लघुगणक एक सरल व्याख्या है। लॉग सूत्र

एक लघुगणक क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

एक लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेष रूप से - लघुगणक के साथ समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! विश्वास नहीं होता? अच्छा। अब, कुछ 10 - 20 मिनट के लिए आप:

1. समझें एक लघुगणक क्या है.

2. पूरी कक्षा को हल करना सीखें घातीय समीकरण. भले ही आपने उनके बारे में नहीं सुना हो।

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणा तालिका जानने की आवश्यकता होगी, और कैसे एक संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है ...

मुझे लगता है कि आपको संदेह है ... अच्छा, समय रखो! जाना!

सबसे पहले, निम्नलिखित समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

अनुदेश

दिए गए लघुगणकीय व्यंजक को लिखिए। यदि अभिव्यक्ति 10 के लघुगणक का उपयोग करती है, तो इसका अंकन छोटा हो जाता है और इस तरह दिखता है: lg b दशमलव लघुगणक है। यदि लघुगणक में आधार के रूप में संख्या ई है, तो अभिव्यक्ति लिखी गई है: ln b प्राकृतिक लघुगणक है। यह समझा जाता है कि किसी का परिणाम वह घात है जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को ऊपर उठाना चाहिए।

दो कार्यों का योग खोजते समय, आपको बस उन्हें एक-एक करके अलग करना होगा, और परिणाम जोड़ना होगा: (u+v)" = u"+v";

दो कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न को खोजने के दौरान, पहले फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दूसरे से गुणा करना और दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को पहले फ़ंक्शन से गुणा करना आवश्यक है: (u*v)" = u"* वी + वी "* यू;

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, यह आवश्यक है कि भाजक के व्युत्पन्न के गुणनफल को भाजक फलन से गुणा किया जाए, भाजक के व्युत्पन्न के उत्पाद को भाजक फलन से गुणा किया जाए, और विभाजित किया जाए यह सब भाजक समारोह चुकता द्वारा। (यू/वी)" = (यू"*वी-वी"*यू)/वी^2;

यदि एक जटिल कार्य दिया गया है, तो आंतरिक कार्य के व्युत्पन्न और बाहरी के व्युत्पन्न को गुणा करना आवश्यक है। चलो y=u(v(x)), फिर y"(x)=y"(u)*v"(x).

ऊपर प्राप्त का उपयोग करके, आप लगभग किसी भी फ़ंक्शन को अलग कर सकते हैं। तो आइए कुछ उदाहरण देखें:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(ई^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(ई^x-x^2+6)+x^3*(ई^x-2 *एक्स));
एक बिंदु पर डेरिवेटिव की गणना के लिए भी कार्य हैं। फ़ंक्शन y=e^(x^2+6x+5) दिया जाए, आपको बिंदु x=1 पर फ़ंक्शन का मान खोजने की आवश्यकता है।
1) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) दिए गए बिंदु y"(1)=8*e^0=8 पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें

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मददगार सलाह

प्राथमिक डेरिवेटिव की तालिका जानें। इससे काफी समय बचेगा।

स्रोत:

• निरंतर व्युत्पन्न

तो एक तर्कहीन समीकरण और एक तर्कसंगत के बीच क्या अंतर है? यदि अज्ञात चर वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत है, तो समीकरण अपरिमेय माना जाता है।

अनुदेश

ऐसे समीकरणों को हल करने की मुख्य विधि दोनों भागों को ऊपर उठाने की विधि है समीकरणएक वर्ग में। हालाँकि। यह स्वाभाविक है, संकेत से छुटकारा पाने के लिए पहला कदम है। तकनीकी रूप से यह तरीका कठिन नहीं है, लेकिन कभी-कभी यह परेशानी का कारण बन सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण v(2x-5)=v(4x-7). दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, आपको 2x-5=4x-7 प्राप्त होता है। ऐसे समीकरण को हल करना कठिन नहीं है; एक्स = 1। लेकिन नंबर 1 नहीं दिया जाएगा समीकरण. क्यों? x मान के बजाय समीकरण में इकाई को प्रतिस्थापित करें। और दाएं और बाएं पक्षों में वे भाव होंगे जो समझ में नहीं आते हैं, अर्थात। ऐसा मान वर्गमूल के लिए मान्य नहीं है। इसलिए, 1 एक बाह्य मूल है, और इसलिए इस समीकरण का कोई मूल नहीं है।

अत: अपरिमेय समीकरण को उसके दोनों भागों का वर्ग करने की विधि द्वारा हल किया जाता है। और समीकरण को हल करने के बाद, बाहरी जड़ों को काटना जरूरी है। ऐसा करने के लिए, मूल समीकरण में पाई गई जड़ों को प्रतिस्थापित करें।

एक और पर विचार करें।
2x+vx-3=0
बेशक, इस समीकरण को पिछले वाले के समान समीकरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। ट्रांसफर कंपाउंड्स समीकरण, जिसका वर्गमूल नहीं है, दाईं ओर और फिर वर्ग विधि का उपयोग करें। परिणामी तर्कसंगत समीकरण और जड़ों को हल करें। लेकिन एक और, अधिक सुरुचिपूर्ण। एक नया चर दर्ज करें; वीएक्स = वाई। तदनुसार, आपको 2y2+y-3=0 जैसा समीकरण प्राप्त होगा। यानी सामान्य द्विघात समीकरण. इसकी जड़ें खोजें; y1=1 और y2=-3/2. अगला, दो हल करें समीकरणवीएक्स = 1; वीएक्स \u003d -3/2। दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है, पहले से हम x = 1 पाते हैं। जड़ों की जांच करने की जरूरत के बारे में मत भूलना।

सर्वसमिकाओं को हल करना काफी आसान है। लक्ष्य प्राप्त होने तक इसके लिए समान परिवर्तन करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, सबसे सरल अंकगणितीय संक्रियाओं की सहायता से कार्य हल हो जाएगा।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम।

अनुदेश

इस तरह के सबसे सरल परिवर्तन बीजगणितीय संक्षिप्त गुणन हैं (जैसे कि योग का वर्ग (अंतर), वर्गों का अंतर, योग (अंतर), योग का घन (अंतर))। इसके अलावा, कई त्रिकोणमितीय सूत्र हैं जो अनिवार्य रूप से समान सर्वसमिका हैं।

दरअसल, दो शब्दों के योग का वर्ग पहले के वर्ग के बराबर होता है और पहले के उत्पाद का दोगुना और दूसरे के वर्ग का योग होता है, यानी (a+b)^2= (a+b) )(ए+बी)=ए^2+एबी +बीए+बी ^2=ए^2+2एबी+बी^2.

दोनों को सरल कीजिए

समाधान के सामान्य सिद्धांत

गणितीय विश्लेषण या उच्च गणित पर किसी पाठ्यपुस्तक से दोहराएँ, जो एक निश्चित समाकल है। जैसा कि आप जानते हैं, समाधान समाकलन परिभाषित करेंएक ऐसा कार्य है जिसका व्युत्पन्न एक पूर्णांक देगा। यह समारोहआदिम कहा जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, बुनियादी अभिन्न का निर्माण किया जाता है।
समाकलन के रूप से निर्धारित करें कि कौन सा तालिका समाकलन फिट बैठता है इस मामले में. इसे तुरंत निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है। अकसर, सारणीबद्ध रूप एकीकरण को सरल बनाने के लिए कई परिवर्तनों के बाद ही ध्यान देने योग्य हो जाता है।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

अगर इंटीग्रैंड है त्रिकोणमितीय समारोह, जिसका तर्क कुछ बहुपद है, तो चर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, समाकलन के तर्क में बहुपद को कुछ नए चर से बदलें। नए और पुराने चर के बीच के अनुपात के आधार पर, एकीकरण की नई सीमाएँ निर्धारित करें। इस व्यंजक को अवकलित करके, में एक नया अवकल ज्ञात कीजिए। इस प्रकार, आपको पुराने इंटीग्रल का एक नया रूप मिलेगा, किसी सारणी के करीब या उससे भी संबंधित।

दूसरी तरह के इंटीग्रल का समाधान

यदि इंटीग्रल दूसरी तरह का इंटीग्रल है, इंटीग्रैंड का वेक्टर रूप है, तो आपको इन इंटीग्रल से स्केलर में जाने के लिए नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। ऐसा ही एक नियम ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस अनुपात है। यह कानून किसी वेक्टर फ़ंक्शन के रोटर प्रवाह से किसी दिए गए वेक्टर क्षेत्र के विचलन पर ट्रिपल इंटीग्रल से गुजरना संभव बनाता है।

एकीकरण की सीमा का प्रतिस्थापन

प्रतिपक्षी खोजने के बाद, एकीकरण की सीमा को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। सबसे पहले, अपर लिमिट के मान को एंटीडेरिवेटिव के लिए एक्सप्रेशन में बदलें। आपको कुछ नंबर मिलेगा। इसके बाद, परिणामी संख्या से एक और संख्या घटाएं, जिसके परिणामस्वरूप एंटीडेरिवेटिव की निचली सीमा होती है। यदि एकीकरण की सीमाओं में से एक अनंत है, तो इसे एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते समय, सीमा तक जाना और यह पता लगाना आवश्यक है कि अभिव्यक्ति क्या करती है।
यदि अभिन्न द्वि-आयामी या त्रि-आयामी है, तो आपको अभिन्न की गणना करने के तरीके को समझने के लिए एकीकरण की ज्यामितीय सीमाओं का प्रतिनिधित्व करना होगा। दरअसल, एक त्रि-आयामी अभिन्न के मामले में, एकीकरण की सीमाएं पूरे विमान हो सकती हैं जो वॉल्यूम को एकीकृत करने के लिए सीमित करती हैं।

जैसा कि आप जानते हैं, जब व्यंजकों को घातों से गुणा करते हैं, तो उनके घातांक हमेशा जुड़ते हैं (a b * a c = a b + c)। यह गणितीय कानून आर्किमिडीज द्वारा प्राप्त किया गया था, और बाद में, 8वीं शताब्दी में, गणितज्ञ वीरसेन ने पूर्णांक संकेतकों की एक तालिका बनाई। यह वे थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए कार्य किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहाँ बोझिल गुणन को सरल जोड़ में सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट लगाते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे काम करें। सरल और सुलभ भाषा।

गणित में परिभाषा

लघुगणक निम्न रूप का एक व्यंजक है: log a b = c, अर्थात किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का लघुगणक (अर्थात, कोई धनात्मक) "b" उसके आधार "a" के अनुसार "c" की शक्ति माना जाता है ", जिसके लिए आधार "ए" को उठाना आवश्यक है, ताकि अंत में "बी" मूल्य प्राप्त हो। आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक अभिव्यक्ति लॉग 2 8 है। उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत सरल है, आपको ऐसी डिग्री खोजने की आवश्यकता है कि 2 से आवश्यक डिग्री तक आपको 8. आपके दिमाग में कुछ गणनाएँ करने के बाद, हमें नंबर 3 मिलता है! और ठीक ही तो है, क्योंकि 2 की घात 3 उत्तर में 8 अंक देती है।

लघुगणक की किस्में

कई छात्रों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि उनके सामान्य अर्थ को समझें और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखें। वहाँ तीन हैं ख़ास तरह केलघुगणकीय भाव:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव ए, जहां आधार 10 है।
3. आधार a>1 के लिए किसी भी संख्या b का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक को एक मानक तरीके से हल किया जाता है, जिसमें सरलीकरण, कमी और लॉगरिदमिक प्रमेय का उपयोग करके एक लॉगरिदम में बाद में कमी शामिल है। लघुगणकों के सही मान प्राप्त करने के लिए, उनके गुणों और उनके निर्णयों में क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में, कई नियम-सीमाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा के अधीन नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को शून्य से विभाजित करना असंभव है, और ऋणात्मक संख्याओं से सम डिग्री का मूल निकालना भी असंभव है। लॉगरिदम के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप आसानी से सीख सकते हैं कि कैसे लंबे और कैपेसिटिव लॉगरिदमिक एक्सप्रेशंस के साथ भी काम करना है:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से अधिक होना चाहिए, और एक ही समय में 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि "1" और "0" किसी भी डिग्री के लिए हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b > 0, यह पता चलता है कि "c" शून्य से अधिक होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, समीकरण 10 x \u003d 100 का उत्तर खोजने के लिए कार्य दिया गया था। यह बहुत आसान है, आपको ऐसी शक्ति चुनने की आवश्यकता है, जो संख्या दस को बढ़ाकर हमें 100 मिलती है। यह निश्चित रूप से 10 है 2 \u003d 100।

अब आइए इस व्यंजक को लघुगणकीय व्यंजक के रूप में निरूपित करें। हमें log 10 100 = 2 प्राप्त होता है। लघुगणक को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस डिग्री को खोजने के लिए अभिसरण करती हैं जिस पर दी गई संख्या प्राप्त करने के लिए लघुगणक का आधार दर्ज किया जाना चाहिए।

अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको यह सीखना होगा कि डिग्री की तालिका के साथ कैसे काम करना है। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आपके पास तकनीकी मानसिकता और गुणन तालिका का ज्ञान है, तो कुछ प्रतिपादकों का सहज अनुमान लगाया जा सकता है। हालाँकि, के लिए बड़े मूल्यआपको डिग्री की तालिका चाहिए। इसका उपयोग वे लोग भी कर सकते हैं जो जटिल गणितीय विषयों में कुछ भी नहीं समझते हैं। बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति घात c का मान है, जिससे संख्या a उठाई जाती है। कोशिकाओं में प्रतिच्छेदन पर, संख्याओं के मान निर्धारित किए जाते हैं, जो उत्तर (a c = b) हैं। आइए, उदाहरण के लिए, 10 नंबर वाली पहली सेल लें और इसे वर्ग करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो कि हमारी दो कोशिकाओं के चौराहे पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे सच्चा मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानताएँ

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत, प्रतिपादक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ति को लघुगणकीय समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 = 81 को आधार 3 पर 81 के लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है, जो कि चार है (लॉग 3 81 = 4)। नकारात्मक शक्तियों के लिए, नियम समान हैं: 2 -5 = 1/32 हम लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लॉग 2 (1/32) = -5 प्राप्त होता है। गणित के सबसे आकर्षक वर्गों में से एक "लघुगणक" का विषय है। हम उनके गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, समीकरणों के उदाहरणों और समाधानों पर थोड़ा कम विचार करेंगे। अब देखते हैं कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित रूप का एक व्यंजक दिया गया है: log 2 (x-1) > 3 - यह है लघुगणकीय असमानता, चूंकि अज्ञात मान "x" लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत है। और अभिव्यक्ति में भी दो मात्राओं की तुलना की जाती है: आधार दो में वांछित संख्या का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, 2 x = √9 का लघुगणक) उत्तर में एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान दर्शाते हैं, जबकि असमानता को हल करते समय, दोनों की श्रेणी स्वीकार्य मान और इस फ़ंक्शन को तोड़ने वाले बिंदु। नतीजतन, उत्तर अलग-अलग संख्याओं का एक सरल सेट नहीं है, जैसा कि समीकरण के उत्तर में है, लेकिन एक निरंतर श्रृंखला या संख्याओं का सेट है।

लघुगणक के बारे में बुनियादी प्रमेय

लघुगणक के मूल्यों को खोजने पर आदिम कार्यों को हल करते समय, इसके गुण ज्ञात नहीं हो सकते हैं। हालाँकि, जब लघुगणकीय समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लघुगणक के सभी मूल गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम बाद में समीकरणों के उदाहरणों से परिचित होंगे, आइए पहले प्रत्येक संपत्ति का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

1. मूल सर्वसमिका इस प्रकार दिखाई देती है: a logaB =B. यह केवल तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो, और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद के लघुगणक को निम्न सूत्र में दर्शाया जा सकता है: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2। इस मामले में, पूर्वापेक्षा है: d, s 1 और s 2 > 0; एक≠1। आप लघुगणक के इस सूत्र की उपपत्ति उदाहरणों और हल के साथ दे सकते हैं। मान लीजिए log a s 1 = f 1 और log a s 2 = f 2 , तो a f1 = s 1 , a f2 = s 2. हम पाते हैं कि s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (डिग्री गुण) ), और आगे परिभाषा के अनुसार: log a (s 1 *s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, जिसे सिद्ध किया जाना था।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log as 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्न रूप लेता है: लॉग ए क्यू बी एन = एन/क्यू लॉग ए बी।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री की संपत्ति" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्रियों के गुणों से मिलता-जुलता है, और इसमें कोई आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सारा गणित नियमित अभिधारणाओं पर टिका होता है। आइए सबूत देखें।

लॉग a b \u003d t होने दें, यह t \u003d b निकला। यदि आप दोनों भागों की घात m: a tn = b n ;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n , इसलिए log a q b n = (n*t)/t, तो log a q b n = n/q log a b। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

सबसे सामान्य प्रकार की लघुगणक समस्याएँ समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित में परीक्षा के अनिवार्य भाग में भी शामिल हैं। किसी विश्वविद्यालय में प्रवेश लेने या गणित में प्रवेश परीक्षा पास करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि ऐसे कार्यों को सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, लघुगणक के अज्ञात मान को हल करने और निर्धारित करने के लिए कोई एकल योजना या योजना नहीं है, तथापि, प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि क्या अभिव्यक्ति को सरल या कम किया जा सकता है सामान्य रूप से देखें. लंबा सरल करें लघुगणकीय भावआप कर सकते हैं, अगर आप उनकी संपत्तियों का सही इस्तेमाल करते हैं। आइए जल्द ही उनके बारे में जानें।

लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि हमारे पास किस प्रकार का लघुगणक है: एक अभिव्यक्ति के उदाहरण में एक प्राकृतिक लघुगणक या एक दशमलव हो सकता है।

यहाँ उदाहरण ln100, ln1026 हैं। उनका समाधान इस तथ्य पर उबलता है कि आपको उस डिग्री को निर्धारित करने की आवश्यकता है जिस पर आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। समाधान के लिए प्राकृतिक लघुगणकलॉगरिदमिक पहचान या उनके गुणों को लागू करना चाहिए। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक पर मुख्य प्रमेयों का उपयोग करने के उदाहरण देखें।

1. उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां विस्तार करना आवश्यक है बडा महत्वसंख्या बी सरल कारकों में। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक की डिग्री की चौथी संपत्ति का उपयोग करके, हम पहली नज़र में एक जटिल और अघुलनशील अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। केवल आधार को फ़ैक्टराइज़ करना और फिर लघुगणक के चिह्न से घातांक मान निकालना आवश्यक है।

परीक्षा से कार्य

लघुगणक अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में लघुगणकीय समस्याएं। आमतौर पर ये कार्य न केवल भाग ए (सबसे आसान) में मौजूद होते हैं परीक्षण भागपरीक्षा), लेकिन भाग सी (सबसे कठिन और विशाल कार्य) में भी। परीक्षा में "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और पूर्ण ज्ञान शामिल है।

आधिकारिक से उदाहरण और समस्या समाधान लिए जाते हैं उपयोग के विकल्प. आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लॉग 2 (2x-1) = 4. हल:
लॉग 2 (2x-1) = 2 2 , लघुगणक की परिभाषा से हम इसे थोड़ा सरल करते हुए, अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं, हमें वह 2x-1 = 2 4 मिलता है, इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5।

• सभी लघुगणकों को एक ही आधार पर कम करना सबसे अच्छा है ताकि समाधान बोझिल और भ्रामक न हो।
• लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत सभी भाव धनात्मक दर्शाए जाते हैं, इसलिए, व्यंजक के घातांक के घातांक को निकालते समय, जो लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत है और उसके आधार के रूप में, लघुगणक के अंतर्गत बची हुई अभिव्यक्ति धनात्मक होनी चाहिए।

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

आइए इसे आसान समझाते हैं। उदाहरण के लिए, \(\log_(2)(8)\) घात के बराबर है \(2\) को \(8\) पाने के लिए बढ़ाया जाना चाहिए। इससे स्पष्ट है कि \(\log_(2)(8)=3\).

उदाहरण:		\(\log_(5)(25)=2\)		क्योंकि \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		क्योंकि \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		क्योंकि \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

लघुगणक का तर्क और आधार

किसी भी लघुगणक में निम्नलिखित "शारीरिक संरचना" होती है:

लघुगणक का तर्क आमतौर पर इसके स्तर पर लिखा जाता है, और आधार को लघुगणक के चिह्न के करीब सबस्क्रिप्ट में लिखा जाता है। और इस प्रविष्टि को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "पाँच के आधार पर पच्चीस का लघुगणक।"

लघुगणक की गणना कैसे करें?

लघुगणक की गणना करने के लिए, आपको इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को किस डिग्री तक बढ़ाया जाना चाहिए?

उदाहरण के लिए, लघुगणक की गणना करें: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) डी) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) ई) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) प्राप्त करने के लिए \(4\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? जाहिर है दूसरा। इसीलिए:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(5)\) की कितनी घात होनी चाहिए? और कौन सी डिग्री किसी संख्या को एक इकाई बनाती है? शून्य, बिल्कुल!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(7)\) की कितनी घात होनी चाहिए? पहले में - पहली डिग्री में कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) प्राप्त करने के लिए \(3\) की कितनी घात होनी चाहिए? हम जानते हैं कि यह एक भिन्नात्मक शक्ति है, और इसलिए वर्गमूल \(\frac(1)(2)\) की शक्ति है।

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

उदाहरण : लघुगणक की गणना करें \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

समाधान :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		हमें लघुगणक का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, चलिए इसे x के रूप में निरूपित करते हैं। अब आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) और \(8\) को क्या जोड़ता है? दो, क्योंकि दोनों संख्याओं को दो द्वारा दर्शाया जा सकता है: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		बाईं ओर, हम डिग्री गुणों का उपयोग करते हैं: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) और \((a^(m))^(n)=a ^(एम\cdot एन)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		आधार समान हैं, हम संकेतकों की समानता के लिए आगे बढ़ते हैं
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		समीकरण के दोनों पक्षों को \(\frac(2)(5)\) से गुणा करें
		परिणामी मूल लघुगणक का मान है

उत्तर : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

लघुगणक का आविष्कार क्यों किया गया था?

इसे समझने के लिए, आइए समीकरण को हल करें: \(3^(x)=9\). समानता कार्य करने के लिए बस \(x\) का मिलान करें। बेशक, \(x=2\).

अब समीकरण को हल करें: \(3^(x)=8\). x किसके बराबर है? यही तो बात है।

सबसे सरल कहेगा: "एक्स दो से थोड़ा कम है।" यह संख्या किस प्रकार लिखी जानी है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए उन्होंने लघुगणक का आविष्कार किया। उसके लिए धन्यवाद, यहाँ उत्तर \(x=\log_(3)(8)\) के रूप में लिखा जा सकता है।

मैं इस बात पर ज़ोर देना चाहता हूँ कि \(\log_(3)(8)\), साथ ही साथ कोई लघुगणक केवल एक संख्या है. हाँ, यह असामान्य दिखता है, लेकिन यह छोटा है। क्योंकि अगर हम इसे दशमलव के रूप में लिखना चाहते हैं, तो यह इस तरह दिखेगा: \(1.892789260714.....\)

उदाहरण : समीकरण हल करें \(4^(5x-4)=10\)

समाधान :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) और \(10\) को एक ही आधार पर कम नहीं किया जा सकता है। तो यहाँ आप लघुगणक के बिना नहीं कर सकते। आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		समीकरण को पलटें ताकि x बाईं ओर हो
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		हमारे सामने। \(4\) को दाईं ओर ले जाएं। और लघुगणक से डरो मत, इसे एक सामान्य संख्या की तरह समझो।
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		समीकरण को 5 से विभाजित करें
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		यहाँ हमारी जड़ है। हां, यह असामान्य लगता है, लेकिन उत्तर नहीं चुना गया है।

उत्तर : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक

जैसा कि लघुगणक की परिभाषा में बताया गया है, इसका आधार कोई भी हो सकता है सकारात्मक संख्या, इकाई \((a>0, a\neq1)\) को छोड़कर। और सभी संभावित आधारों में से दो ऐसे हैं जो इतनी बार होते हैं कि उनके साथ लघुगणक के लिए एक विशेष लघु अंकन का आविष्कार किया गया था:

प्राकृतिक लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार यूलर संख्या \(e\) (लगभग \(2.7182818…\) के बराबर) है, और लघुगणक \(\ln(a)\) के रूप में लिखा जाता है।

वह है, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) के समान है

दशमलव लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार 10 है \(\lg(a)\) लिखा जाता है।

वह है, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) के समान है, जहाँ \(a\) कोई संख्या है।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

लघुगणक के कई गुण होते हैं। उनमें से एक को "मेन" कहा जाता है लघुगणकीय पहचान' और ऐसा दिखता है:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

यह गुण सीधे परिभाषा से अनुसरण करता है। आइए देखें कि यह सूत्र वास्तव में कैसे प्रकट हुआ।

चलो याद करते हैं छोटा लेखलघुगणक परिभाषाएँ:

अगर \(a^(b)=c\), तो \(\log_(a)(c)=b\)

अर्थात, \(b\) \(\log_(a)(c)\) के समान है। तब हम सूत्र \(a^(b)=c\) में \(b\) के बजाय \(\log_(a)(c)\) लिख सकते हैं। यह निकला \(a^(\log_(a)(c))=c\) - मुख्य लघुगणकीय पहचान।

आप लघुगणक के बाकी गुणों को पा सकते हैं। उनकी मदद से, आप लघुगणक वाले भावों के मूल्यों को सरल और गणना कर सकते हैं, जिनकी सीधे गणना करना मुश्किल है।

उदाहरण : व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(36^(\log_(6)(5))\)

समाधान :

उत्तर : \(25\)

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें?

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कोई भी लघुगणक केवल एक संख्या है। इसका विलोम भी सत्य है: किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि \(\log_(2)(4)\) दो के बराबर है। फिर आप दो के बजाय \(\log_(2)(4)\) लिख सकते हैं।

लेकिन \(\log_(3)(9)\) भी \(2\) के बराबर है, इसलिए आप \(2=\log_(3)(9)\) भी लिख सकते हैं। इसी प्रकार \(\log_(5)(25)\), और \(\log_(9)(81)\), आदि के साथ। यानी यह निकला

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(7)(49)...\)

इस प्रकार, यदि हमें आवश्यकता हो, तो हम दोनों को लघुगणक के रूप में कहीं भी किसी भी आधार पर लिख सकते हैं (एक समीकरण में भी, एक व्यंजक में भी, एक असमानता में भी) - हम केवल एक तर्क के रूप में वर्गित आधार लिखते हैं।

यह ट्रिपल के साथ समान है - इसे \(\log_(2)(8)\), या \(\log_(3)(27)\), या \(\log_(4)( 64) \) ... यहाँ हम घन में आधार को तर्क के रूप में लिखते हैं:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(7)(343)...\)

और चार के साथ:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(7)(2401)...\)

और ऋण एक के साथ:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

और एक तिहाई के साथ:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

किसी भी संख्या \(a\) को लघुगणक के रूप में आधार \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\) के रूप में दर्शाया जा सकता है

उदाहरण : व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

समाधान :

उत्तर : \(1\)

समाज के विकास के साथ उत्पादन की जटिलता, गणित का भी विकास हुआ। सरल से जटिल की ओर गति। जोड़ और घटाव की सामान्य लेखांकन पद्धति से, उनके बार-बार दोहराए जाने से, वे गुणा और भाग की अवधारणा पर आ गए। गुणा दोहराए जाने वाले ऑपरेशन की कमी घातांक की अवधारणा बन गई। आधार पर संख्याओं की निर्भरता की पहली सारणी और घातांक की संख्या 8 वीं शताब्दी में भारतीय गणितज्ञ वरसेना द्वारा संकलित की गई थी। उनसे आप लघुगणक के होने के समय की गणना कर सकते हैं।

ऐतिहासिक रूपरेखा

16वीं शताब्दी में यूरोप के पुनरुद्धार ने भी यांत्रिकी के विकास को प्रेरित किया। टी बड़ी मात्रा में गणना की आवश्यकता हैबहु-अंकीय संख्याओं के गुणन और विभाजन से संबंधित। प्राचीन तालिकाओं ने बहुत अच्छी सेवा की। उन्होंने जटिल परिचालनों को सरल - जोड़ और घटाव के साथ बदलना संभव बना दिया। 1544 में प्रकाशित गणितज्ञ माइकल स्टिफ़ेल का काम एक बड़ा कदम था, जिसमें उन्होंने कई गणितज्ञों के विचार को साकार किया। इसने न केवल अभाज्य संख्याओं के रूप में डिग्री के लिए तालिकाओं का उपयोग करना संभव बना दिया, बल्कि मनमाना तर्कसंगत लोगों के लिए भी।

1614 में, स्कॉट्समैन जॉन नेपियर ने इन विचारों को विकसित करते हुए, पहली बार "एक संख्या का लघुगणक" नया शब्द पेश किया। ज्या और कोज्या के लघुगणक के साथ-साथ स्पर्शरेखा की गणना के लिए नई जटिल तालिकाएँ संकलित की गईं। इसने खगोलविदों के काम को बहुत कम कर दिया।

नई तालिकाएँ दिखाई देने लगीं, जिनका वैज्ञानिकों ने सफलतापूर्वक उपयोग किया तीन शतक. पहले बहुत समय लगा नया ऑपरेशनबीजगणित में अपना पूर्ण रूप प्राप्त कर लिया। लघुगणक परिभाषित किया गया था और इसके गुणों का अध्ययन किया गया था।

केवल 20वीं शताब्दी में, कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन के साथ, मानव जाति ने उन प्राचीन तालिकाओं को त्याग दिया जो 13वीं शताब्दी में सफलतापूर्वक संचालित हो रही थीं।

आज हम संख्या x को आधार बनाने के लिए b का लघुगणक कहते हैं, जो संख्या b प्राप्त करने के लिए a की शक्ति है। इसे एक सूत्र के रूप में लिखा गया है: x = log a(b).

उदाहरण के लिए, लॉग 3(9) 2 के बराबर होगा। यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं तो यह स्पष्ट है। यदि हम 3 की घात 2 बढ़ाते हैं, तो हमें 9 प्राप्त होता है।

इस प्रकार, तैयार की गई परिभाषा केवल एक प्रतिबंध लगाती है, संख्याएँ a और b वास्तविक होनी चाहिए।

लघुगणक की किस्में

शास्त्रीय परिभाषा को वास्तविक लघुगणक कहा जाता है और वास्तव में समीकरण a x = b का हल है। विकल्प a = 1 सीमा रेखा है और इसमें कोई दिलचस्पी नहीं है। नोट: 1 किसी भी शक्ति के लिए 1 है।

लघुगणक का वास्तविक मानपरिभाषित केवल अगर आधार और तर्क 0 से अधिक है, और आधार 1 के बराबर नहीं होना चाहिए।

गणित के क्षेत्र में विशेष स्थानलघुगणक खेलें, जिन्हें उनके आधार के मान के आधार पर नामित किया जाएगा:

नियम और प्रतिबंध

लघुगणक की मूलभूत संपत्ति नियम है: किसी उत्पाद का लघुगणक लघुगणक योग के बराबर होता है। लॉग एबीपी = लॉग ए (बी) + लॉग ए (पी)।

इस कथन के एक प्रकार के रूप में, यह होगा: लॉग सी (बी / पी) \u003d लॉग सी (बी) - लॉग सी (पी), भागफल फ़ंक्शन फ़ंक्शन के अंतर के बराबर है।

पिछले दो नियमों से यह देखना आसान है कि: log a(b p) = p * log a(b).

अन्य गुणों में शामिल हैं:

टिप्पणी। एक सामान्य गलती न करें - योग का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर नहीं है।

कई शताब्दियों के लिए, लघुगणक खोजने का कार्य काफी समय लेने वाला कार्य था। गणितज्ञों ने एक बहुपद में विस्तार के लघुगणकीय सिद्धांत के प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग किया:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), जहां n 1 से अधिक प्राकृतिक संख्या है, जो गणना की सटीकता निर्धारित करती है।

अन्य आधारों के साथ लघुगणक की गणना एक आधार से दूसरे आधार पर संक्रमण पर प्रमेय और उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करके की गई थी।

चूँकि यह विधि बहुत श्रमसाध्य है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समयलागू करने में मुश्किल, उन्होंने लघुगणक के पूर्व-संकलित तालिकाओं का उपयोग किया, जिसने पूरे काम को बहुत तेज कर दिया।

कुछ मामलों में, लघुगणक के विशेष रूप से संकलित ग्राफ़ का उपयोग किया गया था, जो कम सटीकता देता था, लेकिन वांछित मूल्य की खोज में काफी तेजी लाता था। फ़ंक्शन y = log a(x) का वक्र, कई बिंदुओं पर निर्मित, सामान्य शासक का उपयोग किसी अन्य बिंदु पर फ़ंक्शन के मानों को खोजने की अनुमति देता है। इंजीनियर्स लंबे समय तकइन उद्देश्यों के लिए तथाकथित ग्राफ पेपर का उपयोग किया गया था।

17वीं सदी में, पहली सहायक एनालॉग कंप्यूटिंग स्थितियां सामने आईं, जिन्हें उन्नीसवीं सदीएक समाप्त रूप प्राप्त किया। सबसे सफल युक्ति को स्लाइड नियम कहा जाता था। डिवाइस की सादगी के बावजूद, इसकी उपस्थिति ने सभी इंजीनियरिंग गणनाओं की प्रक्रिया को काफी तेज कर दिया, और इसे कम करना मुश्किल है। वर्तमान में, कम ही लोग इस डिवाइस से परिचित हैं।

कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन ने किसी अन्य उपकरण का उपयोग करना व्यर्थ कर दिया।

समीकरण और असमानताएँ

लघुगणकों का उपयोग करके विभिन्न समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए निम्न सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

• एक आधार से दूसरे में संक्रमण: लॉग ए (बी) = लॉग सी (बी) / लॉग सी (ए);
• पिछले संस्करण के परिणामस्वरूप: लॉग ए (बी) = 1 / लॉग बी (ए)।

असमानताओं को हल करने के लिए, यह जानना उपयोगी है:

• लघुगणक का मान तभी धनात्मक होगा जब आधार और तर्क दोनों एक से अधिक या एक से कम हों; यदि कम से कम एक शर्त का उल्लंघन होता है, तो लघुगणक का मान ऋणात्मक होगा।
• यदि लघुगणक फलन असमानता के दाएं और बाएं पक्षों पर लागू होता है, और लघुगणक का आधार एक से अधिक है, तो असमिका का चिह्न संरक्षित रहता है; अन्यथा, यह बदल जाता है।

कार्य के उदाहरण

लघुगणक और उनके गुणों का उपयोग करने के लिए कई विकल्पों पर विचार करें। समीकरणों को हल करने के उदाहरण:

लघुगणक को डिग्री में रखने के विकल्प पर विचार करें:

• टास्क 3. 25^लॉग 5(3) की गणना करें। समाधान: समस्या की स्थिति में, अंकन निम्न (5^2)^log5(3) या 5^(2 * log 5(3)) के समान है। आइए इसे अलग तरीके से लिखें: 5^लॉग 5(3*2), या फ़ंक्शन तर्क के रूप में किसी संख्या के वर्ग को फ़ंक्शन के वर्ग के रूप में ही लिखा जा सकता है (5^लॉग 5(3))^2। लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, यह व्यंजक 3^2 है। उत्तर: गणना के परिणामस्वरूप हमें 9 मिलते हैं।

प्रायोगिक उपयोग

विशुद्ध रूप से गणितीय उपकरण होने के नाते, यह बहुत दूर लगता है वास्तविक जीवनवस्तुओं का वर्णन करने में लघुगणक ने अचानक बहुत महत्व ले लिया असली दुनिया. ऐसा विज्ञान खोजना मुश्किल है जहां इसका उपयोग नहीं किया जाता है। यह न केवल प्राकृतिक, बल्कि ज्ञान के मानविकी क्षेत्रों पर भी पूरी तरह से लागू होता है।

लघुगणकीय निर्भरताएँ

यहाँ संख्यात्मक निर्भरता के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यांत्रिकी और भौतिकी

ऐतिहासिक रूप से, यांत्रिकी और भौतिकी हमेशा प्रयोग करके विकसित हुए हैं गणितीय तरीकेअनुसंधान और एक ही समय में लघुगणक सहित गणित के विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया। भौतिकी के अधिकांश नियमों का सिद्धांत गणित की भाषा में लिखा गया है। हम लघुगणक का उपयोग करते हुए भौतिक नियमों के वर्णन के केवल दो उदाहरण देते हैं।

Tsiolkovsky सूत्र का उपयोग करके रॉकेट की गति के रूप में ऐसी जटिल मात्रा की गणना करने की समस्या को हल करना संभव है, जिसने अंतरिक्ष अन्वेषण के सिद्धांत की नींव रखी:

वी = आई * एलएन (एम 1/एम 2), जहां

• V विमान की अंतिम गति है।
• मैं इंजन का विशिष्ट आवेग है।
• एम 1 रॉकेट का प्रारंभिक द्रव्यमान है।
• एम 2 - अंतिम द्रव्यमान।

एक और महत्वपूर्ण उदाहरण- यह एक अन्य महान वैज्ञानिक, मैक्स प्लैंक के सूत्र में उपयोग है, जो ऊष्मप्रवैगिकी में संतुलन की स्थिति का मूल्यांकन करने का कार्य करता है।

एस = के * एलएन (Ω), जहां

• S एक ऊष्मागतिकीय गुण है।
• k बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
• Ω विभिन्न राज्यों का सांख्यिकीय भार है।

रसायन विज्ञान

लघुगणकों के अनुपात वाले रसायन विज्ञान में सूत्रों का उपयोग कम स्पष्ट होगा। यहाँ केवल दो उदाहरण हैं:

• नर्नस्ट समीकरण, पदार्थों की गतिविधि और संतुलन स्थिरांक के संबंध में माध्यम की रेडॉक्स क्षमता की स्थिति।
• ऑटोप्रोलिसिस इंडेक्स और समाधान की अम्लता जैसे स्थिरांक की गणना भी हमारे कार्य के बिना पूरी नहीं होती है।

मनोविज्ञान और जीव विज्ञान

और यह पूरी तरह से समझ से बाहर है कि मनोविज्ञान का इससे क्या लेना-देना है। यह पता चला है कि उत्तेजना की तीव्रता को कम तीव्रता मूल्य के उत्तेजना तीव्रता मूल्य के व्युत्क्रम अनुपात के रूप में इस समारोह द्वारा अच्छी तरह से वर्णित किया गया है।

उपरोक्त उदाहरणों के बाद, अब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि जीव विज्ञान में लघुगणक का विषय भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। लॉगरिदमिक सर्पिल के अनुरूप जैविक रूपों के बारे में संपूर्ण खंड लिखे जा सकते हैं।

अन्य क्षेत्र

ऐसा लगता है कि इस कार्य से जुड़े बिना दुनिया का अस्तित्व असंभव है, और यह सभी कानूनों को नियंत्रित करता है। खासकर तब जब प्रकृति के नियम जुड़े हुए हों ज्यामितीय अनुक्रम. यह MatProfi वेबसाइट का उल्लेख करने योग्य है, और गतिविधि के निम्नलिखित क्षेत्रों में ऐसे कई उदाहरण हैं:

सूची अंतहीन हो सकती है। इस कार्य के बुनियादी नियमों में महारत हासिल करने के बाद, आप अनंत ज्ञान की दुनिया में उतर सकते हैं।