Σπίτι › Σασί › Πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης; Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.

Πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης; Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.

Δήλωση προβλήματος 2:

Δίνεται μια συνάρτηση που είναι καθορισμένη και συνεχής σε κάποιο διάστημα . Απαιτείται να βρεθεί η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης σε αυτό το διάστημα.

Θεωρητική βάση.
Θεώρημα (δεύτερο θεώρημα Weierstrass):

Εάν μια συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, τότε φτάνει τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές της σε αυτό το διάστημα.

Η συνάρτηση μπορεί να φτάσει τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές της είτε στα εσωτερικά σημεία του διαστήματος είτε στα όριά της. Ας δείξουμε όλες τις πιθανές επιλογές.

Εξήγηση:
1) Η συνάρτηση φτάνει στο δικό της η μεγαλύτερη αξίαστο αριστερό περίγραμμα του διαστήματος στο σημείο και τη μικρότερη τιμή του στο δεξιό περίγραμμα του διαστήματος στο σημείο.
2) Η συνάρτηση φτάνει στη μέγιστη τιμή της στο σημείο (αυτό είναι το μέγιστο σημείο) και στην ελάχιστη τιμή της στο δεξιό όριο του διαστήματος στο σημείο.
3) Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο αριστερό περίγραμμα του διαστήματος στο σημείο και την ελάχιστη τιμή της στο σημείο (αυτό είναι το ελάχιστο σημείο).
4) Η συνάρτηση είναι σταθερή στο διάστημα, δηλ. φτάνει τις ελάχιστες και τις μέγιστες τιμές του σε οποιοδήποτε σημείο του διαστήματος και οι ελάχιστες και μέγιστες τιμές είναι ίσες μεταξύ τους.
5) Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο σημείο , και την ελάχιστη τιμή της στο σημείο (παρά το γεγονός ότι η συνάρτηση έχει και μέγιστο και ελάχιστο σε αυτό το διάστημα).
6) Η συνάρτηση φτάνει στη μέγιστη τιμή της σε ένα σημείο (αυτό είναι το μέγιστο σημείο) και στην ελάχιστη τιμή της σε ένα σημείο (αυτό είναι το ελάχιστο σημείο).
Σχόλιο:

Η "μέγιστη" και η "μέγιστη τιμή" είναι διαφορετικά πράγματα. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του μέγιστου και τη διαισθητική κατανόηση της φράσης "μέγιστη τιμή".

Αλγόριθμος για την επίλυση προβλήματος 2.

4) Επιλέξτε από τις λαμβανόμενες τιμές τη μεγαλύτερη (μικρότερη) και σημειώστε την απάντηση.

Παράδειγμα 4:

Προσδιορίστε το μεγαλύτερο και μικρότερη τιμήλειτουργίες στο τμήμα.
Λύση:
1) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.

2) Βρείτε ακίνητα σημεία (και σημεία που είναι ύποπτα για ακρότατο) λύνοντας την εξίσωση . Δώστε προσοχή στα σημεία όπου δεν υπάρχει πεπερασμένη παράγωγος δύο όψεων.

3) Υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης σε σταθερά σημεία και στα όρια του διαστήματος.

4) Επιλέξτε από τις λαμβανόμενες τιμές τη μεγαλύτερη (μικρότερη) και σημειώστε την απάντηση.

Η συνάρτηση σε αυτό το τμήμα φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο σημείο με συντεταγμένες.

Η συνάρτηση σε αυτό το τμήμα φτάνει την ελάχιστη τιμή της στο σημείο με συντεταγμένες .

Μπορείτε να επαληθεύσετε την ορθότητα των υπολογισμών κοιτάζοντας το γράφημα της υπό μελέτη συνάρτησης.

Σχόλιο:Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο μέγιστο σημείο και την ελάχιστη τιμή στο όριο του τμήματος.

Ειδική περίπτωση.

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή κάποιας συνάρτησης σε ένα τμήμα. Μετά την εκτέλεση της πρώτης παραγράφου του αλγορίθμου, δηλ. με τον υπολογισμό του παραγώγου, γίνεται σαφές ότι, για παράδειγμα, παίρνει μόνο αρνητικές τιμές σε ολόκληρο το υπό εξέταση τμήμα. Θυμηθείτε ότι εάν η παράγωγος είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα. Βρήκαμε ότι η συνάρτηση μειώνεται σε όλο το διάστημα. Αυτή η κατάσταση φαίνεται στο γράφημα Νο. 1 στην αρχή του άρθρου.

Η συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα, δηλ. δεν έχει ακραία σημεία. Από την εικόνα φαίνεται ότι η συνάρτηση θα λάβει τη μικρότερη τιμή στο δεξιό περίγραμμα του τμήματος και τη μεγαλύτερη τιμή στα αριστερά. αν η παράγωγος στο διάστημα είναι παντού θετική, τότε η συνάρτηση αυξάνεται. Η μικρότερη τιμή βρίσκεται στο αριστερό περίγραμμα του τμήματος, η μεγαλύτερη βρίσκεται στα δεξιά.

Η διαδικασία εύρεσης των μικρότερων και μεγαλύτερων τιμών μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα θυμίζει μια συναρπαστική πτήση γύρω από ένα αντικείμενο (ένα γράφημα μιας συνάρτησης) σε ένα ελικόπτερο με βολή από ένα πυροβόλο μεγάλης εμβέλειας σε ορισμένα σημεία και επιλογή από αυτά τα σημεία πολύ ειδικά σημεία για βολές ελέγχου. Οι πόντοι επιλέγονται με συγκεκριμένο τρόπο και σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Με ποιους κανόνες; Θα μιλήσουμε για αυτό περαιτέρω.

Εάν η συνάρτηση y = φά(Χ) συνεχής στο διάστημα [ ένα, σι] , τότε φτάνει σε αυτό το τμήμα ελάχιστα Και υψηλότερες αξίες . Αυτό μπορεί να συμβεί είτε σε ακραία σημείαή στα άκρα του τμήματος. Επομένως, για να βρείτε ελάχιστα Και τις μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης , συνεχής στο διάστημα [ ένα, σι] , πρέπει να υπολογίσετε όλες τις τιμές του κρίσιμα σημείακαι στα άκρα του τμήματος και, στη συνέχεια, επιλέξτε το μικρότερο και το μεγαλύτερο από αυτά.

Έστω, για παράδειγμα, απαιτείται να προσδιοριστεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης φά(Χ) στο τμήμα [ ένα, σι] . Για να το κάνετε αυτό, βρείτε όλα τα κρίσιμα σημεία του [ ένα, σι] .

κρίσιμο σημείο ονομάζεται το σημείο στο οποίο καθορισμένη λειτουργία, και αυτή παράγωγοείναι είτε μηδέν είτε δεν υπάρχει. Στη συνέχεια θα πρέπει να υπολογίσετε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία. Και, τέλος, θα πρέπει κανείς να συγκρίνει τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία και στα άκρα του τμήματος ( φά(ένα) Και φά(σι) ). Ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα [ένα, σι] .

Το πρόβλημα της εύρεσης τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης .

Αναζητούμε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης μαζί

Παράδειγμα 1. Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης στο τμήμα [-1, 2] .

Λύση. Βρίσκουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης. Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν () και λάβετε δύο κρίσιμα σημεία: και . Για να βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο τμήμα, αρκεί να υπολογίσετε τις τιμές της στα άκρα του τμήματος και στο σημείο , αφού το σημείο δεν ανήκει στο τμήμα [-1, 2] . Αυτές οι τιμές συναρτήσεων είναι οι ακόλουθες: , , . Από αυτό προκύπτει ότι μικρότερη τιμή συνάρτησης(σημειώνεται με κόκκινο χρώμα στο παρακάτω γράφημα), ίσο με -7, επιτυγχάνεται στο δεξιό άκρο του τμήματος - στο σημείο , και μέγιστος(επίσης κόκκινο στο γράφημα), ισούται με 9, - στο κρίσιμο σημείο .

Εάν η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα συγκεκριμένο διάστημα και αυτό το διάστημα δεν είναι τμήμα (αλλά είναι, για παράδειγμα, διάστημα· η διαφορά μεταξύ ενός διαστήματος και ενός τμήματος: τα οριακά σημεία του διαστήματος δεν περιλαμβάνονται στο διάστημα, αλλά το τα οριακά σημεία του τμήματος περιλαμβάνονται στο τμήμα), τότε μεταξύ των τιμών της συνάρτησης μπορεί να μην υπάρχει η μικρότερη και μεγαλύτερη. Έτσι, για παράδειγμα, η συνάρτηση που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα είναι συνεχής στα ]-∞, +∞[ και δεν έχει τη μεγαλύτερη τιμή.

Ωστόσο, για οποιοδήποτε διάστημα (κλειστό, ανοιχτό ή άπειρο), ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα συνεχών συναρτήσεων.

Παράδειγμα 4. Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης στο τμήμα [-1, 3] .

Λύση. Βρίσκουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης ως την παράγωγο του πηλίκου:

Εξισώνουμε την παράγωγο με το μηδέν, που μας δίνει ένα κρίσιμο σημείο: . Ανήκει στο διάστημα [-1, 3] . Για να βρούμε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο τμήμα, βρίσκουμε τις τιμές της στα άκρα του τμήματος και στο κρίσιμο σημείο που βρέθηκε:

Ας συγκρίνουμε αυτές τις τιμές. Συμπέρασμα: ίσο με -5/13, στο σημείο και η μεγαλύτερη αξίαίσο με 1 στο σημείο .

Συνεχίζουμε να αναζητούμε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης μαζί

Υπάρχουν δάσκαλοι που, στο θέμα της εύρεσης των μικρότερων και μεγαλύτερων τιμών μιας συνάρτησης, δεν δίνουν στους μαθητές παραδείγματα πιο περίπλοκα από αυτά που μόλις εξετάστηκαν, δηλαδή εκείνα στα οποία η συνάρτηση είναι πολυώνυμο ή κλάσμα, ο αριθμητής και παρονομαστής του οποίου είναι πολυώνυμα. Αλλά δεν θα περιοριστούμε σε τέτοια παραδείγματα, αφού μεταξύ των δασκάλων υπάρχουν λάτρεις του να κάνουν τους μαθητές να σκεφτούν πλήρως (πίνακας παραγώγων). Επομένως, θα χρησιμοποιηθούν ο λογάριθμος και η τριγωνομετρική συνάρτηση.

Παράδειγμα 6. Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης στο τμήμα .

Λύση. Βρίσκουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης ως παράγωγο του προϊόντος :

Εξισώνουμε την παράγωγο με το μηδέν, που δίνει ένα κρίσιμο σημείο: . Ανήκει στο τμήμα. Για να βρούμε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο τμήμα, βρίσκουμε τις τιμές της στα άκρα του τμήματος και στο κρίσιμο σημείο που βρέθηκε:

Το αποτέλεσμα όλων των ενεργειών: η συνάρτηση φτάνει την ελάχιστη τιμή της, ίσο με 0, σε ένα σημείο και σε ένα σημείο και η μεγαλύτερη αξίαίσο με μι², στο σημείο.

Παράδειγμα 7. Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης στο τμήμα .

Λύση. Βρίσκουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης:

Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν:

Το μόνο κρίσιμο σημείο ανήκει στο τμήμα . Για να βρούμε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο τμήμα, βρίσκουμε τις τιμές της στα άκρα του τμήματος και στο κρίσιμο σημείο που βρέθηκε:

Συμπέρασμα: η συνάρτηση φτάνει την ελάχιστη τιμή της, ίσο με , στο σημείο και η μεγαλύτερη αξία, ίσο με , στο σημείο .

Σε εφαρμοζόμενα ακραία προβλήματα, η εύρεση των μικρότερων (μεγαλύτερων) τιμών συνάρτησης, κατά κανόνα, περιορίζεται στην εύρεση του ελάχιστου (μέγιστου). Αλλά δεν είναι τα ίδια τα ελάχιστα ή τα μέγιστα που έχουν μεγαλύτερο πρακτικό ενδιαφέρον, αλλά οι αξίες του επιχειρήματος στο οποίο επιτυγχάνονται. Κατά την επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων, προκύπτει μια πρόσθετη δυσκολία - η συλλογή συναρτήσεων που περιγράφουν το φαινόμενο ή τη διαδικασία που εξετάζεται.

Παράδειγμα 8Μια δεξαμενή χωρητικότητας 4, που έχει σχήμα παραλληλεπίπεδου με τετράγωνη βάση και ανοιχτή στο πάνω μέρος, πρέπει να επικασσιτερωθεί. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις της δεξαμενής για να καλυφθεί με τη μικρότερη ποσότητα υλικού;

Λύση. Αφήνω Χ- πλευρά βάσης η- ύψος δεξαμενής, μικρό- η επιφάνεια του χωρίς κάλυμμα, V- τον όγκο του. Η επιφάνεια της δεξαμενής εκφράζεται με τον τύπο, δηλ. είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών. Να εκφράσουν μικρόως συνάρτηση μιας μεταβλητής, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι , από όπου . Αντικατάσταση της έκφρασης που βρέθηκε ηστον τύπο για μικρό:

Ας εξετάσουμε αυτή τη συνάρτηση για ένα άκρο. Ορίζεται και διαφοροποιείται παντού στα ]0, +∞[ , και

Εξισώνουμε την παράγωγο με μηδέν () και βρίσκουμε το κρίσιμο σημείο. Επιπλέον, στο , η παράγωγος δεν υπάρχει, αλλά αυτή η τιμή δεν περιλαμβάνεται στον τομέα ορισμού και επομένως δεν μπορεί να είναι ακραίο σημείο. Έτσι, - το μόνο κρίσιμο σημείο. Ας το ελέγξουμε για την παρουσία ακραίου χρησιμοποιώντας το δεύτερο επαρκές πρόσημο. Ας βρούμε τη δεύτερη παράγωγο. Όταν η δεύτερη παράγωγος είναι μεγαλύτερη από το μηδέν (). Αυτό σημαίνει ότι όταν η συνάρτηση φτάσει στο ελάχιστο . Επειδη αυτο ελάχιστο - το μόνο άκρο αυτής της συνάρτησης, είναι η μικρότερη τιμή της. Έτσι, η πλευρά της βάσης της δεξαμενής πρέπει να είναι ίση με 2 m και το ύψος της.

Παράδειγμα 9Από την παράγραφο ΕΝΑ, που βρίσκεται στη σιδηροδρομική γραμμή, στο σημείο ΜΕ, σε απόσταση από αυτό μεγάλο, τα εμπορεύματα πρέπει να μεταφερθούν. Το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας βάρους ανά μονάδα απόστασης σιδηροδρομικώς ισούται με , και μέσω αυτοκινητόδρομου ισούται με . Σε ποιο σημείο Μγραμμές ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗθα πρέπει να κατασκευαστεί αυτοκινητόδρομος ώστε η μεταφορά εμπορευμάτων από ΕΝΑ V ΜΕήταν το πιο οικονομικό ΑΒο σιδηρόδρομος υποτίθεται ότι είναι ευθύς);

Πώς να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα;

Για αυτό ακολουθούμε τον γνωστό αλγόριθμο:

1 . Βρίσκουμε συναρτήσεις ODZ.

2 . Εύρεση της παραγώγου μιας συνάρτησης

3 . Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν

4 . Βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος διατηρεί το πρόσημο της και από αυτά προσδιορίζουμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης:

Αν στο διάστημα I η παράγωγος της συνάρτησης 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} αυξάνεται σε αυτό το διάστημα.

Αν στο διάστημα I η παράγωγος της συνάρτησης , τότε η συνάρτηση μειώνεται σε αυτό το διάστημα.

5 . Βρίσκουμε μέγιστο και ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.

ΣΕ το μέγιστο σημείο της συνάρτησης, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από "+" σε "-".

ΣΕ ελάχιστο σημείο της συνάρτησηςτο παράγωγο αλλάζει πρόσημο από "-" σε "+".

6 . Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος,

τότε συγκρίνουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στα μέγιστα σημεία, και επιλέξτε το μεγαλύτερο από αυτά εάν θέλετε να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης
ή συγκρίνουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στα ελάχιστα σημεία, και επιλέξτε το μικρότερο από αυτά εάν θέλετε να βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης

Ωστόσο, ανάλογα με το πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση στο διάστημα, αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να μειωθεί σημαντικά.

Εξετάστε τη συνάρτηση . Το γράφημα αυτής της συνάρτησης μοιάζει με αυτό:

Ας δούμε μερικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων από ανοιχτή τράπεζαεργασίες για

1 . Εργασία B15 (#26695)

Στην τομή.

1. Η συνάρτηση ορίζεται για όλες τις πραγματικές τιμές του x

Προφανώς, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις και η παράγωγος είναι θετική για όλες τις τιμές του x. Επομένως, η συνάρτηση αυξάνεται και παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο δεξιό άκρο του διαστήματος, δηλαδή στο x=0.

Απάντηση: 5.

2 . Εργασία B15 (Αρ. 26702)

Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης στο τμήμα.

Συνάρτηση 1.ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Η παράγωγος είναι μηδέν στο , ωστόσο, σε αυτά τα σημεία δεν αλλάζει πρόσημο:

Επομένως, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} αυξάνεται και παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο δεξί άκρο του διαστήματος, στο .

Για να καταστεί σαφές γιατί η παράγωγος δεν αλλάζει πρόσημο, μετατρέπουμε την έκφραση για την παράγωγο ως εξής:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Απάντηση: 5.

3 . Εργασία B15 (#26708)

Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα .

1. Συναρτήσεις ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Ας τοποθετήσουμε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο.

Το διάστημα περιέχει δύο αριθμούς: και

Ας βάλουμε τα σημάδια. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε το πρόσημο της παραγώγου στο σημείο x=0: . Όταν διέρχεται από τα σημεία και η παράγωγος αλλάζει πρόσημο.

Ας απεικονίσουμε την αλλαγή των προσημάτων της παραγώγου της συνάρτησης στη γραμμή συντεταγμένων:

Προφανώς, το σημείο είναι ένα ελάχιστο σημείο (όπου η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από "-" σε "+") και για να βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα, πρέπει να συγκρίνετε τις τιμές της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο και στο αριστερό άκρο του τμήματος, .

Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσω για αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμήςσυνάρτηση, ελάχιστα και μέγιστα σημεία.

Από τη θεωρία, σίγουρα θα χρειαστούμε πίνακας παραγώγωνΚαι κανόνες διαφοροποίησης. Είναι όλα σε αυτόν τον πίνακα:

Αλγόριθμος για την εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών.

Το βρίσκω πιο εύκολο να το εξηγήσω συγκεκριμένο παράδειγμα. Σκεφτείτε:

Παράδειγμα:Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y=x^5+20x^3–65x στο τμήμα [–4;0].

Βήμα 1.Παίρνουμε την παράγωγο.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Βήμα 2Εύρεση ακραίων σημείων.

ακραίο σημείοονομάζουμε τέτοια σημεία στα οποία η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή της.

Για να βρείτε τα ακραία σημεία, είναι απαραίτητο να εξισώσετε την παράγωγο της συνάρτησης με μηδέν (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Τώρα λύνουμε αυτή τη διτετραγωνική εξίσωση και οι ρίζες που βρέθηκαν είναι τα ακραία σημεία μας.

Λύνω τέτοιες εξισώσεις αντικαθιστώντας t = x^2, μετά 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Μειώστε την εξίσωση κατά 5, παίρνουμε: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση x^2 = t:

X_(1 και 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 και 4) = ±sqrt(-13) (εξαιρούμε, δεν μπορούν να υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί κάτω από τη ρίζα, εκτός φυσικά αν μιλάμε για μιγαδικούς αριθμούς)

Σύνολο: x_(1) = 1 και x_(2) = -1 - αυτά είναι τα ακραία σημεία μας.

Βήμα 3Προσδιορίστε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή.

Μέθοδος αντικατάστασης.

Στην συνθήκη, μας δόθηκε το τμήμα [b][–4;0]. Το σημείο x=1 δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το τμήμα. Οπότε δεν το λαμβάνουμε υπόψη. Αλλά εκτός από το σημείο x=-1, πρέπει επίσης να λάβουμε υπόψη τα αριστερά και δεξιά σύνορα του τμήματός μας, δηλαδή τα σημεία -4 και 0. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε και τα τρία αυτά σημεία στην αρχική συνάρτηση. Παρατηρήστε ότι το αρχικό είναι αυτό που δίνεται στη συνθήκη (y=x^5+20x^3–65x), μερικοί αρχίζουν να αντικαθιστούν την παράγωγο...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Αυτό σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι [b]44 και επιτυγχάνεται στα σημεία [b]-1, που ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης στο τμήμα [-4; 0].

Αποφασίσαμε και πήραμε απάντηση, είμαστε υπέροχοι, μπορείτε να χαλαρώσετε. Σταμάτα όμως! Δεν πιστεύετε ότι η μέτρηση του y(-4) είναι κάπως πολύ περίπλοκη; Σε συνθήκες περιορισμένου χρόνου, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο, την αποκαλώ ως εξής:

Μέσα από διαστήματα σταθερότητας.

Αυτά τα κενά βρίσκονται για την παράγωγο της συνάρτησης, δηλαδή για τη διτετραγωνική μας εξίσωση.

Το κάνω με τον εξής τρόπο. Σχεδιάζω μια γραμμή κατεύθυνσης. Θέτω τα σημεία: -4, -1, 0, 1. Παρά το γεγονός ότι το 1 δεν περιλαμβάνεται στο δεδομένο τμήμα, θα πρέπει να σημειωθεί για να προσδιορίζονται σωστά τα διαστήματα σταθερότητας. Ας πάρουμε έναν αριθμό πολλές φορές μεγαλύτερο από το 1, ας πούμε το 100, να τον αντικαταστήσουμε νοερά στη διτετραγωνική μας εξίσωση 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Ακόμη και χωρίς να μετρήσουμε τίποτα, γίνεται προφανές ότι στο σημείο 100 η συνάρτηση έχει το σύμβολο συν. Αυτό σημαίνει ότι για διαστήματα από 1 έως 100 έχει πρόσημο συν. Όταν περνάμε από το 1 (πηγαίνουμε από δεξιά προς τα αριστερά), η συνάρτηση θα αλλάξει πρόσημο σε μείον. Όταν διέρχεται από το σημείο 0, η συνάρτηση θα διατηρήσει το πρόσημό της, αφού αυτό είναι μόνο το όριο του τμήματος και όχι η ρίζα της εξίσωσης. Όταν περνάει από το -1, η συνάρτηση θα αλλάξει ξανά το πρόσημο σε συν.

Από τη θεωρία, γνωρίζουμε ότι πού βρίσκεται η παράγωγος της συνάρτησης (και το σχεδιάσαμε για αυτήν) αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην (σημείο -1 στην περίπτωσή μας)η λειτουργία φτάνει Το τοπικό του μέγιστο (y(-1)=44 όπως υπολογίστηκε νωρίτερα)σε αυτό το τμήμα (αυτό είναι λογικά πολύ σαφές, η συνάρτηση έπαψε να αυξάνεται, αφού έφτασε στο μέγιστο και άρχισε να μειώνεται).

Αντίστοιχα, όπου η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επιτεύχθηκε τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης. Ναι, ναι, βρήκαμε επίσης το τοπικό ελάχιστο σημείο, που είναι 1, και το y(1) είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα, ας πούμε από -1 έως +∞. Λάβετε υπόψη ότι αυτό είναι μόνο ένα ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ, δηλαδή ένα ελάχιστο σε ένα συγκεκριμένο τμήμα. Αφού η πραγματική (καθολική) ελάχιστη συνάρτηση θα φτάσει κάπου εκεί, στο -∞.

Κατά τη γνώμη μου, η πρώτη μέθοδος είναι πιο απλή θεωρητικά και η δεύτερη είναι πιο απλή από πλευράς αριθμητικών πράξεων, αλλά πολύ πιο δύσκολη από άποψη θεωρίας. Εξάλλου, μερικές φορές υπάρχουν περιπτώσεις που η συνάρτηση δεν αλλάζει πρόσημο όταν περνάει από τη ρίζα της εξίσωσης, και πράγματι μπορεί να μπερδευτείτε με αυτά τα τοπικά, καθολικά μέγιστα και ελάχιστα, αν και θα πρέπει να το κατακτήσετε καλά ούτως ή άλλως αν σχεδιάζετε να μπω σε πολυτεχνειο (και για τι αλλο να δωσω εξετάσεις προφίλκαι λύσει αυτό το πρόβλημα). Αλλά η πρακτική και μόνο εξάσκηση θα σας διδάξει πώς να λύσετε τέτοια προβλήματα μια για πάντα. Και μπορείτε να προπονηθείτε στον ιστότοπό μας. Εδώ .

Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις ή κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, φροντίστε να ρωτήσετε. Θα χαρώ να σας απαντήσω, και να κάνω αλλαγές, προσθήκες στο άρθρο. Θυμηθείτε ότι φτιάχνουμε αυτόν τον ιστότοπο μαζί!

Δημοφιλή στην κατηγορία: