Σπίτι › Σασί › Πώς να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε μια οριοθετημένη κλειστή περιοχή; Διερεύνηση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.

Πώς να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε μια οριοθετημένη κλειστή περιοχή; Διερεύνηση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης.

Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσω για το πώς να εφαρμόσετε την ικανότητα εύρεσης στη μελέτη μιας συνάρτησης: να βρείτε τη μεγαλύτερη ή η μικρότερη τιμή. Και μετά θα λύσουμε κάποια προβλήματα από την Εργασία Β15 από ανοιχτή τράπεζαεργασίες για .

Ως συνήθως, ας ξεκινήσουμε πρώτα με τη θεωρία.

Στην αρχή κάθε μελέτης μιας συνάρτησης, τη βρίσκουμε

Για να βρείτε τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης, πρέπει να διερευνήσετε σε ποια διαστήματα αυξάνεται η συνάρτηση και σε ποια μειώνεται.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης και να μελετήσετε τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της, δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος διατηρεί το πρόσημο της.

Τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι θετική είναι διαστήματα αύξουσας συνάρτησης.

Τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι αρνητική είναι διαστήματα φθίνουσας συνάρτησης.

1 . Ας λύσουμε την εργασία Β15 (Αρ. 245184)

Για να το λύσουμε θα ακολουθήσουμε τον παρακάτω αλγόριθμο:

α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

β) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης .

γ) Ορίστε το ίσο με μηδέν.

δ) Ας βρούμε τα διαστήματα σταθερού πρόσημου της συνάρτησης.

ε) Να βρείτε το σημείο στο οποίο η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή.

στ) Να βρείτε την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Λέω τη λεπτομερή λύση αυτής της εργασίας στο ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΝΤΕΟ:

Μάλλον το πρόγραμμα περιήγησής σας δεν υποστηρίζεται. Για να χρησιμοποιήσετε τον προσομοιωτή "Unified State Examination Hour", δοκιμάστε να πραγματοποιήσετε λήψη
Firefox

2. Ας λύσουμε την εργασία Β15 (Αρ. 282862)

Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης στο τμήμα

Είναι προφανές ότι η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο τμήμα στο μέγιστο σημείο, στο x=2. Βρείτε την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο:

Απάντηση: 5

3 . Ας λύσουμε την εργασία Β15 (αρ. 245180):

Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Δεδομένου ότι το εύρος της αρχικής συνάρτησης title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Ο αριθμητής είναι μηδέν στο . Ας ελέγξουμε αν το ODZ ανήκει στη συνάρτηση. Για να το κάνετε αυτό, ελέγξτε εάν η συνθήκη title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

άρα το σημείο ανήκει στο ODZ της συνάρτησης

Εξετάζουμε το πρόσημο της παραγώγου δεξιά και αριστερά του σημείου:

Βλέπουμε ότι η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο σημείο . Τώρα ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης στο:

Σημείωση 1. Σημειώστε ότι σε αυτό το πρόβλημα δεν βρήκαμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: διορθώσαμε μόνο τους περιορισμούς και ελέγξαμε εάν το σημείο στο οποίο η παράγωγος είναι ίση με το μηδέν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Σε αυτό το πρόβλημα, αυτό αποδείχθηκε αρκετό. Ωστόσο, αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Εξαρτάται από την εργασία.

Παρατήρηση 2. Κατά τη μελέτη της συμπεριφοράς μιας σύνθετης συνάρτησης, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τον ακόλουθο κανόνα:

αν η εξωτερική συνάρτηση μιας σύνθετης συνάρτησης αυξάνεται, τότε η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή της στο ίδιο σημείο στο οποίο η εσωτερική συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή της. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό μιας αυξανόμενης συνάρτησης: μια συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα I if μεγαλύτερη αξίαένα όρισμα από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.
αν η εξωτερική συνάρτηση μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι φθίνουσα, τότε η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο ίδιο σημείο στο οποίο η εσωτερική συνάρτηση παίρνει τη μικρότερη τιμή . Αυτό προκύπτει από τον ορισμό μιας φθίνουσας συνάρτησης: η συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα I εάν η μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή της συνάρτησης

Στο παράδειγμά μας, η εξωτερική συνάρτηση - αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού. Κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι μια έκφραση - ένα τετράγωνο τριώνυμο, το οποίο, με αρνητικό ανώτερο συντελεστή, παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο σημείο . Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε αυτήν την τιμή του x στην εξίσωση της συνάρτησης και βρείτε τη μεγαλύτερη αξία του.

Αφήστε τη συνάρτηση $z=f(x,y)$ να οριστεί και να συνεχιστεί σε κάποιο περιορισμένο κλειστό τομέα $D$. Αφήστε σε αυτή την περιοχή για δεδομένη λειτουργίαέχει πεπερασμένες μερικές παραγώγους πρώτης τάξης (με πιθανή εξαίρεση έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων). Για να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών σε μια δεδομένη κλειστή περιοχή, απαιτούνται τρία βήματα ενός απλού αλγορίθμου.

Αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής της συνάρτησης $z=f(x,y)$ στον κλειστό τομέα $D$.

Βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης $z=f(x,y)$ που ανήκουν στην περιοχή $D$. Υπολογίστε τιμές συναρτήσεων σε κρίσιμα σημεία.
Ερευνήστε τη συμπεριφορά της συνάρτησης $z=f(x,y)$ στο όριο της περιοχής $D$ βρίσκοντας τα σημεία των πιθανών μέγιστων και ελάχιστων τιμών. Υπολογίστε τις τιμές συνάρτησης στα ληφθέντα σημεία.
Από τις τιμές συνάρτησης που ελήφθησαν στις δύο προηγούμενες παραγράφους, επιλέξτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη.

Ποια είναι τα κρίσιμα σημεία; εμφάνιση απόκρυψη

Κάτω από κρίσιμα σημείαυπονοεί σημεία όπου και οι δύο μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης είναι ίσες με μηδέν (δηλαδή $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ and $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ή τουλάχιστον μία μερική παράγωγος δεν υπάρχει.

Συχνά ονομάζονται τα σημεία στα οποία οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης είναι ίσες με μηδέν ακίνητα σημεία. Έτσι, τα ακίνητα σημεία είναι ένα υποσύνολο κρίσιμων σημείων.

Παράδειγμα #1

Βρείτε τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές της συνάρτησης $z=x^2+2xy-y^2-4x$ στην κλειστή περιοχή που οριοθετείται από τις γραμμές $x=3$, $y=0$ και $y=x +1$.

Θα ακολουθήσουμε τα παραπάνω, αλλά πρώτα θα ασχοληθούμε με το σχέδιο μιας δεδομένης περιοχής, την οποία θα συμβολίσουμε με το γράμμα $D$. Μας δίνονται οι εξισώσεις τριών ευθειών, που περιορίζουν αυτό το εμβαδόν. Η ευθεία $x=3$ διέρχεται από το σημείο $(3;0)$ παράλληλο προς τον άξονα y (άξονας Oy). Η ευθεία $y=0$ είναι η εξίσωση του άξονα της τετμημένης (άξονας Ox). Λοιπόν, για να κατασκευάσουμε μια ευθεία $y=x+1$ ας βρούμε δύο σημεία από τα οποία σχεδιάζουμε αυτήν την ευθεία. Μπορείτε, φυσικά, να αντικαταστήσετε μερικές αυθαίρετες τιμές αντί για $x$. Για παράδειγμα, αντικαθιστώντας $x=10$, παίρνουμε: $y=x+1=10+1=11$. Βρήκαμε το σημείο $(10;11)$ να βρίσκεται στη γραμμή $y=x+1$. Ωστόσο, είναι καλύτερο να βρείτε εκείνα τα σημεία όπου η ευθεία $y=x+1$ τέμνεται με τις ευθείες $x=3$ και $y=0$. Γιατί είναι καλύτερα; Επειδή θα βάλουμε κάτω δύο πουλιά με μια πέτρα: θα πάρουμε δύο πόντους για την κατασκευή της ευθείας $y=x+1$ και ταυτόχρονα θα μάθουμε σε ποια σημεία αυτή η ευθεία τέμνει άλλες γραμμές που δέσμευαν τη δεδομένη περιοχή. Η ευθεία $y=x+1$ τέμνει την ευθεία $x=3$ στο σημείο $(3;4)$ και την ευθεία $y=0$ - στο σημείο $(-1;0)$. Για να μην μπερδεύω την πορεία της λύσης με βοηθητικές επεξηγήσεις, θα θέσω το ζήτημα της απόκτησης αυτών των δύο σημείων σε ένα σημείωμα.

Πώς αποκτήθηκαν οι πόντοι $(3;4)$ και $(-1;0)$; εμφάνιση απόκρυψη

Ας ξεκινήσουμε από το σημείο τομής των ευθειών $y=x+1$ και $x=3$. Οι συντεταγμένες του επιθυμητού σημείου ανήκουν τόσο στην πρώτη όσο και στη δεύτερη γραμμή, επομένως για να βρείτε άγνωστες συντεταγμένες, πρέπει να λύσετε το σύστημα εξισώσεων:

$$ \αριστερά \( \αρχή(στοίχιση) & y=x+1;\\ & x=3. \end(στοίχιση) \δεξιά. $$

Η λύση ενός τέτοιου συστήματος είναι ασήμαντη: αντικαθιστώντας το $x=3$ στην πρώτη εξίσωση θα έχουμε: $y=3+1=4$. Το σημείο $(3;4)$ είναι το επιθυμητό σημείο τομής των γραμμών $y=x+1$ και $x=3$.

Ας βρούμε τώρα το σημείο τομής των ευθειών $y=x+1$ και $y=0$. Και πάλι, συνθέτουμε και λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:

$$ \αριστερά \( \αρχή(στοίχιση) & y=x+1;\\ & y=0. \end(στοίχιση) \δεξιά. $$

Αντικαθιστώντας $y=0$ στην πρώτη εξίσωση, παίρνουμε: $0=x+1$, $x=-1$. Το σημείο $(-1;0)$ είναι το επιθυμητό σημείο τομής των γραμμών $y=x+1$ και $y=0$ (άξονας τετμημένης).

Όλα είναι έτοιμα για τη δημιουργία ενός σχεδίου που θα μοιάζει με αυτό:

Το ερώτημα του σημειώματος φαίνεται προφανές, γιατί όλα φαίνονται από το σχήμα. Ωστόσο, αξίζει να θυμόμαστε ότι το σχέδιο δεν μπορεί να χρησιμεύσει ως απόδειξη. Το σχήμα είναι απλώς μια απεικόνιση για σαφήνεια.

Η περιοχή μας ορίστηκε χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις των γραμμών που την περιορίζουν. Είναι προφανές ότι αυτές οι γραμμές ορίζουν ένα τρίγωνο, έτσι δεν είναι; Ή όχι αρκετά προφανές; Ή ίσως μας δίνεται μια διαφορετική περιοχή, που οριοθετείται από τις ίδιες γραμμές:

Φυσικά, η συνθήκη λέει ότι η περιοχή είναι κλειστή, άρα η εικόνα που φαίνεται είναι λάθος. Αλλά για να αποφευχθούν τέτοιες ασάφειες, είναι καλύτερο να ορίσουμε τις περιοχές με ανισότητες. Μας ενδιαφέρει το τμήμα του αεροπλάνου που βρίσκεται κάτω από τη γραμμή $y=x+1$; Εντάξει, οπότε $y ≤ x+1$. Η περιοχή μας πρέπει να βρίσκεται πάνω από τη γραμμή $y=0$; Τέλεια, οπότε $y ≥ 0$. Παρεμπιπτόντως, οι δύο τελευταίες ανισότητες συνδυάζονται εύκολα σε μία: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \αριστερά \( \αρχή(στοίχιση) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(στοίχιση) \δεξιά. $$

Αυτές οι ανισότητες ορίζουν τον τομέα $D$ και τον ορίζουν μοναδικά, χωρίς ασάφειες. Πώς μας βοηθά όμως αυτό στην ερώτηση στην αρχή της υποσημείωσης; Θα βοηθήσει επίσης :) Πρέπει να ελέγξουμε αν το σημείο $M_1(1;1)$ ανήκει στην περιοχή $D$. Ας αντικαταστήσουμε τα $x=1$ και $y=1$ στο σύστημα των ανισοτήτων που ορίζουν αυτήν την περιοχή. Εάν ικανοποιούνται και οι δύο ανισότητες, τότε το σημείο βρίσκεται εντός της περιοχής. Εάν τουλάχιστον μία από τις ανισότητες δεν ικανοποιηθεί, τότε το σημείο δεν ανήκει στην περιοχή. Ετσι:

$$ \αριστερά \( \αρχή(στοιχισμένη) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(στοίχιση) \δεξιά. \;\; \αριστερά \( \αρχή(στοιχισμένη) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(ευθυγραμμισμένο) \right.$$

Και οι δύο ανισότητες είναι αληθινές. Το σημείο $M_1(1;1)$ ανήκει στην περιοχή $D$.

Τώρα είναι η σειρά να διερευνήσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο όριο του τομέα, δηλ. παω σε. Ας ξεκινήσουμε με την ευθεία $y=0$.

Η ευθεία $y=0$ (άξονας τετμημένης) περιορίζει την περιοχή $D$ υπό την συνθήκη $-1 ≤ x ≤ 3$. Αντικαταστήστε το $y=0$ στη δεδομένη συνάρτηση $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Η προκύπτουσα συνάρτηση αντικατάστασης μιας μεταβλητής $x$ θα συμβολίζεται ως $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Τώρα για τη συνάρτηση $f_1(x)$ πρέπει να βρούμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές στο διάστημα $-1 ≤ x ≤ 3$. Βρείτε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης και εξισώστε την με μηδέν:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Η τιμή $x=2$ ανήκει στο τμήμα $-1 ≤ x ≤ 3$, επομένως προσθέτουμε και το $M_2(2;0)$ στη λίστα των σημείων. Επιπλέον, υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης $z$ στα άκρα του τμήματος $-1 ≤ x ≤ 3$, δηλ. στα σημεία $M_3(-1;0)$ και $M_4(3;0)$. Παρεμπιπτόντως, εάν το σημείο $M_2$ δεν ανήκε στο υπό εξέταση τμήμα, τότε, φυσικά, δεν θα χρειαζόταν να υπολογιστεί η τιμή της συνάρτησης $z$ σε αυτό.

Λοιπόν, ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης $z$ στα σημεία $M_2$, $M_3$, $M_4$. Μπορείτε, φυσικά, να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες αυτών των σημείων στην αρχική έκφραση $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Για παράδειγμα, για το σημείο $M_2$ έχουμε:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Ωστόσο, οι υπολογισμοί μπορούν να απλοποιηθούν λίγο. Για να γίνει αυτό, αξίζει να θυμόμαστε ότι στο τμήμα $M_3M_4$ έχουμε $z(x,y)=f_1(x)$. Θα το διευκρινίσω αναλυτικά:

\αρχή(ευθυγραμμισμένη) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (ευθυγραμμισμένο)

Φυσικά, συνήθως δεν υπάρχει ανάγκη για τέτοιες λεπτομερείς εγγραφές και στο μέλλον θα αρχίσουμε να καταγράφουμε όλους τους υπολογισμούς με συντομότερο τρόπο:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Τώρα ας στραφούμε στην ευθεία $x=3$. Αυτή η γραμμή δεσμεύει τον τομέα $D$ υπό την συνθήκη $0 ≤ y ≤ 4$. Αντικαταστήστε το $x=3$ στη δεδομένη συνάρτηση $z$. Ως αποτέλεσμα μιας τέτοιας αντικατάστασης, παίρνουμε τη συνάρτηση $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Για τη συνάρτηση $f_2(y)$, πρέπει να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές στο διάστημα $0 ≤ y ≤ 4$. Βρείτε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης και εξισώστε την με μηδέν:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Η τιμή $y=3$ ανήκει στο τμήμα $0 ≤ y ≤ 4$, επομένως προσθέτουμε $M_5(3;3)$ στα σημεία που βρέθηκαν νωρίτερα. Επιπλέον, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η τιμή της συνάρτησης $z$ στα σημεία στα άκρα του τμήματος $0 ≤ y ≤ 4$, δηλ. στα σημεία $M_4(3;0)$ και $M_6(3;4)$. Στο σημείο $M_4(3;0)$ έχουμε ήδη υπολογίσει την τιμή του $z$. Ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης $z$ στα σημεία $M_5$ και $M_6$. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι στο τμήμα $M_4M_6$ έχουμε $z(x,y)=f_2(y)$, επομένως:

\begin(στοίχιση) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (ευθυγραμμισμένο)

Και, τέλος, εξετάστε το τελευταίο όριο του $D$, δηλ. γραμμή $y=x+1$. Αυτή η γραμμή περιορίζει την περιοχή $D$ υπό την συνθήκη $-1 ≤ x ≤ 3$. Αντικαθιστώντας το $y=x+1$ στη συνάρτηση $z$, θα έχουμε:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Για άλλη μια φορά έχουμε μια συνάρτηση μιας μεταβλητής $x$. Και πάλι, πρέπει να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές αυτής της συνάρτησης στο τμήμα $-1 ≤ x ≤ 3$. Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $f_(3)(x)$ και εξισώστε την με μηδέν:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Η τιμή $x=1$ ανήκει στο διάστημα $-1 ≤ x ≤ 3$. Αν $x=1$, τότε $y=x+1=2$. Ας προσθέσουμε $M_7(1;2)$ στη λίστα σημείων και ας μάθουμε ποια είναι η τιμή της συνάρτησης $z$ σε αυτό το σημείο. Τα σημεία στα άκρα του τμήματος $-1 ≤ x ≤ 3$, δηλ. Τα σημεία $M_3(-1;0)$ και $M_6(3;4)$ θεωρήθηκαν νωρίτερα, έχουμε ήδη βρει την τιμή της συνάρτησης σε αυτά.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Το δεύτερο βήμα της λύσης ολοκληρώθηκε. Έχουμε επτά τιμές:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Ας στραφούμε στο. Επιλέγοντας τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές από αυτούς τους αριθμούς που ελήφθησαν στην τρίτη παράγραφο, θα έχουμε:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6,$$

Το πρόβλημα έχει λυθεί, μένει μόνο να γράψουμε την απάντηση.

Απάντηση: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Παράδειγμα #2

Βρείτε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης $z=x^2+y^2-12x+16y$ στην περιοχή $x^2+y^2 ≤ 25$.

Ας φτιάξουμε πρώτα ένα σχέδιο. Η εξίσωση $x^2+y^2=25$ (αυτή είναι η οριακή γραμμή της δεδομένης περιοχής) ορίζει έναν κύκλο με κέντρο στην αρχή (δηλαδή στο σημείο $(0;0)$) και ακτίνα 5. Η ανισότητα $x^2 +y^2 ≤ 25$ ικανοποιεί όλα τα σημεία μέσα και πάνω στον αναφερόμενο κύκλο.

Θα δράσουμε. Ας βρούμε μερικές παραγώγους και ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία.

$$ \frac(\μερικό z)(\μερικό x)=2x-12; \frac(\μερικό z)(\μερικό y)=2y+16. $$

Δεν υπάρχουν σημεία στα οποία να μην υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι που βρέθηκαν. Ας μάθουμε σε ποια σημεία και οι δύο μερικές παράγωγοι είναι ταυτόχρονα ίσες με μηδέν, δηλ. βρείτε σταθερά σημεία.

$$ \αριστερά \( \αρχή(στοιχισμένη) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(στοίχιση) \δεξιά. \;\; \αριστερά \( \αρχή(στοιχισμένη) & x =6;\\ & y=-8.\end(ευθυγραμμισμένο) \δεξιά.$$

Πήραμε ένα σταθερό σημείο $(6;-8)$. Ωστόσο, το σημείο που βρέθηκε δεν ανήκει στην περιοχή $D$. Αυτό είναι εύκολο να το δείξετε χωρίς καν να καταφύγετε στο σχέδιο. Ας ελέγξουμε αν ισχύει η ανισότητα $x^2+y^2 ≤ 25$, που ορίζει τον τομέα μας $D$. Αν $x=6$, $y=-8$, τότε $x^2+y^2=36+64=100$, π.χ. η ανισότητα $x^2+y^2 ≤ 25$ δεν ικανοποιείται. Συμπέρασμα: το σημείο $(6;-8)$ δεν ανήκει στην περιοχή $D$.

Έτσι, δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία μέσα στο $D$. Ας προχωρήσουμε, στο. Πρέπει να διερευνήσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο όριο της δεδομένης περιοχής, δηλ. στον κύκλο $x^2+y^2=25$. Μπορείτε, φυσικά, να εκφράσετε το $y$ σε όρους $x$ και στη συνέχεια να αντικαταστήσετε την έκφραση που προκύπτει στη συνάρτησή μας $z$. Από την εξίσωση του κύκλου παίρνουμε: $y=\sqrt(25-x^2)$ ή $y=-\sqrt(25-x^2)$. Αντικαθιστώντας, για παράδειγμα, το $y=\sqrt(25-x^2)$ στη δεδομένη συνάρτηση, θα έχουμε:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Η περαιτέρω λύση θα είναι εντελώς πανομοιότυπη με τη μελέτη της συμπεριφοράς της συνάρτησης στο όριο της περιοχής στο προηγούμενο παράδειγμα Νο. 1. Ωστόσο, μου φαίνεται πιο λογικό σε αυτήν την περίπτωση να εφαρμοστεί η μέθοδος Lagrange. Μας ενδιαφέρει μόνο το πρώτο μέρος αυτής της μεθόδου. Αφού εφαρμόσουμε το πρώτο μέρος της μεθόδου Lagrange, θα λάβουμε σημεία στα οποία και θα εξετάσουμε τη συνάρτηση $z$ για τις ελάχιστες και μέγιστες τιμές.

Συνθέτουμε τη συνάρτηση Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης Lagrange και συνθέτουμε το αντίστοιχο σύστημα εξισώσεων:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\λάμδα x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\λάμδα y.\\ \αριστερά \( \αρχή (ευθυγραμμισμένο) & 2x-12+2\λάμδα x=0;\\ & 2y+16+2\λάμδα y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(ευθυγραμμισμένο) \ δεξιά. \;\; \αριστερά \( \αρχή(στοίχιση) & x+\λάμδα x=6;\\ & y+\λάμδα y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( ευθυγραμμισμένο)\δεξιά.$$

Για να λύσουμε αυτό το σύστημα, ας υποδείξουμε αμέσως ότι $\lambda\neq -1$. Γιατί $\lambda\neq -1$; Ας προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε το $\lambda=-1$ στην πρώτη εξίσωση:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Η προκύπτουσα αντίφαση $0=6$ λέει ότι η τιμή $\lambda=-1$ δεν είναι έγκυρη. Έξοδος: $\lambda\neq -1$. Ας εκφράσουμε τα $x$ και $y$ ως $\lambda$:

\begin(ευθυγραμμισμένο) & x+\lambda x=6;\; x(1+\λάμδα)=6;\; x=\frac(6)(1+\λάμδα). \\ & y+\λάμδα y=-8;\; y(1+\λάμδα)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\λάμδα). \end (ευθυγραμμισμένο)

Πιστεύω ότι εδώ γίνεται προφανές γιατί ορίσαμε συγκεκριμένα την συνθήκη $\lambda\neq -1$. Αυτό έγινε για να χωρέσει την έκφραση $1+\lambda$ στους παρονομαστές χωρίς παρεμβολές. Δηλαδή, να είμαστε σίγουροι ότι ο παρονομαστής είναι $1+\lambda\neq 0$.

Ας αντικαταστήσουμε τις λαμβανόμενες εκφράσεις για $x$ και $y$ στην τρίτη εξίσωση του συστήματος, δηλ. σε $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\λάμδα)^2)+\frac(64)((1+\λάμδα)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\λάμδα)^2)=25 ; \; (1+\λάμδα)^2=4. $$

Από την προκύπτουσα ισότητα προκύπτει ότι $1+\λάμδα=2$ ή $1+\λάμδα=-2$. Ως εκ τούτου, έχουμε δύο τιμές της παραμέτρου $\lambda$, δηλαδή: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Αντίστοιχα, παίρνουμε δύο ζεύγη τιμών $x$ και $y$:

\begin(στοιχισμένη) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (ευθυγραμμισμένο)

Έτσι, πήραμε δύο σημεία ενός πιθανού ακραίου υπό όρους, δηλ. $M_1(3;-4)$ και $M_2(-3;4)$. Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης $z$ στα σημεία $M_1$ και $M_2$:

\begin(στοιχισμένο) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (ευθυγραμμισμένο)

Θα πρέπει να επιλέξουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές από αυτές που αποκτήσαμε στο πρώτο και το δεύτερο βήμα. Αλλά σε αυτή η υπόθεσηη επιλογή είναι μικρή :) Έχουμε:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Απάντηση: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσω για αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμήςσυνάρτηση, ελάχιστα και μέγιστα σημεία.

Από τη θεωρία, σίγουρα θα χρειαστούμε πίνακας παραγώγωνΚαι κανόνες διαφοροποίησης. Είναι όλα σε αυτόν τον πίνακα:

Αλγόριθμος για την εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών.

Το βρίσκω πιο εύκολο να το εξηγήσω συγκεκριμένο παράδειγμα. Σκεφτείτε:

Παράδειγμα:Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y=x^5+20x^3–65x στο τμήμα [–4;0].

Βήμα 1.Παίρνουμε την παράγωγο.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Βήμα 2Εύρεση ακραίων σημείων.

ακραίο σημείοονομάζουμε τέτοια σημεία στα οποία η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή της.

Για να βρείτε τα ακραία σημεία, είναι απαραίτητο να εξισώσετε την παράγωγο της συνάρτησης με μηδέν (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Τώρα λύνουμε αυτή τη διτετραγωνική εξίσωση και οι ρίζες που βρέθηκαν είναι τα ακραία σημεία μας.

Λύνω τέτοιες εξισώσεις αντικαθιστώντας t = x^2, μετά 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Μειώστε την εξίσωση κατά 5, παίρνουμε: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση x^2 = t:

X_(1 και 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 και 4) = ±sqrt(-13) (εξαιρούμε, δεν μπορούν να υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί κάτω από τη ρίζα, εκτός φυσικά αν μιλάμε για μιγαδικούς αριθμούς)

Σύνολο: x_(1) = 1 και x_(2) = -1 - αυτά είναι τα ακραία σημεία μας.

Βήμα 3Προσδιορίστε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή.

Μέθοδος αντικατάστασης.

Στην συνθήκη, μας δόθηκε το τμήμα [b][–4;0]. Το σημείο x=1 δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το τμήμα. Οπότε δεν το λαμβάνουμε υπόψη. Αλλά εκτός από το σημείο x=-1, πρέπει επίσης να λάβουμε υπόψη τα αριστερά και δεξιά σύνορα του τμήματός μας, δηλαδή τα σημεία -4 και 0. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε και τα τρία αυτά σημεία στην αρχική συνάρτηση. Παρατηρήστε ότι το αρχικό είναι αυτό που δίνεται στη συνθήκη (y=x^5+20x^3–65x), μερικοί αρχίζουν να αντικαθιστούν την παράγωγο...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Αυτό σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι [b]44 και επιτυγχάνεται στα σημεία [b]-1, που ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης στο τμήμα [-4; 0].

Αποφασίσαμε και πήραμε απάντηση, είμαστε υπέροχοι, μπορείτε να χαλαρώσετε. Σταμάτα όμως! Δεν πιστεύετε ότι η μέτρηση του y(-4) είναι κάπως πολύ περίπλοκη; Σε συνθήκες περιορισμένου χρόνου, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο, την αποκαλώ ως εξής:

Μέσα από διαστήματα σταθερότητας.

Αυτά τα κενά βρίσκονται για την παράγωγο της συνάρτησης, δηλαδή για τη διτετραγωνική μας εξίσωση.

Το κάνω με τον εξής τρόπο. Σχεδιάζω μια γραμμή κατεύθυνσης. Θέτω τα σημεία: -4, -1, 0, 1. Παρά το γεγονός ότι το 1 δεν περιλαμβάνεται στο δεδομένο τμήμα, θα πρέπει να σημειωθεί για να προσδιορίζονται σωστά τα διαστήματα σταθερότητας. Ας πάρουμε έναν αριθμό πολλές φορές μεγαλύτερο από το 1, ας πούμε το 100, να τον αντικαταστήσουμε νοερά στη διτετραγωνική μας εξίσωση 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Ακόμη και χωρίς να μετρήσουμε τίποτα, γίνεται προφανές ότι στο σημείο 100 η συνάρτηση έχει το σύμβολο συν. Αυτό σημαίνει ότι για διαστήματα από 1 έως 100 έχει πρόσημο συν. Όταν περνάμε από το 1 (πηγαίνουμε από δεξιά προς τα αριστερά), η συνάρτηση θα αλλάξει πρόσημο σε μείον. Όταν διέρχεται από το σημείο 0, η συνάρτηση θα διατηρήσει το πρόσημό της, αφού αυτό είναι μόνο το όριο του τμήματος και όχι η ρίζα της εξίσωσης. Όταν περνάει από το -1, η συνάρτηση θα αλλάξει ξανά το πρόσημο σε συν.

Από τη θεωρία, γνωρίζουμε ότι πού βρίσκεται η παράγωγος της συνάρτησης (και το σχεδιάσαμε για αυτήν) αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην (σημείο -1 στην περίπτωσή μας)η λειτουργία φτάνει το τοπικό του μέγιστο (y(-1)=44 όπως υπολογίστηκε νωρίτερα)σε αυτό το τμήμα (αυτό είναι λογικά πολύ σαφές, η συνάρτηση έπαψε να αυξάνεται, αφού έφτασε στο μέγιστο και άρχισε να μειώνεται).

Αντίστοιχα, όπου η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επιτεύχθηκε τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης. Ναι, ναι, βρήκαμε επίσης το τοπικό ελάχιστο σημείο, που είναι 1, και το y(1) είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα, ας πούμε από -1 έως +∞. Λάβετε υπόψη ότι αυτό είναι μόνο ένα ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ, δηλαδή ένα ελάχιστο σε ένα συγκεκριμένο τμήμα. Αφού η πραγματική (καθολική) ελάχιστη συνάρτηση θα φτάσει κάπου εκεί, στο -∞.

Κατά τη γνώμη μου, η πρώτη μέθοδος είναι πιο απλή θεωρητικά και η δεύτερη είναι πιο απλή από πλευράς αριθμητικών πράξεων, αλλά πολύ πιο δύσκολη από άποψη θεωρίας. Εξάλλου, μερικές φορές υπάρχουν περιπτώσεις που η συνάρτηση δεν αλλάζει πρόσημο όταν περνάει από τη ρίζα της εξίσωσης, και πράγματι μπορεί να μπερδευτείτε με αυτά τα τοπικά, καθολικά μέγιστα και ελάχιστα, αν και θα πρέπει να το κατακτήσετε καλά ούτως ή άλλως αν σχεδιάζετε να μπω σε πολυτεχνειο (και για τι αλλο να δωσω εξετάσεις προφίλκαι λύσει αυτό το πρόβλημα). Αλλά η πρακτική και μόνο εξάσκηση θα σας διδάξει πώς να λύσετε τέτοια προβλήματα μια για πάντα. Και μπορείτε να προπονηθείτε στον ιστότοπό μας. Εδώ .

Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις ή κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, φροντίστε να ρωτήσετε. Θα χαρώ να σας απαντήσω, και να κάνω αλλαγές, προσθήκες στο άρθρο. Θυμηθείτε ότι φτιάχνουμε αυτόν τον ιστότοπο μαζί!

Ας δούμε πώς να εξερευνήσετε μια συνάρτηση χρησιμοποιώντας ένα γράφημα. Αποδεικνύεται ότι κοιτάζοντας το γράφημα, μπορείτε να μάθετε όλα όσα μας ενδιαφέρουν, δηλαδή:

εύρος λειτουργίας
εύρος λειτουργίας
συνάρτηση μηδενικά
περιόδους αύξησης και μείωσης
υψηλά και χαμηλά σημεία
η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα.

Ας διευκρινίσουμε την ορολογία:

Τετμημένηείναι η οριζόντια συντεταγμένη του σημείου.
Τεταγμένη- κάθετη συντεταγμένη.
τετμημένη- ο οριζόντιος άξονας, που συνήθως ονομάζεται άξονας.
Άξονας Υ- κατακόρυφος άξονας ή άξονας.

Διαφωνίαείναι μια ανεξάρτητη μεταβλητή από την οποία εξαρτώνται οι τιμές της συνάρτησης. Τις περισσότερες φορές υποδεικνύεται.
Με άλλα λόγια, εμείς οι ίδιοι επιλέγουμε , αντικαθιστούμε στον τύπο συνάρτησης και παίρνουμε .

Τομέασυναρτήσεις - το σύνολο αυτών (και μόνο αυτών) των τιμών του ορίσματος για το οποίο υπάρχει η συνάρτηση.
Συμβολίζεται: ή .

Στο σχήμα μας, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ένα τμήμα. Σε αυτό το τμήμα σχεδιάζεται το γράφημα της συνάρτησης. Μόνο εδώ υπάρχει αυτή η λειτουργία.

Εύρος λειτουργιώνείναι το σύνολο των τιμών που παίρνει η μεταβλητή. Στο σχήμα μας, αυτό είναι ένα τμήμα - από τη χαμηλότερη στην υψηλότερη τιμή.

Συναρτήσεις μηδενικά- σημεία όπου η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν, δηλ. Στο σχήμα μας, αυτά είναι τα σημεία και .

Οι τιμές των συναρτήσεων είναι θετικέςπου . Στο σχήμα μας, αυτά είναι τα διαστήματα και .
Οι τιμές των συναρτήσεων είναι αρνητικέςπου . Έχουμε αυτό το διάστημα (ή διάστημα) από έως.

Οι πιο σημαντικές έννοιες - αυξανόμενες και φθίνουσες συναρτήσειςσε κάποιο σετ. Ως σύνολο, μπορείτε να πάρετε ένα τμήμα, ένα διάστημα, μια ένωση διαστημάτων ή ολόκληρη την αριθμητική γραμμή.

Λειτουργία αυξάνει

Με άλλα λόγια, όσο περισσότερα , τόσο περισσότερα, δηλαδή το γράφημα πηγαίνει δεξιά και πάνω.

Λειτουργία μειώνεταιστο σύνολο αν για κανένα και ανήκει στο σύνολο η ανισότητα συνεπάγεται την ανισότητα .

Για μια φθίνουσα συνάρτηση, μια μεγαλύτερη τιμή αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή. Το γράφημα πηγαίνει δεξιά και κάτω.

Στο σχήμα μας, η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα και μειώνεται στα διαστήματα και .

Ας ορίσουμε τι είναι μέγιστα και ελάχιστα σημεία της συνάρτησης.

Μέγιστο σημείο- αυτό είναι ένα εσωτερικό σημείο του τομέα ορισμού, έτσι ώστε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό να είναι μεγαλύτερη από ό,τι σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά σε αυτό.
Με άλλα λόγια, το μέγιστο σημείο είναι ένα τέτοιο σημείο, η τιμή της συνάρτησης στην οποία περισσότεροπαρά σε γειτονικές. Αυτός είναι ένας τοπικός "λόφος" στο διάγραμμα.

Στο σχήμα μας - το μέγιστο σημείο.

Χαμηλό σημείο- ένα εσωτερικό σημείο του τομέα ορισμού, τέτοιο ώστε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό να είναι μικρότερη από ό,τι σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά σε αυτό.
Δηλαδή, το ελάχιστο σημείο είναι τέτοιο ώστε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό να είναι μικρότερη από ό,τι σε γειτονικές. Στο γράφημα, αυτή είναι μια τοπική «τρύπα».

Στο σχήμα μας - το ελάχιστο σημείο.

Το σημείο είναι το όριο. Δεν είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού και επομένως δεν ταιριάζει με τον ορισμό ενός μέγιστου σημείου. Άλλωστε, δεν έχει γείτονες στα αριστερά. Με τον ίδιο τρόπο, δεν μπορεί να υπάρχει ελάχιστο σημείο στο διάγραμμά μας.

Ο μέγιστος και ο ελάχιστος βαθμός καλούνται συλλογικά ακραία σημεία της συνάρτησης. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι και .

Αλλά τι γίνεται αν χρειαστεί να βρείτε, για παράδειγμα, ελάχιστη λειτουργίαστο κόψιμο; Σε αυτή την περίπτωση, η απάντηση είναι: Επειδή ελάχιστη λειτουργίαείναι η τιμή του στο ελάχιστο σημείο.

Ομοίως, το μέγιστο της συνάρτησής μας είναι . Φτάνεται στο σημείο .

Μπορούμε να πούμε ότι τα άκρα της συνάρτησης είναι ίσα με και .

Μερικές φορές σε εργασίες πρέπει να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησηςσε ένα δεδομένο τμήμα. Δεν συμπίπτουν απαραίτητα με ακρότητες.

Στην περίπτωσή μας μικρότερη τιμή συνάρτησηςστο διάστημα είναι ίσο και συμπίπτει με το ελάχιστο της συνάρτησης. Αλλά η μεγαλύτερη αξία του σε αυτό το τμήμα είναι ίση με . Φτάνεται στο αριστερό άκρο του τμήματος.

Σε κάθε περίπτωση, οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα τμήμα επιτυγχάνονται είτε στα άκρα είτε στα άκρα του τμήματος.

Μια μινιατούρα και μάλλον απλή εργασία του είδους που χρησιμεύει ως σανίδα σωτηρίας για έναν πλωτό μαθητή. Στη φύση, το νυσταγμένο βασίλειο των μέσων Ιουλίου, οπότε ήρθε η ώρα να ηρεμήσετε με ένα φορητό υπολογιστή στην παραλία. Έπαιξε νωρίς το πρωί ηλιαχτίδαθεωρία για να επικεντρωθεί σύντομα στην πρακτική, η οποία, παρά την υποτιθέμενη ελαφρότητά της, περιέχει θραύσματα γυαλιού στην άμμο. Από αυτή την άποψη, συνιστώ να εξετάσετε ευσυνείδητα μερικά παραδείγματα αυτής της σελίδας. Για να λύσετε πρακτικές εργασίες, πρέπει να είστε σε θέση βρείτε παράγωγακαι να κατανοήσουν το υλικό του άρθρου Διαστήματα μονοτονίας και άκρα μιας συνάρτησης.

Πρώτον, εν συντομία για το κύριο πράγμα. Σε ένα μάθημα για συνέχεια λειτουργίαςΈδωσα τον ορισμό της συνέχειας σε ένα σημείο και της συνέχειας σε ένα διάστημα. Διατυπώνεται η υποδειγματική συμπεριφορά μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα ομοίως. Μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα τμήμα εάν:

1) είναι συνεχής στο διάστημα ?
2) συνεχής σε ένα σημείο στα δεξιάκαι στο σημείο αριστερά.

Η δεύτερη παράγραφος ασχολείται με τα λεγόμενα μονομερής συνέχειαλειτουργεί σε ένα σημείο. Υπάρχουν πολλές προσεγγίσεις για τον ορισμό του, αλλά θα παραμείνω στη γραμμή που ξεκίνησε νωρίτερα:

Η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο στα δεξιά, εάν ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο και το δεξί όριο συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο: . Είναι συνεχής στο σημείο αριστερά, εάν ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο και το αριστερό του όριο είναι ίσο με την τιμή σε αυτό το σημείο:

Φανταστείτε ότι οι πράσινες κουκκίδες είναι τα καρφιά στα οποία είναι στερεωμένο το μαγικό λάστιχο:

Πάρτε διανοητικά την κόκκινη γραμμή στα χέρια σας. Προφανώς, όσο και αν τεντώσουμε το γράφημα πάνω-κάτω (κατά μήκος του άξονα), η συνάρτηση θα παραμείνει περιορισμένος- ένας φράκτης από πάνω, ένας φράκτης κάτω, και το προϊόν μας βόσκει σε μια μάντρα. Ετσι, μια συνάρτηση συνεχής σε ένα τμήμα οριοθετείται σε αυτό. Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης, αυτό το φαινομενικά απλό γεγονός δηλώνεται και αποδεικνύεται αυστηρά Το πρώτο θεώρημα του Weierstrass.... Πολλοί άνθρωποι ενοχλούνται που οι στοιχειώδεις δηλώσεις τεκμηριώνονται κουραστικά στα μαθηματικά, αλλά υπάρχει σημαντικό νόημα. Ας υποθέσουμε ότι κάποιος κάτοικος του μεσαίωνα τράβηξε το γράφημα στον ουρανό πέρα από τα όρια της ορατότητας, αυτό εισήχθη. Πριν από την εφεύρεση του τηλεσκοπίου, η περιορισμένη λειτουργία στο διάστημα δεν ήταν καθόλου εμφανής! Αλήθεια, πώς ξέρεις τι μας περιμένει πέρα από τον ορίζοντα; Άλλωστε, κάποτε η Γη θεωρούνταν επίπεδη, έτσι σήμερα ακόμη και η συνηθισμένη τηλεμεταφορά απαιτεί απόδειξη =)

Σύμφωνα με δεύτερο θεώρημα Weierstrass, συνεχής στο τμήμαη λειτουργία φτάνει σε αυτήν ακριβή επάνω άκρηκαι το δικό του ακριβές κάτω άκρο .

Ο αριθμός καλείται επίσης τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο τμήμακαι συμβολίζεται με , και τον αριθμό - την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στο διάστημασημαδεμένο .

Στην περίπτωσή μας:

Σημείωση : θεωρητικά, οι εγγραφές είναι κοινές .

Σε γενικές γραμμές, η μεγαλύτερη αξία βρίσκεται εκεί που είναι η μεγαλύτερη υψηλό σημείογραφικά, και το μικρότερο - πού είναι το χαμηλότερο σημείο.

Σπουδαίος!Όπως έχει ήδη επισημανθεί στο άρθρο σχετικά με άκρα της συνάρτησης, τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησηςΚαι μικρότερη τιμή συνάρτησης – ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΙΔΙΟ, Τι μέγιστη λειτουργίαΚαι ελάχιστη λειτουργία. Έτσι, σε αυτό το παράδειγμα, ο αριθμός είναι το ελάχιστο της συνάρτησης, αλλά όχι η ελάχιστη τιμή.

Παρεμπιπτόντως, τι συμβαίνει εκτός τμήματος; Ναι, ακόμα και η πλημμύρα, στο πλαίσιο του εξεταζόμενου προβλήματος, αυτό δεν μας ενδιαφέρει καθόλου. Η εργασία περιλαμβάνει μόνο την εύρεση δύο αριθμών και τέλος!

Επιπλέον, η λύση είναι καθαρά αναλυτική, επομένως, δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε!

Ο αλγόριθμος βρίσκεται στην επιφάνεια και προτείνεται από το παραπάνω σχήμα:

1) Βρείτε τις τιμές συνάρτησης στο κρίσιμα σημεία, που ανήκουν σε αυτό το τμήμα.

Πιάσε ακόμα ένα καλό: δεν χρειάζεται να ελέγξεις μια επαρκή συνθήκη για ακραίο, καθώς, όπως μόλις παρουσιάστηκε, η παρουσία ενός ελάχιστου ή μέγιστου δεν είναι ακόμη εγγυημένηποια είναι η ελάχιστη ή η μέγιστη τιμή. Η λειτουργία επίδειξης φτάνει στο μέγιστο και από τη θέληση της μοίρας είναι ο ίδιος αριθμός υψηλότερη τιμήλειτουργίες στο διάστημα . Αλλά, φυσικά, μια τέτοια σύμπτωση δεν συμβαίνει πάντα.

Έτσι, στο πρώτο βήμα, είναι πιο γρήγορος και ευκολότερος ο υπολογισμός των τιμών της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία που ανήκουν στο τμήμα, χωρίς να ενοχλείτε αν έχουν ακρότατα ή όχι.

2) Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος.

3) Μεταξύ των τιμών της συνάρτησης που βρίσκονται στην 1η και 2η παράγραφο, επιλέγουμε τη μικρότερη και την πιο μεγάλος αριθμός, γράψτε την απάντηση.

Καθόμαστε στην ακτή της γαλάζιας θάλασσας και χτυπάμε τα τακούνια σε ρηχά νερά:

Παράδειγμα 1

Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα

Λύση:
1) Υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία που ανήκουν σε αυτό το τμήμα:

Υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης στο δεύτερο κρίσιμο σημείο:

2) Υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος:

3) Λήφθηκαν «τολμηρά» αποτελέσματα με εκθετικές τιμές και λογάριθμους, γεγονός που περιπλέκει σημαντικά τη σύγκριση τους. Για το λόγο αυτό, θα οπλιστούμε με μια αριθμομηχανή ή το Excel και θα υπολογίσουμε τις κατά προσέγγιση τιμές, χωρίς να ξεχνάμε ότι: