Trokutasta piramida čiji su bridovi jednaki. Glavna svojstva pravilne piramide

Ovdje su prikupljene osnovne informacije o piramidama i povezanim formulama i pojmovima. Svi oni se proučavaju s mentorom iz matematike u pripremi za ispit.

Razmotrimo ravninu, poligon koja leži u njoj i točka S koja ne leži u njoj. Spoji S sa svim vrhovima poligona. Dobiveni poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočnim rubovima. Poligon se naziva baza, a točka S vrh piramide. Ovisno o broju n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četverokuta (n=4), peterokutna (n=5) i tako dalje. Alternativni naziv za trokutastu piramidu - tetraedar. Visina piramide je okomica povučena iz njenog vrha na ravninu baze.

Piramida se naziva ispravnom ako pravilan poligon, a osnovica visine piramide (osnovka okomice) je njezino središte.

Komentar nastavnika:
Nemojte brkati koncept "pravilne piramide" i "pravilnog tetraedra". Na desnoj piramidi bočna rebra nisu nužno jednaki bridovima baze, ali u pravilnom tetraedru svih 6 bridova bridova je jednako. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira da je središte P mnogokuta s visinskom bazom, pa je pravilni tetraedar pravilna piramida.

Što je apotem?
Apotem piramide je visina njezine bočne strane. Ako je piramida pravilna, tada su joj svi apotemi jednaki. Obrnuto ne vrijedi.

Učitelj matematike o svojoj terminologiji: rad s piramidama je 80% izgrađen kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotem SK i visinu SP
2) Sadrži bočni brid SA i njegovu projekciju PA

Kako bismo pojednostavili reference na ove trokute, prikladnije je za učitelja matematike imenovati prvi od njih apotema, i drugo kostalni. Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, te je učitelj mora uvesti jednostrano.

Formula volumena piramide:
1) , gdje je površina baze piramide, a je visina piramide
2) , gdje je polumjer upisane sfere, a ukupna površina piramide.
3) , gdje je MN udaljenost bilo koja dva brida koja se križaju, a površina paralelograma koju tvore središta četiriju preostalih bridova.

Svojstvo osnove visine piramide:

Točka P (vidi sliku) podudara se sa središtem upisane kružnice u podnožju piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:
1) Svi apotemi su jednaki
2) Sve bočne strane su jednako nagnute prema bazi
3) Svi apotemi su podjednako nagnuti prema visini piramide
4) Visina piramide jednako je nagnuta prema svim bočnim stranicama

Komentar učitelja matematike: imajte na umu da su sve točke ujedinjene jednim zajedničkim svojstvom: na ovaj ili onaj način, bočne strane sudjeluju posvuda (apoteme su njihovi elementi). Stoga učitelj može ponuditi manje preciznu, ali prikladniju formulaciju za pamćenje: točka P podudara se sa središtem upisanog kruga, baze piramide, ako postoje jednaki podaci o njezinim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi apotemski trokuti jednaki.

Točka P poklapa se sa središtem opisane kružnice u blizini baze piramide, ako je ispunjen jedan od tri uvjeta:
1) Svi bočni rubovi su jednaki
2) Sva bočna rebra su jednako nagnuta prema podlozi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini

• apotema- visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena od njenog vrha (osim toga, apotem je duljina okomice, koja je spuštena iz sredine pravilnog mnogokuta na 1 njegovu stranu);
• bočna lica (ASB, BSC, CSD, DSA) - trokuti koji se spajaju na vrhu;
• bočna rebra ( KAO , BS , CS , D.S. ) - zajedničke strane bočnih lica;
• vrh piramide (v. S) - točka koja spaja bočne bridove i koja ne leži u ravnini baze;
• visina ( TAKO ) - segment okomice, koji se povlači kroz vrh piramide do ravnine njezine baze (krajevi takvog segmenta bit će vrh piramide i baza okomice);
• dijagonalni presjek piramide- presjek piramide, koji prolazi kroz vrh i dijagonalu baze;
• baza (ABCD) je poligon kojem ne pripada vrh piramide.

svojstva piramide.

1. Kada su svi bočni rubovi iste veličine, tada:

• u blizini baze piramide lako je opisati krug, dok će vrh piramide biti projiciran u središte ovog kruga;
• bočna rebra tvore jednake kutove s osnovnom ravninom;
• osim toga vrijedi i obrnuto, tj. kada bočni bridovi tvore jednake kutove s ravninom baze, ili kada se krug može opisati u blizini baze piramide i vrh piramide će biti projiciran u središte tog kruga, tada svi bočni bridovi piramide imaju iste veličine.

2. Kada bočne strane imaju kut nagiba prema ravnini baze iste vrijednosti, tada:

• u blizini baze piramide, lako je opisati krug, dok će vrh piramide biti projiciran u središte ovog kruga;
• visine bočnih lica su jednake dužine;
• površina bočne površine je ½ produkta opsega baze i visine bočne strane.

3. U blizini piramide može se opisati sfera ako je baza piramide mnogokut oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će točka presjeka ravnina koje prolaze središtima bridova piramide okomite na njih. Iz ovog teorema zaključujemo da se sfera može opisati i oko svake trokutaste i oko svake pravilne piramide.

4. U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u 1. točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će postati središte sfere.

Najjednostavnija piramida.

Prema broju uglova baze piramide se dijele na trokutaste, četverokutne i tako dalje.

Piramida će trokutasti, četverokutan, i tako dalje, kada je baza piramide trokut, četverokut i tako dalje. Trokutasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četverokut - pentaedar i tako dalje.

Video lekcija 2: Piramidalni izazov. Volumen piramide

Video lekcija 3: Piramidalni izazov. Ispravna piramida

Predavanje: Piramida, njena baza, bočni bridovi, visina, bočna površina; trokutasta piramida; desna piramida

Piramida- Ovo je trodimenzionalno tijelo koje u osnovi ima mnogokut, a sva njegova lica sastoje se od trokuta.

Poseban slučaj piramide je stožac u čijoj osnovi leži krug.

Razmotrite glavne elemente piramide:

Apotema je segment koji spaja vrh piramide sa sredinom donjeg ruba bočne strane. Drugim riječima, ovo je visina lica piramide.

Na slici možete vidjeti trokute ADS, ABS, BCS, CDS. Ako pažljivo pogledate imena, možete vidjeti da svaki trokut ima jedno zajedničko slovo u svom nazivu - S. To znači da se sva bočna lica (trokuta) skupljaju u jednoj točki, koja se naziva vrh piramide.

Odsječak OS koji povezuje vrh s točkom presjeka dijagonala baze (kod trokuta u točki presjeka visina) naziva se visina piramide.

Dijagonalni presjek je ravnina koja prolazi kroz vrh piramide, kao i jedna od dijagonala baze.

Budući da se bočna površina piramide sastoji od trokuta, da biste pronašli ukupnu površinu bočne površine, potrebno je pronaći površine svakog lica i dodati ih. Broj i oblik ploha ovisi o obliku i veličini stranica mnogokuta koji leži u osnovi.

Jedina ravnina u piramidi koja nema vrh zove se osnova piramide.

Na slici vidimo da je baza paralelogram, ali može biti proizvoljan poligon.

Svojstva:

Razmotrimo prvi slučaj piramide, u kojoj ona ima bridove iste duljine:

• Oko baze takve piramide može se opisati krug. Ako projicirate vrh takve piramide, tada će se njegova projekcija nalaziti u središtu kruga.
• Kutovi na dnu piramide su isti za svako lice.
• Istovremeno, dovoljnim uvjetom da se oko baze piramide može opisati krug, kao i da su svi rubovi različite duljine, mogu se smatrati isti kutovi između baze i svakog ruba lica. .

Ako naiđete na piramidu u kojoj su kutovi između bočnih stranica i baze jednaki, tada su sljedeća svojstva istinita:

• Moći ćete opisati krug oko baze piramide, čiji je vrh projiciran točno u središte.
• Ako nacrtate na svakoj bočnoj plohi visine do baze, tada će biti jednake duljine.
• Da biste pronašli bočnu površinu takve piramide, dovoljno je pronaći opseg baze i pomnožiti ga s polovicom duljine visine.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Vrste piramida.
• Ovisno o tome koji mnogokut leži u podnožju piramide, oni mogu biti trokutasti, četverokutni itd. Ako u podnožju piramide leži pravilan mnogokut (s jednakim stranicama), tada će se takva piramida zvati pravilnom.

Pravilna trokutasta piramida

Dobro su nam poznate velike egipatske piramide, svatko može zamisliti kako izgledaju. Ovaj prikaz će nam pomoći da razumijemo značajke takvih geometrijski lik poput piramide.

Piramida je poliedar koji se sastoji od ravnog mnogokuta - baze piramide, točke koja ne leži u ravnini baze - vrha piramide i svih segmenata koji spajaju vrh s točkama baze. Segmenti koji spajaju vrh piramide s vrhom baze nazivaju se bočnim rubovima. Na sl. 1 prikazuje piramidu SABCD. Četverokut ABCD je baza piramide, točka S je vrh piramide, odsječci SA, SB, SC i SD su bridovi piramide.

Visina piramide je okomica spuštena s vrha piramide na ravninu baze. Na sl. 1 SO je visina piramide.

Piramida se naziva n-kutna ako joj je baza n-kut. Slika 1 prikazuje četverokutnu piramidu. Trokutasta piramida naziva se tetraedar.

Piramida se naziva pravilnom ako je njena baza pravilan mnogokut, a baza visine se poklapa sa središtem tog mnogokuta. Bočni bridovi pravilne piramide su jednaki, pa su stoga bočne strane jednakokračni trokuti. U pravilnoj piramidi, visina bočne strane povučena od vrha piramide naziva se apotemom.

Piramida ima niz svojstava.

Sve dijagonale piramide pripadaju njezinim plohama.

Ako su svi bočni rubovi jednaki, tada:

• u blizini baze piramide može se opisati krug, a vrh piramide je projiciran u njeno središte;
• bočni bridovi tvore jednake kutove s baznom ravninom, i obrnuto, ako bočni bridovi tvore jednake kutove s baznom ravninom, ili ako se kružnica može opisati u blizini baze piramide, a vrh piramide je projiciran u njezino središte, tada su svi bočni bridovi piramide jednaki.

Ako su bočne strane nagnute prema osnovnoj ravnini pod jednim kutom, tada:

• krug se može upisati u podnožje piramide, a vrh piramide projicira se u njezino središte;
• visine bočnih strana su jednake;
• površina bočne plohe jednaka je polovici umnoška opsega baze i visine bočne plohe.

Razmotrite formule za pronalaženje volumena, površine piramide.

Volumen piramide može se izračunati pomoću sljedeće formule:

gdje je S površina baze, a h visina.

Da biste pronašli ukupnu površinu piramide, koristite formulu:

S p \u003d S b + S o,

gdje je S p ukupna površina, S b bočna površina, S o osnovna površina.

Krnja piramida je poliedar zatvoren između baze piramide i sjecišta paralelne s bazom. Lica krnje piramide, koja leže u paralelnim ravninama, nazivaju se bazama krnje piramide, a preostala lica nazivaju se bočnim stranama. Osnove krnje piramide su slični poligoni, bočne strane su trapezi. Krnja piramida koja se dobiva iz pravilne piramide naziva se pravilnom krnjom piramidom. Bočne strane pravilnog krnjeg trapeza su jednaki jednakokračni trapezi, njihove visine se nazivaju apotemama.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.