घर › मिश्रित › भग्न तत्व. अंतरिक्ष अनुसंधान प्रयोगशाला

भग्न तत्व. अंतरिक्ष अनुसंधान प्रयोगशाला

फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामरों के रोजमर्रा के जीवन में मजबूती से प्रवेश कर गई हैं। फ्रैक्टल शब्द लैटिन फ्रैक्टस से लिया गया है और अनुवाद में इसका अर्थ टुकड़ों से बना होता है। इसे 1975 में बेनोइट मैंडेलब्रॉट द्वारा उन अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं को संदर्भित करने के लिए प्रस्तावित किया गया था जिनका उन्होंने अध्ययन किया था। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म आम तौर पर 1977 में मैंडलब्रोट की पुस्तक 'द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर' के प्रकाशन से जुड़ा है। उनके कार्यों में अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया गया, जिन्होंने 1875-1925 की अवधि में उसी क्षेत्र में काम किया था (पोंकारे, फतौ, जूलिया, कांटोर, हॉसडॉर्फ लेकिन केवल हमारे समय में ही उनके कार्यों को एक प्रणाली में जोड़ना संभव हो सका।
आज कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में फ्रैक्टल्स की भूमिका काफी बड़ी है। वे बचाव में आते हैं, उदाहरण के लिए, जब कई गुणांकों की मदद से, बहुत जटिल आकार की रेखाओं और सतहों को परिभाषित करना आवश्यक होता है। कंप्यूटर ग्राफिक्स के दृष्टिकोण से, फ्रैक्टल ज्यामिति कृत्रिम बादलों, पहाड़ों और समुद्र की सतह के निर्माण के लिए अपरिहार्य है। वास्तव में मिला फेफड़े का रास्ताजटिल गैर-यूक्लिडियन वस्तुओं का प्रतिनिधित्व, जिनकी छवियां प्राकृतिक वस्तुओं के समान हैं।
फ्रैक्टल्स का एक मुख्य गुण आत्म-समानता है। उसी में साधारण मामलाफ्रैक्टल के एक छोटे से हिस्से में संपूर्ण फ्रैक्टल के बारे में जानकारी होती है। मैंडेलब्रॉट द्वारा दी गई फ्रैक्टल की परिभाषा इस प्रकार है: "फ्रैक्टल एक संरचना है जिसमें ऐसे हिस्से होते हैं जो कुछ अर्थों में संपूर्ण के समान होते हैं।"

मौजूद बड़ी संख्यागणितीय वस्तुएं जिन्हें फ्रैक्टल कहा जाता है (सीरपिंस्की त्रिकोण, कोच स्नोफ्लेक, पीनो कर्व, मैंडलब्रॉट सेट और लोरेंत्ज़ अट्रैक्टर)। फ्रैक्टल्स बड़ी सटीकता के साथ वास्तविक दुनिया की कई भौतिक घटनाओं और संरचनाओं का वर्णन करते हैं: पहाड़, बादल, अशांत (भंवर) धाराएं, जड़ें, शाखाएं और पेड़ों की पत्तियां, रक्त वाहिकाएं, जो सरल ज्यामितीय आकृतियों के अनुरूप नहीं हैं। बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने पहली बार अपने मौलिक कार्य "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" में हमारी दुनिया की फ्रैक्टल प्रकृति के बारे में बात की थी।
फ्रैक्टल शब्द को बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने 1977 में अपने मौलिक कार्य "फ्रैक्टल्स, फॉर्म, कैओस एंड डायमेंशन" में पेश किया था। मैंडेलब्रॉट के अनुसार, फ्रैक्टल शब्द लैटिन शब्द फ्रैक्टस - फ्रैक्शनल और फ्रैन्गेरे - से आया है, जो तोड़ने के लिए है, जो फ्रैक्टल के सार को "टूटे हुए", अनियमित सेट के रूप में दर्शाता है।

भग्नों का वर्गीकरण.

फ्रैक्टल्स की संपूर्ण विविधता का प्रतिनिधित्व करने के लिए, उनके आम तौर पर स्वीकृत वर्गीकरण का सहारा लेना सुविधाजनक है। फ्रैक्टल के तीन वर्ग हैं।

1. ज्यामितीय भग्न।

इस वर्ग के भग्न सबसे अधिक स्पष्ट होते हैं। द्वि-आयामी मामले में, उन्हें एक पॉलीलाइन (या त्रि-आयामी मामले में सतह) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जिसे जनरेटर कहा जाता है। एल्गोरिदम के एक चरण में, टूटी हुई रेखा बनाने वाले प्रत्येक खंड को उचित पैमाने पर एक टूटी हुई रेखा जनरेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रक्रिया की अंतहीन पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, एक ज्यामितीय फ्रैक्टल प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, ऐसी भग्न वस्तुओं में से एक - कोच ट्रायडिक वक्र पर विचार करें।

त्रियादिक कोच वक्र का निर्माण.

लंबाई 1 का एक सीधी रेखा खंड लें। आइए इसे कहते हैं बीज. आइए बीज को 1/3 लंबाई के तीन बराबर भागों में विभाजित करें, मध्य भाग को हटा दें और इसे 1/3 लंबाई की दो कड़ियों की टूटी हुई रेखा से बदल दें।

हमें एक टूटी हुई रेखा मिलती है, जिसमें 4/3 की कुल लंबाई के साथ 4 लिंक होते हैं, - तथाकथित पहली पीढ़ी.

कोच वक्र की अगली पीढ़ी पर जाने के लिए, प्रत्येक लिंक के मध्य भाग को हटाना और बदलना आवश्यक है। तदनुसार, दूसरी पीढ़ी की लंबाई 16/9 होगी, तीसरी - 64/27। यदि आप इस प्रक्रिया को अनंत तक जारी रखते हैं, तो परिणाम एक त्रियादिक कोच वक्र होगा।

आइए अब हम पवित्र त्रियादिक कोच वक्र पर विचार करें और जानें कि फ्रैक्टल्स को "राक्षस" क्यों कहा जाता है।

सबसे पहले, इस वक्र की कोई लंबाई नहीं है - जैसा कि हमने देखा है, पीढ़ियों की संख्या के साथ, इसकी लंबाई अनंत हो जाती है।

दूसरे, इस वक्र पर स्पर्श रेखा बनाना असंभव है - इसका प्रत्येक बिंदु एक विभक्ति बिंदु है जिस पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है - यह वक्र चिकना नहीं है।

लंबाई और चिकनाई वक्रों के मूलभूत गुण हैं, जिनका अध्ययन यूक्लिडियन ज्यामिति और लोबचेव्स्की और रीमैन की ज्यामिति दोनों द्वारा किया जाता है। त्रैमासिक कोच वक्र पारंपरिक तरीकों के लिए ज्यामितीय विश्लेषणअनुपयुक्त साबित हुआ, इसलिए कोच वक्र एक राक्षस बन गया - पारंपरिक ज्यामिति के चिकनी निवासियों के बीच एक "राक्षस"।

"ड्रैगन" हार्टर-हेटवे का निर्माण।

एक अन्य भग्न वस्तु प्राप्त करने के लिए, आपको निर्माण नियमों को बदलने की आवश्यकता है। मान लीजिए जेनरेट्रिक्स दो समान खंड हैं जो समकोण पर जुड़े हुए हैं। शून्य पीढ़ी में, हम इकाई खंड को इस उत्पादक तत्व से प्रतिस्थापित करते हैं ताकि कोण शीर्ष पर रहे। हम कह सकते हैं कि इस तरह के प्रतिस्थापन से लिंक के बीच में बदलाव होता है। निर्माण करते समय अगली पीढ़ियाँनियम पूरा हो गया है: बाईं ओर के पहले लिंक को एक जनरेटिंग तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है ताकि लिंक के मध्य को आंदोलन की दिशा के बाईं ओर स्थानांतरित किया जा सके, और अगले लिंक को प्रतिस्थापित करते समय, मध्यबिंदुओं के विस्थापन की दिशाएं खंडों का वैकल्पिक होना चाहिए। यह आंकड़ा ऊपर वर्णित सिद्धांत के अनुसार निर्मित वक्र की पहली कुछ पीढ़ियों और 11वीं पीढ़ी को दर्शाता है। अनंत की ओर झुकाव वाले n वाले वक्र को हार्टर-हेटवे ड्रैगन कहा जाता है।
कंप्यूटर ग्राफिक्स में, पेड़ों और झाड़ियों की छवियां प्राप्त करते समय ज्यामितीय फ्रैक्टल्स का उपयोग आवश्यक है। द्वि-आयामी ज्यामितीय भग्न का उपयोग त्रि-आयामी बनावट (किसी वस्तु की सतह पर पैटर्न) बनाने के लिए किया जाता है।

2. बीजगणितीय भग्न

यह फ्रैक्टल्स का सबसे बड़ा समूह है। वे एन-आयामी स्थानों में गैर-रेखीय प्रक्रियाओं का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं। द्वि-आयामी प्रक्रियाओं का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक असतत गतिशील प्रणाली के रूप में एक गैर-रेखीय पुनरावृत्त प्रक्रिया की व्याख्या करते हुए, कोई इन प्रणालियों के सिद्धांत की शब्दावली का उपयोग कर सकता है: चरण चित्र, स्थिर राज्य प्रक्रिया, आकर्षितकर्ता, आदि।
यह ज्ञात है कि गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों में कई स्थिर अवस्थाएँ होती हैं। एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद गतिशील प्रणाली स्वयं को जिस स्थिति में पाती है, वह उसकी प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर करती है। इसलिए, प्रत्येक स्थिर अवस्था (या, जैसा कि वे कहते हैं, एक आकर्षितकर्ता) में प्रारंभिक अवस्थाओं का एक निश्चित क्षेत्र होता है, जिससे सिस्टम आवश्यक रूप से अंतिम अवस्थाओं में आ जाएगा। इस प्रकार, सिस्टम के चरण स्थान को आकर्षित करने वालों के आकर्षण के क्षेत्रों में विभाजित किया गया है। यदि चरण स्थान द्वि-आयामी है, तो आकर्षण क्षेत्रों को अलग-अलग रंगों से रंगकर, कोई इस प्रणाली (पुनरावृत्त प्रक्रिया) का रंग चरण चित्र प्राप्त कर सकता है। रंग चयन एल्गोरिदम को बदलकर, आप फैंसी बहुरंगा पैटर्न के साथ जटिल फ्रैक्टल पैटर्न प्राप्त कर सकते हैं। गणितज्ञों के लिए एक आश्चर्य की बात थी आदिम एल्गोरिदम का उपयोग करके बहुत जटिल गैर-तुच्छ संरचनाएं उत्पन्न करने की क्षमता।

मैंडेलब्रॉट सेट.

उदाहरण के तौर पर, मैंडेलब्रॉट सेट पर विचार करें। इसके निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म काफी सरल है और एक सरल पुनरावृत्त अभिव्यक्ति पर आधारित है: Z = Z[i] * Z[i] + C, कहाँ जिऔर सीजटिल चर हैं. आयताकार या वर्गाकार क्षेत्र से प्रत्येक प्रारंभिक बिंदु के लिए पुनरावृत्तियाँ की जाती हैं - जटिल विमान का एक उपसमूह। पुनरावृत्तीय प्रक्रिया तब तक जारी रहती है Z[i]त्रिज्या 2 के वृत्त से आगे नहीं जाएगा, जिसका केंद्र बिंदु (0,0) पर स्थित है, (इसका मतलब है कि गतिशील प्रणाली का आकर्षण अनंत पर है), या पर्याप्त बड़ी संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद (उदाहरण के लिए) , 200-500) Z[i]वृत्त पर किसी बिंदु पर एकत्रित होती है। जिसके दौरान पुनरावृत्तियों की संख्या पर निर्भर करता है Z[i]सर्कल के अंदर बने रहने पर, आप बिंदु का रंग सेट कर सकते हैं सी(अगर Z[i]पर्याप्त संख्या में पुनरावृत्तियों के लिए सर्कल के अंदर रहता है, पुनरावृत्ति प्रक्रिया बंद हो जाती है और यह रेखापुंज बिंदु काले रंग में रंगा जाता है)।

3. स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल

फ्रैक्टल्स का एक अन्य प्रसिद्ध वर्ग स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स है, जो तब प्राप्त होता है जब इसके किसी भी पैरामीटर को पुनरावृत्तीय प्रक्रिया में यादृच्छिक रूप से बदल दिया जाता है। इसके परिणामस्वरूप वस्तुएँ प्राकृतिक वस्तुओं के समान होती हैं - असममित वृक्ष, दांतेदार तटरेखाएँ, आदि। द्वि-आयामी स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स का उपयोग इलाके और समुद्री सतह के मॉडलिंग में किया जाता है।
फ्रैक्टल्स के अन्य वर्गीकरण भी हैं, उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल्स का नियतात्मक (बीजगणितीय और ज्यामितीय) और गैर-नियतात्मक (स्टोकेस्टिक) में विभाजन।

फ्रैक्टल्स के उपयोग के बारे में

सबसे पहले, फ्रैक्टल अद्भुत गणितीय कला का एक क्षेत्र है, जब सरलतम सूत्रों और एल्गोरिदम की मदद से असाधारण सुंदरता और जटिलता के चित्र प्राप्त किए जाते हैं! निर्मित छवियों की रूपरेखा में अक्सर पत्तियों, पेड़ों और फूलों का अनुमान लगाया जाता है।

फ्रैक्टल के कुछ सबसे शक्तिशाली अनुप्रयोग इसमें निहित हैं कंप्यूटर चित्रलेख. सबसे पहले, यह छवियों का फ्रैक्टल संपीड़न है, और दूसरा, परिदृश्यों, पेड़ों, पौधों का निर्माण और फ्रैक्टल बनावट की पीढ़ी है। आधुनिक भौतिकी और यांत्रिकी अभी भग्न वस्तुओं के व्यवहार का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं। और, निःसंदेह, फ्रैक्टल सीधे गणित में ही लागू होते हैं।
फ्रैक्टल छवि संपीड़न एल्गोरिदम के लाभ पैक की गई फ़ाइल का बहुत छोटा आकार और कम छवि पुनर्प्राप्ति समय हैं। फ़्रैक्टली पैक की गई तस्वीरों को पिक्सेलेशन की उपस्थिति के बिना स्केल किया जा सकता है। लेकिन संपीड़न प्रक्रिया में लंबा समय लगता है और कभी-कभी घंटों तक चलता है। हानिपूर्ण फ्रैक्टल पैकिंग एल्गोरिदम आपको जेपीईजी प्रारूप के समान संपीड़न स्तर सेट करने की अनुमति देता है। एल्गोरिथ्म कुछ छोटे टुकड़ों के समान छवि के बड़े टुकड़ों की खोज पर आधारित है। और केवल वही टुकड़ा समान है जो आउटपुट फ़ाइल में लिखा गया है। संपीड़ित करते समय, आमतौर पर एक वर्गाकार ग्रिड का उपयोग किया जाता है (टुकड़े वर्ग होते हैं), जिससे चित्र को पुनर्स्थापित करते समय थोड़ी कोणीयता होती है, एक हेक्सागोनल ग्रिड इस तरह के नुकसान से मुक्त होता है।
इटरेटेड ने एक नया छवि प्रारूप, "स्टिंग" विकसित किया है, जो फ्रैक्टल और "वेव" (जैसे जेपीईजी) दोषरहित संपीड़न को जोड़ता है। नया प्रारूप आपको बाद में उच्च-गुणवत्ता स्केलिंग की संभावना के साथ छवियां बनाने की अनुमति देता है, और ग्राफिक फ़ाइलों की मात्रा असम्पीडित छवियों की मात्रा का 15-20% है।
फ्रैक्टल्स की पहाड़ों, फूलों और पेड़ों की तरह दिखने की प्रवृत्ति का कुछ लोगों द्वारा फायदा उठाया जाता है ग्राफ़िक संपादक, जैसे कि 3डी स्टूडियो मैक्स से फ्रैक्टल क्लाउड, वर्ल्ड बिल्डर में फ्रैक्टल पर्वत। फ्रैक्टल पेड़, पहाड़ और संपूर्ण परिदृश्य दिए गए हैं सरल सूत्र, प्रोग्राम करना आसान है और पास आने पर अलग-अलग त्रिकोणों और घनों में विभाजित नहीं होते हैं।
आप गणित में फ्रैक्टल्स के उपयोग को नजरअंदाज नहीं कर सकते। सेट सिद्धांत में, कैंटर सेट एकदम सही घने सेट के अस्तित्व को साबित करता है; माप सिद्धांत में, स्व-संबद्ध "कैंटर सीढ़ी" फ़ंक्शन एक विलक्षण माप वितरण फ़ंक्शन का एक अच्छा उदाहरण है।
यांत्रिकी और भौतिकी में फ्रैक्टल का उपयोग किसके कारण किया जाता है? अद्वितीय संपत्तिप्रकृति की अनेक वस्तुओं की रूपरेखा दोहराएँ। फ्रैक्टल्स आपको रेखा खंडों या बहुभुजों (संग्रहीत डेटा की समान मात्रा के साथ) की तुलना में अधिक सटीकता के साथ पेड़ों, पर्वत सतहों और दरारों का अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं। प्राकृतिक वस्तुओं की तरह, फ्रैक्टल मॉडल में "खुरदरापन" होता है, और यह संपत्ति मॉडल में मनमाने ढंग से बड़ी वृद्धि पर संरक्षित होती है। फ्रैक्टल्स पर एक समान माप की उपस्थिति एकीकरण, संभावित सिद्धांत को लागू करना, पहले से अध्ययन किए गए समीकरणों में मानक वस्तुओं के बजाय उनका उपयोग करना संभव बनाती है।
भग्न दृष्टिकोण के साथ, अराजकता नीली अव्यवस्था नहीं रह जाती है और एक अच्छी संरचना प्राप्त कर लेती है। फ्रैक्टल विज्ञान अभी भी बहुत युवा है और इसका भविष्य बहुत अच्छा है। फ्रैक्टल्स की सुंदरता समाप्त होने से बहुत दूर है और यह अभी भी हमें कई उत्कृष्ट कृतियाँ प्रदान करेगी - वे जो आँखों को आनंदित करती हैं, और वे जो मन को सच्चा आनंद देती हैं।

फ्रैक्टल के निर्माण के बारे में

क्रमिक सन्निकटन की विधि

इस तस्वीर को देखकर यह समझना मुश्किल नहीं है कि एक स्व-समान फ्रैक्टल (इस मामले में, सीरपिंस्की पिरामिड) कैसे बनाया जा सकता है। हमें एक साधारण पिरामिड (टेट्राहेड्रोन) लेना होगा, फिर उसके मध्य (ऑक्टाहेड्रोन) को काट देना होगा, जिसके परिणामस्वरूप हमें चार छोटे पिरामिड मिलेंगे। उनमें से प्रत्येक के साथ हम एक ही ऑपरेशन करते हैं, इत्यादि। यह कुछ हद तक अनुभवहीन, लेकिन उदाहरणात्मक व्याख्या है।

आइए विधि के सार पर अधिक सख्ती से विचार करें। चलो कुछ आईएफएस प्रणाली है, यानी संकुचन मानचित्रण प्रणाली एस=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (उदाहरण के लिए, हमारे पिरामिड के लिए, मैपिंग S i (x)=1/2*x+o i जैसी दिखती है, जहां o i हैं चतुष्फलक के शीर्ष, i=1,..,4). फिर हम R n में कुछ कॉम्पैक्ट सेट A 1 चुनते हैं (हमारे मामले में हम एक टेट्राहेड्रोन चुनते हैं)। और हम प्रेरण द्वारा सेटों का क्रम निर्धारित करते हैं A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k)। यह ज्ञात है कि सेट A k बढ़ते हुए k के साथ सिस्टम के आवश्यक आकर्षणकर्ता का अनुमान लगाता है एस.

ध्यान दें कि इनमें से प्रत्येक पुनरावृत्ति एक आकर्षक है पुनरावृत्त कार्यों की आवर्ती प्रणाली(अंग्रेजी शब्द डिग्राफआईएफएस, आरआईएफएसऔर भी ग्राफ-निर्देशित IFS) और इसलिए हमारे प्रोग्राम के साथ इन्हें बनाना आसान है।

बिन्दुओं या संभाव्य विधि द्वारा निर्माण

यह कंप्यूटर पर लागू करने की सबसे आसान विधि है। सरलता के लिए, एक फ्लैट सेल्फ-एफ़िन सेट के मामले पर विचार करें। तो चलें

) एफ़िन संकुचन की कुछ प्रणाली है। मैपिंग एस

इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है: एस

2x2 और o आकार का निश्चित मैट्रिक्स

द्वि-आयामी वेक्टर स्तंभ.

आइए शुरुआती बिंदु के रूप में पहली मैपिंग S 1 का एक निश्चित बिंदु लें:
x:=o1;
यहां हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि सभी निश्चित संकुचन बिंदु S 1,..,S m फ्रैक्टल से संबंधित हैं। एक मनमाना बिंदु को शुरुआती बिंदु के रूप में चुना जा सकता है और इसके द्वारा उत्पन्न बिंदुओं का क्रम एक भग्न तक सिकुड़ जाएगा, लेकिन फिर स्क्रीन पर कुछ अतिरिक्त बिंदु दिखाई देंगे।
स्क्रीन पर वर्तमान बिंदु x=(x 1 ,x 2) नोट करें:
पुटपिक्सेल(x 1 ,x 2 ,15);
हम यादृच्छिक रूप से 1 से m तक एक संख्या j चुनते हैं और बिंदु x के निर्देशांक की पुनर्गणना करते हैं:
जे:=रैंडम(एम)+1;
एक्स:=एस जे (एक्स);
हम चरण 2 पर जाते हैं, या, यदि हमने पर्याप्त संख्या में पुनरावृत्तियाँ कर ली हैं, तो हम रुक जाते हैं।

टिप्पणी।यदि मैपिंग एस आई के संपीड़न के गुणांक अलग-अलग हैं, तो फ्रैक्टल असमान रूप से बिंदुओं से भरा होगा। यदि मैपिंग एस आई में समानताएं हैं, तो एल्गोरिदम को थोड़ा जटिल करके इससे बचा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, एल्गोरिथ्म के तीसरे चरण में, 1 से m तक की संख्या j को संभावनाओं के साथ चुना जाना चाहिए p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , जहां r i मैपिंग S i के संकुचन गुणांक को दर्शाता है , और संख्या s (समानता आयाम कहा जाता है) समीकरण r 1 s +...+r m s =1 से पाई जाती है। इस समीकरण का हल, उदाहरण के लिए, न्यूटन की विधि द्वारा पाया जा सकता है।

फ्रैक्टल और उनके एल्गोरिदम के बारे में

फ्रैक्टल लैटिन विशेषण "फ्रैक्टस" से आया है, और अनुवाद में इसका अर्थ है टुकड़ों से मिलकर, और संबंधित लैटिन क्रिया "फ्रेन्जेरे" का अर्थ है तोड़ना, यानी अनियमित टुकड़े बनाना। फ्रैक्टल और फ्रैक्टल ज्यामिति की अवधारणाएं, जो 70 के दशक के अंत में सामने आईं, 80 के दशक के मध्य से गणितज्ञों और प्रोग्रामरों के रोजमर्रा के जीवन में मजबूती से प्रवेश कर गई हैं। यह शब्द बेनोइट मैंडेलब्रॉट द्वारा 1975 में उन अनियमित लेकिन स्व-समान संरचनाओं को संदर्भित करने के लिए प्रस्तावित किया गया था जिनसे वह चिंतित थे। फ्रैक्टल ज्योमेट्री का जन्म आमतौर पर 1977 में मैंडलब्रोट की पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" - "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" के प्रकाशन से जुड़ा है। उनके कार्यों में अन्य वैज्ञानिकों के वैज्ञानिक परिणामों का उपयोग किया गया, जिन्होंने 1875-1925 की अवधि में उसी क्षेत्र में काम किया था (पोंकारे, फतौ, जूलिया, कांटोर, हॉसडॉर्फ)।

समायोजन

मुझे एच.-ओ. द्वारा पुस्तक में प्रस्तावित एल्गोरिदम में कुछ समायोजन करने दीजिए। पेटगेन और पी.एच. रिक्टर "द ब्यूटी ऑफ फ्रैक्टल्स" एम. 1993, विशुद्ध रूप से टाइपो त्रुटियों को मिटाने और प्रक्रियाओं को समझना आसान बनाने के लिए, क्योंकि उनका अध्ययन करने के बाद, बहुत कुछ मेरे लिए एक रहस्य बना रहा। दुर्भाग्य से, ये "समझने योग्य" और "सरल" एल्गोरिदम एक शानदार जीवनशैली जीते हैं।

फ्रैक्टल्स का निर्माण फीडबैक z \u003d z 2 + c के साथ एक जटिल प्रक्रिया के एक निश्चित गैर-रेखीय फ़ंक्शन पर आधारित है क्योंकि z और c जटिल संख्याएं हैं, तो z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, यह आवश्यक है इसे और अधिक यथार्थवादी बनाने के लिए इसे x और y में विघटित करें आम आदमीविमान:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

सभी युग्मों (x, y) से युक्त समतल को निश्चित मानों वाला माना जा सकता है पी और क्यू, साथ ही गतिशील लोगों के लिए भी। पहले मामले में, कानून के अनुसार विमान के सभी बिंदुओं (x, y) को क्रमबद्ध करना और पुनरावृत्त प्रक्रिया से बाहर निकलने के लिए आवश्यक फ़ंक्शन की पुनरावृत्ति की संख्या के आधार पर उन्हें रंगना या स्वीकार्य अधिकतम होने पर रंग (काला) नहीं करना पुनरावृत्ति की संख्या बढ़ जाती है, हमें जूलिया सेट का प्रदर्शन मिलता है। यदि, इसके विपरीत, हम मूल्यों की प्रारंभिक जोड़ी (x, y) निर्धारित करते हैं और पैरामीटर पी और क्यू के गतिशील रूप से बदलते मूल्यों के साथ इसके रंगीन भाग्य का पता लगाते हैं, तो हमें मंडेलब्रॉट सेट नामक छवियां मिलती हैं।

फ्रैक्टल कलरिंग एल्गोरिदम के प्रश्न पर।

आमतौर पर सेट की बॉडी को एक काले क्षेत्र के रूप में दर्शाया जाता है, हालांकि यह स्पष्ट है कि काले रंग को किसी अन्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, लेकिन यह भी एक दिलचस्प परिणाम नहीं है। सभी रंगों में चित्रित सेट की एक छवि प्राप्त करना एक ऐसा कार्य है जिसे चक्रीय संचालन का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है सेट के मुख्य भाग को बनाने वाले पुनरावृत्तियों की संख्या अधिकतम संभव के बराबर होती है और हमेशा समान होती है। सेट को रंग दें अलग - अलग रंगशायद लूप से निकास स्थिति की जाँच के परिणाम (z_magnitude) को रंग संख्या के रूप में, या इसके समान, लेकिन अन्य गणितीय परिचालनों के साथ उपयोग करके।

"फ्रैक्टल माइक्रोस्कोप" का अनुप्रयोग

सीमांत घटनाओं को प्रदर्शित करने के लिए।

आकर्षण विमान पर प्रभुत्व के लिए संघर्ष का नेतृत्व करने वाले केंद्र हैं। आकर्षणकर्ताओं के बीच एक घूमती हुई आकृति का प्रतिनिधित्व करने वाली एक सीमा होती है। सेट की सीमाओं के भीतर विचार के पैमाने को बढ़ाकर, कोई गैर-तुच्छ पैटर्न प्राप्त कर सकता है जो नियतात्मक अराजकता की स्थिति को दर्शाता है - प्राकृतिक दुनिया में एक सामान्य घटना।

भूगोलवेत्ताओं द्वारा अध्ययन की गई वस्तुएँ अत्यंत जटिल रूप से संगठित सीमाओं वाली एक प्रणाली बनाती हैं, जिसके संबंध में उनका कार्यान्वयन एक कठिन व्यावहारिक कार्य बन जाता है। प्राकृतिक परिसरों में विशिष्टता के केंद्र आकर्षण के रूप में कार्य करते हैं जो क्षेत्र से दूर जाने पर प्रभाव की अपनी शक्ति खो देते हैं।

मैंडेलब्रॉट और जूलिया सेट के लिए एक फ्रैक्टल माइक्रोस्कोप का उपयोग करके, कोई सीमा प्रक्रियाओं और घटनाओं का एक विचार बना सकता है जो विचार के पैमाने की परवाह किए बिना समान रूप से जटिल हैं और इस प्रकार एक गतिशील और प्रतीत होता है अराजक के साथ बैठक के लिए एक विशेषज्ञ की धारणा तैयार करते हैं। अंतरिक्ष और समय में प्राकृतिक वस्तु, भग्न ज्यामिति प्रकृति को समझने के लिए। बहुरंगी रंग और फ्रैक्टल संगीत निश्चित रूप से छात्रों के मन पर गहरी छाप छोड़ेंगे।

हजारों प्रकाशन और विशाल इंटरनेट संसाधन फ्रैक्टल के लिए समर्पित हैं, हालांकि, कंप्यूटर विज्ञान से दूर कई विशेषज्ञों के लिए, यह शब्द पूरी तरह से नया लगता है। ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में विशेषज्ञों की रुचि की वस्तु के रूप में फ्रैक्टल्स को कंप्यूटर विज्ञान के पाठ्यक्रम में अपना उचित स्थान मिलना चाहिए।

उदाहरण

सीरपिंस्की ग्रिड

यह उन फ्रैक्टल्स में से एक है जिसका प्रयोग मैंडलब्रॉट ने फ्रैक्टल आयामों और पुनरावृत्तियों की अवधारणाओं को विकसित करते समय किया था। बड़े त्रिभुज के मध्य बिंदुओं को मिलाने से बने त्रिभुजों को मुख्य त्रिभुज से काटकर अधिक छिद्रों वाला त्रिभुज बनाया जाता है। इस मामले में, आरंभकर्ता एक बड़ा त्रिभुज है और टेम्पलेट बड़े त्रिभुज के समान त्रिभुजों को काटने का एक ऑपरेशन है। आप एक साधारण टेट्राहेड्रोन का उपयोग करके और छोटे टेट्राहेड्रा को काटकर त्रिभुज का 3डी संस्करण भी प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे फ्रैक्टल का आयाम ln3/ln2 = 1.584962501 है।

प्राप्त करने के लिए सीरपिंस्की कालीन, एक वर्ग लें, इसे नौ वर्गों में विभाजित करें, और बीच वाले को काट दें। हम बाकी छोटे वर्गों के साथ भी ऐसा ही करेंगे। अंत में, एक सपाट फ्रैक्टल ग्रिड बनता है, जिसका कोई क्षेत्र नहीं है, लेकिन अनंत कनेक्शन हैं। अपने स्थानिक रूप में, सिएरपिंस्की स्पंज को रूपों की एक प्रणाली में बदल दिया जाता है, जिसमें प्रत्येक तत्व को लगातार अपनी तरह से प्रतिस्थापित किया जाता है। यह संरचना हड्डी के ऊतकों के एक भाग के समान है। किसी दिन ऐसी दोहराई जाने वाली संरचनाएं भवन संरचनाओं का एक तत्व बन जाएंगी। मैंडेलब्रॉट का मानना है कि उनकी स्थिरता और गतिशीलता, गहन अध्ययन के लायक है।

कोच वक्र

कोच वक्र सबसे विशिष्ट नियतात्मक भग्नों में से एक है। इसका आविष्कार उन्नीसवीं सदी में हेल्गे वॉन कोच नाम के एक जर्मन गणितज्ञ ने किया था, जिन्होंने जॉर्ज कोंटोर और कार्ल वीयरस्ट्रेश के काम का अध्ययन करते समय असामान्य व्यवहार वाले कुछ अजीब वक्रों का वर्णन देखा था। आरंभकर्ता - सीधी रेखा. जनरेटर एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ बड़े खंड की लंबाई के एक तिहाई के बराबर हैं। ये त्रिकोण प्रत्येक खंड के मध्य में बार-बार जोड़े जाते हैं। अपने शोध में, मैंडेलब्रॉट ने कोच वक्रों के साथ बहुत सारे प्रयोग किए, और टेट्राहेड्रोन का उपयोग करके और इसके प्रत्येक चेहरे पर छोटे टेट्राहेड्रा जोड़कर कोच द्वीप, कोच क्रॉस, कोच स्नोफ्लेक्स और यहां तक कि कोच वक्र के त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व जैसे आंकड़े प्राप्त किए। कोच वक्र का आयाम ln4/ln3 = 1.261859507 है।

फ्रैक्टल मैंडेलब्रॉट

यह मैंडेलब्रॉट सेट नहीं है जिसे आप अक्सर देखते हैं। मैंडेलब्रॉट सेट गैर-रेखीय समीकरणों पर आधारित है और एक जटिल फ्रैक्टल है। यह भी कोच वक्र का एक प्रकार है, इस तथ्य के बावजूद कि यह वस्तु इसके जैसी नहीं दिखती है। आरंभकर्ता और जनरेटर भी कोच वक्र के सिद्धांत के आधार पर फ्रैक्टल बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले जनरेटर से भिन्न होते हैं, लेकिन विचार वही रहता है। समबाहु त्रिभुजों को वक्र खंड से जोड़ने के बजाय, वर्गों को एक वर्ग से जोड़ा जाता है। इस तथ्य के कारण कि यह फ्रैक्टल प्रत्येक पुनरावृत्ति पर आवंटित स्थान का ठीक आधा हिस्सा घेरता है, इसका सरल फ्रैक्टल आयाम 3/2 = 1.5 है।

डेरर्स पेंटागन

एक फ्रैक्टल एक साथ निचोड़े हुए पंचकोणों के समूह जैसा दिखता है। वास्तव में, यह एक पंचकोण को सर्जक और समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में उपयोग करके बनाया गया है, जिसमें सबसे बड़ी भुजा और सबसे छोटी भुजा का अनुपात जनरेटर के रूप में तथाकथित सुनहरे अनुपात (1.618033989 या 1/(2cos72)) के बिल्कुल बराबर है। . इन त्रिकोणों को प्रत्येक पंचकोण के मध्य से काटा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक आकार बनता है जो एक बड़े से चिपके हुए 5 छोटे पंचकोणों जैसा दिखता है।

आरंभकर्ता के रूप में षट्भुज का उपयोग करके इस फ्रैक्टल का एक प्रकार प्राप्त किया जा सकता है। इस फ्रैक्टल को डेविड का सितारा कहा जाता है और यह कोच के स्नोफ्लेक के हेक्सागोनल संस्करण के काफी समान है। डेरर पेंटागन का फ्रैक्टल आयाम ln6/ln(1+g) है, जहां g त्रिभुज की बड़ी भुजा की लंबाई और छोटी भुजा की लंबाई का अनुपात है। इस मामले में, जी स्वर्णिम अनुपात है, इसलिए भग्न आयाम लगभग 1.86171596 है। डेविड स्टार का फ्रैक्टल आयाम ln6/ln3 या 1.630929754 है।

जटिल भग्न

वास्तव में, यदि आप किसी जटिल फ्रैक्टल के एक छोटे से क्षेत्र पर ज़ूम करते हैं और फिर उस क्षेत्र के एक छोटे से क्षेत्र पर भी ऐसा ही करते हैं, तो दोनों आवर्धन एक दूसरे से काफी भिन्न होंगे। दोनों छवियां विस्तार में बहुत समान होंगी, लेकिन वे पूरी तरह से समान नहीं होंगी।

चित्र 1. मैंडेलब्रॉट सेट का सन्निकटन

उदाहरण के लिए, यहां दिखाए गए मैंडेलब्रॉट सेट के चित्रों की तुलना करें, जिनमें से एक दूसरे के कुछ क्षेत्र को बढ़ाकर प्राप्त किया गया था। जैसा कि आप देख सकते हैं, वे बिल्कुल समान नहीं हैं, हालांकि दोनों पर हम एक काला घेरा देखते हैं, जिसमें से ज्वलंत तंबू अलग-अलग दिशाओं में जाते हैं। ये तत्व मैंडेलब्रॉट सेट में घटते अनुपात में अनिश्चित काल तक दोहराते हैं।

नियतात्मक भग्न रैखिक होते हैं, जबकि जटिल भग्न नहीं होते हैं। गैर-रैखिक होने के कारण, ये भग्न मैंडेलब्रॉट द्वारा गैर-रेखीय बीजगणितीय समीकरण कहे जाने से उत्पन्न होते हैं। अच्छा उदाहरणप्रक्रिया Zn+1=ZnІ + C है, जो दूसरी डिग्री के मैंडलब्रॉट और जूलिया सेट के निर्माण के लिए उपयोग किया जाने वाला समीकरण है। इन गणितीय समीकरणों को हल करने में जटिल और काल्पनिक संख्याएँ शामिल होती हैं। जब समीकरण को जटिल विमान में ग्राफिक रूप से व्याख्या किया जाता है, तो परिणाम एक अजीब आकृति होती है जिसमें सीधी रेखाएं वक्र में बदल जाती हैं, स्व-समानता प्रभाव विभिन्न पैमाने के स्तरों पर दिखाई देते हैं, हालांकि विकृतियों के बिना नहीं। साथ ही, कुल मिलाकर पूरी तस्वीर अप्रत्याशित और बहुत अराजक है।

जैसा कि आप चित्रों को देखकर समझ सकते हैं, जटिल फ्रैक्टल वास्तव में बहुत जटिल हैं और कंप्यूटर की सहायता के बिना इन्हें बनाना असंभव है। रंगीन परिणाम प्राप्त करने के लिए, इस कंप्यूटर में एक शक्तिशाली गणित सहप्रोसेसर और एक उच्च-रिज़ॉल्यूशन मॉनिटर होना चाहिए। नियतात्मक फ्रैक्टल्स के विपरीत, जटिल फ्रैक्टल्स की गणना 5-10 पुनरावृत्तियों में नहीं की जाती है। कंप्यूटर स्क्रीन पर लगभग हर बिंदु एक अलग फ्रैक्टल की तरह होता है। गणितीय प्रसंस्करण के दौरान, प्रत्येक बिंदु को एक अलग पैटर्न के रूप में माना जाता है। प्रत्येक बिंदु एक निश्चित मान से मेल खाता है। समीकरण प्रत्येक बिंदु के लिए बनाया गया है और निष्पादित किया जाता है, उदाहरण के लिए, 1000 पुनरावृत्तियों। घरेलू कंप्यूटरों के लिए स्वीकार्य समय अंतराल में अपेक्षाकृत विकृत छवि प्राप्त करने के लिए, एक बिंदु के लिए 250 पुनरावृत्तियों को पूरा करना संभव है।

आज हम जो अधिकांश फ्रैक्टल देखते हैं वे सुंदर रूप से रंगीन होते हैं। शायद भग्न छवियां इतनी बड़ी हो गईं सौंदर्य मूल्यबिल्कुल उनकी रंग योजनाओं के कारण। समीकरण की गणना के बाद, कंप्यूटर परिणामों का विश्लेषण करता है। यदि परिणाम स्थिर रहते हैं, या एक निश्चित मूल्य के आसपास उतार-चढ़ाव होते हैं, तो बिंदु आमतौर पर काला हो जाएगा। यदि किसी चरण या किसी अन्य पर मान अनंत की ओर जाता है, तो बिंदु को एक अलग रंग में रंगा जाता है, शायद नीला या लाल। इस प्रक्रिया के दौरान, कंप्यूटर सभी गतियों को रंग निर्दिष्ट करता है।

आमतौर पर, तेज़ गति वाले बिंदुओं को लाल रंग से रंगा जाता है, जबकि धीमी गति वाले बिंदुओं को पीले रंग से रंगा जाता है, इत्यादि। काले बिंदुसंभवतः सबसे अधिक स्थिर हैं.

जटिल फ्रैक्टल नियतिवादी फ्रैक्टल से भिन्न होते हैं क्योंकि वे असीम रूप से जटिल होते हैं, फिर भी एक बहुत ही सरल सूत्र द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। नियतात्मक भग्न को सूत्रों या समीकरणों की आवश्यकता नहीं होती है। बस कुछ ड्राइंग पेपर लें और आप बिना किसी कठिनाई के 3 या 4 पुनरावृत्तियों तक सिएरपिंस्की छलनी का निर्माण कर सकते हैं। इसे ढेर सारी जूलिया के साथ करने का प्रयास करें! इंग्लैंड के समुद्र तट की लंबाई मापना आसान है!

मैंडरब्रॉट सेट

चित्र 2. मैंडेलब्रॉट सेट

मैंडेलब्रॉट और जूलिया सेट संभवतः जटिल फ्रैक्टल्स में दो सबसे आम हैं। वे अनेकों में पाए जा सकते हैं वैज्ञानिक पत्रिकाएँ, पुस्तक कवर, पोस्टकार्ड, और कंप्यूटर स्क्रीन सेवर। मैंडेलब्रॉट सेट, जिसे बेनोइट मैंडेलब्रॉट द्वारा बनाया गया था, संभवतः पहला जुड़ाव है जो लोगों ने फ्रैक्टल शब्द सुनते ही बनाया है। चमकते पेड़ और उससे जुड़े वृत्त क्षेत्रों वाले कार्ड जैसा दिखने वाला यह फ्रैक्टल, सरल सूत्र Zn+1=Zna+C द्वारा उत्पन्न होता है, जहां Z और C जटिल संख्याएं हैं और a एक सकारात्मक संख्या है।

सबसे अधिक देखा जाने वाला मैंडलब्रॉट सेट 2रे डिग्री मैंडेलब्रॉट सेट है, यानी a=2। तथ्य यह है कि मैंडलब्रॉट सेट न केवल Zn+1=ZnІ+C है, बल्कि एक फ्रैक्टल है जिसका सूत्र में घातांक कोई भी सकारात्मक संख्या हो सकता है, जिसने कई लोगों को गुमराह किया है। इस पृष्ठ पर आप घातांक a के विभिन्न मानों के लिए मैंडेलब्रॉट सेट का एक उदाहरण देखते हैं।
चित्र 3. a=3.5 पर बुलबुले का दिखना

प्रक्रिया Z=Z*tg(Z+C) भी लोकप्रिय है। स्पर्शरेखा फ़ंक्शन को शामिल करने के लिए धन्यवाद, मैंडेलब्रॉट सेट प्राप्त होता है, जो एक सेब जैसा क्षेत्र से घिरा होता है। कोसाइन फ़ंक्शन का उपयोग करते समय, वायु बुलबुले प्रभाव प्राप्त होते हैं। संक्षेप में, विभिन्न सुंदर चित्र बनाने के लिए मैंडेलब्रॉट सेट को संशोधित करने के अनगिनत तरीके हैं।

एकाधिक जूलिया

हैरानी की बात यह है कि जूलिया सेट मैंडेलब्रॉट सेट के समान फॉर्मूले के अनुसार बनाए गए हैं। जूलिया सेट का आविष्कार फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया ने किया था, जिनके नाम पर इस सेट का नाम रखा गया था। मैंडेलब्रॉट और जूलिया सेट के साथ एक दृश्य परिचय के बाद पहला सवाल यह उठता है कि "यदि दोनों फ्रैक्टल एक ही सूत्र द्वारा उत्पन्न होते हैं, तो वे इतने भिन्न क्यों हैं?" सबसे पहले देखिए जूलिया सेट की तस्वीरें। अजीब तरह से, जूलिया सेट विभिन्न प्रकार के होते हैं। विभिन्न प्रारंभिक बिंदुओं का उपयोग करके एक फ्रैक्टल बनाते समय (पुनरावृत्ति प्रक्रिया शुरू करने के लिए), विभिन्न छवियाँ. यह केवल जूलिया सेट पर लागू होता है।

चित्र 4. जूलिया सेट

हालाँकि इसे चित्र में नहीं देखा जा सकता है, मैंडलब्रॉट फ्रैक्टल वास्तव में जूलिया फ्रैक्टल का एक समूह है जो एक साथ जुड़ा हुआ है। मैंडेलब्रॉट सेट का प्रत्येक बिंदु (या समन्वय) जूलिया फ्रैक्टल से मेल खाता है। इन बिंदुओं को समीकरण Z=ZI+C में प्रारंभिक मान के रूप में उपयोग करके जूलिया सेट उत्पन्न किया जा सकता है। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि यदि आप मैंडेलब्रॉट फ्रैक्टल पर एक बिंदु चुनते हैं और इसे बढ़ाते हैं, तो आप जूलिया फ्रैक्टल प्राप्त कर सकते हैं। ये दोनों बिंदु समान हैं, लेकिन केवल गणितीय अर्थ में। यदि हम इस बिंदु को लेते हैं और इस सूत्र के अनुसार इसकी गणना करते हैं, तो हम मैंडलब्रॉट फ्रैक्टल के एक निश्चित बिंदु के अनुरूप जूलिया फ्रैक्टल प्राप्त कर सकते हैं।

फ्रैक्टल्स की संपूर्ण विविधता का प्रतिनिधित्व करने के लिए, उनके आम तौर पर स्वीकृत वर्गीकरण का सहारा लेना सुविधाजनक है।

2.1 ज्यामितीय भग्न

इस वर्ग के भग्न सबसे अधिक स्पष्ट होते हैं। द्वि-आयामी मामले में, उन्हें कुछ पॉलीलाइन (या त्रि-आयामी मामले में सतह) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जनक. एल्गोरिथम के एक चरण में, टूटी हुई रेखा बनाने वाले प्रत्येक खंड को उपयुक्त पैमाने में एक टूटी हुई लाइन-जनरेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रक्रिया की अंतहीन पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, एक ज्यामितीय फ्रैक्टल प्राप्त होता है।

चित्र 1. त्रियादिक कोच वक्र का निर्माण।

इन भग्न वस्तुओं में से एक पर विचार करें - त्रियादिक कोच वक्र। वक्र का निर्माण इकाई लंबाई के एक खंड से शुरू होता है (चित्र 1) - यह कोच वक्र की 0वीं पीढ़ी है। इसके अलावा, प्रत्येक लिंक (शून्य पीढ़ी में एक खंड) को बदल दिया जाता है जेनरेट्रिक्स, चित्र 1 में दर्शाया गया है एन=1. इस तरह के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, कोच वक्र की अगली पीढ़ी प्राप्त होती है। पहली पीढ़ी में, यह चार सीधी कड़ियों का एक वक्र है, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई है 1/3 . तीसरी पीढ़ी प्राप्त करने के लिए, समान क्रियाएं की जाती हैं - प्रत्येक लिंक को एक कम गठन तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसलिए, प्रत्येक अगली पीढ़ी को प्राप्त करने के लिए, पिछली पीढ़ी के सभी लिंक को एक कम गठन तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। वक्र एनकिसी भी परिमित के लिए वीं पीढ़ी एनबुलाया प्रीफ्रैक्टल. चित्र 1 वक्र की पाँच पीढ़ियों को दर्शाता है। पर एनअनंत की ओर प्रवृत्त होते हुए, कोच वक्र एक भग्न वस्तु बन जाता है।

चित्र 2. हार्टर-हेटवे के "ड्रैगन" का निर्माण।

एक अन्य भग्न वस्तु प्राप्त करने के लिए, आपको निर्माण नियमों को बदलने की आवश्यकता है। मान लीजिए जेनरेट्रिक्स दो समान खंड हैं जो समकोण पर जुड़े हुए हैं। शून्य पीढ़ी में, हम इकाई खंड को इस उत्पादक तत्व से प्रतिस्थापित करते हैं ताकि कोण शीर्ष पर रहे। हम कह सकते हैं कि इस तरह के प्रतिस्थापन से लिंक के बीच में बदलाव होता है। अगली पीढ़ियों का निर्माण करते समय, नियम पूरा किया जाता है: बाईं ओर के पहले लिंक को एक जनरेटिंग तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है ताकि लिंक के मध्य को आंदोलन की दिशा के बाईं ओर स्थानांतरित किया जा सके, और अगले लिंक को प्रतिस्थापित करते समय, खंडों के मध्य बिंदुओं के विस्थापन की दिशाएँ वैकल्पिक होनी चाहिए। चित्र 2 ऊपर वर्णित सिद्धांत के अनुसार निर्मित वक्र की पहली कुछ पीढ़ियों और 11वीं पीढ़ी को दर्शाता है। सीमित भग्न वक्र (at एनअनन्त की ओर प्रवृत्त होना) कहलाता है हार्टर-हेटवे ड्रैगन .

कंप्यूटर ग्राफिक्स में, पेड़ों, झाड़ियों और समुद्र तट की छवियां प्राप्त करते समय ज्यामितीय फ्रैक्टल्स का उपयोग आवश्यक है। द्वि-आयामी ज्यामितीय फ्रैक्टल्स का उपयोग वॉल्यूमेट्रिक बनावट (किसी वस्तु की सतह पर पैटर्न) बनाने के लिए किया जाता है।

2.2 बीजगणितीय भग्न

यह फ्रैक्टल्स का सबसे बड़ा समूह है। इन्हें गैर-रेखीय प्रक्रियाओं का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है एन-आयामी स्थान. द्वि-आयामी प्रक्रियाओं का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक असतत गतिशील प्रणाली के रूप में एक गैर-रेखीय पुनरावृत्त प्रक्रिया की व्याख्या करते हुए, कोई इन प्रणालियों के सिद्धांत की शब्दावली का उपयोग कर सकता है: चरण चित्र, स्थिर अवस्था, अट्रैक्टरवगैरह।

यह ज्ञात है कि गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों में कई स्थिर अवस्थाएँ होती हैं। एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद गतिशील प्रणाली स्वयं को जिस स्थिति में पाती है, वह उसकी प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर करती है। इसलिए, प्रत्येक स्थिर अवस्था (या, जैसा कि वे कहते हैं, एक आकर्षितकर्ता) में प्रारंभिक अवस्थाओं का एक निश्चित क्षेत्र होता है, जिससे सिस्टम आवश्यक रूप से अंतिम अवस्थाओं में आ जाएगा। इस प्रकार, सिस्टम के चरण स्थान को विभाजित किया गया है आकर्षण के क्षेत्रआकर्षित करने वाले यदि चरण स्थान द्वि-आयामी है, तो आकर्षण क्षेत्रों को विभिन्न रंगों से रंगकर कोई भी प्राप्त कर सकता है रंग चरण चित्रयह प्रणाली (पुनरावृत्तीय प्रक्रिया)। रंग चयन एल्गोरिदम को बदलकर, आप फैंसी बहुरंगा पैटर्न के साथ जटिल फ्रैक्टल पैटर्न प्राप्त कर सकते हैं। गणितज्ञों के लिए एक आश्चर्य की बात थी आदिम एल्गोरिदम का उपयोग करके बहुत जटिल गैर-तुच्छ संरचनाएं उत्पन्न करने की क्षमता।

चित्र 3. मैंडेलब्रॉट सेट।

उदाहरण के तौर पर, मैंडेलब्रॉट सेट पर विचार करें (चित्र 3 और चित्र 4 देखें)। इसके निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म काफी सरल है और एक सरल पुनरावृत्त अभिव्यक्ति पर आधारित है:

जेड = जेड[मैं]* जेड[मैं]+ सी,

कहाँ जेडमे एंड सीजटिल चर हैं. प्रत्येक प्रारंभिक बिंदु के लिए पुनरावृत्तियाँ निष्पादित की जाती हैं सीआयताकार या वर्गाकार क्षेत्र - जटिल तल का एक उपसमुच्चय। पुनरावृत्तीय प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जेड[i] त्रिज्या 2 के वृत्त से आगे नहीं जाएगा, जिसका केंद्र बिंदु (0,0) पर स्थित है, (इसका मतलब है कि गतिशील प्रणाली का आकर्षण अनंत पर है), या पर्याप्त बड़ी संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद (उदाहरण के लिए, 200-500) जेड[i] वृत्त पर किसी बिंदु पर अभिसरित होता है। जिसके दौरान पुनरावृत्तियों की संख्या पर निर्भर करता है जेड[i] वृत्त के अंदर रहकर आप बिंदु का रंग निर्धारित कर सकते हैं सी(अगर जेड[i] पर्याप्त संख्या में पुनरावृत्तियों के लिए सर्कल के अंदर रहता है, पुनरावृत्ति प्रक्रिया बंद हो जाती है और यह रेखापुंज बिंदु काले रंग में रंगा जाता है)।

चित्र 4. मैंडेलब्रॉट सेट की सीमा का भाग, 200 गुना बड़ा।

उपरोक्त एल्गोरिदम तथाकथित मैंडलब्रॉट सेट का एक अनुमान देता है। मैंडेलब्रॉट सेट में ऐसे बिंदु शामिल हैं जिनके दौरान अनंतपुनरावृत्तियों की संख्या अनंत तक नहीं जाती (बिंदु काले हैं)। सेट की सीमा से संबंधित बिंदु (यह वह जगह है जहां जटिल संरचनाएं उत्पन्न होती हैं) पुनरावृत्तियों की एक सीमित संख्या में अनंत तक जाती हैं, और सेट के बाहर स्थित बिंदु कई पुनरावृत्तियों (सफेद पृष्ठभूमि) के बाद अनंत तक जाते हैं।

2.3 स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल

फ्रैक्टल्स का एक अन्य प्रसिद्ध वर्ग स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स है, जो तब प्राप्त होता है जब इसके किसी भी पैरामीटर को पुनरावृत्तीय प्रक्रिया में यादृच्छिक रूप से बदल दिया जाता है। इसके परिणामस्वरूप वस्तुएँ प्राकृतिक वस्तुओं के समान होती हैं - असममित वृक्ष, दांतेदार तटरेखाएँ, आदि। 2डी स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स का उपयोग इलाके और समुद्री सतह मॉडलिंग में किया जाता है।

फ्रैक्टल्स के अन्य वर्गीकरण भी हैं, उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल्स का नियतात्मक (बीजगणितीय और ज्यामितीय) और गैर-नियतात्मक (स्टोकेस्टिक) में विभाजन।

भग्न

फ्रैक्टल (अव्य.) फ्रैक्टस- कुचला हुआ, टूटा हुआ, टूटा हुआ) - एक ज्यामितीय आकृति जिसमें आत्म-समानता का गुण होता है, अर्थात यह कई भागों से बनी होती है, जिनमें से प्रत्येक संपूर्ण आकृति के समान होती है। गणित में, फ्रैक्टल को इस प्रकार समझा जाता है यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बिंदुओं के सेट जिनमें एक आंशिक मीट्रिक आयाम (मिन्कोव्स्की या हॉसडॉर्फ के अर्थ में), या टोपोलॉजिकल के अलावा एक मीट्रिक आयाम होता है। फ्रैक्टस्म फ्रैक्टल्स के अध्ययन और संकलन का एक स्वतंत्र सटीक विज्ञान है।

दूसरे शब्दों में, फ्रैक्टल भिन्नात्मक आयाम वाली ज्यामितीय वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, एक रेखा का आयाम 1 है, एक क्षेत्र 2 है, और एक आयतन 3 है। एक फ्रैक्टल का आयाम मान 1 और 2 के बीच या 2 और 3 के बीच है। उदाहरण के लिए, एक मुड़ी हुई कागज की गेंद का फ्रैक्टल आयाम है लगभग 2.5. गणित में, फ्रैक्टल के आयाम की गणना के लिए एक विशेष जटिल सूत्र है। श्वासनली नलिकाओं के प्रभाव, पेड़ों पर पत्तियां, बांह में नसें, नदी भग्न हैं। सरल शब्दों में, फ्रैक्टल एक ज्यामितीय आकृति है, जिसका एक निश्चित भाग बार-बार दोहराया जाता है, आकार में बदलता रहता है - यह आत्म-समानता का सिद्धांत है। फ्रैक्टल स्वयं के समान होते हैं, वे सभी स्तरों पर (अर्थात्, किसी भी पैमाने पर) स्वयं के समान होते हैं। फ्रैक्टल कई प्रकार के होते हैं। सिद्धांत रूप में, यह तर्क दिया जा सकता है कि वास्तविक दुनिया में मौजूद हर चीज एक भग्न है, चाहे वह बादल हो या ऑक्सीजन अणु।

"अराजकता" शब्द कुछ अप्रत्याशित का संकेत देता है, लेकिन वास्तव में, अराजकता काफी व्यवस्थित होती है और कुछ कानूनों का पालन करती है। अराजकता और भग्न का अध्ययन करने का उद्देश्य उन पैटर्न की भविष्यवाणी करना है, जो पहली नज़र में अप्रत्याशित और पूरी तरह से अराजक लग सकते हैं।

ज्ञान के इस क्षेत्र में अग्रणी फ्रांसीसी-अमेरिकी गणितज्ञ, प्रोफेसर बेनोइट बी. मैंडेलब्रॉट थे। 1960 के दशक के मध्य में, उन्होंने फ्रैक्टल ज्योमेट्री विकसित की, जिसका उद्देश्य टूटी, झुर्रीदार और अस्पष्ट आकृतियों का विश्लेषण करना था। मैंडेलब्रॉट सेट (चित्र में दिखाया गया है) वह पहला जुड़ाव है जो किसी व्यक्ति को तब होता है जब वह "फ्रैक्टल" शब्द सुनता है। वैसे, मैंडेलब्रॉट ने निर्धारित किया कि इंग्लैंड की तटरेखा का भग्न आयाम 1.25 है।

विज्ञान में फ्रैक्टल्स का प्रयोग तेजी से हो रहा है। वे वर्णन करते हैं असली दुनियापारंपरिक भौतिकी या गणित से भी बेहतर। उदाहरण के लिए, ब्राउनियन गति पानी में निलंबित धूल कणों की यादृच्छिक और अराजक गति है। इस प्रकार की गति संभवतः फ्रैक्टल ज्यामिति का सबसे व्यावहारिक पहलू है। रैंडम ब्राउनियन गति में एक आवृत्ति प्रतिक्रिया होती है जिसका उपयोग बड़ी मात्रा में डेटा और आंकड़ों से जुड़ी घटनाओं की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मैंडेलब्रॉट ने ब्राउनियन गति का उपयोग करके ऊन की कीमत में बदलाव की भविष्यवाणी की।

"फ्रैक्टल" शब्द का प्रयोग न केवल गणितीय शब्द के रूप में किया जा सकता है। प्रेस और लोकप्रिय विज्ञान साहित्य में फ्रैक्टल को ऐसे आंकड़े कहा जा सकता है जिनमें निम्नलिखित में से कोई भी गुण हो:

इसकी सभी स्तरों पर एक गैर-तुच्छ संरचना है। यह नियमित आकृतियों (जैसे कि एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, एक सुचारू कार्य का ग्राफ) से अंतर है: यदि हम बहुत बड़े पैमाने पर एक नियमित आकृति के एक छोटे टुकड़े पर विचार करते हैं, तो यह एक सीधी रेखा के टुकड़े जैसा दिखेगा . फ्रैक्टल के लिए, ज़ूम इन करने से संरचना का सरलीकरण नहीं होता है, सभी पैमानों पर हम एक समान रूप से जटिल तस्वीर देखेंगे।

यह स्व-समान या लगभग स्व-समान है।

इसमें एक भिन्नात्मक मीट्रिक आयाम या एक मीट्रिक आयाम है जो टोपोलॉजिकल से बेहतर है।

कंप्यूटिंग में फ्रैक्टल का सबसे उपयोगी उपयोग फ्रैक्टल डेटा संपीड़न है। साथ ही, चित्रों को पारंपरिक तरीकों की तुलना में कहीं बेहतर तरीके से संपीड़ित किया जाता है - 600:1 तक। फ्रैक्टल कम्प्रेशन का एक अन्य लाभ यह है कि जब आप ज़ूम इन करते हैं, तो कोई पिक्सेलेशन प्रभाव नहीं होता है जो तस्वीर को काफी खराब कर देता है। इसके अलावा, आवर्धन के बाद आंशिक रूप से संपीड़ित छवि अक्सर पहले से भी बेहतर दिखती है। कंप्यूटर वैज्ञानिक यह भी जानते हैं कि सरल सूत्रों से अनंत जटिलता और सुंदरता वाले फ्रैक्टल उत्पन्न किए जा सकते हैं। यथार्थवादी परिदृश्य तत्व (बादल, चट्टानें और छाया) बनाने के लिए फिल्म उद्योग फ्रैक्टल ग्राफिक्स तकनीक का व्यापक उपयोग करता है।

प्रवाह में अशांति का अध्ययन फ्रैक्टल के लिए बहुत अच्छी तरह से अनुकूलित होता है। इससे जटिल प्रवाह की गतिशीलता को बेहतर ढंग से समझने में मदद मिलती है। आग की लपटों को फ्रैक्टल का उपयोग करके भी तैयार किया जा सकता है। झरझरा सामग्री को भग्न रूप में अच्छी तरह से दर्शाया जाता है क्योंकि उनकी ज्यामिति बहुत जटिल होती है। दूरी पर डेटा संचारित करने के लिए, फ्रैक्टल-आकार के एंटेना का उपयोग किया जाता है, जो उनके आकार और वजन को बहुत कम कर देता है। फ्रैक्टल्स का उपयोग सतहों की वक्रता का वर्णन करने के लिए किया जाता है। एक असमान सतह की विशेषता दो अलग-अलग भग्नों का संयोजन है।

प्रकृति में कई वस्तुओं में भग्न गुण होते हैं, जैसे तट, बादल, पेड़ के मुकुट, बर्फ के टुकड़े, संचार प्रणाली और मनुष्यों या जानवरों की वायुकोशीय प्रणाली।

फ्रैक्टल्स, विशेष रूप से विमान पर, सुंदरता के संयोजन और कंप्यूटर के साथ निर्माण में आसानी के लिए लोकप्रिय हैं।

असामान्य गुणों वाले स्व-समान सेट के पहले उदाहरण 19वीं शताब्दी में सामने आए (उदाहरण के लिए, बोल्ज़ानो फ़ंक्शन, वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन, कैंटर सेट)। "फ्रैक्टल" शब्द 1975 में बेनोइट मैंडेलब्रॉट द्वारा पेश किया गया था और 1977 में उनकी पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" के विमोचन के साथ इसे व्यापक लोकप्रियता मिली।

बायीं ओर का चित्र एक साधारण उदाहरण के रूप में डेयरर पेंटागन फ्रैक्टल को दर्शाता है, जो एक साथ निचोड़े हुए पेंटागन के एक समूह जैसा दिखता है। वास्तव में, यह एक पंचकोण को सर्जक और समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में उपयोग करके बनाया गया है, जिसमें सबसे बड़ी भुजा और सबसे छोटी भुजा का अनुपात तथाकथित सुनहरे अनुपात (1.618033989 या 1/(2cos72°)) के बिल्कुल बराबर है। जेनरेटर. इन त्रिकोणों को प्रत्येक पंचकोण के मध्य से काटा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक आकार बनता है जो एक बड़े से चिपके हुए 5 छोटे पंचकोणों जैसा दिखता है।

कैओस सिद्धांत कहता है कि जटिल गैर-रेखीय प्रणालियाँ आनुवंशिक रूप से अप्रत्याशित हैं, लेकिन साथ ही यह दावा करता है कि ऐसी अप्रत्याशित प्रणालियों को व्यक्त करने का तरीका सटीक समानता में नहीं, बल्कि सिस्टम के व्यवहार के प्रतिनिधित्व में - अजीब आकर्षित करने वालों के ग्राफ़ में सच साबित होता है। भग्न की तरह देखो. इस प्रकार अराजकता सिद्धांत, जिसे कई लोग अप्रत्याशितता के रूप में मानते हैं, सबसे अस्थिर प्रणालियों में भी पूर्वानुमान का विज्ञान बन जाता है। गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत से पता चलता है कि सरल समीकरण ऐसे अराजक व्यवहार उत्पन्न कर सकते हैं जिसमें सिस्टम कभी भी स्थिर स्थिति में नहीं लौटता है और एक ही समय में कोई नियमितता दिखाई नहीं देती है। अक्सर ऐसी प्रणालियाँ एक प्रमुख पैरामीटर के एक निश्चित मूल्य तक काफी सामान्य रूप से व्यवहार करती हैं, फिर एक संक्रमण का अनुभव करती हैं जिसमें आगे के विकास के लिए दो संभावनाएँ होती हैं, फिर चार, और अंत में संभावनाओं का एक अराजक सेट होता है।

तकनीकी वस्तुओं में होने वाली प्रक्रियाओं की योजनाओं में स्पष्ट रूप से परिभाषित भग्न संरचना होती है। न्यूनतम तकनीकी प्रणाली (टीएस) की संरचना का तात्पर्य टीएस के भीतर दो प्रकार की प्रक्रियाओं के प्रवाह से है - मुख्य और सहायक, और यह विभाजन सशर्त और सापेक्ष है। सहायक प्रक्रियाओं के संबंध में कोई भी प्रक्रिया मुख्य हो सकती है, और "उनकी" सहायक प्रक्रियाओं के संबंध में किसी भी सहायक प्रक्रिया को मुख्य माना जा सकता है। आरेख में वृत्त उन भौतिक प्रभावों को दर्शाते हैं जो उन प्रक्रियाओं के प्रवाह को सुनिश्चित करते हैं, जिनके लिए विशेष रूप से "स्वयं" टीएस बनाना आवश्यक नहीं है। ये प्रक्रियाएँ पदार्थों, क्षेत्रों, पदार्थों और क्षेत्रों के बीच परस्पर क्रिया का परिणाम हैं। सटीक रूप से कहें तो, भौतिक प्रभाव एक वाहन है, जिसके सिद्धांत को हम प्रभावित नहीं कर सकते हैं, और हम इसकी संरचना में हस्तक्षेप करने का कोई अवसर नहीं चाहते हैं या हमारे पास कोई अवसर नहीं है।

आरेख में दिखाई गई मुख्य प्रक्रिया का प्रवाह तीन सहायक प्रक्रियाओं के अस्तित्व से सुनिश्चित होता है जो टीएस के लिए मुख्य हैं जो उन्हें उत्पन्न करते हैं। निष्पक्षता के लिए, हम ध्यान दें कि न्यूनतम टीएस के कामकाज के लिए भी तीन प्रक्रियाएं स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं हैं, यानी। यह योजना बहुत अतिरंजित है।

सब कुछ उतना सरल नहीं है जितना चित्र में दिखाया गया है। उपयोगी ( एक व्यक्ति के लिए आवश्यक) प्रक्रिया 100% दक्षता के साथ निष्पादित नहीं की जा सकती। नष्ट हुई ऊर्जा हानिकारक प्रक्रियाओं - तापन, कंपन आदि के निर्माण पर खर्च की जाती है। परिणामस्वरूप, लाभकारी प्रक्रिया के समानांतर, हानिकारक प्रक्रियाएँ उत्पन्न होती हैं। किसी "खराब" प्रक्रिया को "अच्छी" प्रक्रिया से बदलना हमेशा संभव नहीं होता है, इसलिए सिस्टम के लिए हानिकारक परिणामों की भरपाई के लिए नई प्रक्रियाओं को व्यवस्थित करना होगा। एक विशिष्ट उदाहरण घर्षण से निपटने की आवश्यकता है, जो किसी को सरल स्नेहन योजनाओं को व्यवस्थित करने, महंगी घर्षण-विरोधी सामग्री का उपयोग करने, या घटकों और भागों को चिकनाई करने या समय-समय पर उन्हें बदलने में समय बिताने के लिए मजबूर करता है।

परिवर्तनशील पर्यावरण के अपरिहार्य प्रभाव के अस्तित्व के संबंध में, एक उपयोगी प्रक्रिया को नियंत्रित करने की आवश्यकता हो सकती है। प्रबंधन स्वचालित उपकरणों की सहायता से और सीधे किसी व्यक्ति द्वारा किया जा सकता है। प्रक्रिया आरेख वास्तव में विशेष आदेशों का एक सेट है, अर्थात। कलन विधि। प्रत्येक कमांड का सार (विवरण) एक उपयोगी प्रक्रिया, उसके साथ आने वाली हानिकारक प्रक्रियाओं और आवश्यक नियंत्रण प्रक्रियाओं के एक सेट का संयोजन है। ऐसे एल्गोरिदम में, सहायक प्रक्रियाओं का सेट एक सामान्य सबरूटीन है - और यहां हमें एक फ्रैक्टल भी मिलता है। आर. कोल्लर की विधि, जो एक चौथाई सदी पहले बनाई गई थी, केवल 12 जोड़े कार्यों (प्रक्रियाओं) के काफी सीमित सेट के साथ सिस्टम बनाना संभव बनाती है।

गणित में असामान्य गुणों वाले स्व-समान सेट

इसके साथ शुरुआत देर से XIXसदी, गणित में शास्त्रीय विश्लेषण के दृष्टिकोण से पैथोलॉजिकल गुणों वाली स्व-समान वस्तुओं के उदाहरण हैं। इनमें निम्नलिखित शामिल हैं:

कैंटर सेट कहीं भी सघन, बेशुमार परफेक्ट सेट नहीं है। प्रक्रिया को संशोधित करके, कोई भी सकारात्मक लंबाई का कहीं भी सघन सेट प्राप्त नहीं कर सकता है।

सीरपिंस्की त्रिकोण ("मेज़पोश") और सीरपिंस्की कालीन विमान पर स्थापित कैंटर के अनुरूप हैं।

मेन्जर का स्पंज - त्रि-आयामी अंतरिक्ष में स्थापित कैंटर का एक एनालॉग;

वेइरस्ट्रैस और वैन डेर वेर्डन द्वारा कहीं भी भिन्न न किए जा सकने वाले सतत फलन के उदाहरण।

कोच वक्र - अनंत लंबाई का एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदी निरंतर वक्र जिसमें किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा नहीं होती है;

पीनो वक्र एक वर्ग के सभी बिंदुओं से होकर गुजरने वाला एक सतत वक्र है।

ब्राउनियन कण का प्रक्षेपवक्र भी संभाव्यता 1 से कहीं भिन्न नहीं है। इसका हॉसडॉर्फ आयाम दो है

फ्रैक्टल वक्र प्राप्त करने के लिए पुनरावर्ती प्रक्रिया

कोच वक्र का निर्माण

किसी समतल में भग्न वक्र प्राप्त करने के लिए एक सरल पुनरावर्ती प्रक्रिया है। हम एक सीमित संख्या में लिंक के साथ एक मनमानी टूटी हुई रेखा को परिभाषित करते हैं, जिसे जनरेटर कहा जाता है। इसके बाद, हम इसमें प्रत्येक खंड को एक जनरेटर (अधिक सटीक रूप से, जनरेटर के समान एक टूटी हुई रेखा) से बदल देते हैं। परिणामी टूटी हुई लाइन में, हम फिर से प्रत्येक खंड को जनरेटर से बदल देते हैं। अनंत तक चलते रहने पर सीमा में हमें एक भग्न वक्र प्राप्त होता है। दाईं ओर का चित्र कोच वक्र के लिए इस प्रक्रिया के पहले चार चरणों को दर्शाता है।

ऐसे वक्रों के उदाहरण हैं:

ड्रैगन वक्र,

कोच वक्र (कोच स्नोफ्लेक),

लेवी वक्र,

मिन्कोव्स्की वक्र,

हिल्बर्ट वक्र,

टूटा हुआ (वक्र) ड्रैगन (हार्टर-हेटवे फ्रैक्टल),

पीनो वक्र.

एक समान प्रक्रिया का उपयोग करके, एक पायथागॉरियन पेड़ प्राप्त किया जाता है।

संकुचन मानचित्रण के निश्चित बिंदुओं के रूप में भग्न

स्व-समानता संपत्ति को गणितीय रूप से कठोरता से निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है। आइए विमान के संकुचन मानचित्र बनें। समतल के सभी सघन (बंद और परिबद्ध) उपसमुच्चय के सेट पर निम्नलिखित मानचित्रण पर विचार करें:

यह दिखाया जा सकता है कि मैपिंग हॉसडॉर्फ मीट्रिक के साथ कॉम्पैक्ट सेट के सेट पर एक संकुचन मैपिंग है। इसलिए, बानाच के प्रमेय के अनुसार, इस मानचित्रण का एक अद्वितीय निश्चित बिंदु है। यह निश्चित बिंदु हमारा फ्रैक्टल होगा।

ऊपर वर्णित फ्रैक्टल वक्र प्राप्त करने की पुनरावर्ती प्रक्रिया इस निर्माण का एक विशेष मामला है। इसमें, सभी मैपिंग समानता मैपिंग हैं, और जनरेटर लिंक की संख्या है।

सिएरपिंस्की त्रिकोण और मानचित्रण के लिए, एक नियमित त्रिकोण के शीर्ष पर केंद्र और गुणांक 1/2 के साथ समरूपताएं हैं। यह देखना आसान है कि मैपिंग के तहत सिएरपिंस्की त्रिकोण स्वयं में बदल जाता है।

ऐसे मामले में जब मैपिंग गुणांक के साथ समानता परिवर्तन होते हैं, तो फ्रैक्टल के आयाम (कुछ अतिरिक्त तकनीकी स्थितियों के तहत) की गणना समीकरण के समाधान के रूप में की जा सकती है। तो, सीरपिंस्की त्रिकोण के लिए हमें मिलता है .

उसी बानाच प्रमेय के अनुसार, किसी भी कॉम्पैक्ट सेट से शुरू करके और उस पर मानचित्र के पुनरावृत्तियों को लागू करके, हम अपने फ्रैक्टल में अभिसरण (हॉसडॉर्फ मीट्रिक के अर्थ में) कॉम्पैक्ट सेट का एक अनुक्रम प्राप्त करते हैं।

जटिल गतिशीलता में भग्न

जूलिया सेट

जूलिया का एक और सेट

अरेखीय गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। सबसे अधिक अध्ययन किया जाने वाला मामला तब होता है जब गतिशील प्रणाली को विमान पर एक जटिल चर के बहुपद या होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के पुनरावृत्तियों द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस क्षेत्र में पहला अध्ययन 20वीं शताब्दी की शुरुआत में हुआ और फतौ और जूलिया के नामों से जुड़ा हुआ है।

होने देना एफ(जेड) - बहुपद, जेड 0 एक सम्मिश्र संख्या है. निम्नलिखित क्रम पर विचार करें: जेड 0 , जेड 1 =एफ(जेड 0), जेड 2 =एफ(एफ(जेड 0)) = एफ(जेड 1),जेड 3 =एफ(एफ(एफ(जेड 0)))=एफ(जेड 2), …

हम इस क्रम के व्यवहार में रुचि रखते हैं जैसा कि हम करते हैं एनअनंत की ओर। यह क्रम हो सकता है:

अनंत के लिए प्रयास करें

परम के लिए प्रयास करें

उदाहरण के लिए, सीमा में चक्रीय व्यवहार प्रदर्शित करें: जेड 1 , जेड 2 , जेड 3 , जेड 1 , जेड 2 , जेड 3 , …

अव्यवस्थित ढंग से व्यवहार करना, अर्थात् उल्लिखित तीन प्रकार के व्यवहारों में से किसी का भी प्रदर्शन न करना।

मूल्यों का समूह जेड 0, जिसके लिए अनुक्रम एक विशिष्ट प्रकार का व्यवहार प्रदर्शित करता है, साथ ही विभिन्न प्रकारों के बीच द्विभाजन बिंदुओं के सेट में अक्सर भग्न गुण होते हैं।

इस प्रकार, जूलिया सेट बहुपद के लिए द्विभाजन बिंदुओं का सेट है एफ(जेड)=जेड 2 +सी(या अन्य समान फ़ंक्शन), यानी, वे मान जेड 0 , जिसके लिए अनुक्रम का व्यवहार ( जेड एन) मनमाने ढंग से छोटे बदलावों के साथ नाटकीय रूप से बदल सकता है जेड 0 .

फ्रैक्टल सेट प्राप्त करने का एक अन्य विकल्प बहुपद में एक पैरामीटर पेश करना है एफ(जेड) और उन पैरामीटर मानों के सेट पर विचार करना जिसके लिए अनुक्रम ( जेड एन) एक निश्चित के लिए एक निश्चित व्यवहार प्रदर्शित करता है जेड 0 . इस प्रकार, मैंडेलब्रॉट सेट उन सभी का सेट है जिनके लिए ( जेड एन) के लिए एफ(जेड)=जेड 2 +सीऔर जेड 0 अनंत तक नहीं जाता.

एक और प्रसिद्ध उदाहरणइस प्रकार के न्यूटन के पूल हैं।

संबंधित गतिशील प्रणालियों के व्यवहार के आधार पर समतल बिंदुओं को रंगकर जटिल गतिशीलता पर आधारित सुंदर ग्राफिक छवियां बनाना लोकप्रिय है। उदाहरण के लिए, मैंडेलब्रॉट सेट को पूरक करने के लिए, आप प्रयास की गति के आधार पर बिंदुओं को रंग सकते हैं ( जेड एन) अनंत तक (परिभाषित, मान लीजिए, सबसे छोटी संख्या के रूप में)। एन, कहाँ | जेड एन| एक निश्चित बड़े मूल्य से अधिक है ए.

बायोमॉर्फ़ जटिल गतिशीलता के आधार पर निर्मित और जीवित जीवों से मिलते-जुलते फ्रैक्टल हैं।

स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स

जूलिया सेट पर आधारित यादृच्छिक फ्रैक्टल

प्राकृतिक वस्तुओं का आकार अक्सर भग्न होता है। उनके मॉडलिंग के लिए, स्टोकेस्टिक (यादृच्छिक) फ्रैक्टल का उपयोग किया जा सकता है। स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल के उदाहरण:

समतल और अंतरिक्ष में ब्राउनियन गति का प्रक्षेप पथ;

समतल पर ब्राउनियन गति के प्रक्षेप पथ की सीमा। 2001 में, लॉलर, श्राम और वर्नर ने मैंडेलब्रॉट के अनुमान को साबित किया कि इसका आयाम 4/3 है।

श्राम-लॉनर विकास अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय फ्रैक्टल वक्र हैं जो सांख्यिकीय यांत्रिकी के महत्वपूर्ण दो-आयामी मॉडल में उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए, आइसिंग मॉडल और परकोलेशन में।

विभिन्न प्रकार के यादृच्छिक फ्रैक्टल, अर्थात्, पुनरावर्ती प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त किए गए फ्रैक्टल, जिसमें प्रत्येक चरण पर एक यादृच्छिक पैरामीटर पेश किया जाता है। प्लाज़्मा कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में ऐसे फ्रैक्टल के उपयोग का एक उदाहरण है।

प्रकृति में

श्वासनली और ब्रांकाई का सामने का दृश्य

ब्रोन्कियल पेड़

रक्त वाहिकाओं का नेटवर्क

आवेदन

प्राकृतिक विज्ञान

भौतिकी में, फ्रैक्टल स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होते हैं जब गैर-रेखीय प्रक्रियाओं, जैसे कि अशांत द्रव प्रवाह, जटिल प्रसार-सोखने की प्रक्रिया, लपटें, बादल आदि को मॉडलिंग करते हैं। फ्रैक्टल का उपयोग छिद्रपूर्ण सामग्री को मॉडलिंग करते समय किया जाता है, उदाहरण के लिए, पेट्रोकेमिस्ट्री में। जीव विज्ञान में, उनका उपयोग आबादी को मॉडल करने और आंतरिक अंगों (रक्त वाहिकाओं की प्रणाली) की प्रणालियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

रेडियो इंजीनियरिंग

फ्रैक्टल एंटेना

एंटीना उपकरणों के डिजाइन में फ्रैक्टल ज्योमेट्री का उपयोग सबसे पहले अमेरिकी इंजीनियर नाथन कोहेन द्वारा किया गया था, जो उस समय बोस्टन शहर में रहते थे, जहां इमारतों पर बाहरी एंटेना स्थापित करना प्रतिबंधित था। नाथन ने एल्यूमीनियम फ़ॉइल से कोच वक्र के रूप में एक आकृति काट ली और इसे कागज की शीट पर चिपका दिया, फिर इसे रिसीवर से जोड़ दिया। कोहेन ने अपनी खुद की कंपनी की स्थापना की और उनका धारावाहिक उत्पादन शुरू किया।

कंप्यूटर विज्ञान

छवि संपीड़न

मुख्य लेख: फ्रैक्टल संपीड़न एल्गोरिदम

भग्न वृक्ष

फ्रैक्टल्स का उपयोग करके छवि संपीड़न एल्गोरिदम हैं। वे इस विचार पर आधारित हैं कि छवि के बजाय, आप एक संकुचन मानचित्र संग्रहीत कर सकते हैं जिसके लिए यह छवि (या इसके करीब कुछ) एक निश्चित बिंदु है। इस एल्गोरिदम के वेरिएंट में से एक का उपयोग किया गया था [ स्रोत अनिर्दिष्ट 895 दिन] माइक्रोसॉफ्ट द्वारा अपना विश्वकोश प्रकाशित करते समय, लेकिन इन एल्गोरिदम का व्यापक रूप से उपयोग नहीं किया गया था।

कंप्यूटर चित्रलेख

एक और भग्न वृक्ष

पेड़ों, झाड़ियों, पहाड़ी परिदृश्यों, समुद्री सतहों आदि जैसी प्राकृतिक वस्तुओं की छवियां बनाने के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल्स का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। फ्रैक्टल छवियाँ उत्पन्न करने के लिए कई प्रोग्रामों का उपयोग किया जाता है, फ्रैक्टल जेनरेटर (प्रोग्राम) देखें।

विकेन्द्रीकृत नेटवर्क

नेत्सुकुकु का आईपी एड्रेस असाइनमेंट सिस्टम नेटवर्क नोड्स के बारे में जानकारी को कॉम्पैक्ट रूप से संग्रहीत करने के लिए फ्रैक्टल सूचना संपीड़न के सिद्धांत का उपयोग करता है। नेत्सुकुकु नेटवर्क पर प्रत्येक नोड पड़ोसी नोड्स की स्थिति के बारे में केवल 4 केबी जानकारी संग्रहीत करता है, जबकि कोई भी नया नोड आईपी पते के वितरण के केंद्रीय विनियमन की आवश्यकता के बिना सामान्य नेटवर्क से जुड़ता है, जो, उदाहरण के लिए, के लिए विशिष्ट है। इंटरनेट। इस प्रकार, फ्रैक्टल सूचना संपीड़न का सिद्धांत पूरी तरह से विकेंद्रीकृत, और इसलिए, पूरे नेटवर्क के सबसे स्थिर संचालन की गारंटी देता है।

फ्रैक्टल्स लगभग एक शताब्दी से ज्ञात हैं, अच्छी तरह से अध्ययन किए गए हैं और जीवन में इसके कई अनुप्रयोग हैं। यह घटना एक बहुत ही सरल विचार पर आधारित है: केवल दो ऑपरेशनों - प्रतिलिपि और स्केलिंग का उपयोग करके अपेक्षाकृत सरल संरचनाओं से सुंदरता और विविधता में अनंत संख्या में आंकड़े प्राप्त किए जा सकते हैं।

इस अवधारणा की कोई सख्त परिभाषा नहीं है। इसलिए, "फ्रैक्टल" शब्द गणितीय शब्द नहीं है। इसे आमतौर पर कहा जाता है ज्यामितीय आकृति, जो निम्नलिखित गुणों में से एक या अधिक को संतुष्ट करता है:

किसी भी आवर्धन पर एक जटिल संरचना होती है;
(लगभग) स्व-समान है;
एक भिन्नात्मक हॉसडॉर्फ (फ्रैक्टल) आयाम है, जो टोपोलॉजिकल आयाम से बड़ा है;
पुनरावर्ती प्रक्रियाओं द्वारा बनाया जा सकता है।

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर, फ्रैक्टल्स का अध्ययन व्यवस्थित की तुलना में अधिक एपिसोडिक था, क्योंकि पहले के गणितज्ञ मुख्य रूप से "अच्छी" वस्तुओं का अध्ययन करते थे जिनका उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता था। सामान्य तरीकेऔर सिद्धांत. 1872 में, जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रैस ने एक सतत फलन का एक उदाहरण बनाया जो कहीं भी भिन्न नहीं है। हालाँकि, इसका निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में कठिन था। इसलिए, 1904 में, स्वेड हेल्गे वॉन कोच एक सतत वक्र के साथ आए, जिसमें कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं है, और इसे खींचना काफी सरल है। पता चला कि इसमें फ्रैक्टल के गुण हैं। इस वक्र के एक रूप को कोच स्नोफ्लेक कहा जाता है।

आकृतियों की आत्म-समानता के विचारों को बेनोइट मैंडेलब्रॉट के भावी गुरु, फ्रांसीसी पॉल पियरे लेवी ने अपनाया था। 1938 में, उनका लेख "समतल और स्थानिक वक्र और संपूर्ण के समान भागों से युक्त सतह" प्रकाशित हुआ था, जिसमें एक और भग्न का वर्णन किया गया है - लेवी सी-वक्र। उपरोक्त सभी फ्रैक्टल्स को सशर्त रूप से रचनात्मक (ज्यामितीय) फ्रैक्टल्स के एक वर्ग के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

एक अन्य वर्ग गतिशील (बीजगणितीय) फ्रैक्टल है, जिसमें मैंडेलब्रॉट सेट शामिल है। इस दिशा में पहला अध्ययन 20वीं शताब्दी की शुरुआत में हुआ और फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया और पियरे फतौ के नाम से जुड़ा हुआ है। 1918 में, जूलिया के काम के लगभग दो सौ पृष्ठ प्रकाशित हुए थे, जो जटिल तर्कसंगत कार्यों के पुनरावृत्तियों के लिए समर्पित थे, जिसमें जूलिया सेट का वर्णन किया गया है - मैंडेलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित फ्रैक्टल्स का एक पूरा परिवार। इस कार्य को फ्रांसीसी अकादमी के पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, लेकिन इसमें एक भी चित्रण नहीं था, इसलिए खोजी गई वस्तुओं की सुंदरता की सराहना करना असंभव था। इस तथ्य के बावजूद कि इस काम ने जूलिया को उस समय के गणितज्ञों के बीच प्रसिद्ध बना दिया, इसे जल्दी ही भुला दिया गया।

केवल आधी सदी बाद, कंप्यूटर के आगमन के साथ, ध्यान जूलिया और फतौ के काम की ओर गया: यह वे थे जिन्होंने फ्रैक्टल की दुनिया की समृद्धि और सुंदरता को दृश्यमान बनाया। आख़िरकार, फ़तौ उन छवियों को कभी नहीं देख सका जिन्हें अब हम मैंडलब्रॉट सेट की छवियों के रूप में जानते हैं, क्योंकि आवश्यक संख्या में गणना मैन्युअल रूप से नहीं की जा सकती है। इसके लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति बेनोइट मैंडेलब्रॉट थे।

1982 में मैंडेलब्रॉट की पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" प्रकाशित हुई, जिसमें लेखक ने उस समय उपलब्ध फ्रैक्टल के बारे में लगभग सभी जानकारी एकत्र और व्यवस्थित की और इसे आसान और सुलभ तरीके से प्रस्तुत किया। मैंडेलब्रॉट ने अपनी प्रस्तुति में मुख्य जोर भारी सूत्रों और गणितीय निर्माणों पर नहीं, बल्कि पाठकों के ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर दिया। कंप्यूटर से तैयार चित्रों और ऐतिहासिक कहानियों के लिए धन्यवाद, जिसके साथ लेखक ने मोनोग्राफ के वैज्ञानिक घटक को कुशलता से पतला कर दिया, पुस्तक बेस्टसेलर बन गई, और फ्रैक्टल्स आम जनता के लिए ज्ञात हो गए। गैर-गणितज्ञों के बीच उनकी सफलता काफी हद तक इस तथ्य के कारण है कि बहुत ही सरल निर्माणों और सूत्रों की मदद से, जिन्हें एक हाई स्कूल का छात्र भी समझ सकता है, अद्भुत जटिलता और सुंदरता की छवियां प्राप्त की जाती हैं। जब पर्सनल कंप्यूटर काफी शक्तिशाली हो गए, तो कला में एक पूरी प्रवृत्ति सामने आई - फ्रैक्टल पेंटिंग, और लगभग कोई भी कंप्यूटर मालिक इसे कर सकता था। अब इंटरनेट पर आप इस विषय पर समर्पित कई साइटें आसानी से पा सकते हैं।

एनएनएन के संपादकों की नजर गलती से एक बहुत पर पड़ गई दिलचस्प सामान, सिद्धांत के तत्वों को समर्पित उपयोगकर्ता xtsarx के ब्लॉग में प्रस्तुत किया गया है भग्नऔर इसका व्यावहारिक अनुप्रयोग. जैसा कि ज्ञात है, फ्रैक्टल्स का सिद्धांत नैनोसिस्टम के भौतिकी और रसायन विज्ञान में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इस ठोस सामग्री में अपना योगदान देने के बाद, पाठकों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए सुलभ भाषा में प्रस्तुत किया गया है और प्रचुर मात्रा में ग्राफिक और यहां तक कि वीडियो सामग्री द्वारा समर्थित है, हम इसे आपके ध्यान में प्रस्तुत करते हैं। हमें उम्मीद है कि एनएनएन पाठकों को यह सामग्री दिलचस्प लगेगी।

प्रकृति इतनी रहस्यमय है कि जितना अधिक आप इसका अध्ययन करते हैं, उतने ही अधिक प्रश्न उठते हैं... रात की बिजली - शाखाओं वाले निर्वहन की नीली "धाराएं", खिड़की पर ठंढे पैटर्न, बर्फ के टुकड़े, पहाड़, बादल, पेड़ की छाल - यह सब सामान्य से परे है यूक्लिडियन ज्यामिति. हम पत्थर या द्वीप की सीमाओं का वर्णन रेखाओं, वृत्तों और त्रिकोणों से नहीं कर सकते। और यहां हम बचाव के लिए आते हैं भग्न. ये परिचित अजनबी क्या हैं?

“एक माइक्रोस्कोप के तहत, उन्होंने इसे एक पिस्सू पर खोजा
काटने वाला पिस्सू पिस्सू पर रहता है;
उस पिस्सू पर एक छोटा सा पिस्सू है,
गुस्से में पिस्सू में दांत गड़ा देता है
पिस्सू, और इसी प्रकार अनंत काल तक। डी. स्विफ्ट.

इतिहास का हिस्सा

पहले विचार भग्न ज्यामिति 19वीं शताब्दी में उत्पन्न हुआ। कांटोर ने एक सरल पुनरावर्ती (दोहराई जाने वाली) प्रक्रिया का उपयोग करके, रेखा को असंबद्ध बिंदुओं (तथाकथित कैंटर डस्ट) के एक सेट में बदल दिया। उन्होंने रेखा ली और केंद्रीय तीसरे को हटा दिया और फिर शेष खंडों के साथ भी यही दोहराया।

चावल। 1. पीनो वक्र 1.2-5 पुनरावृत्तियाँ।

पीनो चित्रित विशेष प्रकारपंक्तियाँ. पीनो ने निम्नलिखित कार्य किया: पहले चरण में, उन्होंने एक सीधी रेखा ली और इसे मूल रेखा की लंबाई से 3 गुना छोटे 9 खंडों से बदल दिया। फिर उसने परिणामी पंक्ति के प्रत्येक खंड के साथ ऐसा ही किया। और इसी तरह अनंत काल तक। इसकी विशिष्टता इस तथ्य में निहित है कि यह पूरे विमान को भर देती है। यह सिद्ध है कि समतल के प्रत्येक बिंदु के लिए पीनो रेखा से संबंधित एक बिंदु पाया जा सकता है। पीनो का वक्र और कैंटर की धूल सामान्य ज्यामितीय वस्तुओं से आगे निकल गई। उनका आकार स्पष्ट नहीं था.. कैंटर की धूल का निर्माण प्रतीत होता है कि एक आयामी सीधी रेखा के आधार पर किया गया था, लेकिन इसमें बिंदु (आयाम 0) शामिल थे। और पीनो वक्र एक आयामी रेखा के आधार पर बनाया गया था, और परिणाम एक समतल था। विज्ञान के कई अन्य क्षेत्रों में, समस्याएँ सामने आईं जिनके कारण अजीब परिणाम सामने आए, जैसे कि ऊपर वर्णित (ब्राउनियन गति, स्टॉक की कीमतें)। हममें से प्रत्येक यह प्रक्रिया कर सकता है...

फ्रैक्टल्स के पिता

20वीं सदी तक, ऐसी अजीब वस्तुओं पर डेटा का संचय किया जाता था, उन्हें व्यवस्थित करने के किसी भी प्रयास के बिना। तो यह तब तक था जब तक उन्होंने नहीं लिया बेनोइट मैंडेलब्रोट – आधुनिक फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक और फ्रैक्टल शब्द.

चावल। 2. बेनोइट मैंडेलब्रॉट।

आईबीएम में गणितीय विश्लेषक के रूप में काम करते हुए, उन्होंने इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में शोर का अध्ययन किया जिसे आंकड़ों का उपयोग करके वर्णित नहीं किया जा सकता है। धीरे-धीरे तथ्यों की तुलना करते हुए उन्हें गणित में एक नई दिशा की खोज हुई - भग्न ज्यामिति.

"फ्रैक्टल" शब्द 1975 में बी. मैंडेलब्रॉट द्वारा पेश किया गया था। मैंडेलब्रॉट के अनुसार, भग्न(लैटिन "फ्रैक्टस" से - भिन्नात्मक, टूटा हुआ, टूटा हुआ) कहा जाता है समग्र रूप से भागों से बनी एक संरचना. स्व-समानता का गुण फ्रैक्टल को शास्त्रीय ज्यामिति की वस्तुओं से स्पष्ट रूप से अलग करता है। अवधि सेल्फ़-सिमिलैरिटीसाधन वस्तु के सबसे छोटे पैमाने पर और स्थूल पैमाने पर, एक बारीक, दोहराई जाने वाली संरचना की उपस्थिति.

चावल। 3. "फ्रैक्टल" की अवधारणा की परिभाषा के लिए।

स्व-समानता के उदाहरण हैं: कोच, लेवी, मिन्कोव्स्की वक्र, सीरपिंस्की त्रिकोण, मेन्जर स्पंज, पायथागॉरियन पेड़, आदि।

गणितीय दृष्टिकोण से, भग्नहै, सबसे पहले, भिन्नात्मक (मध्यवर्ती, "पूर्णांक नहीं") आयाम के साथ सेट करें. जबकि एक चिकनी यूक्लिडियन रेखा बिल्कुल एक-आयामी स्थान भरती है, एक फ्रैक्टल वक्र एक-आयामी स्थान से परे चला जाता है, सीमाओं से परे दो-आयामी अंतरिक्ष में घुसपैठ करता है। इस प्रकार, कोच वक्र का फ्रैक्टल आयाम 1 और 2 के बीच होगा। यह, सबसे पहले, इसका मतलब है कि एक भग्न वस्तु अपनी लंबाई को सटीक रूप से नहीं माप सकती है! इन ज्यामितीय भग्नों में से पहला बहुत ही रोचक और काफी प्रसिद्ध है - कोच हिमपात का टुकड़ा.

चावल। 4. "फ्रैक्टल" की अवधारणा की परिभाषा के लिए।

के आधार पर बनाया गया है समान भुजाओं वाला त्रिकोण. जिनमें से प्रत्येक पंक्ति को मूल लंबाई के 1/3 प्रत्येक 4 पंक्तियों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रकार, प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ, वक्र की लंबाई एक तिहाई बढ़ जाती है। और यदि हम अनंत संख्या में पुनरावृत्ति करते हैं, तो हमें एक फ्रैक्टल मिलता है - अनंत लंबाई का एक कोच स्नोफ्लेक। इससे पता चलता है कि हमारा अनंत वक्र एक सीमित क्षेत्र को कवर करता है। यूक्लिडियन ज्यामिति की विधियों और आकृतियों के साथ भी ऐसा ही करने का प्रयास करें।
कोच स्नोफ्लेक का आयाम(जब एक बर्फ का टुकड़ा 3 गुना बढ़ जाता है, तो इसकी लंबाई 4 गुना बढ़ जाती है) D=log(4)/log(3)=1.2619।

फ्रैक्टल के बारे में

फ्रैक्टल्स का विज्ञान और प्रौद्योगिकी में अधिक से अधिक अनुप्रयोग हो रहा है। इसका मुख्य कारण यह है कि वे वास्तविक दुनिया का वर्णन कभी-कभी पारंपरिक भौतिकी या गणित से भी बेहतर करते हैं। आप प्रकृति में भग्न वस्तुओं के अनगिनत उदाहरण दे सकते हैं - ये हैं बादल, और बर्फ के टुकड़े, और पहाड़, और बिजली की चमक, और अंत में, फूलगोभी। एक प्राकृतिक वस्तु के रूप में फ्रैक्टल एक शाश्वत निरंतर गति, एक नया गठन और विकास है।

चावल। 5. अर्थशास्त्र में भग्न.

अलावा, फ्रैक्टल्स का अनुप्रयोग विकेंद्रीकृत कंप्यूटर नेटवर्क में होता है और "फ्रैक्टल एंटेना" . विभिन्न स्टोकेस्टिक (गैर-नियतात्मक) "यादृच्छिक" प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए तथाकथित "ब्राउनियन फ्रैक्टल्स" बहुत दिलचस्प और आशाजनक हैं। नैनोटेक्नोलॉजी के मामले में, फ्रैक्टल भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। , चूंकि, उनके पदानुक्रमित स्व-संगठन के कारण, कई नैनोसिस्टम्स में एक गैर-पूर्णांक आयाम होता है, अर्थात्, वे अपनी ज्यामितीय, भौतिक-रासायनिक या कार्यात्मक प्रकृति में भग्न हैं। उदाहरण के लिए, रासायनिक फ्रैक्टल सिस्टम का एक उल्लेखनीय उदाहरण "डेंड्रिमर्स" के अणु हैं . इसके अलावा, भग्नता का सिद्धांत (स्वयं-समान, स्केलिंग संरचना) सिस्टम की पदानुक्रमित संरचना का प्रतिबिंब है और इसलिए, नैनोसिस्टम की संरचना और गुणों का वर्णन करने के लिए मानक दृष्टिकोण से अधिक सामान्य और सार्वभौमिक है।

चावल। 6. "डेंड्रिमर्स" के अणु।