Πώς να βρείτε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς αν. Πώς να βρείτε την περιοχή ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς
ΚΑΙ . Τώρα μπορούμε να αρχίσουμε να εξετάζουμε το ερώτημα πώς να βρούμε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς. Αυτό το έργο στην καθημερινή ζωή συμβαίνει πολύ σπάνια, αλλά μερικές φορές αποδεικνύεται απαραίτητο, για παράδειγμα, να βρεθεί η περιοχή ενός δωματίου με τη μορφή τραπεζοειδούς, το οποίο χρησιμοποιείται όλο και περισσότερο στην κατασκευή σύγχρονων διαμερισμάτων, ή σε έργα σχεδιασμού ανακαίνισης.
Trapeze είναι γεωμετρικό σχήμα, που σχηματίζονται από τέσσερα τεμνόμενα τμήματα, δύο από τα οποία είναι παράλληλα μεταξύ τους και ονομάζονται βάσεις τραπεζοειδούς. Τα άλλα δύο τμήματα ονομάζονται πλευρές του τραπεζίου. Επιπλέον, θα χρειαστούμε έναν άλλο ορισμό αργότερα. Αυτή είναι η μεσαία γραμμή του τραπεζοειδούς, η οποία είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μεσαία σημεία των πλευρών και το ύψος του τραπεζοειδούς, το οποίο είναι ίσο με την απόσταση μεταξύ των βάσεων.
Όπως τα τρίγωνα, ένα τραπεζοειδές έχει συγκεκριμένους τύπους με τη μορφή ισοσκελούς (ισοσκελούς) τραπεζοειδούς, στο οποίο τα μήκη των πλευρών είναι ίδια και ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς, στο οποίο μία από τις πλευρές σχηματίζει ορθή γωνία με τις βάσεις.
Τα τραπεζοειδή έχουν μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες:
- Η μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς είναι το ήμισυ του αθροίσματος των βάσεων και είναι παράλληλη με αυτές.
- Τα ισοσκελή τραπέζια έχουν ίσες πλευρές και γωνίες που σχηματίζουν με τις βάσεις.
- Τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς και το σημείο τομής των διαγωνίων του βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
- Εάν το άθροισμα των πλευρών ενός τραπεζίου είναι ίσο με το άθροισμα των βάσεων, τότε μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος σε αυτό
- Αν το άθροισμα των γωνιών που σχηματίζονται από τις πλευρές ενός τραπεζοειδούς σε οποιαδήποτε βάση του είναι 90, τότε το μήκος του τμήματος που συνδέει τα μέσα των βάσεων είναι ίσο με τη μισή διαφορά τους.
- Ένα ισοσκελές τραπέζιο μπορεί να περιγραφεί από έναν κύκλο. Και αντίστροφα. Αν ένα τραπεζοειδές είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε είναι ισοσκελές.
- Ένα τμήμα που διέρχεται από τα μέσα των βάσεων ισοσκελές τραπέζιοθα είναι κάθετος στις βάσεις του και αντιπροσωπεύει τον άξονα συμμετρίας.
Πώς να βρείτε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς.
Το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς θα είναι το μισό του αθροίσματος των βάσεων του πολλαπλασιαζόμενο επί το ύψος του. Με τη μορφή τύπου, αυτό γράφεται ως έκφραση:
όπου S είναι το εμβαδόν του τραπεζοειδούς, a,b είναι το μήκος καθεμιάς από τις βάσεις του τραπεζοειδούς, h είναι το ύψος του τραπεζοειδούς.
Μπορείτε να κατανοήσετε και να θυμάστε αυτόν τον τύπο ως εξής. Όπως προκύπτει από το παρακάτω σχήμα, ένα τραπεζοειδές που χρησιμοποιεί τη μέση γραμμή μπορεί να μετατραπεί σε ορθογώνιο, το μήκος του οποίου θα είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος των βάσεων.
Μπορείτε επίσης να αποσυνθέσετε οποιοδήποτε τραπεζοειδές σε περισσότερα απλές φιγούρες: ένα ορθογώνιο και ένα ή δύο τρίγωνα, και αν είναι πιο εύκολο για εσάς, τότε βρείτε το εμβαδόν του τραπεζοειδούς ως το άθροισμα των εμβαδών των σχημάτων που το αποτελούν.
Υπάρχει ακόμα ένα απλή φόρμουλανα υπολογίσει το εμβαδόν του. Σύμφωνα με αυτό, το εμβαδόν του τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο της μέσης γραμμής του και το ύψος του τραπεζοειδούς και γράφεται ως: S \u003d m * h, όπου S είναι το εμβαδόν, m είναι το μήκος του η μέση γραμμή, h είναι το ύψος του τραπεζοειδούς. Αυτός ο τύπος είναι πιο κατάλληλος για μαθηματικά παρά για καθημερινά προβλήματα, αφού σε πραγματικές συνθήκες δεν θα γνωρίζετε το μήκος της μεσαίας γραμμής χωρίς προκαταρκτικούς υπολογισμούς. Και θα γνωρίζετε μόνο τα μήκη των βάσεων και των πλευρών.
Σε αυτή την περίπτωση, η περιοχή του τραπεζοειδούς μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2
όπου S είναι το εμβαδόν, a,b οι βάσεις, c,d οι πλευρές του τραπεζοειδούς.
Υπάρχουν αρκετοί ακόμη τρόποι για να βρείτε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς. Αλλά, είναι περίπου τόσο άβολα όσο η τελευταία φόρμουλα, πράγμα που σημαίνει ότι δεν έχει νόημα να σταθούμε σε αυτές. Επομένως, σας συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε την πρώτη φόρμουλα από το άρθρο και ευχόμαστε να έχετε πάντα ακριβή αποτελέσματα.
Στα μαθηματικά είναι γνωστοί διάφοροι τύποι τετράπλευρων: τετράγωνο, ορθογώνιο, ρόμβος, παραλληλόγραμμο. Μεταξύ αυτών είναι ένα τραπεζοειδές - ένα είδος κυρτού τετράπλευρου, στο οποίο οι δύο πλευρές είναι παράλληλες και οι άλλες δύο όχι. Οι παράλληλες απέναντι πλευρές ονομάζονται βάσεις και οι άλλες δύο ονομάζονται πλευρές του τραπεζίου. Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών ονομάζεται μέση γραμμή. Υπάρχουν διάφοροι τύποι τραπεζοειδών: ισοσκελές, ορθογώνιοι, καμπυλόγραμμοι. Για κάθε τύπο τραπεζοειδούς, υπάρχουν τύποι για την εύρεση της περιοχής.
Περιοχή τραπεζίου
Για να βρείτε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος των βάσεων και το ύψος του. Το ύψος ενός τραπεζοειδούς είναι ένα τμήμα κάθετο στις βάσεις. Έστω η πάνω βάση a, η κάτω βάση b και το ύψος h. Στη συνέχεια, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή S με τον τύπο:
S = ½ * (a + b) * h
εκείνοι. πάρτε το μισό άθροισμα των βάσεων πολλαπλασιασμένο με το ύψος.
Μπορείτε επίσης να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς εάν γνωρίζετε την τιμή του ύψους και της μέσης γραμμής. Ας υποδηλώσουμε τη μεσαία γραμμή - m. Επειτα
Ας λύσουμε το πρόβλημα πιο περίπλοκο: γνωρίζουμε τα μήκη των τεσσάρων πλευρών του τραπεζοειδούς - a, b, c, d. Τότε η περιοχή βρίσκεται με τον τύπο:
Εάν τα μήκη των διαγωνίων και η μεταξύ τους γωνία είναι γνωστά, τότε το εμβαδόν αναζητείται ως εξής:
S = ½ * d1 * d2 * sinα
όπου d με τους δείκτες 1 και 2 είναι διαγώνιοι. Σε αυτόν τον τύπο, το ημίτονο της γωνίας δίνεται στον υπολογισμό.
Με γνωστά μήκη βάσης a και b και δύο γωνίες στην κάτω βάση, το εμβαδόν υπολογίζεται ως εξής:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Περιοχή ισοσκελούς τραπεζοειδούς
Ένα ισοσκελές τραπεζοειδές είναι ειδική περίπτωσητραπεζοειδές. Η διαφορά του είναι ότι ένα τέτοιο τραπεζοειδές είναι ένα κυρτό τετράγωνο με άξονα συμμετρίας που διέρχεται από τα μέσα δύο αντίθετων πλευρών. Οι πλευρές του είναι ίσες.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε την περιοχή ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς.
- Μέσα από τα μήκη των τριών πλευρών. Σε αυτή την περίπτωση, τα μήκη των πλευρών θα ταιριάζουν, επομένως υποδεικνύονται με μία τιμή - c, a και b - τα μήκη των βάσεων:
- Εάν το μήκος της άνω βάσης, η πλευρική πλευρά και η γωνία στην κάτω βάση είναι γνωστά, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται ως εξής:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
όπου a είναι η πάνω βάση, c είναι η πλευρά.
- Εάν αντί για την άνω βάση, είναι γνωστό το μήκος της κάτω βάσης - b, το εμβαδόν υπολογίζεται από τον τύπο:
S = c * sin α * (b - c * cos α)
- Εάν είναι γνωστές δύο βάσεις και η γωνία στην κάτω βάση, το εμβαδόν υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη της γωνίας:
S = ½ * (b2 - a2) * tg α
- Επίσης, το εμβαδόν υπολογίζεται μέσω των διαγωνίων και της μεταξύ τους γωνίας. Σε αυτήν την περίπτωση, οι διαγώνιοι είναι ίσες σε μήκος, οπότε η καθεμία συμβολίζεται με το γράμμα d χωρίς δείκτες:
S = ½ * d2 * sinα
- Υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζοειδούς, γνωρίζοντας το μήκος της πλευρικής πλευράς, τη μέση γραμμή και τη γωνία στην κάτω βάση.
Αφήστε την πλευρά - c, τη μεσαία γραμμή - m, τη γωνία - a, τότε:
S = m * c * sina
Μερικές φορές ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα ισόπλευρο τραπέζιο, η ακτίνα του οποίου θα είναι - r.
Είναι γνωστό ότι ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιοδήποτε τραπέζιο αν το άθροισμα των μηκών των βάσεων είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών των πλευρών του. Στη συνέχεια, η περιοχή βρίσκεται μέσω της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου και της γωνίας στην κάτω βάση:
S = 4r2 / sinα
Ο ίδιος υπολογισμός γίνεται μέσω της διαμέτρου D του εγγεγραμμένου κύκλου (παρεμπιπτόντως, συμπίπτει με το ύψος του τραπεζοειδούς):
Γνωρίζοντας τις βάσεις και τη γωνία, το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς υπολογίζεται ως εξής:
S = a*b/sina
(αυτός και οι επόμενοι τύποι ισχύουν μόνο για τραπεζοειδή με εγγεγραμμένο κύκλο).
Μέσα από τις βάσεις και την ακτίνα του κύκλου, το εμβαδόν αναζητείται ως εξής:
Εάν είναι γνωστές μόνο οι βάσεις, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο:
Μέσω των βάσεων και της πλευρικής γραμμής, το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς με εγγεγραμμένο κύκλο και μέσω των βάσεων και της μέσης γραμμής - m υπολογίζεται ως εξής:
Περιοχή ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς
Ένα τραπέζιο ονομάζεται ορθογώνιο, στο οποίο μια από τις πλευρές του είναι κάθετη στις βάσεις. Σε αυτή την περίπτωση, το μήκος της πλευράς συμπίπτει με το ύψος του τραπεζοειδούς.
Ένα ορθογώνιο τραπέζιο είναι ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο. Αφού βρείτε το εμβαδόν καθενός από τα σχήματα, αθροίστε τα αποτελέσματα και λάβετε το συνολικό εμβαδόν του σχήματος.
Επίσης, οι γενικοί τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τραπεζοειδούς είναι κατάλληλοι για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς.
- Εάν είναι γνωστά τα μήκη των βάσεων και το ύψος (ή η κάθετη πλευρά), τότε το εμβαδόν υπολογίζεται με τον τύπο:
S = (a + b) * h / 2
Όπως h (ύψος) μπορεί να είναι η πλευρά με. Τότε ο τύπος μοιάζει με αυτό:
S = (a + b) * c / 2
- Ένας άλλος τρόπος για να υπολογίσετε το εμβαδόν είναι να πολλαπλασιάσετε το μήκος της μέσης γραμμής με το ύψος:
ή κατά το μήκος της πλευρικής κάθετης πλευράς:
- Η επόμενη μέθοδος υπολογισμού είναι μέσω του μισού γινόμενου των διαγωνίων και του ημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:
S = ½ * d1 * d2 * sinα
Εάν οι διαγώνιοι είναι κάθετες, τότε ο τύπος απλοποιείται ως εξής:
S = ½ * d1 * d2
- Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού είναι μέσω της ημιπεριμέτρου (το άθροισμα των μηκών δύο απέναντι πλευρών) και της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου.
Αυτός ο τύπος ισχύει για βάσεις. Αν πάρουμε τα μήκη των πλευρών, τότε μία από αυτές θα είναι ίση με τη διπλάσια ακτίνα. Ο τύπος θα μοιάζει με αυτό:
S = (2r + c) * r
- Εάν ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα τραπέζιο, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο:
όπου m είναι το μήκος της μέσης γραμμής.
Περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς
Ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση μιας μη αρνητικής συνεχούς συνάρτησης y = f(x) που ορίζεται στο τμήμα , στον άξονα x και στις ευθείες x = a, x = b. Στην πραγματικότητα, δύο από τις πλευρές του είναι παράλληλες μεταξύ τους (βάσεις), η τρίτη πλευρά είναι κάθετη στις βάσεις και η τέταρτη είναι μια καμπύλη που αντιστοιχεί στη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
Η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς αναζητείται μέσω του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:
Πώς υπολογίζονται οι εκτάσεις διάφορα είδητραπέζιο. Όμως, εκτός από τις ιδιότητες των πλευρών, τα τραπεζοειδή έχουν τις ίδιες ιδιότητες των γωνιών. Όπως όλα τα υπάρχοντα τετράπλευρα, το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τραπεζίου είναι 360 μοίρες. Και το άθροισμα των γωνιών που γειτνιάζουν με την πλευρά είναι 180 μοίρες.
Η περιοχή του τραπεζοειδούς. Χαιρετίσματα! Σε αυτή τη δημοσίευση, θα εξετάσουμε αυτόν τον τύπο. Γιατί είναι έτσι όπως είναι και πώς μπορείτε να το καταλάβετε; Αν υπάρχει κατανόηση, τότε δεν χρειάζεται να τη μάθεις. Εάν θέλετε απλώς να δείτε αυτόν τον τύπο και τι είναι επείγον, τότε μπορείτε να μετακινηθείτε αμέσως προς τα κάτω στη σελίδα))
Τώρα αναλυτικά και με τη σειρά.
Ένα τραπεζοειδές είναι ένα τετράπλευρο, οι δύο πλευρές αυτού του τετράπλευρου είναι παράλληλες, οι άλλες δύο όχι. Αυτά που δεν είναι παράλληλα είναι οι βάσεις του τραπεζοειδούς. Οι άλλες δύο ονομάζονται πλευρές.
Αν οι πλευρές είναι ίσες, τότε το τραπέζι ονομάζεται ισοσκελές. Εάν μία από τις πλευρές είναι κάθετη στις βάσεις, τότε ένα τέτοιο τραπεζοειδές ονομάζεται ορθογώνιο.
Στην κλασική μορφή, το τραπεζοειδές απεικονίζεται ως εξής - η μεγαλύτερη βάση βρίσκεται στο κάτω μέρος, αντίστοιχα, η μικρότερη είναι στην κορυφή. Κανείς όμως δεν απαγορεύει να το απεικονίσει και το αντίστροφο. Εδώ είναι τα σκίτσα:
Η επόμενη σημαντική ιδέα.
Η μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς είναι ένα τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών. Η μέση ευθεία είναι παράλληλη με τις βάσεις του τραπεζοειδούς και ισούται με το μισό άθροισμά τους.
Τώρα ας εμβαθύνουμε. Γιατί ακριβώς;
Σκεφτείτε ένα τραπεζοειδές με βάσεις α και βκαι με τη μεσαία γραμμή μεγάλο, και εκτελέστε μερικές πρόσθετες κατασκευές: τραβήξτε ευθείες γραμμές μέσα από τις βάσεις και κάθετες στα άκρα της μέσης γραμμής μέχρι να τέμνονται με τις βάσεις:
*Οι χαρακτηρισμοί γραμμάτων των κορυφών και άλλων σημείων δεν εισάγονται σκόπιμα για να αποφευχθούν περιττοί προσδιορισμοί.
Κοιτάξτε, τα τρίγωνα 1 και 2 είναι ίσα σύμφωνα με το δεύτερο πρόσημο της ισότητας των τριγώνων, τα τρίγωνα 3 και 4 είναι ίδια. Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει η ισότητα των στοιχείων, δηλαδή των ποδιών (σημειώνονται αντίστοιχα με μπλε και κόκκινο χρώμα).
Τώρα προσοχή! Εάν «κόψουμε» νοερά το μπλε και το κόκκινο τμήμα από την κάτω βάση, τότε θα έχουμε ένα τμήμα (αυτή είναι η πλευρά του ορθογωνίου) ίσο με τη μέση γραμμή. Επιπλέον, αν «κολλήσουμε» τα αποκομμένα μπλε και κόκκινα τμήματα στην επάνω βάση του τραπεζοειδούς, τότε θα πάρουμε επίσης ένα τμήμα (αυτή είναι και η πλευρά του ορθογωνίου) ίσο με τη μέση γραμμή του τραπεζοειδούς.
Το έπιασα? Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των βάσεων θα είναι ίσο με τις δύο διάμεσους του τραπεζοειδούς:
Δείτε μια άλλη εξήγηση
Ας κάνουμε τα εξής - να χτίσουμε μια ευθεία που διέρχεται από την κάτω βάση του τραπεζοειδούς και μια ευθεία που θα διέρχεται από τα σημεία Α και Β:
Παίρνουμε τα τρίγωνα 1 και 2, είναι ίσα σε πλευρές και γειτονικές γωνίες (το δεύτερο σημάδι ισότητας τριγώνων). Αυτό σημαίνει ότι το τμήμα που προκύπτει (στο σκίτσο σημειώνεται με μπλε χρώμα) είναι ίσο με την άνω βάση του τραπεζοειδούς.
Τώρα σκεφτείτε ένα τρίγωνο:
*Η μέση γραμμή αυτού του τραπεζοειδούς και η μέση γραμμή του τριγώνου συμπίπτουν.
Είναι γνωστό ότι το τρίγωνο είναι ίσο με το μισό της παράλληλης προς αυτό βάσης, δηλαδή:
Εντάξει, κατάλαβα. Τώρα για την περιοχή του τραπεζοειδούς.
Τύπος περιοχής τραπεζίου:
Λένε: το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους του.
Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι είναι ίσο με το γινόμενο της μέσης γραμμής και του ύψους:
Πιθανότατα έχετε ήδη παρατηρήσει ότι αυτό είναι προφανές. Γεωμετρικά, αυτό μπορεί να εκφραστεί ως εξής: αν αποκόψουμε νοερά τα τρίγωνα 2 και 4 από το τραπέζι και τα βάλουμε στα τρίγωνα 1 και 3, αντίστοιχα:
Στη συνέχεια, παίρνουμε ένα ορθογώνιο σε εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του τραπεζοειδούς μας. Το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου θα είναι ίσο με το γινόμενο της μέσης γραμμής και του ύψους, δηλαδή μπορούμε να γράψουμε:
Αλλά το θέμα εδώ δεν είναι φυσικά η γραφή, αλλά η κατανόηση.
Κατεβάστε (δείτε) το υλικό του άρθρου σε μορφή *pdf
Αυτό είναι όλο. Καλή σου τύχη!
Με εκτίμηση, Αλέξανδρος.
Η ενότητα περιέχει προβλήματα γεωμετρίας (πλανομετρία τομής) σχετικά με τραπεζοειδή. Εάν δεν βρήκατε λύση στο πρόβλημα - γράψτε γι 'αυτό στο φόρουμ. Το μάθημα θα ενημερωθεί σίγουρα.
Τραπέζιο. Ορισμός, τύποι και ιδιότητες
Ένα τραπέζιον (από άλλα ελληνικά τραπέζιον - «τραπέζι»· τράπεζα - «τραπέζι, φαγητό») είναι ένα τετράπλευρο με ακριβώς ένα ζεύγος απέναντι πλευρών παράλληλες.Ένα τραπέζιο είναι ένα τετράπλευρο με δύο αντίθετες πλευρές παράλληλες.
Σημείωση. Στην περίπτωση αυτή, το παραλληλόγραμμο είναι μια ειδική περίπτωση τραπεζοειδούς.
Οι παράλληλες απέναντι πλευρές ονομάζονται βάσεις του τραπεζοειδούς και οι άλλες δύο ονομάζονται πλευρές.
Τα τραπεζάκια είναι:
- πολύπλευρος ;
- ισοσκελής;
- ορθογώνιος
.κόκκινο και καφέ λουλούδιαυποδεικνύονται οι πλευρικές πλευρές, πράσινο και μπλε είναι οι βάσεις του τραπεζίου.
Α - ισοσκελές (ισοσκελές, ισοσκελές) τραπέζιο
Β - ορθογώνιο τραπεζοειδές
C - πολυχρηστικό τραπεζοειδές
Ένα ευέλικτο τραπεζοειδές έχει όλες τις πλευρές διαφορετικού μήκους και οι βάσεις είναι παράλληλες.
Οι πλευρές είναι ίσες και οι βάσεις παράλληλες.
Είναι παράλληλες στη βάση, η μία πλευρά είναι κάθετη στις βάσεις και η δεύτερη πλευρά είναι κεκλιμένη στις βάσεις.
Ιδιότητες τραπεζοειδούς
- Μέση γραμμή του τραπεζοειδούςπαράλληλες προς τις βάσεις και ίσο με το μισό άθροισμά τους
- Ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων, ισούται με το μισό της διαφοράς των βάσεων και βρίσκεται στη μέση γραμμή. Το μήκος του
- Παράλληλες ευθείες που τέμνουν τις πλευρές οποιασδήποτε γωνίας του τραπεζοειδούς αποκόπτουν ανάλογα τμήματα από τις πλευρές της γωνίας (βλέπε θεώρημα του Θαλή)
- Σημείο τομής των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς, το σημείο τομής των προεκτάσεων των πλευρικών του πλευρών και των μεσαίων σημείων των βάσεων βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή (βλ. επίσης τις ιδιότητες ενός τετράπλευρου)
- Τρίγωνα σε βάσειςτα τραπεζοειδή των οποίων οι κορυφές είναι το σημείο τομής των διαγωνίων τους είναι παρόμοια. Ο λόγος των εμβαδών τέτοιων τριγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου των βάσεων του τραπεζοειδούς
- Τρίγωνα στις πλευρέςτραπεζάκια των οποίων οι κορυφές είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι ίσα σε εμβαδόν (ίσα σε εμβαδόν)
- σε τραπεζοειδές μπορείτε να εγγράψετε έναν κύκλοαν το άθροισμα των μηκών των βάσεων ενός τραπεζίου είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών των πλευρών του. Η διάμεση γραμμή σε αυτή την περίπτωση είναι ίση με το άθροισμα των πλευρών διαιρούμενο με το 2 (καθώς η διάμεση γραμμή του τραπεζοειδούς είναι ίση με το μισό του αθροίσματος των βάσεων)
- Ένα τμήμα παράλληλο με τις βάσειςκαι περνώντας από το σημείο τομής των διαγωνίων, διαιρείται με το τελευταίο στο μισό και ισούται με το διπλάσιο του γινόμενου των βάσεων διαιρούμενο με το άθροισμά τους 2ab / (a + b) (τύπος Burakov)
Γωνίες τραπεζιού
Γωνίες τραπεζιού είναι αιχμηρά, ίσια και αμβλύ.Υπάρχουν μόνο δύο ορθές γωνίες.
Ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές έχει δύο ορθές γωνίες, και τα άλλα δύο είναι οξεία και αμβλύ. Άλλοι τύποι τραπεζίων έχουν: δύο αιχμηρές γωνίεςκαι δύο χαζοί.
Οι αμβλείες γωνίες ενός τραπεζοειδούς ανήκουν στις μικρότερεςκατά μήκος της βάσης, και απότομη - περισσότεροβάση.
Οποιοδήποτε τραπεζοειδές μπορεί να θεωρηθεί σαν κομμένο τρίγωνο, του οποίου η γραμμή τομής είναι παράλληλη με τη βάση του τριγώνου.
Σπουδαίος. Σημειώστε ότι με αυτόν τον τρόπο (με πρόσθετη κατασκευή τραπεζοειδούς σε τρίγωνο) μπορούν να λυθούν ορισμένα προβλήματα σχετικά με ένα τραπεζοειδές και να αποδειχθούν ορισμένα θεωρήματα.
Πώς να βρείτε τις πλευρές και τις διαγώνιες ενός τραπεζοειδούς
Η εύρεση των πλευρών και των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς γίνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους που δίνονται παρακάτω:
Σε αυτούς τους τύπους, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός, όπως στο σχήμα.
α - η μικρότερη από τις βάσεις του τραπεζοειδούς
β - η μεγαλύτερη από τις βάσεις του τραπεζοειδούς
c,d - πλευρές
h 1 h 2 - διαγώνιες
Το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το διπλάσιο του γινόμενου των βάσεων του τραπεζοειδούς συν το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών (Τύπος 2)
Τραπέζιοονομάζεται τετράπλευρο μόνο δύοοι πλευρές είναι παράλληλες μεταξύ τους.
Ονομάζονται οι βάσεις του σχήματος, τα υπόλοιπα - οι πλευρές. Ένα παραλληλόγραμμο θεωρείται ειδική περίπτωση ενός σχήματος. Υπάρχει επίσης ένα καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές, το οποίο περιλαμβάνει ένα γράφημα συνάρτησης. Οι τύποι για την περιοχή ενός τραπεζοειδούς περιλαμβάνουν σχεδόν όλα τα στοιχεία του και η καλύτερη λύση επιλέγεται ανάλογα με τις δεδομένες τιμές.
Οι κύριοι ρόλοι στο τραπεζοειδές εκχωρούνται στο ύψος και τη μέση γραμμή. ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑ- αυτή είναι μια γραμμή που συνδέει τα μεσαία σημεία των πλευρών. Υψοςτραπεζίου συγκρατείται σε ορθή γωνία από πάνω γωνίαστη βάση.
Το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς κατά το ύψος είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των μηκών των βάσεων, πολλαπλασιαζόμενο επί το ύψος:
Εάν η διάμεση γραμμή είναι γνωστή σύμφωνα με τις συνθήκες, τότε αυτός ο τύπος είναι πολύ απλοποιημένος, καθώς ισούται με το ήμισυ του αθροίσματος των μηκών των βάσεων:
Εάν, σύμφωνα με τις συνθήκες, δίνονται τα μήκη όλων των πλευρών, τότε μπορούμε να εξετάσουμε ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός τραπεζοειδούς μέσω αυτών των δεδομένων: 
Ας υποθέσουμε ότι δίνεται ένα τραπέζι με βάσεις a = 3 cm, b = 7 cm και πλευρές c = 5 cm, d = 4 cm. Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος: 
Περιοχή ισοσκελούς τραπεζοειδούς
Μια ξεχωριστή περίπτωση είναι ένα ισοσκελές ή, όπως ονομάζεται επίσης, ένα ισοσκελές τραπεζοειδές.
Ιδιαίτερη περίπτωση είναι επίσης η εύρεση της περιοχής ενός ισοσκελούς (ισοσκελούς) τραπεζοειδούς. Προερχόμενος τύπος διαφορετικοί τρόποι- μέσω των διαγωνίων, μέσω των γωνιών που γειτνιάζουν με τη βάση και την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.
Εάν το μήκος των διαγωνίων καθορίζεται από τις συνθήκες και η γωνία μεταξύ τους είναι γνωστή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο:
Θυμηθείτε ότι οι διαγώνιοι ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι ίσες μεταξύ τους!
Δηλαδή, γνωρίζοντας μια από τις βάσεις τους, πλευρά και γωνία, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε το εμβαδόν.
Περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς
Μια ξεχωριστή περίπτωση είναι καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές. Βρίσκεται στον άξονα των συντεταγμένων και περιορίζεται σε ένα γράφημα μιας συνεχούς θετικής συνάρτησης.
Η βάση του βρίσκεται στον άξονα Χ και περιορίζεται σε δύο σημεία: 
Τα ολοκληρώματα βοηθούν στον υπολογισμό του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.
Ο τύπος γράφεται ως εξής:
Εξετάστε ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς. Ο τύπος απαιτεί ορισμένες γνώσεις για να εργαστείτε οριστικά ολοκληρώματα. Αρχικά, ας αναλύσουμε την τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος: 
Εδώ η F(a) είναι η τιμή της αντιπαράγωγης συνάρτησης f(x) στο σημείο a , η F(b) είναι η τιμή της ίδιας συνάρτησης f(x) στο σημείο b. 
Τώρα ας λύσουμε το πρόβλημα. Το σχήμα δείχνει ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο, περιορισμένη λειτουργία. Λειτουργία 
Πρέπει να βρούμε την περιοχή του επιλεγμένου σχήματος, το οποίο είναι ένα καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές οριοθετημένο στην κορυφή από ένα γράφημα, στα δεξιά είναι μια ευθεία γραμμή x = (-8), στα αριστερά είναι μια ευθεία γραμμή x = (- 10) και ο άξονας OX είναι παρακάτω.
Θα υπολογίσουμε το εμβαδόν αυτού του αριθμού χρησιμοποιώντας τον τύπο: 
Μας δίνουν μια συνάρτηση από τις συνθήκες του προβλήματος. Χρησιμοποιώντας το, θα βρούμε τις τιμές του αντιπαραγώγου σε κάθε σημείο μας:
Τώρα
Απάντηση:το εμβαδόν ενός δεδομένου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι 4.
Δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο στον υπολογισμό αυτής της τιμής. Μόνο η μέγιστη προσοχή στους υπολογισμούς είναι σημαντική.
