Wo schneiden sich die Höhen eines Dreiecks? Alles, was Sie über das Dreieck wissen müssen

Höhensatz des rechten Dreiecks

Wenn die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck ABC der Länge , das vom Scheitelpunkt des rechten Winkels aus gezogen wird, die Hypotenuse der Länge und in Segmente teilt und den Schenkeln und entspricht, dann gelten die folgenden Gleichheiten:

·

·

Eigenschaften der Höhenbasen eines Dreiecks

· Gründe Höhen bilden ein sogenanntes Orthodreieck, das seine eigenen Eigenschaften hat.

· Der um ein Orthodreieck beschriebene Kreis ist der Euler-Kreis. Dieser Kreis enthält außerdem drei Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks und drei Mittelpunkte von drei Segmenten, die das Orthozentrum mit den Eckpunkten des Dreiecks verbinden.

Eine weitere Formulierung der letzten Eigenschaft:

· Satz von Euler für den Neun-Punkte-Kreis.

Gründe drei Höhen beliebiges Dreieck, die Mittelpunkte seiner drei Seiten ( die Grundlagen seines Inneren Mediane) und die Mittelpunkte von drei Segmenten, die seine Eckpunkte mit dem Orthozentrum verbinden, liegen alle auf demselben Kreis (auf Neun-Punkte-Kreis).

· Satz. In jedem Dreieck ist das Segment eine Verbindung Gründe zwei Höhen Dreieck, schneidet ein Dreieck ab, das dem angegebenen ähnlich ist.

· Satz. In einem Dreieck das verbindende Segment Gründe zwei Höhen Dreiecke, die auf zwei Seiten liegen antiparallel an einen Dritten, mit dem er keine Gemeinsamkeiten hat. Ein Kreis kann immer durch seine beiden Enden sowie durch die beiden Eckpunkte der dritten Seite gezeichnet werden.

Weitere Eigenschaften der Dreieckshöhen

· Wenn das Dreieck vielseitig (Skalen), dann es intern Die Winkelhalbierende, die von einem beliebigen Scheitelpunkt aus gezogen wird, liegt dazwischen intern Median und Höhe werden vom gleichen Scheitelpunkt aus gezeichnet.

Die Höhe eines Dreiecks ist isogonal konjugiert zum Durchmesser (Radius) Umkreis, gezeichnet vom selben Scheitelpunkt.

· In einem spitzen Dreieck gibt es zwei Höhen Schneiden Sie daraus ähnliche Dreiecke ab.

· In einem rechtwinkligen Dreieck Höhe Wird vom Scheitelpunkt eines rechten Winkels gezeichnet und teilt ihn in zwei Dreiecke auf, die dem Original ähneln.

Eigenschaften der Mindesthöhe eines Dreiecks

Die Mindesthöhe eines Dreiecks hat viele extreme Eigenschaften. Zum Beispiel:

· Die minimale orthogonale Projektion eines Dreiecks auf Linien, die in der Ebene des Dreiecks liegen, hat eine Länge, die der kleinsten seiner Höhen entspricht.

· Der minimale gerade Schnitt in der Ebene, durch den eine starre dreieckige Platte gezogen werden kann, muss eine Länge haben, die der kleinsten Höhe dieser Platte entspricht.

· Wenn sich zwei Punkte kontinuierlich entlang des Umfangs eines Dreiecks aufeinander zu bewegen, darf der maximale Abstand zwischen ihnen während der Bewegung vom ersten zum zweiten Treffen nicht kleiner sein als die Länge der kleinsten Höhe des Dreiecks.

· Die Mindesthöhe in einem Dreieck liegt immer innerhalb dieses Dreiecks.

Grundlegende Beziehungen

· wo ist die Fläche des Dreiecks, ist die Länge der Seite des Dreiecks, um die die Höhe abgesenkt wird.

· Wo ist das Produkt der Seiten, der Radius des umschriebenen Kreises?

· ,

Wo ist der Radius des eingeschriebenen Kreises?

Wo ist die Fläche des Dreiecks?

Wo ist die Seite des Dreiecks, zu der die Höhe abfällt?

· Höhe eines auf die Basis abgesenkten gleichschenkligen Dreiecks:

Wo ist die Basis?

· - Höhe in einem gleichseitigen Dreieck.

Mittelwerte und Höhen in einem gleichseitigen Dreieck

Die Mittelwerte eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der jeden von ihnen im Verhältnis 2:1 teilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt Dreieck. Und in gleichseitigen Dreiecken sind Mittelwerte und Höhen dasselbe.

Betrachten Sie ein beliebiges Dreieck ABC. Bezeichnen wir mit dem Buchstaben O den Schnittpunkt seiner Mediane AA1 und BB1 und zeichnen wir die Mittellinie A1B1 dieses Dreiecks. Die Mediane des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Das Segment A1B1 ist parallel zur Seite AB, daher die Winkel 1 und 2 , sowie die Winkel 3 und 4 sind gleich wie Kreuzwinkel am Schnittpunkt der parallelen Linien AB und A1B1 durch die Sekanten AA1 und BB1. Daher sind die Dreiecke AOB und A1OB1 in zwei Winkeln ähnlich und daher sind ihre Seiten proportional: AOA1O=BOB1O=ABA1B1. Aber AB=2⋅A1B1, also AO=2⋅A1O und BO=2⋅B1O. Somit teilt der Schnittpunkt O der Mediane AA1 und BB1 jeden von ihnen im Verhältnis 2:1, gezählt vom Scheitelpunkt. Ebenso wird bewiesen, dass der Schnittpunkt der Mediane BB1 ​​und CC1 jeden von ihnen im Verhältnis 2:1 vom Scheitelpunkt aus teilt und daher mit dem Punkt O zusammenfällt. Somit schneiden sich alle drei Mediane des Dreiecks ABC bei den Punkt O und werden durch ihn im Verhältnis 2:1 geteilt, von oben gezählt.

Der Satz ist bewiesen.

Stellen wir uns vor, dass an den Eckpunkten des Winkels m₁=1, dann an den Punkten A₁,B₁,C₁, m₂=2, da sie die Mittelpunkte der Seiten sind. Und hier können Sie erkennen, dass die Segmente AA₁,BB₁,CC₁, die sich in einem Punkt schneiden, Hebeln mit einem Drehpunkt O ähneln, wobei AO-l₁ und OA₁-l₂ (Schultern) sind. Und gemäß der physikalischen Formel F₁/F₂=l₁/l₂, mit F=m*g, mit g-const, und entsprechend reduziert, ergibt sich m₁/m₂=l₁/l₂, d. h. ½=1/2.

Der Satz ist bewiesen.

Orthodreieck

Eigenschaften:

· Drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dieser Punkt wird Orthozentrum genannt

· Zwei benachbarte Seiten eines Orthodreiecks bilden mit der entsprechenden Seite des ursprünglichen Dreiecks gleiche Winkel

Die Höhen eines Dreiecks sind die Winkelhalbierenden eines Orthodreiecks

· Ein Orthodreieck ist das Dreieck mit dem kleinsten Umfang, der in ein gegebenes Dreieck eingeschrieben werden kann (Fagnano-Problem)

· Der Umfang eines Orthodreiecks ist gleich dem Doppelten des Produkts aus der Höhe des Dreiecks und dem Sinus des Winkels, von dem es ausgeht.

· Wenn die Punkte A 1 , B 1 und C 1 auf den Seiten BC, AC und AB des spitzen Dreiecks ABC so sind, dass

dann ist ein Orthodreieck des Dreiecks ABC.

Orthotriangle schneidet ähnliche Dreiecke ab

Satz über die Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Orthodreiecks

∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

CC₁-Halbierende ∟B₁C₁A

AA₁-Halbierende ∟B₁A₁C₁

BB₁-Halbierende ∟A₁B₁C₁

Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Seiten oder eine geschlossene gestrichelte Linie mit drei Gliedern oder eine Figur, die aus drei Segmenten besteht, die drei Punkte verbinden, die nicht auf derselben geraden Linie liegen (siehe Abb. 1).

Grundelemente des Dreiecks ABC

Gipfel – Punkte A, B und C;

Partys – Segmente a = BC, b = AC und c = AB, die die Eckpunkte verbinden;

Winkel – α, β, γ, gebildet aus drei Seitenpaaren. Winkel werden oft genauso wie Eckpunkte mit den Buchstaben A, B und C bezeichnet.

Der von den Seiten eines Dreiecks gebildete und in dessen Innenbereich liegende Winkel wird Innenwinkel genannt, der daran angrenzende Winkel ist der angrenzende Winkel des Dreiecks (2, S. 534).

Höhen, Mediane, Winkelhalbierende und Mittellinien eines Dreiecks

Zusätzlich zu den Hauptelementen in einem Dreieck werden auch andere Segmente mit interessanten Eigenschaften berücksichtigt: Höhen, Mediane, Winkelhalbierende und Mittellinien.

Höhe

Dreieckshöhen- Dies sind Senkrechte, die von den Eckpunkten des Dreiecks zu gegenüberliegenden Seiten fallen.

Um die Höhe darzustellen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1) Zeichnen Sie eine gerade Linie, die eine der Seiten des Dreiecks enthält (wenn die Höhe vom Scheitelpunkt eines spitzen Winkels in einem stumpfen Dreieck gezeichnet wird);

2) Zeichnen Sie vom Scheitelpunkt gegenüber der gezeichneten Linie ein Segment vom Punkt zu dieser Linie und bilden Sie damit einen Winkel von 90 Grad.

Der Punkt, an dem die Höhe die Seite des Dreiecks schneidet, wird aufgerufen Höhe Basis (siehe Abb. 2).

Eigenschaften der Dreieckshöhen

In einem rechtwinkligen Dreieck wird es durch die Höhe, die vom Scheitelpunkt des rechten Winkels gezogen wird, in zwei Dreiecke geteilt, die dem ursprünglichen Dreieck ähneln.

In einem spitzen Dreieck schneiden seine beiden Höhen ähnliche Dreiecke davon ab.

Wenn das Dreieck spitz ist, dann gehören alle Höhenbasen zu den Seiten des Dreiecks, und in einem stumpfen Dreieck fallen zwei Höhen auf die Fortsetzung der Seiten.

Drei Höhen in einem spitzen Dreieck schneiden sich in einem Punkt und dieser Punkt wird aufgerufen Orthozentrum Dreieck.

Median

Mediane(von lat. mediana – „Mitte“) – das sind Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten verbinden (siehe Abb. 3).

Um den Median zu erstellen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1) Finden Sie die Mitte der Seite;

2) Verbinden Sie den Punkt, der die Mitte der Seite des Dreiecks ist, mit dem gegenüberliegenden Scheitelpunkt mit einem Segment.

Eigenschaften von Dreiecksmedianen

Der Median teilt ein Dreieck in zwei Dreiecke gleicher Fläche.

Die Mittelwerte eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der jeden von ihnen im Verhältnis 2:1 teilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt Dreieck.

Das gesamte Dreieck wird durch seine Mediane in sechs gleich große Dreiecke geteilt.

Halbierende

Winkelhalbierende(von lateinisch bis – zweimal und seko – schneiden) sind die in einem Dreieck eingeschlossenen geraden Liniensegmente, die dessen Winkel halbieren (siehe Abb. 4).

Um eine Winkelhalbierende zu konstruieren, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1) Konstruieren Sie einen Strahl, der vom Scheitelpunkt des Winkels ausgeht und ihn in zwei gleiche Teile teilt (die Winkelhalbierende);

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks mit der gegenüberliegenden Seite;

3) Wählen Sie ein Segment aus, das den Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Schnittpunkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet.

Eigenschaften von Dreieckshalbierenden

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in einem Verhältnis, das dem Verhältnis der beiden benachbarten Seiten entspricht.

Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt wird Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises genannt.

Die Winkelhalbierenden des Innen- und Außenwinkels stehen senkrecht zueinander.

Wenn die Winkelhalbierende eines Außenwinkels eines Dreiecks die Verlängerung der gegenüberliegenden Seite schneidet, dann ist ADBD=ACBC.

Die Winkelhalbierenden eines Innen- und zweier Außenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt eines der drei Exkreise dieses Dreiecks.

Die Basen der Winkelhalbierenden zweier Innen- und eines Außenwinkels eines Dreiecks liegen auf derselben Geraden, wenn die Winkelhalbierende des Außenwinkels nicht parallel zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks ist.

Wenn die Winkelhalbierenden der Außenwinkel eines Dreiecks nicht parallel zu gegenüberliegenden Seiten sind, dann liegen ihre Basen auf derselben Geraden.

Bei der Lösung verschiedener Arten von Problemen, sowohl rein mathematischer als auch angewandter Natur (insbesondere im Bauwesen), ist es häufig erforderlich, den Wert der Höhe einer bestimmten geometrischen Figur zu bestimmen. Wie berechnet man diesen Wert (Höhe) in einem Dreieck?

Wenn wir 3 Punkte paarweise kombinieren, die nicht auf einer einzigen Linie liegen, dann ist die resultierende Figur ein Dreieck. Die Höhe ist der Teil einer geraden Linie von einem beliebigen Scheitelpunkt einer Figur, der beim Schnitt mit der gegenüberliegenden Seite einen Winkel von 90° bildet.

Finden Sie die Höhe eines ungleichseitigen Dreiecks

Bestimmen wir den Wert der Höhe eines Dreiecks für den Fall, dass die Figur beliebige Winkel und Seiten hat.

Herons Formel

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, wobei

p – halber Umfang der Figur, h(a) – ein Segment zur Seite a, im rechten Winkel dazu gezeichnet,

p=(a+b+c)/2 – Berechnung des Halbumfangs.

Wenn es eine Fläche der Figur gibt, können Sie die Beziehung h(a)=2S/a verwenden, um deren Höhe zu bestimmen.

Trigonometrische Funktionen

Um die Länge eines Segments zu bestimmen, das beim Schnitt mit Seite a einen rechten Winkel bildet, können Sie die folgenden Beziehungen verwenden: Wenn Seite b und Winkel γ oder Seite c und Winkel β bekannt sind, dann ist h(a)=b*sinγ oder h(a)=c *sinβ.
Wo:
γ – Winkel zwischen Seite b und a,
β ist der Winkel zwischen Seite c und a.

Zusammenhang mit Radius

Wenn das ursprüngliche Dreieck in einen Kreis eingeschrieben ist, können Sie den Radius eines solchen Kreises zur Bestimmung der Höhe verwenden. Sein Mittelpunkt befindet sich an dem Punkt, an dem sich alle drei Höhen schneiden (von jedem Scheitelpunkt aus) – dem Orthozentrum, und der Abstand von ihm zum Scheitelpunkt (beliebig) ist der Radius.

Dann ist h(a)=bc/2R, wobei:
b, c – 2 andere Seiten des Dreiecks,
R ist der Radius des Kreises, der das Dreieck umschreibt.

Finden Sie die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck

Bei dieser Art von geometrischer Figur bilden zwei Seiten, wenn sie sich schneiden, einen rechten Winkel – 90°. Wenn Sie also den Höhenwert darin bestimmen möchten, müssen Sie entweder die Größe eines der Beine oder die Größe des Segments berechnen, das mit der Hypotenuse einen 90°-Winkel bildet. Bei der Benennung:
a, b – Beine,
c – Hypotenuse,
h(c) – senkrecht zur Hypotenuse.
Mithilfe der folgenden Beziehungen können Sie die notwendigen Berechnungen durchführen:

• Satz des Pythagoras:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, weil S=ab/2, dann h(c)=ab/c.

• Trigonometrische Funktionen:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Finden Sie die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks

Diese geometrische Figur zeichnet sich durch das Vorhandensein von zwei gleich großen Seiten und einer dritten – der Basis – aus. Um die Höhe der dritten, unterschiedlichen Seite zu bestimmen, hilft der Satz des Pythagoras. Mit Notation
a – Seite,
c – Basis,
h(c) ist ein Segment zu c in einem Winkel von 90°, dann ist h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Die Lektion enthält eine Beschreibung der Eigenschaften und Formeln zum Ermitteln der Höhe eines Dreiecks sowie Beispiele zur Problemlösung. Wenn Sie für ein passendes Problem keine Lösung gefunden haben - schreibe darüber im Forum. Sicherlich wird der Kurs ergänzt.

DREIECKHÖHE Dreieckshöhe- eine Senkrechte, die vom Scheitelpunkt eines Dreiecks abfällt und zur Seite gegenüber dem Scheitelpunkt oder zu seiner Fortsetzung gezogen wird. Eigenschaften Dreieckshöhen: Wenn zwei Höhen in einem Dreieck gleich sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig In jedem Dreieck schneidet ein Segment, das die Basen zweier Höhen des Dreiecks verbindet, ein Dreieck ab, das dem gegebenen ähnelt In einem Dreieck ist ein Segment, das die Basen zweier Höhen des Dreiecks verbindet, die auf zwei Seiten liegen, nicht parallel zur dritten Seite, mit der es keine gemeinsamen Punkte hat. Durch seine beiden Enden sowie durch die beiden Eckpunkte dieser Seite kann man immer einen Kreis zeichnen In einem spitzen Dreieck schneiden zwei seiner Höhen ähnliche Dreiecke davon ab Die Mindesthöhe in einem Dreieck liegt immer innerhalb dieses Dreiecks Orthozentrum des Dreiecks Alle drei Höhen des Dreiecks (aus den drei Eckpunkten gezogen) schneiden sich in einem Punkt, der Orthozentrum genannt. Um den Schnittpunkt der Höhen zu finden, genügt es, zwei Höhen zu zeichnen (zwei Linien schneiden sich nur in einem Punkt). Die Lage des Orthozentrums (Punkt O) wird durch die Art des Dreiecks bestimmt. Bei einem spitzen Dreieck liegt der Schnittpunkt der Höhen in der Dreiecksebene. (Abb.1). In einem rechtwinkligen Dreieck fällt der Schnittpunkt der Höhen mit dem Scheitelpunkt des rechten Winkels zusammen (Abb. 2). Bei einem stumpfen Dreieck liegt der Schnittpunkt der Höhen hinter der Dreiecksebene (Abb. 3). Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind der Median, die Winkelhalbierende und die Höhe zur Basis des Dreiecks gleich. In einem gleichseitigen Dreieck fallen alle drei „bemerkenswerten“ Geraden (Höhe, Winkelhalbierende und Mittellinie) zusammen und drei „bemerkenswerte“ Punkte (die Punkte des Orthozentrums, des Schwerpunkts und des Mittelpunkts der ein- und umschriebenen Kreise) liegen an der gleichen Schnittpunkt der „bemerkenswerten“ Linien, d.h. passen auch.

HOHE TRIKUTNIKA Die Höhe des Tricubitules verläuft senkrecht von der Spitze des Tricubitules absteigend und orientiert sich an der Protidalspitze oder an deren Verlängerung. Alle drei Höhen des Trikubitus (ausgehend von drei Eckpunkten) schneiden sich in einem Punkt, der als Orthozentrum bezeichnet wird. Um den Punkt der sich kreuzenden Höhen zu finden, müssen Sie zwei Höhen zeichnen (zwei gerade Linien kreuzen sich nur in einem Punkt). Die Lage des Orthozentrums (Punkt O) wird durch die Art des Tricuputids bestimmt. Beim gostrokutny trikutnik liegt der Höhenkreuzungspunkt in der Ebene des trikutnik. (Mal.1). Beim Tricut mit geradem Schnitt trifft der Punkt der Höhe des Kreuzes auf die Spitze des geraden Schnitts (Mal. 2). Bei einem stumpfwinkligen Tricutnik liegt der Punkt der Querlinie der Höhen hinter der Ebenheit des Tricutnik (Mal.3). Im isosfemoralen Trikullus sind der Median, die Winkelhalbierende und die zur Basis des Tricucutineums gezogene Höhe gleich. In einem gleichseitigen Tricube werden alle drei „markierten“ Linien (Höhe, Winkelhalbierende und Mittellinie) vermieden und drei „markierte“ Punkte (Orthozentrumspunkte, die Mitte der Linie und die Mitte des eingeschriebenen und beschriebenen Kiels) liegen an derselben Stelle Punkt der Übertragung den Schlamm der „schmutzigen“ Leitungen, sodass auch diese vermieden werden können.

Formeln zum Ermitteln der Höhe eines Dreiecks

Die Abbildung wird gezeigt, um das Verständnis der Formeln zum Ermitteln der Höhe eines Dreiecks zu erleichtern. Als allgemeine Regel gilt, dass die Länge einer Seite durch einen kleinen Buchstaben gegenüber dem entsprechenden Winkel angegeben wird. Das heißt, die Seite a liegt dem Winkel A gegenüber.
Die Höhe wird in Formeln mit dem Buchstaben h bezeichnet, dessen tiefgestellter Index der Seite entspricht, auf der er abgesenkt wird.

Andere Bezeichnungen:
ABC- Längen der Seiten des Dreiecks
H A- die Höhe des Dreiecks, das aus dem entgegengesetzten Winkel zur Seite a gezogen wird
H B- Höhe zur Seite gezogen b
H C- Höhe zur Seite gezogen c
R- Radius des umschriebenen Kreises
R- Radius des eingeschriebenen Kreises

Erläuterungen zu Formeln.
Die Höhe eines Dreiecks ist gleich dem Produkt aus der Länge der Seite neben dem Winkel, von dem aus diese Höhe weggelassen wird, und dem Sinus des Winkels zwischen dieser Seite und der Seite, zu der diese Höhe weggelassen wird (Formel 1)
Die Höhe eines Dreiecks ist gleich dem Quotienten aus der doppelten Fläche des Dreiecks geteilt durch die Länge der Seite, auf die diese Höhe abgesenkt wird (Formel 2)
Die Höhe eines Dreiecks ist gleich dem Quotienten aus dem Produkt der an den Winkel angrenzenden Seiten, von dem diese Höhe weggelassen wird, durch den doppelten Radius des um ihn herum beschriebenen Kreises (Formel 4).
Die Höhen der Seiten eines Dreiecks stehen im gleichen Verhältnis zueinander wie die umgekehrten Proportionen der Längen der Seiten desselben Dreiecks zueinander und auch die Produkte der Seitenpaare eines Dreiecks, die sich zueinander verhalten gleichen Winkel zueinander stehen im gleichen Verhältnis zueinander (Formel 5).
Die Summe der Kehrwerte der Höhen eines Dreiecks ist gleich dem Kehrwert des Radius des in ein solches Dreieck eingeschriebenen Kreises (Formel 6)
Die Fläche eines Dreiecks lässt sich durch die Längen der Höhen dieses Dreiecks ermitteln (Formel 7)
Die Länge der Seite des Dreiecks, um die sich die Höhe verringert, kann durch Anwendung der Formeln 7 und 2 ermittelt werden.

Aufgabe am .

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC (Winkel C = 90 0) ist die Höhe CD eingezeichnet. Bestimmen Sie CD, wenn AD = 9 cm, BD = 16 cm

Lösung.

Die Dreiecke ABC, ACD und CBD ähneln einander. Dies folgt direkt aus dem zweiten Ähnlichkeitskriterium (die Winkelgleichheit in diesen Dreiecken ist offensichtlich).

Rechtwinklige Dreiecke sind die einzige Dreiecksart, die in zwei einander und dem ursprünglichen Dreieck ähnliche Dreiecke geschnitten werden kann.

Die Bezeichnungen dieser drei Dreiecke in dieser Reihenfolge der Eckpunkte: ABC, ACD, CBD. Damit zeigen wir gleichzeitig die Korrespondenz der Eckpunkte. (Der Scheitelpunkt A des Dreiecks ABC entspricht auch dem Scheitelpunkt A des Dreiecks ACD und dem Scheitelpunkt C des Dreiecks CBD usw.)

Die Dreiecke ABC und CBD sind ähnlich. Bedeutet:

AD/DC = DC/BD, das heißt

Problem bei der Anwendung des Satzes des Pythagoras.

Das Dreieck ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck. In diesem Fall ist C ein rechter Winkel. Daraus wird die Höhe CD = 6 cm ermittelt. Differenz zwischen den Segmenten BD-AD=5 cm.

Finden: Seiten des Dreiecks ABC.

Lösung.

1. Erstellen wir ein Gleichungssystem nach dem Satz des Pythagoras

CD 2 +BD 2 =BC 2

CD 2 +AD 2 =AC 2

seit CD=6

Da also BD-AD=5 ist

BD = AD+5, dann nimmt das Gleichungssystem die Form an

36+(AD+5) 2 =BC 2

Fügen wir die erste und zweite Gleichung hinzu. Da die linke Seite zur linken und die rechte Seite zur rechten Seite addiert wird, wird die Gleichheit nicht verletzt. Wir bekommen:

36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

2. Betrachtet man nun die Originalzeichnung des Dreiecks, muss nach demselben Satz des Pythagoras die Gleichheit erfüllt sein:

AC 2 +BC 2 =AB 2

Da AB=BD+AD ist, lautet die Gleichung:

AC 2 +BC 2 =(AD+BD) 2

Da BD-AD=5, dann ist BD = AD+5

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

3. Schauen wir uns nun die Ergebnisse an, die wir beim Lösen des ersten und zweiten Teils der Lösung erhalten haben. Nämlich:

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

Sie haben einen gemeinsamen Teil AC 2 + BC 2. Vergleichen wir sie also miteinander.

72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2

72+AD 2 +10AD+25+AD 2 =4AD 2 +20AD+25

2AD 2 -10AD+72=0

In der resultierenden quadratischen Gleichung ist die Diskriminante gleich D=676 bzw. die Wurzeln der Gleichung sind gleich:

Da die Länge des Segments nicht negativ sein kann, verwerfen wir die erste Wurzel.

Jeweils

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

Mit dem Satz des Pythagoras ermitteln wir die verbleibenden Seiten des Dreiecks:

AC = Wurzel von (52)

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