एक खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने की प्रक्रिया एक हेलीकॉप्टर पर एक वस्तु (फ़ंक्शन का एक ग्राफ़) के चारों ओर एक आकर्षक उड़ान की याद दिलाती है, जिसमें कुछ बिंदुओं पर लंबी दूरी की तोप से फायरिंग होती है और चुनने से इन प्वॉइंट्स के लिए बहुत ही खास प्वॉइंट्स हैं नियंत्रण शॉट्स. अंक एक निश्चित तरीके से और कुछ नियमों के अनुसार चुने जाते हैं। किस नियम से? इस बारे में हम आगे बात करेंगे।
यदि समारोह वाई = एफ(एक्स)
अंतराल पर निरंतर [ ए, बी] , फिर यह इस सेगमेंट पर पहुंचता है कम से कम
और उच्चतम मूल्य
. यह या तो में हो सकता है चरम बिंदुया खंड के अंत में। इसलिए खोजने के लिए कम से कम
और समारोह का सबसे बड़ा मूल्य
खंड पर निरंतर [ ए, बी] , आपको इसके सभी मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है महत्वपूर्ण बिंदुऔर खंड के अंत में, और फिर उनमें से सबसे छोटा और सबसे बड़ा चुनें।
मान लीजिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का अधिकतम मान निर्धारित करना आवश्यक है एफ(एक्स) खंड पर [ ए, बी] . ऐसा करने के लिए, इसके सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें [ ए, बी]
.
महत्वपूर्ण बिन्दू
बिंदु कहा जाता है समारोह परिभाषित, और वह यौगिकया तो शून्य है या मौजूद नहीं है। फिर आपको महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करनी चाहिए। और, अंत में, किसी को महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों की तुलना करनी चाहिए ( एफ(ए) और एफ(बी) ). इनमें से सबसे बड़ी संख्या होगी अंतराल पर समारोह का सबसे बड़ा मूल्य
[ए, बी]
.
खोजने की समस्या फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान
.
हम एक साथ फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की तलाश कर रहे हैं
उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें 
खंड पर [-1, 2]
.
समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं। व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करें और दो महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: और। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, यह खंड के अंत में और बिंदु पर इसके मूल्यों की गणना करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि बिंदु खंड से संबंधित नहीं है [-1, 2] . ये Function Values निम्नलिखित हैं: , , . यह इस प्रकार है कि सबसे छोटा फ़ंक्शन मान(नीचे दिए गए ग्राफ़ पर लाल रंग से चिह्नित), -7 के बराबर, खंड के दाहिने सिरे पर पहुँच जाता है - बिंदु पर, और महानतम(ग्राफ पर भी लाल), 9 के बराबर है, - महत्वपूर्ण बिंदु पर।
यदि फ़ंक्शन एक निश्चित अंतराल में निरंतर है और यह अंतराल एक खंड नहीं है (लेकिन, उदाहरण के लिए, एक अंतराल है; एक अंतराल और एक खंड के बीच का अंतर: अंतराल के सीमा बिंदु अंतराल में शामिल नहीं हैं, लेकिन सेगमेंट के सीमा बिंदुओं को सेगमेंट में शामिल किया गया है), तो फ़ंक्शन के मानों में सबसे छोटा और सबसे बड़ा नहीं हो सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया कार्य ]-∞, +∞[ पर निरंतर है और इसका सबसे बड़ा मान नहीं है।
हालांकि, किसी भी अंतराल (बंद, खुला, या अनंत) के लिए, निरंतर कार्यों की निम्नलिखित संपत्ति रखती है।
उदाहरण 4. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 3]
.
समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भागफल के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं:
.
हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो हमें एक देता है महत्वपूर्ण बिन्दू: . यह अंतराल [-1, 3] से संबंधित है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:
आइए इन मूल्यों की तुलना करें। निष्कर्ष: -5/13 के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यबिंदु पर 1 के बराबर।
हम फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों को एक साथ खोजना जारी रखते हैं
ऐसे शिक्षक हैं, जो किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के विषय पर, छात्रों को उन उदाहरणों की तुलना में अधिक जटिल नहीं देते हैं, जिनमें फ़ंक्शन एक बहुपद या एक अंश है, अंश और जिनके हर बहुपद हैं। लेकिन हम खुद को ऐसे उदाहरणों तक सीमित नहीं रखेंगे, क्योंकि शिक्षकों में छात्रों को पूर्ण रूप से सोचने के प्रेमी हैं (डेरिवेटिव की तालिका)। इसलिए, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग किया जाएगा।
उदाहरण 6. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर
.
समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को इस प्रकार पाते हैं उत्पाद का व्युत्पन्न :
हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड के अंतर्गत आता है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:
सभी कार्यों का परिणाम: समारोह अपने न्यूनतम मूल्य तक पहुँच जाता है, 0 के बराबर, एक बिंदु पर और एक बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यके बराबर इ², बिंदु पर।
उदाहरण 7. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें 
खंड पर .
समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:
एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु खंड से संबंधित है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:
निष्कर्ष: समारोह अपने न्यूनतम मूल्य तक पहुँच जाता है, के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्य, के बराबर, बिंदु पर।
लागू चरम समस्याओं में, एक नियम के रूप में, सबसे छोटे (सबसे बड़े) फ़ंक्शन मानों को न्यूनतम (अधिकतम) खोजने के लिए कम किया जाता है। लेकिन यह स्वयं मिनिमा या मैक्सिमा नहीं है जो अधिक व्यावहारिक हित के हैं, बल्कि उस तर्क के मूल्य हैं जिस पर उन्हें हासिल किया जाता है। लागू समस्याओं को हल करते समय, एक अतिरिक्त कठिनाई उत्पन्न होती है - कार्यों का संकलन जो विचाराधीन घटना या प्रक्रिया का वर्णन करता है।
उदाहरण 8 4 की क्षमता वाला एक टैंक, जिसमें चौकोर आधार के साथ समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है और शीर्ष पर खुला होता है, को टिन किया जाना चाहिए। कम से कम सामग्री के साथ इसे कवर करने के लिए टैंक का आयाम क्या होना चाहिए?
समाधान। होने देना एक्स- आधार पक्ष एच-टैंक ऊंचाई, एस- इसका सतह क्षेत्र बिना आवरण के, वी- इसकी मात्रा। टैंक का सतह क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है, अर्थात। दो चर का एक कार्य है। ज़ाहिर करना एसएक चर के एक समारोह के रूप में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि, जहां से। मिली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना एचके लिए सूत्र में एस:
आइए हम इस फ़ंक्शन की चरम सीमा की जाँच करें। यह ]0, +∞[ , और में हर जगह परिभाषित और भिन्न है
.
हम व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करते हैं और महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं। इसके अलावा, पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, लेकिन यह मान परिभाषा के डोमेन में शामिल नहीं है और इसलिए एक चरम बिंदु नहीं हो सकता है। तो, - एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु। दूसरे पर्याप्त चिह्न का उपयोग करके इसे एक चरम सीमा की उपस्थिति के लिए जांचें। आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें। जब दूसरा व्युत्पन्न शून्य () से अधिक हो। इसका मतलब यह है कि जब फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुंचता है 
. क्योंकि यह न्यूनतम - इस फ़ंक्शन का एकमात्र चरम, यह इसका सबसे छोटा मान है. तो, टैंक के आधार का किनारा 2 मीटर और इसकी ऊंचाई के बराबर होना चाहिए।
उदाहरण 9पैराग्राफ से ए, रेलवे लाइन पर स्थित है, बिंदु तक साथ, उससे कुछ दूरी पर एल, माल ले जाया जाना चाहिए। रेल द्वारा प्रति इकाई दूरी पर एक भार इकाई के परिवहन की लागत के बराबर है, और राजमार्ग द्वारा यह बराबर है। किस बिंदु पर एमपंक्तियां रेलवेएक राजमार्ग बनाया जाना चाहिए ताकि माल की ढुलाई हो सके एवी साथसबसे किफायती था अबरेलमार्ग को सीधा माना जाता है)?
किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात करें?
इसके लिए हम प्रसिद्ध एल्गोरिदम का पालन करते हैं:
1
. हम ODZ फ़ंक्शंस पाते हैं।
2
. एक समारोह के व्युत्पन्न ढूँढना
3
. व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें
4
. हम उन अंतरालों को खोजते हैं जिन पर व्युत्पन्न अपना चिन्ह बनाए रखता है, और उनसे हम फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल निर्धारित करते हैं:
यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0" शीर्षक="f^(prime)(x)>0">, то функция !} इस अंतराल में बढ़ता है।
यदि अंतराल पर मैं फ़ंक्शन का व्युत्पन्न हूं, तो फ़ंक्शन इस अंतराल में घट जाती है।
5
. हम देखतें है समारोह के अधिकतम और न्यूनतम अंक.
में फ़ंक्शन अधिकतम बिंदु, व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" पर हस्ताक्षर करता है.
में समारोह का न्यूनतम बिंदुव्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न "-" से "+".
6
. हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन का मान पाते हैं,
- फिर हम खंड के अंत में और अधिकतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करते हैं, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो उनमें से सबसे बड़ा चुनें
- या हम खंड के सिरों पर और न्यूनतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करते हैं, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो उनमें से सबसे छोटा चुनें
हालांकि, फ़ंक्शन अंतराल पर कैसे व्यवहार करता है, इसके आधार पर, इस एल्गोरिदम को काफी कम किया जा सकता है।
समारोह पर विचार करें 
. इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:
आइए समस्याओं को हल करने के कुछ उदाहरण देखें खुला बैंकके लिए कार्य
1। टास्क बी15 (#26695)
कटने पर।
1. फलन x के सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित है
जाहिर है, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और एक्स के सभी मूल्यों के लिए व्युत्पन्न सकारात्मक है। इसलिए, फलन बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर सबसे बड़ा मान लेता है, अर्थात x=0 पर।
उत्तर: 5।
2
. टास्क B15 (नंबर 26702)
किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें 
खंड पर।
1.ODZ फ़ंक्शन शीर्षक="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
व्युत्पन्न शून्य पर है, हालांकि, इन बिंदुओं पर यह संकेत नहीं बदलता है:
इसलिए, शीर्षक="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} बढ़ता है और अंतराल के दाहिने सिरे पर, पर सबसे बड़ा मान लेता है।
यह स्पष्ट करने के लिए कि व्युत्पन्न चिह्न क्यों नहीं बदलता है, हम व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति को निम्नानुसार बदलते हैं:
शीर्षक="y^(प्राइम)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2) (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
उत्तर: 5।
3। टास्क बी15 (#26708)
अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।
1. ODZ फ़ंक्शन: शीर्षक="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
आइए इस समीकरण की जड़ों को एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर रखें।
अंतराल में दो संख्याएँ होती हैं: और
चलो चिन्ह लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु x = 0 पर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करते हैं: 
. बिंदुओं से गुजरते समय और व्युत्पन्न परिवर्तन चिन्ह।
आइए समन्वय रेखा पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों के परिवर्तन का चित्रण करें:
जाहिर है, बिंदु एक न्यूनतम बिंदु है (जहां व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" पर हस्ताक्षर करता है), और अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के मानों की तुलना करने की आवश्यकता है न्यूनतम बिंदु पर और खंड के बाएं सिरे पर, .
इस लेख में मैं बात करूंगा सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य खोजने के लिए एल्गोरिथमसमारोह, न्यूनतम और अधिकतम अंक।
सिद्धांत से, हमें निश्चित रूप से आवश्यकता होगी व्युत्पन्न तालिकाऔर भेदभाव नियम. इस बोर्ड में यह सब है:
सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य खोजने के लिए एल्गोरिथम।
मुझे समझाना आसान लगता है विशिष्ट उदाहरण. विचार करना:
उदाहरण:खंड [–4;0] पर फलन y=x^5+20x^3–65x का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।
स्टेप 1।हम व्युत्पन्न लेते हैं।
वाई" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
चरण दोचरम बिंदु ढूँढना।
चरम बिंदुहम ऐसे बिंदुओं को नाम देते हैं जिन पर फलन अपने अधिकतम या न्यूनतम मान तक पहुँच जाता है।
चरम बिंदुओं को खोजने के लिए, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को शून्य (y "= 0) के बराबर करना आवश्यक है
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
अब हम इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं और मिली हुई जड़ें हमारे चरम बिंदु हैं।
मैं t = x^2, फिर 5t^2 + 60t - 65 = 0 को बदलकर ऐसे समीकरणों को हल करता हूं।
समीकरण को 5 से कम करें, हमें मिलता है: t^2 + 12t - 13 = 0
डी = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
हम रिवर्स प्रतिस्थापन x ^ 2 = टी बनाते हैं:
X_(1 और 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 और 4) = ±sqrt(-13) (हम बाहर करते हैं, जड़ के नीचे ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती है, जब तक कि हम जटिल संख्याओं के बारे में बात नहीं कर रहे हैं)
कुल: x_(1) = 1 और x_(2) = -1 - ये हमारे चरम बिंदु हैं।
चरण 3सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य निर्धारित करें।
प्रतिस्थापन विधि।
हालत में, हमें खंड [बी] [-4; 0] दिया गया था। बिंदु x=1 इस खंड में शामिल नहीं है। इसलिए हम इसे नहीं मानते। लेकिन बिंदु x = -1 के अलावा, हमें अपने खंड की बाईं और दाईं सीमाओं पर भी विचार करने की आवश्यकता है, अर्थात, अंक -4 और 0. ऐसा करने के लिए, हम इन तीनों बिंदुओं को मूल कार्य में प्रतिस्थापित करते हैं। ध्यान दें कि मूल एक शर्त में दिया गया है (y=x^5+20x^3–65x), कुछ व्युत्पन्न में प्रतिस्थापन शुरू करते हैं ...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [ख]44
वाई(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन का अधिकतम मूल्य [बी] 44 है और यह अंक [बी] -1 पर पहुंच जाता है, जिसे सेगमेंट [-4] पर फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु कहा जाता है; 0]।
हमने फैसला किया और जवाब मिला, हम महान हैं, आप आराम कर सकते हैं।' लेकिन रुकिए! क्या आपको नहीं लगता कि y(-4) की गणना करना बहुत जटिल है? सीमित समय की स्थितियों में, दूसरी विधि का उपयोग करना बेहतर है, मैं इसे इस तरह कहता हूं:
निरंतरता के अंतराल के माध्यम से।
ये अंतराल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए पाए जाते हैं, जो कि हमारे द्विघात समीकरण के लिए है।
मैं इसे निम्न प्रकार से करता हूं। मैं एक दिशात्मक रेखा खींचता हूं। मैंने अंक निर्धारित किए हैं: -4, -1, 0, 1। इस तथ्य के बावजूद कि 1 दिए गए खंड में शामिल नहीं है, फिर भी इसे निरंतरता के अंतराल को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए नोट किया जाना चाहिए। आइए 1 से कई गुना अधिक संख्या लें, मान लीजिए 100, इसे मानसिक रूप से हमारे द्विवर्गीय समीकरण 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 में प्रतिस्थापित करें। कुछ भी गिनने के बिना भी, यह स्पष्ट हो जाता है कि बिंदु 100 पर फ़ंक्शन में प्लस चिह्न है। इसका मतलब यह है कि 1 से 100 के बीच के अंतराल के लिए इसमें एक धन चिह्न होता है। 1 से गुजरते समय (हम दाएं से बाएं जाते हैं), फ़ंक्शन साइन को माइनस में बदल देगा। बिंदु 0 से गुजरते समय, फ़ंक्शन अपना चिह्न बनाए रखेगा, क्योंकि यह केवल खंड की सीमा है, न कि समीकरण की जड़। -1 से गुजरते समय, फ़ंक्शन साइन को फिर से प्लस में बदल देगा।
सिद्धांत से, हम जानते हैं कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहां है (और हमने इसे इसके लिए आकर्षित किया है) साइन को प्लस से माइनस में बदलता है (बिंदु -1 हमारे मामले में)समारोह पहुँचता है इसकी स्थानीय अधिकतम (y(-1)=44 पहले की गणना के अनुसार)इस खंड पर (यह तार्किक रूप से बहुत स्पष्ट है, कार्य में वृद्धि बंद हो गई है, क्योंकि यह अपनी अधिकतम सीमा तक पहुंच गया है और घटने लगा है)।
तदनुसार, जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न साइन को माइनस से प्लस में बदलता है, हासिल एक समारोह का स्थानीय न्यूनतम. हां, हां, हमने स्थानीय न्यूनतम बिंदु भी पाया, जो कि 1 है, और y(1) अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान है, मान लें -1 से +∞ तक। कृपया ध्यान दें कि यह केवल एक स्थानीय न्यूनतम है, जो कि एक निश्चित खंड पर न्यूनतम है। चूंकि वास्तविक (वैश्विक) न्यूनतम कार्य वहां -∞ में कहीं पहुंच जाएगा।
मेरी राय में, पहली विधि सैद्धांतिक रूप से सरल है, और दूसरी अंकगणितीय संक्रियाओं के संदर्भ में सरल है, लेकिन सिद्धांत के संदर्भ में बहुत अधिक कठिन है। आखिरकार, कभी-कभी ऐसे मामले होते हैं जब फ़ंक्शन समीकरण की जड़ से गुजरने पर संकेत नहीं बदलता है, और वास्तव में आप इन स्थानीय, वैश्विक अधिकतम और न्यूनतम के साथ भ्रमित हो सकते हैं, हालांकि आपको इसे वैसे भी अच्छी तरह से मास्टर करना होगा यदि आप योजना बनाते हैं एक तकनीकी विश्वविद्यालय में प्रवेश के लिए (और क्या देना है प्रोफाइल परीक्षाऔर इस समस्या को हल करें)। लेकिन अभ्यास और केवल अभ्यास आपको सिखाएगा कि ऐसी समस्याओं को एक बार और सभी के लिए कैसे हल किया जाए। और आप हमारी वेबसाइट पर प्रशिक्षण ले सकते हैं। यहाँ ।
यदि आपके कोई प्रश्न हैं, या कुछ स्पष्ट नहीं है, तो पूछना सुनिश्चित करें। मुझे आपको जवाब देने और लेख में परिवर्तन, परिवर्धन करने में खुशी होगी। याद रखें हम इस साइट को एक साथ बना रहे हैं!
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खंड पर। 
