Piramida njena baza bočna rebra visina. Piramida

• apotema- visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena od njenog vrha (osim toga, apotem je duljina okomice, koja je spuštena iz sredine pravilnog mnogokuta na 1 njegovu stranu);
• bočna lica (ASB, BSC, CSD, DSA) - trokuti koji se spajaju na vrhu;
• bočna rebra ( KAO , BS , CS , D.S. ) - zajedničke strane bočnih lica;
• vrh piramide (v. S) - točka koja spaja bočne bridove i koja ne leži u ravnini baze;
• visina ( TAKO ) - segment okomice, koji se povlači kroz vrh piramide do ravnine njezine baze (krajevi takvog segmenta bit će vrh piramide i baza okomice);
• dijagonalni presjek piramide- presjek piramide, koji prolazi kroz vrh i dijagonalu baze;
• baza (ABCD) je poligon kojem ne pripada vrh piramide.

svojstva piramide.

1. Kada su svi bočni rubovi iste veličine, tada:

• u blizini baze piramide lako je opisati krug, dok će vrh piramide biti projiciran u središte ovog kruga;
• bočna rebra tvore jednake kutove s osnovnom ravninom;
• osim toga vrijedi i obrnuto, tj. kada bočni bridovi tvore jednake kutove s ravninom baze, ili kada se krug može opisati u blizini baze piramide i vrh piramide će biti projiciran u središte tog kruga, tada svi bočni bridovi piramide imaju iste veličine.

2. Kada bočne strane imaju kut nagiba prema ravnini baze iste vrijednosti, tada:

• u blizini baze piramide, lako je opisati krug, dok će vrh piramide biti projiciran u središte ovog kruga;
• visine bočnih lica su jednake dužine;
• površina bočne površine je ½ produkta opsega baze i visine bočne strane.

3. U blizini piramide može se opisati sfera ako je baza piramide mnogokut oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će točka presjeka ravnina koje prolaze središtima bridova piramide okomite na njih. Iz ovog teorema zaključujemo da, kao o svakom trokutu, i o svakom pravilna piramida može se opisati sfera.

4. U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u 1. točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će postati središte sfere.

Najjednostavnija piramida.

Prema broju uglova baze piramide se dijele na trokutaste, četverokutne i tako dalje.

Piramida će trokutasti, četverokutan, i tako dalje, kada je baza piramide trokut, četverokut i tako dalje. Trokutasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četverokut - pentaedar i tako dalje.

Ovdje su prikupljene osnovne informacije o piramidama i povezanim formulama i pojmovima. Svi oni se proučavaju s mentorom iz matematike u pripremi za ispit.

Razmotrimo ravninu, poligon koja leži u njoj i točka S koja ne leži u njoj. Spoji S sa svim vrhovima poligona. Dobiveni poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočnim rubovima. Poligon se naziva baza, a točka S vrh piramide. Ovisno o broju n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četverokuta (n=4), peterokutna (n=5) i tako dalje. Alternativni naziv za trokutastu piramidu - tetraedar. Visina piramide je okomica povučena iz njenog vrha na ravninu baze.

Piramida se naziva ispravnom ako pravilan poligon, a osnovica visine piramide (osnovka okomice) je njezino središte.

Komentar nastavnika:
Nemojte brkati koncept "pravilne piramide" i "pravilnog tetraedra". U pravilnoj piramidi bočni bridovi nisu nužno jednaki bridovima baze, ali u pravilnom tetraedru svih 6 bridova bridova je jednako. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira da je središte P mnogokuta s visinskom bazom, pa je pravilni tetraedar pravilna piramida.

Što je apotem?
Apotem piramide je visina njezine bočne strane. Ako je piramida pravilna, tada su joj svi apotemi jednaki. Obrnuto ne vrijedi.

Učitelj matematike o svojoj terminologiji: rad s piramidama je 80% izgrađen kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotem SK i visinu SP
2) Sadrži bočni brid SA i njegovu projekciju PA

Kako bismo pojednostavili reference na ove trokute, prikladnije je za učitelja matematike imenovati prvi od njih apotema, i drugo kostalni. Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, te je učitelj mora uvesti jednostrano.

Formula volumena piramide:
1) , gdje je površina baze piramide, a je visina piramide
2) , gdje je polumjer upisane sfere, a ukupna površina piramide.
3) , gdje je MN udaljenost bilo koja dva brida koja se križaju, a površina paralelograma koju tvore središta četiriju preostalih bridova.

Svojstvo osnove visine piramide:

Točka P (vidi sliku) podudara se sa središtem upisane kružnice u podnožju piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:
1) Svi apotemi su jednaki
2) Sve bočne strane su jednako nagnute prema bazi
3) Svi apotemi su podjednako nagnuti prema visini piramide
4) Visina piramide jednako je nagnuta prema svim bočnim stranicama

Komentar učitelja matematike: imajte na umu da su sve točke ujedinjene jednim zajedničkim svojstvom: na ovaj ili onaj način, bočne strane sudjeluju posvuda (apoteme su njihovi elementi). Stoga učitelj može ponuditi manje preciznu, ali prikladniju formulaciju za pamćenje: točka P podudara se sa središtem upisanog kruga, baze piramide, ako postoje jednaki podaci o njezinim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi apotemski trokuti jednaki.

Točka P poklapa se sa središtem opisane kružnice u blizini baze piramide, ako je ispunjen jedan od tri uvjeta:
1) Svi bočni rubovi su jednaki
2) Sva bočna rebra su jednako nagnuta prema podlozi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini

Video lekcija 2: Piramidalni izazov. Volumen piramide

Video lekcija 3: Piramidalni izazov. Ispravna piramida

Predavanje: Piramida, njena baza, bočni bridovi, visina, bočna površina; trokutasta piramida; desna piramida

Piramida- Ovo je trodimenzionalno tijelo koje u osnovi ima mnogokut, a sva njegova lica sastoje se od trokuta.

Poseban slučaj piramide je stožac u čijoj osnovi leži krug.

Razmotrite glavne elemente piramide:

Apotema je segment koji spaja vrh piramide sa sredinom donjeg ruba bočne strane. Drugim riječima, ovo je visina lica piramide.

Na slici možete vidjeti trokute ADS, ABS, BCS, CDS. Ako pažljivo pogledate imena, možete vidjeti da svaki trokut ima jedno zajedničko slovo u svom nazivu - S. To znači da se sva bočna lica (trokuta) skupljaju u jednoj točki, koja se naziva vrh piramide.

Odsječak OS, koji povezuje vrh sa sjecištem dijagonala baze (kod trokuta, na sjecištu visina), naziva se visina piramide.

Dijagonalni presjek je ravnina koja prolazi kroz vrh piramide, kao i jedna od dijagonala baze.

Budući da se bočna površina piramide sastoji od trokuta, da biste pronašli ukupnu površinu bočne površine, potrebno je pronaći površine svakog lica i dodati ih. Broj i oblik ploha ovisi o obliku i veličini stranica mnogokuta koji leži u osnovi.

Jedina ravnina u piramidi koja nema vrh zove se osnova piramide.

Na slici vidimo da je baza paralelogram, ali može biti proizvoljan poligon.

Svojstva:

Razmotrimo prvi slučaj piramide, u kojoj ona ima bridove iste duljine:

• Oko baze takve piramide može se opisati krug. Ako projicirate vrh takve piramide, tada će se njegova projekcija nalaziti u središtu kruga.
• Kutovi na dnu piramide su isti za svako lice.
• Istovremeno, dovoljnim uvjetom da se oko baze piramide može opisati krug, kao i da su svi rubovi različite duljine, mogu se smatrati isti kutovi između baze i svakog ruba lica. .

Ako naiđete na piramidu u kojoj su kutovi između bočnih stranica i baze jednaki, tada su sljedeća svojstva istinita:

• Moći ćete opisati krug oko baze piramide, čiji je vrh projiciran točno u središte.
• Ako nacrtate na svakoj bočnoj plohi visine do baze, tada će biti jednake duljine.
• Da biste pronašli bočnu površinu takve piramide, dovoljno je pronaći opseg baze i pomnožiti ga s polovicom duljine visine.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Vrste piramida.
• Ovisno o tome koji mnogokut leži u podnožju piramide, oni mogu biti trokutasti, četverokutni itd. Ako u podnožju piramide leži pravilan mnogokut (s jednakim stranicama), tada će se takva piramida zvati pravilnom.

Pravilna trokutasta piramida

Koncept piramide

Definicija 1

Geometrijski lik, koju čine poligon i točka koja ne leži u ravnini koja sadrži taj poligon, povezana sa svim vrhovima poligona, naziva se piramida (slika 1).

Mnogokut od kojeg je sastavljena piramida naziva se baza piramide, trokuti dobiveni spajanjem s točkom su bočne strane piramide, stranice trokuta su stranice piramide, a točka zajednička svim trokuta je vrh piramide.

Vrste piramida

Ovisno o broju uglova u podnožju piramide, može se nazvati trokutasta, četverokuta i tako dalje (slika 2).

Slika 2.

Druga vrsta piramide je pravilna piramida.

Uvedimo i dokažimo svojstvo pravilne piramide.

Teorem 1

Sve bočne strane pravilne piramide su jednakokračni trokuti koji su međusobno jednaki.

Dokaz.

Promotrimo pravilnu $n-$kutnu piramidu s vrhom $S$ visine $h=SO$. Opišimo kružnicu oko baze (slika 4).

Slika 4

Promotrimo trokut $SOA$. Po Pitagorinoj teoremi dobivamo

Očito je da će svaki bočni rub biti definiran na ovaj način. Stoga su svi bočni bridovi međusobno jednaki, odnosno sve su bočne plohe jednakokračni trokuti. Dokažimo da su međusobno jednaki. Budući da je baza pravilan mnogokut, osnovice svih bočnih stranica su međusobno jednake. Prema tome, sve su bočne strane jednake prema III znaku jednakosti trokuta.

Teorem je dokazan.

Sada uvodimo sljedeću definiciju vezanu uz pojam pravilne piramide.

Definicija 3

Apotem pravilne piramide je visina njezine bočne strane.

Očito, prema teoremu 1, svi apotemi su jednaki.

Teorem 2

Bočna površina pravilne piramide definirana je kao umnožak poluopsega baze i apoteme.

Dokaz.

Označimo stranicu baze piramide $n-$ugljena s $a$, a apotemu s $d$. Stoga je površina bočne strane jednaka

Budući da su prema teoremu 1 sve strane jednake, onda

Teorem je dokazan.

Drugi tip piramide je krnja piramida.

Definicija 4

Ako se kroz običnu piramidu povuče ravnina paralelna s njezinom bazom, tada se lik formiran između te ravnine i ravnine baze naziva krnja piramida (slika 5).

Slika 5. Krnja piramida

Bočne strane krnje piramide su trapezi.

Teorem 3

Površina bočne površine pravilne krnje piramide definirana je kao umnožak zbroja poluperimetara baza i apoteme.

Dokaz.

Označimo stranice baza $n-$ugljene piramide s $a\ odnosno\ b$, a apotemu s $d$. Stoga je površina bočne strane jednaka

Budući da su sve strane jednake, dakle

Teorem je dokazan.

Primjer zadatka

Primjer 1

Odredite površinu bočne površine krnje trokutaste piramide ako je dobivena od pravilne piramide s osnovnom stranom 4 i apotemom 5 odsijecanjem ravninom koja prolazi kroz središnju liniju bočnih stranica.

Riješenje.

Prema teoremu o središnjoj liniji dobivamo da je gornja baza krnje piramide jednaka $4\cdot \frac(1)(2)=2$, a apotem jednak $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5 dolara.

Zatim, prema teoremu 3, dobivamo