Der größte und kleinste Wert einer Funktion auf einem Segment. So ermitteln Sie den kleinsten Wert einer Funktion

Der größte (kleinste) Wert der Funktion ist der größte (kleinste) akzeptierte Wert der Ordinate im betrachteten Intervall.

Um den größten bzw. größten zu finden kleinster Wert Benötigte Funktionen:

1. Prüfen Sie, welche stationären Punkte im gegebenen Segment enthalten sind.
2. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an stationären Punkten aus Schritt 3
3. Wählen Sie aus den erhaltenen Ergebnissen den größten oder kleinsten Wert aus.

Um die maximale oder minimale Punktzahl zu ermitteln, müssen Sie:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion $f"(x)$
2. Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Gleichung $f"(x)=0$ lösen
3. Faktorisieren Sie die Ableitung einer Funktion.
4. Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie, platzieren Sie stationäre Punkte darauf und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung in den erhaltenen Intervallen unter Verwendung der Notation von Abschnitt 3.
5. Finden Sie die maximalen oder minimalen Punkte gemäß der Regel: Wenn die Ableitung an einem Punkt das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, ist dies der maximale Punkt (wenn von Minus nach Plus, dann ist dies der minimale Punkt). In der Praxis ist es praktisch, das Bild von Pfeilen auf den Intervallen zu verwenden: Auf dem Intervall, in dem die Ableitung positiv ist, wird der Pfeil nach oben gezeichnet und umgekehrt.

Ableitungstabelle einiger Elementarfunktionen:

Funktion	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Grundregeln der Differenzierung

1. Die Ableitung der Summe und Differenz ist gleich der Ableitung jedes Termes

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Finden Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Die Ableitung der Summe und Differenz ist gleich der Ableitung jedes Termes

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))“=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat eines Produkts.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Finden Sie die Ableitung $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Ableitung des Quotienten

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Finden Sie die Ableitung $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion und der Ableitung der internen Funktion

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Finden Sie die ODZ der Funktion: $x+11>0; x>-11$

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Ableitung mit Null gleichsetzen

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null und der Nenner ungleich Null ist

$2x+21=0; x≠-11$

4. Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie, platzieren Sie stationäre Punkte darauf und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung in den erhaltenen Intervallen. Dazu setzen wir in die Ableitung eine beliebige Zahl aus dem äußersten rechten Bereich ein, zum Beispiel Null.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Am Minimalpunkt ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, daher ist der $-10,5$-Punkt der Minimalpunkt.

Antwort: $-10,5$

Finden Höchster Wert Funktionen $y=6x^5-90x^3-5$ auf dem Intervall $[-5;1]$

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion $y′=30x^4-270x^2$

2. Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich und finden Sie stationäre Punkte

$30x^4-270x^2=0$

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor $30x^2$ aus der Klammer

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Setzen Sie jeden Faktor auf Null

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Wählen Sie stationäre Punkte aus, die zum angegebenen Segment $[-5;1]$ gehören

Für uns sind stationäre Punkte $x=0$ und $x=-3$ geeignet

4. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an stationären Punkten aus Punkt 3

In der Physik und Mathematik ist es oft erforderlich, den kleinsten Wert einer Funktion zu ermitteln. Wie das geht, verraten wir Ihnen jetzt.

So finden Sie den kleinsten Wert einer Funktion: Anleitung

1. Um den kleinsten Wert einer stetigen Funktion in einem bestimmten Intervall zu berechnen, müssen Sie diesem Algorithmus folgen:
2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion.
3. Finden Sie auf einem gegebenen Segment die Punkte, an denen die Ableitung gleich Null ist, sowie alle kritischen Punkte. Ermitteln Sie dann die Werte der Funktion an diesen Punkten, dh lösen Sie die Gleichung, bei der x gleich Null ist. Finden Sie heraus, welcher der Werte der kleinste ist.
4. Finden Sie heraus, welchen Wert die Funktion an den Endpunkten hat. Bestimmen Sie den kleinsten Wert der Funktion an diesen Punkten.
5. Vergleichen Sie die empfangenen Daten mit dem kleinsten Wert. Die kleinere der empfangenen Zahlen ist der kleinste Wert der Funktion.

Beachten Sie, dass für den Fall, dass eine Funktion auf einem Segment nicht die kleinsten Punkte hat, dies bedeutet, dass sie auf diesem Segment zunimmt oder abnimmt. Daher sollte der kleinste Wert auf den endlichen Segmenten der Funktion berechnet werden.

In allen anderen Fällen wird der Wert der Funktion nach dem angegebenen Algorithmus berechnet. Bei jedem Schritt des Algorithmus müssen Sie eine einfache Aufgabe lösen Lineargleichung mit einer Wurzel. Lösen Sie die Gleichung anhand der Zeichnung, um Fehler zu vermeiden.

Wie finde ich den kleinsten Wert einer Funktion auf einem halboffenen Segment? Auf einem halboffenen bzw Offener Zeitraum Funktion sollte der kleinste Wert wie folgt ermittelt werden. Berechnen Sie an den Endpunkten des Funktionswerts den einseitigen Grenzwert der Funktion. Mit anderen Worten: Lösen Sie eine Gleichung, in der die tendierenden Punkte durch die Werte a+0 und b+0 gegeben sind, wobei a und b die Namen der kritischen Punkte sind.

Jetzt wissen Sie, wie Sie den kleinsten Wert einer Funktion ermitteln. Die Hauptsache ist, alle Berechnungen korrekt, genau und fehlerfrei durchzuführen.

Der Prozess des Findens der kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem Segment ähnelt einem faszinierenden Flug um ein Objekt (einen Funktionsgraphen) in einem Hubschrauber, bei dem an bestimmten Punkten aus einer Langstreckenkanone abgefeuert und ausgewählt wird Diese Punkte sind ganz besondere Punkte Kontrollschüsse. Punkte werden auf eine bestimmte Art und Weise und nach bestimmten Regeln ausgewählt. Nach welchen Regeln? Wir werden weiter darüber sprechen.

Wenn die Funktion j = F(X) kontinuierlich auf dem Segment [ A, B] , dann erreicht es dieses Segment am wenigsten Und höchste Werte . Dies kann entweder in passieren Extrempunkte oder an den Enden des Segments. Daher zu finden am wenigsten Und die größten Werte der Funktion , kontinuierlich auf dem Segment [ A, B] , müssen Sie seine Werte insgesamt berechnen kritische Punkte und an den Enden des Segments und wählen Sie dann das kleinste und das größte davon aus.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass es erforderlich ist, den Maximalwert der Funktion zu bestimmen F(X) auf dem Segment [ A, B] . Finden Sie dazu alle kritischen Punkte, die auf [ A, B] .

kritischer Punkt heißt der Punkt, an dem Funktion definiert, und sie Derivat ist entweder Null oder existiert nicht. Dann sollten Sie die Werte der Funktion an kritischen Punkten berechnen. Und schließlich sollte man den Wert der Funktion in vergleichen kritische Punkte und an den Enden des Segments ( F(A) Und F(B) ). Die größte dieser Zahlen wird sein der größte Wert der Funktion im Intervall [A, B] .

Das Problem des Findens die kleinsten Werte der Funktion .

Wir suchen gemeinsam den kleinsten und größten Wert der Funktion

Beispiel 1. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 2] .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion. Setzen Sie die Ableitung mit Null () gleich und erhalten Sie zwei kritische Punkte: und . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, reicht es aus, ihre Werte an den Enden des Segments und am Punkt zu berechnen, da der Punkt nicht zum Segment gehört [-1, 2] . Diese Funktionswerte sind die folgenden: , , . Es folgt dem kleinster Funktionswert(im Diagramm unten rot markiert), gleich -7, wird am rechten Ende des Segments erreicht - am Punkt , und größte(ebenfalls rot in der Grafik) beträgt am kritischen Punkt 9,-.

Wenn die Funktion in einem bestimmten Intervall stetig ist und dieses Intervall kein Segment ist (sondern z. B. ein Intervall ist); der Unterschied zwischen einem Intervall und einem Segment: Die Randpunkte des Intervalls sind nicht im Intervall enthalten, sondern die Randpunkte des Segments sind im Segment enthalten), dann gibt es unter den Werten der Funktion möglicherweise nicht den kleinsten und den größten. So ist beispielsweise die in der Abbildung unten dargestellte Funktion stetig auf ]-∞, +∞[ und hat nicht den größten Wert.

Für jedes Intervall (geschlossen, offen oder unendlich) gilt jedoch die folgende Eigenschaft stetiger Funktionen.

Beispiel 4. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 3] .

Lösung. Die Ableitung dieser Funktion finden wir als Ableitung des Quotienten:

.

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was uns einen kritischen Punkt gibt: . Es gehört zum Intervall [-1, 3] . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Vergleichen wir diese Werte. Fazit: gleich -5/13, an der Stelle und den größten Wert gleich 1 an der Stelle.

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach dem kleinsten und größten Wert der Funktion

Es gibt Lehrer, die den Schülern zum Thema Finden der kleinsten und größten Werte einer Funktion keine komplizierteren Beispiele als die gerade betrachteten geben, also solche, bei denen die Funktion ein Polynom oder ein Bruch, der Zähler, ist und deren Nenner Polynome sind. Aber wir werden uns nicht auf solche Beispiele beschränken, denn unter den Lehrern gibt es Liebhaber, die es den Schülern ermöglichen, vollständig nachzudenken (Tabelle der Ableitungen). Daher werden der Logarithmus und die trigonometrische Funktion verwendet.

Beispiel 6. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion als Derivat des Produkts :

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was einen kritischen Punkt ergibt: . Es gehört zum Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Das Ergebnis aller Aktionen: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich 0, an einem Punkt und an einem Punkt und den größten Wert gleich e², an der Stelle.

Beispiel 7. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion:

Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich:

Der einzige kritische Punkt betrifft das Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Abschluss: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich , am Punkt und den größten Wert, gleich , am Punkt .

Bei angewandten Extremalproblemen reduziert sich das Finden der kleinsten (größten) Funktionswerte in der Regel auf das Finden des Minimums (Maximums). Aber nicht die Minima oder Maxima selbst sind von größerem praktischen Interesse, sondern die Werte des Arguments, bei denen sie erreicht werden. Bei der Lösung angewandter Probleme entsteht eine zusätzliche Schwierigkeit – die Zusammenstellung von Funktionen, die das betrachtete Phänomen oder den betrachteten Prozess beschreiben.

Beispiel 8 Ein Tank mit einem Fassungsvermögen von 4 Litern, der die Form eines Parallelepipeds mit quadratischer Grundfläche hat und oben offen ist, muss verzinnt sein. Wie groß sollte der Tank sein, um ihn mit möglichst wenig Material zu bedecken?

Lösung. Lassen X- Basisseite H- Tankhöhe, S- seine unbedeckte Oberfläche, V- seine Lautstärke. Die Oberfläche des Tanks wird durch die Formel ausgedrückt, d.h. ist eine Funktion zweier Variablen. Ausdrücken S Als Funktion einer Variablen verwenden wir die Tatsache, dass , woher . Ersetzen des gefundenen Ausdrucks H in die Formel für S:

Untersuchen wir diese Funktion für ein Extremum. Es ist überall in ]0, +∞[ , und definiert und differenzierbar

.

Wir setzen die Ableitung mit Null () gleich und finden den kritischen Punkt. Darüber hinaus existiert bei , die Ableitung nicht, aber dieser Wert ist nicht im Definitionsbereich enthalten und kann daher kein Extrempunkt sein. Also – der einzige kritische Punkt. Überprüfen wir anhand des zweiten ausreichenden Zeichens, ob ein Extremum vorliegt. Finden wir die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung größer als Null ist (). Dies bedeutet, dass die Funktion ein Minimum erreicht . Weil das Minimum – das einzige Extremum dieser Funktion, es ist ihr kleinster Wert. Die Seitenlänge des Tankbodens und seine Höhe sollten also 2 m betragen.

Beispiel 9 Aus Absatz A, an der Bahnstrecke gelegen, bis zum Punkt MIT, in einiger Entfernung davon l Es müssen Güter transportiert werden. Die Kosten für den Transport einer Gewichtseinheit pro Entfernungseinheit auf der Schiene betragen , auf der Autobahn betragen sie . Bis zu welchem ​​Punkt M Linien Eisenbahn Es sollte eine Autobahn gebaut werden, damit der Gütertransport erfolgen kann A V MIT war am wirtschaftlichsten AB wird davon ausgegangen, dass die Eisenbahn gerade ist)?

Das Studium eines solchen Gegenstands der mathematischen Analyse als Funktion ist von großer Bedeutung. Bedeutung und in anderen Bereichen der Wissenschaft. Zum Beispiel in wirtschaftliche Analyse Sie müssen Ihr Verhalten ständig bewerten Funktionen Gewinn, nämlich sein Maximum zu bestimmen Bedeutung und entwickeln Sie eine Strategie, um dies zu erreichen.

Anweisung

Die Untersuchung jeglichen Verhaltens sollte immer mit der Suche nach einem Definitionsbereich beginnen. Normalerweise ist es je nach Zustand eines bestimmten Problems erforderlich, das größte zu bestimmen Bedeutung Funktionen entweder auf dem gesamten Gebiet oder auf seinem spezifischen Abschnitt mit offenen oder geschlossenen Grenzen.

Basierend auf , ist der größte Bedeutung Funktionen y(x0), für die die Ungleichung y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0) für jeden Punkt des Definitionsbereichs gilt. Grafisch gesehen ist dieser Punkt der höchste, wenn Sie die Werte des Arguments entlang der Abszissenachse und die Funktion selbst entlang der Ordinatenachse anordnen.

Um das Größte zu bestimmen Bedeutung Funktionen Befolgen Sie den dreistufigen Algorithmus. Beachten Sie, dass Sie in der Lage sein müssen, einseitig zu arbeiten und die Ableitung zu berechnen. Es sei also eine Funktion y(x) gegeben, und es muss deren größte Funktion ermittelt werden Bedeutung auf einem Intervall mit den Grenzwerten A und B.

Finden Sie heraus, ob dieses Intervall innerhalb des Gültigkeitsbereichs liegt Funktionen. Dazu müssen Sie es unter Berücksichtigung aller möglichen Einschränkungen finden: das Vorhandensein eines Bruchs im Ausdruck, Quadratwurzel usw. Der Definitionsbereich ist die Menge der Argumentwerte, für die die Funktion sinnvoll ist. Bestimmen Sie, ob das angegebene Intervall eine Teilmenge davon ist. Wenn ja, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.

Finden Sie die Ableitung Funktionen und lösen Sie die resultierende Gleichung, indem Sie die Ableitung mit Null gleichsetzen. Somit erhalten Sie die Werte der sogenannten stationären Punkte. Bewerten Sie, ob mindestens einer von ihnen zum Intervall A, B gehört.

Betrachten Sie diese Punkte im dritten Schritt und ersetzen Sie ihre Werte in der Funktion. Führen Sie je nach Intervalltyp die folgenden zusätzlichen Schritte aus. Wenn es ein Segment der Form [A, B] gibt, werden die Randpunkte in das Intervall einbezogen, dies wird durch Klammern angezeigt. Werte berechnen Funktionen für x = A und x = B. Wenn das offene Intervall (A, B) ist, werden die Grenzwerte punktiert, d.h. sind darin nicht enthalten. Lösen Sie einseitige Grenzwerte für x→A und x→B. Ein kombiniertes Intervall der Form [A, B) oder (A, B), dessen eine Grenze dazu gehört, die andere nicht. Finden Sie die einseitige Grenze, wenn x zum punktierten Wert tendiert, und setzen Sie die andere ein die Funktion. Unendliches zweiseitiges Intervall (-∞, +∞) oder einseitig unendliches Intervall der Form: , (-∞, B) Für reelle Grenzen A und B gehen Sie nach den bereits beschriebenen Prinzipien vor, für unendlich Suchen Sie nach Grenzwerten für x→-∞ bzw. x→+∞.

Die Aufgabe in dieser Phase

Der größte und kleinste Wert der Funktion

Der größte Wert einer Funktion wird als größter Wert bezeichnet, der kleinste Wert ist der kleinste aller ihrer Werte.

Eine Funktion kann nur einen größten und nur einen kleinsten Wert haben oder überhaupt keinen. Das Ermitteln der größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen basiert auf den folgenden Eigenschaften dieser Funktionen:

1) Wenn die Funktion y=f(x) in einem Intervall (endlich oder unendlich) stetig ist und nur ein Extremum hat und dieses das Maximum (Minimum) ist, dann ist es der größte (kleinste) Wert der Funktion in diesem Intervall.

2) Wenn die Funktion f(x) auf einem Segment stetig ist, dann hat sie auf diesem Segment notwendigerweise den größten und den kleinsten Wert. Diese Werte werden entweder an den innerhalb des Segments liegenden Extrempunkten oder an den Grenzen dieses Segments erreicht.

Um die größten und kleinsten Werte im Segment zu finden, wird empfohlen, das folgende Schema zu verwenden:

1. Finden Sie die Ableitung.

2. Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion, an denen =0 oder nicht vorhanden ist.

3. Finden Sie die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments und wählen Sie daraus das größte f max und das kleinste f min aus.

Bei der Lösung angewandter Probleme, insbesondere Optimierungsproblemen, sind die Probleme wichtig, die größten und kleinsten Werte (globales Maximum und globales Minimum) einer Funktion im Intervall X zu finden. Um solche Probleme zu lösen, sollte man sich an der Bedingung orientieren , wählen Sie eine unabhängige Variable und drücken Sie den untersuchten Wert durch diese Variable aus. Finden Sie dann den gewünschten Maximal- oder Minimalwert der resultierenden Funktion. In diesem Fall wird aus dem Zustand des Problems auch das Änderungsintervall der unabhängigen Variablen bestimmt, das endlich oder unendlich sein kann.

Beispiel. Der Tank, der die Form eines rechteckigen Parallelepipeds mit quadratischem Boden hat und oben offen ist, muss innen mit Zinn verzinnt sein. Wie groß sollte der Tank mit einem Fassungsvermögen von 108 Litern sein? Wasser, damit die Verzinnungskosten am geringsten sind?

Lösung. Die Kosten für die Beschichtung des Tanks mit Zinn sind am geringsten, wenn die Oberfläche bei gegebenem Fassungsvermögen minimal ist. Bezeichnen Sie mit a dm die Seite des Sockels, b dm die Höhe des Tanks. Dann ist die Fläche S seiner Oberfläche gleich

UND

Die resultierende Beziehung stellt die Beziehung zwischen der Oberfläche des Tanks S (Funktion) und der Seite der Basis a (Argument) her. Wir untersuchen die Funktion S für ein Extremum. Finden Sie die erste Ableitung, setzen Sie sie mit Null gleich und lösen Sie die resultierende Gleichung:

Daher ist a = 6. (a) > 0 für a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Beispiel. Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion zwischen.

Lösung: Die angegebene Funktion ist auf der gesamten Zahlenachse stetig. Funktionsableitung

Ableitung bei und bei . Berechnen wir die Werte der Funktion an diesen Punkten:

.

Die Funktionswerte an den Enden des angegebenen Intervalls sind gleich. Daher liegt der größte Wert der Funktion bei , der kleinste Wert der Funktion liegt bei .

Fragen zur Selbstprüfung

1. Formulieren Sie die L'Hopital-Regel zur Offenlegung von Unsicherheiten der Form. Listen Sie die verschiedenen Arten von Unsicherheiten auf, für die die L'Hospital-Regel verwendet werden kann.

2. Formulieren Sie Anzeichen für eine zunehmende und abnehmende Funktion.

3. Definieren Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion.

4. Formulieren Sie die notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums.

5. Welche Werte des Arguments (welche Punkte) werden als kritisch bezeichnet? Wie findet man diese Punkte?

6. Was sind ausreichende Anzeichen für die Existenz eines Extremums einer Funktion? Skizzieren Sie ein Schema zur Untersuchung einer Funktion für ein Extremum unter Verwendung der ersten Ableitung.

7. Skizzieren Sie das Schema zur Untersuchung der Funktion für ein Extremum unter Verwendung der zweiten Ableitung.

8. Definieren Sie die Konvexität und Konkavität einer Kurve.

9. Was ist der Wendepunkt eines Funktionsgraphen? Geben Sie an, wie diese Punkte gefunden werden sollen.

10. Formulieren Sie die notwendigen und ausreichenden Anzeichen für die Konvexität und Konkavität der Kurve auf einem bestimmten Segment.

11. Definieren Sie die Asymptote der Kurve. Wie finde ich die vertikalen, horizontalen und schrägen Asymptoten eines Funktionsgraphen?

12. Staat allgemeines Schema Untersuchung der Funktion und Konstruktion seines Graphen.

13. Formulieren Sie eine Regel zum Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem bestimmten Segment.