Σπίτι › Διάφορα › Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας. Ορισμένο ολοκλήρωμα

Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας. Ορισμένο ολοκλήρωμα

Περνάμε τώρα στην εξέταση των εφαρμογών του ολοκληρωτικού λογισμού. Σε αυτό το μάθημα, θα αναλύσουμε μια τυπική και πιο συνηθισμένη εργασία. υπολογισμός του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα. Τέλος, όλοι όσοι αναζητούν νόημα στα ανώτερα μαθηματικά - μακάρι να το βρουν. Ποτέ δεν ξέρεις. Στην πραγματική ζωή, θα πρέπει να προσεγγίσετε ένα καλοκαιρινό εξοχικό σπίτι με στοιχειώδεις λειτουργίες και να βρείτε την περιοχή του χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα.

Για να κατακτήσετε με επιτυχία το υλικό, πρέπει:

1) Κατανοήστε το αόριστο ολοκλήρωμα τουλάχιστον σε ενδιάμεσο επίπεδο. Έτσι, τα ανδρείκελα θα πρέπει πρώτα να διαβάσουν το μάθημα Δεν.

2) Να είναι σε θέση να εφαρμόσει τον τύπο Newton-Leibniz και να υπολογίσει το οριστικό ολοκλήρωμα. Σφυρηλατήστε ζεστό φιλικές σχέσειςμε καθορισμένα ολοκληρώματα μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων. Η εργασία "υπολογισμός της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, επομένως, οι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στο σχέδιο θα είναι επίσης ένα επείγον ζήτημα. Τουλάχιστον, κάποιος πρέπει να μπορεί να χτίσει μια ευθεία γραμμή, μια παραβολή και μια υπερβολή.

Ας ξεκινήσουμε με ένα καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές. Ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης y = φά(Χ), άξονας ΒΟΔΙκαι γραμμές Χ = ένα; Χ = σι.

Το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Οποιοδήποτε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει πολύ καλή γεωμετρική σημασία. Στο μάθημα Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεωνείπαμε ότι ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός. Και τώρα ήρθε η ώρα να αναφέρουμε ένα άλλο χρήσιμο γεγονός. Από την άποψη της γεωμετρίας, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι η ΠΕΡΙΟΧΗ. Αυτό είναι, το οριστικό ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν κάποιου σχήματος. Θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα

Ολοκληρωτέου

ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο (μπορεί να σχεδιαστεί εάν είναι επιθυμητό) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με την περιοχή του αντίστοιχου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

Παράδειγμα 1

, , , .

Αυτή είναι μια τυπική δήλωση εργασίας. Το πιο σημαντικό σημείο της απόφασης είναι η κατασκευή ενός σχεδίου. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.

Κατά την κατασκευή ενός σχεδιαγράμματος, προτείνω την ακόλουθη σειρά: αρχικάείναι καλύτερο να κατασκευάζονται όλες οι γραμμές (αν υπάρχουν) και μόνο Επειτα- παραβολές, υπερβολές, γραφικές παραστάσεις άλλων συναρτήσεων. Η τεχνική της σημειακής κατασκευής βρίσκεται στο υλικό αναφοράς Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων. Εκεί μπορείτε επίσης να βρείτε υλικό που είναι πολύ χρήσιμο σε σχέση με το μάθημά μας - πώς να φτιάξετε γρήγορα μια παραβολή.

Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.

Ας κάνουμε ένα σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση y= 0 καθορίζει τον άξονα ΒΟΔΙ):

Δεν θα εκκολάψουμε το καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές, είναι προφανές εδώ ποια περιοχή υπό αμφισβήτηση. Η λύση συνεχίζεται ως εξής:

Στο διάστημα [-2; 1] γράφημα συνάρτησης y = Χ 2 + 2 βρίσκονται πάνω από τον άξοναΒΟΔΙ, Να γιατί:

Απάντηση: .

Ποιος δυσκολεύεται να υπολογίσει το οριστικό ολοκλήρωμα και να εφαρμόσει τον τύπο Newton-Leibniz

ανατρέξτε στη διάλεξη Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων. Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάτε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. ΣΕ αυτή η υπόθεση"Με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, περίπου 9 θα πληκτρολογηθούν, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν είχαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε, προφανώς, κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά προφανώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση ήταν αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές xy = 4, Χ = 2, Χ= 4 και άξονας ΒΟΔΙ.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Τι να κάνετε εάν εντοπίζεται το καμπυλόγραμμο τραπέζιο κάτω από τον άξοναΒΟΔΙ?

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = πρώην, Χ= 1 και άξονες συντεταγμένων.

Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Αν ένα καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές εντελώς κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ , τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

Σε αυτήν την περίπτωση:

Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:

1) Εάν σας ζητηθεί να λύσετε μόνο ένα οριστικό ολοκλήρωμα χωρίς γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.

2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις εξετάστηκε.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω ημιεπίπεδο, και ως εκ τούτου, από τα απλούστερα σχολικά προβλήματα, προχωράμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = 2Χ – Χ 2 , y = -Χ.

Λύση: Πρώτα πρέπει να κάνετε ένα σχέδιο. Όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής y = 2Χ – Χ 2 και ευθεία y = -Χ. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι αναλυτικός. Λύνουμε την εξίσωση:

Άρα το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης ένα= 0, ανώτερο όριο ολοκλήρωσης σι= 3. Συχνά είναι πιο επικερδές και πιο γρήγορο να κατασκευάζονται γραμμές σημείο προς σημείο, ενώ τα όρια της ολοκλήρωσης ανακαλύπτονται σαν «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης των ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η κατασκευή με σπείρωμα δεν αποκάλυψε τα όρια ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Επιστρέφουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Επαναλαμβάνουμε ότι στη σημειακή κατασκευή, τα όρια της ολοκλήρωσης ανακαλύπτονται τις περισσότερες φορές «αυτόματα».

Και τώρα ο τύπος εργασίας:

Εάν στο τμήμα [ ένα; σι] κάποια συνεχής λειτουργία φά(Χ) μεγαλύτερο ή ίσοκάποια συνεχής λειτουργία σολ(Χ), τότε η περιοχή του αντίστοιχου σχήματος μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

Εδώ δεν είναι πλέον απαραίτητο να σκεφτούμε πού βρίσκεται το σχήμα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, αλλά σημασία έχει ποιο γράφημα είναι ΠΑΝΩ(σε σχέση με άλλο γράφημα), και ποιο είναι ΠΑΡΑΚΑΤΩ.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως από το 2 Χ – Χ 2 πρέπει να αφαιρεθεί - Χ.

Η ολοκλήρωση της λύσης μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή y = 2Χ – Χ 2 επάνω και ευθεία y = -Χαπό κάτω.

Στο τμήμα 2 Χ – Χ 2 ≥ -Χ. Σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση: .

Στην πραγματικότητα, ο σχολικός τύπος για το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς στο κάτω μισό επίπεδο (βλ. παράδειγμα Νο. 3) είναι ειδική περίπτωσηΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Από τον άξονα ΒΟΔΙδίνεται από την εξίσωση y= 0, και το γράφημα της συνάρτησης σολ(Χ) βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ, Οτι

Και τώρα μερικά παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση

Παράδειγμα 5

Παράδειγμα 6

Βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Κατά την επίλυση προβλημάτων για τον υπολογισμό της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα, μερικές φορές συμβαίνει ένα αστείο περιστατικό. Το σχέδιο έγινε σωστά, οι υπολογισμοί ήταν σωστοί, αλλά, λόγω απροσεξίας, ... βρήκε την περιοχή της λάθος φιγούρας.

Παράδειγμα 7

Ας ζωγραφίσουμε πρώτα:

Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε.(δείτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένη η φιγούρα!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, συχνά αποφασίζουν ότι πρέπει να βρουν την περιοχή της φιγούρας που είναι σκιασμένη σε πράσινο!

Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο στο ότι σε αυτό η περιοχή του σχήματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα. Πραγματικά:

1) Στο τμήμα [-1; 1] πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙτο γράφημα είναι ευθύ y = Χ+1;

2) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙβρίσκεται η γραφική παράσταση της υπερβολής y = (2/Χ).

Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:

Απάντηση:

Παράδειγμα 8

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Ας παρουσιάσουμε τις εξισώσεις με τη μορφή «σχολείου».

και κάντε το γραμμικό σχέδιο:

Μπορεί να φανεί από το σχέδιο ότι το ανώτερο όριο μας είναι "καλό": σι = 1.

Ποιο είναι όμως το κατώτερο όριο; Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι ακέραιος, αλλά τι;

Μπορεί, ένα=(-1/3); Αλλά πού είναι η εγγύηση ότι το σχέδιο γίνεται με τέλεια ακρίβεια, μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι ένα=(-1/4). Τι θα γινόταν αν δεν είχαμε καθόλου σωστά το γράφημα;

Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει κανείς να αφιερώσει επιπλέον χρόνο και να βελτιώσει αναλυτικά τα όρια της ολοκλήρωσης.

Βρείτε τα σημεία τομής των γραφημάτων

Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση:

Ως εκ τούτου, ένα=(-1/3).

Η περαιτέρω λύση είναι ασήμαντη. Το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδεύεστε σε αντικαταστάσεις και ζώδια. Οι υπολογισμοί εδώ δεν είναι οι πιο εύκολοι. Στο τμήμα

, ,

σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Στο τέλος του μαθήματος, θα εξετάσουμε δύο εργασίες πιο δύσκολες.

Παράδειγμα 9

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Λύση: Σχεδιάστε αυτό το σχήμα στο σχέδιο.

Για σχέδιο σημείο προς σημείο, πρέπει να ξέρετε εμφάνισηημιτονοειδή. Γενικά, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τα γραφήματα όλων των στοιχειωδών συναρτήσεων, καθώς και ορισμένες τιμές του ημιτόνου. Μπορούν να βρεθούν στον πίνακα τιμών τριγωνομετρικές συναρτήσεις . Σε ορισμένες περιπτώσεις (για παράδειγμα, σε αυτήν την περίπτωση), επιτρέπεται η κατασκευή ενός σχηματικού σχεδίου, στο οποίο τα γραφήματα και τα όρια ολοκλήρωσης πρέπει καταρχήν να εμφανίζονται σωστά.

Δεν υπάρχουν προβλήματα με τα όρια ενσωμάτωσης εδώ, προκύπτουν απευθείας από την προϋπόθεση:

- Το "x" αλλάζει από μηδέν σε "pi". Παίρνουμε μια περαιτέρω απόφαση:

Στο τμήμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης y= αμαρτία 3 Χπου βρίσκεται πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙ, Να γιατί:

(1) Μπορείτε να δείτε πώς τα ημίτονο και τα συνημίτονα ενσωματώνονται σε περιττές δυνάμεις στο μάθημα Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Τσιμπάμε ένα ημίτονο.

(2) Χρησιμοποιούμε τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα στη φόρμα

(3) Ας αλλάξουμε τη μεταβλητή t= κοσ Χ, τότε: βρίσκεται πάνω από τον άξονα , άρα:

Σημείωση:σημειώστε πώς λαμβάνεται το ολοκλήρωμα της εφαπτομένης στον κύβο, εδώ χρησιμοποιείται η συνέπεια της βασικής τριγωνομετρικής ταυτότητας

Στην πραγματικότητα, για να βρείτε την περιοχή ενός σχήματος, δεν χρειάζεστε τόση γνώση του αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος. Η εργασία "υπολογισμός της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, έτσι οι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στο σχέδιο θα είναι πολύ πιο σχετικό θέμα. Από αυτή την άποψη, είναι χρήσιμο να ανανεώσετε τη μνήμη των γραφημάτων των κύριων βασικών συναρτήσεων και, τουλάχιστον, να μπορέσετε να δημιουργήσετε μια ευθεία γραμμή και μια υπερβολή.

Ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από έναν άξονα, ευθείες γραμμές και ένα γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα τμήμα που δεν αλλάζει πρόσημο σε αυτό το διάστημα. Αφήστε αυτό το σχήμα να βρίσκεται όχι λιγότεροτετμημένη:

Επειτα το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. Οποιοδήποτε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει πολύ καλή γεωμετρική σημασία.

Όσον αφορά τη γεωμετρία, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι η ΠΕΡΙΟΧΗ.

Αυτό είναι,το οριστικό ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν κάποιου σχήματος. Για παράδειγμα, θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα . Το ολοκλήρωμα ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο που βρίσκεται πάνω από τον άξονα (όσοι επιθυμούν μπορούν να ολοκληρώσουν το σχέδιο) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του αντίστοιχου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

Παράδειγμα 1

Αυτή είναι μια τυπική δήλωση εργασίας. Πρώτα και κρίσιμο σημείολύσεις - κατασκευή σχεδίου. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.

Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.
Ας κάνουμε ένα σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα):

Στο τμήμα, βρίσκεται το γράφημα της συνάρτησης πάνω από τον άξονα, Να γιατί:

Απάντηση:

Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάτε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτήν την περίπτωση, "με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, θα πληκτρολογηθούν περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν είχαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε, προφανώς, έγινε κάπου ένα λάθος - 20 κελιά σαφώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση ήταν αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές και άξονες συντεταγμένων.

Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Αν βρίσκεται το καμπυλόγραμμο τραπέζιο κάτω από τον άξονα(ή τουλάχιστον όχι υψηλότεραδεδομένου άξονα), τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

Σε αυτήν την περίπτωση:

Προσοχή! Μην συγχέετε τους δύο τύπους εργασιών:

Παράδειγμα 4

Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας που οριοθετείται από γραμμές, .

Λύση: Πρώτα πρέπει να ολοκληρώσετε το σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι αναλυτικός. Λύνουμε την εξίσωση:

Ως εκ τούτου, το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης, το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης.

Είναι καλύτερο να μην χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο εάν είναι δυνατόν..

Είναι πολύ πιο επικερδές και πιο γρήγορο να χτίζετε τις γραμμές σημείο προς σημείο, ενώ τα όρια της ολοκλήρωσης ανακαλύπτονται σαν «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης των ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η κατασκευή με σπείρωμα δεν αποκάλυψε τα όρια ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Και θα εξετάσουμε επίσης ένα τέτοιο παράδειγμα.

Επιστρέφουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Και τώρα η φόρμουλα εργασίας: Εάν υπάρχει κάποια συνεχής λειτουργία στο διάστημα μεγαλύτερο ή ίσοκάποια συνεχή συνάρτηση, μετά την περιοχή του σχήματος, περιορισμένο διάγραμμααπό αυτές τις συναρτήσεις και τις ευθείες , , μπορούν να βρεθούν από τον τύπο:

Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκεφτόμαστε πού βρίσκεται η φιγούρα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, και, χοντρικά, σημασία έχει ποιο γράφημα είναι ΠΑΝΩ(σε σχέση με άλλο γράφημα), και ποιο είναι ΠΑΡΑΚΑΤΩ.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από

Η ολοκλήρωση της λύσης μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή από πάνω και μια ευθεία γραμμή από κάτω.
Στο τμήμα , σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές , , , .

Λύση: Ας κάνουμε πρώτα ένα σχέδιο:

Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε.(δείτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένη η φιγούρα!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, εμφανίζεται συχνά ένα "πρόβλημα", ότι πρέπει να βρείτε την περιοχή της φιγούρας που είναι σκιασμένη με πράσινο!

Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο στο ότι σε αυτό η περιοχή του σχήματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα.

Πραγματικά:

1) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει ένα ευθύγραμμο γράφημα.

2) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει ένα γράφημα υπερβολής.

Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:

Πώς να εισάγετε μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπο;

Εάν χρειαστεί ποτέ να προσθέσετε έναν ή δύο μαθηματικούς τύπους σε μια ιστοσελίδα, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι όπως περιγράφεται στο άρθρο: οι μαθηματικοί τύποι εισάγονται εύκολα στον ιστότοπο με τη μορφή εικόνων που δημιουργεί αυτόματα το Wolfram Alpha. Εκτός από την απλότητα, αυτή η καθολική μέθοδος θα βοηθήσει στη βελτίωση της προβολής του ιστότοπου στις μηχανές αναζήτησης. Λειτουργεί εδώ και πολύ καιρό (και νομίζω ότι θα λειτουργεί για πάντα), αλλά είναι ηθικά ξεπερασμένο.

Εάν χρησιμοποιείτε συνεχώς μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπό σας, τότε σας συνιστώ να χρησιμοποιήσετε το MathJax, μια ειδική βιβλιοθήκη JavaScript που εμφανίζει μαθηματικούς συμβολισμούς σε προγράμματα περιήγησης ιστού χρησιμοποιώντας σήμανση MathML, LaTeX ή ASCIIMathML.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το MathJax: (1) χρησιμοποιώντας έναν απλό κώδικα, μπορείτε να συνδέσετε γρήγορα ένα σενάριο MathJax στον ιστότοπό σας, το οποίο θα φορτωθεί αυτόματα από έναν απομακρυσμένο διακομιστή την κατάλληλη στιγμή (λίστα διακομιστών). (2) ανεβάστε το σενάριο MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή στον διακομιστή σας και συνδέστε το σε όλες τις σελίδες του ιστότοπού σας. Η δεύτερη μέθοδος είναι πιο περίπλοκη και χρονοβόρα και θα σας επιτρέψει να επιταχύνετε τη φόρτωση των σελίδων του ιστότοπού σας και εάν ο γονικός διακομιστής MathJax γίνει προσωρινά μη διαθέσιμος για κάποιο λόγο, αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τον δικό σας ιστότοπο. Παρά τα πλεονεκτήματα αυτά, επέλεξα την πρώτη μέθοδο, καθώς είναι πιο απλή, πιο γρήγορη και δεν απαιτεί τεχνικές δεξιότητες. Ακολουθήστε το παράδειγμά μου και μέσα σε 5 λεπτά θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις δυνατότητες του MathJax στον ιστότοπό σας.

Μπορείτε να συνδέσετε το σενάριο της βιβλιοθήκης MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή χρησιμοποιώντας δύο επιλογές κώδικα που λαμβάνονται από τον κύριο ιστότοπο του MathJax ή από τη σελίδα τεκμηρίωσης:

Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ των ετικετών Καιή αμέσως μετά την ετικέτα . Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί και φορτώνει αυτόματα τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, τότε θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν επικολλήσετε τον δεύτερο κώδικα, τότε οι σελίδες θα φορτωθούν πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.

Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του παραπάνω κώδικα φόρτωσης και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στο η αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να ενσωματώσετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες σας.

Οποιοδήποτε φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, ο οποίος εφαρμόζεται με συνέπεια απεριόριστες φορές. Κάθε τέτοιος χρόνος ονομάζεται επανάληψη.

Ο επαναληπτικός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός σφουγγαριού Menger είναι αρκετά απλός: ο αρχικός κύβος με την πλευρά 1 χωρίζεται με επίπεδα παράλληλα προς τις όψεις του σε 27 ίσους κύβους. Ένας κεντρικός κύβος και 6 κύβοι δίπλα του κατά μήκος των όψεων αφαιρούνται από αυτό. Βγαίνει ένα σετ που αποτελείται από 20 εναπομείναντες μικρότερους κύβους. Κάνοντας το ίδιο με κάθε έναν από αυτούς τους κύβους, παίρνουμε ένα σετ που αποτελείται από 400 μικρότερους κύβους. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία επ' αόριστον, παίρνουμε το σφουγγάρι Menger.

Αρχίζουμε να εξετάζουμε την πραγματική διαδικασία υπολογισμού του διπλού ολοκληρώματος και να εξοικειωνόμαστε με τη γεωμετρική του σημασία.

Το διπλό ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος (περιοχή ολοκλήρωσης). Αυτό απλούστερη μορφήδιπλό ολοκλήρωμα όταν η συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι ίση με μία: .

Ας εξετάσουμε πρώτα το πρόβλημα γενική εικόνα. Τώρα θα εκπλαγείτε πόσο απλό είναι πραγματικά! Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές. Για βεβαιότητα, υποθέτουμε ότι στο διάστημα . Το εμβαδόν αυτού του σχήματος είναι αριθμητικά ίσο με:

Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:

Ας επιλέξουμε τον πρώτο τρόπο παράκαμψης της περιοχής:

Ετσι:

Και αμέσως ένα σημαντικό τεχνικό κόλπο: τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα μπορούν να εξεταστούν χωριστά. Πρώτα το εσωτερικό ολοκλήρωμα και μετά το εξωτερικό ολοκλήρωμα. Αυτή η μέθοδος συνιστάται ιδιαίτερα για αρχάριους στο θέμα τσαγιέρες.

1) Υπολογίστε το εσωτερικό ολοκλήρωμα, ενώ η ολοκλήρωση πραγματοποιείται πάνω από τη μεταβλητή "y":

Το αόριστο ολοκλήρωμα εδώ είναι το απλούστερο και στη συνέχεια χρησιμοποιείται ο συνηθισμένος τύπος Newton-Leibniz, με τη μόνη διαφορά ότι τα όρια της ολοκλήρωσης δεν είναι αριθμοί, αλλά συναρτήσεις. Πρώτα, αντικαταστήσαμε το ανώτερο όριο με το «y» (αντιπαράγωγη συνάρτηση) και μετά το κάτω όριο

2) Το αποτέλεσμα που προκύπτει στην πρώτη παράγραφο πρέπει να αντικατασταθεί στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:

Μια πιο συμπαγής σημειογραφία για ολόκληρη τη λύση μοιάζει με αυτό:

Ο τύπος που προκύπτει - αυτός είναι ακριβώς ο τύπος εργασίας για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός επίπεδου αριθμού χρησιμοποιώντας το "συνηθισμένο" οριστικό ολοκλήρωμα! Δείτε το μάθημα Υπολογισμός περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος, εκεί είναι σε κάθε στροφή!

Αυτό είναι, το πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού με χρήση διπλού ολοκληρώματος λίγο διαφορετικόαπό το πρόβλημα εύρεσης της περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος!Στην πραγματικότητα, είναι ένα και το αυτό!

Κατά συνέπεια, δεν πρέπει να προκύψουν δυσκολίες! Δεν θα εξετάσω πολλά παραδείγματα, αφού στην πραγματικότητα, έχετε επανειλημμένα αντιμετωπίσει αυτό το πρόβλημα.

Παράδειγμα 9

Λύση:Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:

Ας επιλέξουμε την ακόλουθη σειρά διέλευσης της περιοχής:

Εδώ και παρακάτω, δεν θα μπω στο πώς να διασχίσετε μια περιοχή επειδή η πρώτη παράγραφος ήταν πολύ λεπτομερής.

Ετσι:

Όπως έχω ήδη σημειώσει, είναι καλύτερο για τους αρχάριους να υπολογίζουν τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα ξεχωριστά, θα τηρήσω την ίδια μέθοδο:

1) Αρχικά, χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, ασχολούμαστε με το εσωτερικό ολοκλήρωμα:

2) Το αποτέλεσμα που προκύπτει στο πρώτο βήμα αντικαθίσταται στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:

Το σημείο 2 είναι στην πραγματικότητα εύρεση του εμβαδού μιας επίπεδης φιγούρας χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα.

Απάντηση:

Εδώ είναι ένα τόσο ανόητο και αφελές έργο.

Ένα περίεργο παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 10

Χρησιμοποιώντας το διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες, ,

Δείγμα Δείγμαοριστικοποίηση της λύσης στο τέλος του μαθήματος.

Στα Παραδείγματα 9-10, είναι πολύ πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε τον πρώτο τρόπο για να παρακάμψετε την περιοχή, οι περίεργοι αναγνώστες, παρεμπιπτόντως, μπορούν να αλλάξουν τη σειρά της παράκαμψης και να υπολογίσουν τις περιοχές με τον δεύτερο τρόπο. Εάν δεν κάνετε λάθος, τότε, φυσικά, λαμβάνονται οι ίδιες τιμές περιοχής.

Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, ο δεύτερος τρόπος παράκαμψης της περιοχής είναι πιο αποτελεσματικός, και ολοκληρώνοντας την πορεία του νεαρού σπασίκλα, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα για αυτό το θέμα:

Παράδειγμα 11

Χρησιμοποιώντας το διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές.

Λύση:ανυπομονούμε για δύο παραβολές με αεράκι που βρίσκονται στο πλάι. Δεν χρειάζεται να χαμογελάτε, παρόμοια πράγματα σε πολλαπλά ολοκληρώματα συναντώνται συχνά.

Ποιος είναι ο ευκολότερος τρόπος για να κάνετε ένα σχέδιο;

Ας παραστήσουμε την παραβολή ως δύο συναρτήσεις:
- άνω κλάδος και - κάτω κλάδος.

Ομοίως, φανταστείτε μια παραβολή ως άνω και κάτω κλαδια δεντρου.

Έπειτα, γραφικές κινήσεις σημείο προς σημείο, με αποτέλεσμα ένα τόσο παράξενο σχήμα:

Το εμβαδόν του σχήματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το διπλό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τον τύπο:

Τι θα συμβεί αν επιλέξουμε τον πρώτο τρόπο παράκαμψης της περιοχής; Πρώτον, αυτή η περιοχή θα πρέπει να χωριστεί σε δύο μέρη. Και δεύτερον, θα παρατηρήσουμε αυτή τη θλιβερή εικόνα: . Τα ολοκληρώματα, φυσικά, δεν είναι υπερσύνθετου επιπέδου, αλλά ... υπάρχει ένα παλιό μαθηματικό ρητό: όποιος είναι φιλικός με τις ρίζες δεν χρειάζεται συμψηφισμό.

Επομένως, από την παρανόηση που δίνεται στη συνθήκη, εκφράζουμε τις αντίστροφες συναρτήσεις:

Αντίστροφες συναρτήσεις V αυτό το παράδειγμαέχουν το πλεονέκτημα ότι στήνουν αμέσως ολόκληρη την παραβολή χωρίς φύλλα, βελανίδια, κλαδιά και ρίζες.

Σύμφωνα με τη δεύτερη μέθοδο, η διάβαση της περιοχής θα είναι η εξής:

Ετσι:

Όπως λένε, νιώστε τη διαφορά.

1) Ασχολούμαστε με το εσωτερικό ολοκλήρωμα:

Αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:

Η ενσωμάτωση στη μεταβλητή "y" δεν θα πρέπει να είναι ενοχλητική, αν υπήρχε ένα γράμμα "zyu" - θα ήταν υπέροχο να ενσωματωθεί πάνω από αυτό. Αν και ποιος διάβασε τη δεύτερη παράγραφο του μαθήματος Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής, δεν βιώνει πλέον την παραμικρή αμηχανία με την ενσωμάτωση πάνω από το «υ».

Προσέξτε επίσης το πρώτο βήμα: το ολοκλήρωμα είναι άρτιο και το τμήμα ολοκλήρωσης είναι συμμετρικό περίπου μηδέν. Επομένως, το τμήμα μπορεί να μειωθεί στο μισό και το αποτέλεσμα μπορεί να διπλασιαστεί. Αυτή η τεχνικήσχολίασε αναλυτικά στο μάθημα Αποτελεσματικές Μέθοδοιυπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος.

Τι να προσθέσω…. Ολα!

Απάντηση:

Για να δοκιμάσετε την τεχνική ολοκλήρωσης, μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε . Η απάντηση θα πρέπει να είναι ακριβώς η ίδια.

Παράδειγμα 12

Χρησιμοποιώντας το διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν προσπαθήσετε να χρησιμοποιήσετε τον πρώτο τρόπο για να παρακάμψετε την περιοχή, τότε η φιγούρα δεν θα χωρίζεται πλέον σε δύο, αλλά σε τρία μέρη! Και, κατά συνέπεια, παίρνουμε τρία ζεύγη επαναλαμβανόμενων ολοκληρωμάτων. Συμβαίνει μερικές φορές.

Το master class έφτασε στο τέλος του και ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στο επίπεδο grandmaster - Πώς να υπολογίσετε το διπλό ολοκλήρωμα; Παραδείγματα λύσεων. Θα προσπαθήσω να μην είμαι τόσο μανιακός στο δεύτερο άρθρο =)

Σου εύχομαι επιτυχία!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2:Λύση: Σχεδιάστε μια περιοχή στο σχέδιο:

Ας επιλέξουμε την ακόλουθη σειρά διέλευσης της περιοχής:

Ετσι:
Ας προχωρήσουμε στις αντίστροφες συναρτήσεις:

Ετσι:
Απάντηση:

Παράδειγμα 4:Λύση: Ας προχωρήσουμε στις άμεσες συναρτήσεις:

Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Ας αλλάξουμε τη σειρά διέλευσης της περιοχής:

Απάντηση:

ΕΝΑ)

Λύση.

Η πρώτη και πιο σημαντική στιγμή της απόφασης είναι η κατασκευή ενός σχεδίου.

Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Η εξίσωση y=0 ορίζει τον άξονα x.

- x=-2 Και x=1 - ευθεία, παράλληλα προς τον άξονα OU;

- y \u003d x 2 +2 - παραβολή της οποίας οι κλάδοι είναι στραμμένοι προς τα πάνω, με κορυφή στο σημείο (0;2).

Σχόλιο.Για την κατασκευή μιας παραβολής αρκεί να βρούμε τα σημεία τομής της με τους άξονες συντεταγμένων, δηλ. βάζοντας x=0 βρείτε την τομή με τον άξονα OU και αποφασίζει το κατάλληλο τετραγωνική εξίσωση, βρείτε την τομή με τον άξονα Ω .

Η κορυφή μιας παραβολής μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Μπορείτε να σχεδιάσετε γραμμές και σημείο προς σημείο.

Στο διάστημα [-2;1] η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x 2 +2 που βρίσκεται πάνω από τον άξονα Βόδι , Να γιατί:

Απάντηση: μικρό \u003d 9 τετραγωνικές μονάδες

Τι να κάνετε εάν εντοπίζεται το καμπυλόγραμμο τραπέζιο κάτω από τον άξονα Ω;

σι)Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y=-e x , x=1 και άξονες συντεταγμένων.

Λύση.

Ας κάνουμε ένα σχέδιο.

Αν ένα καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές εντελώς κάτω από τον άξονα Ω , τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

Απάντηση: S=(e-1) τ. μονάδα" 1,72 τ. μονάδα

Προσοχή! Μην συγχέετε τους δύο τύπους εργασιών:

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω μισό επίπεδο.

Με)Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Λύση.

Πρώτα πρέπει να κάνετε ένα σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής και άμεση Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι αναλυτικός.

Λύνουμε την εξίσωση:

Άρα το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης a=0 , το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης b=3 .

Κατασκευάζουμε τις δοσμένες γραμμές: 1. Παραβολή - κορυφή στο σημείο (1;1); διασταύρωση άξονα Ω -σημεία (0;0) και (0;2). 2. Ευθεία - η διχοτόμος της 2ης και 4ης συντεταγμένης γωνίας. Και τώρα Προσοχή! Εάν στο τμήμα [ α;β] κάποια συνεχής λειτουργία f(x)μεγαλύτερη ή ίση με κάποια συνεχή συνάρτηση g(x), τότε η περιοχή του αντίστοιχου σχήματος μπορεί να βρεθεί με τον τύπο: .

Και δεν έχει σημασία πού βρίσκεται το σχήμα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, αλλά είναι σημαντικό ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ (σε σχέση με άλλο γράφημα) και ποιο είναι ΚΑΤΩ. Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από

Είναι δυνατή η κατασκευή γραμμών σημείο προς σημείο, ενώ τα όρια της ολοκλήρωσης διαπιστώνονται σαν «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης των ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η κατασκευή με σπείρωμα δεν αποκάλυψε τα όρια ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα).