Formula polumjera upisane kružnice u pravokutni trokut. Formule za polumjere upisanih i opisanih kružnica pravilnih mnogokuta

Vrlo često, kada rješavate geometrijske probleme, morate izvoditi akcije s pomoćnim figurama. Na primjer, pronađite polumjer upisane ili opisane kružnice itd. Ovaj članak će vam pokazati kako pronaći polumjer kruga koji opisuje trokut. Ili, drugim riječima, radijus kružnice u koju je upisan trokut.

Kako pronaći polumjer kruga opisanog oko trokuta - opća formula

Opća formula je sljedeća: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), gdje je R polumjer opisane kružnice, p opseg trokuta podijeljen s 2 (poluperimetar). a, b, c su stranice trokuta.

Odredi polumjer kruga opisanog trokuta ako je a = 3, b = 6, c = 7.

Dakle, na temelju gornje formule izračunavamo poluopseg:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Zamijenite vrijednosti u formuli i dobijte:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Odgovor: R = 126/16√5

Kako pronaći polumjer kružnice opisane oko jednakostraničnog trokuta

Da biste pronašli polumjer kružnice opisane oko jednakostraničnog trokuta, postoji prilično jednostavna formula: R = a/√3, gdje je a vrijednost njegove strane.

Primjer: Stranica jednakostraničnog trokuta je 5. Odredi polumjer opisane kružnice.

Budući da su sve stranice jednakostraničnog trokuta jednake, da biste riješili problem, samo trebate unijeti njegovu vrijednost u formulu. Dobivamo: R = 5/√3.

Odgovor: R = 5/√3.

Kako pronaći polumjer kružnice opisane pravokutnom trokutu

Formula izgleda ovako: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, gdje su a i b katete, a c je hipotenuza. Zbrojimo li kvadrate kateta u pravokutnom trokutu, dobit ćemo kvadrat hipotenuze. Kao što se može vidjeti iz formule, ovaj izraz je ispod korijena. Izračunavanjem korijena iz kvadrata hipotenuze dobivamo samu duljinu. Množenje dobivenog izraza s 1/2 na kraju nas dovodi do izraza 1/2 × c = c/2.

Primjer: Izračunajte polumjer opisane kružnice ako su kraci trokuta 3 i 4. Zamijenite vrijednosti u formulu. Dobivamo: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

U ovom izrazu, 5 je duljina hipotenuze.

Odgovor: R = 2,5.

Kako pronaći polumjer kružnice opisane oko jednakokračnog trokuta

Formula izgleda ovako: R = a² / √ (4a² - b²), gdje je a duljina bedra trokuta, a b duljina baze.

Primjer: Izračunajte polumjer kruga ako je njegov kuk = 7, a baza = 8.

Rješenje: Zamjenjujemo ove vrijednosti u formulu i dobivamo: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. Odgovor se može izravno napisati ovako.

Odgovor: R = 49/√132

Internetski resursi za izračunavanje polumjera kruga

Vrlo se lako zbuniti u svim tim formulama. Stoga, ako je potrebno, možete koristiti online kalkulatori, koji će vam pomoći u rješavanju problema o pronalaženju polumjera. Načelo rada takvih mini programa vrlo je jednostavno. Zamijenite vrijednost strane u odgovarajuće polje i dobit ćete gotov odgovor. Možete odabrati nekoliko mogućnosti zaokruživanja odgovora: na decimale, stotinke, tisućinke itd.

Kružnica upisana u trokut

Postojanje kruga upisanog u trokut

Podsjetimo se definicije simetrala kuta .

Definicija 1 .Simetrala kuta zove se zraka koja dijeli kut na dva jednaka dijela.

Teorema 1 (Osnovno svojstvo simetrale kuta) . Svaka točka simetrale kuta jednako je udaljena od stranica kuta (slika 1).

Riža. 1

Dokaz D koji leži na simetrali kutaBAC , I DE I D.F. na stranama ugla (slika 1).pravokutni trokuti ADF I ADE jednak jer imaju iste šiljaste kutoveDAF I DAE , i hipotenuza OGLAS - Općenito. Stoga,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Teorem 2 (teorem inverzan teoremu 1) . Ako je neki , onda leži na simetrali kuta (slika 2).

Riža. 2

Dokaz . Promotrimo proizvoljnu točkuD leži unutar kutaBAC i nalazi se na istoj udaljenosti od strana ugla. Pad s točkeD okomice DE I D.F. na stranama ugla (slika 2).pravokutni trokuti ADF I ADE jednak , budući da imaju jednake nogeD.F. I DE , i hipotenuza OGLAS - Općenito. Stoga,

Q.E.D.

Definicija 2 . Krug se zove krug upisan u kut ako su to stranice ovog kuta.

Teorem 3 . Ako je kutu upisana kružnica, tada su udaljenosti od vrha kuta do dodirnih točaka kružnice sa stranicama kuta jednake.

Dokaz . Neka točka D je središte kruga upisanog kutuBAC , i bodova E I F - dodirne točke kruga sa stranicama kuta (slika 3).

sl.3

a , b , c - stranice trokuta
 S -kvadrat,

r – polumjer upisane kružnice,
 str - poluperimetar

.

Pregledajte izlaz formule

a – bočna stranica jednakokračnog trokuta , 
 b - baza, r – polumjer upisane kružnice

a r – polumjer upisane kružnice

Pregledajte izlaz formule

,

Gdje

,

zatim, u slučaju jednakokračnog trokuta, kada

dobivamo

što je i bilo potrebno.

Teorem 7 . Za ravnopravnost

Gdje a - stranica jednakostraničnog trokutar – polumjer upisane kružnice (slika 8).

Riža. 8

Dokaz .

,

tada, u slučaju jednakostraničnog trokuta, kada

b=a,

dobivamo

što je i bilo potrebno.

Komentar . Preporučam da kao vježbu izvedete formulu za polumjer kružnice upisane u jednakostranični trokut izravno, tj. bez korištenja općih formula za polumjere kružnica upisanih u proizvoljni trokut ili u jednakokračni trokut.

Teorem 8 . Za pravokutni trokut, jednakost

Gdje a , b - noge pravokutnog trokuta, c – hipotenuza , r – polumjer upisane kružnice.

Dokaz . Razmotrite sliku 9.

Riža. 9

Budući da četverokutCDOF je , koji ima susjedne straneČINI I OD su jednaki, onda je ovaj pravokutnik . Stoga,

CB \u003d CF \u003d r,

Na temelju teorema 3, jednakosti

Stoga, uzimajući u obzir i , dobivamo

što je i bilo potrebno.

Izbor zadataka na temu "Krug upisan u trokut."

1.

Kružnica upisana u jednakokračni trokut dijeli u točki dodira jednu od stranica na dva segmenta, čije su duljine jednake 5 i 3, računajući od vrha nasuprot osnovici. Nađi opseg trokuta.

2.

3

U trokut ABC AC=4, BC=3, kut C je 90º. Nađi polumjer upisane kružnice.

4.

Krakovi jednakokračnog pravokutnog trokuta su 2+. Odredi polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.

5.

Polumjer kružnice upisane jednakokračnom pravokutni trokut, jednako je 2. Nađite hipotenuzu c ovog trokuta. Upiši c(-1) u svoj odgovor.

Evo niza zadataka s ispita s rješenjima.

Polumjer kružnice upisane jednakokračno pravokutnom trokutu je . Nađite hipotenuzu c ovog trokuta. Navedite u svom odgovoru.

Trokut je pravokutan i jednakokračan. Dakle, noge su mu iste. Neka svaka noga bude jednaka. Tada je hipotenuza.

Površinu trokuta ABC pišemo na dva načina:

Izjednačavajući ove izraze, dobivamo to. Jer, shvaćamo to. Zatim.

Kao odgovor, pišite.

Odgovor:.

Zadatak 2.

1. Na bilo koje dvije stranice 10 cm i 6 cm (AB i BC). Odredi polumjere opisane i upisane kružnice
Problem se samostalno rješava uz komentiranje.

Riješenje:

U.

1) Pronađite:
2) Dokažite:i pronađite CK
3) Odredi polumjere opisane i upisane kružnice

Riješenje:

Zadatak 6.

R polumjer kruga upisanog u kvadrat je. Odredi polumjer kruga opisanog oko tog kvadrata.S obzirom :

Pronaći: OS=?
Riješenje: V ovaj slučaj problem se može riješiti korištenjem ili Pitagorinog teorema ili formule za R. Drugi slučaj je jednostavniji, budući da je formula za R izvedena iz teorema.

Zadatak 7.

Polumjer kružnice upisane jednakokračno pravokutnom trokutu je 2. Nađite hipotenuzuS ovaj trokut. Navedite u svom odgovoru.

S je površina trokuta

Ne znamo ni stranice trokuta ni njegovu površinu. Označimo noge kao x, tada će hipotenuza biti jednaka:

Površina trokuta bit će 0,5x 2 .

Sredstva

Dakle, hipotenuza će biti:

Odgovor mora biti napisan:

Odgovor: 4

Zadatak 8.

U trokutu ABC je AC = 4, BC = 3, kut C jednak je 90 0 . Nađi polumjer upisane kružnice.

Upotrijebimo formulu za polumjer kruga upisanog u trokut:

gdje su a, b, c stranice trokuta

S je površina trokuta

Dvije stranice su poznate (to su katete), možemo izračunati treću (hipotenuza), možemo izračunati i površinu.

Prema Pitagorinoj teoremi:

Pronađimo područje:

Tako:

Odgovor: 1

Zadatak 9.

Stranice jednakokračnog trokuta su 5, osnovica je 6. Odredi polumjer upisane kružnice.

Upotrijebimo formulu za polumjer kruga upisanog u trokut:

gdje su a, b, c stranice trokuta

S je površina trokuta

Sve strane su poznate, a površina je izračunata. Možemo ga pronaći pomoću Heronove formule:

Zatim

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Stoga nasljeđuje sva svojstva paralelograma. Naime:

• Dijagonale romba su međusobno okomite.
• Dijagonale romba simetrale su njegovih unutarnjih kutova.

Četverokutu se može upisati kružnica ako i samo ako su zbrojevi suprotnih stranica jednaki.
Dakle, u svaki romb se može upisati kružnica. Središte upisane kružnice poklapa se sa središtem sjecišta dijagonala romba.
Polumjer upisane kružnice u romb može se izraziti na više načina

1 način. Polumjer upisane kružnice u romb kroz visinu

Visina romba jednaka je promjeru upisane kružnice. To proizlazi iz svojstva pravokutnika, kojega čine promjer upisane kružnice i visina romba - suprotne stranice pravokutnika su jednake.

Dakle, formula za polumjer upisane kružnice u romb kroz visinu:

2 način. Polumjer upisane kružnice u romb kroz dijagonale

Površina romba može se izraziti polumjerom upisane kružnice
, Gdje R je opseg romba. Znajući da je opseg zbroj svih stranica četverokuta, imamo P= 4×ha. Zatim
Ali područje romba također je pola umnoška njegovih dijagonala
Izjednačavanjem desnih dijelova formule površine dobivamo sljedeću jednakost
Kao rezultat toga dobivamo formulu koja nam omogućuje izračunavanje polumjera upisane kružnice u romb kroz dijagonale

Primjer izračuna polumjera kružnice upisane u romb ako su poznate dijagonale
Odredi polumjer kružnice upisane u romb ako je poznato da su duljine dijagonala 30 cm i 40 cm.
Neka ABCD- romb, dakle AC I BD njegove dijagonale. AC= 30 cm , BD=40 cm
Neka točka OKO je središte upisanog u romb ABCD krug, tada će to također biti točka sjecišta njegovih dijagonala, dijeleći ih na pola.


budući da se dijagonale romba sijeku pod pravim kutom, onda trokut AOB pravokutan. Zatim po Pitagorinom teoremu
, zamijenimo prethodno dobivene vrijednosti u formulu

AB= 25 cm
Primjenjujući prethodno izvedenu formulu za polumjer opisane kružnice na romb, dobivamo

3 načina. Polumjer kružnice upisane u romb kroz segmente m i n

Točka F- točka kontakta kruga sa stranom romba, koja ga dijeli na segmente AF I bf. Neka AF=m, BF=n.
Točka O- središte sjecišta dijagonala romba i središte u njega upisane kružnice.
Trokut AOB- pravokutni, budući da se dijagonale romba sijeku pod pravim kutom.
, jer je polumjer povučen na tangentu kružnice. Stoga OD- visina trokuta AOB na hipotenuzu. Zatim AF I bf- projekcije kateta na hipotenuzu.
Visina u pravokutnom trokutu spuštena na hipotenuzu je prosječni proporcional između projekcija kateta na hipotenuzu.

Formula za polumjer upisane kružnice u romb kroz segmente jednaka je kvadratnom korijenu umnoška tih segmenata na koje je stranica romba podijeljena tangentnom točkom kruga

Kako pronaći polumjer kruga? Ovo je pitanje uvijek relevantno za školsku djecu koja proučavaju planimetriju. U nastavku ćemo pogledati nekoliko primjera kako se možete nositi sa zadatkom.

Ovisno o stanju problema, polumjer kružnice možete pronaći ovako.

Formula 1: R \u003d L / 2π, gdje je L, a π konstanta jednaka 3,141 ...

Formula 2: R = √(S / π), gdje je S površina kruga.

Formula 1: R = B/2, gdje je B hipotenuza.

Formula 2: R \u003d M * B, gdje je B hipotenuza, a M medijan povučen na nju.

Kako pronaći polumjer kružnice ako je ona opisana oko pravilnog mnogokuta

Formula: R \u003d A / (2 * sin (360 / (2 * n))), gdje je A duljina jedne od strana figure, a n je broj strana u ovoj geometrijskoj slici.

Kako pronaći polumjer upisane kružnice

Upisana kružnica se naziva kada dodiruje sve strane poligona. Pogledajmo nekoliko primjera.

Formula 1: R \u003d S / (P / 2), gdje su - S i P površina odnosno opseg figure.

Formula 2: R \u003d (P / 2 - A) * tg (a / 2), gdje je P opseg, A je duljina jedne od stranica i kut nasuprot ovoj strani.

Kako pronaći polumjer kružnice ako je ona upisana u pravokutni trokut

Formula 1:

Polumjer kružnice upisane u romb

Kružnica se može upisati u svaki romb, jednakostraničan i nejednakostraničan.

Formula 1: R \u003d 2 * H, gdje je H visina geometrijske figure.

Formula 2: R \u003d S / (A * 2), gdje je S, a A duljina njegove stranice.

Formula 3: R \u003d √ ((S * sin A) / 4), gdje je S površina romba, a sin A je sinus oštar kut ovaj geometrijski lik.

Formula 4: R \u003d V * G / (√ (V² + G²), gdje su V i G duljine dijagonala geometrijske figure.

Formula 5: R = B * sin (A / 2), gdje je B dijagonala romba, a A kut na vrhovima koji povezuju dijagonalu.

Polumjer kružnice koja je upisana u trokut

U slučaju da su vam u uvjetu zadatka zadane duljine svih stranica figure, tada prvo izračunajte (P), a zatim poluopseg (p):

P \u003d A + B + C, gdje su A, B, C duljine stranica geometrijske figure.

Formula 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

A ako, znajući sve iste tri strane, također su vam dane, tada možete izračunati željeni radijus na sljedeći način.

Formula 2: R = S * 2 (A + B + C)

Formula 3: R \u003d S / p \u003d S / (A + B + C) / 2), gdje je - p poluopseg geometrijske figure.

Formula 4: R \u003d (n - A) * tg (A / 2), gdje je n poluopseg trokuta, A je jedna od njegovih stranica, a tg (A / 2) tangenta polovine trokuta kut nasuprot ovoj strani.

A donja formula će vam pomoći pronaći polumjer kružnice koja je upisana u nju

Formula 5: R \u003d A * √3/6.

Polumjer kružnice koja je upisana u pravokutni trokut

Ako su u zadatku zadane duljine kateta, kao i hipotenuza, polumjer upisane kružnice dobiva se na sljedeći način.

Formula 1: R \u003d (A + B-C) ​​​​/ 2, gdje su A, B noge, C je hipotenuza.

U slučaju da su vam zadane samo dvije noge, vrijeme je da se prisjetite Pitagorinog poučka kako biste pronašli hipotenuzu i upotrijebili gornju formulu.

C \u003d √ (A² + B²).

Polumjer kružnice koja je upisana u kvadrat

Krug, koji je upisan u kvadrat, dijeli sve svoje 4 strane točno popola u dodirnim točkama.

Formula 1: R \u003d A / 2, gdje je A duljina stranice kvadrata.

Formula 2: R \u003d S / (P / 2), gdje su S i P površina i opseg kvadrata.