किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान। किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात करें

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान माना अंतराल में समन्वय का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) स्वीकृत मान है।

सबसे बड़ा या खोजने के लिए सबसे छोटा मूल्यकार्यों की जरूरत:

1. जांचें कि दिए गए सेगमेंट में कौन से स्थिर बिंदु शामिल हैं।
2. चरण 3 से खंड के अंत में और स्थिर बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें
3. सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान प्राप्त परिणामों में से चुनें।

अधिकतम या न्यूनतम अंक खोजने के लिए, आपको चाहिए:

1. फ़ंक्शन $f"(x)$ का व्युत्पन्न खोजें
2. समीकरण $f"(x)=0$ को हल करके स्थिर बिंदुओं का पता लगाएं
3. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को फ़ैक्टराइज़ करें।
4. एक समन्वय रेखा बनाएं, उस पर स्थिर बिंदु रखें और खंड 3 के संकेतन का उपयोग करके प्राप्त अंतराल में व्युत्पन्न के चिह्नों को निर्धारित करें।
5. नियम के अनुसार अधिकतम या न्यूनतम अंक खोजें: यदि एक बिंदु पर व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो यह अधिकतम बिंदु होगा (यदि शून्य से प्लस तक, तो यह न्यूनतम बिंदु होगा)। अभ्यास में, अंतराल पर तीरों की छवि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है: अंतराल पर जहां व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, तीर ऊपर की ओर खींचा जाता है और इसके विपरीत।

कुछ प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका:

समारोह	यौगिक
$सी$	$0$
$ एक्स $	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$टीजीएक्स$	$(1)/(cos^2x)$
$ सीटीजीएक्स $	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$पाप^2x$	$sin2x$
$ई^एक्स$	$ई^एक्स$
$ए^एक्स$	$a^xlna$
$ एलएनएक्स $	$(1)/(x)$
$ लॉग_ (ए) एक्स $	$(1)/(xlna)$

भेदभाव के बुनियादी नियम

1. योग और अंतर का व्युत्पन्न प्रत्येक पद के व्युत्पन्न के बराबर है

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें $f(x) = 3x^5 - cosx + (1)/(x)$

योग और अंतर का व्युत्पन्न प्रत्येक पद के व्युत्पन्न के बराबर है

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. किसी उत्पाद का व्युत्पन्न।

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

अवकलज $f(x)=4x∙cosx$ ज्ञात कीजिए

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. भागफल का व्युत्पन्न

$((च(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

व्युत्पन्न खोजें $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((ई^x)^2)$

4. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु खोजें $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. फंक्शन का ODZ ज्ञात करें: $x+11>0; एक्स>-11$

2. फ़ंक्शन $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ का व्युत्पन्न खोजें

3. व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करके स्थिर बिंदुओं का पता लगाएं

$(2x+21)/(x+11)=0$

एक अंश शून्य है यदि अंश शून्य है और भाजक शून्य नहीं है

$2x+21=0; एक्स≠-11$

4. एक समन्वय रेखा बनाएं, उस पर स्थिर बिंदु रखें और प्राप्त अंतराल में व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम डेरिवेटिव में सबसे दाहिने क्षेत्र से किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं, उदाहरण के लिए, शून्य।

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. न्यूनतम बिंदु पर, डेरिवेटिव साइन माइनस से प्लस में बदलता है, इसलिए $-10.5$ बिंदु न्यूनतम बिंदु है।

उत्तर: $-10.5$

पाना उच्चतम मूल्यफ़ंक्शन $y=6x^5-90x^3-5$ अंतराल पर $[-5;1]$

1. फ़ंक्शन $y′=30x^4-270x^2$ का व्युत्पन्न खोजें

2. व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और स्थिर बिंदु खोजें

$30x^4-270x^2=0$

आइए सामान्य कारक $30x^2$ को ब्रैकेट से बाहर निकालें

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर सेट करें

$x^2=0 ; एक्स-3=0; एक्स+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. दिए गए खंड $[-5;1]$ से संबंधित स्थिर बिंदु चुनें

स्थिर अंक $x=0$ और $x=-3$ हमारे लिए उपयुक्त हैं

4. खंड के अंत में और आइटम 3 से स्थिर बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें

अक्सर भौतिकी और गणित में किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करना आवश्यक होता है। यह कैसे करना है, अब हम बताएंगे।

किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे प्राप्त करें: निर्देश

1. किसी दिए गए अंतराल पर निरंतर कार्य के सबसे छोटे मूल्य की गणना करने के लिए, आपको इस एल्गोरिथम का पालन करने की आवश्यकता है:
2. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
3. किसी दिए गए खंड पर उन बिंदुओं को खोजें जिन पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, साथ ही साथ सभी महत्वपूर्ण बिंदु भी। फिर इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें, अर्थात उस समीकरण को हल करें जहां x शून्य के बराबर है। पता करें कि कौन सा मान सबसे छोटा है।
4. पता लगाएं कि फ़ंक्शन के अंत बिंदुओं पर क्या मूल्य है। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान निर्धारित करें।
5. प्राप्त आंकड़ों की तुलना सबसे छोटे मूल्य से करें। प्राप्त संख्याओं में से जो छोटा होगा वह फलन का सबसे छोटा मान होगा।

ध्यान दें कि यदि किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन में सबसे छोटे अंक नहीं होते हैं, तो इसका मतलब यह है कि यह इस खंड पर बढ़ता या घटता है। इसलिए, सबसे छोटे मान की गणना फ़ंक्शन के परिमित खंडों पर की जानी चाहिए।

अन्य सभी मामलों में, फ़ंक्शन के मान की गणना दिए गए एल्गोरिथम के अनुसार की जाती है। एल्गोरिथ्म के प्रत्येक चरण में, आपको एक सरल हल करने की आवश्यकता होगी रेखीय समीकरणएक जड़ के साथ। गलतियों से बचने के लिए रेखाचित्र की सहायता से समीकरण को हल कीजिए।

आधे खुले सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे प्राप्त करें? आधे खुले पर या खुली अवधिफ़ंक्शन, सबसे छोटा मान निम्नानुसार पाया जाना चाहिए। फ़ंक्शन मान के अंत बिंदु पर, फ़ंक्शन की एक तरफा सीमा की गणना करें। दूसरे शब्दों में, एक समीकरण को हल करें जिसमें प्रवृत्त बिंदु मान a+0 और b+0 द्वारा दिए गए हैं, जहां a और b महत्वपूर्ण बिंदुओं के नाम हैं।

अब आप जानते हैं कि किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात किया जाता है। मुख्य बात यह है कि सभी गणना सही, सटीक और त्रुटियों के बिना करें।

एक खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने की प्रक्रिया एक हेलीकॉप्टर पर एक वस्तु (फ़ंक्शन का एक ग्राफ़) के चारों ओर एक आकर्षक उड़ान की याद दिलाती है, जिसमें कुछ बिंदुओं पर लंबी दूरी की तोप से फायरिंग होती है और चुनने से इन प्वॉइंट्स के लिए बहुत ही खास प्वॉइंट्स हैं नियंत्रण शॉट्स. अंक एक निश्चित तरीके से और कुछ नियमों के अनुसार चुने जाते हैं। किस नियम से? इस बारे में हम आगे बात करेंगे।

यदि समारोह वाई = एफ(एक्स) खंड पर निरंतर [ ए, बी] , फिर यह इस सेगमेंट पर पहुंचता है कम से कम और उच्चतम मूल्य . यह या तो में हो सकता है चरम बिंदुया खंड के अंत में। इसलिए खोजने के लिए कम से कम और समारोह का सबसे बड़ा मूल्य , अंतराल पर निरंतर [ ए, बी] , आपको इसके सभी मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है महत्वपूर्ण बिंदुऔर खंड के अंत में, और फिर उनमें से सबसे छोटा और सबसे बड़ा चुनें।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का अधिकतम मान निर्धारित करना आवश्यक है एफ(एक्स) खंड पर [ ए, बी] . ऐसा करने के लिए, इसके सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें [ ए, बी] .

महत्वपूर्ण बिन्दू बिंदु कहा जाता है समारोह परिभाषित, और वह यौगिकया तो शून्य है या मौजूद नहीं है। फिर आपको महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करनी चाहिए। और, अंत में, किसी को फ़ंक्शन के मान की तुलना करनी चाहिए महत्वपूर्ण बिंदुऔर खंड के अंत में ( एफ(ए) और एफ(बी) ). इनमें से सबसे बड़ी संख्या होगी अंतराल पर समारोह का सबसे बड़ा मूल्य [ए, बी] .

खोजने की समस्या फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान .

हम एक साथ फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की तलाश कर रहे हैं

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 2] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं। व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करें और दो महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: और। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, यह खंड के अंत में और बिंदु पर इसके मूल्यों की गणना करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि बिंदु खंड से संबंधित नहीं है [-1, 2] . ये Function Values ​​निम्नलिखित हैं: , , . यह इस प्रकार है कि सबसे छोटा फ़ंक्शन मान(नीचे दिए गए ग्राफ़ पर लाल रंग से चिह्नित), -7 के बराबर, खंड के दाहिने सिरे पर पहुँच जाता है - बिंदु पर, और महानतम(ग्राफ पर भी लाल), 9 के बराबर है, - महत्वपूर्ण बिंदु पर।

यदि फ़ंक्शन एक निश्चित अंतराल में निरंतर है और यह अंतराल एक खंड नहीं है (लेकिन, उदाहरण के लिए, एक अंतराल है; एक अंतराल और एक खंड के बीच का अंतर: अंतराल के सीमा बिंदु अंतराल में शामिल नहीं हैं, लेकिन सेगमेंट के सीमा बिंदुओं को सेगमेंट में शामिल किया गया है), तो फ़ंक्शन के मानों में सबसे छोटा और सबसे बड़ा नहीं हो सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया कार्य ]-∞, +∞[ पर निरंतर है और इसका सबसे बड़ा मान नहीं है।

हालांकि, किसी भी अंतराल (बंद, खुला, या अनंत) के लिए, निरंतर कार्यों की निम्नलिखित संपत्ति रखती है।

उदाहरण 4. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 3] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भागफल के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं:

.

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो हमें एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह अंतराल [-1, 3] से संबंधित है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

आइए इन मूल्यों की तुलना करें। निष्कर्ष: -5/13 के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यबिंदु पर 1 के बराबर।

हम फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मानों को एक साथ खोजना जारी रखते हैं

ऐसे शिक्षक हैं, जो किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के विषय पर, छात्रों को उन उदाहरणों की तुलना में अधिक जटिल नहीं देते हैं, जिनमें फ़ंक्शन एक बहुपद या एक अंश है, अंश और जिनके हर बहुपद हैं। लेकिन हम खुद को ऐसे उदाहरणों तक सीमित नहीं रखेंगे, क्योंकि शिक्षकों में छात्रों को पूर्ण रूप से सोचने के प्रेमी हैं (डेरिवेटिव की तालिका)। इसलिए, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग किया जाएगा।

उदाहरण 6. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को इस प्रकार पाते हैं उत्पाद का व्युत्पन्न :

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड के अंतर्गत आता है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

सभी कार्यों का परिणाम: समारोह अपने न्यूनतम मूल्य तक पहुँच जाता है, 0 के बराबर, एक बिंदु पर और एक बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यके बराबर इ², बिंदु पर।

उदाहरण 7. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:

व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु खंड से संबंधित है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के अंत में और पाए गए महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

निष्कर्ष: समारोह अपने न्यूनतम मूल्य तक पहुँच जाता है, के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्य, के बराबर, बिंदु पर।

लागू चरम समस्याओं में, एक नियम के रूप में, सबसे छोटे (सबसे बड़े) फ़ंक्शन मानों को न्यूनतम (अधिकतम) खोजने के लिए कम किया जाता है। लेकिन यह स्वयं मिनिमा या मैक्सिमा नहीं है जो अधिक व्यावहारिक हित के हैं, बल्कि उस तर्क के मूल्य हैं जिस पर उन्हें हासिल किया जाता है। लागू समस्याओं को हल करते समय, एक अतिरिक्त कठिनाई उत्पन्न होती है - कार्यों का संकलन जो विचाराधीन घटना या प्रक्रिया का वर्णन करता है।

उदाहरण 8 4 की क्षमता वाला एक टैंक, जिसमें चौकोर आधार के साथ समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है और शीर्ष पर खुला होता है, को टिन किया जाना चाहिए। कम से कम सामग्री के साथ इसे कवर करने के लिए टैंक का आयाम क्या होना चाहिए?

समाधान। होने देना एक्स- आधार पक्ष एच-टैंक ऊंचाई, एस- इसका सतह क्षेत्र बिना आवरण के, वी- इसकी मात्रा। टैंक का सतह क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है, अर्थात। दो चर का एक कार्य है। ज़ाहिर करना एसएक चर के एक समारोह के रूप में, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि, जहां से। मिली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना एचके लिए सूत्र में एस:

आइए हम इस फ़ंक्शन की चरम सीमा की जाँच करें। यह ]0, +∞[ , और में हर जगह परिभाषित और भिन्न है

.

हम व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करते हैं और महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं। इसके अलावा, पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, लेकिन यह मान परिभाषा के डोमेन में शामिल नहीं है और इसलिए एक चरम बिंदु नहीं हो सकता है। तो, - एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु। दूसरे पर्याप्त चिह्न का उपयोग करके इसे एक चरम सीमा की उपस्थिति के लिए जांचें। आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें। जब दूसरा व्युत्पन्न शून्य () से अधिक हो। इसका मतलब यह है कि जब फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुंचता है . क्योंकि यह न्यूनतम - इस फ़ंक्शन का एकमात्र चरम, यह इसका सबसे छोटा मान है. तो, टैंक के आधार का किनारा 2 मीटर और इसकी ऊंचाई के बराबर होना चाहिए।

उदाहरण 9पैराग्राफ से ए, रेलवे लाइन पर स्थित है, बिंदु तक साथ, उससे कुछ दूरी पर एल, माल ले जाया जाना चाहिए। रेल द्वारा प्रति इकाई दूरी पर एक भार इकाई के परिवहन की लागत के बराबर है, और राजमार्ग द्वारा यह बराबर है। किस बिंदु पर एमपंक्तियां रेलवेएक राजमार्ग बनाया जाना चाहिए ताकि माल की ढुलाई हो सके एवी साथसबसे किफायती था अबरेलमार्ग को सीधा माना जाता है)?

एक फ़ंक्शन के रूप में गणितीय विश्लेषण की ऐसी वस्तु का अध्ययन बहुत महत्व रखता है। अर्थऔर विज्ञान के अन्य क्षेत्रों में। उदाहरण के लिए, में आर्थिक विश्लेषणव्यवहार का लगातार मूल्यांकन करने की आवश्यकता है कार्यलाभ, अर्थात् इसकी अधिकतम निर्धारित करने के लिए अर्थऔर इसे प्राप्त करने के लिए एक रणनीति विकसित करें।

अनुदेश

किसी भी व्यवहार का अध्ययन हमेशा परिभाषा के क्षेत्र की खोज से शुरू होना चाहिए। आमतौर पर, किसी विशेष समस्या की स्थिति के अनुसार, सबसे बड़ा निर्धारित करना आवश्यक होता है अर्थ कार्यया तो इस पूरे क्षेत्र पर, या इसके विशिष्ट अंतराल पर खुली या बंद सीमाओं के साथ।

के आधार पर सबसे बड़ा है अर्थ कार्य y(x0), जिसके तहत परिभाषा के डोमेन के किसी भी बिंदु के लिए असमानता y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0) संतुष्ट है। रेखांकन के अनुसार, यह बिंदु उच्चतम होगा यदि आप एब्सिस्सा अक्ष के साथ तर्क के मूल्यों को व्यवस्थित करते हैं, और स्वयं को समन्वय अक्ष के साथ कार्य करते हैं।

सबसे बड़ा निर्धारित करने के लिए अर्थ कार्य, तीन-चरण एल्गोरिथम का पालन करें। ध्यान दें कि आपको एकतरफा और के साथ-साथ डेरिवेटिव की गणना करने में सक्षम होना चाहिए। इसलिए, मान लीजिए कि कुछ फलन y(x) दिया हुआ है और इसका सबसे बड़ा ज्ञात करना आवश्यक है अर्थसीमा मान ए और बी के साथ कुछ अंतराल पर।

पता करें कि क्या यह अंतराल दायरे में है कार्य. ऐसा करने के लिए, आपको सभी संभावित प्रतिबंधों पर विचार करते हुए इसे खोजने की आवश्यकता है: अभिव्यक्ति में एक अंश की उपस्थिति, वर्गमूलवगैरह। परिभाषा का क्षेत्र तर्क मानों का समूह है जिसके लिए फ़ंक्शन समझ में आता है। निर्धारित करें कि क्या दिया गया अंतराल इसका एक उपसमुच्चय है। यदि हाँ, तो अगले चरण पर जाएँ।

व्युत्पन्न खोजें कार्यऔर व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करके परिणामी समीकरण को हल करें। इस प्रकार, आपको तथाकथित स्थिर बिंदुओं के मान मिलेंगे। मूल्यांकन करें यदि उनमें से कम से कम एक अंतराल A, B से संबंधित है।

तीसरे चरण में इन बिंदुओं पर विचार करें, उनके मूल्यों को फ़ंक्शन में बदलें। अंतराल प्रकार के आधार पर निम्न अतिरिक्त चरणों का पालन करें। यदि फॉर्म [ए, बी] का एक खंड है, तो सीमा बिंदुओं को अंतराल में शामिल किया गया है, यह कोष्ठक द्वारा इंगित किया गया है। मानों की गणना करें कार्य x = A और x = B के लिए। यदि खुला अंतराल (A, B) है, तो सीमा मान पंचर हो जाते हैं, अर्थात इसमें शामिल नहीं हैं। x→A और x→B के लिए एकतरफा सीमाएं हल करें। फॉर्म [ए, बी) या (ए, बी) का एक संयुक्त अंतराल, जिसकी सीमाओं में से एक इससे संबंधित है, दूसरा नहीं है। एकतरफा सीमा का पता लगाएं क्योंकि x छिद्रित मान की ओर जाता है, और दूसरे को प्रतिस्थापित करता है फलन। अनंत दो-तरफा अंतराल (-∞, +∞) या एकतरफा अनंत अंतराल के रूप: , (-∞, बी) वास्तविक सीमा ए और बी के लिए, पहले से वर्णित सिद्धांतों के अनुसार आगे बढ़ें, और अनंत के लिए , क्रमशः x→-∞ और x→+∞ के लिए सीमाएं देखें।

इस चरण में कार्य

समारोह का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य

किसी फलन का सबसे बड़ा मान सबसे बड़ा कहलाता है, सबसे छोटा मान उसके सभी मानों में सबसे छोटा होता है।

एक फ़ंक्शन में केवल एक सबसे बड़ा और केवल एक सबसे छोटा मान हो सकता है, या कोई भी नहीं हो सकता है। निरंतर कार्यों के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों का पता लगाना इन कार्यों के निम्नलिखित गुणों पर आधारित है:

1) यदि कुछ अंतराल (परिमित या अनंत) में फ़ंक्शन y=f(x) निरंतर है और केवल एक चरम सीमा है, और यदि यह अधिकतम (न्यूनतम) है, तो यह फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (न्यूनतम) मान होगा इस अंतराल में।

2) यदि फ़ंक्शन f(x) किसी सेगमेंट पर निरंतर है, तो इस सेगमेंट पर इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान होना चाहिए। ये मान या तो खंड के अंदर स्थित चरम बिंदुओं पर या इस खंड की सीमाओं पर पहुँच जाते हैं।

खंड पर सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए, निम्नलिखित योजना का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है:

1. अवकलज ज्ञात कीजिए।

2. फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें जहां =0 या मौजूद नहीं है।

3. महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के अंत में फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें और उनमें से सबसे बड़ा f अधिकतम और सबसे छोटा f मिनट चुनें।

लागू समस्याओं को हल करते समय, विशेष रूप से अनुकूलन समस्याओं में, अंतराल X पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान (वैश्विक अधिकतम और वैश्विक न्यूनतम) खोजने की समस्याएं महत्वपूर्ण हैं। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, शर्त के आधार पर, , एक स्वतंत्र चर चुनें और इस चर के माध्यम से अध्ययन के तहत मूल्य को व्यक्त करें। फिर परिणामी फ़ंक्शन का वांछित अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करें। इस मामले में, स्वतंत्र चर के परिवर्तन का अंतराल, जो परिमित या अनंत हो सकता है, समस्या की स्थिति से भी निर्धारित होता है।

उदाहरण।टैंक, जिसमें एक चौकोर तल के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है, शीर्ष पर खुला होता है, इसे टिन के साथ अंदर से टिन किया जाना चाहिए। 108 लीटर की क्षमता वाले टैंक का आयाम क्या होना चाहिए। पानी ताकि इसकी टिनिंग की लागत कम से कम हो?

समाधान।टिन के साथ टैंक को कोटिंग करने की लागत सबसे कम होगी यदि दी गई क्षमता के लिए इसकी सतह न्यूनतम हो। एक डीएम - आधार की तरफ, बी डीएम - टैंक की ऊंचाई से निरूपित करें। तब इसकी सतह का क्षेत्रफल S के बराबर होता है

और

परिणामी संबंध टैंक एस (फ़ंक्शन) के सतह क्षेत्र और आधार के किनारे (तर्क) के बीच संबंध स्थापित करता है। हम चरम सीमा के लिए फलन S की जांच करते हैं। पहला व्युत्पन्न खोजें, इसे शून्य के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें:

इसलिए a = 6. (a) > 0 a > 6 के लिए, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

उदाहरण. किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए बीच में।

समाधान: निर्दिष्ट फलन संपूर्ण संख्या अक्ष पर सतत है। समारोह व्युत्पन्न

व्युत्पन्न पर और पर। आइए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

.

दिए गए अंतराल के सिरों पर फ़ंक्शन मान बराबर हैं। इसलिए, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान पर है, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान पर है।

आत्मनिरीक्षण के लिए प्रश्न

1. प्रपत्र की अनिश्चितताओं के प्रकटीकरण के लिए ल'हॉपिटल का नियम तैयार करें। विभिन्न प्रकार की अनिश्चितताओं की सूची बनाएं जिनके लिए L'Hospital के नियम का उपयोग किया जा सकता है।

2. बढ़ते और घटते कार्य के संकेत तैयार करें।

3. अधिकतम और न्यूनतम फ़ंक्शन को परिभाषित करें।

4. चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त तैयार करें।

5. तर्क के किन मूल्यों (किन बिंदुओं) को महत्वपूर्ण कहा जाता है? इन बिंदुओं को कैसे खोजें?

6. किसी फलन के चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त संकेत क्या हैं? पहले डेरिवेटिव का उपयोग करके चरम के लिए एक फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एक योजना की रूपरेखा तैयार करें।

7. दूसरे अवकलज का उपयोग करते हुए एक चरम सीमा के लिए फलन का अध्ययन करने के लिए योजना की रूपरेखा तैयार करें।

8. वक्र की उत्तलता, अवतलता को परिभाषित कीजिए।

9. फलन ग्राफ का विभक्ति बिंदु क्या है? निर्दिष्ट करें कि इन बिंदुओं को कैसे खोजें।

10. किसी दिए गए खंड पर वक्र की उत्तलता और अवतलता के आवश्यक और पर्याप्त संकेत तैयार करें।

11. वक्र की अनंतस्पर्शी को परिभाषित कीजिए। फ़ंक्शन ग्राफ़ के लंबवत, क्षैतिज और तिरछे स्पर्शोन्मुख कैसे खोजें?

12. राज्य सामान्य योजनाइसके ग्राफ के कार्य और निर्माण का अध्ययन।

13. किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एक नियम तैयार करें।