum der Parabel.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funktionsableitung: y?(x) = 6x + 2

Wir lösen die Gleichung: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

In diesem Fall liegt der kritische Punkt bei x0=-1/3. Für diesen Wert des Arguments hat die Funktion Extremum. Es bekommen finden, ersetzen wir die gefundene Zahl im Ausdruck für die Funktion anstelle von „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

So bestimmen Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion, d. h. seine größten und kleinsten Werte?

Für das betrachtete Beispiel:

Wir nehmen einen beliebigen Wert des Arguments links vom kritischen Punkt: x = -1

Wenn x = -1, ist der Wert der Ableitung y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (d. h. das Minuszeichen).

Nun nehmen wir einen beliebigen Wert des Arguments rechts vom kritischen Punkt: x = 1

Für x = 1 beträgt der Wert der Ableitung y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (d. h. das Pluszeichen).

Wie Sie sehen können, änderte die Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes das Vorzeichen von Minus zu Plus. Das bedeutet, dass wir beim kritischen Wert von x0 einen Minimalpunkt haben.

Lassen Sie uns zum Beispiel den größten und kleinsten Wert der Funktion ermitteln

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

in Intervallen:

Die Ableitung der Funktion ist also

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Wir lösen die Gleichung 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Wir finden kritische Punkte im Intervall [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (nicht im Intervall enthalten)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (nicht im Intervall enthalten)

Wir finden die Werte der Funktion bei kritischen Werten des Arguments:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Es ist ersichtlich, dass im Intervall [-9; 9] Die Funktion hat den größten Wert bei x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

und das kleinste - bei x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Im Intervall [-6; -3] wir haben nur einen kritischen Punkt: x = -4,88. Der Wert der Funktion bei x = -4,88 beträgt y = 5,398.

Wir finden den Wert der Funktion an den Enden des Intervalls:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Im Intervall [-6; -3] haben wir den größten Wert der Funktion

y = 5,398 bei x = -4,88

der kleinste Wert ist

y = 1,077 bei x = -3

Wie finde ich die Wendepunkte eines Funktionsgraphen und bestimme die Seiten der Konvexität und Konkavität?

Wie finde ich Extrema einer Funktion zweier Variablen?

Um die im Bereich ihrer Zuordnung differenzierbaren Extrema der Funktion f(x, y) zu finden, benötigen Sie:

1) Finden Sie die kritischen Punkte und lösen Sie dazu das Gleichungssystem

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) Untersuchen Sie für jeden kritischen Punkt P0(a;b), ob das Vorzeichen der Differenz unverändert bleibt

Ebenso werden die Extrema der Funktion für eine größere Anzahl von Argumenten bestimmt.

Wie finde ich den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem Segment?

Dafür Wir folgen dem bekannten Algorithmus:

1 . Wir finden ODZ-Funktionen.

2 . Finden der Ableitung einer Funktion

3 . Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich

4 . Wir ermitteln die Intervalle, in denen die Ableitung ihr Vorzeichen behält, und bestimmen daraus die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion:

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} nimmt in diesem Zeitraum zu.

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion ist, dann ist die Funktion nimmt in diesem Zeitraum ab.

5 . Wir finden Maximal- und Minimalpunkte der Funktion.

IN der Funktionsmaximumpunkt, die Ableitung ändert das Vorzeichen von „+“ nach „-“.

IN Minimalpunkt der FunktionAbleitung ändert Vorzeichen von „-“ zu „+“.

6 . Wir finden den Wert der Funktion an den Enden des Segments,

dann vergleichen wir den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Maximalpunkten und Wählen Sie den größten Wert aus, wenn Sie den größten Wert der Funktion ermitteln möchten
oder wir vergleichen den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Mindestpunkten und Wählen Sie den kleinsten Wert aus, wenn Sie den kleinsten Wert der Funktion ermitteln möchten

Abhängig davon, wie sich die Funktion auf dem Intervall verhält, kann dieser Algorithmus jedoch erheblich reduziert werden.

Betrachten Sie die Funktion . Der Graph dieser Funktion sieht folgendermaßen aus:

Schauen wir uns einige Beispiele für die Lösung von Problemen an offene Bank Aufgaben für

1 . Aufgabe B15 (#26695)

Auf dem Schnitt.

1. Die Funktion ist für alle reellen Werte von x definiert

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen und die Ableitung ist für alle Werte von x positiv. Daher nimmt die Funktion zu und nimmt am rechten Ende des Intervalls, also bei x=0, den größten Wert an.

Antwort: 5.

2 . Aufgabe B15 (Nr. 26702)

Finden Sie den größten Wert einer Funktion auf dem Segment.

1.ODZ-Funktion title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Die Ableitung ist bei Null, ändert jedoch an diesen Punkten das Vorzeichen nicht:

Daher ist title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} steigt und nimmt den größten Wert am rechten Ende des Intervalls an, bei .

Um zu verdeutlichen, warum die Ableitung das Vorzeichen nicht ändert, transformieren wir den Ausdruck für die Ableitung wie folgt:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Antwort: 5.

3 . Aufgabe B15 (#26708)

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion im Intervall.

1. ODZ-Funktionen: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Legen wir die Wurzeln dieser Gleichung auf einen trigonometrischen Kreis.

Das Intervall enthält zwei Zahlen: und

Lasst uns die Schilder aufstellen. Dazu bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung am Punkt x=0: . Beim Durchlaufen der Punkte und der Ableitung ändert sich das Vorzeichen.

Stellen wir den Vorzeichenwechsel der Ableitung der Funktion auf der Koordinatenlinie dar:

Offensichtlich ist der Punkt ein Minimalpunkt (wo die Ableitung das Vorzeichen von „-“ zu „+“ ändert), und um den kleinsten Wert der Funktion im Intervall zu finden, müssen Sie die Werte der Funktion vergleichen am Minimalpunkt und am linken Ende des Segments, .

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